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NOTACIÓN CIENTÍFICA , FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN EXPONENCIAL EJERCICIOS DE MATEMATICA 10–DECIMO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Notación científica,Revisión de potencias de base entera y exponente natural,Potencias de base entera y exponente entero ,Notación científica,Funciones,Imágenes y antiimágenes, Dominio y recorrido , Características de las funciones, Función: criterio gráfico,Intersección con los ejes,Crecimiento y decrecimiento,Monotonía de una función ,Función constante,Función de primer grado ,Función lineal o de proporcionalidad directa, Función afín,Ecuación de una recta , Obtención de la ecuación de una recta ,Función de proporcionalidad inversa ,Gráfica,Función exponencial,Gráfica

Prerrequisitos
Recuerda
• Una potencia es un producto de factores iguales.
5 × 5 × 5 × 5 = 54
El factor que se repite es la base y el número de
veces que se repite el factor es el exponente.
• Existe una dependencia entre dos magnitudes
cuando los valores que toma una dependen de
los valores que toma la otra. Ejemplo: el costo
total y el número de boletos del trolebús que se
compran.
Una dependencia entre magnitudes puede expresarse
mediante una expresión verbal, una tabla
de valores, una gráfica o una expresión algebraica.
• Una función f es una relación de dependencia
entre dos variables en la que a cada valor de la
variable independiente x le corresponde un único
valor de la variable dependiente y.
• La expresión algebraica de una función, f(x),
es la fórmula que nos indica las operaciones
que debemos efectuar con cada valor de la variable
x para obtener el valor correspondiente de
la variable y.
• La gráfica de una función f es la representación
en un sistema de coordenadas cartesianas de
todos los pares de la forma (x, f(x)), siendo x un
valor de la variable independiente de la función.
Evaluación diagnóstica
• Escribe en forma de potencia:
a) 3 × 3 × 3 × 3 ×3 b) 9 × 9 × 9 × 9
• Calcula:
a) 43 × 42 b) 57 ÷ 53 c) (65)2
• Indica tres situaciones cotidianas en las que
aparezca una dependencia entre magnitudes.
• El área de un círculo, A, se obtiene multiplicando
el número π por el radio, r, elevado al cuadrado.
Expresa la dependencia entre estas
magnitudes mediante una fórmula matemática y
completa la tabla de valores.
• Representa en un sistema de coordenadas cartesianas
estos puntos: A(1, 2); B(7, 6); C(–2, –3);
D(–4, 1); E(5, –2)
• Una piscina de 200 000 litros de capacidad se
llena con una manguera que vierte 25 litros por
minuto. Escribe la expresión algebraica del volumen
de agua que hay en la piscina (l) en función
del tiempo (min).
— Construye una tabla de valores y dibuja la
gráfica de la función. ¿De qué tipo de gráfica
se trata?
• Transformar cantidades expresadas en notación decimal
a notación científica con exponentes positivos
y negativos.
• Construir patrones de crecimiento lineal en su ecuación
generadora.
• Evaluar si una función lineal es creciente o decreciente
en la base de su tabla de valores, gráfico o
ecuación.
• Determinar la ecuación de una función lineal si su
tabla de valores, su gráfico o dos puntos de esta
función son conocidos.
• Reconocer si una función exponencial es creciente
o decreciente.
Destrezas con criterios de desempeño
Serás capaz de utilizar números enteros para expresar cantidades en notación científica. Distinguirás y representarás
gráficamente las funciones constantes, las de primer grado y las exponenciales.

r (m) 0 5 15
A (m2) 0 314,16 1 256,64
1 Notación científica
1.1. Revisión de potencias de base entera y exponente natural
En ocasiones, encontramos multiplicaciones cuyos factores se repiten. Estos
productos de factores iguales se llaman potencias.
4 · 4 · 4 = 43
Una potencia de exponente 1 es igual a la base de esta potencia.
a1 = a
Para obtener el signo de una potencia se siguen las reglas siguientes:
• Si el exponente es par, la potencia es siempre positiva.
32 = 3 · 3 =9 (−3)2 = −3 · (−3) = 9
• Si el exponente es impar, la potencia tiene el mismo signo que la base.
33 = 3 · 3 · 3 = 27 (−3)3 = −3 · (−3) · (−3) = −27
Una potencia de base número entero a y exponente con un número
natural n corresponde a la multiplicación de la base a por ella misma,
tantas veces como lo indique el exponente n.
n veces
an = a · a · a · … · a

Escribe en forma de potencia las siguientes multiplicaciones e indica la base y el
exponente.
a) −3 · (−3) · (−3) · (−3) b) −7 · (−7) · (−7) · (−7) · (−7)
(−3)4 (−7)5
base: −3 base: −7
exponente: 4 exponente: 5
ejemplo 1
Actividades 
Anota, en tu cuaderno, las multiplicaciones
en forma de potencias
y señala su base y exponente.
a) −2 · (−2) · (−2)
b) −5 · (−5) · (−5) · (−5) · (−5)
Indica el signo de estas potencias.
(−4)7, (−2)12, (6)5, (−7)21, (−4)32
Copia la tabla en tu cuaderno y
complétala.
3
2
1
No es lo mismo escribir (−3)2
que −32, ya que:
• (−3)2 = −3  (−3) = 9
• −32 = − (3  3) = −9
Por lo tanto, debes ir con cuidado
a la hora de efectuar las
operaciones.
 FÍJATE
Exponente
Base
an

+
Base
Par Impar
Exponente
+ +
+ −
Multiplicación Base Exponente Potencia
6 · 6 · 6 …….. …….. ……..
…….. −7 4 ……..
…….. …….. …….. (−9)4
…….. 21 …….. (……..)6
Operaciones con potencias
Para operar con potencias de base entera y exponente natural, procedemos
igual que en el caso de potencias de base natural.
Puede suceder que, en una multiplicación o división de potencias, las bases
no sean iguales sino opuestas. En estos casos, expresaremos previamente
la potencia de base negativa como potencia de base positiva.
• Multiplicación de potencias de la misma base: am · a n am + n
(−4)2 · (−4)3 = (−4)2 + 3 = (−4)5
• División de potencias de la misma base: am an am n, m > n
65 ÷ 63 = 65 − 3 = 62
• Potencia de un producto: (a · b) n an · b n
(−3 · 5)4 = (−3)4 · 54
• Potencia de una potencia: (am) n am · n
[(−7)3]2 = (−7)3 · 2 = (−7)6
Operaciones con potencias
Expresa en forma de una sola potencia:
a) (−4)3 · 45 b) 3 6 ÷ (−3)2
— En primer lugar, transformamos la potencia de base negativa en una potencia
de base positiva.
(−4)3 = −43 (−3)2 = 32
— A continuación, efectuamos las operaciones entre las potencias.
−43 · 45 = −43 + 5 = −48 36 ÷ 32 = 36 − 2 = 34
ejemplo 2
Escribe, en tu cuaderno, como potencia de base
positiva:
(−5)9, (−7)14, (−15)7, (−9)12, (−3)21
Expresa las operaciones, en tu cuaderno, con
una sola potencia:
a) 23 · 24
b) (−2)3 · (−2)5
c) [(−4)5]4
d) (−3)8 ÷ (−3)5
e) (−7)4 ÷ (−7)2
f) [(−3)2]5
Anota en forma de una sola potencia las siguientes
operaciones. Transforma previamente, si es preciso,
las potencias de base negativa a potencias de
base positiva.
a) (−2) · (−2) · (−2)
b) 72 · (−7)4 · (−7)2
c) (−4)5 · 43 · 41 · (−4)3
d) (−6)12 ÷ (−6)8
e) 721 ÷ (−7)4
f) (−4)15 ÷ 49
6
5
4
Actividades 
1.2. Potencias de base entera y exponente entero
Como los números enteros positivos se identifican con los números na−
turales, sólo es preciso considerar los casos en los que el exponente
sea 0 o negativo.
Ya hemos visto en la página anterior que si m y n son números naturales y
m > n, podemos aplicar la regla de la división de potencias:
am ÷ an = am − n
A continuación, sabremos que esta regla continúa siendo válida también para
m = n y m < n.
Para operar con potencias de exponente negativo podemos utilizar dos
métodos diferentes. Veamos, pues, dos formas distintas de resolver la siguiente
expresión: (−4)−3 · (−4)5
Consideramos la división 43 ÷ 46.
Consideramos la división 43 ÷ 43.
Potencias de exponente 0 Potencias de exponente negativo
Cualquier potencia de exponente
0 es igual a 1.
a0 1
 La potencia de base el número
entero a (a0) y de exponente el
número entero negativo n es
igual al inverso de la potencia de
base el mismo número entero a y
de exponente positivo n .
a
a
− n =
n
1

Si aplicamos la
regla para
dividir potencias
43 ÷ 43 = 40 = 1
43 − 3 = 40
4 4 4
4 4 4
1
· ·
· ·
=

Si aplicamos la
regla para
dividir potencias
43 ÷ 46 =
43 − 6 = 4− 3
4 4 4
4 4 4 4 4 4
1
43
· ·
· · · · ·
=
4
1
4
3
3
− =

• Aplicamos las reglas para resolver
multiplicaciones o divisiones
con potencias.
( −4 )−3 · ( −4 )5 =
• Transformamos las potencias a exponente
positivo.
• Aplicamos las mismas reglas que sirven
para efectuar operaciones con potencias
de exponente natural.
( ) ·( )
( )
· ( ) − − =−
4 − 4 −
1
4
3 5 4
3
5
Primer procedimiento Segundo procedimiento
( )
( )
− ( ) ( )

= − − = − 4
4
4 4
5
3
5 3 2
= ( −4 )−3+5 = ( −4 )2
Potencias de 10
Las potencias de 10 son útiles porque simplifican la escritura.
Las potencias de 10 también se emplean para expresar las diversas equivalencias
de los prefijos del Sistema Internacional, como puedes observar
en la tabla de la derecha.
1 kilómetro (km) = 103 m
1 decilitro (dl) = 10 1 l
1 nanómetro (nm) = 10−9m
Para transformar unas unidades en otras, es necesario aplicar los factores
de conversión correspondientes.
Escribe las expresiones siguientes de forma que sólo aparezcan potencias
de exponente positivo: (−7)−21, (−3)−5, 8 −16, (−2)−121.
Escribe las expresiones siguientes de forma que sólo aparezcan potencias
de exponente negativo: 23, (−4)7, (−7)99, (−5)11, 94.
Expresa en forma de una sola potencia:
a) (−4)−3 · (−4)−2 · (−4)−6 b) [(−3)2]−5
Efectúa:
a) (75 · 77) ÷ (74 · 72 · 73) c) [(−5)2 · (−5)3]2 ÷ (−5)3
b) [(−8)5]4 ÷ [(−8)4]5 d) [(−3)3 · (−3)5 · (−3)] ÷ [(−3)2 ÷ (−3)3]
¿Cuántos decímetros son 25 micrómetros? ¿Cuántos milímetros son
42 kilómetros? ¿Cuántos picómetros son 120 centímetros ?
11
10
9
8
7
Actividades 
Cualquier número seguido de ceros
puede expresarse como el producto de
este número por una potencia de 10
de exponente positivo.
−90 000 = −9 · 10 000 = −9 · 104
Cualquier número decimal con parte
entera nula puede expresarse como el
producto de sus cifras decimales diferentes
de 0 por una potencia de 10
de exponente negativo.
0,000 000
0 000 000
4
4
1
4
10
4
1
10
4 10
7
7
= = =
= · = · −7
¿Cuántos centímetros son 15 nanómetros?
Como 1 nm = 10−9 m y 1 cm = 10−2 m, podemos escribir estas equivalencias
como factores de conversión y obtener centímetros.
Así, 15 nm son 15 · 10−7 cm.
15
1
1
nm =15 nm · 15 10 7
10 m
nm
cm
10 m
cm
9
2


· = · −
ejemplo 3
tera (T) 1012
giga (G) 109
mega (M) 106
kilo (k) 103
hecto (h) 102
deca (da) 101
deci (d) 10−1
centi (c) 10−2
mili (m) 10−3
micro (μ) 10−6
nano (n) 10−9
pico (p) 10−12
femto (f) 10−15
atto (a) 10−18
Prefijo
(símbolo)
Equivalencia
en unidades
1.3. Notación científica
En la pantalla de la calculadora pueden aparecer expresiones como las
siguientes:
Estas expresiones son números, generalmente el resultado de las operaciones
efectuadas. La calculadora los presenta así porque estos resultados son números
de valor absoluto muy grande o muy pequeño. Sus traducciones son, respectivamente:
5,8149 · 1025 y 7,3468 · 10 −40
Estos números están expresados en notación científica.
5, 8149 1025
Parte entera Parte Potencia de 10 de
(con una sola cifra) decimal exponente entero
Un número expresado en notación científica tiene tantas cifras significativas como
cifras hay escritas (cinco en los dos ejemplos anteriores).
Es evidente que, al limitar el número de cifras decimales, se pierde exactitud,
pero, por otra parte, se gana en simplicidad y también en el conocimiento del orden
de aproximación del número.
El uso de la calculadora científica facilita significativamente las operaciones
con números expresados en notación científica. Observa el procedimiento
utilizado.
Un número expresado en notación científica consta de un número decimal
cuya parte entera tiene una sola cifra no nula, multiplicado por una
potencia de 10 de exponente entero.
El número 1,3 · 105 tiene úni- 
camente dos cifras significativas,
mientras que el número
1,30 · 105 tiene tres cifras
significativas.
 FÍJATE
Para operar con números expresados en notación científica, las calculadoras científicas disponen
de una tecla especial para introducirlos en la pantalla: .
Dicha tecla introduce el exponente entero de 10.
Así, para introducir el número 4,72  1015 debes teclear:
Y para introducir 3,45  10−9:
Si ahora quieres efectuar la siguiente operación (4,56  1012)  (5,1  10−3), debes teclear:
EXP
4 7 2 EXP 1 5
3 4 5 EXP (–) 9
3
6 EXP 1 2
=
4 5 X 5 1
EXP (–)
LAS TIC Y LA MATEMÁTICA
Fíjate en la forma de efectuar operaciones utilizando la notación científica.
Efectúa las siguientes operaciones.
a) 3,61 · 10−6 · 1,27 · 10−8
b) 8,43 · 10 7 + 6,24 · 10 6
a) Efectuamos, por separado, la multiplicación de los
números decimales y la multiplicación de las potencias
de 10, y aplicamos la propiedad asociativa.
3,61 · 10−6 · 1,27 · 10−8 = (3,61 · 1,27) · 10−6 + (−8) =
= 4,88 · 10−14
b) En primer lugar, transformamos uno de los dos números
expresados en notación científica, de forma que
ambos queden multiplicados por potencias de 10 del
mismo orden.
8,43 · 107 + 6,24 · 106 = 84,3 · 106 + 6,24 · 106
Y, a continuación, aplicamos la propiedad distributiva.
84,3 · 106 + 6,24 · 106 = (84,3 + 6,24) · 106 =
= 90,54 · 106 = 9,054 · 107
ejemplo 4
Expresa los siguientes números utilizando la notación científica. A continuación, escríbelos de forma aproximada con cuatro
cifras significativas.
a) 2 745 983 245 679
b) 0,000 000 000 064 321 278
a) Para que la parte entera de este número conste sólo de una cifra, debemos dividirlo por la unidad seguida de doce
ceros. Por tanto, para obtener el número inicial deberemos multiplicar por 1012.
Así:
2 745 983 245 679 = 2,745 983 245 679  1012
Y, aproximando por redondeo, escribiremos:
2 745 983 245 679  2,746  1012
b) Del mismo modo, podemos escribir:
0,000 000 000 064 321 278 = 6,432 1278  10−11
Y, aproximando por redondeo:
0,000 000 000 064 321 278  6,432  10−11
ejemplo 5
Expresa en forma de potencias de base 10.
a) 0,000 000 000 001
b) 0,000 01 · 100−5
c) 0,000 001−3 · 1 0003
d) (0,1 · 0,000 01) : 10 000−4
Escribe en notación científica los siguientes números.
Utiliza todas sus cifras.
2 742 000; 0,000 000 0675; 4 diezmilésimas;
0,000 000 75; 512,577; 548,37 · 105; 12 millones
Escribe con todas las cifras los números siguientes.
5,42 · 105; 4,1876 · 107; 10−3; 1,57 · 10−4; −3 · 10−2
— ¿Cuántas cifras significativas tiene cada uno?
Efectúa:
a) (9,536 · 103) + (5,63 · 103)
b) (2,754 · 10−4)3
c) (5,21 · 103) : (2,07 · 10−4)
d) (3,47 · 105) · (1,1 · 10−5)
e) (1,1427 · 1011)−1
f) (2,3 · 107) · (4,5 · 10−3) : (9,1 · 105)
g) (3,7 · 10−4) − (7,83 · 10−4)
—Comprueba los resultados con la calculadora.
Ordena de menor a mayor estos números.
7,863 · 10−3; 5,32 · 102; 3,295 · 100; 4,25 · 102;
9,385 · 10−6; 8,42 · 105; 3,56 · 10−3; 1,57 · 101
16
15
14
13
12
Actividades 

2 Funciones
A menudo, en la vida cotidiana se dan situaciones en las que se obtienen relaciones
de dependencia entre magnitudes.
Consideremos, por ejemplo, la siguiente situación:
Beatriz se desplaza con su automóvil. En el viaje consume 8 l de combustible
por cada 100 km o, lo que es lo mismo, 8 cl por km.
En este caso, el consumo de combustible depende de la distancia recorrida,
como se observa en la tabla.
Además, la dependencia cumple estas propiedades:
• La variable distancia recorrida puede tomar valores de forma arbitraria; por eso,
la llamaremos variable independiente y la representaremos con la letra x.
• En cambio, los valores que toma la variable combustible consumido dependen
de los valores de la variable x; por eso, la llamaremos variable dependiente
y la representaremos con la letra y.
• A cada valor de la variable x le corresponde un único valor de la variable y,
por lo que decimos que y está en función de x, y lo simbolizamos por
y = f (x).
Una función es una relación de dependencia entre dos variables, de
modo que a cada valor de la variable independiente le corresponde un
único valor de la variable dependiente.

La imagen de un valor x por una función f es el valor que toma la variable
y en relación con el valor que tiene la variable x.
La preimagen de un valor y por una función f es el valor o valores de la
variable x a los que corresponde el valor tomado por la variable y.

2.1. Imágenes y preimágenes
Consideramos de nuevo la función f, que relaciona el consumo de combustible
de un automóvil con la distancia recorrida.
Cuando el automóvil ha recorrido 5 km su consumo es de 40 cl. Decimos que
la imagen de 5 por la función f es 40. Simbólicamente escribimos f (5) = 40.
También decimos que la preimagen de 40 por la función f es 5.
Imagen
x y = f(x)
Preimagen
Imagen
5 40
Preimagen
Magnitud es toda característica
o propiedad relativa a un cuerpo
que puede medirse.
Aquellas magnitudes que varían
su valor, como la distancia recorrida
o el combustible consumido,
también reciben el nombre
de variables.
MUCHO OJO 
160
140
120
100
80
60
40
20
0
5 10 15 20 X
Y
Distancia recorrida (km)
Combustible consumido (cl)
Normalmente, para representar
la variable independiente se
utiliza la letra x, y para representar
la variable dependiente
se emplea la letra y.
Para decir que y está en función
de x escribimos: y = f(x).
Las funciones suelen representarse
con letras minúsculas f,
g, h…
Notación
En toda función, la imagen y de
un valor de x es única, pero
puede ocurrir que un valor de y
tenga más de una antiimagen.
Por ejemplo, en la función que
asigna a cada número su valor
elevado al cuadrado, el número 9
tiene dos antiimágenes: –3 y 3.
 FÍJATE
Distancia recorrida en km (x) 0 5 10 15
Combustible consumido en cl (y) 0 40 80 120
20
160
2.2. Dominio y recorrido
Volvamos a considerar la función f, que relaciona el consumo de combustible
de un automóvil con la distancia recorrida.
Imagina que el trayecto recorrido por Beatriz es de 20 km. Es decir, la variable
independiente distancia recorrida toma valores entre 0 km y 20 km.
Decimos que este intervalo de valores es el dominio de la función f. Se simboliza
de la forma: Dom(f) = [0, 20].
La variable de pendiente, combustible cosumido, varía de 0 cl en el punto de
partida a 160 cl en el punto de destino.
Decimos que este intervalo de valores es el recorrido de la función f. Se simboliza
de la forma: Rec (f) = [0, 160].
El dominio de una función f es el conjunto de valores que puede tomar
la variable independiente. Se representa por Dom (f).

El recorrido o rango de una función f es el conjunto de valores que puede
tomar la variable dependiente. Se representa por Rec (f).

ejemplo 6
Un depósito de agua de 128 l de capacidad, inicialmente vacío, se llena a un ritmo de
4 l por minuto. Determina el dominio y el recorrido de la función y = f(x) siendo y el
volumen de agua que hay en el depósito (en litros) y x el tiempo transcurrido (en minutos).
Como el depósito tiene una capacidad de 128 l y se llena a un ritmo de 4 l por minuto,
tardará 32 min en llenarse completamente. Así, la variable x toma valores entre 0
min y 32 min. El dominio de la función es Dom (f) = [0, 32].
El volumen de agua que hay en el depósito varía de 0 l con el depósito vacío a 128 l
con el depósito lleno. El recorrido de la función es Rec (f) = [0, 128].
Indica cuáles de las siguientes relaciones de dependencia
son funciones.
a) Las horas del día y la temperatura mínima registrada
durante cada hora.
b) La duración de una llamada provincial por la tarde
y su valor en dólares.
c) Un número real y el triple de su cuadrado.
d) A cada número natural se le asignan sus divisores.
e) A cada número natural se le asigna el producto
de sus divisores.
f) El volumen de una esfera y el valor de su ra dio.
g) La edad en años de una persona y su masa.
h) La longitud de una circunferencia y el valor de su
diámetro.
Indica cuál es la variable independiente y cuál la
variable dependiente del par de variables relacionadas
en cada uno de los siguientes casos.
a) El costo en dólares que hay que pagar y el número
de boletos de avión adquiridos.
b) El costo de la factura del gas y los metros cúbicos
consumidos.
Escribe simbólicamente:
a) La imagen del valor 5 por una función f es 16.
b) La imagen del valor por una función g es 3.
Un club excursionista formado por 325 socios ha repartido
carnés numerados entre sus afiliados. Sea f
la función que hace corresponder a cada número de
carné su última cifra. Halla su dominio y su recorrido.
20
19
18
3
17
Actividades 
3 Características de las funciones
Sabemos que una función f es una relación de dependencia entre dos variables.
La variable independiente “x” que pertenece al primer conjunto “A”, llamado
dominio de la función, se transforma según la ley de f en “y”, que pertenece
al recorrido de la función y es subconjunto de un conjunto de llegada
“B”.
Está implícito que una función f necesita de dos conjuntos, uno de partida
que es el dominio “A” y uno de llegada “B”; de ahí se afirma que una función
va de “A” en “B”, y se denota por f: A → B .
Si los conjuntos A y B son subconjuntos del conjunto de los números reales, a
la función f se le llama función real.
Existen funciones que no son reales, para ello basta que al menos un conjunto
(de partida o de llegada) no sea subconjunto de los reales.
Ratifiquemos que la variable independiente x es elemento del dominio de la
función que corresponde al conjunto A, mientras que imagen y (variable dependiente)
pertenece al recorrido de la función que es subconjunto del conjunto
de llegada B.
Observa que la gráfica de una
función sólo puede cortar el eje
OY en un punto. ¿Sabrías explicar
por qué?
 FÍJATE
Una función es estrictamente
creciente si:
x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).
Una función es estrictamente
decreciente si:
x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
 FÍJATE
ejemplo 7
La función f relaciona la edad (en años) de 10 estudiantes con su nombre, según:
(Daniel, 14), (Sandra, 14), (Maritza, 15), (Pedro, 14), (David, 15), (Salomé, 13), (Diana,
14), (Rocío, 15), (Luis, 14) y (Santiago, 14).
El dominio de la función f que a su vez es su conjunto de partida es:
Dom(f) = A
= {Daniel, Sandra, Maritza, Pedro, David, Salomé, Diana, Rocío, Luis, Santiago}
El recorrido de la función f que a su vez es subconjunto del conjunto de llegada es:
Rec(f) = {13,14,15} ⊂
Observa que el recorrido no necesariamente es igual al conjunto de llegada.
Ésta función f no es real puesto que el conjunto de partida A no es un subconjunto
del conjunto de números reales.
Si la función es real, la función f tiene una ley de formación que explica el
cómo y está en función de x, en general se denota por y = f(x).
Para las funciones reales resulta muy útil la observación y análisis de su gráfica,
de ahí se puede ratificar su condición de función, extraer los puntos de intersección,
determinar su crecimiento o su decrecimiento, ratificar si es continua
o no.
3.1. Función: criterio gráfico
Para reconocer a una función desde su gráfico, observaremos que toda vertical
trazada en su dominio debe cortar en un solo punto al mismo.
La siguiente gráfica no corresponde
a una función porque
existe al menos una vertical, el
eje OY, que corta a la curva en
dos puntos.
CONTRAEJEMPLO
x
y
2
2 4
4
0
3.2. Intersección con los ejes
En la gráfica del margen se representa la posición del ascensor de un edificio
de departamentos durante 16 minutos de funcionamiento.
Los puntos donde la gráfica cortan a los ejes de coordenadas se llaman intersección
con los ejes, el que corta al eje OY determina a la ordenada al origen
y es único en caso de existir. Los que cortan al eje OX determinan las raíces
de la función, en caso de existir puede ser más de uno.
En nuestra gráfica el punto (0, –2) interseca al eje OY. Ésta es la posición del
ascensor cuando empieza a contar el tiempo. La ordenada al origen es –2.
Así también, los puntos (1, 0), (4, 0), (8, 0) intersecan al eje OX. Los puntos
de indican los momentos en que el ascensor pasa por la planta baja. Las raíces
de la función son 1, 4, 8.
Si conocemos la ley de formación de la función, para determinar el punto de
intersección con el eje OY basta reemplazar al valor de la variable independiente
por 0, y obtenemos el punto (0, f(0)).
De la misma manera, para determinar los puntos de intersección con el eje
OX, basta reemplazar en la ley de formación al valor de la variable dependiente
por 0, y obtenemos los puntos de la forma (x, 0).
3.3. Crecimiento y decrecimiento
En el ejemplo del ascensor observamos intervalos en que él sube, otros en los
que permanece sin movimiento y otros en los que baja.
Diremos que la función que representa
el movimiento del ascensor es:
• Creciente si él no baja, esto se presenta
en los intervalos [0, 3], [5, 11] y
[13, 16].
• Estrictamente creciente si él únicamente
sube, esto se presenta en los intervalos
[0, 2], [7,9], [10, 11] y [14, 16].
x
y
3 6
40
Altura (m)
Tiempo (s)
creciente
decreciente
0
El gráfico corresponde a una
función porque cualquier vertical
trazada en su dominio
[0,6] corta a la curva en uno y
solo un punto.

Una función es creciente
si x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤f (x2).
Una función es decreciente
si x1 < x2 ⇒ f (x1)≥f (x2).
Una función es estrictamente
creciente
si x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).
Una función es estrictamente
decreciente
si x1 < x2 ⇒ f (x1)> f (x2).
 FÍJATE
Posición (planta)
Tiempo (min)
5 10 15
5
Y
X
Punto de
corte con OY
Puntos de
corte con OX
Posición (planta)
Tiempo (min)
5 10 15
5
Y
X
decreciente
creciente
• Decreciente si él no sube, esto se presenta en los intervalos [2, 7], y
[11, 14].
• Estrictamente decreciente si él únicamente baja, esto se presenta en los
intervalos [3, 5] y [12, 13].
3.4. Monotonía de una función a trozos
Si una función es creciente y decreciente, un número finito de veces, dicha
función es monótona a trozos.
Consideremos la altura de una pelota lanzada en tiro parabólico en función
del tiempo.
Fíjate que en el intervalo de tiempo [0,3] la función es creciente, mientras que
en el intervalo de tiempo [3,6] la función es decreciente, por ello diremos que
la función es monótona a trozos.
3.5. Continuidad de la función
Al gráfico de la función f se le trazará una línea continua entre sus puntos si
sus variables aceptan todos los valores de un intervalo.
Para el ejemplo del ascensor, la variable independiente del tiempo acepta
cualquier momento entre [0, 16], pues el tiempo es continuo; así también, la
posición en las plantas acepta cualquier valor entre [−2, 6], al moverse el ascensor
entre plantas lo hace de manera continua, no en saltos entre ellas.
Ahora, si la función establece la relación entre los cinco primeros días del mes
y el número de estudiantes
que ha asistido en un paralelo
de décimo de básica, tanto el
día del mes como el número
de estudiantes solo se representan
con números naturales.
No tiene sentido hablar
del día número 3,14 o de una
asistencia de 32,7 estudiantes,
por ello no es válido unir
con una línea continua a los
diferentes puntos de la gráfica.
Observemos el ejemplo:
x
y
3 6
40
Altura (m)
Tiempo (s)
creciente
decreciente
0
Estudiantes asistentes
Día del mes
0
0 1 2 3 4 5 6
5
10
15
20
25
30
31 31 31
28
32
Una función es monótona si
únicamente es creciente o únicamente
es decreciente.
MUCHO OJO 
4 Función constante
En este apartado vamos a estudiar las funciones constantes. Fíjémonos en el
siguiente ejemplo.
La cuota del gimnasio al que acude Teresa es de $ 35 al mes.
La función que relaciona el gasto mensual que supone a Teresa el gimnasio
según el número de días que acude viene dada por la siguiente tabla de
valores.
La gráfica de esta función es una semirrecta paralela al eje de abscisas
ya que no presenta ninguna inclinación respecto al semieje positivo
de abscisas.
Esta gráfica pasa por el punto de coordenadas (0, 35). El valor de la
ordenada en este punto, en el que x = 0, recibe el nombre de ordenada
en el origen.
Observamos que para cualquier valor de la variable x, la variable y no
varía.
Decimos que, es una función constante, cuya expresión algebraica es
y = 35.
Un determinado trayecto en taxi cuesta $ 5. Construye una tabla de valores en
la que se vea la relación entre el importe de la carrera del taxi y el número de
ocupantes.
Representa gráficamente las siguientes funciones constantes.
a) y = −2 b) y = 3 c) y = −7
— Indica en cada una de ellas la ordenada en el origen.
Patricia alquila una bicicleta durante una hora y le cuesta $ 4.
a) Confecciona una tabla de valores y representa la función que relaciona el precio
del alquiler con los kilómetros que ha recorrido Patricia durante la hora.
b) ¿A qué eje es paralela la gráfica?
c) Calcula la ordenada en el origen y la pendiente de la recta obtenida.
23
22
21
Actividades 
Número de días (x) 0 5 15 30
Importe en dólares (y) 35 35 35 35
10
35
20
35
25
35
y
x
30
20
10
0 10 20 30 40
Una función constante es una función
cuya expresión algebraica es de la forma
y = b, siendo b la ordenada en el origen.
Su gráfica es una recta paralela al eje de
abscisas.

b y = b
x
y
La pendiente de una recta nos
mide la inclinación de ésta respecto
al semieje positivo de
abscisas en el plano cartesiano.
En el caso de la función constante,
como su gráfica es una
recta paralela al eje de abscisas,
su pendiente es 0.
 FÍJATE
Obtención de la expresión algebraica
de una función constante
Determinar la expresión algebraica de una función constante que viene dada
por una tabla de valores o por su gráfica es sencillo.
— Si la función viene dada por una tabla de valores, basta con observar el valor
constante de la variable y.
— En caso de que la función venga dada por su representación gráfica, observaremos
el valor de la ordenada en el origen.
Veamos unos ejemplos.
Escribe la expresión algebraica de la función dada por la siguiente tabla de valores.
Para cualquier valor de la variable x, la variable y no varía. Por tanto, es una función
constante y su expresión algebraica es de la forma y = b.
Como la variable y es igual a −2, la expresión algebraica de la función es y = −2.
ejemplo 8
x 1 2 3 4
y −2 −2 −2 −2
Escribe la expresión algebraica de la función cuya gráfica se muestra a continuación.
La recta es paralela al eje de abscisas. Así pues, es una función constante y su expresión
algebraica es de la forma y = b.
Como la ordenada en el origen es igual a 5, la expresión algebraica de la función es y = 5.
ejemplo 9
5
4
3
2
1
y
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 x
Escribe la expresión algebraica de la función dada
por la siguiente tabla de valores.
Escribe la expresión
algebraica de la función
dada por la
gráfica de la derecha.
24 25
Actividades 
x 1 2 3 4
y −6 −6 −6 −6
y
3
2
1
–2
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–3
x
5 Función de primer grado
La función real f de primer grado, también llamada afín, es aquella cuya
ley de formación es un polinomio de primer grado en la variable x; por lo
tanto, esta ley tiene la forma siguiente: f(x) = mx + b; m ≠ 0.
Una función de primer grado tiene por gráfico a una recta oblicua, sea creciente
o decreciente, trazada en el plano cartesiano.
Tanto el dominio como el recorrido corresponden al conjunto de los números
reales.
Dom(f) =  y Rec(f) = 
En la forma general, la ley de formación f(x) = mx + b, se tienen a las
constantes m y b; donde b es la ordenada al origen, que señala el corte
con el eje OY en el punto (0, b), y m se denomina la pendiente de la recta.
La pendiente m es la constante que indica el grado de inclinación de la
recta, en coordenadas cartesianas rectangulares, es la proporción en que
varía la ordenada “y” con respecto a la abscisa “x”.
Si la pendiente es mayor que cero, positiva la recta es creciente. En su
gráfica se observa que al aumentar el valor de la variable independiente o
abscisa, el valor de la variable dependiente u ordenada, también
aumenta.
Si la pendiente es menor que cero, negativa la recta es decreciente.
En su gráfica se observa que al aumentar el valor de la
variable independiente, el valor de la variable dependiente se reduce.
Observa el ejemplo cuya ley es: f(x) = 1,25x − 1:
En esta función, la pendiente 1,25 es positiva, por lo tanto, observamos
que la vertical (variación de la ordenada) crece 1,25
cuando la horizontal (variación de la abscisa) crece 1; además la
ordenada al origen b es igual a –1.
Observemos otro ejemplo, cuya ley es: f(x) = −0,5x + 3:
En esta función, la pendiente es –0,5; es decir negativa, por lo
tanto observamos que la vertical decrece –0,5 cuando la horizontal
crece 1; además la ordenada al origen b es igual a 3.
Dejemos por un momento el estudio de la función de primer grado
o afín en términos generales, pues en caso de que la ordenada
al origen b sea nula (b = 0), la función de primer grado recibe
el nombre de función lineal o de proporcionalidad directa.
5.1. Función lineal o de proporcionalidad directa
La ley de formación de la función lineal es: f(x) = mx; m ≠ 0.
Observemos los siguientes ejemplos que nos ayudarán a estudiar la función
lineal:
Un ciclista se desplaza a una velocidad constante de 40 km/h. La función
que relaciona el espacio recorrido y el tiempo transcurrido viene dada en la
siguiente tabla de valores.
1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
y
2
-2
-3
-1
3
4
5
y=1,25x-1
0
1
0
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
x
y
2
3
4
5
8
y=-0,5x+1
En este caso, la constante de proporcionalidad es:
La constante corresponde a la pendiente, que al ser positiva, expresa que
la función es creciente, y su ley de formación es f(x) = 40x
Para calcular el valor de la pendiente basta dividir la ordenada para la abscisa
en cada par ordenado de la tabla m = .
Consideremos ahora otro ejemplo.
Un embalse se encuentra lleno. Al abrir sus compuertas, el nivel del agua
desciende 1,5 cm cada hora; la función que relaciona la profundidad del
nivel del agua y el tiempo transcurrido está dada por la siguiente tabla de
valores.
En este caso, la constante de proporcionalidad es –1,5 y la ley de formación
es f(x) = −1,5x cuya pendiente es negativa y observamos su gráfica
decreciente.
En general, la función lineal o de proporcionalidad directa se define para
cualquier valor real de la variable x y expresa la relación entre dos variables
directamente proporcionales. Sus gráficas pasan por el origen.
40
1
80
2
=
120
3
=
160
4
= = 40
y
x
Nivel (y) −1,5 −3 −4,5 −6
Tiempo en horas (x) 1 2 3 4
Tiempo en horas (x ) 1 2 3 4
Espacio recorrido en kilómetros (y ) 40 80 120 160
Nivel (cm)
–4
–2
–6
1 2 3 4 x
–1
–5
–3
y Tiempo (horas)
Tiempo
(horas)
20
40
60
2 4 5
80
100
120
140
160
1 3
Espacio
(km)
■ Fig. 1
y = mx (m>0)
y = mx (m<0)
m
Y
1
1 m
Y
X X
Una función lineal o de proporcionalidad
directa es una función cuya expresión algebraica
es de la forma y = mx (m ≠ 0), siendo
m la constante de proporcionalidad.
Su gráfica es una recta que pasa por el origen
de coordenadas y tiene pendiente m.

Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y = 3x b) y = –2x c) y = 0,4x d) y = –0,8x
Indica en cada una de ellas la pendiente y explica por qué pasan por el origen.
La sandía es una fruta con muy bajo aporte energético: 30 kcal/100 g. Elabora una tabla de la energía aportada
en función de la masa de sandía ingerida y dibuja la gráfica correspondiente. Calcula la pendiente de la recta
obtenida.
Un alimento con un alto aporte energético son las nueces: 675 kcal/100 g. Elabora la gráfica de la energía aportada
en función de la masa de nueces ingerida y compárala con la de la actividad anterior.
28
27
26
Actividades 
Obtención de la expresión algebraica
de una función lineal
En el siguiente ejemplo, vamos a aprender el procedimiento para obtener la
expresión algebraica de una función lineal a partir de una tabla de valores.
También podemos obtener la expresión algebraica de una función lineal a partir de su gráfica.
Escribe la expresión algebraica de la función dada por la
siguiente tabla de valores.
Veamos si las variables son directamente proporcionales
o no. Para ello, calculamos los cocientes entre cada
valor de la variable y y el valor correspondiente de la variable
x.
Observamos que hemos obtenido en todos los casos el
mismo valor.
Así, las variables x e y son directamente proporcionales
con constante de proporcionalidad . Se trata, pues,
de una función lineal cuya expresión algebraica es de la
forma y = mx, siendo m la constante de proporcionalidad.
Por tanto, la expresión algebraica de esta función lineal es
y = − x.
1
2

1
2

=

=

=
1 −
2
2
4
3
6
4
8
ejemplo 10
x 2 4 6 8
y −1 −2 −3 −4
ejemplo 11
Se observa que la gráfica de la función es una recta que pasa por el origen
de coordenadas. Se trata, por tanto, de una función lineal o de proporcionalidad
directa cuya expresión algebraica es de la forma y = mx,
siendo m la pendiente de la recta.
Para hallar la pendiente consideramos un punto cualquiera de la gráfica,
por ejemplo, el punto de coordenadas (1, −1).
La pendiente de la recta es el cociente entre y = −1 y x = 1. Por tanto, la
pendiente es m = −1.
Así, la expresión algebraica de la función es y = −x.
Escribe la expresión algebraica de la función
dada por la siguiente gráfica.
Y
–3
–1
1 2 3 4 X
–2
–4
5
Escribe la expresión algebraica de la función dada
por la siguiente tabla de valores.
Escribe la expresión
algebraica
de la
función dada
por la gráfica
de la derecha.
29 30
Actividades 
x 2 3 5 8
y 1,5 2,25 3,75 6
Distancia (km)
500
400
300
200
100
2 4
Tiempo (horas)
0 1 3 5
100
5.2. Función afín
Para definir la función afín, vamos a estudiar dos situaciones.
A las 0 horas pasa por el punto de control de una carrera de autos, un piloto
que circula a una velocidad constante de 90 km/h.
La función que relaciona la distancia a la que se encuentra el auto del punto de
control con el tiempo transcurrido viene dada por esta tabla de valores.
Podemos observar que es una función de proporcionalidad directa cuya expresión
algebraica es y = 90 x. Observa su gráfica en la figura 1.
Veamos a continuación la segunda situación.
En ese momento a otro piloto que también circula a 90 km/h le faltan 50 km
para llegar al control.
En este caso tendremos la siguiente tabla.
La gráfica de esta función (fig. 2) es una semirrecta cuyo punto inicial tiene
coordenadas (0, −50). El valor de la ordenada de este punto, −50, es la ordenada
en el origen.
Observa que cuando la variable x incrementa su valor en 1, 2, 3... unidades,
se produce un incremento de la variable y de 90, 180, 270... unidades, respectivamente.
El cociente entre la variación de la variable y con relación al incremento de la variable
x es un valor constante igual a 90: .
Este valor constante que se representa por m es la pendiente y mide la inclinación
de la semirrecta respecto al semieje positivo de abscisas.
La expresión algebraica de la función que nos da la distancia al control del
segundo auto es y = 90 x − 50. Diremos que es una función afín.
90
1
180
2
270
3
= = = 90
Tiempo transcurrido en horas (x ) 0 2 3 5
Distancia al control en km (y ) 0 180 270 450
1
90
4
360
1
40
4
310
Tiempo transcurrido en horas (x ) 0 2 3 5
Distancia al control en km (y ) −50 130 220 400
y
x
b
y = mx + b (m>0) y = mx + b (m<0)
x
b
Una función afín es una función cuya expre- y
sión algebraica es de la forma y = mx + b
(m ≠ 0), siendo b la ordenada en el origen.
Su gráfica es una recta que pasa por el
punto (0, b) y tiene pendiente m.

Representa gráficamente las siguientes funciones afines: a) y = 2 x + 3 b) y = −x + 4
— Indica en cada una de ellas la pendiente y la ordenada en el origen.
31
Actividades 
■ Fig. 1
■ Fig. 2
Distancia (km)
500
400
300
200
100
2 4 5
Tiempo (horas)
0 1 3
Distancia (km)
500
400
300
200
100
2 4
Tiempo (horas)
0 1 3 5
100
La función lineal y = 90 x y la
función afín y = 90 x − 50 tienen
la misma pendiente.
 FÍJATE
Las funciones lineales son un
caso particular de funciones afines
en las que b = 0.
 FÍJATE
Obtención de la expresión algebraica
de una función afín
Aprendamos en el siguiente ejemplo cómo obtener la expresión algebraica de
una función afín a partir de una tabla de valores.
También podemos obtener la expresión algebraica de una función afín a partir
de su gráfica. Veamos un ejemplo.
ejemplo 12
Escribe la expresión algebraica de la función dada por
la siguiente tabla de valores.
Observamos que el cociente entre la variación de la variable
y, Δy, con relación al incremento de la variable x,
Δx, es un valor constante igual a 2.
Este valor constante es el valor de la pendiente, m.
m
y
x
= =
− −

=
− −

=
− −

=
Δ
Δ
1 1
2 1
3 1
3 1
5 1
4 1
2
( ) ( ) ( )
Se trata, por tanto, de una función afín.
Sustituimos el valor de la pendiente en la expresión algebraica
y = mx + b. Así, la expresión algebraica de la función
es y = 2 x + b.
Calculamos la ordenada en el origen. Para ello, consideremos
cualquier punto de la tabla de valores, por ejemplo,
el de coordenadas (1, −1).
Al sustituir sus coordenadas en la expresión algebraica de
la función y = 2 x + b, tendrá que verificarse la igualdad
obtenida.
−1 = 2 · 1 + b ⇔ −1 = 2 + b ⇔ b = −3
Por lo tanto, la expresión algebraica de la función es
y = 2 x − 3.
x 1 2 3 4
y −1 1 3 5
ejemplo 13
Escribe la expresión algebraica de la función dada por
la siguiente representación gráfica.
Como la recta no es paralela al eje de abscisas, no se
trata de una función constante. También observamos
que la recta no pasa por el origen de coordenadas, por
tanto, no se trata de una función lineal.
Así pues, se trata de una función afín.
Para obtener su expresión algebraica, tenemos que calcular
la pendiente y la ordenada en el origen.
— Calculamos la ordenada en el origen b. Como la gráfica
corta al eje de ordenadas en el punto (0, −2), la ordenada
en el origen es b = −2. Así pues, la expresión algebraica
de la función es y = mx − 2.
— Calculamos la pendiente m. Para ello, nos fijamos en la
gráfica y consideramos un punto de la recta cuyas
coordenadas sean fáciles de determinar, por ejemplo,
el punto de coordenadas (3, −1). Como es un punto de
la recta, tendrá que verificar la ecuación de la recta:
−1 = m · 3 − 2 ⇔ 3 m = 1 ⇔
Así, la expresión algebraica de la función es y = x − .
1
3
2
m =
1
3
5 6
–1
–2
y
1
–1
0 2 3 4 x
Escribe la expresión algebraica de la función dada
por la siguiente tabla de valores.
Escribe la expresión
algebraica de la función
dada por la
gráfica de la derecha.
32 33
Actividades 
–1
–2
2
1
y
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x
x 1 2 3 4
y 3 1 −1 −3
El símbolo Δ significa ‘incremento
o variación de’ y corresponde
a la diferencia entre dos
valores.
Notación
6 Ecuación de una recta
Ya hemos estudiado que las gráficas de las funciones constantes y de las afines
son siempre rectas.
Además de éstas hay otro tipo de rectas que no corresponden a una función,
que son las rectas verticales. Veamos un ejemplo.
Consideremos tres puntos con la misma abscisa, por ejemplo (2, −3), (2, −1) y
(2, 1).
Si representamos estos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas,
observamos que están alineados y que pertenecen a una recta paralela al eje
de ordenadas.
Fijémonos en que el mismo valor 2 de la variable x se
relaciona con cualquier valor de la variable y. Por
este motivo, esta gráfica no corresponde a la de una
función. No obstante, podemos describir esta situación
mediante la expresión x = 2.
y = b y = mx (m ≠ 0) y = mx + b (m ≠ 0, b ≠ 0)
Toda recta paralela al eje de abscisas
tiene una ecuación de la forma
y = b, siendo b la ordenada en el origen,
y es la gráfica de una función
constante.
Toda recta que pasa por el origen
de coordenadas y que no es paralela
a los ejes de coordenadas tiene
una ecuación de la forma y = mx (m
≠ 0), y es la gráfica de una función
afín lineal.
Toda recta que no pasa por el origen
de coordenadas y que no es
pa ralela a los ejes de coordenadas
tiene una ecuación de la forma
y = mx + b
(m ≠ 0, b ≠ 0), y es la gráfica de una
función afín no lineal.
4
3
2
1
–2
–3 –2 –1 1 2 3 x
y
–1
4
3
2
1
–2
–3 –2 –1 1 2 3 x
y
–1
4
3
2
1
–2
–3 –2 –1 1 2 3 x
y
–1
b
–1
–1
–2
–3
2
1
1 2 3 x
y
Toda recta paralela al eje de ordenadas tiene
una ecuación de la forma x = a. Esta recta no
corresponde a la gráfica de una función.

Dibuja una recta que pase por el punto A(3, 4) y cuya ordenada en el origen
sea −2.
Representa gráficamente las siguientes rectas.
a) y = −3 b) y = −8 c) x = −6
— Indica a qué eje de coordenadas es paralela cada una de ellas.
35
34
Actividades 
El eje de abscisas viene dado
por la recta y = 0 y el eje de ordenadas
por la recta x = 0.
 FÍJATE
Una función es una relación de
dependencia entre dos variables
de modo que a cada variable
x le corresponde un único
valor de la variable y.
MUCHO OJO 
6.1. Obtención de la ecuación de una recta
Hemos visto que la expresión general de una recta que no es paralela al eje
de ordenadas es y = m x + b. En caso de que la recta pase por el origen de
coordenadas el valor de b sería 0 y en caso de que la recta fuese paralela al
eje de abscisas el valor de m sería 0.
Si queremos obtener la ecuación de una recta, basta con conocer dos puntos
de ésta, o bien, un punto de la recta y el valor de su pendiente.
En los siguientes ejemplos, aprenderemos cómo obtener la ecuación de una
recta a partir de dos puntos de ésta.
Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 5) y B(2, −3).
Si los puntos A(1, 5) y B(2, −3) pertenecen a la recta, al sustituir sus coordenadas
en la ecuación y = mx + b, deben verificarse las igualdades.
5 = m · 1 + b −3 = m · 2 + b
Hemos de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
5 = m · 1 + b
−3 = m · 2 + b
Al resolverlo, comprobamos que es un sistema compatible determinado cuya solución
es m = −8 y b = 13.
Por tanto, la ecuación de la recta es y = −8 x + 13.
ejemplo 14
Escribe la ecuación de la recta de la figura siguiente.
Determinamos dos puntos de la recta, por ejemplo, P y Q: P(0, 2) y Q(2, 0).
A partir de aquí, procedemos como en el ejemplo 14.
Los puntos P(0, 2) y Q(2, 0) deben verificar las igualdades:
2 = m · 0 + b 0 = m · 2 + b
De la primera ecuación, obtenemos:
b = 2
Sustituyendo en la segunda ecuación:
2m = −2 ⇔ m = −1
La ecuación de la recta es y = −x + 2.
ejemplo 15
5
5 x
y
4
3
2
1
–3 –2 –1 1 2 3 4 6 7
La pendiente de la recta determinada
por dos puntos es el
cociente entre la variación de la
variable y con relación al incremento
de x.
Así, en el ejemplo 7, dados los
puntos A(1, 5) y B(2, −3), la pendiente
de la recta que pasa por
A y B es:
m =
− −

