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HIPERBOLA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS




HIPERBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos de tal manera que si tomamos un punto cualquiera de la curva , la diferencia de sus distancias a los focos es igual a ‘2a’.
Ejemplo 1 :
La tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra en uno de
los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale 1.485 × 108 kilómetros y que
la excentricidad es, aproximadamente, 1/62
, hallar la máxima y la mínima distancia de la Tierra al Sol.
Ejemplo 2 :
Halla la ecuación de la elipse con centro en (2, 3), foco en (2, 5) y con el vértice
correspondiente en (2, 7). Dibuja la curva.
Ejemplo 3 :
Calcula la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(1, 7) y V’(1, 1) y cuyos focos son
F(1, 6) y F’(1, 2).
El estudio de Kepler de las secciones cónicas
Johannes Kepler, quien estableció la ciencia física moderna como una extensión de estos antiguos descubrimientos griegos, tal como Nicolás de Cusa, Luca Pacioli, y Leonardo da Vinci los redescubrieron. Kepler, citando a Cusa, a quien llamo «divino», dio una particular importancia a la diferencia entre la curva (geométrica) y la recta (aritmética). Kepler escribió en su Mystérium Cosmographicum:
«Pero, después de todo, ¿por qué las distinciones entre la curva y la recta, y la nobleza de una curva, en la intención de Dios cuando creó al Universo? ¿Precisamente por qué? Salvo que para el Creador más perfecto fuera absolutamente necesario crear la más bella obra».
Como parte su investigación astronómica, Kepler dominó Las Cónicas de Apolonio, que es una compilación de los descubrimientos griegos sobre estas curvas superiores. Como resultado de sus investigaciones sobre la refracción de la luz, Kepler aportó un concepto nuevo y revolucionario de las secciones cónicas. Por primera vez, Kepler consideró a las secciones cónicas como una multiplicidad proyectiva:
«Entre estas líneas existe el siguiente en razón de sus propiedades: pasa de la línea recta, a través de una infinidad de hipérbolas, a una parábola, y de ahí, a través de una infinidad de elipses, al círculo. Así, por un lado la parábola tiene dos cosas en naturaleza infinitas, la hipérbola y la línea recta, la elipse y el círculo. Aunque también es infinito, asume una limitación en el otro lado…Por tanto, los límites opuestos son el círculo y la línea recta: El primero es curvatura pura, la última recta pura. La hipérbola, la parábola y la elipse están en medio, y participan de la recta y de la curva, lo mismo la parábola, y la hipérbola participan más de la recta, y la elipse más de la curva».
Concepto proyectivo de Kepler de las secciones cónicas
En tanto el foco se mueve a la izquierda, el círculo se transforma en una elipse. En el límite con el infinito, la elipse se convierte en una parábola. La hipérbola se forma «del otro lado» del infinito».
La discontinuidad que revela esta proyección entre la parábola y la hipérbola es importante para esta discusión. La hipérbola esta al otro lado del infinito, por así decirlo, de la elipse y el círculo, mientras que un lado de la parábola va hacia el infinito y el otro hacia el finito.