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PROBABILIDADES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Si lanzamos una moneda y nos preguntarán que posibilidad tiene la parte de la cara de aparecer , ninguno de nosotros dudara al responder que tiene una entre dos posibilidades o sea : 1/2 ó el 50% ; este razonamiento es un ejemplo de situaciones en las cuales no estamos absolutamente seguros de lo que va ocurrir , pero expresa cierto grado de predicción de lo que puede suceder .
El estudio de la «probabilidad», nos proporcionan una teoría matemática para medir la posibilidad de ocurrencia de un evento ó suceso en un experimento aleatorio (no determinístico) o experimento que depende del azar .
A continuación , mencionaremos las definiciones necesarias para hacer entendible el tema en mención

Noción de probabilidad
Probabilidad subjetiva
Los estudios de mercado no dejan claro si un nuevo producto será aceptado por los consumidores. Sin embargo, Juan
Diego presiente que ya en el mercado, el producto será aceptado por un 70% de los consumidores, y propone lanzarlo.
Después de varias semanas de venta, la empresa comprueba que Juan Diego tenía razón. Como la probabilidad de
éxito fue resultado de una corazonada de Juan Diego, ésta recibe el nombre de probabilidad subjetiva.
Probabilidad empírica
Isabel y Omar realizan varias series de lanzamientos al aire de una moneda. En cada serie se observan las veces que
resulta cara y anotan los resultados.

Llamamos probabilidad empírica de un suceso a la frecuencia relativa con la cual este ocurre.
Así, en este ejemplo, la probabilidad empírica del suceso o evento “resulta cara” es de 0.30 en la primera serie de
lanzamientos, 0.40 en la segunda, 0.44 en la tercera, etc. A medida que aumentas el número de lanzamientos de la
moneda, ¿a cuánto tiende la frecuencia relativa del suceso resulta cara?

Probabilidad teórica
En el ejemplo anterior observas que para calcular la probabilidad de un suceso es necesario efectuar muchas pruebas.
Además, siempre obtienes un valor aproximado de la probabilidad. Para evitar esta situación el matemático Pierre
Laplace (1749 – 1827) definió la probabilidad de un suceso así:
La probabilidad de un suceso A que se escribe “P(A)”, es la relación que existe entre el número de casos favorables al
suceso y el número de casos posibles

Regla de la suma o probabilidad de la suma
Probabilidad de la suma de sucesos mutuamente excluyentes

Probabilidad de la suma de sucesos que no son
mutuamente excluyentes

Regla del producto Probabilidad condicional

Resumen
Las probabilidades rigen tu vida. Hay personas que toman decisiones por corazonadas, asignándole a cada
evento su propia probabilidad. Esta es la probabilidad subjetiva.
Se le llama probabilidad empírica de un suceso a su frecuencia relativa.
Llamamos probabilidad teórica a la relación que existe entre el número de casos favorables al evento y el
número de casos posibles.
La probabilidad de la suma de sucesos es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su
intersección. Si estos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de su intersección es cero.
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. La
probabilidad del producto de sucesos independientes, P(A y B) o P(A . B), es igual al producto de sus
probabilidades.
La suma de sucesos se asocia con el conectivo “o”, y el producto con el conectivo “y”.

NOCIÓN DE PROBABILIDAD
¿Qué es probabilidad?, ¿como se puede medir? ¿cómo se usa? las respuestas a estas preguntas son la preocupación de este Capítulo.
La probabilidad estudia los fenómenos o experimentos puramente “aleatorios” o libres de determinación. En el estudio de probabilidad interesa decir las leyes del azar y los resultados que estos determinan. Históricamente la teoría de la probabilidad comenzó con el estudio en los juegos de azar, tales como los dados, las cartas, la ruleta. A GIROLAMO CARDAMO (1501 – 1576) médico, matemático y jugador italiano, se le atribuye la primera discusión sobre probabilidades y que presentó sus ideas en su libro “liber de Ludo Aleae” (El libro de los juegos del azar). Cien años más tarde, los matemáticos franceses Blasie de Pascal (1623-1647) y Pierre Fermat (1601-1665), retomando los planteamientos de Cardamo, elaboran una serie de leyes y principios que enriquecieron la Teoría de la Probabilidad y en el año 1812, Laplace (1749-1827) con la publicación de su libro Therorie Analytique des Probabités se fijan los fundamentos de la Teoría de las Probabilidades.
Niccolo Fontana, de Brescia (1500-1557) quedó tartamudo por un corte en el cuello producido por un soldado francés en la masacre de 1512 en la Catedral de su ciudad natal.
Desde entonces fue conocido como Tartaglia. Hijo de una viuda pobre (su padre había muerto en la citada masacre), estudió por si solo: griego, latín y matemática. Muy pronto fue profesor de matemática en Venecia, luego en Brescia y de nuevo en Venecia, donde murió. Mente poderosísima, resolvió arduos problemas algebraicos (por ejemplo la ecuación cúbica). En su Tratado de 1556 se refiere, como descubrimiento propio, al triángulo aritmético y al desarrollo del binomio.
Lo cierto es que en años anteriores ya eran conocidos en Occidente y de antiguo en Oriente.
Curiosamente, hoy el triángulo aritmético suele llamarse “de Tartaglia” o de “Pascal”, que escribió un libro sobre el tema en 1654 (Traité du triangle aritmétique, aparecido posteriormente en 1665) en el que también se encuentra la fórmula del binomio conocida como “de Newton”.
La historia de lo que comúnmente se denomina triángulo aritmético, de Tartaglia o de Pascal, es larga y curiosa. Obviamente está entrelazada con los progresos del análisis combinatorio y, sobre todo, con el del cálculo de los coeficientes del desarrollo del binomio. Euclides (300 a. de C.) manejaba el caso más sencillo (el cuadrado del binomio). Hacia 1100, Omar Khayan aseguraba conocer la técnica del desarrollo para exponentes más altos. En cuanto al propio triángulo, aparece en uno de los trabajos del algebrista chino Chu Shi-kie en 1303. En Occidente se encuentra el triángulo en los libros de aritmética de Apianus (1527), Stifel (1544), etc., y en el del propio Tartaglia (1556). Con posterioridad se ocupan del tema otros autores y lo “agota” Pascal con su tratado de 1654. En las ilustraciones de triángulos orientales, los chinos proceden del libro de Chu Shi-kie, el japonés de una obra más moderna (1781) de Murai Chuzen.
CONCEPTOS BÁSICOS
La base de la Teoría de Probabilidades es el concepto de suceso o experimento aleatorio. Relacionamos este suceso con la Realización de cierto experimento.
¿QUÉ ES UN EXPERIMENTO ALEATORIO?
Es aquel que repetido muchas veces, da resultados distintos que no se pueden prever porque dependen del azar. Ejemplo:
Al arrojar el dado no se puede asegurar el resultado.
Al lanzar una moneda no se puede afirmar el resultado de ser cara o sello

Al sacar una carta al azar no se puede asegurar su valor, color, ………….
ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto formado por todos los Resultados posibles de un experimento aleatorio dado. Usualmente se designa a este conjunto con “S”. En la Teoría de conjuntos “S” representa el conjunto universal.

El suceso aleatorio es un subconjunto del espacio muestral “S”.

Ejemplo:
Experimento se hace rodar un dado y se observa el número que aparece en la cara superior
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Suceso o evento: A: obtener un número par: A = {2, 4, 6}

1. EXPERIMENTO: Arrojar uno o más dados (, , ……. )

2. EXPERIMENTO: Arrojar una o más monedas

3. EXPERIMENTO: Arrojar m dados y w monedas
Espacio muestral:

Total de casos posibles:

4. EXPERIMENTO: Extracción al azar de una urna con fichas numeradas de 1 hasta “m”, inclusive si la extracción es de una o más fichas es a la vez.

5. EXPERIMENTO: Extracción al azar de una Urna con fichas numeradas de 1 hasta “m”, inclusive si se extrae uno tras otro sin reposición.

Muchos espacios muestrales se pueden determinar fácilmente por el “Diagrama del arbol”. Cada rama representa una posibilidad.
1. EXPERIMENTO: Ruth se encuentra embarazada y ella va a tener trillizos, determinar el evento que a sus dos únicos hijos varones se llamen ALFREDO Y ERNESTO.
Determinación del espacio muestral para el sexo de los trillizos.

EVENTO: Dos hijos Varones
V V M
V M V
M V V
Pero para asignarles los nombres a los varones.

2. EXPERIMENTO: En un saco hay 3 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules, todas del mismo tamaño y material. Si se desea hacer extracciones de tres bolas una por una, sin reposición. Determinar los eventos de tener la primera roja y las siguientes azules o blancas.

