DIVISION DE POLINOMIOS , HORNER , RUFFINI, COCIENTES NOTABLES EJEMPLOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

PROPIEDADES DE GRADO EN UNA DIVISIÓN: Establezcamos la siguiente simbología convencional: : grado del dividendo : grado del divisor : grado del cociente entero : grado del residuo Con respecto a una variable definamos los siguientes principios de una división euclídea
Álgebra SEMANA Nº 7 DIVISIÓN DE POLINOMIOS 1. DEFINICIÓN: Es la operación cuya finalidad es obtener las expresiones algebraicas llamadas cociente q(x) y resto r(x) dadas otras dos expresiones denominadas dividendo D(x) y divisor d(x). Esquema: 2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN: Dados D(x), d(x) [x]; d(x) 0, existen polinomios q(x) y r(x) únicos, tales que: D(x) = d(x) q(x) donde r(x) = 0 ó grad [r(x)] < grad [d(x)] . Los polinomios q(x) y r(x), se denominan cociente y residuo, respectivamente. Ejemplo 1: x3 7x + 4 = (x 2) ( x2 + 2 x 3 ) 2 D(x) d(x) q(x) r(x) Propiedades i. grad [D(x)] grad [d(x)] ii. grad [q(x)] = grad [D(x)] grad [d(x)] iii. grad [r(x)]max = grad [d(x)] 1 CLASES DE DIVISIÓN EXACTA: Si r(x) = 0 INEXACTA: Si r(x) 0 De (1): D(x) = d(x) q(x) i) D(x) es divisible por d(x). ii) d(x) es un divisor ó es un factor de D(x). De (1): D(x) = d(x) q(x) + r(x) donde: 0 grad [r(x)] < grad [d(x)] 2.1. Criterios para dividir polinomios: 2.1.1. Métodos de división de polinomios: Dos de los métodos de división son: A) Método de Horner: Aplicable a polinomios de cualquier grado. i) El dividendo y el divisor deben ser polinomios ordenados generalmente ordenados en forma decreciente y completos, respecto a una misma variable. ii) Se completará con ceros los términos faltantes en el dividendo y divisor. iii) La línea vertical que separa el cociente del residuo se obtiene contando de derecha a izquierda tantas columnas como nos indica el grado del divisor. iv) El resultado de cada columna se divide por el coeficiente principal del d(x), y este nuevo resultado se multiplica por los demás coeficientes del d(x), colocándose los resultados en la siguiente columna y hacia la derecha. Ejemplo 2: Dividir D(x) = 25×5 x2 + 4×3 5×4 + 8 por d(x) = 5×2 3 + 2x Solución: Ordenando y completando los términos del dividendo y divisor: D(x) = 25×5 5×4 + 4×3 x2 + 0x + 8, d(x) = 5×2 + 2 x 3 Coeficiente principal del d(x) Coeficientes del D(x) B)Método de Ruffini: Es un caso particular del método de Horner aplicable sólo a divisores binómicos de la forma (x b), o transformables a binomios. El esquema de Ruffini consiste en dos líneas, una horizontal y la otra vertical, tal como se muestra en la figura. 5 25 5 4 1 0 8 2 10 15 3 15 6 25 910 20 15 8 12 5 3 5 4 23 4 coeficientes del cociente q(x) coeficientes del resto Demás coeficientes del d(x) con signo cambiado q(x) = 5 x3 3 x2 + 5 x 4 r(x) = 23x 4 Ejemplo 3: Dividir 2×5 17×3 3×2 12x 6 x 3 Solución: x 3=0 2 0 17 3 12 6 x =3 6 18 3 18 18 2 6 1 6 6 12 Ejemplo 4: Dividir 4 3 2 3x 1 Igualamos el divisor a cero 3x 1 0 entonces x 1 3 Resolviendo, tenemos el siguiente esquema Para encontrar el cociente correcto se divide a todos los coeficientes del cociente por el denominador de la fracción que se obtuvo para x, al igualar el divisor a cero. Así q(x) 2×3 x2 3x 4 y r 5 . El siguiente teorema nos permite encontrar el resto sin efectuar la división. 3. TEOREMA DEL RESTO El resto r de dividir un polinomio p(x) por un binomio de la forma ax b, es igual al valor numérico que se obtiene al reemplazar en el dividendo x = a b . 6 1 -10 15 -9 1 3 6 3 2 -9 1 -3 -5 4 12 2 1 -3 4 3 q(x) = 2×4 +6×3 +x2+6x+6 r = 12 En conclusión: Si p(x) (ax b) r = p a b . Regla práctica: El divisor se iguala a cero. Se despeja la variable. La variable obtenida en el paso anterior se reemplaza en el dividendo, obteniéndose así el resto. Ejemplo 5: Halle el resto al dividir 17 16 2 x 3 . Solución: 1º d(x) = 0 x + 3 = 0 2º Despeje conveniente: x = 3 3º 16 17 2 resto = 5 Ejemplo 6: Determine el resto de la siguiente división 3 6 3 5 3 3 (x 4) (x 2) (x x 1) x 3 . Solución: Aplicando el Teorema del resto x3 3 0 x3 3 Si reemplazamos en el dividendo r(x) (3 4)6(3 2)5 (3 x 1) ( 1)6 (1)5 2 x r(x) x 3 4. DEFINICIÓN: Diremos que r es raíz o cero de p(x), si p(r) = 0. Ejemplo 7: Para el polinomio p(x) 2×3 3×2 11x 6 Vemos que x 3 es una raíz de p(x) pues se tiene que p(3) 2(3)3 3(3)2 11(3) 6 54 27 33 6 60 60 0 . También vemos que x 1 no es una raíz de p(x) pues p(1) 2(1)3 3(1)2 11(1) 6 2 3 11 6 8 14 6 es decir, p(1) 0. 5. TEOREMA DEL FACTOR: a) es un factor de p(x). p(x) = (x a) q(x) 5.1. Propiedades 1º p(x) es divisible separadamente por (x a), (x b) y (x c) p(x) es divisible por (x a) (x b) (x c).