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ECUACION DE LA RECTA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Objetivos :
Conocer la definición , propiedades y aplicaciones de la recta escalar como vectorial , así como saber resolver problemas contextualizados con ella.
LINEA RECTA
Es un conjunto de puntos de modo que si tomamos dos puntos diferentes cualesquiera la pendiente siempre será igual.
Si una recta L es perpendicular al eje X en el punto

Si una recta L es perpendicular al eje Y en el punto

Nota :
* La ecuación del eje X es : y=0
* La ecuación del eje Y es : x=0
PENDIENTE DE UNA RECTA
Se denomina pendiente de una recta a la tangente trigonométrica de la medida del ángulo formado por la recta y el eje x .

Convencionalmente la pendiente de una recta se denota con la letra “m” minúscula.
En la figura :

* Sea m la pendiente de la recta L.
Luego:
Si < 90º; entonces m es positiva. * Sea: m1 la pendiente de la recta L1. Luego: Si >90º; entonces m1 es negativa
* Las rectas horizontales tienen una inclinación de 0º y su pendiente es cero.
* Las rectas verticales tienen una inclinación de 90º y no poseen pendiente.
CÁLCULO DE LA PENDIENTE :
La pendiente de una recta puede ser calculado conociendo las coordenadas de dos puntos de dicha recta.

* En la figura:
Sea la recta L cuya pendiente es m.
Luego: m=Tana
* En el
* Entonces:
EjeRCICIO 1:

EjeRCICIO 2 :
Calcular la pendiente de la recta que pasa por las puntas A(– 4; 5) y B (3; –2)
RESOLUCIÓN :

* Para el cálculo de la pendiente de la recta L, aplicamos:

* Luego: m = –1
EjeRCICIO 3 :
Calcular la pendiente de la recta “L” que pasa por los puntos P1(2;–3) y P2(5;6).
RESOLUCIÓN :

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
1) Dos rectas paralelas poseen la misma inclinación y si no son verticales , se pueden decir que tienen la misma pendiente:
L1// L2, entonces:

En la figura:
Si: L1// L2m1 = m2
m1 y m2 son las pendientes de las rectas L1 y L2 respectivamente.
2) En el caso de que dos rectas sean perpendiculares, si ninguna de ellas es vertical, se cumple que; el producto de sus pendientes es –1.

CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Conociendo las pendientes de las rectas que forman el ángulo puede calcular dicho ángulo.

m1 es la pendiente de la recta final (L1) y m2 es la pendiente de la recta inicial (L2). Denominamos a L1 Recta Final, porque de acuerdo con la figura el lado final del ángulo está en L1 , lo mismo sucede con L2.

RENÉ DESCARTES
El concepto de sistema coordenado que
caracteriza a la geometría analítica fue aplicado
por primera vez en 1637 por el matemático
y filósofo francés René Descartes. Por ello,
la geometría analítica se llama también
geometría cartesiana. Por el papel unificador
de la geometría analítica en diversas ramas
de la matemática, el aporte de Descartes
representa uno de los pilares del desarrollo
de la matemática. En el inicio, las dos ramas
de la matemática que fueron objeto de esta
unificación, fueron el álgebra, por su nivel de
representación abstracta y la
geometría euclídea.


PLANO CARTESIANO:
El producto es el conjunto de todos los pares ordenados del plano que está determinado por 2 rectas numéricas reales perpendiculares, siendo estas horizontal y vertical respectivamente. Dichas rectas son los ejes de coordenadas rectangulares o Plano cartesiano y a la intersección de los ejes de denomina origen de coordenadas.

Se le denomina así:
* Eje x, horizontal llamado “Eje de las abscisas” o Eje de las x.
* Eje y vertical llamado “Eje de las ordenadas” o “Eje de las y”
* Al conjunto de los ejes, se les llama; “Eje coordenadas”.
* Al punto de intersección de los ejes, se le llama “Origen de coordenadas”
* En el eje x, se considera positivo el sentido de la derecha del origen.
* En el eje y, se considera positivo el sentido hacia arriba del origen.
Nota:
* Los ejes de coordenadas determinan en el plano cartesiano cuatro regiones, las cuales se denominan “cuadrantes”.
* Tomando en sentido antihorario, se enumeran los cuadrantes en: IC; IIC ; IIIC y IV C.
* Al plano cartesiano se le denominan también, sistema de coordenadas, sistema de coordenadas rectangulares o sistema x – y.
* el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) se denomina plano numérico y se denota por , así:

EL PUNTO EN EL PLANO CARTESIANO:
En todo plano cartesiano existen infinitos puntos y a cada punto se le asocia un único par o pareja de números, el cual se le denomina: “Par ordenado” .

NOTACIÓN:
* Punto: P =
: es abscisa.
: es ordenada.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:
Conociendo las coordenadas de dos puntos cualesquiera P y Q, usted podrá determinar la distancia entre ellos.

PMQ:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA:
Conociendo las coordenadas de dos puntos cualesquiera y M(x,y) un punto del , tal que:

Si: ; luego PLM MNQ

Entonces:
Analogamente:

Además: De la gráfica anterior, diremos PM = a y MQ = b; obtendremos:

Analogamente:

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
Sean los puntos P; Q y «M» (x, y) punto medio de ; tal que PM = MQ

RECTA:

CARACTERÍSTICAS DE LA RECTA:

a) Ángulo de Inclinación:
Es el ángulo que forman la recta con el eje de las abscisas, medido en sentido antihorario.

b) Pendiente de una Recta:
Es la tangente trigonométrica de la medida del ángulo de inclinación de la recta.

En la figura:
* Sea “m” la pendiente de la recta

* Sea “m1” la pendiente de la recta

c) Cálculo de la Pendiente:
Conociendo las coordenadas de dos puntos de la recta, se puede calcular su pendiente de esta manera:

* En la figura:
La pendiente de la recta es
PMQ

d) Cálculo de la medida angular entre dos Rectas:

Sean:
m1: Pendiente de la
m2: Pendiente de la
Luego:

Luego:
Reemplazando:

Nota:

a) Si: //

b) Si:

ECUACIÓN DE LA RECTA:

a) Ecuación Forma, Punto y su Pendiente:
Sea un punto P(x, y) de la recta cuya pendiente es “m” se representa mediante la ecuación.

Si:

Luego: Ecuación
Punto
Pendiente

Donde: P(x, y): Punto de Paso.
A: Punto genérico.
m: Pendiente.

b) Ecuación forma pendiente y su ordenada al origen:
Es la tangente trigonométrica de la medida del ángulo de inclinación de la recta.

Donde: A: Punto genérico
(o, b) : Intersecto con el eje Y.
m : Pendiente.

c) Ecuación forma de coordenadas de origen:
La recta que pasa por (o, b) y (a, o) tiene como ecuación:

* De la figura:

Luego: Aplicamos ecuación pendiente y ordenada de origen.
:

Luego: Ecuación de coordenadas al origen

d) Ecuación forma simétrica:

De la figura:

e) Ecuación, distancia de un Punto a una Recta:
: Ax + By + C = 0 y un Punto.
que no pertenece a la recta.

aplicacion 1 :
Si el punto (4;a) pertenece a la recta :
L: 3x– 5y+15 = 0 . Calcular el valor de “a”.

RESOLUCIÓN :
* Si (4;a) L : 3x – 5y + 15 = 03(4)– 5a +15 = 0
12 – 5a + 15 = 0

aplicacion 2 :
La recta L1: 3x– 4y –10=0 es paralelo a la recta “L2” que pasa por el punto A(2;– 3), calcular su ecuación:
RESOLUCIÓN :
* De:
* Como:

* Calculamos la ecuación de “L2” reemplazando m2 y A( 2 ; – 3) en:

aplicacion 3 :
Los vértices de un triángulo son los puntos A = (– 2;1); B=(4;7); C=(6;– 3). Halle la ecuación de la recta que contiene a la altura BH.
RESOLUCIÓN :

Pendiente de la recta que contiene a

* Ecuación de L: L: y – 7 =(2)(x – 4)
L: 0 = 2x – y – 1
guia de preguntas de clase
1. Hallar las medidas de los ángulos de inclinación de L1 y L2.

2. Del problema anterior, hallar la medida del ángulo entre L1 y L2.

3. L1 y L2 son rectas perpendiculares entre sí.
L1 : (x; y)
L2 : pasa por el origen de coordenadas.
Hallar la ecuación de L2.
4. L1 y L2, son dos rectas perpendiculares entre sí.
L1 : pasa por (2; 7)
L2 :
Hallar la ecuación de L1.
5. L1 y L2 son dos rectas paralelas entre sí.
L1 :
L2 : pasa por el punto (0; 0)
Hallar la ecuación de L2.
6. L1 y L2 son dos rectas paralelas entre sí.
L1 :
L2 :
Además, L1,pasa por (2; 3)
Hallar: m + b
7. Hallar la pendiente de la recta que contiene el lado de un , si A (3; -7), C(5; 5) y M(2; 4), donde M es punto medio de .
A) 5/2 B) -5/2 C) 5
D) - 5 E) - 5/4
8. Hallar el ángulo de inclinación de la recta L, cuya ecuación es:

A) 37º B) 53º C) 143º
D) 127º E) 123º
9. Hallar la pendiente de una recta que forma con el semieje positivo OY un ángulo de medida 30º. La pendiente de dicha recta es negativa.
A) B) C)
D) E) -1/2
10. En un cuadrado ABCD, el ángulo de inclinación de la recta que contiene el lado , tiene medida 32º. Hallar la medida del ángulo de inclinación de la diagonal , sabiendo que la ordenada de C es menor que la de D.
A) 77º B) 13º C) 157º
D) 147º E) 167º
11. En un triángulo equilátero ABC, el ángulo de inclinación mide 27º. Si la ordenada de C es mayor que la de B, hallar la medida del ángulo de inclinación de .
A) 33º B) 87º C) 93º
D) 147º E) 137º
12. Hallar la medida del ángulo que determinan las rectas L1 y L2, de ecuaciones:
L1 :
L2 :
A) 102º B) 105º C) 115º
D) 125º E) 110º
13. La distancia entre los puntos A(1; 3) y B(-5; a) es . El valor de a es:
A) 15 B) 15/31 C) 15
D) 15/2 E) 15/7
14. Los puntos P(7; n) y Q(n; -3) están a igual distancia del punto R(n; n). Hallar el valor de n.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
15. En un triángulo ABC, M es punto medio de y N, punto medio de . A(2; 8), C(5; 12). Hallar la longitud de .
A) 5 B) 2 C) 5/2
D) 5/3 E) 3
16. En un triángulo PQR, P(0; 3) . Q(7; 11) y R(5; 9). Hallar la longitud PF si F es punto medio de .
A) B) C)
D) E)
17. Un triángulo ABC tiene su vértice A en el origen de coordenadas y el ángulo recto en B. Si C(12; 8) y //Y, el área de dicha región triangular es:
A) 96 B) 112 C) 192
D) 48 E) 24
18. En la figura, ABCD es un cuadrado.

Hallar la medida del ángulo de inclinación de L2.
A) 75º B) 105º C) 115º
D) 135º E) 120º
19. Dos rectas r1 y r2 son perpendiculares entre sí.
= pasa por (-2; -3)
La pendiente de r2 es:
A) 2 B) - 2 C) - 2/3
D) 2/3 E) 3/2
20. Para el problema anterior, hallar la ecuación de r2.
A) y =2x+1 B) C) y = 3x
D) E)
21. Dos rectas L1 y L2, son perpendiculares entre sí L1 pasa por A (n, n + 3) y B (2; 7), L2 pasa por C(- 7 : 5) y (8; 13). El valor de n es:
A) 23/62 B) 62/23 C) 61/23
D) 23/11 E) –16/7
22. ABC es un triángulo recto en B. Si : A(7; 9). B(-4; 6) y C(a; a + 2); el valor de a es:
A) 16/7 B) 7/16 C) –7/16
D) –16/5 E) –16/7
23. Las rectas r1 y r2 son paralelas entre sí.

pasa por (2; 6), Hallar la pendiente de .
A) 2 B) 1/2 C) –2
D) –1/2 E) 6
24. Para el problema anterior, hallar la ecuación de .
A) 2x+y -14=0 B) x + 2y + 6 = 0
C) x + 2y – 14 = 0 D) 2x + y – 6 = 0
E) x + 2y – 2 = 0
25. L1 y L2 son dos rectas. El ángulo de inclinación de L1 mide 22º y la pendiente de L2 es . La medida del ángulo que forman estas rectas es:

A) 72º B) 38º C) 82º
D) 76º E) 78º
 Determinar la ecuación de la recta.
• Entender que indica la ecuación de una determinada recta.
• Dada una ecuación, trazar en el plano cartesiano su gráfica
HISTORIA ACERCA DE LAS ECUACIONES
LINEALES
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a.n.e. a 1700 d.n.e., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a.n.e.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viete (1540 – 1603), marca el inicio de una etapa en la cual Descartes (1596 – 1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707 – 1783) la define como la teoría de los “cálculos con cantidades de distintas clases” (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).
Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3000 años.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind –1650 a.n.e. y el de Moscú –1850 a.n.e.), multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma: x + ax = b
x + ax + bx = c
Donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.
Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente:
“Un montón y un sétimo del mismo es igual a 24”
En notación moderna, la ecuación sería:

INCLINACIÓN DE UNA RECTA
Es el ángulo que forma la recta con el eje de abscisas. Este ángulo se mide a partir del semieje positivo de abscisas hasta la ubicación de la recta, tomando dicho ángulo en sentido antihorario. Para que usted comprenda un poco más al respecto vea el siguiente gráfico:

Donde:
: Medida del ángulo entre la recta L2 y el semieje X positivo.
: Medida del ángulo entre la recta L1 y el semieje X positivo.
Ejemplos:

PENDIENTE DE UNA RECTA
Se denomina pendiente de una recta a la razón trigonométrica tangente de la medida del ángulo formado por la recta y el eje X.

Convencionalmente la pendiente de una recta se denota con la letra m (minúscula).

De la figura mostrada.

* Sea m1 la pendiente de la recta L1
Luego:
de acuerdo a lo que hemos dibujado: <90º, entonces m1 es positiva.
* Sea m2 la pendiente de la recta L2 .
Luego:
de acuerdo al gráfico: >90º, entonces m2 es negativa.

Ejemplo 1:
Dado el gráfico, calcule la pendiente de L1.
Resolución:
Sea:

Ejemplo 2:
Dado el gráfico, calcule la pendiente de L2.
Resolución:
Sea:

CÁLCULO DE LA PENDIENTE
La pendiente de una recta puede ser calculado conociendo las coordenadas de dos puntos de dicha recta.
Para nuestro caso que es una recta L los puntos datos o conocidos serán A(x1; y1) y B(x2; y2), el gráfico ilustra al respecto.

Del gráfico: sea m la pendiente de la recta L, luego: m = tan.
En el triángulo AMB:

Esta última relación será la indicada para calcular la pendiente de la recta, teniendo como dato, los componentes de dos puntos pertenecientes a dicha recta.

Ejemplo:
1. Dado el gráfico

sea m la pendiente de L.
m = tan
Luego partiendo desde el punto A.

Esto indica que:
La pendiente L1 es o la .

