Archive for EJEMPLOS RESUELTOS

INECUACIONES Y DESIGUALDADES TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL UNI PDF

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INECUACIONES TRIGONOMETRICAS
objetivos:

* Conocer los distintos enfoques de cálculos , que resuelvan la inecuación trigonométrica.

* Desarrollar la capacidad de análisis y crítica , con el uso de las identidades trigonométricas aplicadas a la teoría de los número reales y relacionándolas a las funciones trigonométricas.

* Calcular el conjunto de valores que asume una variable para el cual se verifica una inecuación trigonomélrica.

CONCEPTOS PRELIMINARES

Comparación de cantidades :
Con el objeto de comparar una cantidad de otra se usarán los símbolos básicos:
Teoremas básicos
de números reales
Los teoremas usados , en el cálculo se justifica en la teoría de los números reales , los que no detallaremos, sin embargo mencionaremos algunos:
I) Dado

II)Dado

III)Dado , luego:

Los teoremas indicados anteriormente y el uso de la circunferencia trigonométrica , asocian un análisis a considerar en el estudio del presente capítulo.

ejercicio 1 :
Si: Cos(A + B) y Cos(A–B) tienen el mismo signo, luego A y B satisfacen la relación.

RESOLUCIÓN :
Dada la condición, se cumple que:

RPTA : ‘‘D’’

ejercicio 2 :
A que cuadrante pertenece «» que satisface:

A)IQ B)II Q C)IIIQ D)IVQ E)IIQ ó IVQ

RESOLUCIÓN :
* El producto de números es negativo , si tienen signos diferentes :
* Luego:

RPTA : ‘‘C’’
ejercicio 3 :
Determine el mínimo valor que asume la función definida por:

A) 25/8 B)0 C) 2 D) 25/16 E)–25/11
Agrupando
RESOLUCIÓN :
La expresión f(x) es equivalente a:

f(x) = 2(1 – Cos2x) +3CosA

Completando cuadrados:

Se representa el intervalo de «x» (dato), en la Circunferencia Trigonométrica y se observa:

A cada «x» se le asocia un «Cosx» y considerado que es una función decreciente:
* construyendo :

RPTA : ‘‘C’’
ejercicio 4:
Determine el dominio de la función definida por:

RESOLUCIÓN :
Nótese que durante el recorrido de las afirmaciones preliminares es necesario recordar que: el dominio de la función está dado por el conjunto de valores que toma «x» de modo que exista f(x) , en el campo real, de allí que afirmamos:

RPTA : ‘‘C’’
INECUACIóN
TRIGONOMÉTRICA
Se denomina inecuación trigonométrica a toda desigualdad entre funciones trigonométricas que se va o no a verificar para un conjunto de valores de la variable , si la inecuación se verifica se llamará compatible en caso contrario incompatible.
Ejemplo:

INECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (I.T.E)
Es toda inecuación trigonométrica que tiene la forma:

Ejemplo:

nota :
Teniendo la I.T.E deberá asumirse la igualdad:

En este caso se deberá resolver en los cuadrantes correspondientes para . Deberá ubicarse en la C.T. los arcos hallados anteriormente, para luego representar la F.T. en un intervalo adecuado, donde se satisfacen las desigualdades iniciales. Para la solución general se agregará esto en el caso que la inecuación involucre: sen, cos, sec, csc.

Si la inecuación involucra tg y ctg agregaremos .

Conjunto solución de inecuaciones
Se entiende por conjunto solución de una inecuación, como el conjunto de valores de la incógnita (o incógnitas) para los cuales es cierta la desigualdad. Recordemos que lo, teoremas de cálculos mencionados en el punto anterior , asociado con la representación en la circunferencia trigonométrica nos ayuda a calcular una variable con una expresión sencilla. Sin embargo cuando el problema resulta difícil de reducir entonces el siguientes razonamiento.
Dadas dos funciones f y g definidas por y = f(x) , y = g(x) respectivamente con dominios
P=DomDomg : luego calculamos la intersección de dominios (en un caso particular , M puede ser un conjunto vacío). Ahora supongamos que se requiere hallar todos los números del campo M: para cada uno de los cuales se verifique la desigualdad f(xo )> g(xo ). En estos casos se dice que el problema consiste en «resolver la inecuación» f(x) > g(x) con una incógnita x: ó bien está dada la inecuación f(x) > g(x) con una incógnita x.
ejercicio 5 :
Sean las gráficas de las funciones f y g , las mostradas a continuación de manera que se sabe:

Se pide :
resolver la inecuación f(x) > g(x)
RESOLUCIÓN :
De la figura observamos que :

* es el campo de valores de «x» para los cuales f y g existen.
* El número lleva el nombre de solución (raíz) de la ecuación ; ya que al sustituirlo en lugar de la incógnita x, la ecuación se convierte en una igualdad numérica lícita

En el conjunto M, si x entonces f(x) g(x): luego afirmamos que y esto solo se cumple al particionar el conjunto M en:
• cumple f(x) < g(x) (Gráfica de g está encima de f ) .
• cumple f(x) > g(x) (Gráfica de f está encima de g).
• Por lo tanto: f(x) > g(x). Si:

ejercicio 6 :
Resolver:

reSOLUCiÓN :
* Sean f y g dos funciones que cumplan:

* Graficando f y g en el plano cartesiano :

En la intersección :
,
se cumple:

En la figura: f(x) > g(x) si la gráfica de está encima de la gráfica de «g»

RPTA : ‘‘D’’
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES
Nuestro objetivo será ilustrar los métodos de solución de una variable x de aquellas inecuaciones que se reducen a los siguientes tipos:

ejercicio 7:
Resolver:

reSOLUCiÓN
Usando la circunferencia trigonométrica
I) Se ubican Mo y M1, los extremos de arcos de solución de la ecuación Senx = 1/2
donde

II) Resaltamos el intervalo de x comprendido entre los extremos Mo , M1 que verifique la inecuación .
III) La solución de la inecuación propuesta está dada por los valores de «x» que cumplan:

RPTA : ‘‘A’’
ejercicio 8 :
Resolver:

reSOLuCIÓN :
Usando el plano cartesiano
Hacemos:
Representamos la gráfica en el plano cartesiano de f y g.

Nótese en el plano cartesiano la intersección de f y g ocurre si

Luego: f(x) g(x) si la gráfica de «f» está encima de la gráfica de «g». La solución de la inecuación propuesta está dada para los valores de :

RPTA : ‘‘e’’
ejercicio 9 :
Para determine el intervalo solución de

RESOLUCIÓN :

intervalo solución:

RPTA : ‘‘e’’

ejercicio 10 :
Calcular los valores de en :
RESOLUCIÓN:
* Método de la C.T.:

ojo :
La solución general en el ejemplo, será:

ejercicio 11 :
Resolver: Senx > Cos2x

RESOLUCIÓN:
I) Graficamos:

II) Sombreamos donde F(x) > G(x)

III) Para hallar los puntos de intersección se iguala a:

F(x) = G(x)Senx = cos2x

* En general:
SOLUCIÓN A CASOS PARTICULARES

ejercicio 12 :
Determinar todos los valores de x tal que :
Sen(2x) > 6Cosx, dado

reSOLUCiÓN :
Sea f y g dos funciones de modo que:

hacemos:

Graficamos en un intervalo de un período mínimo para analizar el comportamiento de ambas funciones y luego generalizar el conjunto solución.

RPTA : ‘‘B’’
ejercicio 13 :
Resolver la inecuación en el siguiente intervalo

RESOLUCiÓN :
Usando identidades de transformaciones de producto a suma la inecuación propuesta será equivalente

RPTA : ‘‘c’’
ejercicio 14 :
Resolver la inecuación:

dar el conjunto solución comprendido en

reSOLUCiÓN :

Analizando :

RPTA : ‘d’’
ejercicio 15 :
Resolver:

RESOLUCiÓN
Se f y g dos funciones de modo que hacemos :

Gráficamos en el dominio común :

RPTA : ‘b’’
ejercicio 16 :
Para que valores de x; 0 < x <, se cumple:

RESOLUCiÓN :
De la inecuación propuesta, desarrollamos el primer miembro:

Observación :
Representando en la C.T.

RPTA : ‘d’’

ejercicio 17 :
¿ Para qué valores de , se cumple:
Sen(2x)>Cosx ?

RESOLUCiÓN :
Inecuación propuesta
observar:

Luego:

RPTA : ‘‘D’’
ejercicio 18 :
Resolver la inecuación: 3Sen(2x)+Sen(4x)

RESOLUCIÓN :

RPTA : ‘‘b’’

ejercicio 19 :
Resolver:dar un conjunto solución comprendido en .

reSOLUCIÓN :
La inecuación propuesta se transforma en:

uso de identidades :

Sea f y g dos funciones de modo que hacemos:

Graficamos en el dominio común

Luego la inecuación se cumple si:

RPTA : ‘‘A’’
ejercicio 20 :
Resolver: