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ECUACIONES LINEALES BASICAS RESUELTAS PASO A PASO PARA NIÑOS EN PDF Y VIDEOS

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En matemática aparecen constantemente relaciones que son llamadas igualdades. Son expresiones numéricas o algebraicas unidas por el signo igual.
Observa algunas:
6 + 4 = 10; 7 + 8 = 15; 3 + 10 – 6 = 2 + 3; (2)2 + 3(2) – 10 = 0
x + 5 = 6; x2 – 2 = 7; x + 2y = − 4; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Si retomamos la situación anterior y pensó en 3:
(3 × 4 + 6 − 2) ÷ 4 = 4
(18 − 2) ÷ 4 = 4
16 ÷ 4 = 4
4 = 4
Una igualdad puede ser cierta o falsa
Por ejemplo:
6 + 4 = 10 es cierta porque al efectuar la suma obtienes el
resultado indicado.
3 + 10 – 6 = 2 + 3 es falsa porque al efectuar las
operaciones los resultados son diferentes.
Ahora, cuando compras 3 cuadernos por un total de $6,
¿cuál es el costo de cada cuaderno? Algebraicamente
puedes expresarlo así: 3x = 6
En este caso la igualdad
puede ser cierta o falsa
según los valores que le
asignes a la variable x:
para x = 2, es cierta, para
los demás valores es falsa.

En el conjunto de igualdades se distinguen tres tipos:
Identidad numérica, es una igualdad cierta
entre números.
Identidad literal, es una igualdad que es cierta para
cualquier valor que se asigna a la variable. Recordarás
que (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 en este caso puedes dar
cualquier valor a las variables “x” , “y” y siempre
obtendrás una igualdad. Si asignas x = 3 y = 2, al
sustituir estos valores en la igualdad obtienes:
(3 + 2)2 = 32 + 2(3)(2)+22
52 = 9 + 12 + 4; 25 = 25
lo cual es verdadero. Prueba en tu cuaderno para otros
valores y te darás cuenta que siempre es verdadero.
Ecuación, es una proposición que señala la igualdad
de dos expresiones algebraicas. Las ecuaciones surgen
de situaciones cotidianas.
Son ejemplos de ecuaciones:
x + 3 = 2x – 5; 4x + 18 = x + 2 ¿Puedes dar otros
ejemplos? Escríbelos en tu cuaderno.
Elementos de una ecuación
Observa las siguientes ecuaciones:
x + 12 = 28 x2 + 2x = 3 C = 2πr
En cada uno de los ejemplos anteriores notarás que hay
valores conocidos y valores desconocidos, estos últimos
se conocen como incógnitas.
Las incógnitas se representan por letras y expresan los
valores desconocidos de la ecuación.
Una ecuación posee miembros y términos.
Miembros
Se le llama primer miembro de una ecuación a la
expresión que esta a la izquierda del signo igual y
segundo miembro, a la expresión que esta a la derecha.

Términos
Son cada una de las cantidades que posee cada miembro
conectadas tanto por los signos + ó – , los términos
pueden ser algebraicos o aritméticos.
Para el caso de la ecuación anterior:
2x + 10 – 5x = 2x – 4
El primer miembro 2x + 10 – 5x en total posee
3 términos, 2x, − 5x son algebraicos y 10 es
un termino aritmético.
El segundo miembro 2x – 4 pose en total dos términos
28 es algebraico y − 4 aritmético en total la ecuación
tiene 5 términos: 3 algebraicos y 2 aritméticos.
La ecuaciones pueden tener una o varias incógnitas
y sus exponentes pueden ser 1, 2, 3, etc. En este caso
solamente estudiarás aquellas que tienen una incógnita
(variable).
Recordarás que en una expresión algebraica, la parte
literal puede estar elevada a cualquier exponente, lo
mismo sucede con las ecuaciones.
Por ejemplo:
La ecuación 5x – 2 = 8, tiene sólo una variable x y
está elevada al exponente 1, se dice entonces que esta
ecuación es de primer grado.
En la ecuación x2 – 3x + 2 = 1, tiene una incógnita, pero
está elevada al exponente 2, es una ecuación de segundo
grado.
En 5×3 + x2 – 4x + 6 = 15, es una ecuación de tercer
grado porque el mayor exponente de la incógnita es 3.
El grado de una ecuación esta dado por el mayor
exponente que presente la incógnita.
Ecuaciones de primer grado, se les conoce como
ecuaciones lineales.

Raíz y conjunto solución
Ejemplo 1
Encuentra el valor que puede asignársele a la variable en 6x – 3 = 15 para que la
igualdad sea cierta.
Solución:
Observa la ecuación: 6x – 3 = 15
Para que esta igualdad sea cierta, tienes que buscar un número que al multiplicarlo por
6 y luego restar 3, obtengas 15.

Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores de la incógnita que hacen
verdadera la igualdad.

Ejemplo 4
Encuentra la raíz de la ecuación 2x – 2x = 1
Solución:
Asigna valores a x y sustitúyelos en la ecuación para
encontrar el que cumpla la igualdad.
Con seguridad no encontraste, ya que para cualquier
valor que asignes a x siempre tendrás la resta de dos
números iguales cuyo resultado es cero y no uno, por lo
tanto no tiene solución.
Este tipo de ecuaciones recibe el nombre de ecuación
imposible; porque no tiene solución.

Ejemplo 5
Encuentra el conjunto solución de las ecuaciones
3x + 2 = 8; 6x + 4 = 16
Solución:
Asigna valores a “x”, y sustitúyelos en cada una de
las ecuaciones.
Con seguridad encontraste que para 3x + 2 = 8, el
valor que cumple la igualdad es para x = 2, entonces su
conjunto solución es {2}
Ahora, en 6x + 4 = 16, cuando x = 2 la igualdad se
cumple, entonces el conjunto solución es {2}.
Notarás que ambas ecuaciones tienen el mismo
conjunto solución.
Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo
conjunto solución se dice que son equivalentes.

RESUMEN
En el conjunto de igualdades se distinguen tres tipos:
Identidad numérica, es una igualdad cierta entre números.
Identidad literal es una igualdad que es cierta para cualquier valor que se asigna a
la variable.
Ecuación es una proposición que señala la igualdad de dos expresiones algebraicas.
El grado de una ecuación esta dado por el mayor exponente que presente la incógnita.
Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores de la incógnita que hacen verdadera
la igualdad.

LOS ÁRABES Y LAS ECUACIONES
Los primeros en tratar las ecuaciones de primer
grado fueron los árabes, en un libro llamado
Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo:
Álgebra (del ár. algabru walmuqabalah, reducción
y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera
traducción fue hecha al latín en España, y como
la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la
X española medieval. Los matemáticos españoles
llamaron a la cosa X.

Ejemplo 11
En la actualidad la edad de Elena es el triple de la edad de Roxana. Dentro de 4
años será solo el doble. ¿Qué edad tiene cada una?
Solución:
x: edad de Roxana en la actualidad; x + 4 edad dentro de 4 años.
3x: edad de Elena en la actualidad; 3x + 4 edad dentro de 4 años.
Como dentro de 4 años la edad de Elena será el doble que la de Roxana.
Entonces: la edad de Elena = 2 veces la edad de Roxana.
Planteas la ecuación y resuelves:
3x + 4 = 2 (x + 4) La edad de Elena es el triple de la edad de Roxana,
3x + 4 = 2x + 8 es decir: 3(4) = 12
3x = 2x + 8 – 4
3x = 2x + 4
3x – 2x = 4
x = 4 R: Edad de Roxana 4 años.
Edad de Elena 12 años

Para resolver ecuaciones, se trasladan a un solo miembro
de la ecuación los términos que contienen a la incógnita y
en el otro todos los valores numéricos.
Se efectúan las operaciones aritméticas indicadas y se
despeja la variable para determinar la raíz de la ecuación.

