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PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA COMPOSICION DE FUNCIONES




FUNCIONES COMPUESTAS -composición de funciones
Además de la adición , multiplicación y división de funciones , hay otra operación fundamental llamada composición , la cual se considera como una función de función y se define así:
La función de f con g, denotada por f o g y que se lee «f composición g» es la función cuyo dominio consiste en los elementos tales que g(x) y cuya regla de correspondencia es:

Ejemplo :
* Del gráfico adjunto determinar F o G

Se consideran sólo los elementos asociados a líneas que hacen el recorrido completo de A hacia C , pasando por B.

dEFINICIÓN :
Si f y g son dos funciones en sus dominios respectivos, se define la composición de funciones denotados por fog ‘‘f compuesta con g’’ , así :

* Sean los conjuntos A , B y C y las funciones f y g tal que :

* Los siguientes diagramas ilustran la definición anterior .

* De esta representación gráfica se tiene :

nota
La composición de funciones es una operación no conmutativa es decir :

Ejemplo 1 :
Determina la función f o g siendo :

Resolución:
*Para que exista la función f o g es necesario , según la definición , que el rango de g se encuentre contenido en el dominio de f, esto es, que exista . Si g tiene dominio en A y rango en B , y f tiene rango en C, entonces
f o g tiene dominio en A y rango en C . La figura da un diagrama de f o g para este ejemplo.

La función compuesta será :

Ejemplo 2 :
Dadas las funciones:

Hallar : A) f o g B) g o f
Resolución:
A) Veamos si existe f o g

* Entonces existe f o g
* Nos interesa los pares ordenados de g y f que tengan como segundas y primeras componentes A : –1 ; 2 y 5 respectivamente . Luego :

* También :

B) De manera similar , se halla g o f

* Luego :

Ejemplo 3 :
Determine f o g si :

Resolución :

* Si x = 0

* Si x = 1

* Si x = 2

* Si x = 3; no existe

Ejemplo 4 :
Dadas las funciones :

Halle la función f tal que: h = f o g
Resolución :
* Como : h(x) = (f o g)(x) = f(g(x))
* Entonces:

* También :

Ejemplo 5 :
Dadas las funciones :

Hallar el producto de los elementos del rango de la función : h = (f o g) + (g o f)
Resolución :
* En este caso es posible seguir el siguiente procedimiento :
* En caso de f o g : entonces y en caso g o f : entonces
* Así:
Para f o g :

* Por consiguiente

* Para g o f :

* Para x = 3: no existe g(f(3))
x = 4: no existe g(f(4))
* Por lo tanto g o f =
* Como entonces

, entonces 4× 6 = 24
observación :
Volviendo ahora la manera de ver a las funciones como máquinas , podemos entender la operación de composición como un acoplamiento de una máquina con otra . Por ejemplo, si tenemos la función f(x)=x2, la cual es una máquina que recibe x y la eleva al cuadrado , la función
g(x) = 2x + 3 es una máquina que recibe x ; la multiplica por 2 y luego suma 3 , componer f con g consiste sólo en acoplar la máquina de g con la de f. Le suministramos a f, la «producción» de g.

La expresión o regla de correspondencia de f o g es:

Ejemplo 6 :
Dadas las funciones:. g(x)= x – 2. Hallar f o g.
Resolución:
* Calculamos los dominios de cada función:
* Para f(x):

*Para g(x):es una función lineal
* Como los dominios tienen infinitos elementos, aplicamos el método analítico para resolver el problema.
* Tenemos :

* Trabajamos con
* De g(x) se tiene :

* En (2) :
* En (1) : Domf o g =
* Además :

* Hemos determinado f o g indicando su regla de correspondencia y su dominio.
Ejemplo 7 :
Dadas las funciones f y g , tales que :

Hallar : f o g si existe .
Resolución :
A) Primero veamos si existe f o g
Dom f :
Ran g : –1 –3<3x<6
–2<3x + 1<7
Rang :
* Luego :
Existe f o g
* Calculemos : Dom(f o g)

* Luego :

* Entonces : Df o g =
* Ahora , calculemos : (f o g)(x)
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 1)
(f o g)(x) = 2(3x + 1) – 1
(f o g)(x) = 6x + 1
* Finalmente : (f o g)(x) = 6x + 1;
PROPIEDADES :
Sean las funciones f, g y h:
I) Otra forma sencilla de presentar el dominio de una composición es :

II) (f o g) o h = f o (g o h) …………. (Asociativa)
III) Si I es la función identidad , luego
función f : f o I = f I o f = f
IV) (f + g) o h = (f o h) + (g o h)
V) (f · g) o h = (f o h) · (g o h)
VI) I n o f = f n , , I: identidad
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1 :
Sean las funciones :
G = {(3;9), (4;16), (5;25), (6;36)}
={(1;9), (2;16), (3;25), (4;36)}
Obtener F
A) F = {(1;4), (2;3), (3;5), (4;6)}
B) F = {(1;2), (2;4), (3;6), (4;5)}
C) F = {(1;3), (2;4), (4;6), (5;5)}
D) F = {(1;3), (2;4), (3;5), (4;36)}
E) F = {(1;3), (2;4), (3;5), (4;6)}
Resolución :
* Si: G = {(3;9), (4;16), (5;25), (6;36)}
G(x) = x2
= {(1;9), (2;16), (3;25), (4;36)}
= G[F(x)] = (x + 2)2
F(x) = x + 2
F = {(1;3), (2;4), (3;5), (4;6)}
rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 2 :
Sean f y g dos funciones definidas por :
f = {(2;3), (0;–1), (4;5), (1;–1)}
g = {(3;0), (–1;2), (5;3)}
Entonces, el ran(f o g) ran(g o f) es :
A) {3} B) {–1;3} C){0;2;3} D)f
Resolución :
* Cálculo de f o g :

Cálculo de g o f :

* Luego : Ran(f o g) = {–1; 3}

rpta: ‘‘a’’
PROBLEMA 3 :
En la siguiente tabla aparecen valores de las funciones F y H.

Entonces, el valor de es:
A) –1 B) 1 C) 0 D) 2 E) 3
Resolución :

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
La composición es una operación entre funciones que se establece de la
siguiente manera:
Dadas dos funciones f y g , se define como la composición de la función
f con la función g , a la función denotada f