3. EXPERIMENTO: Se arrojan al azar dos dados normales. Determine el espacio muestral además el evento que el valor de sus caras superiores sumen 8

PARA CALENTAR SESOS I
1. Determine el espacio muestral del experimento de extraer dos fichas al azar de una urna de 10 fichas numeradas del 1 al 10. Además el evento que estas tengan como suma un número de dos cifras.
2. Determine el espacio muestral del experimento de estraer al azar dos bolas, una por una de una caja que contiene 3 bolas negras, 4 blancas y amarillas, además el evento la primera sea negra y la segunda blanca.
3. Determine el espacio muestral del experimento de arrojar 4 monedas legales, además el evento de tener por lo menos dos caras.
4. Determine el espacio muestral del experimento de un torneo de tenis, donde para obtener el triunfo se deben ganar tres sets consecutivos o alternados, además el evento de tener 4 Sets jugados para obtener el triunfo.

INTUITIVAMENTE: Se entiende por probabilidad a la comparación del suceso o evento que deseamos que ocurra con todos los posibles resultados llamado espacio muestral, en resumen: ¿Qué parte es el evento a favor del espacio muestral? El valor numérico es la medida de la probabilidad.

CONCEPTO CLÁSICO DE PROBABILIDAD

La suposición que frecuentemente se hace para espacios muestrales finitos es que todos los resultados sean igualmente probables. De acuerdo con esto podemos enunciar el siguiente concepto:
“Si un experimento tiene “n” resultados posibles equiprobables, y si K de estos resultados son favorables, entonces la probabilidad “P” es . De esto se deduce que cualquier suceso “A” que conste de k resultados, tenemos: o También

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD

Sea S un espacio muestral asociado a un experimento y “A” cualquier suceso de S; es decir, A Ì S, se dice que P es una función de probabilidad en el espacio muestral S si se satisfacen los tres axiomas siguientes:
AXIOMA 1:
AXIOMA 2: P(s) = 1
AXIOMA 3: Si A1, A2, …… es una serie de sucesos mutuamente excluyentes, entonces:
P(A1 È A2È……. ) = P(A1) + P(A2) + ….

Dos sucesos cualesquiera A y B se dice que son mutuamente excluyentes, si ocurre A pero no ocurre B o ocurre B pero no ocurre A.

 Probabilidad de un evento es igual a cero si dicho evento no será posible.
 Probabilidad de un evento es igual a uno si dicho evento siempre ocurre.

Si un evento A tiene la probabilidad de que ocurra es “P(A)”, la probabilidad de que no ocurra A es P(A’) es: P(A) + P(A’) = 1

¿Qué relación existe entre posibilidad y probabilidad?
Supongamos que la posibibilidad de un evento A que ocurra es de 3 contra 7, entonces de un total de 10 casos el número de posibilidades que ocurra el evento es 3 por lo tanto la probabilidad de A es 0,3

Ejemplo 1

Posibilidad del evento A ……… Probabilidad de A
3 contra 7
4 contra 11
n contra m

EJEMPLO 2
Probabilidad de A ………. Posibilidad del evento A
2 contra 3

0,3

1

I. PROBABILIDAD LINEAL (L)
Supongamos que el segmento es parte de un segmento L. Sobre el segmento “L” se ha marcado un punto al azar. Admitiendo que la probabilidad de que un punto caiga en el segmento es proporcional a la longitud de este segmento y no depende de su posición con respecto al segmento L. La probabilidad de incidencia del punto sobre el segmento l se determina por la igualdad:

II. PROBABILIDAD SUPERFICIAL (S)
Si la figura plana (m) es parte de una figura plana M, sobre la figura M se ha marcado un punto al azar. Suponiendo que la probabilidad de que un punto caiga en la figura (m) es proporcional a la superficie de esta figura y no depende ni de su ubicación respecto a M, ni de la forma de (m), por lo tanto se calcula:

III. PROBABILIDAD VOLUMÉTRICA (V)
Análogamente se determina la probabilidad de que un punto de caida en la figura especial (u) que forma parte de la figura V:

1. Se escribe al azar todas las letras de “MEDICINA” formándose un vocablo de 8 letras. ¿Qué probabilidad hay que dicho vocablo empiece y termine en I?

