Archive for CONTINUIDAD DE FUNCIONES

CONTINUIDAD EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Share Button


Noción Intuitiva de Función Continua
, Definición de Función COntinua
, Continuidad de Funciones en Intervalos
, Propiedades de las Funciones Continuas en Intervalos Cerrados ,
Sean / y g dos funciones definidas en un mismo intervalo, cuyas gráficas se
muestran en la figura 4.1.
En la figura 4.1, las gráficas de las funciones tienen un comportamiento diferente
en el punto a. Mientras que la gráfica de / varía de manera continua en las
proximidades del punto a (no tiene salto o ruptura), la gráfica de g presenta un
salto en el punto de abscisa a.
En símbolos, afirmar que / es continua en el punto a significa
V £ > 0 , 3 5 > 0 / x E Df , a – 8 < x < a + 6
=> / ( a ) – e < f { x ) < f { á ) + e
Esta expresión es equivalente a
V £ > 0 , 3 5 > 0 / | / ( x ) – / ( a ) | < £, si |x — a| < <5 A x 6 Df
Geométricamente, una función / es continua en un punto de su dominio cuando
su gráfica no se “rompe” en este punto. Su gráfica se traza sin levantar el
bolígrafo del papel (Fig. 4.2).
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN !
Fig. 4.2
4.2 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA
Sea /' una función definida en el conjunto A c M y a 6 A.
Definición 1. Se dice que f es continua en x — a si satisface las tres'condiciones
siguientes:
i) f ( a ) está definido V a e
ii) lim f ( x ) existe
x-*a
iii) lim f { x ) = f ( a ) x-*a
Si por lo menos una de las tres condiciones no se cumple para x = a, se dice que
/ es discontinua en a.
, s i O < x < 5 A x * 3
si x = 3
Determine si f es continua en x = 3.
Solución
0 / ( 3 ) = ^ (existe)
x 2 - 9 3
ii) l i m / ( x ) = lim ———------ = -
x ^ 3 ) V J x-^3 x — 2x — 3 2
iii) De i) y ii), se verifica
/ ( 3 ) = lim / ( * )
x->3
Luego, / es continua en x – 3.
La gráfica de / se muestra en la figura 4.3.
Ejemplo 1. Dada la función f ( x ) = ‘ x ” ^ x 3
174
CONTINUIDAD
Fig. 4.3 Fig. 4.4
Ejemplo 2. Dada la función f ( x ) =
x 2 – 6x + 1 , si 1 < x < 2
2x + 6 ,
x 3 - 15,
si 2 < x < 3
si 3 < x < 5
Determine si la función es continua en x = 2 y en x = 3.
Solución
a) i) / ( 2 ) = - 7
ii) Para averiguar si existe lim f ( x ), es necesario tomar límites laterales
x->2
lim f ( x ) = lím ( x 2 – 6x + 1) = – 7
x->2~ x->2~
lim / ( x ) = lim (2x + 6) = 10
x-*2+ x-*2+
Luego, no existe lim / ( x ) . Por tanto, la función no es continua en x = 2 ó
x – * 2
es discontinua en x = 2.
b) i) / ( 3 ) = 12 (existe)
ii) lim / ( x ) = lim_(2x + 6) = 12
*-*3- x->3~
lim / ( x JC-»3+ ) = xl-*im3 + (x 3 – 15) = 12
Entonces, l i m / ( x ) = 12 (existe)
iii) De i) y ii), se concluye que
/ ( 3 ) = xl i-»m3 / ( x ) = 12
Por tanto, / es continua en x = 3.
La gráfica de / se muestra en la Fig. 4.4.
175
i) Si una función f es discontinua en a de manera que l i m / ( x ) existe, pero
J x —a
lim / ( x ) =£ /(& ), la discontinuidad se llama discontinuidad evitable o
x —a
rem oví ble, pues se puede redefinir la función en a de modo que lim f (x ) =
/ ( a ) . Así, la función redeftnida resulta continua en x = a.
ii) Si la discontinuidad en x – a no es removible, se llama discontinuidad
esencia!, y se presenta cuando lim / ( x ) no existe o no es finito.
x —a
Ejemplo 3. Si /( * ) = + determine sus puntos de discontinuidad.
x + 3 x – 4
Además, indique el tipo de discontinuidad y, si es posible, redefina la función
para evitar la discontinuidad.
Solución
En esta función, la discontinuidad se presenta en los valores de x para los cuales
el denominador se anula, es decir, x 2 + 3x — 4 = (x — l ) ( x + 4) = 0.
Luego, / no está definida en x = 1 y x – - 4 .
Para determinar el tipo de discontinuidad, calculamos los límites en estos puntos.
6
lim / ( x ) – oo y lim f ( x ) = – -
X -> 1 X – > – 4 5
En consecuencia, la discontinuidad en x = —4 es evitable y la discontinuidad en
x = 1 es esencia!.
