Archive for ECUACION ORDINARIA DE LA ELIPSE CON EL CENTRO FUERA DEL ORIGEN

ELIPSE EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Objetivos :
Conocer la definición , propiedades y aplicaciones de la Elipse , así como saber resolver problemas afines con ello.
ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos de tal manera que si tomamos un punto cualquiera de la curva , la suma de sus distancias a los focos es igual a 2a .





Indicadores de logro
Construirás elipses con orden y limpieza, e identificarás con interés y
seguridad sus elementos.
Construirás con seguridad la ecuación canónica de la elipse con centro en
el origen.
Construirás, con interés y seguridad, la ecuación canónica de la elipse
utilizando el centro, un vértice, un foco y las longitudes de los ejes mayor y
menor.
Construirás elipses con orden y limpieza, e identificarás con interés y
seguridad sus elementos.
Construirás con seguridad la ecuación canónica de la elipse con centro
diferente de (0, 0)
Resolverás problemas del entorno utilizando la elipse sus elementos,
gráfico y ecuaciones.
Construcción de la elipse
Puedes construir una elipse utilizando una cuerda y dos
tachuelas. Se ponen las dos tachuelas un poco alejadas
la una de la otra. Después se ata la cuerda a las dos
tachuelas. Con lápiz o pluma se jala y se tensa la cuerda.
Mientras se conserva la cuerda tensada, se dibuja la
elipse moviendo el lápiz alrededor de las tachuelas. Esto
lo puedes observar en la figura de la derecha.
Muy bien, de seguro respondiste que esa suma es
siempre la longitud de la cuerda. O sea que:
La elipse es el conjunto de puntos en el plano, de tal
forma que la suma de sus distancias a dos puntos fijos
es una constante.
ORBITAS ELÍPTICAS
El hombre siempre se ha sentido atraído por los
astros y sus movimientos. Esto, tanto por fines
científicos como para conocer el futuro. Tan
es así que la astrología es la precursora de la
astronomía. Este interés llevó a los astrónomos
y matemáticos a buscar un modelo algebraico
que explicara los movimientos de los planetas y
el Sol. Fue así como el alemán Johannes Kepler
(1571-1630) descubrió que los planetas giran
alrededor del Sol en órbitas elípticas, donde el
Sol no está en el centro sino en uno de
sus focos.

La primera ley de Kepler establece que la órbita
descrita por cada planeta es una elipse, donde el Sol
es uno de los focos.
Mirna y Laura construyen un modelo planetario en
el plano cartesiano. Ubican al Sol en (5, 3) y para la
órbita del planeta Tierra establecen que el centro es
(2, 3) con el vértice correspondiente en (7, 3). Ellas
necesitan conocer la ecuación para representar la
órbita de la Tierra. ¿Cuál es dicha ecuación?


INTRODUCCIÓN

Más de mil años después de que los griegos definieran las secciones cónicas, en la época del Renacimiento, el astrónomo polaco Nicholas Copérnicus (1473 – 1543), en su obra: Sobre las revoluciones de las esferas celestes, sostenía que todos los planetas, incluso la Tierra, giraban en órbitas circulares alrededor del Sol. Aunque muchas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas la controversia provocada por su teoría heliocéntrica empujó a los astrónomos a buscar un modelo matemático que explicará los movimientos de los planetas y el Sol. El primero en hallarlo fue el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 – 1630). Kepler descubrió que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, con el Sol colocado no en el centro sino en uno de los focos. El uso de las elipses para explicar le movimiento de los planetas es tan sólo una de sus diversas aplicaciones. Al igual que lo hicimos para la parábola vamos a definir la elipse como un lugar geométrico de puntos. En este caso usando dos puntos focales en vez de uno.
Una de las propiedades geométricas más interesante de la elipse afirma que: un rayo que emana de uno de los focos de la elipse y se refleja en ella pasa por el otro foco; esta propiedad se conoce como la propiedad reflectora.

ELIPSE
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano, es una constante.
Es decir si son los puntos fijos del plano. Entonces:

ELEMENTOS DE LA ELIPSE
• C Centro
• Vértices
• Focos .
• L Eje focal (Eje mayor: )
• Eje normal (Eje menor: )
• DD y D’D’ Directrices
• Lado recto.
• Cuerda focal
• Diámetro
• Radio vector
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA ELIPSE
1. Ecuación de la elipse de centro en el origen y eje focal el eje X.

Sea P(x, y) un punto cualquiera de la elipse:

2. Ecuación de la elipse de centro en el origen y eje focal el eje Y.

Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse:

3. Ecuación de la elipse de centro en el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje X.

Sea P(x,y) un punto cualquiera que pertenece a la elipse.

4. Ecuación de la elipse de centro en el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje Y.

Sea P(x,y) un punto cualquiera que pertenece a la elipse.

aplicacion 1 :
1. Demostrar que la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal el eje X es de la forma:

Resolución:

En la figura, P(x,y) es un punto cualquiera de la elipse, luego por definición de elipse se tiene:

Pero: y
Luego:

aplicacion 2 :
Los focos de una elipse son puntos ( – 2;3) y (6;3) y uno de sus vértices es el punto (8;3), halle su ecuación.
RESOLUCIÓN :

* Ecuación de la elipse , de la forma :

* De la figura : C(h;k) = C(2;3)
a = 8 – 2 = 6 ; 2c = 8 ®C = 4
b2 = 62 – 42 ® b2 = 20

* Luego: E :

aplicacion 3 :
Halle la ecuación de la elipse de eje mayor 2a en la que el eje menor, se vea bajo un ángulo que mide 90° desde uno de los focos.
RESOLUCIÓN :

E =

* Pero:

* (II) en (I):

guia de preguntas de clase
1. La elipse de ecuación . Calcular el perímetro del triángulo FF’P, siendo F y F’ los focos y P un punto cualquiera distinto de los vértices.
2. Los focos de una elipse son y . Determinar la ecuación de la elipse si uno de sus vértices esta sobre la recta: .
3. Si la ecuación de la elipse es , ¿cuál es la distancia al centro de la elipse de una cuerda paralela al eje mayor y cuya longitud es a?
4. Determinar la ecuación de la elipse en la que el eje mayor sea n veces el lado recto.
5. Determinar las ecuaciones de las tangentes a la elipse , que son paralelas a la recta 3x + 2y + 7 = 0.
6. Los focos de una elipse son y . Determinar la ecuación de la elipse. Si uno de los extremos del eje menor esta en la recta x–2y – 3=0
7. Dada la elipse, hallar las coordenadas del punto P.

8. En la elipse: , El área del triángulo formado por un lado recto y los segmentos que unen los extremos con el centro de la elipse es:
9. Hallar la ecuación canónica de la elipse:

10. En la elipse: , el punto medio de una cuerda tiene por coordenadas (3, –1) determinar su ecuación.
11. Hallar la ecuación del diámetro de la elipse: que biseca a las cuerdas de pendiente 2, además el diámetro pasa por el punto P(2,3)
12. Determine la ecuación canónica de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa por los puntos (– 1, 0), (3,0), (0,2), (0, –2)
13. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en (0,0), eje mayor horizontal y los puntos (3,1) y (4,0) están en la elipse.
14. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en (2,1) y longitud de eje mayor de 5 y longitud del eje menor 2.
15. Hallar la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse que tiene un vértice y un foco en común con la parábola y que tiene su otro foco en el origen.
16. Si la ecuación de la elipse es: , ¿cuál es la distancia al centro de la elipse a una cuerda paralela al eje mayor de longitud a?.
17. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje focal en el eje Y, pasa por el punto P(1,4) y la relación del lado recto a la semidistancia focal es .
18. Una elipse con centro en el origen tiene un vértice (0,5) y una de sus directrices es la recta 4y – 25 = 0. Hallar su ecuación.
19. Determinar la ecuación de la elipse de centro (0,0) eje focal sobre el eje X, en la que el lado recto es visto desde el origen de coordenadas bajo un ángulo de 90º, si además se sabe que b = 1.
20. Desde el punto P(–16,9) se han trazado tangentes a la elipse: . Hallar la distancia del punto P a la cuerda de la elipse que une los puntos de contacto.
21. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen y cuyo eje focal es el eje de abscisas. La curva pasa por el punto P(2,3) y el lado recto es el triple de la semidistancia focal.
A) B)
C) D)
E)
¡22. Hallar la ecuación de la elipse de la forma: , sabiendo que la distancia entre sus directrices es y su excentricidad .
A)
B)
C)
D)
E)
23. Inscribir un cuadrado en la elipse: , y calcular el área que limita.
A) B)
C) D)
E)
24. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos: y pasa por el punto P(3,2).
A)
B)
C)
D)
E)

25. Los focos de una elipse son F(4, – 2) y . Hallar la ecuación de dicha elipse si uno de los vértices pertenece a la recta cuya ecuación es: .
A)
B)
C)
D)
E)
d) [-2; 8] e) [4; 10]