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RECTAS EN EL PLANO EN GEOMETRIA ANALITICA EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 3 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A:
1 Determinar la ecuación de la recta que
pasa por dos puntos.
2 Deducir e interpretar la pendiente y del
intercepto de una recta con el eje de las
ordenadas y la relación de estos valores
con las distintas formas de la ecuación
de la recta.
3 Analizar los gráfi cos de las soluciones de
sistemas de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas e interpretarlos, a partir
de las posiciones relativas de rectas en
el plano (paralelismo, coincidencia e
intersección entre rectas).

El siglo XVIII, es conocido como el siglo de la matemática ilustrada.
Muchos matemáticos se dedicaron al estudio de la matemática y fue
en este siglo, en el que la matemática que se había venido
desarrollando, dio un gran salto hacia la matemática que se trabaja
hoy en día.
En la unidad anterior ya te contamos un poco acerca del desarrollo
de la geometría analítica. En esta unidad trabajaremos con ella,
acercándonos un poco más a lo que hicieron Descartes y Fermat. Ya
aprendiste, en la unidad anterior, que la geometría analítica
desarrolla el trabajo de la geometría a través del álgebra. Uno de los
postulados básicos que Fermat planteó es que, a cada curva del
plano le corresponde una ecuación y viceversa.
Al matemático francés Sylvestre Lacroix se le atribuye el nombre de
geometría analítica a esta rama de la matemática. En el primer
volumen de su obra “Tratado de cálculo diferencial e integral
(1797 – 1798)” dice: “Existe una manera de ver la geometría que se
podría llamar geometría analítica (géométrie analytique), y que
consistiría en deducir las propiedades de extensión desde el menor
número posible de los principios y los métodos analíticos en verdad”.
Con sus libros se ha estudiado la geometría analítica y otros temas
en muchas partes del mundo.
Ahora bien, si piensas en las funciones lineales, que has estudiado
en años anteriores, te acordarás que, a cada función lineal (relación
entre dos variables del tipo f ( ) =y=ax+b) le corresponde una
línea recta en el plano. Así también a curvas como las parábolas, que
acabas de estudiar, y a otras tantas que representan funciones. Pero,
¿qué hay de aquellas curvas y rectas en el plano cartesiano que no
son funciones?, por ejemplo, las circunferencias, las rectas paralelas
al eje y, entre otras… Pues bien, a ellas también puede asociárseles
una ecuación (relación entre dos variables). Este es un tema de
estudio muy interesante y amplio que, como ya te contamos
anteriormente, permitió el desarrollo de otros campos.
Este tratamiento del plano geométrico como plano cartesiano,
permitió más tarde a matemáticos como Gaspard Monge, en el siglo
XVIII, desarrollar la geometría descriptiva. Esta geometría permite
representar el espacio en un plano bidimensional. A través de la
creación de las “proyecciones ortogonales concertadas” que
conocemos hoy en día como sistema coordenado cartesiano
tridimensional. Así, se puede asociar también a cada curva en el
espacio una ecuación en tres variables.
Como ves, la matemática se abre a un sinfín de campos y de
posibilidades de estudio. Te invitamos, en esta unidad, a aprender
nuevos temas, a relacionarlos con lo que ya has aprendido y a crear
tanto como tu mente pueda imaginar…
Determinando la ecuación de una recta
El papá de Ernesto escuchaba atento las explicaciones que Paulina
daba a sus compañeros, con los que estaba haciendo la tarea,
mientras les preparaba la once…
–Pauli, entiendo que cada recta tiene asociada una ecuación y que
esta es una relación de igualdad entre las variables x e y– decía
Alicia, una de las integrantes del grupo–. Que cada ecuación es de la
forma y=ax+b, con a y b dos números reales cualesquiera. Que si
me dan la ecuación, se puede encontrar gráficamente la recta
asociada a ella, como lo hacía con las funciones y que puedo
determinar infinitos puntos de ellas, encontrando pares ordenados
de números que satisfagan dicha ecuación, tal como lo hacía con las
funciones lineales… Lo que no entiendo, es qué está pidiendo el
profesor…
–Mira –le dijo Ernesto–. Lo que el profesor quiere es que pensemos
si podemos resolver el problema contrario, es decir, si podemos
llegar a encontrar la ecuación de una recta si me dicen dos de los
puntos por los que esta pasa…
–¿Y cómo quiere que hagamos eso? –dijo enojada Alicia.
–No tengo la menor idea –respondió Paulina– pero algo se nos tiene
que ocurrir, ¿no?
El papá de Ernesto, les trajo bebida y queque. Miró el cuaderno de
uno de ellos, se sentó al lado de Paulina y le preguntó…
–Si esa recta que tienes ahí, tiene ecuación y=x− , ¿cómo sabes
que el punto (
) es un punto de la recta?
–¡Fácil! –le respondió Paulina–, solo debo remplazar el valor de las
coordenadas x e y del punto dado y ver si se cumple la igualdad. Es
decir, hago… x=
e y= y remplazo en la ecuación dada
y=x− , entonces, se tiene que:
=⋅
−
= −
=
–Como se cumple la igualdad, –agregó– entonces, el punto es parte
de la recta…
–O, lo que es lo mismo, la recta pasa por ese punto, ¿no? –dijo el
papá de Ernesto. Miremos la ecuación de una recta, nuevamente,
y=ax+b, ¿qué valores necesito determinar para escribir la
ecuación de una recta en particular?
–Creo que los de a y b, papá, ¿no?
23 La suma de las coordenadas de un punto P, es
40. Al aumentar cinco unidades una de ellas la
otra disminuye en cinco unidades, resultando
que una coordenada, equivale al triple de la otra.
Esto determina un segundo punto llamado P’.
a. Escribe los cuatro sistemas de ecuaciones
posibles que permitan encontrar P y P’.
b. ¿Cuáles son las duplas, P y P’ posibles?
c. Encuentra las ecuaciones principales de las
rectas según las duplas anteriores.
d. Anota por lo menos tres comentarios sobre
los resultados que has obtenido con respecto
a cada punto, su recta y la ecuación de esta.
24 Dado el triángulo de vértices A*(
);
B*( − ) y C*( − −
) , determina, usando
un programa graficador como por ejemplo
geogebra:
a. La ecuación de las rectas a las que
pertenecen sus lados.
b. La medida de la altura trazada desde el vértice B.
c. El área del triángulo.
d. El centro de gravedad del triángulo.
e. El radio de la circunferencia circunscrita.
25 Dado el cuadrilátero de vértices A*( );
B*(  ) ; C*(  −) y D*(  ), determina:
a. Las ecuaciones de las rectas que contienen a
sus diagonales.
b. Las ecuaciones de las rectas que contienen a
sus lados.
c. Qué tipo de cuadrilátero es.
d. Su área, aproximada a la centésima.
e. Su perímetro, aproximado a la centésima.

3 Martina está observando la siguiente sucesión
de números 0, 1, 2, 3, 4,, 6, 7…, y luego esta
otra de números −, −, −, −, −, 3,
7, 11… Posteriormente empieza a crear pares
ordenados tomando el primer número de la
primera sucesión, con el primero de la segunda,
para formar la abscisa, y la ordenada de su
primer par.
a. Haz una gráfica que muestre dichos pares
¿Qué notas de especial?
b. Escribe la ecuación principal según lo que
has observado.
c. En la segunda sucesión, ¿cuánto es la
diferencia entre cualquier número dado
(que no sea el primero) con su anterior?
¿Con qué coeficiente de la ecuación que has
escrito en b., puedes relacionar esta
diferencia?
d. ¿Qué relación hay entre el coeficiente de
posición de la recta y algún término de la
segunda sucesión?
e. ¿Cuáles son las ordenadas de los siguientes
pares: (  ),(  ), (
 )?
f. ¿Cuáles son las abscisas de los siguientes
pares: (  ), (  ), (  )?
g. ¿Existe algún natural que permita que 276
esté presente en la otra sucesión? Justifica
tu respuesta.
h. Propón una manera de crear sucesiones de
números a partir de la sucesión de
cardinales, tal como está en el enunciado y
dada la ecuación principal de una recta. Da
un ejemplo.
6 “Ranquel está muy intrigado por las muestras
de sulfato ferroso, medidas en gramos, que le
ha enviado uno de sus trabajadores. Le había
pedido que le mandara siete, nominadas con A,
B… G, y detalladas en masa como: P,  P,
 P,
P,
P,
P y P. Sin embargo, las que
recibió, al verificarlas en su balanza, eran de
 P,  P, 
P,
P,

P,
P y

P, respectivamente”.
Después de tu lectura del párrafo anterior,
imagínate las siguientes situaciones:
Al no poder comunicarse con su trabajador y
pedir explicaciones por lo ocurrido:
a. Ranquel ha hecho un gráfico de las masas
de las muestras recibidas, versus las masas
de las muestras solicitadas. Allí, él ha
anotado los puntos y ha encontrado por lo
menos una regularidad en ellos. ¿Cuál
puede ser? Ayúdate de una gráfica similar.
b. Decide buscar una ecuación sencilla que
relacione las masas recibidas, M r , con las
solicitadas, M s . ¿Cuál debiera ser la más
adecuada, es decir aquella que tome en
cuenta todos los puntos posibles
representados en a.?
c. Se da cuenta de que a pesar de todo lo
anterior hay una muestra que estuvo en lo
correcto. ¿Cuál es ésta?
d. ¿Qué ocurre con los valores de las masas de
las muestras recibidas, a medida que
aumenta cada valor de la masa de las
muestras solicitadas? Para un análisis
comparativo, en el gráfico anterior puedes
agregar los puntos que debieran haber sido,
es decir aquellos en que coincidirían la masa
recibida con la solicitada.
e. Supón que el error se debe a una balanza
que ocupó el trabajador, en la cual empieza
marcando dos décimas de gramos extra y
solo determina el noventa por ciento de la
masa real. ¿Tendrá alguna relación con los
factores presentes en la relación
mencionada en b.? ¿ A qué coeficientes
correspondería? ¿Por qué?