Archive for DESIGUALDADES CUADRATICAS

INECUACIONES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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OBJETIVOS :
* Reconocer las inecuaciones.
* Clasificar las inecuaciones atendiendo a su grado y el número de incógnitas.
* Relacionar las inecuaciones de primer grado con una incógnita con las gráficas de funciones afines.
* Resolver inecuaciones de primer con una incógnita.
* Relacionar las inecuaciones de segundo grado con una incógnita con las gráficas de las funciones cuadráticas.
* Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
* Conocer y utilizar diversos métodos de resolución de inecuaciones.
* Saber resolver sistemas de inecuaciones con 1 y 2 incógnitas.
* Traducir al lenguaje algebraico problemas expresados en lenguaje cotidiano, interpretando críticamente los resultados de las soluciones obtenidas.
* Resolver sistemas de inecuaciones. Interpretar gráficamente las soluciones y expresar las soluciones en forma de intervalo.
INTRODUCCIÓN :
Al igual que las desigualdades las inecuaciones son de suma importancia ya que se aplican en diferentes ramas de la ciencia es más un estudiante que desea seguir estudios superiores no debería estar ajeno a este tema por su importancia en cursos de matemática superior como cálculo diferencial e integral en donde se trabajan con funciones y para conocer el dominio y rango de una función hay que conocer los diferentes métodos de solución de una inecuación. Además de ello con inecuaciones se puede calcular el máximo y mínimo de una función, tema central y de su suma importancia en las diversas ramas de la ciencia. Antes de empezar el capítulo , repacemos lo estudiado en desigualdades.

MATEMÁTICA: CIENCIA DE DESCUBRIMIENTO
Thomas Harriot. (Oxford, 1560 – Londres, 2 de
julio de 1621) fue un astrónomo, matemático,
etnógrafo y traductor inglés. Fue el creador
de varios símbolos y notaciones empleados en
álgebra usados hasta ahora, como los símbolos
> (mayor que) y < (menor que) Qué te parece
si le pones pensamiento a lo siguiente: ¿Las
potencias conservan el orden?
¿Si a < b, es a2 < b2? ¿Si a < b, es a3 < b3?
Verifica con números, tanto positivos como
negativos y trata de ver si es posible ir generando
una regla de comportamiento. ¿Si a < b, es an <
bn? Es un reto. Pero tú puedes descubrir
y analizar.


– Expondremos extensivamente todas las propiedades que caracterizan a los elementos del sistema de los números reales, con la finalidad de construir propiedades conexas, que nos permitirán resolver problemas sobre inecuaciones y realizar demostraciones diversas.
– La resolución de inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales utilizando la regla de los puntos críticos, será de gran ayuda para el análisis de las funciones algebraicas en el conjunto .
– El conocimiento del valor absoluto y de sus propiedades será de capital importancia para las demostraciones y la posterior resolución de ecuaciones e inecuaciones que involucra a este operador.
INTRODUCCIÓN:
EULER

Arquímedes, Newton, Gauss y Euler son los cuatro matemáticos más importantes.
Nació en Basilea, Suiza. Fue un pastor calvinista y quería que su hijo estudiara teología, y así fue, estudió teología y hebreo en Basilea.
El padre de Euler era amigo de los hermanos Bernoulli (había vivido en Johann en la casa de Jacob en Basilea).
Johann Bernoulli orientaba a Leonard en los estudios de matemáticas (diciéndole qué libros debía leer y resolviéndole las dificultades que encontraba). Johann Bernoulli se dio cuenta de la capacidad de Euler para las matemáticas y le pidió al padre de Euler que permitiese que su hijo estudiase matemáticas. El padre de Euler aceptó porque respetaba mucho a Jacob y Johann Bernoulli.
En 1727 se presentó a un premio de la Academia de París sobre la mejor distribución de los mástiles en un barco. No ganó el premio pero quedó segundo.
Cuando murió Nicolás Bernoulli (II) en Petersburgo en 1726, le ofrecieron su puesto y lo aceptó. Llegó a San Petersburgo en 1727. Tenía 20 años.
En San Petersburgo también vivía Daniel Bernoulli. Cuando Daniel Bernoulli, dejó su puesto de matemático de la Academia, lo ocupó Euler. La mejora económica permitió a Euler casarse. Lo hizo con Katharina Gsell en 1734. Tuvieron 13 hijos, pero sólo sobrevivieron a la infancia 5. Euler decía que había hecho sus descubrimientos matemáticos con un hijo en los brazos y otro jugando a sus pies.
A Euler le llamaban (con sarcasmo) el cíclope matemático porque, además de su poderío matemático, le faltaba la visión de un ojo. Se quedó ciego de un ojo en 1735, debido, indirectamente, a un premio que la Academia de París ofreció por la resolución de un problema astronómico. El problema era muy complejo y la Academia concedió varios meses para resolverlo, pero a Euler le bastaron tres días. Las malas condiciones de trabajo y el esfuerzo realizado le costó la pérdida de la visión de un ojo. Tenía 28 años.
Euler es tenido por el padre de la matemática rusa pues desarrolló la docencia de San Petersburgo desde 1733 a 1741. En 1741 se trasladó a Berlín, donde le habían ofrecido un puesto. Al principio él quería quedarse en San Petersburgo, pero por aquella época, los extranjeros tenían problemas en Rusia, además la mejora de la oferta de Berlín le acabó convenciendo.
Incluso mientras estuvo en Berlín, siguió cobrando parte del sueldo de San Petersburgo, por asesorar y educar a los príncipes rusos.
Cuando murió el presidente de la Academia de Berlín, Euler asumió la dirección de hecho de la Academia, pero no el título de Presidente, porque en aquella época, Euler no tenía buenas relaciones con Federico el Grande. Debido a este despecho, Euler, regresó a San Petersburgo en 1766, invitado por Catalina la Grande.
Debido a una catarata en el otro ojo se volvió ciego al poco de llegar a Rusia, pero no se rindió : antes de quedarse totalmente ciego, practicaba la escritura cerrando el ojo, pero esto no sirvió y con el tiempo su hijo Albert, hizo de amanuense de su padre.
En 1776 le operaron la catarata, pero una infección en el ojo, impidió la recuperación.
El 7 de setiembre de 1783, después de charlar sobre los asuntos del día, “cesó de calcular y de vivir”.
Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los 100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que los otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel. La productividad matemática de Euler fue extraordinaria; escribió textos sobre mecánica, álgebra, análisis, geometría diferencial y analítica y sobre cálculo de variaciones que fueron obras clásicas durante más de 100 años. No inició nuevas ramas de la matemática pero fue muy prolífico. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas : Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. A pesar de todo esto se casó y tuvo trece hijos, estando siempre atento al bienestar de la familia; educó a sus hijos y nietos. Una de las pocas cosas para las que no tuvo ninguna solución en su vida fue para un problema que le planteó Christian Goldbach, en 1742.
Goldbach había observado que los números pares mayores de 4 parecen ser suma de dos primos. Goldbach le preguntaba si podía demostrarlo. Ni Euler lo consiguió entonces, ni nadie lo ha conseguido hasta ahora.
INECUACIONES I
DESIGUALDAD:
Es una relación de orden que se establece entre dos números reales que tienen diferente valor. Es decir:

SÍMBOLOS DE LAS RELACIONES
DE ORDEN:

CLASES DE DESIGUALDADES

a) Desigualdad Absoluta
Es aquella desigualdad que se verifica para todos los valores reales que se les asigne a sus variables.
Ejemplos:
* (a – 4)2 + 17 > 0, se verifica ” a Î
* 3×2 + 2y2 > – 8, se cumple ” x, y Î

b) Desigualdad relativa o inecuación
Es aquella desigualdad que se verifica para un conjunto de valores particulares denominado CONJUNTO SOLUCIÓN, que admite la variable denominada incógnita.
Ejemplos :
* 5x – 3 > 17, se verifica sólo para x > 4
* , se verifica sólo para:
–3 < x < 3
CONCEPTOS FUNDAMENTALES:
RECTA NUMÉRICA REAL
Es una recta geométrica, cuya construcción se sustenta en el principio de la correspondencia biunívoca existente entre los elementos del conjunto y los puntos de dicha recta.
Estableciendo la biyección, de tal forma que a cada número real se le hace corresponder un único punto de la recta, y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real.

INTERVALO
Es un subconjunto del conjunto de los números reales, definiéndose como aquel conjunto de infinitos elementos que representan a todos los números reales comprendidos entre dos extremos, denominados Límite inferior o ÍNFIMO y Límite superior o SUPREMO.
De los establecido, existen dos tipos de intervalos:
1. Intervalo Acotado
Se denomina así al intervalo cuyos extremos son números reales (Límites finitos). A su vez, pueden ser:
a) Intervalo cerrado
Es un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos finitos.

x Î [a; b] « a £ x £ b; a < b

b) Intervalo abierto
Es un intervalo acotado en el cual no se consideran a los extremos finitos.

x Î ]a; b[ « a < x < b; a < b

c) Intervalo Semiabierto
Es un intervalo acotado, en el cual, uno de los extremos es abierto y el otro es cerrado.

x Î [a; b[ « a £ x < b; a < b

x Î ]a; b] « a < x £ b; a < b

2. Intervalo no Acotado
Es aquel intervalo en el cual, por lo menos, uno de los extremos es el límite (+¥) ó (–¥)
a)

b)

c)

d)

e)

PROPIEDADES FUNDAMENTALES
DE LAS DESIGUALDADES:
1. " a, b Îy m Î, se cumplen:
a > b « a + m > b + m
a > b « a – m > b – m

2. ” a, b Î y m Î , se cumplen:
a > b « am > bm
a > b «

3. ” a, b Î y m Î , se cumplen:
a > b « am < bm
a > b «

4. ” a, b, c, d Î, se verifica:

5. ” a, b, c, d Î, se cumple:

6. ” a, b, c Î, se establece la transitividad:
Si: a > b Ù b > c ® a > c

7. ” a, b Î y n Î, se cumplen:
a > b « a2n+1 > b2n+1
a > b «

8. ” a, b Î y n Î, se cumple:
a > b « a2n > b2n

9. ” a, b Î y n Î, se cumple:
a > b « a2n < b2n

10. " a, b Î, se verifican las relaciones:
0 < a < b «
a < b < 0 «

11. Si a y b tiene el mismo signo, se cumple:
a < x < b «

INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Concepto
Es aquella inecuación polinomial que se reduce a la forma general:

1ra. forma: ax + b > 0
Si: a > 0, resulta luego, el intervalo solución será:
Si: a < 0, resulta luego, el intervalo solución será:
2da. forma: ax + b < 0
Si: a > 0, resulta luego, el intervalo solución será:
Si: a < 0, resulta luego, el intervalo solución será:

Ejemplo 1:
Resolver la inecuación:

miembro a miembro por 36, resulta como equivalente: 27(x – 5) > 16x – 36.
Efectuando: x > 9.
Luego el conjunto solución vendrá dado por el intervalo: x Î ]9; ¥[

Ejemplo 2:
Calcular la suma de todos los valores naturales que verifican la inecuación:

miembro a miembro por 60, se tiene:

Efectuando, resulta: x < 7 ........ (a)
Nos piden, la suma de todos los naturales que verifican (a). Es decir:

Ejemplo 3:
Señale el menor valor real de x que verifique la desigualdad:
(x + 4)2 ³ (x + 2) (x + 5)
Efectuando: x2 + 8x + 16 ³ x2 + 7x + 10
Se tiene: x ³ – 6

\ El menor valor real de x es igual a (–6).

Ejemplo 4:
Para que el valor de a en la desigualdad:

el máximo valor de x es igual a uno.
Miembro a miembro por 12, se tiene como equivalente: 6x + 4x + 3x £ a + 5
Despejando: como el máximo de x es uno, se tiene:
Por lo tanto: a = 8
Ejemplo 5:
Que valor entero resuelve el sistema de inecuaciones polinomiales :
(x + 2) (x + 3 ) < (x + 1) (x + 5) ..... (a)
(x – 3) (x – 8) > (x – 3) (x – 6) ….. (b)
De (a), se tiene:
x2 + 5x + 6 < x2 + 6x + 5
luego:
1 < x ® x > 1 ….. (1)
De (b), se tiene:
x2 – 11x + 24 > x2 – 9x + 18
luego:
6 < 2x ® x < 3 ..... (2)
De (1) y (2): 1 < x < 3
Resulta como valor entero: x = 2

INECUACIÓN RACIONAL
Son aquellas inecuaciones polinomiales de la forma:

e inecuaciones fraccionarias de la forma:

para resolverlos, existe un criterio práctico denominado REGLA DE LOS PUNTOS CRÍTICOS, cuyo procedimiento es como sigue:

REGLA DE PUNTOS O VALORES CRÍTICOS
1º) Se reduce la inecuación racional a la forma:

donde P, F y G son polinomios de grado no nulo.
2º) Se factorizan los polinomios, buscando todos los factores lineales posibles. Para obtener los puntos críticos, se igualan a cero dichos factores y enseguida se despejan los valores de x; ubicándolos posteriormente sobre la recta numérica real.
3º) Se analiza el signo del polinomio P(x) en cada intervalo, obteniéndose así en forma alternada, signos (+) y (–), de derecha a izquierda.
4º) El conjunto solución de la inecuación vendrá dado por:
• Los intervalos (+), si P(x) > 0.
• Los intervalos (–), si P(x) < 0.

EJEMPLOS EXPLICATIVOS
– Resolución de inecuaciones
polinomiales:
1. Resolver: 6x2 + 5x – 4 > 0

(3x + 4) (2x – 1) > 0
Ubicando los puntos críticos sobre la recta:

Como P(x) > 0, tomamos los intervalos (+).
luego:

2. Resolver: 3×2 – 11x + 10 < 0

(3x – 5) (x – 2) < 0
Colocando los valores críticos sobre la recta.

Como P(x) < 0, se toman los intervalos (–).
finalmente:

3. Resolver: 8x2 + 14x + 5 ³ 0

(4x + 5) (2x + 1) ³ 0
De igual modo:

Observar que:
P(x) ³ 0 « P(x) > 0 Ú P(x) = 0
Como:

verifican la segunda igualdad, entonces
y son elementos del conjunto solución.
Por lo tanto:

4. Resolver: 5×2 – 13x – 6 £ 0

(5x + 2) (x – 3) £ 0
De la misma manera:

también:
luego, el intervalo solución será:

5. Resolver: x3 < 4x
Transponiendo: x3 – 4x < 0
factorizando: x (x + 2) (x – 2) < 0
Ubicando los tres puntos: – 2, 0 y 2 sobre la recta
numérica real:

Como P(x) < 0, tomamos los intervalos (–), así:

6. Resolver: x3 – 7x + 6 ³ 0
Factorizando por divisiones binómicos, se tiene:
(x – 1) (x – 2) (x + 3) ³ 0
De igual forma:

como P(x) ³ 0, tomamos los intervalos (+), y
considerando que: P(–3) = P(1) = P(2) = 0.
El intervalo solución, será:

Resolución de Inecuaciones Fraccionarias:
7. Resolver:
Como x ¹ 5, entonces (x – 5)2 > 0, luego al multiplicar miembro a miembro por (x – 5)2, se obtiene:
(x + 7) (x – 5) > 0 ….. (b)
es decir, las desigualdades (a) y (b), son equiva-
lentes. Aplicando la regla de los puntos críticos:

Por lo tanto:
8. Resolver:
Es decir:
Aplicando la regla de los puntos críticos:

Observar que, para x = – 1 Ù x = 1, la fracción
es igual a cero.
Luego:

9. Resolver:
Factorizando:
Como x – 2 ¹ 0 ® x ¹ 2; se tiene:
; por la regla:

Por lo tanto:

10. Resolver:
Transponiendo:
Efectuando:

Finalmente:

ESTUDIO DE LA INECUACIÓN
CUADRÁTICA
Forma General:
1er. CASO: Si D = b2 – 4ac > 0
• Resolver: x2 – 3x – 10 > 0
Discriminante: D = (– 3)2 – 4 (1) (– 10) = 49 > 0
Factorizando: (x + 2) (x – 5) > 0
El intervalo solución es:
Análisis gráfico:

• Resolver: x2 – 5x + 4 £ 0
Discriminante: D = (– 5)2 – 4 (1) (4) = 9 > 0
Factorizando: (x – 1) (x – 4) £ 0
cuyo intervalo solución es:
Análisis gráfico:

2do. CASO: Si D = b2 – 4ac = 0
• Resolver: x2 + 6x + 9 ³ 0
Discriminante: D = (6)2 – 4 (1) (9) = 0
cuyo equivalente es: (x + 3)2 ³ 0
El cual se verifica:
Análisis gráfico:

• Resolver: 4×2 – 12x + 9 < 0
Discriminante: D = (– 12)2 – 4 (4) (9) = 0
cuyo equivalente es: (2x – 3)2 < 0
Se observa que la desigualdad es absurda.
Por lo tanto:
Análisis gráfico:

3er. CASO: Si D = b2 – 4ac < 0
• Resolver: x2 + 4x + 7 > 0
Discriminante: D = (4)2 – 4 (1) (7) = – 12 < 0
Transformando:
El cual se verifica:
Análisis gráfico:

• Resolver: 9x2 – 24x + 21 < 0
Discriminante:
D = (– 24)2 –4 (9) (21) = –180 < 0
Transformando:
Desigualdad que es absurda. Luego:
Análisis gráfico:

PROPIEDADES DE LA INECUACIÓN
CUADRÁTICA

Ejemplo 1:
Resolver: 3x2 + 7x + 5 > 0
Aplicando la propiedad, se tiene:
3 > 0 Ù D = (7)2 – 4 (3) (5) = – 11 < 0
Por lo tanto, el polinomio (3x2 + 7x + 5) es positivo, para cualquier valor real de x.
Finalmente:

Ejemplo 2:
Resolver: 2x2 – 8x + 11 < 0
Aplicando la propiedad se tiene:
2 > 0 Ù D = (– 8)2 – 4 (2) (11) = – 24 < 0
Esto implica que el polinomio (2x2 – 8x + 11) es positivo, para todo x Î . Luego, la desigualdad:
¡Es absurda!
Por lo tanto:

Problema 3:
Resolver: x4 – 3x3 – x2 + 12x – 12 £ 0
Factorizando por aspa doble especial, resulta:

Se observa que el polinomio (x2 – 3x + 3) es POSITIVO para todo , debido a que verifica la propiedad:
1 > 0 Ù D = (– 3)2 – 4 (1) (3) = – 3 < 0
La desigualdad (a), se reduce a:
x2 – 4 £ 0
(x + 2) (x – 2) £ 0
Finalmente:

Problema 4:
Entre que límites varía el parámetro m, para que la inecuación:
Se verifique para todo valor real de x.
Transponiendo:

Aplicando la propiedad:

Efectuando:
16m2 – 16m + 3 < 0
(4m – 1) (4m – 3) < 0
Del cual:

Ejemplo 1:
Resolver: x2 – 25 > 0
Aplicando la propiedad, se tiene:
x2 > 25 « x < – Ú x >
x < – 5 Ú x > 5
El intervalo solución, será:

Ejemplo 2:
Resolver: x2 – 8x + 11 ³ 0
Dándole forma:
(x – 4)2 – 5 ³ 0
Aplicando la propiedad, se tiene:
(x – 4)2 ³ 5 « x – 4 £ – Ú x – 4 ³
x £ 4 – Ú x ³ 4 +
El intervalo solución, será:

Ejemplo 3:
Resolver: 2×2 + 6x + 1 > 0
Multiplicando por
transponiendo , y completando cuadrados:

El intervalo solución, será:

Ejemplo 1:
Resolver: x2 – 36 < 0
Aplicando la propiedad, se tiene:
x2 < 36 «
– 6 < x < 6
El intervalo solución será:

Ejemplo 2:
Resolver: x2 + 6x – 2 < 0
De igual modo:
Aplicando la propiedad, se tiene:

El intervalo solución, será:

Ejemplo 3:
Resolver: 25x2 – 30x – 11 £ 0
multiplicado por :
completando cuadrados:

Por lo tanto:

INECUACIÓN EXPONENCIAL

Ejemplo 1:
Resolver:
Efectuando:
Por exponente fraccionario, se tiene:

como , aplicamos la propiedad:

9x + 9 < 20x – 40
Luego: 49 < 11x «
El intervalo solución, será:

Ejemplo 2:
Resolver:
Efectuando:
luego:
como 2 > 1, aplicamos la propiedad:

efectuando: 45x – 135 > 28x + 56
17x > 191«
El intervalo solución es:

Ejemplo 3:
Resolver:
Efectuando:

Como , aplicando sucesivamente la propiedad: x + 2 ³ 2x – 5 « 7 ³ x
Es decir: x £ 7; luego :

VALOR ABSOLUTO
, se define:

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
P1) |a| = 0 « a = 0
P2) |a · b| = |a| · |b|
P3)
P4) |–a| = |a|
P5) ||a|| = |a|
P6) |a2| = |a|2 = a2
P7) |a3| = |a|3
P8) |a|= |b| « a2 = b2
P9) Si: b > 0 ; |a|= b « a = b Ú a = – b
P10) |a + b| = |a| + |b| « ab ³ 0

PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD
R1) |a| ³ 0 ;
R2) –|a| £ a £ |a| ;
R3) |a| > |b| « a2 > b2
R4) |a| < |b| « a2 < b2
R5) Si: b > 0 ; |a| > b « a < – b Ú a > b
R6) Si: b > 0 ; |a|< b « – b < a < b
R7) DESIGUALDAD TRIANGULAR
|a + b| £ |a| + |b| ;
• En general, se cumple la relación:
|a+b+c+...+l|£|a|+|b|+|c|+....+|l|
Siendo a, b, c, ..., l reales cualesquiera.
R8) , se verifica la relación:
En particular:
Si: a > 0 : ; Si: a < 0 :
R9) , se cumple la desigualdad:
|a|–|b|£||a|–|b||£|a–b|£||a|+|b||