En una ecuación, puedes pasar un término de un
miembro al otro, cambiándolo de signo. Un factor de un
miembro puede pasar a dividir a todo el otro miembro.
Además puedes cambiar los signos de todos los términos
de ambos miembros de la ecuación

UN EJEMPLO ANTIGUO
La matemática desarrollada en la India entre
los años 400 a 1,400 de nuestra era tiene un
aspecto interesante que es la presentación de
problemas matemáticos, mediante el lenguaje
poético y metafórico. Un ejemplo de esto es el
libro de astronomía Liláwari (La Hermosa) escrito
por Bháskara del cual se presenta la siguiente
situación: “A una dama se le quebró un collar,
un tercio de las perlas cayó al suelo, un quinto
quedó en el lecho, la joven encontró un sexto y
su amiga recuperó un décimo de las perlas;
en el hilo sólo quedaron seis perlas.
¿Cuántas perlas había en el collar

Una ecuación es fraccionaria cuando por lo menos
involucra un término fraccionario.

Cuando resuelvas una ecuación de otros tipos, que
se reducen a ecuaciones lineales; siempre tienes
que probar la solución en la ecuación original.

Recordarás que las ecuaciones de primer grado también
se les llama ecuaciones lineales, y son aquellas en las
que la variable está elevada al exponente 1, además su
conjunto solución es solamente una raíz.
Estas ecuaciones se pueden representar en el plano
cartesiano por medio de una línea recta.

Una ecuación fraccionaria es una ecuación que involucra
un cociente de expresiones algebraicas.
Para resolver ecuaciones fraccionarias, primero
encuentras el mínimo común múltiplo de los
denominadores, luego este valor encontrado lo
multiplicas por cada término de la ecuación, simplificas
y obtienes una ecuación entera y la resuelves.

OTRA CLASE DE ECUACIONES
Un contemporáneo de Descartes, el también
francés Pierre de Fermat, interesado en la
representación gráfica de las soluciones de las
ecuaciones, trabajó en su libro Introducción
a los lugares geométricos planos y sólidos lo
relacionado con el tema. Concentró su atención
en la representación de la ecuación lineal y
eligió un sistema de coordenadas arbitrario para
graficarlas. En primer lugar trabajó la ecuación
de la forma Dx = By, cuya gráfica es una recta
que pasa por el origen de coordenadas, como
una semirrecta con origen en el origen de
las coordenadas, ya que Fermat, al igual que
Descartes, no utilizaban abscisas negativas.