=

= −
3 5
2 1
8
1
8
 FÍJATE

Los siguientes ejemplos nos muestran la obtención de la ecuación de una
recta a partir de la pendiente y un punto.
Halla la ecuación de una recta con pendiente −5 que pasa por el punto M(3, −1).
La pendiente de la recta es −5, es decir m = −5. Por tanto, la ecuación de la recta es
y = − 5 x + b.
Como la recta pasa por el punto M(3, −1), se cumplirá que:
−1 = −5 · 3 + b ⇒ −1 = −15 + b ⇒ b = 14
Tenemos que la ecuación de la recta es y = −5 x + 14.
ejemplo 16
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(−2, 1) y es paralela a la recta
y = 4 x − 5.
Si la recta es paralela a y = 4 x − 5, tendrá la misma pendiente, es decir, m = 4. Por
tanto, la ecuación de la recta es y = 4 x + b.
Como la recta pasa por el punto P(−2, 1), se tiene que:
1 = 4 · (−2) + b ⇒ 1 = −8 + b ⇒ b = 9
Así, la ecuación de la recta es y = 4 x + 9.
ejemplo 17
Halla la ecuación de la recta de la figura del ejemplo 15 calculando en primer lugar la pendiente.
El valor de la pendiente es
La ecuación de la recta es y = − x + b.
Tomamos un punto de la recta, por ejemplo el M(1, 1). Este punto cumplirá:
1 = (−1) · 1 + b ⇒ 1 = −1 + b ⇒ b = 2
Por tanto, la ecuación de la recta es y = −x + 2.
m
y
x
= =
− −
− −
= −
Δ
Δ
4 1
2 3
1
( )
ejemplo 18
3
y
x
5
4
3
2
1
5
Δx
Δy M
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 4 6
Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por
los siguientes puntos:
a) A(2, −1) y B(4, 3) b) P(−3, 2) y Q(1, −4)
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el
punto P(1, −6) y es paralela a la recta y = −6 x + 2.
Determina la ecuación de la recta que pasa por el
punto P(2, −3) y cuya pendiente es igual a 1.
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto
A(1, −1) y cuya ordenada en el origen es igual a 3.
Halla las ecuaciones
de las rectas
r, s y t a partir de
la gráfica de la derecha.
40
39
38
37
36
Actividades 
–3 –1
y
x
2
4
–2
–4 –2 2
s
t r
1 3
1
5
La ecuación y = 4 x + b representa
todas las rectas paralelas
que tienen pendiente m = 4.
Decimos que y = 4 x + b es la
ecuación de un haz de rectas
paralelas.
 FÍJATE
y
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x
7 Función de proporcionalidad inversa
El tiempo que tarda en llenarse una piscina está en función de la superficie
que tenga la boca del grifo.
Si expresamos esta dependencia mediante una tabla de valores, observamos
que al multiplicar por una constante la superficie de la boca, el tiempo de llenado
queda dividido por la misma constante. Se trata, pues, de dos magnitudes inversamente
proporcionales.
Se observa que el producto de un par de valores correspondientes es siempre
el mismo. Dicho producto corresponde a la constante de proporcionalidad
inversa.
2 · 24 = 4 · 12 = 6 · 8 = 8 · 6 = 48
En general, x · y = 48; es decir, la expresión algebraica de esta función es:
Se trata de una función de proporcionalidad inversa. Esta función expresa la
relación entre dos variables inversamente proporcionales.
En nuestro ejemplo, las dos variables sólo pueden tener valores positivos y la
gráfica de esta función es una curva situada en el primer cuadrante de los ejes
de coordenadas, que denominamos rama de una hipérbola.
En general, una función de proporcionalidad inversa está definida para cualquier
valor de la variable x distinto de 0, ya que no es posible la división entre 0.
7.1. Gráfica
Veamos, ahora, la función definida por la siguiente expresión
algebraica:
A partir de la expresión algebraica, deducimos que las variables
son inversamente proporcionales, con una constante
de proporcionalidad inversa k = x · y = 2.
La tabla de valores correspondiente es:
La gráfica de esta función es una curva, con dos ramas, denominada hipérbola.
y
x
=
2
y
x
=
48
Superficie en cm2 (x)
Tiempo en días (y)
2
24
4
12
6
8
8
6
5
10
15
20
25
y
5 10 15 20 25 x
Tiempo (días)
Superficie (cm ) 2
y
x
Una función de proporcionalidad inversa es una función cuya expresión
algebraica es de la forma (k ≠ 0), siendo k la constante de proporcionalidad
inversa.
y
k
x
=

x 1 2 4 −1 − 2 − 4
y 2 1 − 2 −1 −
1
2
Las ramas de la hipérbola están en el primer y el tercer cuadrantes, puesto
que la constante de proporcionalidad inversa es positiva. Esto indica que las variables
x e y tienen el mismo signo.
Consideremos ahora la función cuya expresión algebraica es:
A partir de la expresión algebraica, se deduce que las variables
también son inversamente proporcionales, con una
constante de proporcionalidad inversa k = x · y = −2.
Confeccionamos la correspondiente tabla de valores.
La gráfica de esta función es, pues, una hipérbola.
A diferencia de la anterior, esta curva tiene una de sus ramas en el segundo
cuadrante y la otra en el cuarto, ya que la constante de proporcionalidad inversa
es negativa. Esto indica que las variables x e y tienen distinto signo.
Si la constante de proporcionalidad inversa es positiva
(k > 0), es decir, si las dos variables tienen el mismo
signo, las ramas de la hipérbola se encuentran situadas
en el primer y el tercer cuadrantes.
Si la constante de proporcionalidad inversa es negativa
(k < 0), las dos variables tienen signo contrario y las ramas
de la hipérbola están en el segundo y el cuarto
cuadrantes.
y
x
=
−2
y
x
y
x
k
1
y= k
x (k > 0)
y
x
k
1
y= k
x (k < 0)
La gráfica de una función de proporcionalidad inversa es una curva con
dos ramas denominada hipérbola.

Determina la constante de proporcionalidad inversa y escribe la expresión algebraica
de cada una de las funciones definidas por estas tablas de valores.
a)
b)
— Represéntalas gráficamente.
41
Actividades 
x 1 2 4 −1 − 2 − 4
y − 2 − 1 −
1
2
2 1
1
2
x 1 2 3 4 5 6
y 60 30 20 15 12 10
x 2 3 5 − 6 −10 −15
y − 15 − 10 −6 5 3 2
8 Función exponencial
Se llaman función exponencial a todas aquellas que tienen su ley de formación
de la forma f(x) = ax, en donde la base a, es una constante y el exponente
x la variable independiente.
Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la demografía,
biología, administración, economía, química, física e ingeniería.
La función exponencial obliga a que la base sea positiva y diferente de uno
(a > 0 y a ≠ 1). La condición que a sea diferente de uno se debe, a que al
reemplazarlo por 1, la expresión ax transforma a la función en la función constante
f(x) = 1.
Se nos plantea la siguiente situación.
En un laboratorio se lleva a cabo el cultivo de diversas bacterias. Una de ellas
es la denominada Nitrobacter agilis, que se divide en dos, aproximadamente,
cada día. Así pues, si el primer día tenemos dos bacterias, el segundo día tendremos
cuatro y al cabo de una semana tendremos 27 = 128 bacterias.
Observa que la relación que existe entre los días transcurridos, variable x, y el
número de descendientes, variable y, es una función dada por una potencia
de base 2, cuya expresión algebraica es y = 2x.
El problema durante la primera semana genera la siguiente tabla de valores.
La función que asigna a la variable independiente x el valor y = ax se llama
función exponencial de base a, en la que a es un número real positivo
diferente de 1.

Actividades 
Considera la función exponencial f (x) = 3x y calcula:
Una función exponencial tiene por imagen del 2, el 25. ¿Cuál es su base?
Calcula:
a) Las imágenes de 2, 3 y 4 para la función f(x) = 5x.
b) Las imágenes de 2, 3 y 4 para la función .
c) Las antiimágenes de 64 y 1 para la función f (x) = 4x.
f(x)
x
=

⎝ ⎜

⎠ ⎟
1
5
44
43
a c
b d
) ( ) )
) ( ) )
f f
f f
2
1
2
2
3
4

⎝ ⎜

⎠ ⎟
− −

⎝ ⎜

⎠ ⎟
42
Para calcular una potencia con
la calculadora has de utilizar la
tecla:
Además en caso de que en la
potencia aparezca un entero negativo,
debes usar las teclas:
o
Así, para la función y = 2x, el número
de bacterias descendientes,
y, en tres días, x, será:
2 3 = 8
 
LAS TIC Y LA MATEMÁTICA
Número del día (x ) 1 3 4 6
Número de bacterias (y ) 2 8 16 64
2
4
5
32
7
128
8.1. Gráfica
Según si la base de la función exponencial y = ax es mayor o menor que 1, existen
dos tipos de gráficas. Veamos qué tipo de gráfica se obtiene para cada uno
de los casos.
• Función y = ax si a 1.
Consideramos la función, y = 2x.
Construimos una tabla para los valores de x (−2, −1, 0, 1 y 2) mediante el
empleo de la calculadora científica.
Llevamos a cabo su representación gráfica. Fíjate en que la función y = 2x
está situada por encima del eje OX, corta al eje OY en el punto (0, 1), es estrictamente
creciente y continua. Así pues:
• Función y = ax si a 1.
Consideramos la función
Como en el caso anterior, elaboramos una tabla de valores para los valores
de x (−2, −1, 0, 1 y 2).
Llevamos a cabo su representación gráfica. Fíjate en que dicha función está
situada por encima de OX, corta al eje OY en el punto (0, 1), es estrictamente
decreciente y continua. Por ello:
y
x
=

⎝ ⎜

⎠ ⎟

1
2
La función y = ax es un caso particular
de y kax en la que k = 1.
La constante k representa el valor
de y cuando x = 0. Así, por
ejemplo, si k = 1, las funciones
pasan por el punto (0, 1) y si
k = 2 entonces, las funciones pasan
por el punto (0, 2).
La función y = k ax
Las gráficas de las funciones
y = 2 xe son
simétricas respecto del eje OY.
y
x
=

⎝ ⎜

⎠ ⎟
1
2
 FÍJATE
y
x
y ax a 1
• Dominio: ; recorrido: (0, +∞)
• Intersecciones con los ejes: corta al eje OY
en el punto (0, 1).
• Es estrictamente creciente.
• Es continua.
y
x
y = ax a 1
• Dominio: ; recorrido: (0, +∞)
• Intersecciones con los ejes: corta al eje OY
en el punto (0, 1).
• Es estrictamente decreciente.
• Es continua.
y
x
Representa gráficamente e indica las características de cada una de estas funciones.
a) y = 3x b) y = 3−x c) y = 2x + 1 d) y = 2x − 1
45
Actividades 
x − 2 − 1 0 1 2
y 0,25 0,5 1 2 4
x − 2 − 1 0 1 2
y 4 2 1 0,5 0,25
Representamos gráficamente ambas funciones sobre el
mismo sistema de coordenadas cartesianas.
Observamos en la gráfica que el punto donde se cortan
las dos rectas es P(2, 24).
Por tanto, Daniel encuentra a Omar cuando lleva dos horas
de ejercicio y ambos han recorrido 24 km.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Revisa los cálculos realizados tanto en las operaciones
como en la elaboración de las tablas.
Comprueba que las coordenadas del punto P(2, 24) verifican
las expresiones algebraicas de las funciones s1 y s2.
Comprensión del enunciado
— Vuelve a leer el problema y enúncialo con tus propias
palabras.
— Anota los datos que te proporcionan y los que te piden.
Planificación de la resolución
Representamos por s1 y s2 las funciones que nos dan el
espacio recorrido por Daniel y por Omar en función del
tiempo transcurrido, variable t, desde la salida de Daniel.
Daremos valores del tiempo expresados en horas a la variable
t, puesto que la velocidad viene expresada en km/h.
Así, el tiempo de ejercicio que lleva Daniel cuando se encuentra
con Omar será la abscisa del punto de intersección
de las gráficas de las funciones s1 y s2, y el espacio
recorrido por ambos en el momento del encuentro será la
ordenada de este punto.
Ejecución del plan de resolución
Si tomamos la salida de Daniel en el instante t = 0, la expresión
algebraica de la función s1 es s1 = 12 t.
Elaboramos la tabla de valores de la función s1 para representarla
posteriormente.
Cuando Daniel empieza el ejercicio, en el instante t = 0,
Omar lleva recorridos 8 km, por lo que la expresión algebraica
de la función s2 es s2 = 8 t + 8.
Omar empezó a correr 1 h antes que Daniel, por lo que ha
salido en el instante t = −1. Partiendo de este valor, elaboramos
una tabla de valores de la función s2.
Vuelve a resolver la actividad A si tomas la salida
de Omar en el instante t = 0 y considerando los
siguientes datos:
• Daniel corre a una velocidad constante de
15 km/h.
• Omar corre a una velocidad constante de
10 km/h.
• Omar sale 30 minutos antes que Daniel.
Un auto parte de la ciudad A, que se encuentra
en el kilómetro 0 de una carretera, y mantiene
una velocidad constante de 60 km/h. Otro auto
sale 2 h más tarde del mismo lugar y circula por
la misma carretera con una velocidad constante
de 80 km/h.
Representa en un mismo sistema de coordenadas
las gráficas de las funciones que re lacionan
los kilómetros recorridos por cada auto en función
del tiempo transcurrido y contesta:
a) ¿Cuál de los dos autos pasa antes por una gasolinera
que está situada en el kilómetro 300?
b) ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
c) ¿Cuántos kilómetros habrán recorrido has ta
que se encuentran?
47
46