PROPIEDADES
Si:
1. Rectas paralelas
Si:
2. Rectas perpendiculares
Si:

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
1. Ecuación Punto Pendiente
Si la recta L pasa por el punto (x0;y0) de pendiente “m” su ecuación es:

Ejemplo:

Resolución:
Punto de paso: (x0; y0) = (4; 1)
Pendiente:
Ecuación de L:
4y – 4 = 3x – 12
2. Ecuación Pendiente Intercepto

Intercepto: b
Pendiente: m
Ecuación: 0E de L es:
Ejemplos:
1) L1: y = 3x + 2
Þ m = 3 b = 2
2) L2: y = –5x + 1
Þ m = –5 b = 1
3) L3: 2y = 3x + 5
Þ
3. Ecuación General
La ecuación general de la recta L es:

Donde:
Pendiente:
Intercepto:
Ejemplos:
1) Si: L1: 2x + 3y – 4 = 0
Þ A = 2 B = 3 C = –4

2) Si: L2: 4x – 3y + 2 = 0
Þ A = 4 B = –3 C = 2

2. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2; 3) y B(5; 5)

Rpta.:

3. Si L1 pasa por el punto (–1; 2) y es paralela a la recta L2, y = 2x – 1, halle la ecuación de L1.

Rpta.:

4. Calcule la ecuación de la recta L2 que pasa por el punto (2; 3) y es perpendicular a la recta:
L1: 2y = –3x + 1

Rpta.:

5. halle las coordenadas del punto de intersección de las rectas:
L1: x + y = 5
L2: x – y = –1

Rpta.:

6. Si los puntos (1; k) y (n; –1) pertenecen a la recta L1: 2x + 3y – 12 = 0, calcule: k + n

Rpta.:

7. Calcule el área de la región triangular determinada por la recta: L: 3x + 4y = 12 con los ejes coordenados.

Rpta.:

8. Calcule la medida del ángulo formado por las rectas de ecuaciones:
L1: x + y – 6 = 0

Rpta.:

9. Si los puntos (2; 3), (10; n) pertenecen a la recta del ángulo de inclinación 45º, halle n.
1. Si los puntos A(2; 3) y B(10; n) pertenecen a la recta de ángulo de inclinación de 37º, hallar n.
  A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

2. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0; 6) y (–2; 0).
  A) 3x – y – 6 = 0 B) 3x – y + 6 = 0
C) 3x + y + 6 = 0 D) 3x + y – 6 = 0
E) x + y – 5 = 0

3. Halle la ecuación de la recta de ángulo de inclinación 37º y que pasa por el punto medio del segmento donde A(1; 7) y B(9; 5).
  A) x + y – 8 = 0 B) 3x – 4y + 9 = 0
C) 2x – y – 13 = 0 D) 4x – 3y + 9 = 0
E) 4x – y + 3 = 0

4. Si el punto (a; b) pertenece a la recta
L: 2x + 3y = 6, calcule:
  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

5. Calcule la pendiente de la recta L si AOB es un triángulo equilátero.

  A) B) C)
D) E) –1

6. Se tiene un cuadrado ABCD donde A(1; 3) y C(5; 6). calcule la pendiente de la recta que contiene a la diagonal
  A) B) C) D) E) –1

7. Calcule el radio de la circunferencia tangente a los ejes coordenados si la recta L: 2x + 3y = 10 pasa por el centro de dicha circunferencia.
  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A) 2x + 3y – 13 = 0
B) 2x + 3y + 13 = 0
C) 2x – 3y + 13 = 0
D) 2x – 3y – 13 = 0
E) x + y – 13 = 0

9. Calcule las coordenadas del punto de intersección de las rectas:
L1: 6x – y +11 = 0
L2: 3x + 2y + 8 = 0
  A) (2; 1) B) (–2; –1) C) (2; –1)
D) (–2; 1) E) (–2; 0)

10. Calcule el área de la región triangular limitada por la recta:
con los ejes coordenados.
  A) 6u2 B) 8u2 C) 9u2
D) 12u2 E) 16u2