Archive for DOMINIO DE UNA RELACION

RELACIONES MATEMÁTICAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

OBJETIVOS :
* Reconocer un producto cartesiano,
*Reconocer y representar en un sistema bidimensional una relación deduciendo su dominio y rango correspondiente.
* Relacionar ejemplos prácticos al modelo apropiado de relación e interpretar la operación asociada y terminología en el contexto.
* Identificar relaciones de equivalencia.
* Dibujar las gráficas de las relaciones.
INTRODUCCIÓN :
Dos franceses reciben el crédito de crear la idea del sistema de coordenadas . Pierre de Fermat era un abogado que hacía matemáticas por afición. En 1629 , escribió unas notas donde hacia uso explícito de coordenadas para describir puntos y curvas.
René Descartes era un filósofo que pensaba que las matemáticas eran la llave para descubrir los secretos del universo. En 1637 publicó «La Geometríe». Es un libro muy famoso, y aunque pone énfasis en el papel del álgebra para resolver problemas de geometría sólo sugiere vagamente el uso de coordenadas. Fermat deberá tener el mayor crédito por habérsele ocurrido la idea primero y de un modo más explicito. La historia puede ser un amigo traicionero; coordenadas se conocen como coordenadas cartesianas debido a René Descartes.
En el plano, hágase dos copias de la recta real, una horizontal y la otra vertical, de manera que se intersequen en el punto cero de las dos rectas. Las dos rectas se llaman ejes coordenadas; su intersección, a la que se le asigna la etiqueta «0» se llama origen. Por convención la recta horizontal se llama eje «x» y la recta vertical eje «y». La mitad positiva del eje x está en la derecha y la mitad positiva del eje y está hacia arriba. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes; estos se etiquetan con I, II, III y IV


Pares ordenados
Considera el caso que se plantea al inicio sobre la
moda de superpociones, es decir, de ponerte debajo
una camiseta verde manga larga y encima la camiseta
amarilla manga corta. Lo expresas así: {verde, amarilla}
en este caso se ven las mangas de la camiseta verde.
Pero qué sucede si te pones debajo la camiseta amarilla
de manga corta y encima la camiseta verde manga larga.
Lo expresas así: {amarilla, verde}.
Observarás que no se ve la camiseta que llevas debajo.
Entonces, {verde, amarilla} y {amarilla, verde} no
significan lo mismo, porque aunque en los dos casos
te pones las camisetas verde y amarilla, lo haces en
distinto orden.Podemos decir que {verde, amarilla} y
{amarilla, verde} son pares ordenados, porque son pares
de elementos y además indican orden.
Un par ordenado indica orden entre dos elementos y, en
general, se expresa así: (a, b) a, es el primer componente
del par y b el segundo.
El par (a, b) es distinto del (b, a) porque, aunque los
elementos son los mismos, están en distinto orden. Así
tenemos: (2, 3) ≠ (3, 2); (–5, –9) ≠ (–9, –5).
Igualdad de pares ordenados
El par ordenado (a, b) es igual al par (c, d), si y solo si a = c y b = d
Ejemplo 1
Encuentra los valores de “x” y de “y” para que cumpla la igualdad de pares ordenados:
(5, y) = (x + 2, 6)
Solución:
Sabemos que (a, b) = (c, d), si y solo si a = c y b = d.
Por definición (5, y) = (x + 2, 6), sí y solo sí 5 = x + 2 y y = 6, despejando:
5 = x + 2 tenemos
5 – 2 = x
x = 3
Luego, obtienes x = 3 y y = 6

Producto cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto
formado por todos los pares ordenados que puedas
formar, que tengan el primer componente del primer
conjunto y el segundo componente del segundo
conjunto.
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano de A
y B se escribe así: A × B y se lee A cruz B.
A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados cuya
primera componente pertenece al primer conjunto
A y cuya segunda componente pertenece al segundo
conjunto B.

Relaciones
En la vida cotidiana es frecuente oír que las personas
se relacionan, por ejemplo: “es amigo o amiga de”, “es
hermana o hermano de”, “es esposo o esposa de”, “es
menor que”, y otras.
En matemática, el concepto de relación implica la idea
de correspondencia entre los elementos de los conjuntos
que forman pares ordenados.
Una relación es un subconjunto de pares ordenados que
cumplen con cierta propiedad. Así por ejemplo:
Si A = {1, 4, 6} y B = {2, 3, 7}
Una relación que exista entre A y B puede ser “x es mayor
que y”, entonces: R = {(4, 2), (4, 3), (6, 2) (6, 3)} ⊂ A ×B
Una relación de A en B, denotada R: A → B, es cualquier
subconjunto R del producto cartesiano A × B.
R: A → B se lee: “Relación de A en B”

Resumen
En esta lección estudiaste lo relacionado a que un par ordenado indica orden entre dos elementos y, en general,
se expresa así: (a, b).
El par ordenado (a, b) es igual al par (c, d), si y solo si a = c y b = d
También estudiaste el producto cartesiano de dos conjuntos. El producto cartesiano de dos conjuntos es el
conjunto formado por todos los pares ordenados obtenidos de tal manera que, tengan el primer componente en
el primer conjunto y el segundo componente en el segundo conjunto.
Una relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de los conjuntos que forman pares
ordenados, por lo que, una relación es un subconjunto de pares ordenados que cumplen con cierta propiedad.

COORDENADAS EN LA CIUDAD
Existen varios movimientos que a diario efectúan
nuestros cuerpos por el espacio. Imagínate los
desplazamientos que realizas cuando sales de tú
casa, por ejemplo: Avanzas tres cuadras, giras a
la derecha y continúas por cinco cuadras más.
Y luego llegas a la Escuela. Estos
desplazamientos los puedes ubicar en el plano
cartesiano. Se denominan plano cartesiano
en honor a René Descartes (1596-1650), el
célebre filósofo y matemático francés que quiso
fundamentar su pensamiento filosófico en la
necesidad de tomar un punto de partida sobre el
que edificar todo el conocimiento.

Gráfica de relaciones
Como los elementos de una relación son pares
ordenados, entonces esta puede ser representada en el
plano cartesiano, es decir, puede graficarse.

Resumen
Esta lección trató sobre la gráfica de relaciones y sobre
el dominio y recorrido de la relación.
Tenemos entonces que:
Toda relación puede ser representada gráficamente
en el plano cartesiano.
El conjunto de los primeros componentes de los
pares que pertenecen a una relación R, se llama
dominio de la relación y se denota por DR.
El conjunto de los segundos componentes de los
pares que pertenecen a una relación R, se llama
recorrido o rango de la relación y se denota por RR.

LAS RELACIONES EN LAS CIENCIAS
La relación entre la ciencia y la matemática tiene
una larga historia, que data de muchos siglos.
La ciencia le ofrece a las matemáticas problemas
interesantes para investigar, y éstas le brindan
a aquella herramientas poderosas para el
análisis de datos. La matemática y la tecnología
también han desarrollado una relación productiva
mutua. La matemática de las relaciones y
cadenas lógicas, por ejemplo, han contribuido
de manera considerable al diseño del hardware
computacional y a las técnicas de programación.
La matemática también ayudan de manera
importante a la ingeniería, como en la descripción
de sistemas complejos cuyo comportamiento
puede ser simulado por la computadora