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ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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SECCIONES CÓNICAS
Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
La intersección de un plano con un cono circular recto de dos hojas es una curva denominada sección cónica.
Dependiendo del modo de cómo el plano interseca al cono, se generan las curvas y circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.
CIRCUNFERENCIA :
Si el plano es perpendicular a la directriz y no pasa por el vértice , entonces la intersección del plano con el vértice es una circunferencia.
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Sea P(x;y) un punto del plano xy cuya distancia constante a otro punto fijo C(h;k) es R, luego; la ecuación de la circunferencia es:
C: (x–h)2 + (y – k)2 = R2



APLICANDO LA CIRCUNFERENCIA
Al desarmar el motor de un automóvil o de un
reloj se hallan una gran cantidad de piezas de
forma circular. El conocimiento de la utilidad del
círculo por el hombre primitivo fue un factor
fundamental en el desarrollo de la humanidad.
Además, la naturaleza ofrece infinidad de
ejemplos de circunferencias y círculos. Así, la
sección transversal de la tierra es circular, como
también los tallos de las plantas. Por ejemplo,
la nervadura de las haces fibro leñosos en el
reverso de la hoja circular del nenúfar gigante
del Amazonas es circular y forma una gran
variedad de arcos y ángulos.


INTRODUCCIÓN
Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano, las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
Un Poco de Historia: El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones simples
La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que estos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la Gravitación Universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.
La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.
Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.
Una cónica se puede considerar como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.
CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano , de tal manera que se mueve manteniéndose siempre igual a una cantidad constante r (r radio) de un punto fijo C del plano denominado centro de la misma. Es decir:

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

• C Centro de la circunferencia
• Radio (CU = r)
• Cuerda
• Diámetro
• Recta Normal
• Recta Tangente
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA
1. Forma Canónica: Es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

2. Forma Ordinaria: Si el centro de la circunferencia no está en el origen de coordenadas, sino en el punto C(h; k) y es de radio r; entonces la ecuación de la circunferencia será:

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.
Si se desarrolla la ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene la ecuación general:

Para pasar de la ecuación ordinaria a la ecuación general:

De donde:

También:

aplicacion 1 :
Demostrar que la ecuación de la circunferencia, donde los puntos y son extremos de uno de los diámetros, es:

Resolución:

Por punto medio del , se tiene:

Por distancia entre dos puntos:

Luego la ecuación de la circunferencia es:

aplicacion 2 :
Halle la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y, y una cuerda cuyos extremos son los puntos A(2;7) y B(4;1).
RESOLUCIÓN :

* Por distancia entre dos puntos :
R2 = (2 – 0)2 + (7 – k)2 ………………………(I)
R2 = (4 – 0)2 +(1 – k)2 ……………………..(II)
* (I)=(II):
36 = 12k ® k = 3
Þ R2 = 4 + (7 – 3)2 = 4 + 16 = 20
* Luego : C: (x – 0)2 + (y – 3)2 = 20
C: x2 + (y – 3)2 = 20
aplicacion 3 :
Determinar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación en forma general es :
x2 +y2 +10x – 4y + 25 = 0
RESOLUCIÓN :
* Primero agrupamos los términos:
(x2+10x+…) + (y2+4y+ …) = –25
* Ahora completamos los cuadrados:

* Finalmente: hemos obtenido la ecuación en su forma canónica y vemos que el centro es (–5 ;2) y el radio es 2.
(x + 5)2 + (y – 2)2 = 4
aplicacion 4 :
Hallar el valor de k para que la ecuación :
x2+y2- 8x+10y + k = 0 represente una circunferencia de radio 7.
RESOLUCIÓN :
* Ordenando:

* Luego se debe cumplir:
41 – k = (7)2, de donde 41 – k = 49
* Finalmente: k = 41 – 49 k = –8
aplicacion 5 :
Halle la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto ( – 1;4) y es tangente a la recta que pasa por los puntos A(3; – 2) y B( – 9; 3)

RESOLUCIÓN :
* La ecuación será de la forma:
(x+1)2+(y – 4)2 = R2 …………………………………..(I)
* Pero como pasa por A(3; – 2) y B( – 9; 3), su pendiente será:

* Luego la ecuación de la recta:

* Ahora consideramos la distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente, es decir “R”:

* Reemplazando en (I):
C : (x+1)2 +(y – 4)2 = 16
guia de preguntas de clase
1. Si R = 7 y OA = 25, calcular la ecuación de la circunferencia.

2. En la figura, OP = 12 y O: centro. Calcular la ecuación de la circunferencia.

3. La ecuación de una circunferencia es:

Hallar el centro y el radio.
4. La ecuación de una circunferencia es:

Hallar el centro y el radio.
5. Hallar el área de la región sombreada.

6. Hallar el área de la región triangular sombreada.

7. Calcular la ecuación de la circunferencia, si el área de la región triangular equilátera OAB es (P es punto de tangencia)

8. Se tiene la circunferencia:

Hallar el perímetro del cuadrado circunscrito a dicha circunferencia.
9. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro C(2,– 2) y es tangente a la recta: L: 3x + 4y – 8 = 0

10. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (– 1,1) que es tangente a la recta que pasa por (4,0) y (0,– 4).
11. En la figura, OABC es un rombo y P, Q y R puntos de tangencia. Sabiendo que OL = 10 y OC = 5, calcule la ecuación de la circunferencia .

12. En la figura T es punto de tangencia, A = (0 ,8) y B = (0,2). Determine la ecuación de la circunferencia .

13. Se tiene la : .
Calcule la ecuación de la recta que pasa por el centro de y el punto P(0,3):
14. En el gráfico, la ecuación de la recta es , calcule la ecuación de la circunferencia .

15. Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(0,2) y es tangente en el origen a la recta L: y = – 2x.
16. Calcular la ecuación de la circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD si los puntos A(–1,2) y C(7,–6) son los extremos de una de las diagonales del cuadrado.
17. Hallar el valor de k para que la circunferencia , represente a una circunferencia.
18. Calcular el radio de la circunferencia , cuyo centro pertenece a la recta del a ecuación: .
19. Una circunferencia de radio , tiene su centro en la recta L : 4x + 3y = 2 y es tangente a la recta . Calcular la suma de las abcisas de los posibles centros de la circunferencia.
20. En el gráfico, T es punto de tangencia si , determine la ecuación de la circunferencia.

21. Calcular m, si el punto (2;3) pertenece a la circunferencia:

A) 12 B) 14 C) – 14 D) – 12 E) 16
22. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 4x + 3y + 2 = 0 y su centro pertenece a las rectas x + y = 4 y 3x = y.
A)
B)
C)
D)
E)
23. En la figura, L: y = 2x – 4. Calcule la pendiente de la recta .

A) 9/11 B) 5/3 C) 4/3 D) 3/4 E) 1/2
24. En el gráfico R , S y T son puntos de tangencia. Si r = 2 y B(12,0); calcule la ecuación de la circunferencia de diámetro TC.

A)
B)
C)
D)
E)
25. Según la figura, la , OE = EB y KO = 20. Halle la ecuación de la circunferencia .

A)
B)
C)
D)
E)
26. Si los puntos K(4;1), L(14;1), N((a;b), son los vértices de un triángulo rectángulo recto en N, entonces la ecuación de circunferencia que pasa por estos tres puntos es :
A)(x – 1)2 + (y – 9)2 = 9
B)(x – 9)2 + (y – 1)2 = 16
C)(x– 1)2 + (y – 9)2 = 25
D)(x – 9)2 + (y – 1)2 = 25
27. Se tiene una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y de radio 25 . Si la suma de componentes de un punto de dicha circunferencia es 31, calcule la ecuación de la recta tangente en ese punto (la abscisa es mayor que la ordenada) .
A) x + 7y = 625 B) 24x+7y=625 C) 24x – y=625
D) 24x – 7y=625 E) 7x – 7y=625
28. Determinar la ecuación de la circunferencia, ubicada en el primer cuadrante tangente al eje de ordenadas en el punto (0;6) y cuyo centro se encuentra a 5 unidades de la recta 3x – 4y – 10 = 0.
A) (x – 3)2 + (y – 6)2 = 32
B) (x +3)2 + (y – 1)2 = 32
C) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 32
29. La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio de una cuerda de ésta circunferencia es el punto P( – 2;4). Halle la ecuación de la recta que contiene a dicha cuerda :
A)x – 2y + 10 = 0 B)x+ 2y – 10 = 0 C)x + 2y+ 5= 0 D)x – 2y – 5 = 0 E)x + y + 10 = 0