Rpta.:

2. 5 automóviles ingresan a 3 playas de estacionamiento A, B y C. ¿Cuál es la probabilidad que la playa A guarde 3 automóviles?

Rpta.:

3. Se escoge aleatoriamente un número de 10 cifras, cuya suma de cifras sea 88. Hallar la probabilidad que el número escogido sea par.

Rpta.:

4. La probabilidad que Sonia estudie francés es 0,75 y la probabilidad que estudie quechua es 0,50. Si la probabilidad que estudie francés o quechua es 0,85, ¿cuál es la probabilidad que estudie francés y quechua?

Rpta.:

5. De una baraja de 52 cartas se retira una carta negra, luego se extrae al azar 13 cartas, ¿cuál es la probabilidad que si todas son del mismo color ellas sean rojas?

Rpta.:

Rpta.:

7. Se lanzan dos dados insesgados (no cargados). hallar la probabilidad de:
a. Sacar la suma 6.
b. Sacar la diferencia 2.
c. Sacar la diferencia 2 ó la suma 6.
d. Sacar la suma 6 y la diferencia 2.

Rpta.:

8. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo?

Rpta.:

9. Si se arrojan 6 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener 4 caras y 2 sellos?

Rpta.:

10. Juan y cuatro amigos se ubican en una fila, ¿cuál es la probabilidad de que Juan quede en el centro?

Rpta.:

11. Calcular la probabilidad de:
a. Obtener un rey o una reina al tomar una sola carta de la baraja.
b. Que al tomar una sola carta ésta sea una reina o una espada.
c. Que al tomar una carta de la baraja y luego de ponerla de nuevo en el mazo se toma otro naipe, siendo ambos naipes ases.

Rpta.:

12. Para una rifa se venden 20 boletos, comprando Luis dos de ellos. Si se ofrecen dos premios, ¿cuál es la probabilidad de que Luis obtenga sólo uno de los premios?

Rpta.:

13. En una caja se tienen 15 bolas (7 blancas y 8 negras); se extraen 2 bolas al azar, una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea negra?

Rpta.:

1. Juan Carlos desea viajar a Tacna, pero sólo puede hacerlo por avión o por ómnibus. Si la probabilidad que viaje en avión es el cuádruple de que viaje en ómnibus y además la probabilidad de que no viaje es 0,75, ¿cuá es la probabilidad de que viaje en ómnibus?

Rpta.:

2. Un abogado quiere contratar un asistente pero se presentan tres: Carlos, Manuel y Armando. Las posibilidades de Carlos son 7 contra 5 y las de Manuel 1 a 3. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Armando de ocupar la vacante?

Rpta.:

3. En una carrera automovilística participan 3 peruanos, 3 bolivianos y 5 colombianos. Si todos tienen igual posibilidad de ganar, ¿cuál es la probabilidad de que llegue primero un colombiano y segundo un peruano?

Rpta.:

4. Se tiene 30 fichas numeradas del 11 al 40. Se eligen 2 al azar. Cuál es la probabilidad de que las fichas tengan numeraciones consecutivas?

Rpta.:

5. Diez libros, de los cuales 6 son de física y 4 de química, se colocan al azar en un estante. Determinar la probabilidad de que los libros de física queden juntos.

Rpta.:

6. Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola resulte par o múltiplo de 5?

Rpta.:

7. Se lanzan 3 dados. Hallar la probabilidad de obtener exactamente un as ( el número uno).

Rpta.:

8. Ocho parejas de novios están reunidas en una habitación. Si se escogen 2 personas al azar, hallar la probabilidad de que una sea hombre y la otra mujer.

Rpta.:

9. Suponga que entre seis pernos, dos son más cortos que los demás. Si se escogen dos pernos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los dos más cortos sean los escogidos?

Rpta.:

10. Una lista de personas consta de 140 hombres y 30 mujeres; 3 de ellas tiene por nombre María. Se escoge un nombre al azar y resulta que es de mujer. ¿Cuál es la probabilidad que sea una de las Marías?

Rpta.:

11. Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera. A tiene doble probabilidad de ganar que B y B tiene doble probabilidad de ganar que C. ¿Cuál es la probabilidad de que gane C?

Rpta.:

12. Considerando que la semana comienza el lunes, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger Manuel 2 días del mes de febrero para salir con su enamorada, estos resulten días consecutivos y de la misma semana, si además el 1ro. de febrero es lunes? (Observación: año no bisiesto).

Rpta.: