Archive for CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

CONCAVIDAD ,PUNTOS DE INFLEXIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN , APLICACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EL ANÁLISIS Y GRÁFICAS DE FUNCIONES.
Concavidad y Criterio de la Segunda Derivada.
El concepto de concavidad es útil para describir la gráfica de una función derivable
ƒ. Si ƒ’( c ) existe, entonces la gráfica de ƒ tiene una recta tangente l con pendiente ƒ’( c )
en el punto P ( c , ƒ( c ) ).
Para describir el tipo de concavidad se usa la siguiente terminología.
Definición . Sea ƒ una función que es derivable en un número c.
a) La gráfica de ƒ tiene concavidad hacia arriba (∪) en el punto P (c , ƒ ( c ) ) si existe un
intervalo abierto ( a , b ) que contiene a c , tal que en ( a , b ) la gráfica de ƒ está por
encima de la recta tangente en P.
b) La gráfica de ƒ tiene concavidad hacia abajo (∩) en el punto P (c , ƒ ( c ) ) si existe un
intervalo abierto ( a , b ) que contiene a c , tal que en ( a , b ) la gráfica de ƒ está por
debajo de la recta tangente en P.
Teorema: (Prueba de concavidad) Sea ƒ una función derivable en un intervalo
abierto que contiene a c, tal que ƒ’’(c) existe.
a) Si ƒ’’ (c) > 0, la gráfica tiene concavidad hacia arriba en P (c, ƒ(c))
b) Si ƒ’’(c) < 0, la gráfica tiene concavidad hacia abajo en P (c, ƒ (c))
Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y
donde es negativa concavidad negativa.
En algunos casos se utiliza los siguientes términos: Función convexa y función
cóncava. Convexa significa que las rectas tangentes a la función, están por encima de ella.
Cóncava significa que las rectas tangentes a la función, están por debajo de ella
Si la segunda derivada ƒ’’ (x) cambia de signo cuando x aumenta y pasa por un
número c, entonces la concavidad cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo, o bien de
ser hacia abajo a ser hacia arriba. El punto (c, ƒ(c)) se llama punto de inflexión de acuerdo
con la siguiente definición.
Definición Un punto P (c, ƒ(c)) en la gráfica de una función ƒ es un punto de
inflexión si ƒ’’ existe en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c y ƒ’’ cambia de signo
en c.
Punto de inflexión es aquel donde la función cambia de concavidad, es decir, la
recta tangente corta a la curva en un punto de ella, dejando una parte por encima y otra
por debajo
Como se puede suponer, los puntos en los que ƒ’’(x) = 0 o donde ƒ’’(x) no existe
son llamados posibles puntos de inflexión. Llamamos posible punto de inflexión debido a
que puede fallar en ser un punto de inflexión, sin embargo, al investigar puntos de
inflexión comenzamos por identificar aquellos en los que ƒ’’(x) = 0 y en los que ƒ’’(x) no
existe.
Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y
comprobar que ésta cambia de signo.
Criterio de la segunda derivada para máximos locales y mínimos locales.
Teorema: Sea ƒ una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c, y
tal que ƒ’(c) = 0.
a) Si ƒ’’(c) < 0, entonces ƒ tiene un máximo local en c. b) Si ƒ’’(c) > 0, entonces ƒ tiene un mínimo local en c.
Nota: El criterio de la segunda derivada no se puede aplicar cuando ƒ’’(c ) = 0 . En tales
casos se debe usar el criterio de la Primera Derivada.
Guía práctica para aplicar el criterio de la segunda derivada en el análisis y
gráficas de funciones.
a.‐ Dada la función ƒ, determinamos el dominio, calculamos la primera derivada la
igualamos a cero y buscamos los valores críticos.
b.‐ Determinamos la segunda derivada, luego sustituimos los valores críticos
encontrados en la segunda derivada ƒ’’(c), y aplicamos el teorema respectivo.
Si ƒ’’(c) > 0, entonces en c, existe un mínimo.
Si ƒ’’(c) < 0, entonces en c, existe máximo. c.‐ Calculamos los posibles puntos de inflexión (P.P.I.), (donde ƒ’’(x) = 0 y donde ƒ’’(x) no existe). d.‐ Analizamos la segunda derivada, en los intervalos formados por los posibles puntos de inflexión, y se aplica el criterio para la concavidad. ƒ’’(x) > 0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia arriba.
ƒ’’(x) < 0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia abajo.
y si ƒ’’(k) cambia de signo, entonces k es un punto de inflexión.
e.‐ Para graficar, sustituimos los valores críticos en la función ƒ, para localizar en el
plano donde está el máximo y donde está el mínimo, luego buscamos los cortes con los
ejes y el resto de la gráfica la completamos con el análisis.
Analizar y graficar las siguientes funciones utilizando el criterio de la segunda derivada.