Redefiniendo la función / en x = —4, se obtiene la función
Í 6x + 24
2 – ~ =——t . si x * – 4
6
— – , sí x .= – 4
Se observa que g es continua e n x = —4, mientras que la discontinuidad en x = 1
no puede evitarse (la discontinuidad en x = 1 es esencial).
TÓPICOS DE CALCULC – VOLUMEN I
Observación 1.
176
CONTINUIDAD
Ejemplo 4. Dada la función
f x 3 – 27 Sgn(x – 1)
x 3 + 3 x 2 + 3x – 9 l x / 9 J
x 2 — 9
/ ( * ) = ) x * – 2 x – 3 ‘
9
4 ‘
3
V 2 ’
s i —5 < x < 0 A x * - 3
si 0 < x < 5 A x = ¡ t 3
si x = —3
si x = 3
Determine si / es continua en x = - 3 , x = 0 y x = 3.
Solución
Considerando que | - J = - 1 para - 5 < x < 0 y S.gn(x - 1) = 0 , x = 1
( - 1 , x < 1
f x 3 4- 27
1 , x > 1
se obtiene: / ( x ) =
x 3 + 3×2 + 3x + 9
x 2 – 9
x 2 – 2x – 3 ’
9
4 ‘
3
2 ‘
, — 5 < x < 0 A x =£ —3
0 < x < 5 A x ? 3
x = - 3
x = 3
a) C o m o / ( - 3 ) = - y lim / ( x ) = lim —— 27---------= -
4 X-+3 x~*3 x 3 + 3x2 + 3x + 9 4
entonces / es continua en x = - 3 .
b) /(O ) = 3
jira/OO = 3 (los límites laterales son iguales)
Por tanto, / es continua en x = 0.
r~c ~ 7 ~ / ( —3).
c) / ( 3 ) = - = b m / ( x )
En consecuencia, / es continua en x = 3.
La gráfica de / se muestra en la Fig. 4.5.
177
TOPICOS DE CA LCU LO - VOLUMEN !
Ejemplo 5. Dada la función
( S g n ( x 2 - 4 )
/ ( * ) =
3 , si x < - 3
x|]x/3] + 5 Sgn(x - 2 ) , s i - 3 < x < 0
x — 3
si x > 0
■ x 2 – x – 6
a¿ Determine los puntos de discontinuidad.
b) Determine el tipo de discontinuidad y, si es posible, redefinir la función para
evitar la discontinuidad.
Solución
/ ( * )
(x – 3 )(x + 2) ‘
si X < —3
si - 3 < x < 0
si x > 0
a) Los posibles puntos de discontinuidad son x = —3, x = 0 y x = 3.
Analizaremos la continuidad en cada punto.
i) Para x = – 3 , tenernos / ( – 3 ) = – 2
lim f ( x ) = – 2 y lim f { x ) – - 2 , entonces lim f ( x ) = —2
x — 3 x — 3+ * – - 3
Luego, / es continua en x = —3.
ii) En x = 0, se tiene / (O ) = 1/2.
lim f ( x ) = – 5 y lim f { x ) – 1 /2 , entonces no existe lim / ( x ) .
*->cr *->o+ x->o
Por tanto, x = 0 es un punto de discontinuidad de tipo esencia!.
178
CONTINUIDAD
iii) f ( 3 ) no existe y lim f ( x ) = – .
*-»3 5
En consecuencia, x = 3 es un punto de discontinuidad de tipo evitable,
b) Redefíniendo / para que sea continua en x = 3, se obtiene ia función
r Sgn(x2 – 4) – 3 ,
g W =
ii
r|[x/3J + 5 Sgn(x - 2) ..
x - 3
x L — x - 6
u .
x < - 3
- ' x < 0
x > 0 A x = 3
x = 3
Ejemplo'6. Determine a y h de manera que la función
V x + 3 — V3x + 1
/ ( * ) =
sea continua en
Solución
Vx — 1
ax + b ,
x 2 + 2x
2 ‘
x > 1
- 2 < x < 1
x < - 2
Para que / sea continua en R, será suficiente que lo sea en x — - 2 y en x — 1.
¡im / ( x ) = lim (a x X~*\ X~*l~ + b) = a + b - f ( \ )
lim. / ( x ) = lim
v x + 3 - V3x + 1
Vx - 1
lim
2 - 2x
Vx - l(V x + 3 + V3x + 1)
= lim
-2(x - l)V x - 1
(x - l)(V x + 3 + v 3 x i j
. .. x 2 + 2x
lim / ( x ) = hm —------------
x — 2- x-*—2- x + X — 2 • üm
2‘
X(X -r 2)
(x - l ) ( x + 2) 3
x-l>im-2 + f (x ) = ^r—lim2 + (ax + b) = - 2 a + b = /f (v - 2)v
Por las condiciones de continuidad, debe cumplirse que
a + b = 0 A —2a + b = 2 /3
Resolviendo estas dos ecuaciones, se obtiene a - - 2 /9 y 6 = 2 / 9 .