5
Ecuaciones lineales
• Reducir expresiones algebraicas aplicando propiedades
de las operaciones, adición y sustracción de términos
semejantes y eliminación de paréntesis.
• Interpretar y traducir expresiones en lenguaje natural
a expresiones algebraicas.
• Resolver problemas mediante el planteamiento de
una ecuación de primer grado con una incógnita e
interpretar la solución según el contexto del problema.
EN ESTA UNIDAD PODRÁS…
¿Te has fijado que en los noticieros, diarios y en algunos bancos
se anuncia el valor de monedas extranjeras como el dólar y el euro,
y otros valores como el de la UF (Unidad de Fomento) y la UTM
(Unidad Tributaria Mensual)? Esta información es importante para
quienes necesiten comprar o vender bienes cuyos precios estén
expresados en esas unidades, ya que cambian todos los días.
Si el dólar baja, por ejemplo, disminuyen los precios de los artículos
importados. Cuando sube la UF, aumentan los precios de los bienes
raíces como casas y departamentos.
Observando los valores de la imagen, responde:
1. A Emilia le regalaron dos monedas de 25 centavos y tres de 10 centavos
de dólar. ¿Cuántos pesos puede obtener si las vende?
2. Alexis recuerda que debe pagar el dividendo de su casa, que son 6,4 UF.
¿Cuánto debe pagar, en pesos?
3. Alexis tiene $ 1 000 000 ahorrados y está considerando comprar
dólares como inversión, para venderlos cuando vuelva a subir el dólar.
a) Si los compra al valor que aparece en la imagen, ¿cuántos dólares
puede comprar con ese dinero?, ¿cuánto gana si los vende luego a
$ 492?, ¿cómo lo supiste?
b) Si quisiera obtener $ 1 100 000 al vender los dólares, a qué precio
tendrían que estar?
c) Si los vendiera hoy, ¿ganaría o perdería?, ¿cuánto?
CONVERSEMOS DE…
¿CUÁNTO SABES?
Recuerda lo que aprendiste en años o unidades anteriores y resuelve los ejercicios
en tu cuaderno.
1. Calcula.
a) El triple de ocho.
b) El doble de doce disminuido en seis.
c) La mitad de cuatro aumentada en dos.
d) Tres cuartos de ocho disminuido en un tercio de doce.
2. Escribe el número que falta para que se cumpla cada igualdad.
a) –8 + ___ = –2 b) 4 – ___ = 5 c) –3 + ___ – 6 = 15
3. Resuelve calculando primero lo que está entre paréntesis.
a) (4 – 8 + 3) – (9 + 6 – 5) = d) 16 + (56 – 64) – (23) =
b) 1 – (9 + 12) + (3 – 6 – 7) = e) 12 • 3 – (62) – (2 – 1) =
c) 12 + 24 – (48 : 8) + (7 – 25) = f) 10 : (8 – 3) – (7 • 4) =
4. Determina si se cumplen las siguientes igualdades.
a) + 2 • = 2 + d) 8 – 6 • 2 + 1 = • 5 • 6 – 9 • 2
b) 0,5 – 0,25 • 30 – 2 = – e) 0,4 • 1,2 – 0,2 = 0,7 •
c) 50 : 5 + 10 = 1 + 5 • 4 – 1 f) 0,5 • 2 + 0,8 • =
5. Verifica si se cumple cada igualdad para x = –6.
a) 3x = –18 d) 8x = –24 g) 7x + 9 = 32
b) 29 – x = 25 e) 15 + 2x = 3 h) 8x + 48 = 0
c) x + 12 = 6 f) 5x – 15 = 45 i) 3x – 5 = 50
6. Resuelve las siguientes ecuaciones. Luego verifica si las soluciones obtenidas son
correctas, sustituyéndolas por la incógnita correspondiente.
a) x + 3 = 11 e) x – 7 = 0
b) 2 + y = –3 – 1 f) 3 – x = 7 + 24
c) –5 + z = –3 g) 15 – v – 5 = 3 – 7 – 1
d) –2 + x = –4 + 6 h) 40 – 1 = 2 – v + 3
2
3
6 • 3
5 + 4
1
2
2
5
5
4
3
4
1
2
1
12
3
4
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
• Para resolver una adición o sustracción de dos fracciones con igual denominador,
se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador.
• Para sumar o restar fracciones con distinto denominador puedes amplificar o simplificar
todas o algunas de las fracciones dadas, para obtener fracciones con igual denominador.
Luego, sumar o restar los numeradores, según corresponda, y conservar el denominador.
• Para trasformar una fracción a número decimal, debes dividir el numerador por el
denominador.
• Al resolver un ejercicio con operaciones combinadas, debes respetar la prioridad de las
operaciones:
1º Lo que está entre paréntesis.
2º Las potencias.
3º Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
4º Adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
• Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad que contiene un valor
desconocido llamado incógnita.
• Resolver una ecuación consiste en determinar el valor de la incógnita.
• A ambos lados de una igualdad puedes sumar o restar un mismo número, y la igualdad
se mantiene. También puedes multiplicar o dividir por un mismo número (siempre que
ese número no sea cero) a ambos lados, y la igualdad se mantiene.
Ejemplo: –3 + 2x = 9 / sumar 3
–3 + 3 + 2x = 9 + 3 / dividir por 2
2x : 2 = 12 : 2
x = 6
7. Patricia vende frutas y verduras a domicilio. Los precios de algunos
productos se observan a continuación.
a) Javier hace un pedido de 5 kg de
papas. ¿Cuánto debe pagar?
b) Rosita pide 3 kg de tomates y 2 kg
de manzanas. ¿Cuánto debe pagar?
c) ¿Qué es más barato, 5 kg de manzanas
o 4 kg de peras?, ¿por qué?
d) Marcelo necesita 1 kg de limones, 2 kg
de manzanas, 1 kg de tomates y 2 kg
de papas. Si tiene $ 3500, ¿le sobra o
e falta dinero?, ¿cuánto?
Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue
el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
Regularidades numéricas
Antonia y Tomás están formando figuras con palitos de fósforo.
Antonia está haciendo una secuencia de figuras solo con triángulos y
Tomás construye una solo con cuadrados. Cada figura que forman
tiene un triángulo o cuadrado, respectivamente, más que la anterior.
En la secuencia de Antonia, para formar una nueva figura se necesitan
dos palitos más. Esta relación se puede describir de la siguiente manera:
Para la figura 1 se necesitan 2 • 1 + 1 palitos de fósforo.
Para la figura 2 se necesitan 2 • 2 + 1 palitos de fósforo.
Para la figura 3 se necesitan 2 • 3 + 1 palitos de fósforo.
Para la figura 4 se necesitan 2 • 4 + 1 palitos de fósforo.
En general, podríamos decir que si los palitos de fósforo lo escribimos
como F y la cantidad de triángulos como T, la fórmula F = 2 • T + 1
nos permite calcular cuántos palitos de fósforo necesitamos para
formar una cantidad de triángulos dada. Por ejemplo, para calcular
cuántos palitos se necesitan para formar la figura 100, sabemos que
esta figura tiene 100 triángulos, entonces remplazamos este valor
en la fórmula anterior y obtenemos:
F = 2 • 100 + 1 = 200 + 1 = 201
Por lo tanto, se necesitan 301 palitos de fósforo para formar
100 triángulos.
PARA DISCUTIR
• ¿Cuántos fósforos necesita Antonia para agregar la figura que continúa
en su secuencia?, ¿cómo lo supiste?
• ¿Cuántos fósforos necesita Tomás para agregar la figura que continúa
en su secuencia?, ¿cómo lo supiste?
• ¿Cuántos fósforos necesita Antonia para formar la figura 10 de su
secuencia?, ¿cuántos triángulos tiene esa figura?
• Si cada cajita tiene 51 fósforos, ¿para cuántas figuras de su secuencia
le alcanzarían a Antonia?, ¿y para cuántas a Tomás?
• Tomás hace 9 cuadrados. ¿Cuántos triángulos puede hacer Antonia si
usa todos esos fósforos?
• ¿Cómo representarías la cantidad de fósforos usados para formar n
cuadrados?, ¿y para formar n triángulos?, ¿cómo lo supiste?
1. Las siguientes figuras de puntos mantienen un patrón. Descubre este patrón y resuelve.
a) Completa la tabla.
b) ¿Cuál es la fórmula que relaciona cantidad de puntos y etapa?
2. En la siguiente secuencia de figuras, sea n el número de pisos que tiene el triángulo y m el número
de triángulos pequeños pintados.
a) Dibuja las tres figuras que continúan en la secuencia, según el patrón.
b) Completa la tabla.
c) ¿Cuál es la fórmula general? Compara con tus compañeros y compañeras.
d) Siguiendo el mismo patrón, si hay 21 triángulos pintados, ¿cuántos pisos hay?, ¿y si consideramos
210 triángulos pintados?
e) ¿Cuánto es 1 + 2 + 3 + … + 60?, ¿a qué triángulo corresponde?
EN TU CUADERNO
Número de etapa
Número de puntos
1 2 3 4 5 6 7 8 9
NO OLVIDES QUE
• Reconocer una regularidad numérica nos permite determinar una expresión general que
represente la relación entre dos cantidades.
• Para reconocerla, se puede analizar si según cambia una, la otra lo hace regularmente,
por ejemplo, sumando o multiplicando siempre por un mismo número.
n 4
m
Fórmula
1
1
1 • 2
2
2
1 + 2
2 • 3
2
3
1 + 2 + 3
5 6
Expresiones algebraicas
La siguiente tabla presenta fórmulas que has
visto en años anteriores que permiten calcular
el perímetro y el área de diferentes figuras.
Observa.
Fórmula
PARA DISCUTIR
• ¿Qué representan las letras en las expresiones de la tabla?
• ¿Por qué en la fórmula del perímetro de un triángulo hay letras distintas?
Si un triángulo tiene tres lados, ¿nos serviría 3a como fórmula para
calcular el perímetro?, ¿por qué?
• ¿Cuál es la expresión correspondiente al área total de dos cuadrados
iguales?, ¿y de dos distintos?
• Si conozco la medida de un lado del rectángulo, pero no la del otro, ¿puedo
calcular su área y su perímetro?, ¿y en el caso del cuadrado?, ¿por qué?
• Si conozco la medida de la base del triángulo y el valor de su área,
¿puedo obtener la medida de su altura?, ¿cómo?
NO OLVIDES QUE
• En el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar variables. Para variables
distintas se asignan letras distintas.
• Un término algebraico es una expresión matemática que tiene dos componentes, un
“coeficiente” (o factor numérico) y un “factor literal” compuesto de una o más letras con sus
respectivos exponentes. Estos números y letras están relacionados solo por multiplicaciones
o divisiones. En estos términos, el signo de multiplicación no es necesario escribirlo.
Por ejemplo, el término 2a2b es equivalente a 2 • a2 • b.
• Una expresión algebraica es un conjunto de uno o más términos algebraicos unidos
mediante operaciones de suma o resta. Por ejemplo: 2x + y; a2 – ab + b2.
Perímetro de un triángulo (Pt) Pt = a + b + c
Perímetro de un cuadrado (Pc) Pc = 4a
Perímetro de un rectángulo (Pr) Pr = 2a + 2b
At = b • h
2
Área de un triángulo (At)
Área de un cuadrado (Ac) Ac = a2
Área de un rectángulo (Ar) Ar = a • b
1. Piensa, relaciona y responde:
a) Si 2x representa el doble de tu edad, ¿qué representa x?
b) Si xy representa el área del piso de tu sala, ¿qué representan x e y?
EN TU CUADERNO
2. Si x representa tu edad, ¿cómo expresarías en lenguaje algebraico la edad que tenías hace 5 años?,
¿y la que tendrás dentro de 5 años?
3. Observa los ejemplos y expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases.
a) 3 disminuido en el triple de 12.
b) El doble de la suma de 4 y –7.
c) La mitad del triple de un número.
d) La suma del cuarto de un número y el doble de otro número.
4. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones:
a) El valor de 4 cebollas a c pesos cada una.
b) El valor de x kg de manzanas a $ 180 cada uno.
c) El valor de 8 pimentones a x pesos cada uno.
d) El valor de 5 cajas de chocolates a t pesos cada una.
5. Expresa mediante una igualdad cada uno de los siguientes enunciados.
a) La suma de x e y es igual a 30. d) El producto de y por 10 es igual a 100.
b) La mitad de 36 es igual a y. e) La quinta parte de z disminuida en 3 es igual a z.
c) El triple de x es igual a 24. f) La sexta parte del cuádruple de a es igual a 7.
6. Para calcular el área de un trapecio de bases b1 y b2 y altura h, se puede
utilizar la siguiente fórmula:
a) ¿Cuál es el área de un trapecio de 6 cm de altura y cuyas bases miden
14 y 18 cm, respectivamente?
b) ¿Cuál es el área de un trapecio de 3 cm de altura y cuyas bases miden
28 y 36 cm, respectivamente?
7. Gabriel vende juguetes y para organizarlos los guarda en tres cajas: los dinosaurios en una caja verde,
las muñecas en una caja roja y los autos en una caja amarilla. Un día su hijo lo ayudó en el negocio y
dejó todos los juguetes en las cajas, pero desordenados. En la caja verde dejó 4 dinosaurios, 2 muñecas
y 5 autos; en la caja roja, 6 dinosaurios, 1 muñeca y 3 autos y en la caja amarilla 2 dinosaurios,
3 muñecas y 7 autos.
a) Asigna una letra a cada tipo de juguete y representa cuántos juguetes quedaron en cada caja
mediante una expresión algebraica.
b) Gabriel vende los dinosaurios a $ 600, las muñecas a $ 950 y los autos a $ 750. ¿Cuánto dinero
puede recibir Gabriel por la venta de todos los juguetes que dejó su hijo en la caja amarilla?,
¿y si vendiera todos los juguetes?, ¿cómo lo calculaste?
El doble de un número. 2x 5 aumentado en el doble de 4. 5 + 2 • 4
Recuerda que para
una expresión
algebraica debes remplazar
las letras por los valores
correspondientes y luego
realizar los cálculos
necesarios.
A yuda
Atrapecio = b1 + b2
2
h
Reducción de expresiones algebraicas
Los alumnos y alumnas del séptimo básico están recolectando
alimentos en una caja para llevar a un hogar de niñas de la ciudad.
Solicitaron colaborar con arroz, leche en polvo, tallarines y/o
legumbres. Para llevar un registro de lo que recibían, el profesor
anotaba las cantidades junto a una letra: a, para un kilogramo de
arroz, b para un kilogramo de leche en polvo, c para un kilogramo
de tallarines y d para un kilogramo de legumbres. Observa la tabla
que construyó.
PARA DISCUTIR
• ¿Qué productos había en la caja el lunes?, ¿cuántos kilogramos de
cada uno?
• ¿Cuántos kilogramos de cada producto se habían recolectado hasta
el miércoles?
• ¿De qué alimento se recibieron más donaciones?
• ¿Qué expresión representa el total de donaciones recibidas?, ¿cómo
llegaste a esta expresión?
2a + 3b + 4c
Día Donación
Lunes
Martes 3a + b + 2c + 3d
Miércoles a + 4b + 5c + d
Jueves 3a + 3c + 2d
Viernes b + 2c + 2d
En esta actividad deberán reducir expresiones algebraicas aplicando propiedades
de las operaciones, y adición y sustracción de términos semejantes.
Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones.
1. Cada uno debe calcar las siguientes figuras en los papeles lustre y luego recortarlas. Cada figura
debe ser de un color distinto.
2. Escriban las expresiones que representan el perímetro de cada figura. Comparen las expresiones
obtenidas, ¿obtuvieron todos lo mismo?
3. Formen un rectángulo con las figuras anteriores y escriban el perímetro del rectángulo en términos
de c y d. ¿Obtuvieron todos lo mismo?
4. Si sumas las expresiones que representan los perímetros de cada figura, ¿qué obtienes?
5. ¿Esta expresión es la misma que la del perímetro del rectángulo que formaron?, ¿por qué?
EN EQUIPO Materiales:
• 8 papeles lustre de
colores distintos
• Tijeras
• Regla
c
2c
2c
2d
c
2d + c
2c
c
c
c
3d
3d
3d
2c
2c
2d
• En una expresión algebraica se distingue factor o coeficiente numérico y factor literal.
Ejemplo: 5a2b
• Los términos semejantes de una expresión algebraica son todos los que tienen el mismo
factor literal. Dos factores literales son iguales solo si tienen las mismas letras y además
el mismo exponente para cada una, cuando incluyen potencias.
• Para reducir los términos semejantes, se asocian los términos que son semejantes y luego
se suman o restan, según corresponda. Por ejemplo: 3a + 5b + 2c – 8a + b = (3a – 8a) +
(5b + b) + 2c = –5a + 6b + 2c
1. Determina en cada caso si los términos son semejantes.
a) 4a 9a b) –3xy2 7xy2 c) 3xyz –6xzy
2. Reduce los términos semejantes en cada una de las siguientes expresiones algebraicas.
a) 4a + 7b – 6a + 4b – 3a + 9b = c) a2b – 2ab2 + 3ab – 4a2b + 6ab2 =
b) 8a – 6ab + 5b – 2a + 13b – ab = d) 6xy + 4×2 – 5xy + 3y2 – 5×2 – xy + x2 =
3. Resuelve los siguientes ejercicios, considerando que debes resolver primero los paréntesis que
están dentro de otros. Puedes eliminar el paréntesis si el signo que le antecede es positivo;
en cambio, si es negativo, debes cambiar todos los signos de los términos que aparecen dentro
del paréntesis. Luego, reduce los términos semejantes.
Ejemplo: 3m – (m – n) + (3m + 2n – 4n) + 3n = 3m – m + n + 3m + 2n – 4n + 3n =
= (3m – m + 3m) + (n + 2n – 4n + 3n) = 5m + 2n
a) 8x + (4y – 2x + 3) – (5 – 3y) = d) 3b – 10c – (5a + 7b – 2c) + (4a + c) =
b) 9y – z – (2y – 5x + 8z) – 7y = e) 6a2 – 8ab + 3b2 – (–9b2 + 7ab + 3a2) =
c) 12a – 5b + (3a – 2b) – (–8b – 10) = f) 4xyz – (7xy + 8xz) + (15xy – 6yz – 2xyz) =
EN TU CUADERNO
Observa la siguiente figura. Considera que todos los ángulos que
se forman son rectos.
1. Escribe las expresiones que representan los perímetros de las
figuras de cada color.
2. Escribe la expresión con menor cantidad de términos que
representa el perímetro de la figura.
3. Javier dice que el perímetro de la figura amarilla es 24 cm,
si x = 2 cm, y = 3 cm y w = 1,5 cm, ¿estás de acuerdo con
él?, ¿por qué?
MI PROGRESO
NO OLVIDES QUE
factor literal
factor o coeficiente numérico
x x w
w
y
x
Ecuaciones lineales con coeficientes enteros
Rosario le pregunta la edad a Carlos y este le plantea el siguiente
acertijo, observa:
• Si x representa la edad de Carlos, ¿cómo plantearías la ecuación que
permite resolver la situación?
• ¿Qué operaciones se deben aplicar para resolver la ecuación?
• ¿Cuántos años tiene Carlos?
• Rosario dice que Carlos tiene 16 años, ¿cómo lo verificarías en la ecuación
que planteaste?
PARA DISCUTIR
Recuerda que a ambos
lados de una igualdad
puedes sumar, restar,
multiplicar o dividir un
número o expresión (en
el caso de la división,
debe ser distinto de 0) y
la igualdad se mantiene.
A yuda
NO OLVIDES QUE
• Una ecuación es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido llamado incógnita.
• Para determinar si la solución encontrada es correcta, se remplaza ese número en la
incógnita, todas las veces que esté en la ecuación. Si se obtiene una igualdad, la solución
es correcta. Luego, se debe verificar si es pertinente en el contexto del problema.
1. Lee atentamente, plantea una ecuación y resuelve cada problema.
a) Si 1 kg de papas vale $ 278, ¿cuántos kilogramos se pueden comprar con $ 1390?
b) En un bolsillo Pedro tiene una cantidad de dinero y en el otro tiene el triple. Si en total tiene
$ 600, ¿cuánto dinero tiene en cada bolsillo?
c) Daniel compró un cuaderno en $ 750 y cinco lápices iguales. En total pagó $ 1200. ¿Cuál es el
precio de cada lápiz?
d) De una cuerda de 12 m de longitud se cortan cinco trozos iguales y sobran 2,5 m. ¿Cuál es la
longitud de cada trozo de cuerda que se cortó?
e) Nicolás quiere comprar un libro que vale $ 7600. Si tiene $ 5800, ¿cuánto dinero le falta?
f) Si Carlos pagó con $ 1000 tres kilogramos de naranjas y recibió de vuelto $ 160, ¿cuánto
cuesta cada kilogramo de naranjas?
g) En un canasto hay 51 manzanas distribuidas en tres bolsas. La primera tiene 9 manzanas menos
que la tercera y la segunda tiene 6 más que la tercera. ¿Cuántas manzanas tiene cada bolsa?
EN TU CUADERNO
El doble de mis años más el
triple de mis años menos 50,
suman el cuádruple de años
que tengo menos 34.
2. Observa las ofertas que se muestran para un mismo producto en un supermercado.
Analiza las ofertas y decide cuál es la mejor.
a) Si quieres llevar 4 rollos, ¿cómo te conviene hacer tu compra?
b) Si quieres llevar solo 6 rollos, ¿cómo lo harías? ¿Cuánto gastarías?
c) ¿De cuántas maneras puedes comprar 8 rollos de papel?, ¿cuánto gastarías en cada caso?
Compara con tus compañeros y compañeras.
3. Plantea la ecuación y luego calcula cuál es el número desconocido en cada caso.
a) Si a un número le quito 33 se obtiene 67.
b) La suma de un número y su antecesor es 17.
c) La suma de un número con su mitad es igual a 60.
d) Un número aumentado en 7 unidades es igual al doble de 8.
e) La suma de un número y 36 es igual a la diferencia entre 340 y 200.
f) El triple de un número disminuido en dos resulta el doble del número aumentado en ocho.
g) Si a un número le agregamos 6, nos da el triple del número disminuido en cuatro.
h) El doble del número aumentado en su cuádruple es 36 disminuido en el triple del número.
i) Al cuádruple de un número le agregamos 9, nos resulta el número aumentado en su doble y
disminuido en tres.
j) Si al quíntuple de un número le quitamos 7, se obtiene cuatro veces el número aumentado en 30.
4. Las máquinas A y B transforman números. Observa lo que hace cada máquina y resuelve.
a) ¿Cuál es el número que puede entrar a la máquina A y no tener cambio alguno?, ¿cuál en la
máquina B?
b) ¿Cuál es el número que ingresa a la máquina A y su transformación es igual a la producida por la
máquina B pero aumentada en 25?
c) ¿Cuál es el número que ingresa a la máquina B y su transformación es igual a la producida por la
máquina A pero disminuida en 20?
Máquina A Máquina B
3x + 10 2x – 7
x x
Ecuaciones lineales con coeficientes
fraccionarios y decimales
Don Jorge fue a comprar frutos secos al mercado. Primero compró kg
de nueces y kg de almendras y gastó $ 4625. Después compró
0,6 kg de higos secos y 0,3 kg de pasas y gastó en total $ 2820.
De vuelta a casa, se encontró con la señora Patricia. Observa.
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4
1
2
• Con estos datos, ¿puede Patricia calcular el precio del kilogramo de
almendras?, ¿y del kilogramo de pasas?, ¿cómo?
• ¿Qué ecuación te permite obtener el precio de las almendras?, ¿y el de
las pasas?
• ¿Puedes escribir de manera más simple las ecuaciones anteriores antes
de resolverlas?, ¿qué operación u operaciones debes realizar?
• ¿Cuánto costaba el kilogramo de almendras?, ¿y el de pasas?
PARA DISCUTIR
NO OLVIDES QUE
• Para facilitar la resolución de ecuaciones con coeficientes fraccionarios, conviene transformar
los coeficientes fraccionarios en enteros, amplificando cada término de la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones presentes en la ecuación,
y luego resolverla como siempre.
• Y cuando los coeficientes son números decimales, conviene amplificar cada término de la
ecuación por la potencia de 10 que transforme en entero al decimal con más cifras decimales,
y luego resolverla como siempre.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) x + 300 = x d) 700 – y = y – 7000 g) 0,45x – 12,5 = 0,3x + 8
b) x – 4500 = 1500 + x e) 0,25x + 750 = 1250 – 0,05x h) 0,002y = 0,04 + 0,03y
c) a + 2400 = 600 – 2a f) 1,4a – 0,128 = 0,342 + 0,6a
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3
EN TU CUADERNO
¿Cuánto costaba
el kilogramo de
cada uno?
Solo recuerdo que
las nueces costaban
a $ 6000 el kilo,
y los higos secos,
a $ 2200 el kilo.
2. Plantea la ecuación y luego resuelve los siguientes problemas.
a) Ximena fue a comprar kg de pan y kg de jamón. Gastó en total $ 1190. Si el pan cuesta
$ 820 el kilogramo, ¿cuánto cuesta un kilogramo de jamón?
b) En un supermercado se ofrece el choclo congelado en dos paquetes de distintas masas. El de
0,5 kg cuesta $ 599 y el de 1,5 kg, $ 1399. Patricia revisó los precios y decidió que si escogía
llevar los paquetes grandes se ahorraba $ 600, respecto de lo que gastaría llevando los paquetes
chicos. ¿Cuántos kilogramos de choclo congelado llevó?
c) Marcelo le da a su hermano Nicolás la mitad de las manzanas que tiene y media manzana más.
Luego le da a su hermana Paula la mitad de las manzanas que le quedan y media manzana más.
Si él se queda con una sola manzana, ¿cuántas manzanas tenía?
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2
La calculadora básica te puede ser muy útil para resolver una ecuación, siempre que tú
tengas muy claro la operación matemática que hay que realizar, ya que la calculadora no
“sabe” resolverlas por sí sola.
Resuelve usando la calculadora.
a) 12,5x = 625 000 c) 19,01x = 1 901 000 e) 129,5 = 32 + x
b) 2,701 + x = 0,0002701 d) 32,4 + 0,2x = 15 682,4 f) 1,27 = 4,07x
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Observa las estrategias:
¿Por qué número hay que multiplicar 3,2 para obtener 320 000 000?
3,2x = 320 000 000 3,2 • 100 000 000 = 320 000 000
¿Por qué número hay que multiplicar 3,2 para obtener 0,00032?
3,2x = 0,00032 3,2 • = 0,00032
1. ¿Cómo se relacionan los “ceros” de las potencias de diez con los lugares en que se corrió la
coma?, multiplicar por , ¿es lo mismo que dividir por 10 000?
2. Calcula mentalmente, utilizando la estrategia anterior.
a) ¿Por qué número hay que multiplicar 6,1 para obtener 6 100 000?
b) ¿Por qué número hay que multiplicar 5,098 para obtener 0,5098?
c) ¿Por qué número hay que multiplicar 1,23 para obtener 0,000123?
1
10 000
1
10 000
ESTRATEGIA MENTAL
Estudio de las soluciones
Antonia, una alumna de 7º año, ha obtenido en el segundo
semestre las siguientes notas en matemática: 6,0; 3,5; 5,2;
4,1; 3,4.
Si le falta solo una evaluación y quiere tener un 6,0 de
promedio en el semestre, ¿qué nota debe obtener en la
última evaluación?
PARA DISCUTIR
• ¿Qué ecuación plantearías para resolver el problema?
• Al resolverla, el resultado que obtienes, ¿tiene sentido en el contexto
del problema?, ¿por qué?
• ¿Qué pasaría si solo quisiera obtener un 5,5 como promedio en el
semestre?, ¿es posible?
NO OLVIDES QUE
• Siempre debes revisar tus respuestas, ya que aunque la ecuación esté bien resuelta,
el resultado debe ser pertinente, según el contexto de la situación.
1. Escribe la ecuación correspondiente a cada situación y luego resuelve interpretando la solución.
a) Las notas de Tomás en Lenguaje son: 6,8; 6,0; 6,9; 7,0; 4,0; 7,0; 7,0. Si solo le queda una
evaluación, ¿qué nota debe sacarse para asegurar un 5 de promedio?
b) Las notas de Joaquín en Estudio de la Sociedad son: 5,0; 5,0; 4,0; 4,0; 4,0; 6,6. Si solo le
queda una evaluación, ¿qué nota debe sacarse para obtener un 5,1 de promedio?
c) La longitud de un cable más 1 metro es igual a la mitad de la longitud del cable, aumentada en
6 metros. ¿Cuánto mide el cable?
d) Un curso completo de 30 niñas decide ir al cine. Si la entrada cuesta $ 1500 y solo disponen de
$ 28 000, ¿para cuántas entradas les alcanza?
e) En un hogar para niños de escasos recursos, se calcula que con $ 250 pueden ofrecer un desayuno
por niño. ¿Cuántos desayunos alcanzarían con $ 79 250? ¿Cuánto dinero necesitan para ofrecer
500 desayunos?
EN TU CUADERNO
2. Descubre por qué la respuesta al siguiente problema es incorrecta.
Problema: Verónica tiene 55 años y Daniel, 48 años. ¿Hace cuánto tiempo la edad de Daniel era los
de la edad de Verónica?
Respuesta: Hace 15 años.
3. Resuelve los siguientes problemas y compara tu estrategia con tus compañeros y compañeras.
Recuerda evaluar si el resultado es pertinente al contexto del problema.
a) Un repartidor de diarios entrega en la primera hora de los diarios que tenía, y durante la
segunda hora, la mitad de los que le quedaban. Si después de esto aún le quedan 20 diarios por
repartir, ¿cuántos tenía en un comienzo?
b) Sergio vende libros a las bibliotecas de varios colegios. Él debe llevar un registro de los libros que
vende cada día, pero el día jueves se da cuenta de que ha perdido su registro de esa semana;
solo recuerda que el lunes vendió el doble de los libros que vendió el martes, el miércoles vendió
dos libros más que el lunes y el jueves vendió tres menos que el martes. También sabe que ha
vendido 47 libros en total. ¿Puedes ayudar a Sergio a rehacer su registro de ventas?
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3
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10
Isabel llevó a su nieta Emilia a una
confitería muy antigua. Vendían dulces
que Emilia no había visto nunca, y algunos
eran los favoritos de Isabel. Los dulces
no estaban en los paquetes de siempre,
sino que se vendían por gramos, es
decir, según cuánto pesan, se calcula
el precio que se debe pagar.
Como era una ocasión especial, Isabel le dijo a Emilia que disponía de $ 1000 para
escoger dulces y $ 1000 para escoger galletas.
1. ¿Cuánto cuestan 100 g de gomitas?, ¿y kg de galletas de champaña?
2. Si Emilia quiere 100 g de guagüitas y el resto en calugas, ¿para cuántos gramos de
caluga alcanza?
3. Si luego quiere kg de galletas obleas y el resto en galletas de mantequilla, ¿para
cuánto alcanza?
4. Emilia dice que si junta el dinero y lo reparte de otra forma puede llevar 300 g de
galletas de mantequilla y kg de huevitos de almendra. Isabel le dice que no le
alcanza el dinero. ¿Qué crees tú? Justifica tu respuesta.
1
4
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3
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2
MI PROGRESO
Un padre tiene 23 años menos que su madre, y su hijo 35 años menos que él. Si la suma de
las tres edades es 168 años, ¿qué edad tiene cada uno?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
La diferencia entre las edades del padre y su madre es de 23 años.
La diferencia entre las edades del padre y su hijo es de 35 años.
La suma de las edades de los tres es 168 años.
• ¿Qué debes encontrar?
Las edades de cada uno.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Primero se debe decidir a qué valor asignar la incógnita. Luego, expresar los demás valores
de acuerdo a sus relaciones numéricas con la incógnita. Y, finalmente, plantear la ecuación
utilizando los datos del enunciado.
En este caso, la incógnita se puede asignar a la edad del padre, de la abuela o del hijo,
siempre que se expresen correctamente las relaciones numéricas entre los datos.
Resolver
• Usando la incógnita asignada a la edad del padre, la ecuación es:
x + (x + 23) + (x – 35) = 168
3x – 12 = 168
3x = 180
x = 60
Responder
• El padre tiene 60 años, la abuela tiene 83 años y el hijo tiene 25 años.
Revisar
• Podemos sumar las edades obtenidas y verificar si el resultado es 168.
60 + 83 + 25 = 168
BUSCANDO ESTRATEGIAS
Edad del padre Edad de la abuela Edad del hijo
x x + 23 x – 35
x – 23 x x – 58
x + 35 x + 58 x
Unidad 5
1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior.
a) Tres números consecutivos suman 144. ¿Cuáles son los números?
b) La suma de las edades de Andrea y Javiera es 45 años. Si dentro de 5 años la edad de Andrea
será de la edad de Javiera, ¿qué edad tienen actualmente?
c) Camila junta monedas de $ 5 y su hermano Javier de $ 10. El doble de las monedas que tiene
Camila menos 7 es igual a 45 y Javier tiene nueve monedas menos que Camila.
• ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
• ¿Cuántas monedas le faltan al que tiene menos dinero para juntar lo mismo que su hermano?
d) En una caja hay el doble de caramelos de menta que de frutilla y el triple de caramelos de naranja
que de menta y frutilla juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor?
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución.
Explica paso a paso cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros
y compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento
que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
a) Álvaro comió 100 galletas en cinco días. Cada día comió 6 más que el día anterior. ¿Cuántas
galletas comió el primer día?
b) La suma de cuatro números consecutivos es 74. ¿Cuáles son los números?
c) La señora Jacinta está a cargo de 10 animales, entre gatos y perros. La señora debe darles
vitaminas todos los días: 5 tabletas a cada gato y 6 a cada perro. Si reparte en total 56 tabletas
de vitaminas, ¿cuántos gatos y cuántos perros tiene a cargo la señora Jacinta?
d) Vicente es cuatro años más joven que Gonzalo. Pero dentro de cinco años, Gonzalo tendrá
dos veces la edad que tiene Vicente ahora. ¿Cuántos años tiene en este momento cada uno
de ellos?
e) Una araña tiene 8 patas. Un matapiojos tiene 6 patas y 2 pares de alas. Una chicharra tiene
6 patas y un par de alas. Ahora tenemos un total de 18 insectos en una caja, de tres clases
distintas. Hay en total 118 patas y 20 pares de alas. ¿Cuántos insectos hay de cada clase?
3
8
CONEXIONES
Pulentos serán rostros de campaña
contra obesidad
El Ministerio de Salud lanzó en septiembre de
2007 una campaña contra la obesidad orientada
a estudiantes de Educación Básica que se llama
“Vivir sano es Pulento”.
Esta campaña la pueden encontrar en:

http://www.redsalud.gov.cl/noticias/campana_

pulentos.htm (consultado en mayo de 2009) y
está promocionada por la serie “Los Pulentos”
que, con tres nuevos temas musicales estimulan
la actividad física y el consumo de comida
saludable.
Para decidir si una persona tiene sobrepeso u
obesidad se utiliza un número que a partir de la
estatura y la masa, determina el rango más saludable
de masa que puede tener una persona, este número
es el IMC (índice de masa corporal), que se calcula
dividiendo la masa (en kilogramos) por el
cuadrado de la estatura (expresada en metros).
En adultos, se considera saludable cuando el valor
del IMC está entre 18 y 25. En los niños y jóvenes,
los valores de IMC dependen de la edad y el sexo
de cada persona, porque aún están en crecimiento.
NACIONAL
1. Averigüen su peso y su estatura y remplacen los valores en la expresión dada para calcular el IMC.
2. Comparen los valores obtenidos con los de la tabla e identifiquen en qué rango se encuentran.
3. Comenten y respondan:
a) ¿Qué dificultades genera el sobrepeso y la obesidad en los jóvenes?
b) ¿Cómo se puede evitar que siga aumentando el porcentaje de obesidad juvenil?
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda.
Luego comparen y comenten sus respuestas.
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?
Respeté las opiniones de los demás integrantes.
Cumplí con las tareas que me comprometí.
Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
IMC =
peso (kg)
(altura (m))2
Fuentes: www.inta.cl,, www.lanacion.cl (consultados en
marzo de 2008, adaptación).
Varones Bajo peso Normal Sobrepeso Obesidad
12 años Hasta 15,4 15,5–21 21–24,2 Desde 24,3
13 años Hasta 16,0 16,1–21,8 21,9–25,1 Desde 25,2
14 años Hasta 16,5 16,6–22,6 22,7–26,0 Desde 26,1
Mujeres Bajo peso Normal Sobrepeso Obesidad
14 años Hasta 15,4 16,5–23,3 23,4–27,3 Desde 27,4
13 años Hasta 15,4 16,0–22,5 22,6–26,3 Desde 26,4
12 años Hasta 15,4 15,5–21,8 21,9–25,2 Desde 25,3
SÍNTESIS Unidad 5
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la unidad. Construye con
ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las
relaciones que hay entre los conceptos.
Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, responde en
tu cuaderno.
1. ¿Que ventajas tiene el uso de expresiones algebraicas?
2. ¿Es lo mismo una igualdad que una ecuación?
3. ¿Cuándo dos términos son semejantes?
4. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de primer grado con una incógnita?
5. Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras, y aclara tus dudas.
Ecuaciones lineales
Términos algebraicos Lenguaje natural
Factor literal
Números Incógnita
Letras
Expresiones algebraicas
Términos semejantes
Factor o coeficiente numérico
Solución
Igualdad
1. Tomás forma distintos cuadrados con palitos de
fósforo. ¿De qué tamaño es el cuadrado más
grande que puede formar con 51 fósforos?
A. De 5 fósforos por lado.
B. De 10 fósforos por lado.
C. De 12 fósforos por lado.
D. De 17 fósforos por lado.
2. Al reducir la expresión
8a – 6ab + 4b – 7a + 10b – ab se obtiene:
A. –5a +14 b
B. a + 14b – 7ab
C. 2a – 2b – ab
D. a + 4b – 8ab
3. La expresión algebraica: “el producto de un
número y 25 es igual a la diferencia entre el
doble de ese número y 125” es:
A. x + 25 = 125 – 2x
B. a • 25 = 2b – 125
C. 25x = 2x – 125
D. x • y • 25 = 2 • (x – 125)
4. En un canasto hay 45 manzanas distribuidas en
tres bolsas. La primera tiene 8 manzanas menos
que la tercera y la segunda tiene 5 más que la
tercera. ¿Cuántas manzanas tiene la segunda
bolsa?
A. 10
B. 18
C. 21
D. 25
5. Se tiene la ecuación 2x + 5 = 11. Entonces el
valor de –3x – 9 es:
A. 0
B. 9
C. –9
D. –18
6. Alejandra hace 8 años tenía x años. En 6 años
más tendrá:
A. x – 8 + 6
B. x + 8 + 6
C. 8 + 6 – x
D. 8 – x – 6
7. Un rectángulo tiene un largo que es el cuádruple
de su ancho. Si su perímetro es de 120 cm,
¿cuál es el largo?
A. 10
B. 12
C. 30
D. 48
8. Gladys fue a comprar 1 kg de pan, kg
de queso y kg de jamón para la
once. Gastó en total $ 2175. Si el pan cuesta
$ 900 el kilogramo y el jamón $ 3800 el
kilogramo, ¿cuánto cuesta 1 kg de queso?
A. $ 3000
B. $ 2900
C. $ 3200
D. $ 2600
1
8
1
4
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en los ejercicios 1 al 8.
9. El largo de un rectángulo mide el triple de su ancho. Si su perímetro es 48 cm,
¿cuál es su área?
10. Sergio corrió en una competencia un cuarto más que el doble de lo que corrió
Andrea. ¿Cuántos metros corrió Sergio, sabiendo que Andrea corrió 200 metros?
11. Aldo, Carlos y Javier juegan con una máquina tragamonedas. Entre los tres
pierden 40 monedas. Carlos pierde 12 más que Javier. Javier pierde la mitad de
las que pierde Aldo. ¿Cuántas monedas pierde cada uno?
12. Un zoológico tiene varias avestruces y varias jirafas. Si entre todas hay 30 ojos
y 44 patas en total, ¿cuántas avestruces y cuántas jirafas hay?
Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error?
Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
1. Marca según tu apreciación.
Regularidades numéricas.
Expresiones algebraicas.
Reducción de expresiones algebraicas.
Ecuaciones lineales con coeficientes enteros.
Ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios y decimales.
Estudio de las soluciones.
Resolución de problemas.
2. Reflexiona y responde.
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 116 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
¿QUÉ LOGRÉ?
No lo
entendí
Lo
entendí
Puedo
explicarlo
MI PROGRESO
1.
a) Los lados a y b varían inversamente proporcional.
b) No
2. Aumenta 1,25 veces.
3. 350 m y 500 m.
Página 111
1. a) 21 temporeras
b) 6 días
c) 4 turnos
3. a) Carbón 4224 kg, salitre 1320 kg y azufre 396 kg.
b) 4000 piezas
c) 12 días
d) En aproximadamente 3,6 horas.
e) 6600 UF
Página 114
1. B 3. C 5. D 7.D
2. C 4. B 6. C 8.D
Página 115
9. 25 cm
10. 2,5 horas
11. 20 días
12. 48 cm, 80 cm y 112 cm
13. 75, 100 y 125
14. $ 56 000, $ 112 000, $ 168 000, $ 224 000
Página 118
¿CUÁNTO SABES?
1. a) 24 b) 18 c) 4 d) 2
2. a) 6 b) –1 c) 24
3. a) –11 c) 12 e) –1
b) –30 d) 0 f) –26
4. En a), c), d), e) y f) se cumplen las igualdades.
5. En a), c), e) y h) se cumple la igualdad para x = –6.
6. a) 8 d) 4 g) 15
b) –6 e) 7 h) –34
c) 2 f) –28
Página 119
7. a) $ 1875
b) $ 2500
c) 4 kg de peras, porque cuestan $ 165 menos que
5 kg de manzanas.
d) Le sobran $ 100.
Página 121
1. a)
b) Cantidad de puntos = Cantidad de etapas • 3 + 2
2. a)
Número
de etapa
Número
de puntos
1
5 8 11 14 17 20 23 26 29
2 3 4 5 6 7 8 9
Unidad 5
1
6
Lado a (cm)
Lado b (cm)
1,5
4
2
3
3
2
4
1,5
6
1
b)
c) m =
d) 6 pisos; 20 pisos.
e) = 1830; al triángulo número 60.
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1. a) x representa tu edad.
b) x e y representan las medidas del piso de tu sala
(ancho y largo).
Página 123
2. La edad que tenías hace 5 años se; representa x – 5;
la edad que tendrás dentro de 5 años se representa
x + 5.
3. a) 3 – 3 • 12 b) 2(4 + –7) c) d) + 2y
4. a) 4c b) 180x c) 8x d) 5t
5. a) x + y = 30 c) 3x = 24 e) – 3 = z
b) = y d) 10y = 100 f) = 7
6. a) 96 cm2 b) 96 cm2
7. a) x : dinosaurios, y : muñecas, z: autos
caja verde: 4x + 2y + 5z
caja roja: 6x + y + 3z
caja amarilla: 2x + 3y + 7z
b) Por los juguetes de la caja amarilla recibiría
$ 9300. Por todos los juguetes recibiría
$ 24 150.
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1. a) Sí b) Sí c) Sí
2. a) –5a + 20b
b) 6a + 18b – 7ab
c) –3a2b +4ab2 + 3ab
d) 3y2
3. a) 6x + 7y – 2
b) 5x – 9z
c) 15a + b + 10
d) –a – 4b – 7c
e) 3a2 – 15ab + 12b2
f) 2xyz + 8xy – 8xz – 6yz
MI PROGRESO
1. Figura verde: 2x + 4w
Figura roja: 4x + 2w
Amarilla: 6x + 4w + 2y
2. 6x + 4w + 2y
3. Sí, porque 6 • 2 + 4 • 1,5 + 2 • 3 = 12 + 6 + 6 = 24
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1. a) Se pueden comprar 5 kg.
b) $ 150 y $ 450.
c) El precio de cada lápiz es $ 90.
d) Cada trozo de cuerda mide 1,9 m.
e) Le faltan $ 1800.
f) Cada kilogramo de naranja cuesta $ 280.
g) La primera bolsa tiene 9 manzanas, la segunda
tiene 24 manzanas y la tercera tiene
18 manzanas.
Página 127
2. a) 2 paquetes de 2 rollos.
b) 3 paquetes de 2 rollos y gastaría $ 2100.
3x
2
60 • 61
2
4a
6
36
2
z
5
x
4
n(n + 1)
2
1 + 2 + 3 +
4 + 5
n 4
m
Fórmula
1
1
1 • 2
2
2
1 + 2
2 • 3
2
3
1 + 2 + 3
3 • 4
2
1 + 2 +
3 + 4
4 • 5
2
5
5 • 6
2
6
1 + 2 + 3 +
4 + 5 + 6
6 • 7
2
c)
3. a) 100 e) 104 i) –12
b) 9 f) 10 j) 37
c) 40 g) 5
d) 9 h) 4
4. a) En la máquina A el –5, y en la B, el 7.
b) 8
c) 3
Página 128
1. a) –2700 d) 10 500 g)
b) –24 000 e) h)
c) f)
Página 129
2. a) El kg de jamón cuesta $ 3120.
b) Llevó kilogramos de choclo congelado.
c) 7 manzanas
Página 130
1. a) No necesita nota, sacándose un uno tiene un
mayor promedio que 5,0.
b) Debería sacarse un 7,1, lo que es imposible.
Por lo tanto, no logrará promedio 5,1.
c) 10 m
d) Alcanza el dinero para 18 entradas al cine.
e) Alcanza el dinero para 317 desayunos.
Para 500 desayunos necesitan $ 125 000.
Página 131
2. Hace 15 años Verónica tenía 40 años y Daniel
33 años. Los de 40 años son 36 años y no 33 años.
3. a) 60 diarios
b) Lunes: 16 libros, martes: 8 libros, miércoles:
18 libros y jueves: 5 libros.
MI PROGRESO
1. $ 200; $ 1650.
2. Para 163 gramos, aproximadamente.
3. Para kg de galletas obleas y 100 gramos de
galletas de mantequilla.
4. No le alcanza el dinero, le faltarían $ 1225.
Página 135
BUSCANDO ESTRATEGIAS
1. a) Los números son 47, 48 y 49.
b) Andrea tiene 10 años y Javiera tiene 35 años.
c) Camila tiene $ 130 y Javier $ 170. A Camila le
faltan 8 monedas de $ 5 para juntar lo mismo
que su hermano.
d) Hay 12 caramelos de frutilla, 24 de menta y
108 de naranja.
3. a) 8 galletas.
b) Los números son 17, 18, 19 y 20.
c) Tiene a cargo 4 gatos y 6 perros.
d) Vicente tiene 9 años y Gonzalo tiene 13 años.
e) Hay 5 arañas, 7 matapiojos y 6 chicharras.
Página 136
¿QUÉ APRENDI?
1. C 3. C 5. D 7.D
2. B 4. C 6. B 8.C
1
3
9
10
450
199
47
80
–3600
7
–10
7
5000
3
410
3
No de
paquetes
de 1 rollo
No de
paquetes
de 2 rollos
No de
paquetes
de 4 rollos
Total
a pagar
8 $ 3120
6 1 $ 3040
4 2 $ 2960
4 1 $ 3060
2 1 1 $ 2980
2 3 $ 2880
2 1 $ 2900
4 $ 2800
2 $ 3000