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TEORIA DE CONJUNTOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

En 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor, sobre la TEORIA DE CONJUNTOS. El estudio de los infinitos, por parte de Cantor, fue considerado por Kronecker como una locura matemática.
Creyendo que la matemática sería llevada al manicomio bajo la dirección de Cantor, Kronecker lo atacó vigorosamente con todas las armas que tuvo en su mano, con el trágico resultado de que no fue la teoría de conjuntos la que cayó en el manicomio, sino el propio Cantor.
A lo largo del tiempo , el hombre ha inventado conjuntos de números que le han permitido realizar diferentes
operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etc.) y resolver diferentes problemas.


Introducción

Sabías que:
Uno de los temas más importantes para el desarrollo de las matemáticas lo constituye la “Teoría de Conjuntos”. Nosotros, los seres humanos, vivimos rodeados de conjuntos: alumnos, carpetas, personas, libros, etc.

Si quisieramos realizar un estudio de objetos que poseen características comunes, hay la necesidad de agruparlos en conjuntos, ya agrupados podemos analizar y relacionarlos con otros grupos de objetos coleccionados también por otras características comunes.

Por ejemplo, si queremos estudiar el peso de los pollos con relación al peso de los patos, para realizar dicho análisis, todos los pollos estarán agrupados en un conjunto así como los patos en otro conjunto y analizaremos sus respectivos elementos.

Es decir, en la vida diaria y para el desarrollo de las disciplinas se agrupan a los objetos o cosas en cada momento, ya sea por su forma, tamaño, calidad, especie, color, etc.

Por eso el estudio de la Teoría de Conjuntos es hoy en día la base fundamental de las matemáticas modernas.
NOCIÓN o IDEA DE CONJUNTOS
Intuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación, reunión o colección de objetos debidamente determinados, a los cuales se les denomina elementos del conjunto.

De acuerdo a lo leído, puede decirse que el colegio XXXX es un conjunto, ¿por qué? Si es así ¿cuáles son sus elementos?
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Representación de Conjuntos
A los conjuntos generalmente se les representa por letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos por letras minúsculas separadas por comas y encerradas entre llaves: { } o escribiendo entre llaves la propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto.

También lo podemos representar a través del Diagrama de Venn Euler que se trata de curvas simples y cerradas.

• Ejemplo 1
Al grupo de letras de la palabra “trilce”, las cuales son:
t, r, i, l, c, e
Si a este grupo de letras se le representa por “A”, se puede escribir lo siguiente:
A = {t,r,i,l,c,e}

El cual se lee:
“A” es el conjunto cuyos elementos son: t,r,i,l,c,e
Si a este conjunto “A” lo representamos a través del diagrama de Venn Euler, se graficará como:

Ejemplo 2
Representar al conjunto B, cuyos elementos son los números impares menores que 12; mediante llaves y el diagrama de Venn Euler.

Veamos:

Ejemplo 3
Representar al conjunto “C”, cuyos elementos son las estaciones del año; mediante llaves y el diagrama de Venn Euler.

EJERCICIOS

1. Utilizando las llaves, escribe los siguientes conjuntos, representados por las letras mayúsculas:

• “A” cuyos elementos son las siete notas musicales.
A = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

• “B” cuyos elementos son los nueve primeros números impares.
B = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

• “C” cuyos elementos son los días de la semana.
C = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

• “D” cuyos elementos son las cinco primeras consonantes del alfabeto.
D = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

• “E” cuyos elementos son los números pares mayores que 8 y menores que 20.
E = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

2. Representa en diagrama de Venn Euler cada conjunto:

a. P = {1; 3; 5; 7; 9} b. N = {norte, sur, este, oeste}

c. R = {costa, sierra, selva} d. Q = {e, s, t, u, d, i, o}

e. T = {2; 4; 6; 7; 8; 9} f. M = {1; 4; 6; 8; 9; 13}

RELACIÓN DE PERTENENCIA
Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece (Î) a este conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece (Ï) a dicho conjunto.

La relación de pertenencia se da de elemento a conjunto.

• Ejemplo 1:
Del siguiente diagrama de Venn Euler:

• Ejemplo 2:
Dado el conjunto “B”: B = {t,r,i,l,c,e};

Se tiene que:
t ……… B a ……… B
l ……… B s ……… B
e ……… B y ……… B
r ……… B n ……… B

EJERCICIOS

Dados los conjuntos:

A = {a,e,i,o,u}; B = {2; 4; 6; 8; 10}; C = {1; 3; 5; 7; 9}; D = {p,q,r,s,t,u}

Escribe los signos “Δ (pertenece) o “Ï” (no pertenece) según corresponda:

• 2 …….. B • 7 …….. C
• a …….. D • 9 …….. A
 5 …….. D  i …….. A
• 6 …….. D • p …….. C
• 10 …….. B • r …….. D
• e …….. A • 4 …….. A
• 5 …….. D • 1 …….. C
• i …….. D • 6 …….. A
• 10 …….. B • t …….. C
• u …….. A • 3 …….. B

2. Observa los diagramas y escribe dentro de las llaves los elementos de cada conjunto.

3. En cada caso construye un diagrama para cada conjunto:

a. M = {do, re, mi, fa, sol, la, si}
b. N = {1; 6; 9; 13; 18}
c. P = {9; 15; 19; 23; 29}
d. Q = {x + 2/x Î N, “x” es impar, 6 < x < 12}

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Los conjuntos se determinan de dos formas:

a. Por Extensión:
Cuando se nombra a cada uno de sus elementos.
Ejemplo: El conjunto de los números impares menores que 12
Veamos:
A = {____________________________________}

b. Por Comprensión
Cuando solamente se dice la característica común que tiene todos sus elementos.
Veamos el ejemplo anterior.
A = {números impares menores que 12}

simbólicamente se escribe:
A = {x/x Î N, "x" es impar, x < 12}

y se lee:
"A" es el conjunto formado por los elementos "x", tal que "x" es un número natural e impar menor que 12.

CARDINAL DE UN CONJUNTO
Nos indica la cantidad de elementos diferentes que tiene un conjunto.
Se denota n(A) y se lee cardinal del conjunto "A" o número de elementos de "A".

Ejemplos:

• Dado el conjunto: A = {2; 2; 3; 3; 3; 4; 3; 2} = {_______}
entonces: n(A) = ___________

• Sea el conjunto "B", hallar n(B), si: B = {x/x Î N; "x" es par; 5 < x < 15}
entonces: B = {_______________} y su n(B) es: ________

EJERCICIOS

1. Determina por extensión los siguientes conjuntos, además sus cardinales.

a. P = {es una nota musical}
P = {____________________________________}; n(P) = _____

b. S = {x/x Î N, 4 < x < 10}
S = {____________________________________}; n(S) = _____

c. Q = {es una vocal}
Q = {____________________________________}; n(Q) = _____

d. M = {3x/x Î N; 2 £ x < 7}
M = {____________________________________}; n(M) = _____

e. R = {es una consonante de la palabra "trilce"}
R = {____________________________________}; n(R) = _____

f. F = {2x + 3/x Î N, 3 < x £ 9}
F = {____________________________________}; n(F) = _____

2. Determine por comprensión los siguientes conjuntos:

a. A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
_____________________________________________________

b. B = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13}
_____________________________________________________

c. C = {6; 8; 10; 12; 14; 16}
_____________________________________________________

d. D = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90}
_____________________________________________________

e. E = {do, re, mi, fa, sol, la, si}
_____________________________________________________

f. F = {primavera, verano, otoño, invierno}
_____________________________________________________

3. Determine por extensión los siguientes conjuntos y sus respectivos cardinales.

a. A = {x + 3/x Î N; "x" es par, 1 < x £ 9}
_________________________________; n(A) = ______

b. B = {x2 + 2/x Î N, "x" es impar, x < 10}
_________________________________; n(B) = ______

c. C = {x2 - 3/x Î N; "x" es par, 1 £ x < 10}
_________________________________; n(C) = ______

d. D = {2x + 5/x Î N; "x" es par, 3 < x < 9}
_________________________________; n(D) = ______

e. E = {es una vocal de la palabra "trilce"}
_________________________________; n(E) = ______

4. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

a. A = {3; 6; 9; 12; 15; 18}
________________________________________________________

b. B = {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
________________________________________________________

c. C = {4; 8; 12; 16; 20}
________________________________________________________

d. D = {6; 11; 16; 21; 26; 31}
________________________________________________________

5. Dados los siguientes conjuntos, después de determinarlos por extensión y dar sus cardinales, escribe los signos "Î" o "Ï" según corresponda.

P = {x2 + 5/x Î N; x < 4}
_______________________________________; n(P) = _____

Q = {x + 4/x Î N; "x" es par, 2 < x < 9}
_______________________________________; n(Q) = _____

R = {3x + 2/x Î N; 4 £ x £ 7}
_______________________________________; n(R) = _____

S = {x3/x Î N, x £ 3}
_______________________________________; n(S) = _____

8 ........ R 17 ........ Q 10 ........ P 27 ........ S
14 ........ Q 23 ........ R 5 ........ P 10 ........ S
1 ........ S 27 ........ R 20 ........ R 23 ........ P
6 ........ P 9 ........ R 12 ........ R 8 ........ S
14 ........ P 14 ........ S 0 ........ S 5 ........ P

TAREA DOMICILIARIA

1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos y dar su cardinal.

a. P = {x + 5/x Î N, "x" es impar, x £ 7}
b. Q = {3x + 6/x Î N; "x" es par, 5 < x £ 12}
c. R = {x2 + 3/x Î N; 3 < x < 12}
d. S = {es un mes del año}

2. Determine por comprensión los siguientes conjuntos:

• A = {6; 12; 18; 24; 30}
____________________________________________________

• B = {0; 1; 4; 9; 16; 25}
____________________________________________________

• C = {1; 4; 7; 10; 13; 16}
____________________________________________________

• D = {1; 2; 5; 10; 17}
____________________________________________________

3. Observa los diagramas, escribe los signos "Î" o "Ï" según corresponda:

a.
SEGÚN SU NÚMERO DE ELEMENTOS

1. CONJUNTO NULO O VACÍO
Es aquel conjunto que no posee elementos.
- Se le representa como: "Æ" o también así: { }
- Y se lee: el conjunto vacío.

Ejemplo: A = {x/x es un número impar que termina en 2}
Veamos: como ningún número impar termina en 2, entonces el conjunto "A" es igual al vacío y se le representa así: A = Æ

Ejemplo: B = {x/x Î N; 7 < x < 8}
Veamos: no existe ningún número natural que sea mayor que 7 y menor que 8 a la vez, entonces: B = Æ

Indique cinco ejemplos más de conjuntos nulos o vacíos.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________

2. CONJUNTO UNITARIO
Es aquel conjunto que posee un solo elemento.

Ejemplo: P = {x/x Î N, 5 < x < 7}
Veamos: como 6 es el único número natural comprendido entre 5 y 7, entonces: P = {6}

Ejemplo: N = {es un sátelite natural de la Tierra}
Veamos: N = {Luna}

Indique cinco ejemplos de conjuntos unitarios.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________

3. CONJUNTOS FINITOS
Es aquel conjunto que posee una cantidad limitada de elementos diferentes.

Ejemplo: A = {x/x Î N; x < 8}
Veamos: pasando a extensión el conjunto "A" se tendrá:
A = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; entonces es un conjunto finito.

Ejemplo: B = {x/x Î N, "x" es par, 9 < x < 13}
Veamos: pasando a extensión el conjunto "B" se tendrá:
B = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; entonces es un conjunto finito.

Indique cinco ejemplos más de conjuntos finitos.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________

4. CONJUNTO INFINITO
Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada de elementos diferentes.

Ejemplo: M = {x/x Î N, x > 2}
Veamos: M = {3; 4; 5; 6; 7; . . . }; como los elementos de “M” no tienen fin, entonces es un conjunto infinito.

Ejemplo: Q = {x/x Î N, “x” es par, x ³ 3}
Veamos: Q = {4; 6; 8; 10; 12; . . . }; como los elementos de “Q” no tienen fin, entonces es un conjunto infinito.

Los conjuntos infinitos más conocidos son los conjuntos numéricos:
- Conjunto de los números naturales (N)
- Conjunto de los números enteros (Z)
- Conjunto de los números racionales (Q)
- Conjunto de los números irracionales (I)
- Conjunto de los números reales (R)

5. CONJUNTO UNIVERSAL
Es aquel conjunto que contiene a todos los elementos de dos o más conjuntos en referencia. Al conjunto universal se le representa por: “U”

Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = {1; 2; 3}; B = {4; 5; 6}
Luego: un conjunto universal será: U = {x/x Î N, 1 £ x £ 6}, ya que “U” contiene a los conjuntos “A” y “B”.

Ejemplo: P = {2; 4; 6; 8}; Q = {6; 8; 10}; R = {8; 10; 12; 14}
Veamos: un conjunto universal será:
U = {x/x Î N, “x” es par, x £ 14}, ya que “U” contiene a los conjuntos “P”, “Q” y “R”.

Indique cinco ejemplos de conjunto universal.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
PRACTIQUEMOS

1. Dado el conjunto unitario: A = {6; m + 2}, hallar “m”

2. Dado el conjunto unitario: B = {8; a – 5; b + 3}, hallar “a + b”

3. Si los conjuntos: A = {m; n}; B = {n; p}; C = {2p – 1; 3}; son unitarios, hallar “m + n + p”

4. En cada caso completar la clase de conjunto(s):

A = {2x/x Î N; x < 100} __________________________
B = {2; 3; 4} y C = {x/x Î N, 1 < x < 5} __________________________
P = {3x/x Î N; "x" es par, 2 < x < 4} __________________________
M = {t,r,i,l,c,e} y N = {x/x Î N; x < 8} __________________________
R = {x/x Î N} __________________________
SEGÚN SU RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

1. INCLUSIÓN
Se dice que un conjunto "A" está incluido en otro conjunto "B", si todos los elementos de "A" pertenecen al conjunto "B". Se denota: "A Ì B"

Se lee:
- "A está incluido en B", "B incluye a A"
- "A está contenido en B", "B contiene a A"
- "A es un subconjunto de B", "B es superconjunto de A"

Su diagrama de Venn - Euler será:

Ejemplo:
Dados los conjuntos:
A = {2; 3; 4; 6} y B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Se observa que todo elemento de "A" pertenece al conjunto "B", entonces afirmamos que: "A" está incluido en "B", lo cual lo indicamos de la siguiente manera: "A Ì B"

Su diagrama de Venn - Euler es:

Ejemplo:
Dados los conjuntos:
A = {a,e,o} y B = {x/x es una vocal}
Se observa que toda vocal fuerte es una vocal, entonces afirmamos que: "A Ì B"
Su diagrama de Venn:

Ejemplo:
Dados los conjuntos:
P = {2; 3; 4; 6; 8; 10}; Q = {3; 6; 8; 10}; R = {6; 10}
indicar los signos de "Ì" o "Ë" según corresponda.

R ....... P Q ....... R Q ....... P
P ....... R R ....... Q P ....... Q

Ejemplo:
Observa los diagramas de cada conjunto e indica los signos de "Ì" o "Ë" según corresponda:

Observaciones:
i. Todo conjunto "A" está incluido consigo mismo y se denota: A Ì A.
ii. El conjunto vacío "Æ" está incluido en todo conjunto "A": Æ Ì A

2. CONJUNTOS IGUALES
Dos conjuntos "A" y "B" son iguales sólo si tienen los mismos elementos.
Se denota: A = B
Se lee: el conjunto "A" es igual al conjunto "B".

Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {i, u} y B = {x/x es una vocal débil}
Veamos: los conjuntos "A" y "B" tienen los mismos elementos, entonces podemos afirmar que: A = B

Ejemplo:
Sean los conjuntos:
P = {1; 3; 5; 7; . . . .} y Q = {x/x Î N, "x" es impar}
Veamos: los conjuntos "P" y "Q" tienen los mismos elementos, entonces podemos afirmar que: P = Q

Observaciones:
i. En un conjunto sólo se puede escribir una sola vez cada uno de sus elementos.
ii. En un conjunto sus elementos pueden ser escritos en cualquier orden.

Ejemplo:
Sean los conjuntos:
M = {1; 3; 5} y N = {3; 5; 1}
Veamos: los conjuntos "M" y "N" tienen los mismos elementos, ya que el orden de sus elementos no interesa, entonces podemos afirmar que: M = N

3. CONJUNTOS DISJUNTOS
Dos conjuntos "A" y "B" son disjuntos si no tienen ningún elemento en común.
Su diagrama de Venn:

Ejemplo:
Dados los conjuntos:
A = {2; 3; 5} y B = {1; 4; 6}
Veamos: como los elementos de "A" son diferentes a los elementos de "B", entonces "A" y "B" son disjuntos.

Ejemplo:
Dados los conjuntos:
M = {x/x es un número par} y N = {x/x es un número impar}
Veamos: como los elementos de "M" son diferentes a los elementos de "N", entonces "M" y "N" son disjuntos.

Ejemplo:
Sean los conjuntos:
M = {x/x es un hombre}
N = {x/x es una mujer}

Veamos:
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________

PRACTIQUEMOS

1. Escribe el símbolo "Ì" o "Ë" según corresponda:

a. {do, re, sol} ............ {x/x es una nota musical}

b. {2; 6; 8; 10} ............ {x/x es un número par}

c. {a ,e, i, m, r} ............ {x/x es una vocal}

d. {9; 7; 6; 5; 3; 1} ............ {x/x es un número impar}

2. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; B = {1; 4; 5; 7}; C = {2; 4; 6}; D = {1; 5}
escribe los símbolos "Ì" o "Ë" en cada caso:

C ....... A C ....... D A ....... C
B ....... D A ....... B B ....... A
C ....... B D ....... C D ....... A
D ....... B B ....... C A ....... D

3. Dado el conjunto: A = {2; {3}; 3;{5}}
Señalar verdadero o falso:

2 Ï A ( ) {2} Î A ( ) {3} Î A ( )
{3} Ì A ( ) {{5}} Ì A ( ) {{3}} Ì A ( )
3 Î A ( ) {2} Ë A ( ) Æ Ì A ( )

4. Observa los diagramas y escribe los símbolos "Ì" o "Ë" en cada caso:

TAREA DOMICILIARIA

1. Dados los conjuntos:
A = {2x + 1/x Î N, x < 8}; B = {x/x Î N, "x" es impar, 3 < x £ 11}
C = {9; 11; 13; 15}; D = {11; 15}
escribe los signos "Ì" o "Ë" en cada caso

C ....... B A ....... B D ....... A
A ....... D D ....... B B ....... C
C ....... D C ....... A B ....... A

2. Completar en cada caso la clase o clases de conjuntos:

a. A = {x/x Î N; x > 5} _______________________
b. M = {x/x es una vocal} y N = {2; 4; 6; 8} _______________________
c. C = {3x/x Î N; x > 0} _______________________
d. D = {4; 4; 7; 7; 7; 4; 4} y E = {7; 4} _______________________
e. P = {x/x Î N; 5 < x < 7} y Q = {2} _______________________
f. M = {0; 1; 2; 3; ….; 99} _______________________
g. N = {x/x Î N; “x” es par, 6 < x < 8} _______________________

3. Si: A = B; hallar “m2 + p2″
donde: A = {2m + 6; 2} y B = {10; p – 3}

4. Dado los conjuntos unitarios:
P = {2a – 3; 7} y Q = {a; b + 2}
hallar “a + b”

5. Dado el conjunto: A = {1; {2}; {4}; 6}
señalar verdadero o falso:

{2} Ì A ( ) {1} Ì A ( ) {{2}} Ì A ( )
4 Î A ( ) 2 Î A ( ) {6} Ì A ( )
2 Ï A ( ) {6} Ë A ( ) Æ Î A ( )
Operaciones
entre conjuntos
I. UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de “A” con todos los elementos de “B”.
Se denota: A È B
Se lee: A o B
Se define:

Representación gráfica:

Ejemplos:

1. Si: A = {1; 2; 4; 5; 7}; B = {3; 4; 6; 7; 8}
entonces:
A È B = {____________________________}
Como ambos conjuntos tienen elementos
comunes, su gráfico será:

2. Si: P = {2; 6; 9; 10}; Q = {1; 3; 5}
entonces:
P È Q = {____________________________}
Como ambos conjuntos no tienen ningún
elemento en común, su gráfico será:
EJERCICIOS

1. Sean los conjuntos:
A = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
B = {x/x Î N; “x” es impar, 6 < x £ 13} = {_______________}
Hallar “A È B” y su diagrama de Venn Euler.

Solución:
A È B = {_______________}

2. Dados los conjuntos:
M = {2x + 1/x Î N; x < 5} = {_______________}
N = {x/x Î N; “x” es par, 4 £ x < 12} = {_______________}
Hallar “M È N” y su diagrama de Venn Euler.

Solución:
M È N = {_______________}
3. Sean los conjuntos:
P = {es una consonante de la palabra “trilce”}
Q = {t,r,i,l,c,e}
Hallar “P È Q” y su diagrama de Venn Euler.

Solución:
P È Q = {_________________________}

4. Sombrear en cada caso:

PROPIEDADES

a. La unión de cualquier conjunto “A” consigo mismo, es igual al mismo conjunto “A”.

Así:

b. La unión de cualquier conjunto “A” con el conjunto vacío, es igual al mismo conjunto “A”.

Así:

c. La unión de cualquier conjunto “A” con el conjunto universal, es igual al mismo conjunto universal.

Así:
II. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
La intersección de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.
Se denota: A Ç B
Se lee: “A y B”
Se define:

Representación gráfica:

Ejemplos:

1. Si: A = {3; 5; 6; 7; 9; 10}; B = {6; 9; 11; 12}
entonces:
A Ç B = {____________________________}
Como ambos conjuntos tienen elementos
comunes, su gráfico será:

2. Si: P = {a,e,o,u} Q = {m,n,p}
entonces:
P Ç Q = {____________________________}
Como ambos conjuntos no tienen ningún
elemento en común, su gráfico será:

EJERCICIOS

1. Sean los conjuntos:
M = {x/x Î N; “x” es par, 2 £ x £ 10} = {_______________}
N = {1; 2; 3; 5; 7; 8; 9; 10; 11}
Hallar “M Ç N” y su diagrama de Venn Euler.

Solución:
M Ç N = {_______________}

2. Dados los conjuntos:
P = {x – 1/x Î N, 1 < x < 12} = {_______________}
Q = {x2/x Î N; “x” es impar, x < 4} = {_______________}
Hallar “P Ç Q” y su diagrama de Venn Euler.

Solución:
P Ç Q = {_______________}
PROPIEDADES

a. La intersección de cualquier conjunto “A” consigo mismo, es igual al mismo conjunto “A”.

Así:

b. La intersección de cualquier conjunto “A” con el conjunto vacío, es igual al conjunto vacío.

Así:

c. La intersección de cualquier conjunto “A” con el conjunto universal es igual al mismo conjunto “A”.

Así:

III. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
La diferencia de dos conjuntos “A” y “B”, es el conjunto formado por los elementos de “A” pero no de “B”.
Se denota: A – B
Se lee: “A pero no B” (sólo “A”)
Se define:

Representación gráfica:
Ejemplos:

1. Si: A = {1; 2; 4; 5; 6; 8}; B = {2; 3; 5; 7; 8; 9}
entonces:
A – B = {___________________}
B – A = {___________________}
Como ambos conjuntos tienen elementos
comunes, su gráfico será:

2. Si: M = {2; 4; 6; 8; 10}; N = {1; 3; 5; 7; 9}
entonces:
M – N = {____________________}
N – M = {____________________}
Como ambos conjuntos no tienen ningún
elemento en común, su gráfico será:

3. Si: P = {4; 5; 7; 8; 9; 10}; Q = {5; 8; 9}
entonces:
P – Q = {____________________}
Q – P = {____________________}
Como todos los elementos de uno de los
conjuntos pertenecen al otro conjunto (uno
está incluído en el otro), su gráfico será:

4. Sombrear en cada caso:

PROPIEDADES

a. Si un conjunto “A” está incluido en otro conjunto “B”, entonces la diferencia de los conjuntos “A – B”, es igual al conjunto vacío.

Así:

b. Para todo conjunto “A”, la diferencia del conjunto “A” consigo mismo es igual al conjunto vacío.

Así:

c. Para todo conjunto “A”; la diferencia del conjunto “A” con el conjunto vacío es igual al conjunto “A”.

Así:
EJERCICIOS

1. Sean los conjuntos:
P = {3x/x Î N; 1 < x £ 6} = {____________}
Q = {x + 1/x Î N; x < 5} = {____________}
Hallar: P D Q y su diagrama de Venn Euler.
Solución:
P D Q = {____________}

2. Dado los conjuntos:
M = {2x + 3/x Î N; 2 £ x < 7} = {____________}
N = {x – 1/x Î N; “x” es par, 5 < x £ 12} = {____________}
Hallar: “M D N” y su diagrama de Venn Euler.
Solución:
M D N = {____________}

3. Sean los conjuntos:
B = {x2 + 1/x Î N; x < 4} = {____________}
C = {x – 3/x Î N; 3 < x £ 13} = {____________}
Hallar:”B D C” y su diagrama de Venn Euler.
Solución:
B D C = {_________________}

PROPIEDADES

a. Para todo conjunto “A”; la unión del conjunto “A” con su complemento es igual al conjunto universal.
Así:

b. Para todo conjunto “A”; la intersección del conjunto “A” con su complemento es igual al conjunto vacío.
Así:

c. El complemento del conjunto vacío es igual al conjunto universal.
Así:

d. El complemento del conjunto universal es igual al conjunto vacío.
Así:

e. El complemento del complemento del conjunto “A” es igual al mismo conjunto “A”.
Así:

EJERCICIOS

1. Sean: U = {x + 2/x Î N; x < 9} = {___________________}
P = {x/x Î N; “x” es impar; x < 10} = {___________________}
Hallar P’ y su diagrama de Venn Euler.

Solución: P’ = U – P = {___________________}
graficamente:
2. Sean: U = {2x + 3/x Î N; x < 8} = {___________________}
Q = {x + 1/x Î N; “x” es par, 4 £ x < 13} = {___________________}
Hallar Q’ y su diagrama de Venn Euler.
Solución: Q’ = U – Q = {___________________}
graficamente:

3. Sean: U = {x – 5/x Î N; 6 £ x £ 14} = {___________________}
A = {x2/x Î N; 1 £ x < 4} = {___________________}
B = {x + 2/x Î N; “x” es impar, x £ 7} = {___________________}
Hallar: (A È B)’; (A Ç B)’ con sus diagramas de Venn Euler.
Solución:
A È B = {_________________} A Ç B = {_________________}
(A È B)’ = U – (A È B) (A Ç B)’ = U – (A Ç B)
(A È B)’ = {_________________} (A Ç B)’ = {_________________}
Diagrama: Diagrama:

4. Sean: U = {x/x Î N; x ³ 1} = {_________________}
M = {2; 3; 5; 7; 8; 9}; N = {0; 1; 2; 6; 7; 8}
Hallar: (M – N)’, (M D N)’ con sus diagramas de Venn Euler.
Solución:
M – N = {_____________} M D N = {_____________}
(M – N)’ = U – (M – N) (M D N)’ = U – (M D N)
(M – N)’ = {_____________} (M D N)’ = {_____________}
Diagrama: Diagrama:

TAREA DOMICILIARIA

1. Dados los conjuntos:
A = {3x – 1/x Î N, 1 £ x < 6}
B = {2x/x Î N, 0 < x < 8}
C = {x2 + 1/x Î N, x < 4}
hallar: “A È B”; “A È C”; “B È C”; con sus respectivos diagramas de Venn.

2. Dados los conjuntos:
M = {2x + 3/x Î N, x £ 4}
N = {4x – 1/x Î N, 1 £ x < 5}
Q = {x2/x Î N; x < 1}
Hallar: “M Ç Q”; “N Ç M”; “Q Ç N”; con sus respectivos diagramas de Venn.

3. Dados los conjuntos:
A = {x + 1/x Î N, “x” es par, 1 < x < 10}
B = {2; 3; 4; 5; 7; 8}
C = {4; 5; 6; 8; 9}
Hallar “A È B”; “A È C”; “B È C”, con sus respectivos diagramas de Venn.

4. Sombrear en cada caso:

5. Dados los conjuntos:
M = {x/x Î N; “x” es impar, x £ 9}
P = {0; 3; 4; 6; 8}
Q = {2; 3; 5; 6; 7; 9}
Hallar “M Ç P”; “M Ç Q”; “Q Ç P”, con sus respectivos diagramas de Venn.

6. Sombrear en cada caso:

7. Dado el conjunto universal: U = {3x/x Î N; x £ 10} y los conjuntos:
A = {0; 3; 9; 12; 18}; B = {6; 9; 15; 18; 21}
hallar: A’; B’; (A È B)’ con sus respectivos diagramas de Venn.

8. Dados los conjuntos; en cada caso hallar su cardinal:
A = {1; 2; 3; 3; 2; 2; 5; 1}
B = {x/x es una nota musical}
C = {x2 – 1/x Î N; “x” es par, 1 < x < 7}
D = {1; 3; {5}; {1;5}; {3}; {5;1}}

9. En cada caso, hallar la expresión que representa a la zona sombreada:
Operaciones con más
de dos conjuntos
1. Dados los conjuntos:
A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {3; 4; 5; 6; 8}
C = {5; 8; 9; 10}
Hallar: (A È B) È C y su diagrama de Venn

Resolución:
- Primero, hallamos lo que está dentro del paréntesis:
A È B = {____________________}
- Segundo paso, hallamos:
(A È B) È C = {____________________}

2. Sean los conjuntos: A = {3; 4; 5; 6};
B = {4; 5; 7; 8}; C = {2; 3; 4; 6; 8}
Hallar: (A Ç B) Ç C y su diagrama de Venn
Resolución:
- Primero, hallamos lo que está dentro del paréntesis:
A Ç B = {___________________}
- Segundo paso, hallamos:
(A Ç B) Ç C = {___________________}

3. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 4; 5; 7};
B = {1; 3; 5; 6}; C = {4; 5; 6; 8}
Hallar: (B – C) Ç A y su diagrama de Venn.
Resolución:
- Primero, hallamos lo que está dentro del paréntesis:
B – C = {____________________}
- Segundo paso, (B – C) lo intersectamos con “A”:
(B – C) Ç A = {____________________}
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON CONJUNTOS
Para resolver problemas con dos conjuntos, se debe identificar en su diagrama de Venn, las diferentes zonas que se presentan; para eso veamos con un ejemplo, sobre una encuesta a un grupo de personas sobre la preferencia por las revistas “A” o “B”.
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON TRES CONJUNTOS

EJERCICIOS

Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno:

1. Si el conjunto “A” tiene 34 elementos, el conjunto “B” tiene 18 elementos y ambos conjuntos tienen 9 elementos comunes. ¿Cuántos elementos pertenecen a “A” pero no a “B”?

2. De un grupo de personas que leen revistas GENTE o CARETAS, se conocen que 72 leen GENTE, 51 leen CARETAS y 34 leen sólo GENTE. ¿Cuántas personas leen sólo CARETAS?

3. Se observó en una reunión que: 46 personas usaban relojes; 24 usaban pulseras y 12 usaban ambas cosas. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión si todos llevaban al menos una de las dos prendas?

4. En el problema anterior, ¿cuántas personas usan solamente pulseras?

5. En el problema (3), ¿cuántas personas emplean solamente relojes?

6. En un restaurante donde asisten 40 personas, 19 toman sólo café, 10 café con leche, el resto sólo leche. ¿Cuántos toman leche?

7. En una encuesta a 80 personas, 47 tienen refrigeradora, 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los dos artefactos. ¿Cuántas personas tienen computadora solamente?

8. Cien alumnos de un colegio solicitan beca y al hacer su estudio socio económico, se establece que 60 tienen televisor y 78 tienen radio. ¿Cuántos tienen sólo radio, si se sabe además que 9 no tienen ni televisor ni radio?

9. Durante todas las noches del mes de mayo, Marlene escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches, ¿cuántas noches escucha música y lee un libro solamente?

10. José realiza un viaje mensual durante todo el año a Chiclayo o Trujillo. Si 8 viajes fueron a Chiclayo y 11 viajes fueron a Trujillo, ¿cuántos meses visitó los dos lugares?

11. Se tiene 80 personas de las cuales 6 juegan fútbol y básquet, 30 no juegan fútbol ni básquet y 20 juegan fútbol. ¿Cuántos solamente juegan básquet?

12. En un jardín de infancia se consulta a 55 niños sobre la preferencia de golosinas y contestan lo siguiente:

- 31 niños le gustan los caramelos.
- 33 niños le gustan los chocolates.
- 29 niños le gustan las galletas.
- 19 niños le gustan caramelos y chocolates.
- 17 niños le gustan caramelos y galletas.
- 18 niños le gusta chocolates y galletas.
- 10 niños le gusta chocolates, caramelos y galletas.

¿A cuántos niños no les gusta golosinas?

13. De la pregunta anterior, ¿a cuántos les gusta sólo una golosina?

14. De un grupo de 65 alumnos, 30 prefieren Lenguaje, 40 prefieren Matemática, 5 prefieren otros cursos. ¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje?

15. De 50 estudiantes encuestados: 20 practican sólo fútbol 12 practican fútbol y natación, 10 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican natación y cuántos solo natación?

16. En un salón de 100 alumnos, 65 aprobaron Razonamiento Matemático, 25 Razonamiento. Matemático y Razonamiento Verbal, 15 aprobaron solamente Razonamiento Verbal. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados?

17. En una encuesta realizada a 120 personas: 40 leen solamente la revista “Gente”, 60 leen solamente la revista “Caretas”, 12 no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántos no leen la revista “Caretas”?

18. Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y ketchup: 57 consumen mayonesa, 45 consumen ketchup, 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa pero no ketchup?

19. De 300 alumnos que salen al recreo: 90 bebieron Inca Kola, 60 bebieron Coca Cola, 10 bebieron ambas bebidas. ¿Cuántas alumnos bebieron solo una de estas bebidas?

20. En una reunión de profesores de Ciencias: 47 eran de Matemática, 40 eran solo de Física, 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión?

21. En una encuesta realizada a un grupo de deportistas: 115 practican básquet, 35 practican básquet y ajedrez, 90 practican solo ajedrez, 105 no practican básquet. ¿A cuántos deportistas se encuestó?

22. Durante el mes de febrero de 1999, Santiaguito solo desayunó jugo de naranja y/o jugo de papaya. Si 12 días desayunó solamente jugo de naranja, 3 días desayunó jugo de naranja y jugo de papaya, ¿cuántos días desayunó solamente jugo de papaya?

TAREA DOMICILIARIA

1. Dados los conjuntos:
A = {2x/x Î N; 3 < x < 10}; B = {5; 6; 8; 9; 12; 14}
C = {7; 9; 10; 12; 13; 15}
Hallar: n(A – C); n[(B - A) Ç C]; n[(B D C) - A]

2. Del gráfico:
3. Dados los conjuntos:
A = {t,r,i,l,c,e};
B = {e,x,i,t,o};
C = {s,e,g,u,r,o}
Hallar “E”, si:
E = n(A Ç B) + n(B – C) + n(A D C)

4. Un conjunto “A” tiene 60 elementos y otro “B” tiene 40 elementos. Si hay 80 elementos en “A È B”, ¿cuántos elementos hay en A – B?

5. En una fábrica de 200 obreros; 45 compran “El Comercio”; 53 “La República” y 17 los dos periódicos. ¿Cuántos compran “El Comercio” solamente?

6. De 100 estudiantes que rindieron examen de matemática y comunicación, 74 aprobaron matemática, 40 aprobaron comunicación. ¿Cuántos aprobaron matemática solamente?

INTRODUCCIÓN
En una campaña electoral para presidente, se le preguntó a un candidato: “¿Y qué harían ustedes, si llegaran al gobierno, con el problema de las drogas?”.
El candidato respondió sin vacilar: “Despenalizar el consumo y penalizar el tráfico”.
Al margen de las cuestiones políticas, la respuesta del candidato proviene de un planteo incorrecto, para mostrarlo recurriremos a la teoría de conjuntos.
Quienes están de acuerdo con el candidato representan la situación del problema que plantean las drogas como se muestra en la figura 1.

Pero cualquiera que haya estudiado matemática elemental sabe que esta no es la disposición más general de esos conjuntos.
La disposición más general es la que se muestra en la figura 2.

Es decir, hay tres categorías: la de los que consumen, la de los que trafican y la de los que consumen y trafican.
Esto es importante porque, desde el punto de vista del derecho penal, si uno dice “despenalizar el consumo y penalizar el tráfico”, está diciendo “los consumidores” al hospital y los traficantes a la cárcel. La pregunta que surge entonces es: “¿Y los que consumen y trafican a dónde deben ir?”.
La propuesta del político ha sido analizada y se ha demostrado que la misma tiene un error de planteo. Aquí se puede ver la importancia de formar en los jovenes un pensamiento matemático.
CONCEPTOS BÁSICOS
No definiremos los conceptos de conjunto y elemento; los aceptaremos como conceptos primitivos. Les daremos el sentido intuitivo que todos tenemos, es decir, “un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos reales o ideales, llamados elementos”.
Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas (A,B,C,…) y sus elementos separados por puntos y comas y encerrados entre llaves.
Ejemplos:
A = { Las carpetas del aula }
B = { 1; 2; 3; 4; 5 }
C = { mis libros }

RELACIÓN DE PERTENENCIA
Una relación importante que existe entre elementos y conjuntos es el de pertenencia, que se denota con el símbolo , el cual se lee «pertenece».
Del ejemplo anterior:
5 B (5 pertenece a B)
2 B (2 pertenece a B)
Para indicar que un elemento no pertenece al conjunto, usaremos el mismo símbolo cruzado por un segmento:
7 B (7 no pertenece a B)
13 B (13 no pertenece a B)

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Determinar un conjunto, o definir un conjunto, significa decir cuales son sus elementos.
Esto lo podemos hacer de dos formas:
1. Por extensión o forma tabular
Cuando se puede indicar explícitamente los elementos del conjunto.
Ejemplos:
D = {a,e,i,o,u}
E = {1;3;5;7}
F = {7;11;15;19;23}

2. Por comprensión o forma constructiva
Cuando se menciona una o más característica comunes y únicas a todos los elementos de dicho conjunto.
Ejemplos:
D = { x/x es una vocal }
E = { x/x es impar y 1x 7 }
F = {4x + 3/ 1x<6 }

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
a. Relación de Inclusión
Se dice que el conjunto A está incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen al conjunto B, se denota A B y se lee:
“A está incluido en B”
“A está contenido en B”
“A es subconjunto de B”
En general:

Ejemplo:
G = {Los gatos}
M = {Los mamíferos}
Como todo gato es mamífero entonces G está incluido en M, simbólicamente GM.
La negación de la relación AB, se denota AB que se lee “A no está incluido en B”.
Ejemplo:
H={7,5,4,3}
J= {5,7,2,6}
No todos los elementos de H pertenecen a J, entonces H no está incluido en J, simbólicamente HJ.
b. Relación de Igualdad
Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos.

Ejemplo: K={ 2; 4; 6; 8 }
L={ 4; 8; 2; 6 }
Tanto K como L tienen los mismos elementos, por ello K = L.
c. Conjuntos Disjuntos o Ajenos
Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes.
Ejemplo: P={ x/x es un número par }
I={ x/x es un número impar}
Como P e I no tienen elementos comunes entonces son disjuntos.
d. Conjuntos Comparables
Se dice que dos conjuntos son comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro.
Ejemplo: A={ 2; 7 }
B={ 2; 3; 5; 7 }
Como AB y BA entonces A y B son comparables.

Un diagrama de Venn-Euler es una representación gráfica de un conjunto, mediante una figura geométrica plana y cerrada.
Un diagrama lineal, es una representación gráfica de la inclusión de conjuntos.

Ejemplo:

NÚMERO CARDINAL
DE UN CONJUNTO
Es el número de elementos diferentes que pertenecen al conjunto. Se denota n(A)
Ejemplo:

CONJUNTOS NUMÉRICOS
a. Números Naturales ()

b. Números Enteros ()

c. Números Racionales ()

d. Números Irracionales (*)

Los elementos son números no racionales y no tiene en su expresión a la raíz de (–1)

e. Números Reales ()
Es el conjunto que tiene como elementos a los números racionales e irracionales.

f. Números Imaginarios ( I )
Son aquellos números que en su composición se encuentra el número .

g. Números Complejos ()
Es el conjunto que tiene como elemento a todos los números reales y los imaginarios.
DIAGRAMA LINEAL DE LOS
CONJUNTOS NUMERICOS

CLASES DE CONJUNTOS
a. Finito
Un conjunto finito si posee una cantidad limitada de elementos, es decir, el proceso de contar sus elementos termina en algún momento.
Ejemplo:
b. Infinito
Un conjunto es infinito, si posee una cantidad ilimitada de elementos, es decir, el proceso de contar sus elementos nunca termina.
Ejemplo:

CONJUNTOS ESPECIALES
a. Nulo o vacío
Es aquel conjunto que no tiene elementos, se le denota con o . El conjunto vacío es considerado subconjunto de todo conjunto.
Ejemplo:

b. Unitario o singletón
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo:
c. Universal
Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. Se lee generalmente con U.
Ejemplo:

Conjuntos Universales posibles:

d. Conjunto de Conjuntos
Denominado también familia de conjuntos y es aquel cuyos elementos son todos conjuntos.
Ejemplo:
Elementos de G
e. Potencia
Dado un conjunto A se denomina conjunto potencia de A a la familia de todos los subconjuntos de A y se denota P(A).
Ejemplo:
Los subconjuntos de H son:
f; {3}; {7}; {3; 7}
Luego:
Además
• Si
Entonces el conjunto potencia de J tiene 23=8 elementos.
En efecto:

• Si:

Si A es un conjunto que tiene K elementos entonces el conjunto potencia de A tiene 2k elementos. Decir 2k subconjuntos y (2k-1) subconjuntos propios.

Ejemplo:
El conjunto los días de la semana ¿cuántos subconjuntos tiene y cuántos son propios?

f. Par Ordenado
Es aquel conjunto que posee dos elementos no necesariamente diferentes y donde importa el orden de ellos. Se denota (a,b)
a: primera componente
b: segunda componente
Ejemplo: (7,8) ; (Ana, Lima)

i)
ii)

Ejemplo:
Si (a2,11)=(25;4b+3)
Calcule a.b

1. Determinar por compresión el conjunto:
M = {2, 4, 6, 8, 10}
A)
B)
C)
D)
E)

2. Calcular n (A) si:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. ¿Cuántos comités puede usted formar si dispone de 9 personas de donde escoger?
A) 255 B) 256 C) 511
D) 512 E) 1023

4. Dados los conjuntos unitarios:

Calcular (x + y)
A) 32 B) 36 C) 40 D) 44 E) 45

5.
Dar como respuesta el cardinal de A.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

6. Indicar el número de elementos del conjunto A.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 10 E) 16

7. Dados los conjuntos:
A = {a2 + 9, b + 2}
B = {–9, 10}
Si: A = B, calcular el valor de: a + b.
A) 10 B) 11 C) –12 D) 12 E) –11

8. Si los conjuntos A y B son iguales y unitarios, calcular: (a + b + c).
A = {a + 3, 3b + 1}
B = {6c + 1, 8c – 1}
A) 6 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13

9. Dados:
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {0, 1, 2, 4, 5, 7, 9}
si m es el número de subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con b y n, el número de subconjuntos de B que son disjuntos con A, calcular: m + n.
A) 36 B) 37 C) 35 D) 38 E) 39

10. Si: A = {p, u, r, e, t, a}
B = {r, u, t, a}
E = {e,, s, p, i, r, a}
¿Cuántos elementos tiene:
?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

INTRODUCCIÓN
Encontrar el menor número natural «n» si el conjunto {1,2,3,…,n} es arbitrariamente dividido en dos subconjuntos con intersección vacía, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos es igual al tercero.

TEORIA DE CONJUNTOS II
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Unión o Reunión
La unión de A y B denotada por A È B es el conjunto formado por todos los elementos X, tal que X Î A o X Î B simbólicamente:
A È B = {x/x Î A y/o x Î B}
Ejemplo:
A = { 2; 3; 4} B = {1; 3; 5; 7}
\ A È B = {2; 3; 4; 1; 5; 7}
Gráficamente

Propiedades:
* Si A Ì B ® A È B = B
* A È Æ = A
* A È U = U
* Si A y B son disjuntos
n(A È B) = n(A) + n(B)
* Si A y B no son disjuntos
n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B)

2. Intersección
La intersección de A y B denotada por A Ç B es el conjunto formado por todos los elementos x, tal que x Î A y x Î B, simbólicamente:
A Ç B = {x/x Î A Ù x Î B}

Propiedades:
* Si A Ì B ® A Ç B = A
* A Ç Æ = Æ
* A Ç U = A

3. Diferencia
La diferencia de A y B, denotada por (A – B) es el conjunto formado por todos los elementos x, tal que x Î A y x Î B. Simbólicamente:
A – B = {x/x Î A Ù x Ï B}
Ejemplo: A = {2; 4; 6; 8; 10}
B = {2; 3; 4; 5; 6}
\ A – B = {8; 10}
Gráficamente

4. Diferencia Simétrica.
A D B es el conjunto formado por todos los elementos tal que x Î A y x Î B y x Ï (A Ç B).
Simbólicamente:
A D B = {x/x Î (A È B) Ù x Ï (A Ç B)
De los conjuntos del ejemplo anterior
A D B = {8; 10; 3; 5}
Gráficamente:

Propiedades:
* A – f = A
* A – B ¹ B – A
* Si A Ì B ® A – B = f

5. Complemento
Consiste en tomar todos los elementos que faltan al conjunto para ser el universo y se le denota por:
CAu = Ac = A’ = = {x/x Î U Ù x Ï A}
Ejemplo: U = {x/x es par Ù 0 < x £ 10}
A = {2; 3; 5; 7}
\ Ac= A’= {1; 4; 6; 8; 9; 10}
Gráficamente:

Propiedades:
* A – B = A Ç Bc
* A Ç Bc = f
* A Ç Ac = U
* (f)c = U
* (U)c = f
* (Ac)c = A

1. Una persona comió queso o jamón en el desayuno, cada mañana durante el mes de marzo. Si comió jamón 25 mañanas y queso 18 mañanas, ¿cuántas mañanas comió queso y jamón?
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

2. En una ciudad el 60% de la población va al cine y el 35% va al teatro. Si el 20% de los que van al cine van también al teatro, ¿qué porcentaje no va al cine ni al teatro?
A) 17% B) 27% C) 5%
D) 15% E) 12%

3. De una muestra recogida a 200 transeúntes se determinó lo siguiente: 60 eran mudos, 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos; de estos últimos: 20 eran mudos y 30 eran cantantes. ¿Cuántos de los que no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos?
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

4. Al evaluar a un grupo de alumnos en Aritmética, Álgebra y Trigonometría se observó que ninguno sabía las tres materias, había 10 que sabían Aritmética, 9 Álgebra y 15 Trigonometría. Además 13 sabían dos cursos. ¿Cuántos sabían un curso?
A) 5 B) 12 C) 8 D) 10 E) 7

5. Durante el mes de agosto un joven visitó a su enamorada, fue a la acdemia o al trabajo. Si no hubo día en que se dedicara a sólo dos actividades y además visitó 15 días a su enamorada, fue a la academia 20 días y al trabajo 22 días, ¿durante cuántos días trabajo?
A) 9 B) 10 C) 8 D) 11 E) 7

6. De 500 postulantes a las universidades A, B y C 320 no se presentaron a A, 220 no se presentaron a B, 170 se presentaron a C, los que no postularon a una sola universidad solamente son 120. ¿Cuántos postularon a las tres universidades?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

7. De 500 postulantes que se presentaron a la UNI o a la Católica, 300 lo hicieron a la UNI, igual número a la Católica, ingresando la mitad del total de postulantes, los no ingresantes se presentaron a la San Martín, de estos 90 no se presentaron a la UNI y 130 no se presentaron a la Católica. ¿Cuántos ingresaron a la UNI y a la Católica?
A) 75 B) 60 C) 65 D) 70 E) 75

8. De un salón de 100 alumnos se sabe que 60 postularán a la Universidad Católica, 90 postularán a la San Marcos y 80 lo harán a la Villarreal. ¿Cuál fue el mínimo número de alumnos que postularon a las tres universidades?
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

9. Para dos conjuntos A y B se cumple que:
.
Determinar:
A) 16 B) 1 C) 2 D) 8 E) 4

10. En una clase de 96 alumnos, 36 practican natación, 40 básquetbol y 48 fútbol. Si 7 practican los 3 deportes y 3 no practican ninguno de estos 3 deportes, ¿cuántos practican uno y sólo uno de estos deportes?
A) 72 B) 17 C) 20 D) 69 E) 42