179
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
En las demostraciones de ciertos teoremas o proposiciones, en lugar de usar la
definición 1, se usa su definición rigurosa de con, que es la siguiente:
Definición 2. Una función / : D —> E , definida en el conjunto D c 1 , es continua
en el punto a £ D si
Dado f > 0 , 3 í > 0 , i £ D / |x - a| < 5 | f i x ) - f ( a ) \ < £
Definición 3. (Continuidad en un Conjunto) Una función f : A -> IR es continua
en el conjunto B a A cuando f es continua en a, V a £ B.
Ejemplo 7. Demuestre que la función constante / : E -* E / f i x ) = k, donde k
es una constante, es continua en E.
Solución
Sea a E E (arbitrario) y £ > 0. Para cualquier 6 > 0 se tiene:
Si \x - a | < 8 => \ f i x ) — f i a )| = \k - k'\ - 0 < £
Luego, / es continua en a. Como a es arbitrario, / es continua en E.
Ejemplo 8. Demuestre que la función / : E -> E / / ( * ) = x es continua E.
Solución
Tomemos a £ E (arbitrario) y £ > 0. Tomando 8 = £, se verifica:
Si \x - a | < <5 => |/ ( * ) - / ( a ) | = \x - a | < £
Luego, / es continua en a y, como a es arbitrario, / es continua en E.
Ejemplo 9. Demuestre que la función / : E -» E / f { x ) - x z es continua en E.
Solución
Tomemos a £ E (arbitrario) y £ > 0. Se desea resolver la desigualdad
| / ( x ) - f { a ) | = \ x2 - a 2\ = |x - a | | x + a\ < \x - a |( |x | + |a |) < £ ( 1)
Para = 1, se tiene |x — a¡ < ó'j = 1 =» |x| < |a | + 1 (2)
De (1) y (2), tenemos
I/ ( * ) - f i a ) I < \ x - a |( |x | + |a |) < \x - a | ( 2 |a | + i ) < e
De la última desigualdad, obtenemos be - al < -¡-y— = <5?
1 ' 2|a| +1
Luego, dado £ > 0, 3 S = mín < 1; —r-7— i > 0 / | x - a | < 5 = * \ f i x ) - f i a ) \ < e
{ 2H +1 j
Por tanto, / es continua en E.
180
CONTINUIDAD
Teorema 1. Sean f y g dos funciones reales continuas en a, entonces
a) k ■ f es continua en a, siendo k constante
b) / ± g es continua en a
c) / • g es continua en a
f
d) — es continua en a, siempre que gi a ) * 0
1
e) — es continua en a, siempre que gi a) * 0
f) | / | es continua en a
Demostración
Como f y g son continuas en a, se verifican
lim f i x ) = f i a ) y lim g{ x ) = g i a )
x-*a x->a
a) Para probar que k ■ f es continua en a, será suficiente verificar que
lim k f i x ) = k f i a )
x —a
En efecto, lim k f i x ) = k lim f i x ) = k f i a ) . Luego, k f es continua en a. x-*a x —a
La demostración de las otras propiedades se dejan como ejercicio al lector.
Corolario l. Toda función polinomial
f i x ) = a0x n + a l x n~1 + ... + an , a0 * 0
es continua en E.
Corolario 2. Toda función racional
f ( . _ a 0x n -t- QjX11-1 + ...-!- a n
' X b0x m + bxx m~l + ... + bm
es continua en su dominio.
Observación 2. Los recíprocos del teorema I no necesariamente se verifican.
Por ejemplo, puede suceder que f + g sea continua en a, sin que f y g lo sean.
181
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
Ejemplo 10
Las funciones f , g y h . - - U - > U definidas por:
, , . (0 , si x < 0 , . r l , si x < 0 , , , r—1 , si x < 0
/ W = í l , s i x > 0 ' 5 W = Í 0 , s i x > 0 y = si x > 0
no son continuas en x = 0 .
Sin embargo, las funciones
f i x ) + g (x) = 1 , f i x ) ■ g ( x ) = 0 y |/i(x)| = 1 , V x £ E
son funciones continuas en E.
Ejemplo 11. Determine todos los valores de x para los cuales la función dada es
continua.
x 3 — 9
a) f i x ) = x J (x + 4) 8 b) g{ x ) = _ 1
c) h{x) = \ x2 - 6\
Solución
a) Como f es una función polinomial, entonces es continua en E.
b) Puesto que g es una función racional y su dominio es E —{±1}, entonces g es
continua en E —{±1}.
e) Por ser h el valor absoluto de una función polinomial, es continua en E.
| Teorema 2. Si / : A -* E es continua en el punto a £ A y g: B -> E es continua
I en el punto b = f i a ) £ B, entonces g ° f es continua en a.
Demostración
Dado £ > 0, por la continuidad de g en el punto b, existe un número S x > 0 tai
que si y £ B, con \y - b\ < 6 1 => \ gi y ) - g( b) \ < £.
Por otro lado, la continuidad de / en a asegura que existe S > 0 tal que
x £ A A ¡ x - a | < 5 = > | f i x ) - f i a ) | < S1.
En consecuencia, tenemos
* £ i4 A \x — a\ < 5 => \ g ( f ( x ) ) - g { f i a ) ) \ < £
Por lo tanto, g ° f es continua en a .
CONTINUIDAD
Teorema 3. Sean f : A -> E y g : B — E dos funciones, con Rf c fí,.taiesque
i) xli—ma f { x ) = b
ii) g es continua en b
Entonces, lim g { f i x ) ) = ^ (lim f { x ) ) = g{ b)
Demostración
S ea/t(x) = j { W ' S ¡ X * a
ib , si x = a
De i) se deduce que h es continua en a. Por el teorema 2, g » h es contiaua en
a. es decir,
ü m (5 ° h) i x ) = ig ° h) i a) = g ( h i a )) = g i b ) = ,g(lim f i x ) )
x-»a x —a
Por otro lado, como f y h difieren a lo más en x = a. entonces^
lim (<7 o h ) i x ) - lim (5 o f ) ( x )
x—a x —a
Por ío tanto.
\\m ig ° f ) { x ) = lim g ( f i x ) ) = g Q i m f i x ) ) = g i b )
x —a x —a x —a
El teorema también se verifica cuando a se reemplaza por ± o o .
Ejemplo 12. Halle lim v'3x2 + 4.
x—2
Solución
Considerando g i x ) = Vx y f i x ) = 3 x 2 + 4, tenemos
g i f i x ) ) = V 3 x 2 + 4 , l i m / ( x ) = 16 y g es continua en x = 1.6
x —2
Por ei teorema 3,
Hrny/'3xz r 4 = H m # ( / ( x ) ) = g Q J m f ( x ) ) = 5 (1 6 )-= v i ó = 4
1
Ejemplo 13. Pruebe que, para todo n £ N, !im — = 0.
^-»±00 X
Solución
La función f i x ) = -X es tal que xl->im±c af i x ) = 0. Como g(xji - r n es continua
V n £ RJ y ig o / ) ( x ) = g ( f i x ) ) = — , entonces, por el teorema3,
‘ i x
,linL z r r = lim 5 Í / W ) = g i i¡m f i x ) ) = g {oj = o. x — x 00 X x — z 0^ x —+oo
1) Demuestre, usando e y S, que las siguientes funciones son continuas en el
punto a indicado.
a) / ( * ) = —8* + 7 , a = 1 b) / ( * ) = 2 x 2 + 3 , a = 3
c) / ( * ) — x 3 , a = — 1 d) / ( * ) = 3 x 2 + 5* — 1 , a — 2
2) Supongamos que existe una vecindad B ( a ; r ) y un número real M > 0 tal
que / satisface ¡a condición |/ ( * ) — / ( a ) | < M\ x — a | , V * £ B ( a ; r ) .
Demuestre que f es continua en x = a.
3) Demuestre si lim / ( * ) = L > 0, entonces lim nJ f ( x ) = VL.
x-*a x-*a
4) Pruebe que / ( * ) = [*]j es continua en todo a £ R — H.
5) Por inducción, pruebe que si /j (i = 1, …,n) son n funciones continuas en
a, entonces
a) /j + f 2+ … + /„ es continua en a.
b) f i f z ‘ ■■■’ fn es continua en a.
6) Indique un ejemplo de una función f definida en R que no sea continua en
ningún punto, pero que | / | sea continua en R.
En cada uno de los siguientes ejercicios, determine si la función es continua en el
punto a. Si es discontinua, indique el tipo de discontinuidad.
TOPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
EJER C IC IO S
•7″»
r 3
si
si T~l
II
a
1
II
X x
r i – * 2 , si * < 1
i - l * l si X > 1 ; a = 1
U , si * = 1
( *2 ,
t i -1 * 1
si
si
* > – 1
* < - 1 ' a
r * 2 - * - 2
, si * * ± 2
si * = + 2
¡*2 -
M
4|
* + 2 , si - 2 < * < - 1
1 , si - 1 < * < 1
.2 - * , si 1 < * < 2
R. disc, evitable
R. disc, evitable
R. disc, esencial
10) f ( x ) = \ ,x ' ; a = ± 2 R. disc, esencial
11) / ( * ) =
184
CONTINUIDAD
í - 1
12) / ( * ) =
si - 3 < x < 0
x - 1 , s i 0 < * < 2 ; a = 0 y a = 2
5 - x 2 , si 2 < x < 2y/3
En los siguientes ejercicios, verifique si es posible determinar un número L para
que la función / sea continua en el punto a. En caso afirmativo, determine L; en
caso contrario, justifique su respuesta.
3* - 4
13) / O ) = j x - 4 x * 4
x = 4
a - 4
|| x | , si x > 0
1 – x 2 , si x < 0 ;
L , si x = 0
f 1 - x 2 , sí |jt:| < 1
15) / ( * ) = { M - l , si |*| > 1
( L , si |*| = 1
a ~ 0
a – ±1
16) / ( * ) =
ÍV* – 2
* – 4
L.
x 4
* = 4
|*| – 2 , si |*| < 2
17) / ( * ) = j 4 — * 2 , si |*| > 2 ; a = ±2
( L , si |*| = 2
( Sgn (9 – * 2) , si |*| > 4
18) / ( * ) = j \ x2 – 1 6 1 – 1 , si |*| < 4 ; a = ± 4
, si i*| = 4
I*2 — 2* — 31
19) / ( * ) =
20) / ( * ) =
21) / ( * ) =
L,
x - 3
si * * 3
si * = 3
a = 3
4 - * 2 , si |*| < 2
1 , si 1*1 > 2
a — +2
( 67 ( V*2 — 5 + V * + 11 — 4
17 \ V x 2 – 4* + 6 + Vi – * – 5
L,
3 / * 2 – 2 0 * – 129 10
R. L = 5
R.L = 0
1
R. -
4
R. L = – 1
R. 2 L
ur * + 3 l
* < - 3
* = - 3
* > – 3
a = – 3
185
En los siguientes ejercicios se dan las funciones / y g. Determine si las funciones
/
/ . 9. f + 9. f ~ 9- f ‘ 9 y – son continuas en x = 0.
¿7
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
22) / ( x ) =
23) / ( * ) =
v T + X – V 2
Vx
1
2 ‘
, g M =
x = 0
2x
k4V2 ‘
f V x 4 + i – V F T T
i
2 ‘
x * 0
x = 0
, g W = í* v
(.2 ,
V i – 4 x -2 , x * 0
x = 0
En los ejercicios del 24 al 30, determine los puntos de discontinuidad de las
siguientes funciones:
24) / ( x ) =
Sgn(x2 — 3x — 10) , x < - 3
|x 2 — 9| , — 3 < x < 2
- x 2 + 4x + 3 , 2 < x < 5
2
(x - 4) 2 ’
Sgn {x 2 ~ { ) '
25) / ( x ) =
x > 5
x < - 1
1*1 < 1
26) / ( x ) =
x 2 - 9 ’
- - + V * 2 _ 2x + 1, x > l
‘ Sgn (x 2 – 4x) – 1,
V x2 + 7 4- V 3 x 2 – 19 – 6
x – 3
9 /3 – lOx
4 Vx3 — 27 x
Vx – 4
é i ) .
^ V l 6 – xV5x — 4
8 – x
27) / ( x ) = – ¡ V ^ T i ‘ * < 8
.3 — 2 x , x > 8
x < - 3
- 3 < x < 3
3 < x < 4
x ^ 4
186
CONTINUIDAD
28) / ( x )
29) / ( x ) =
30) / ( x )
xVx + 1 ’
2x
^x2 — 3
^x2 - 16 ’
X < 1
x > 1
_ |x V 1 + 4 x – 2 , x < 0
2x - 1, x > 0
31) Suponga que la función costo para la compra de una cantidad x de un
producto está dada por
(3,0x,
C(x) = 2 0 x ,
( l Ox,
0 < x < 500
500 < x < 1000
x > 1000
Construya el gráfico de C(x) y encuentre los puntos de discontinuidad ¿Cuál
es la interpretación económica?
32) a) Dé una condición necesaria y suficiente que deben cumplir A y B para
que la función
A x – B , x < 1
/ ( x ) = 3 x , 1 < x < 2
.B x2 - A , x > 2
sea continua en x = 1, pero discontinua en x = 2.
b) ídem para que sea discontinua en x = 1 y continua en x = 2.
R. a ) / l í 6 y B í 3 b ) / l í 6 y B í 3
33) La moneda de un país es el “ liberal”, denotada por £. El impuesto a la renta I
es una función continua del ingreso x, calculado de la siguiente manera:
i) Si x < 24000X, el contribuyente no paga impuesto.
¡i) Si x > 24000X, se calcula el 15% de x y del valor obtenido se resta un
valor fijo p, obteniéndose el impuesto a pagar /.
Calcule el valor fijo p.
R . p = 3600 £
187
34) El precio por kilo de un determinado producto viene dado, en función del
número de kilos que se venden, por la función:
rax + 20 , si x < 10
p ( x ) = ] 3x 6x
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
10
si x > 10
a) Halle el valor de a para que no exista una cantidad crítica de compra
(donde el precio del kilo no sufra un salto brusco).
b) Halle el límite de la función cuando x -> +oo e interprete el resultado.
35) En el laboratorio de Biología de una universidad, han determinado que el
tamaño T de una cierta bacteria (medido en mieras) varía con el tiempo t,
siguiendo la ley:
si t < 8 horas
si t > 8 horas
El parámetro a es una variable biológica cuya interpretación trae de cabeza a
los científicos, pero piensan que puede haber un valor para el cual el
crecimiento se mantenga continuo en t = 8.
a) Decide la cuestión.
b) ¿Cuál será el tamaño de una bacteria si se la cultiva indefinidamente?
36) Un comerciante vende un determinado producto y por cada unidad de éste
cobra la cantidad de S/. 5. No obstante, si no le encargan más de 10 unidades,
disminuye el precio por unidad y por cada x unidades cobra:
( 5xx , si 0 < x < 10
C (x) = (Vra—* ,--+-- -5--0--0- , si x > 10
a) Halle a de forma que el precio varíe de forma continua al variar el
número de unidades que se compran.
b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran
“muchísimas” unidades?
* El precio de una unidad es C (x )/x .
R. a) a = 20 b) S/. V20
188
CON TINUIDAD
4.3 CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN INTERVALOS
Definición 4. Una función / : (a; b) -* M es continua en (a; b) si es continua en
todo x e (a; b).
Definición 5.
a) Una función / es continua por la derecha en x = a si lim / ( x ) = f ( a )
x->a+
b) Una función / es continua por la izquierda en x = a si lim f ( x ) = f ( á )
x-*a
Definición 6. Una función / es continua en (a; b] si:
i) / es continua en (a; b) y
ii) / es continua por la izquierda en b
Definición 7. Una función / es continua en [a; b) si:
i) / es continua en (a; b) y
i i) / es continua por la derecha en a
Definición 8. Una función / es continua en [a; b] si:
i) / es continua en {a; b),
ii) / es continua por la derecha en a y
iii) / es continua por la izquierda en b
Ejemplo 14. Sea f ( x ) = Jx], x € E. Pruebe que f es continua por la derecha en
todo n 6 Z y que no existe lim f ( x ) .
x->n
Solución
Por definición de [xj, V x E [ n ; n + l ) ^ [ x ] = n y
lim / ( x ) = lim [x j = lim n = n
x-*n+ x-*n+ x-*n+
Como f i n ) = n, / ( x ) = [x j es continua por la derecha en n.
Por otro lado, V x G [n - 1; n) se tiene Ux] = n – 1 y
lim _ /(x ) = lim [x j = lim (n - 1) = n - 1 x~*n x-*n x-*n
Como los límites por la izquierda y por la derecha en n son diferentes,
concluimos que lim / ( x ) no existe.
189
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
25
Ejemplo 15. Dada la función f ( x ) = —5— — , determine los intervalos
^ x ¿ - 9
donde / es continua.
Solución
Considerando que Df = [ - 5 ; - 3 ) U (3; 5] y que / es continua en (—5 ; – 3 ) y
(3; 5), solo analizaremos la continuidad en x = 5 y en x = —5.
Como lim f ( x ) = 0 = / ( – 5 ) y lim f ( x ) = 0 = / ( —5), concluimos que /
x — 5+ x->-5~
es continua en [ - 5 ; - 3 ) y (3; 5].
Ejemplo 16. Determine los intervalos donde la función / es continua si
si 3 < |x| < 5
/ ( * ) =
25 — x 2
4 x 2 - 9 ’
Sgn(x2 - 16)
y/\x\ - [ x /3 ]
*¡x2 - 25
|2 - x\
si Ixl < 3 A x =/= 0
si |x| > 5
Solución
i) Df = R – {0}.
ii) Considerando la regla de correspondencia de / , debemos analizar la
continuidad en los puntos x — —5, x — —3, x = 3 y i = 5. En los demás
puntos del dominio, la función es continua, es decir, en los intervalos:
( – 00; – 5 ) , <—5; —3), ( - 3 ; 0 ) , <0; 3>, (3; 5> y (5; +«>>.
a) Tenemos / ( —5) = 0 y lim f ( x ) = 0 (los límites laterales son iguales).
JC—*—5
Luego, / es continua en x = — 5 y, por tanto, es continua en el intervalo
( – 00; – 3 ) .
b) / ( – 3 ) = – 1 /2 , lim / ( x ) = +00 y lim f { x ) = – 1 /2
*-*-3 x-*-3+
Se concluye que / no es continua en – 3 por la izquierda, pero es continua
en – 3 por la derecha, lo que implica que es continua en [ - 3 ; 0).
c) Dado que / ( 3 ) = — 1/V2, lim / ( x ) — - 1 / V 3 y lim / ( x ) = + 00, se
x->3~ x->3+
concluye que / no es continua en 3 por la izquierda ni por la derecha.
d) Como / ( 5 ) = 0 y lim f ( x ) = 0 (los límites laterales son iguales), x->5
entonces f es continua en (3; + 00).
Por tanto, / es continua en los intervalos: (—00; —3 ) , [—3; 0 ) , (0; 3) y (3; + 00).
190
CONTINUIDAD
E JE R C IC IO S
1) En las funciones siguientes, determine la continuidad en los intervalos que se
indican.
1) f ( x )
( \ 1 6 - x * \
---------- x * ± 2 4 - x 2
- 8 , x = - 2
8 , x = 2
en (-co; - 2 ) , ( - 00; - 2] , ( – 2; 2] , [ - 2; 2], [ - 2; 2) , [2 ; + 00) y (2 ; + 00).
2) g ( x ) = y/\x\ - M en (0; 1], [0; 1] y [1; 3],
( |x 3 + x 2 – x – 1 |
——2 o” ■ x * í , 2
3) * ( , ) = _ 4* – 3 X + 2 j [ _ i
l 4, x = 2
en ( - 00; 1), ( - 00; 1], (1; 2 ), [1; 2], [2 ; + 00) y (2 ; + 00).
4) / ( x ) = (x - l ) [ x ] en [0 ; 2],
II) En los siguientes ejercicios, indique si la función es o no continua en el
intervalo donde ha sido definido. Además, esboce la gráfica de la función.
1) / ( * ) =
x + 2
x 2 – 3x – 10
2 < x < 4
x - 6
2) a M = - 2 x - a ' - k * < 6 '
1 - 2 , x = 4
3) /i(x) =
x + 4
x 2 — 16 '
1
_ 8 '
^ 2 ,
— 5 < x < 5 , x = ? í: + 4
x = - 4
x = 4
f x 2 - 6x + l , - l < x < 2
4) / ( x ) = j2 x - 6 ,
U x - 3 - x 2 ,
5) / ( x ) =
(x - 1) |x + 2\
11
2 < x < 3
3 < x < 5
, 0 < x < 4 , x=¡*l
x = 1
191
. (x - 4 , - 1 < x < 2
6) = UCJ — 6 , 2 < X < 5
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
III) Determine los valores de a y b de modo que la función dada sea continua en
su dominio.
(x + 2 a ,
1) / ( * ) = j3 a x + b ,
(6x - 2 b ,
x < - 2
- 2 < x < 1
x > 1
R. a = 4 /9 , b = 1 4 /9
2) f ( x )
| 2 x 2 – 3 x – 9 |
2 x 2 – 3x – 9
a ,
b ,
(3 – y/3x 4- 3
X = ~ 2
3 ) / ( x ) =
a ( V x – 2)
ab ,
2
\2x – 7 |b ’
4 ) / ( x )
( Vx2 + 8 – V * 2 — 24* + 2
a —- — —– – ——–
V Mi — * + VS – x 2 – 4
a
6 ‘
V31 – * – 6* — 8
, b 2( V2 6 – * – 5 * – 8 ) ’
R. a = 2, b = – 1 / 3
- V5 < x < - 1
x = - 1
X > — 1
24 531 135
R’ “ ~ 13 600 A 0 ~ 204
IV) En el siguiente grupo de ejercicios, determine los intervalos donde la función
f es continua.
1) / ( * ) =
x 2 — 16
x — 6 2) / ( * ) =
x z 4- x — 6
2 – x – x 2
3) f ( x ) = — Vx”—”2 4) / ( x ) = Vl*l + W
5) / ( x ) = 1 – x + M – [1 - x] 6) / ( x ) = | x – M | + |x + [ x + l ] |
192
CONTINUIDAD
7 ) / ( X ) =
|4x — 3| — 1
[3 - 4xJ
8) / ( x )
f 1 — x + [x j , x > 0
( J l / x J , X < 0
9) /(x) = í l ^ - M I - [xl es par
l|x - [x 4- 1 ] | , JxJ es impar
x 3 4- 3x 4- 3, x < - 1
10) / ( x ) = j | x - 2\, - 1 < x < 4
18x — x 2 — 15, x > 4
11) / ( x ) = -
( 1
x ‘
X 2,
x 2 – 4x – 5
x < 0
0 < x < 5
x > 5
|x – 5|
V) En los siguientes ejercicios, analice la continuidad de la función h.
Vx – 3 , x > 3 x 4- 1
y fl(x) = – — 7 – x * 4
IÏX2 – 11 , 0 < x < 3 x — 4
h = g o f
R. (0; 1), [l; V 2 ) , [V2; V 3 ) , [V3; 2 ), [2; V 5 ) , [Vó; V 7 ) , [V7; V 8 ) , [V8; 3 ],
<3; 19), <19; 4-oo)
2) / ( x ) =
f t / I ó x 2 — 1 7 x 4 - 1 , x > 2
I v x 2 – 3x 4- 2 , x < l
x 2 - 1
x2 — 16
, x > 0 A x 4
h = f ■ g ~ x R. (-oo; 1/16] U [ 2 ;-t-oo)
3) / ( x ) = Sgn(x) y ,g(x) = x - x 3
a) h = f ° g
b) h = g ° f
R. discontinuidad en x = —1,0 ,1
R. continua
4) / ( x ) = Sgn(x) , g ( x ) = 1 4- x - [x]
a) h = f ° g
b) h – g o / R. continua
x 4- |x|
5) / O ) = — y ~ y
h – f ° g
x , x < 0
x > 0
R. c o n ti n u a
193
TOPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
2 — x , \ x \ < 2
1*1 > 2
1 < |x| < V3
en otro caso
6 > S > ! >
h = f o g R. h( x) = j * ’
7) f ( x ) = (1 – x 4)Sgn(x) , h = / – 1
, ( 2x + 1, x > 1 [3x + 1 , x < 8
8) = L tz — 2, * < 0 ■ « W = U = , * > 1 0
/i = g ~ x o / -1
4.4. PRO PIED A D ES DE LAS FUNCIONES CONTI NUAS EN
INTERVALOS CERRADOS
Teorema 4. Si / : M —> IR es una función continua en [a; b] y / ( a ) • /(¿>) < 0.
entonces existe por lo menos un punto c 6 (a; b) tal que / ( c ) = 0.
Demostración
Recordemos que la condición f ( a ) ■ f ( b ) < 0 significa que / ( a ) y f ( b ) tienen
signos contrarios. Supongamos que / ( a ) < 0 y f ( b ) > 0 (en el otro caso, la
demostración es similar). Consideremos el conjunto
A = [x E [a; b] / f ( x ) < 0}
Evidentemente, 4 ^ 0 (pues a G A) y A es acotado superiormente yb es cota
superior de /4). Sea c = Sup A, entonces c < b, pues f ( b ) > 0. Como / ( a ) < 0.
por la preservación de signo, existe un intervalo [a; a + á t ] en el cual f ( x ) < 0.
Del mismo modo, por ser f ( b ) > 0, existe un intervalo [b — S2’,b] en el cual
f ( x ) > 0. Se deduce que / ( c ) > 0, pues si f ( c ) > 0, por la conservación del
signo, existiría 8 > 0 tal que f ( x ) > 0, V x 6 [c — 5; c + 5] y c — S sería una
cota superior de A, lo cual contradice a la hipótesis de que c = sup A. Además,
/ ( c ) < 0, pues si / ( c ) < 0, existiría S > 0 tal que f { x ) < 0 ,V i £ [ c - S; c + 5]
y, por tanto, c + S £ A, lo cual es imposible, pues c = s u p 4. Por tanto,
forzosamente / ( c ) = 0.
Para el caso / ( a ) < 0 y f ( b ) > 0, se demuestra del mismo modo, utilizando la
función
Este teorema tiene una interpretación geométrica muy simple: “ La gráfica de una
función continua y = f ( x ) que une los puntos P ( a ; / ( a ) ) y Q ( b ; f ( b ) ) , donde
f (a ) Y f(.b) son de signos contrarios, corta al eje x, por lo menos, en un punto
(Fig. 4.6).
La condición de que / sea continua en [a; b] es necesaria. La figura 4.7 muestra
que si f es discontinua en fa; b], el teorema no siempre se verifica.
194
CONTINUIDAD
Teorema 5. (De la acotación global)
Si f es continua en [a; b], entonces / es acotada en [a; b]
(La demostración queda como ejercicio para el lector).
En el siguiente ejemplo, se muestra que si / no es continua en [a; b], la función
no necesariamente es acotada.
Ejemplo 17 S e a / : [ 0 ; 3 ] -» IR dada por
/ w = ( r b ‘ s i 0 £ * <3
.1, si x — 3
/ no es continua en [0; 3] y / no es acotada. Su gráfica se muestra en la Fig. 4.8.
195
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ¡
Teorema 6. (Teorema de Weierstrass) Si / es continua en [a; fe], entonces f
posee un punto de mínimo y un punto de máximo en [a; fe], esto es, existen
Xi , % 2 £ [a; fe] tales que
m = / ( x i ) = m ín { /(x ) / x £ [a; fe]}
M = f ( x 2) = m áx {/(x ) / x £ [a; fej}
/ ( x j < / ( * ) < / ( x 2) , V X 6 [a; fe]
Demostración. (Ejercicio para el lector)
Teorema 7. (Teorema del Valor Intermedio) Sea / : [a; fe] -> R una función
continua, m y M, el mínimo y máximo de f en [a; fe], respectivamente. Si
m < d < M, entonces existe c £ (a; fe) tal que / ( c ) = d.
Demostración. (Ejercicio para el lector)
EJERCICIOS
1) Indique un ejemplo de una función definida en [0; 1] que no tenga máximo
ni mínimo en dicho intervalo.
2) Sea f ( x ) = x 4 - 5x + 3, localice un intervalo [a; fe] en donde / tiene una
única raíz real. Justifique su respuesta.
x~ + 1
3) Si / ( x ) = -------- , halle el valor que satisface el teorema del valor intermedio
x
para d = 3, en [1; 6].
4) Pruebe que el polinomio P (x ) = 4 x 4 — 1 4 x 2 + 14x — 3 tiene 3 raíces
reales diferentes.
5) Sea / : 10; 1] -> [0; 1] una función continua. Pruebe que existe c £ [0; l j tal
que / ( c ) = c.
2x — x 2
6) Sea / : [0; 4] -> R dada p o r / ( x ) – +
a) Pruebe que 4 es pui.to de mínimo de / , es decir, / ( 4 ) < / ( x ) ,
V x £ [0;4].
b) Pruebe que 3 x 2 £ (0; 4) tal que / ( x 2) es el valor máximo de f , es decir
/ 0 2) > / ( * ) , V x £ [0; 4]
7) Sea / : [a; fe] -> R una función continua y no constante en [a; fe]. Pruebe que
I m g ( /) – [m; M], donde m = mín / y M = máx / en [a; fe].