Tiempo en horas (t ) 0 1 2 3
Espacio en kilómetros (s 1) 0 12 24 36
Tiempo en horas (t ) −1 1 2 3
Espacio en kilómetros (s 2 ) 0 16 24 32
0
8
s1 = 12 t
s2 = 8 t + 8
Tiempo (h)
Espacio (km)
60
48
36
24
12
–1 1 2 3 4
Cómo resolver problemas
Daniel corre a una velocidad constante de 12 km/h. Su
vecino Omar ha salido a correr 1 h antes a una velocidad
constante de 8 km/h.
Determina el tiempo de ejercicio que lleva Daniel cuando
se encuentra con Omar y el espacio recorrido por ambos
hasta este momento.
En resumen
Función afín
Función lineal o
de proporcionalidad
directa
Ecuación y = mx + b x = a
de una recta
o de la
forma
si m = 0,
es la expresión
algebraica de una
Magnitudes
proporcionales
Función constante
si b = 0 y m ≠ 0,
es la expresión
algebraica de una
si m ≠ 0,
es la expresión
algebraica de una
es un caso
particular de
Funciones de primer grado
si son magnitudes directamente
proporcionales, dan lugar a una
es de la
forma
son
• Un número expresado en notación científica consta de un número decimal cuya parte entera tiene una sola cifra no nula, multiplicado
por una potencia de 10 de exponente entero.
Función de
proporcionalidad
inversa
Función exponencial
es de la forma
es de la forma
y k/x
y a x
cuya gráfica es
cuya gráfica es
si k > 0
si a > 1
si k < 0
si a < 1
y
x
y
x
y
x
y
x
Síntesis
Ejercicios y problemas integradores
• Un autobús interprovincial efectúa su recorrido cuya distancia es 480 km
y su velocidad media es 80 km/h.
a) Calcula el tiempo que tardará en recorrer el trayecto.
b) Escribe una función que relacione el espacio recorrido con el tiempo.
c) Construye la tabla de valores de la función.
d) Representa gráficamente la función en el intervalo de tiempo que dura todo
el trayecto.
e) Calcula la velocidad media que debe alcanzar el vehículo para efectuar
el recorrido en una hora menos.
Solución
Para resolver el problema partimos de asignar letras a las variables que se
presentan en el mismo, hay dos, al “tiempo transcurrido” desde el inicio del
viaje, variable que es independiente, le asignaremos a la “x” y a la “distancia
recorrida”, variable dependiente del tiempo, le asignaremos a la “y”. Empecemos
a resolver:
a) El tiempo que tardará en recorrer está dado por la división entre la distancia
y la velocidad (que indica la distancia recorrida por hora).
b) Si por cada hora transcurrida, la distancia recorrida es de 80 km, se evidencia
que la ley de formación es: y = 80x.
Esta ley refleja el enunciado e inclusive ratifica el cálculo anterior, pues
si reemplazamos al tiempo por x = 6, verificamos que la distancia recorrida
es de 480 km.
c) Tabla de valores:
d) Representaremos únicamente el segmento que va desde el origen, inicio
del viaje, (0, 0) hasta el fin del viaje (6, 480).
y
x
0 1
80
(0, 0)
(1, 80)
(2, 160)
(3, 240)
(4, 320)
(5, 400)
(6, 480)
160
240
320
400
480
2 3 4 5 6
Tiempo = 480 km
80 km/h
= = 6 h
Tiempo (x)
en horas
Distancia
recorrida (y)
en kilómetros
0 1 2 3 4 5 6
0 80 160 240 320 400 480
xv
Distancia en kilómetros
Tiempo en horas
e) Si queremos saber la velocidad media del mismo viaje, pero que tarde
una hora menos, tomaremos el valor x = 5, para la distancia de 480 km.
Recuerda: No hay que exceder los límites de velocidad establecidos.
Un avión consume 50  (litros) de combustible en el despegue y 30  en el
aterrizaje. El consumo durante la travesía es de 20 /km.
a) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el consumo de
combustible con la distancia recorrida (incluyendo el despegue y el aterrizaje).
b) Calcula el consumo de combustible en una travesía de 7 000 km.
c) Determina la distancia que puede recorrer si carga 9 000  de combustible.
Solución
a) Definamos las variables, la independiente “x” describe el kilometraje, mientras
que la dependiente “y”, el consumo del combustible en litros. El
consumo total es la suma del consumo por el despegue, más el consumo
de vuelo, más el consumo de aterrizaje.
b) El consumo de combustible en la travesía de 7 000 km es calculado al
reemplazar x = 7 000 en la expresión algebraica encontrada.
c) La distancia que puede recorrer con una carga de 9 000  es calculado
al reemplazar y = 9 000 en la expresión algebraica.
R: a) La expresión algebraica de la función que relaciona el consumo de
combustible con la distancia recorrida es y = 20x + 80.
b) El consumo de combustible en una travesía de 7 000 km es 140 080 
c) La distancia que puede recorrer con una carga de 9 000  es 446 km.
Velocidad media = 480 km
5 h
= 96 km/h
Consumo total = 50 + 20 por kilómetro+ 30
y = 20x + 80
y = 20x + 80
y = 20  7 000 + 80
y = 140 080 
y = 20x + 80
9 000 = 20x + 80
20x = 8 920
x =
8 920
20
x = 446 km

Notación científica
Resuelve con la calculadora las operaciones indicadas
en la siguiente tabla expresando cada uno
de los resultados obtenidos en notación científica.
Entra en estas páginas web: http://www.webmath.
com/k8round.html

http://www.webmath.com/sn_multiply.html

http://www.webmath.com/sn_divide.html

y comprueba los resultados de esta actividad.
Función constante
¿Cuántos puntos de la gráfica de una función constante
necesitamos conocer para deducir su expresión
algebraica?
La entrada a una piscina cuesta $ 3. Construye una
tabla de valores y representa gráficamente el gasto
que le supone a una persona acceder a la piscina
respecto a los kilómetros que ha nadado.
Representa gráficamente las siguientes funciones
constantes.
a) y = −8 b) y = 6 c) y = −3
Función de primer grado
¿Cuántos puntos de la gráfica de una función lineal
necesitamos conocer para deducir su expresión algebraica?
¿Y de una función afín no lineal?
¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas
corresponden a funciones lineales, afines o constantes?
¿Cuáles no son funciones?
a) y = 8 x − 2 c) x = 4
b) y = −5 d) y = 7x
La gráfica de una función lineal pasa por el punto
(2, 6). Indica cuál de los siguientes puntos pertenece
a la gráfica de dicha función.
a) (4, 6) b) (1, 3) c) (2, 4)
Representa gráficamente las siguientes funciones lineales.
a) y = x b) y = −x c) y = −6 x
— Indica en cada una de ellas la pendiente de la
Construye una tabla de valores y representa gráficamente
las funciones de proporcionalidad directa dadas
por estas relaciones.
a) El precio de una vivienda y su superficie, si cada
metro cuadrado cuesta $ 1 500.
b) El gasto en gasolina de un auto y los kilómetros recorridos,
si cada 100 km gasta $ 8.
Las tarifas mensuales de tres compañías de teléfono
son las siguentes:
A: $ 15
B: $ 0,10 por minuto
C: $ 5 más $ 0,05 por minuto.
Indica, para cada una de las compañías, el tipo de
función que relaciona el gasto mensual con el tiempo
de las llamadas.
Representa gráficamente la función dada por la siguiente
tabla de valores.
— Indica qué tipo de función has representado.
— Calcula la pendiente y la ordenada en el origen.
Representa gráficamente las siguientes funciones
afines.
a) y = x − 6 b) y = −2 x + 1 c) y = 3 x + 2
— Indica en cada una de ellas la pendiente y la ordenada
en el origen.
La tarifa de un taxi en un recorrido interurbano es
de $ 2 de arranque más $ 0,4 por cada kilómetro recorrido.
Representa gráficamente la función que relaciona el importe
que hay que pagar con la longitud del recorrido.
Halla las expresiones algebraicas de las funciones
afines dadas por cada una de las siguientes tablas
de valores.
a) b)
Representa gráficamente estas funciones.
a) y = −3x c) y = −2 x +4 e)y = 2 x
b) y = 2 x −3 d) y =5 f) y = −6
— Indica si se trata de funciones lineales, afines o constantes.
Señala en cada una de ellas la pendiente y
la ordenada en el origen.
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
62
Distancia en km (x) 1 2 3 4
Importe en dólares (y) 3,8 4,6 5,4 6,2
x −1 2
y −5 7
x −5 5
y −4 −2
Ejercicios y problemas
Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos
A B A + B A − B A · B A : B
3,2 · 106 2,5 · 104
−6,2 · 1010 2,5 · 1012
1,5 · 10−4 1,512 · 10−4
1,25 · 104 3,1875 · 106
En tu cuaderno
Halla la expresión algebraica de cada una de las
funciones indicadas a continuación.
a) Una función constante cuya ordenada en el origen
es 5.
b) Una función constante que pasa por el punto
P (− 3, 4).
c) Una función lineal cuya pendiente es − 3.
d) Una función lineal que pasa por el punto
P (3, 2).
Halla la expresión algebraica de la función afín que
pasa por el punto P (2, 7) y cuya representación gráfica
es una recta paralela a la gráfica de la función
y = 2 x.
Halla la expresión algebraica de una función afín f si
f (1) + 3 = f (2) y 4 · f (2) = f (6).
Representa gráficamente la función f dada por la siguiente
tabla de valores.
a) Indica qué tipo de función has representado.
b) Determina la pendiente de la recta y la ordenada en
el origen.
c) Halla el dominio y el recorrido de la función.
d) Determina los puntos de corte, los intervalos de crecimiento
y la tasa de variación media en el intervalo
[1, 3].
e) Obtén el valor de f para .
Halla la expresión algebraica de la función cuya representación
gráfica es una recta en los siguientes casos.
a) Pasa por el punto P (−3, 2) y forma un ángulo de
45º con el semieje positivo de abscisas.
b) Pasa por el punto Q (3, 1) y forma un ángulo de 30º
con el semieje positivo de abscisas.
Halla la expresión algebraica de la función afín que
pasa por el punto P (1, − 5) y su ordenada en el origen
es igual a − 2.
Halla la expresión algebraica de la función afín cuya
representación gráfica es una recta que pasa por el
punto A (− 2, 1) y cuya pendiente es igual a
Ecuación de una recta
¿Qué condición deben cumplir las ecuaciones de
dos rectas para que sean paralelas?
¿Cuántas rectas pasan por dos puntos dados?
¿Cuántas rectas pasan por un punto dado? ¿Y que
pasen por un punto y tengan pendiente igual a 4?
Razona tus respuestas.
Escribe las expresiones algebraicas de estas rectas.
Escribe las expresiones algebraicas de las funciones
afines si sus gráficas pasan por los puntos indicados.
a) A(−1,−3) y B(1, 9)
b) P(−2, 3) y Q(4, −6)
Determina la ecuación de la recta en los siguientes
casos.
a) Pasa por los puntos A(−1, 10) y B(2, −17).
b) Pasa por el punto P(5, −1) y es paralela a la recta
y = 7 x + 3.
c) Pasa por el punto A(3, −1) y la ordenada en el
origen es igual a −5.
d) Pasa por el punto P(8, 5) y la pendiente es 2.
Función de proporcionalidad inversa
Queremos construir triángulos cuya área sea 6 cm2.
a) Completa la siguiente tabla de valores correspondiente
a la función que relaciona la base con la
altura de cada uno de los triángulos.
b) Representa gráficamente la función obtenida y
escribe su expresión algebraica. ¿De qué tipo de
función se trata?
72
73
74
71
70
64
65
66
x = x = −
1
2
1
2
y
67
68
69
4
3

63
75
3
–3
y
x
2
4
–2
–4 –3 –2 –1 2
–4
1
0
4
1 3
x
y
0
0
1
12
2
24
3
36
Base en cm (x) 2 4 6 8 10
Altura en cm (y)
En tu cuaderno

Velocidad en km/h (x) 20 40 60 80 100 120
Tiempo en horas (y) 30 15 10 7,5 6 5
El tiempo que tarda un auto en recorrer una determinada
distancia depende de la velocidad a la que
circule. La función que relaciona la velocidad constante
a la que circula un auto con el tiempo que tarda
en recorrer 600 km viene dada por esta tabla de valores.
a) Representa gráficamente la función dada por esta
tabla de valores y escribe su expresión algebraica.
¿De qué tipo de función se trata?
b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 600 km un auto
cuya velocidad constante sea de 75 km/h?
En esta tabla aparecen algunos valores correspondientes
a una función de proporcionalidad inversa.
a) Determina la constante de proporcionalidad inversa
y la expresión algebraica de la función.
b) Completa la tabla de valores y representa gráficamente
la función.
Función exponencial
Halla los valores desconocidos de la siguiente tabla
de valores sabiendo que corresponde a una función de
la forma f (x) = k · ax − 1 (a es un número real positivo
diferente de 1).
En un laboratorio hay dos cultivos de bacterias cuyos
respectivos crecimientos vienen dados por las funciones
A(n) = 5 · 1,32n y B(n) = 2 · 2,4n, donde n es el tiempo expresado
en horas y A(n) y B(n) los miles de bacterias.
a) Utiliza la calculadora científica y completa la siguiente
tabla.
b) A partir de los datos que aparecen en la tabla, indica
aproximadamente al cabo de cuánto tiempo los
dos cultivos tendrán el mismo número de bacterias.
El gráfico de la función f(x) = k · ax (a es un número real
positivo diferente de 1) pasa por el punto P (0, 5) y la
imagen de 2 por dicha función es el doble de la imagen
de 1. Halla los valores de k y de a.
En una ciudad viven 2,5 millones de habitantes y su
tasa de crecimiento anual en los últimos años ha
sido del 6 %. Si se mantiene esta tasa de crecimiento
en los próximos años:
a) Halla la función que permite calcular el número
de habitantes en función de los años transcurridos
y completa la siguiente tabla.
b) Representa gráficamente la función obtenida.
Aplicación en la práctica
Para ir a patinar un día festivo con los compañeros
y las compañeras de clase alquilamos unos patines.
El precio del alquiler es de $ 12 diarios.
a) Representa gráficamente la función que relaciona
el importe del alquiler según el número de horas
diarias de uso de los patines.
b) ¿Cuál es la pendiente de la recta obtenida?
El metro cuadrado de papel que se utiliza para empapelar
una habitación de 40 m2 cuesta $ 3.
a) Confecciona una tabla de valores y representa
gráficamente la función que relaciona los metros
cuadrados de pared con el importe.
b) ¿Cuánto cuesta el papel necesario para empapelar
toda la habitación?
La longitud de la sombra que proyecta un edificio, a
una hora determinada, y la altura del edificio son
magnitudes directamente proporcionales. Indica las
expresiones algebraicas de las funciones de proporcionalidad
directa que se obtienen en los siguientes
casos.
a) Un edificio de 24 m, a las 8 de la mañana, proyecta
una sombra de 30 m.
b) El mismo edificio, a las 10 de la mañana, proyecta
una sombra de 20 m.
— Construye una tabla de valores para los 6 m,
12 m, 18 m y 24 m de altura del edificio, y representa
gráficamente ambas funciones.
— Determina la pendiente de cada recta.
77
78
79
80
81
82
83
84
76
x − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 5
y
1
5
1
10

(x) 1 2 3 4
f (x) 6,528 40,8
n 0 1 2 3 4
A (n)
B(n)
Tiempo transcurrido
en años (x)
0 2 4 6 8 10
Número de habitantes
en millones (y)
— ¿Qué crees que ocurrirá a las 11 de la mañana?
¿Las sombras serán mayores o menores?
Hay dos gimnasios que prestan sus servicios en el
barrio, el primero llamado “Cuerpo sano” establece
un costo semanal de $ 7 con obligatoriedad de inscripción
mínima de 5 semanas siendo la primera
gratuita, el otro gimnasio “Salud y deporte” propone
una inscripción mínima de dos semanas a un valor
de $ 6 semanal.
a) Construye, para cada uno de los gimnasios, la tabla
de valores relativa a las diez primeras semanas
de inscripción.
b) Expresa algebraicamente como varía el costo en
cada uno de los gimnasios al aumentar el tiempo
de inscripción.
c) Representa gráficamente las funciones obtenidas
para cada gimnasio.
d) ¿Cuánto pagará una persona al cabo de 5 semanas
de asistencia en cada uno de los gimnasios?
e) ¿Al cabo de cuantas semanas es más económico
el gimnasio “salud y deporte”
f) El valor de inscripción pagado por una persona
es de $ 48 ¿En qué gimnasio se inscribió?
¿Cuántas semanas?
Un atleta participa en la carrera 10 K (10 km), organizada
por la Federación Provincial de Deportes, él
mantiene una velocidad de 5 m/s.
a) ¿A qué distancia de la partida se encontrará luego
de transcurrir 5 minutos? ¿20 minutos?
b) ¿Al cabo de cuánto tiempo se hallará a 4 km de la
partida?
c) ¿Cuánto tiempo le faltará por recorrer si ha llegado
al kilómetro 7?
d) Escribe la expresión algebraica de la función que
relaciona la distancia a la que se halla el atleta de
la partida.
e) Representa gráficamente dicha función.
Formen equipos y busquen tablas de valores correspondientes
a estas relaciones.
• Cifras de población de varias provincias del país.
• Temperatura media de varias provincias del país
durante el primer trimestre de 2011.
— Representen gráficamente dichos valores e interpreten
oralmente las gráficas presentadas.
Puedes informarte en la página http://www.inec.gob.ec
Más a fondo
En un jardín rectangular se quiere reservar un espacio
triangular para construir un parterre.
a) Expresa el área del parterre A(x) en función de x.
b) ¿Qué valores puede tener x?
c) Halla A(2) y A(4).
d) Expresa el área de la parte del jardín que no tiene
parterre, B(x), en función de x.
e) Representa gráficamente las funciones A(x) y
B(x).
f) ¿Pueden estar situadas las gráficas de las funciones
A(x) y B(x) en el segundo cuadrante?
Un ciclista parte de un pueblo A hacia un pueblo B
con una velocidad constante de 40 km/h. En el mismo
instante, otro ciclista parte del pueblo B hacia el
pueblo A con una velocidad constante de 60 km/h.
Si la distancia entre los dos pueblos es de 100 km,
escribe las expresiones algebraicas de las funciones
que relacionan con el tiempo las siguientes
magnitudes.
a) La distancia del primer ciclista al pueblo A.
b) La distancia del segundo ciclista al pueblo A.
c) La distancia que separa los dos ciclistas.
85
86
87
88
89
8 m
4 m
x
1 m

@
En tu cuaderno
Una disolución de 3,6 · 1024 partículas se ha llevado a
ebullición y en una hora se ha evaporado el 48 % de la
disolución. ¿Cuántas partículas quedan finalmente?
Sobre un prisma cuadrangular, cuya base tiene 4 cm
de lado, se apoya una pirámide de igual base que el
prisma y de altura 3 cm.
a) Determina la función de primer grado que expresa
el volumen de este sólido con relación a la altura
del prisma.
b) Representa gráficamente la función anterior.
c) Halla el volumen del sólido si la altura del prisma es
de 2 cm.
En una esquina de una parcela cuya forma es la de
un triángulo rectángulo se quiere construir una casa
rectangular cuya superficie sea la mayor posible. Formen
grupos de 3 alumnos, observen la figura y calculen
cuáles deben ser sus dimensiones.
Representamos por x e y las dimensiones del rectángulo.
Por semejanza de triángulos:
Representamos la función :
La función tiene un máximo en x = 15.
Si x = 15, entonces:
.
Así, el área será máxima si el rectángulo tiene
15 m de base y 10 m de altura.
En una empresa dedicada a la construcción de
grúas han comprobado que los gastos mensuales (en
millares de dólar) que produce la fabricación de x grúas
vienen dados por la función G(x) = x + 9 y que los
ingresos (en millares de dólar) que proporciona su venta
vienen dados por la función I(x) = −x2 + 7 x +1 . Halla
cuántas grúas debe construir en un mes para que el
beneficio obtenido sea el máximo.
La función beneficio viene dada por:
Si representamos esta función y = −x2 + 6x − 8,
obtenemos una parábola con las ramas hacia
abajo y con el vértice en:
Por tanto, esta función presenta un máximo para
x = 3. Es decir, el beneficio será máximo si la empresa
construye 3 grúas en un mes.

20
30 30
20 30
30
20
2
3
=

⇒ =

= −
y
x
y
x
x
( )
A = x ⋅ y = x − x x x

⎝ ⎜

⎠ ⎟
20 = −
2
3
20
2
3
2
f ( x ) = − x + x
2
3
2 20
y = 20 − ⋅ x = − ⋅ =
2
3
20
2
3
15 10

B x I x G x
x x x
x x
( ) ( ) ( )
( )
= − =
= − + + − + =
= − + −
2
2
7 1 9
6 8
V
b
a
ac b
a
V ⎛ − −
⎝ ⎜

⎠ ⎟

2
4
4
3 1
2
, (, )
90
91






 

  








  



?
1. Expresa en notación científica el número 456,78
· 1023.
2. Indica los valores de m y b para que la expresión
algebraica y = mx + b corresponda a:
a) Una función constante.
b) Una función lineal o de proporcionalidad directa.
c) Una función afín.
3. Determina la representación
gráfica
que corresponde a
cada una de las siguientes
funciones.
a) y = 2
b) y = 2 x
c) y = x + 1
d) y = −x + 1
e) y = −2 x
4. Representa gráficamente las funciones y = 2x,
y = x 2 e y = 2x. ¿Tienen algún punto en común? ¿Cuál
crece más rápidamente para x > 0?
1. ¿Cuál de las siguientes funciones afines tiene por
gráfica una recta con pendiente 4 y ordenada en el
origen −3?
a) y = −3 x + 4 b) y = 4 x − 3 c) y = 4 x + 3
2. Determina la expresión algebraica de una función
afín si su gráfica pasa por los puntos A(1, 4) y
B(3, 7).
3. Determina la ecuación de la recta que pasa por el
punto P(1, 1) y tiene pendiente igual a −2.
4. Indica cuál de las siguientes rectas es paralela al
eje de ordenadas.
a) x = −6 b) y = x + 1 c) y = 5
–1
–2
X
Y
1 2
3
4
5
–3 –2 –1 1 2 3
2
1
y
x
Buen Vivir
Tasa de crecimiento demográfico
De acuerdo a la estadística del Banco Mundial que
graficamos para los últimos 19 años, el crecimiento
demográfico de la población ecuatoriana permite establecer
que en 1990 registraba un 2,3 %,
en 1995 bajó al 1,9 %, para el 2000 había descendido
al 1,4 %, y a partir de entonces, se mantiene
en un rango del 1,1 % hasta el 2009 que
describe la gráfica. Sin embargo, de acuerdo al
último Censo de Población realizado por el INEC
el 2010, entre 2001 al 2010 se ha dado un crecimiento
aproximado al 1,5 % por año.
Actividades
Consulten por Internet los últimos datos del
INEC para establecer cuál es la población actual
de 0 a 14 años, 15 a 64 años, y de 65
años en adelante.
Visiten las oficinas del Instituto Nacional de
Estadísticas y Censos (INEC) si viven en Quito
o la página Web www.inec.gob.ec si viven en
provincias, para consultar cuál es su función
en el Estado ecuatoriano.
¿Dónde creen que aumentó más la población en
los últimos diez años, en la ciudad o en el campo?
¿Por qué?
¿Saben cuál es la esperanza de vida de los ecuatorianos,
a qué puede deberse?
¿Crees que nuestro país necesita innovación?, en
qué ámbitos?¿cómo podemos ser innovadores?
¿Qué idea innovadora puedes proponer para
el país?
1
2
3
4
5
6
Buen
Ciencia, tecnología e innovación Vivir
Autoevaluación Coevaluación
Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar.

Crónica matemática
a unidad de temperatura que usamos habitualmente es el grado
Celsius (°C). En ciertos países anglosajones, la unidad de temperatura
es el grado Fahrenheit (°F). La correspondencia entre estas dos
escalas de temperatura es una función afín.
L
Punto de fusión del agua Punto de ebullición del agua
0 °C 100 °C
32 °F 212 °F
Temperatura ( F)
Temperatura ( C)
F = 1,8 C + 32
–50
–100
–150 –100 –50 50 100 150
150
100
50
Ley de Hooke
La ley de Hooke es una ley de física
que relaciona la masa colgada
de un muelle, m, con la elongación
que éste experimenta, e.
La dependencia entre estas dos
magnitudes es de proporcionalidad
directa. Observa:
m = ke
El valor de la constante de proporcionalidad
k depende de cada
muelle.
Calculadoras gráficas
y computadores
Algunas calculadoras presentan una
tecla que permite representar
gráficamente funciones.
Estas calculadoras muestran en
pantalla la gráfica de una función
una vez introducida su expresión
algebraica para un determinado intervalo
de valores de x.
Existen calculadoras que incorporan
programas informáticos de
gran utilidad en la representación
gráfica de funciones, como es el
programa Derive.
Ley de Boyle-Mariotte
La ley de Boyle-Mariotte es una
ley que cumplen los gases sometidos
a temperatura constante. Esta
ley relaciona la presión, P, que se
ejerce sobre una cantidad de gas
y el volumen, V, que éste ocupa.
La dependencia entre estas dos
magnitudes es de proporcionalidad
inversa.
El valor de la constante de proporcionalidad
k depende del valor de
la temperatura y de la cantidad del
gas.
P
k
V
=
Graph
V1 = 0,2 m3
P1 = 100 atm
V2 = 20 m3
P2 = 1 atm
Un caracol baja por un plano inclinado de 5 m de longitud y
3 m de desnivel con una velocidad constante de 0,02 m/s.
Deduce la expresión algebraica que relaciona la altura a la
que se encuentra el caracol con el tiempo.
Demuestra tu ingenio
Busca en Internet programas educativos que permitan la representación gráfica de funciones e intenta representar
los tipos de funciones estudiadas.
Si no encuentras alguno, puedes conectarte a http://www.xtec.es/~mgarc127/
@

Solucionario
Ejercicios y problemas
67. a)Falsa. b) Cierta. c) Falsa. d) Cierta.
69.El intervalo común es:
71.a) 1,732; b) 0,2; c) 4,22.
73.a) ; b)
75.a) ; b) ; c) .
Son semejantes a
77. a) ; b)
79. a) ; b) ; c) ; d
81. a) 5 ; b) 16 ; c)
83. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;
f)
85. Los segmentos de longitudes y son proporcionales
a los segmentos de longitudes y .
87.
89.
91.a) No es cierta. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas.
b) Cierta.
c) Cierta.
93. a) ; b) ; c)
d) 0x = –7 → No tiene solución. e)
95. x = 28
97.Una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
Una línea recta.
99.Es un sistema incompatible. No tiene solución.
101.
La solución es x = −1, y = 4. Se trata de un sistema compatible determinado.
103. —Método de sustitución
0x = 0
Esta ecuación tiene infinitas soluciones.
—Método de igualación
0x = 0
Esta ecuación tiene infinitas soluciones.
—Método de reducción
0x + 0y = 0
Esta ecuación tiene infinitas soluciones.
− 2 , 5 ].
–1 0 2
1 1
– 2 5
2 5
2 : 1458 , 450 y 8 .
3 − 2 cm 2 + 8 cm
4 + 2 cm 8 + 6 2 cm
3 ; 3 4 ; 7 7 ; 3 92 ; 4 253
105. y = 4 − x
El sistema es incompatible.
107. a) La solución del sistema es x = 1, y = 0
b) La solución del sistema es x = −3, y = 5
109. La solución es
111. La longitud de los lados del triángulo es 3 cm, 5 cm y 7 cm.
113. Mi edad actual es 18 años.
115. Los dos números son 10 y 11.
117. Las longitudes del lado menor y del lado mayor del rectángulo son
14 m y 28 m, respectivamente.
119. Los números buscados son 24 y 8.
121. El hijo tiene 12 años y su padre, 48 años.
123. La base del rectángulo es y la diagonal .
125. La distancia recorrida por el excursionista es:
127. a) ; b) 3 cm
129. x = ± 8 8 ⋅ 8 = 64 (−8) ⋅ (−8) = 64 — Radicación.
131. Cristina tiene 5 años; su madre, 25 años, y su tía, 20 años.
133. Tendrá que mezclar 1,5 kg de las golosinas que cuestan $ 4 /kg
con 3,5 kg de las que cuestan $ 6 /kg.
Ejercicios y problemas
49. Sólo hace falta un punto. Por ejemplo, si conocemos el punto P (t, s),
la expresión algebraica de la función es y = s.
51. a)
b)
c)
53. Lineal: d; Afín no lineal: a; constante: b; no es función: c.
55. a)
Pendiente: 1
x = y = −
8
9
4
9
, .
( +5 )5 = ( −9 )10
= 33 2 15 2 2 2
3a3 b 3b = 38 ⋅ 52 a5 b7 3b
72 a4 b 117 a6 b3 23 ⋅ 35 a2 b
a b
c
;
2 3 5
7
4 2 2 6 10
2 5
⋅ ⋅
4 33
6
3
2 6
10
− 2 − 3 42 7 6 1
5
+ − − 4 + 15
70 42 110 66
4
+ + +
a a a
a a a
a
m
n
p
q
m
n
p
q
m
n
p
q
m
n
p
q
m
⋅ =
= ≠
+

: (con a 0)
n
p
q m
n
p
a q

⎝ ⎜

⎠ ⎟
=

m
n
m
n
m
a b a b n
lación a
( ⋅ ) = ⋅
Re :
m
n = n am
x =
51
158
x = −
73
4
x =
188
99
10
19
x =
Primera ecuación Segunda ecuación
x y = x + 5 x y = −2x + 2
−1 4 −1 4
0 5 0 2
1 6 1 0
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
–1
–2
–3
–4
–5
–6
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Y
4 7 ( 5 5
2 ⋅ 50 3 + 2 ⋅ 25 3 = 150 3 dam
cm
100
3
π 3
Y
1 X
1
Y
1 X
1
Y
1 X
1
x −4
y −8
0
−8
4
−8
x −5
y 6
0
6
5
6
x −6
y −3
0
−3
6
−3
x 1
y 1
2
2
3
3
Y
1 X
1
y = x
Notación científica.
Función lineal.
Función exponencial 2 Módulo
Números reales.
Sistemas de dos ecuaciones
Módulo1lineales con dos incógnitas
b)
Pendiente: −1
c)
Pendiente: −6
57. Compañía A: y = 15, función constante.
Compañía B: y = 0,10x, función lineal.
Compañía C: y = 0,05x + 5, función afín.
59. a)
Pendiente: 1
Ordenada en el origen: −6
b)
Pendiente: −2
Ordenada en el origen: 1
c)
Pendiente: 3
Ordenada en el origen: 2
61. a) La expresión algebraica de la función es: y = 4x − 1.
b) La expresión algebraica de la función es:
63.
65. La expresión algebraica es: f(x) = 3x − 2.
67. a) ; b)
69.
71. Una, ya que a partir de las coordenadas de dos puntos de la recta
obtenemos su ecuación.
Infinitas, ya que no está determinada la pendiente de la recta.
Una, ya que a partir de las coordenadas de un punto de la recta y
el valor de la pendiente obtenemos su ecuación.
73. a) La expresión algebraica de la función es: y = 6x + 3.
b) La expresión algebraica de la función es: .
75. La expresión algebraica de la función es .
77. a) b)
79. a)
b) Entre las 2 y las 3 horas.
81. a) La expresión algebraica de la función es: Pn = 2,5(1 + 0,06)n,
n ≥ 0 donde Pn es el número de habitantes en millones y n es el
tiempo transcurrido en años.
b)
83. a)
b) El papel necesario para empapelar toda la habitación cuesta $ 120.
85. a) Representemos a la solución del gimnasio “Cuerpo sano” con f,
y al “Salud y deporte” con g:
b) Gimnasio cuerpo sano: al aumentar el tiempo de inscripción a
partir de la semana 5: f(x) = 28+(x-5)·7 = 7x-7
Gimnasio salud y deporte: al aumentar el tiempo de inscripción
a partir de la semana 2: f(x)= 12+(x-2)·6 = 6x
d) En el “Cuerpo sano” pagará $ 28 y en el Salud y deporte $ 30
e) A partir de la octava semana
f) En el gimnasio salud y deporte
89. a) d1 = 40t
b) d2 = 100 − 60t
c) d = 100 − 40t − 60t
91. a)
y = − x
3
2
Y
X
1
y = –x
x 1
y −1
2
−2
3
−3
x 1
y −6
2
−12
3
−18
Y
1 X
y = –6x
–6
Y
1 X
1
x 0
y −6
3
−3
6
0
x −1
y 3
0
1
1
−1
Y
–1 X
1
x
x
−2
y −4
0
2
2
8
Y
1 X
2
y = x −
1
5
3.
a y
b y
)
)
=
=
5
4
c y x
d y x
)
)
= −
=
3
2
3
y = x + 5 y =
3
3
x + 1− 3
y = x 4
3
+ 11
3
y
x
=
12
y =
⋅ x
2
5
1 2 3 4 5 6 X
Y
–6 –5 –4 –3 –2 –1
1
–0,5
0,5
–1
x y
−5 −2/25
−4 −1/10
−3 −2/15
−2 −1/5
−1 −2/5
1 2/5
2 1/5
3 2/15
4 1/10
5 2/25
n 0 1 2 3 4
A(n) 5 8,45 14,28 24,13 40,79
B(n) 2 4,8 11,52 27,65 66,36
x 0 2 4 6 8 10
y 2,5 2,81 3,16 3,55 3,98 4,48
2 4 6 8 10 X
Y
Habitantes
(millones)
2
4
6
Tiempo (a os)
10
20
40
60
80
100
120
20 30 40
Y
X
Importe ( )
Área (m2)
Área pared $
en m2 (x)
10
Importe del
papel en dólares
(y)
30
20
60
30
90
40
120
Gimnasio\Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cuerpo sano f(x) 28 28 28 28 28 35 42 49 56 63
Salud y deporte g(x) 12 12 18 24 30 36 42 48 54 60
Vsólido = 16 x + 16
b) x → altura del prisma cuadrangular en cm.
y → volumen del sólido en cm3.
c)
Ejercicios y problemas
33. a) P(1) = 0; b) P(2) = 40; c) P(3) = 120
35. Resto= –5
37. No es posible, pues el término de tercer grado del polinomio de
tercer grado no puede anularse.
39. No es posible, el polinomio cociente es de grado cero, es un número.
41. a) P(3) = 12 b) R(-3) = – 22 c) P(4) −Q(1) = 42 – 7 = 35
43. a) P(x) + Q(x) = 3x³ – x2 – x + 6
b) R(x) – Q(x) = – 2x³ – 2x – 1
c) P(x) – Q(x) + R(x) = –x³ – 9x + 5
45. a) x3
b) (x + 1)2
c) x  (x + 1)
d) x2  (x – 1)2
e) x3 – (x + 1)3
47. x2 – 2x + 1
49.
El polinomio P(x) es: P(x) = 3x − 1
51. a) (3×3 + 18×2 + 33x + 18) : (x − 3)
Cociente: 3×2 + 27x + 114
Resto: 360
No es divisor.
b) (3×3 + 18×2 + 33x + 18) ÷ (x + 1)
Cociente: 3×2 + 15x + 18
Resto: 0
Sí que es divisor.
y = 48 cm3
P a b a b
P a b a b
( )
( )
1 2 1 2 2
2 5 2 5 2 5
= ⇒ ⋅ + = ⇒ + =
= ⇒ ⋅ + = ⇒ + =
a b
a b
a b
a b
+ =
+ =
⎫⎬ ⎪
⎭⎪

− − =−
+ =

⎬ ⎪
⎭ ⎪
2
2 5
2
2 5
a
a b
=
+ =
3
2⇒ 3 + b = 2 ⇒ b = 2 − 3 = −1
c) (3×3 + 18×2 + 33x + 18) ÷ (3×2 + 3x + 6)
Cociente: x + 5
Resto: 12x − 12
No es divisor.
d) (3×3 + 18×2 + 33x + 18) ÷ (x2 − 4x − 1)
Cociente: 3x + 30
Resto: 156x + 48
No es divisor.
53. a) 2(x – 3)
b) x(x – 2)
c) 2(x2 – 3x + 4)
d) 3×2 (x2 – 2x + 4)
55. a) (x + 2)2
b) (3x– 1)2
c) x5 (5x + 7)
d) (6x – 5y)2
57. a) (5x + 1) (x + 7)
b) (x + 2) ( 2x – 1)
c) (x – 4y) (2x + 7y)
d) (10x – 9) (6x – 7)
59. a)
b)
61.
63. El polinomio es P(x) = 3x − 2.
65. P(x) = (x − 3) (x + 1) (x − 2) = x3 − 4×2 + x + 6
67. Podrán reunir $ 85.
69. Respuesta abierta.
Ejercicios y problemas
29. 4 vértices y 4 lados, ya que tiene 4 ángulos. Es convexo, pues todos
sus ángulos son menores de 180°.
31.
^
A = 90°;
^
B = 45°;
^
C = 120°;
^
D = 60°;
^
E = 270°;
^
F = 30°.
33. No Sí Sí Sí No Sí
35.
Los ángulos
^
A, complementario de
^A
y
^B
son agudos. El ángulo suplementario
de
^B
es obtuso.
37. Al considerar los ángulos como giros, el signo del ángulo indica si
el sentido de giro es el de las agujas del reloj o si es el contrario.
3×3 − 2×2 − 12x + 8
–––––––––––––
2×3 − 11×2 − 18x + 9
2×3 + 3×2 + 2x + 3
––––––––––––––––
3×4 −2×3 − 3×2 + 11x − 6
x 1 2 3 4 5
y 32 48 64 80 96
x
x


2
3
2 . A + B
B A
A
Complementario de A
A
Suplementario de B
B
Y
X
b)
—60º
Y
X
a)
—15º
Y
X
c)
30º
Y
X
e)
150º
Y
X
d)
—90º
Ángulos notables.
Razones trigonométricas 4 Módulo
Expresiones algebraicas y numéricas.
Polinomios y fracciones algebraicas 3 Módulo