Archive for ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN

PARABOLA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

PARÁBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos , donde cada punto equidista de una recta llamada directriz y un punto llamado foco
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Las diversas formas de la ecuación cartesiana de una parábola, depende de la ubicación del eje focal, con respecto a los ejes coordenados.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA PROBLEMAS RESUELTOS

Indicadores de logro
Construirás, con orden y limpieza, parábolas e identificarás con interés y
seguridad sus elementos.
Construirás la ecuación ordinaria con vértice en el origen o canónica de
la parábola a partir del vértice y un parámetro, del foco y un punto; y de la
directriz y un foco; con esmero e interés.
Determinarás, con esmero e interés, la ecuación de la parábola utilizando
el foco, el vértice y la directriz.
Resolverás y explicarás, problemas del entorno aplicando la ecuación de
la parábola.
Construirás, con orden y limpieza, parábolas e identificarás con interés y
seguridad sus elementos.
Construirás la ecuación general de la parábola a partir del vértice y un
parámetro, del foco y un punto; y de la directriz y un foco; con esmero e
interés.
Determinarás, con esmero e interés, la ecuación de la parábola utilizando
el foco, el vértice y la directriz.
Determinarás con precisión la ecuación general de la parábola.
Ecuación de la parábola con vértice en el origen
Para obtener la ecuación más sencilla de la parábola
llamada canónica, colocamos el eje y a lo largo del eje de
la parábola, con el origen en el vértice, como se muestra
en la figura. En este caso, el foco F tiene coordenadas
(0, p) y la ecuación de la directriz es y = –p. (En la figura
se muestra el caso p > 0) por la fórmula de la distancia,
un punto P(x, y)
APLICACIONES PARABÓLICAS
La superficie de los focos o silbines de un carro
tienen forma parabólica. Lo anterior se debe a
que al colocar una fuente de luz en el punto F, la
totalidad de la luz que se refleja en la superficie
del silbín parece ser esa fuente luminosa. Esta
misma propiedad (o su inversa) se ocupa en
el diseño de antenas parabólicas, linternas,
telescopios, radares, etc.
En las lupas esta propiedad se aplica para
concentrar los rayos luminosos lo cual tiene
aplicación en la industria, como el calentamiento
de hornos.
LOS CABLES DE UN PUENTE
La aplicación de la parábola en muchas áreas de
la ciencia y tecnología es muy amplia.
Por ejemplo, los cables de un puente como el
mundialmente famoso Golden Gate ubicado en la
bahía de San Francisco, describen una parábola.
Esto se debe a que el peso del puente se
reparte uniformemente sobre los cables.
Esta propiedad le permitió a principios del
siglo XX, a un equipo de ingenieros diseñar el
majestuoso puente Golden Gate, en la Bahía de
San Francisco


INTRODUCCIÓN
Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal “x” la altura “y” alcanzada por la pelota.
La parábola es una de las curvas cónicas más utilizadas en la tecnología actual. Un ejemplo son las antenas parabólicas que sirven para captar las señales de televisión emitidas por un satélite. Con ella podemos ver emisoras de televisión de todas partes del mundo. Del mismo modo, la parábola también se emplea para fabricar los faros de los coches.
Propiedades de la parábola
Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos: un rayo, por ejemplo de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión. O recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco. Este hecho es útil en la construcción de linternas, faros automotrices y faros buscadores en los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa esta en el foco. Igualmente, en los telescopios y receptores de radar, las señales de una fuente remota entran paralelas al eje y se reflejan pasando por el foco, mediante un reflector parabólico. La potente concentración que produce un reflector parabólico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar señales luminosas muy pequeñas.
La propiedad de reflexión se muestra en la figura.

PARÁBOLA

DEFINICIÓN.- Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano , que se mueve de tal manera que equidista de una recta fija L (Llamada Directriz). Situada en el plano y de un punto fijo F (Llamado Foco) del plano y que no pertenece a la recta L. Es decir:

ELEMENTO DE LA PARÁBOLA
• Foco F es el punto fijo de la parábola.
• Vértice V es el punto medio del segmento que une la directriz y el foco.
• Eje focal es la recta perpendicular a la directriz L.
• Cuerda focal es el segmento que une dos puntos de la parábola y que pasa por el foco.
• Radio vector es el segmento que une un punto de la parábola E y el foco F.
• Lado recto es la cuerda focal perpendicular al eje focal.
• Excentricidad es la razón constante entre la distancia de un punto al foco y la distancia de dicho punto a la directriz.
• Parámetro (P): FV = VQ = P

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
• Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal el eje X.

Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola.

• Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal el eje Y.

Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola.

Ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y paralelo al eje X.

Ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo al eje Y.

APLICACION 1 :
Demostrar que la longitud del lado recto de cualquier parábola es cuatro veces su parámetro (P).

Resolución:
De la figura, se tiene:
d(C.L) = 2|p|
CM = 2k . . . (i)
Por definición de la parábola.
d(C,L) = d(C,F)
d(C,L) = k . . . (ii)
De (i) y (ii):
CM = 2 . 2 |p|
lqqd.
APLICACION 2 :
El foco de una parábola es el punto A(4;0) y un punto sobre la parábola es el punto P(2;2); entonces la distancia del punto P a la recta directriz de la parábola es :

Resolución :
* Por definición de parábola , es el lugar geométrico de todos los puntos que están a igual distancia de un punto fijo , llamado foco , y de una recta , llamada recta directriz.

APLICACION 3 :
En la figura se muestra la sección de un pozo que tiene forma parabólica. ¿ A qué profundidad estará el nivel de agua?.

RESOLUCIÓN :
* La parábola es: P: (x – h)2 = 4p(y – k)
(x – 0)2 = 4p(y + 18)
* A Î P: (12)2 = 4p(18)
p = 2
P : x2 = 8(y + 18)
* (8;y) Î P: 82 = 8(y + 18)
y = – 10
* Luego el nivel del agua se encuentra a 10u de profundidad.
APLICACION 4 :
La ecuación de una parábola es x2+9y=0, los puntos A=(3;a) y B=(b;–4) pertenecen a la parábola. Hallar la longitud del segmento AB. (BÎIII C)

RESOLUCIÓN :
* Transformando la ecuación :

* Como A pertenece a la ecuación:
32 + 9a =0 a = – 1
* También B pertenece a la ecuación:
b2 – 36 = 0 b = ± 6
* Pero B al tercer cuadrante: B =( – 6; – 4)
*Graficamos el problema:

* Calculamos la distancia de A a B:

GUIA DE PREGUNTAS DE CLASE
1. La ordenada de la intersección de una parábola con eje es – 2. Si el eje tiene por ecuación x = 3 y la parábola pasa por el origen de coordenadas. Determinar la ecuación de la parábola.
2. La abscisa del punto de intersección de una parábola con su eje es – 2; si el eje tiene por ecuación y = 4 y la parábola pasa por el origen de coordenadas, determina su ecuación.
3. Una parábola tiene como vértice el punto (1,3) e interseca al eje X en los puntos y . Calcular la suma de las coordenadas de su foco.
4. Determinar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta : x = 7 y el foco es un punto de la recta : x = 1 cuya ordenada es 2.
5. Calcular el área de la región rectangular mostrada.

6. Determinar la ecuación de la parábola P, si O es su foco, la recta L su directriz y el área de la región rectangular es .

7. En la figura, si la recta es tangente a la parábola en el punto T. Calcular la distancia del punto T al punto W.

8. Determinar la ecuación de la directriz de tal manera que el vértice de la parábola pertenece a la recta :
9. Hallar la intersección de las rectas tangentes en (– 4,0) y (0,2) a la parábola
10. En la figura la ecuación de la circunferencia, es , “F” es el foco de la parábola. Determinar la ecuación de dicha parábola.

11. En la figura, el eje Y es la directriz de la parábola cuyo foco es F, calcular el área de la región sombreada.

12. En el gráfico, determinar la ecuación de la parábola si el área de la región cuadrada es 16 u2.

13. En el gráfico, se muestra la parábola, tal que AM = MC y V = (0,1). Calcule la ecuación de la parábola.

14. En el gráfico, calcule la ecuación de la parábola de foco F y cuya directriz es el eje de abscisas; siendo BN = 2(AM) = 2.

15. Si el foco de la parábola pertenece a la recta , determinar la ecuación de su directriz.
16. Sea V(h,2) el vértice de la parábola de eje focal vertical. La recta intersecta al eje focal de en el punto (a , 2) y a su directriz en el punto (9 , b). Determinar la ecuación de .
17. En el gráfico, se tiene la parábola de ecuación , F y T son foco y vértice de la parábola, calcule DN (T es punto de tangencia).

18. Según la figura, V y F son vértice y foco de la parábola . Si OV = VF = 1 y MF = 5; calcule el área de la región triangular.

19. En el gráfico, es una parábola, V y F su vértice y foco respectivamente. Calcular la suma de las coordenadas del baricentro del triángulo FQM.

20. En la figura, el centro de la circunferencia: , coincide con el foco de la parábola. Calcular el área de la región rectangular si es la directriz.

21. Si la circunferencia tiene por ecuación , determinar la ecuación de la parábola cuyo foco está en el origen de coordenadas.

A) B)
C) D)
E)
22. Si la ordenada del foco de la parábola de ecuación es 3, determine la suma de las coordenadas de los posibles vértices de dicha parábola.
A) 7/4 B) 7/2 C) 4 D) 9/2 E) 5
23. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el foco de la parábola de ecuación y el punto de intersección de dicha parábola con el eje Y.
A) y – x = 2 B) y = x C) y = 3
D) y = x + 1 E) y = x + 3
24. Según el gráfico, F es el foco de la parábola . Si QN = 2(PM) = 6, siendo áreas de las regiones sombreadas, calcule .

A) 20/7
B) 13/7
C) 15/4
D) 13/5
E) 12/7

25. Según el gráfico, G es baricentro de la región triangular equilátera ABC, recta directriz, determine la ecuación de la parábola.

A)
B)
C)
D)
E)