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CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS EJERCICIOS EN PDF Y VIDEOS

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Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en “números rojos”. Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.

MENOS POR MENOS ES MÁS
Hoy , una de las preguntas más repetidas en las clases de MATEMÁTICA es ¿ por qué menos por menos es más?.
Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla es puramente arbitraria y se adopta sólo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias justificaciones claras y aceptables, como por ejemplo:
En el mundo hay ciudadanos buenos a los que le asignamos el signo (+) y malos con el signo (–). También acordamos que salir del Perú es negativo (–) y entrar al Perú es positivo (+). Entonces diremos que:

I) Si un ciudadano bueno (+) entra (+) al Perú, el resultado para el Perú es positivo: (+) (+) = (+)
II) Si un ciudadano malo (–) sale (–) del Perú, el resultado para el Perú es positivo (+): (–) (–) = (+)
III)Si un ciudadano bueno (+) sale (–) del Perú, el resultado para el Perú es negativo (–): (+) (–) = (–)
IV)Si un ciudadano malo (–) entra (+) al Perú, el resultado para el Perú es negativo: (–) (+) = (–)


• Ejemplos:

+4; -3; -5; 9; -3; 0; -10

Los números enteros se representan en una recta numérica:

* Recoerdemos que el “0″ no tiene signo positivo ni negativo

VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO

Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde:

- Ambos autos parten de un mismo lugar.
- Viajan en sentido contrario.
- Viajan a una misma velocidad.

¿La distancia recorrida para un mismo tiempo será la misma?

Rpta.: ___________________

Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de dicho número a cero.

• Ejemplo:

a. |- 3| = 3 ; se lee: valor absoluto de ” – 3 ” es 3.
b. |+3| = 3 ; se lee: valor absoluto de ” + 3 ” es 3.
c. |-7| = 7 ; se lee: valor absoluto de ” – 7 ” es 7.
d. |+9| = 9 ; se lee: valor absoluto de ” 9 ” es 9.

• Completa correctamente según el ejemplo:

- El valor absoluto de -5 __________ = __________
- El valor absoluto de 7 __________ = __________
- El valor absoluto de -10 __________ = __________
- El valor absoluto de 17 __________ = __________
- El valor absoluto de -39 __________ = __________
- El valor absoluto de 52 __________ = __________
- El valor absoluto de 325 __________ = __________
- El valor absoluto de -125 __________ = __________
- El valor absoluto de -33 __________ = __________
- El valor absoluto de 1 232 __________ = __________
- El valor absoluto de -11 526 __________ = __________
- El valor absoluto de -20 205 __________ = __________

EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO
Es el número entero cambiado de signo como por ejemplo:

- El opuesto de +7 es -7
- El opuesto de -3 es +3

• Completar correctamente:

- El opuesto de +13 es :____________
- El opuesto de -17 es :____________
- El opuesto de -19 es :____________
- El opuesto de +63 es :____________
- El opuesto de -8 es :____________

Relación de orden (>, <)

* Un número entero es mayor que otro, si se encuentra a la derecha del otro en la recta numérica.
* Todo número entero positivo es mayor que su antecesor.
* Todo número entero negativo es menor que su sucesor.

Ejemplos:

* 6 es mayor que 1 porque:

* 4 es mayor que 0 porque:

* 0 es mayor que -3 porque:

* -2 es mayor que -6 porque:

EJERCICIOS

1. Indica la relación: >, < ó =, en cada uno de los siguientes casos:

a. 0 1 b. 4 0
c. -8 0 d. 0 -3
e. -1 0 f. 0 -4
g. |-1| 0 h. 0 -60
i. +49 0 j. +3 +7
k. -8 -9 l. +1 -1
m. -7 +8 n. -12 +12
o. +7 -20 p. +14 -100
q. -27 -32 r. +45 |-50|
s. |-8| +12 t. |-13| |-58|

2. Completa las siguientes expresiones:

a. 36 es opuesto de: _______
b. - 73 es opuesto de: _______
c. 87 es opuesto de: _______
d. - 128 es opuesto de: _______
e. 325 es opuesto de: _______
f. El valor absoluto de - 124 es: _______
g. El valor absoluto de 340 es: _______
h. El valor absoluto de - 73 es: _______
i. El valor absoluto de + 68 es: _______
j. El valor absoluto de 0 es: _______

3. Coloca (V) si la afirmación es verdadera y (F) si es falsa.

a. El opuesto de un número entero negativo es negativo. ( )

b. El opuesto del opuesto de un entero positivo es negativo. ( )

c. La distancia entre dos números opuestos es el doble de
la distancia entre uno de los números y el cero. ( )

d. El valor absoluto de un número entero siempre es positivo. ( )

e. El opuesto de un número entero negativo es positivo ( )

f. La suma de los valores absolutos de dos números opuestos
es cero. ( )

4. Traza una recta numérica para cada caso y marca en ella los números opuestos correspondientes. (En el cuaderno)

a. - 5 ; + 5

b. + 6 ; - 6

c. - 7 ; + 7

d. 8 ; - 8

e. - 3 ; 3

5. Completa el siguiente cuadro:
Reglas de juego

* Números negativos, indicarán movimientos hacia la izquierda de la recta, con respecto a cero.

* Números positivos, indicarán movimientos hacia la derecha de la recta, con respecto a cero.

* El punto de partida es cero "0".

Ejemplo: Representar sobre la recta: - 2 - 5 + 17

Representar:

a. -2 - 3 - 1

b. 3 + 5 + 4

c. 5 - 2 - 1 + 3

d. +4 - 5 - 2

e. +8 - 2 + 4
Adición de números enteros

Caso I: "Sumandos del mismo signo"
Se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo signo.

Ejemplo:

* (+5) + (+7) = +12 * (+3) + (+7) + (+10) = ___________
* (-8) + (-10) = -18 * (-7) + (-3) + (-2) = ___________
* (-9) + (-19) = - 28 * (+15) + (+23) + (+8) = ___________
* (+16) + (4) = +20 = 20 * (-21) + (-3) + (-5) = ___________
* (3) + (7) = +10 = 10 * (+8) + (+50) + (+20) = ___________

Caso II: "Sumandos de signos diferentes"
Se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del sumando de mayor valor absoluto

Ejemplos:

* (-16) + (+16) = 0 * (-100) + (+50) = ___________
* (-13) + (+2) = -11 * (+30) + (-16) = ___________
* (+18) + (-6) = +12 * (-120) + (42) = ___________
* (32) + (-16) = +16 * (+17) + (-33) = ___________
* (-15) + (+10) = -5 * (-43) + (+12) = ___________

Sustracción de Números Enteros

Para restar dos números enteros se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo es decir: "se transforma la resta en suma".

Ejemplo:

* * (+3) - (-2) = (+3) + (+2) = + 5

* (10) - (+ 10) = (10) + (-10) = 0 * (-5) - (-3) = (-5) + (+3) = - 2

* (-16) - (+16) = _______________ * (+25) - (-10) = _______________

* (-100) - (+20) = _______________ * (+4) - (4) = _______________
¡AHORA HAZLO TÚ!

1. Sumar los siguientes números enteros en el cuaderno:

a. 8 ; 7 f. -12 ; -12
b. 20 ; -6 g. -9 ; +10
c. -11 ; +12 h. -30 ; -30
d. -9 ; -15 i. +18 ; +18
e. 30 ; +15 j. -3 ; +3

2. Efectuar las siguientes restas de números enteros:

a. b. (15) - (- 8) =

c. (- 36) - (+ 23) = d. (-36) - (-11) =

e. (-25) - (35) = f. (-100) - (-100) =

g. (+8) - (-8) = h. (+9) - (+9) =

i. (+20) - (+20) = j. (16) - (16) =

3. Escribir: >, < ó =, según corresponde:

a. (-9) – (-4) ______ (-3) – (+6)
b. (+13) – (-6) ______ (-14) – (-2)
c. (-8) – (+13) ______ (-7) – (+14)
d. (-47) – (+25) ______ (+15) – (-22)
e. (-18) – (-6) ______ (-9) – (+3)
f. (+43) – (+14) ______ (-20) – (- 49)
g. (-20) – (+33) ______ (+18) – (-36)
h. (-39) – (-6) ______ (+72) – (+8)
i. (+65) – (+7) ______ (-7) – (-65)
j. (-60) – (-3) ______ (+30) – (+54)

4. Desarrolla los cálculos en el cuaderno y luego completa la tabla.

5. Afina tu cálculo mental.

a. + 4 + 6 + 9 b. + 11 + 15 + 12

c. - 8 – 3 – 6 d. - 5 – 12 – 9

e. + 8 – 5 + 4 f. - 5 + 16 – 14

g. + 4 – 8 + 11 – 6 h. - 10 + 10 – 12 + 12

i. - 13 + 8 – 18 + 6

6. Realiza los siguientes desplazamientos. Para cada caso elabora una recta numérica.

a. - 1 + 2 – 6

b. + 5 – 10

c. - 13 + 16

d. - 8 – 2 + 10

e. 3 + 2 + 7 – 6 – 2

f. + 2 + 7 – 10 + 5
OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN
Y SUSTRACCIÓN EN Z

Para poder efectuar operaciones combinadas de números enteros, debemos realizar los siguientes pasos:

• Ejemplo:
Efectuar: P = (+7) + (-2) – (+4) + (+10) – (-3)

Primero : Transformamos las sustracciones en adiciones por el opuesto:

P = (+7) + (-2) + (-4) + (-10) + (3)

Segundo : Escribimos los enteros positivos como números naturales:

P = (7) + (-2) + (-4) + (10) + (3)

Tercero : Suprimos los paréntesis:

P = 7 – 2 – 4 + 10 + 3

Cuarto : Agrupamos los números positivos y los números negativos:

P = 7 + 10 + 3 – 2 – 4

Quinto : Sumamos los positivos y los negativos por separado.

P = +20 – 6
P = +14
¡AHORA HAZLO TÚ!

I. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno:

a. (-5) + (-2) – (-1) + (+4) – (+6)

b. (-7) – (+2) + (+8) – (-4)

c. (-10) + (-2) + (-7)

d. (-12) + (-11) – (+10) – (-3)

e. (-6) – (-3) + (-2) – (-8)

f. (-5) + (+8) – (-3) – (+2)

g. (-4) – (+7) + (-1) – (+10)

h. (-9) + (-10) – (-11) – (-1)

i. (+5) – (+3) + (+2) – (+30)

j. (-10) – (-3) + (-18) – (+2)

k. (-7) – (-6) + (-2) – (-3) + (-10)

l. (-12) + (-18) – (-1) + (-7) – (+28)

m. (-25) – (25) + (-5) – (-11) + (+7)

n. (+8) + (-13) – (-12) + (-17) – (-3)
MULTIPLICACIÓN EN Z

Es la operación que conociendo dos o más números enteros, llamados factores, nos permite calcular otro número entero llamado producto.

Ley de signos

- El producto de dos números enteros de igual signo es positivo. Ejemplo:

a. (+6) × (+7) = +42 b. (-4) × (-2) = +8
c. (+8) × (+10) = ______ d. (-5) × (-9) = ______
e. (+10) × (+20) = ______ f. (-5) × (-10) = ______

- El producto de dos enteros de diferente signo es negativo. Ejemplo:

a. (-12) × (+6) = -72 b. (+12) × (-12) = -144
c. (-9) × (+8) = ______ d. (+12) × (-10) = ______
e. (-4) × (+8) = ______ f. (-10) × (30) = ______

Nota: Recordar que los factores también se pueden encerrar con paréntesis.

AHORA HAZLO TÚ

1. Calcular teniendo en cuenta la ley de signos para la multiplicación.

a. (+8) (+6) = ___________________________________
b. (-7) (-4) = ___________________________________
c. (-9) (-11) = ___________________________________
d. (2) (1) (-3) (-4) (-9) = ___________________________________
e. (+3) (+4) (-5) (-6) = ___________________________________
f. (+2) (+4) (-8) (+7) = ___________________________________
g. (-11) (-20) = ___________________________________
h. (+12) (+12) = ___________________________________
i. (+5) (+4) (-8) (-10) = ___________________________________
j. (+7) (-6) (-9) = ___________________________________
k. (+9) (+9) (+8) (-7) = ___________________________________
l. (+7) (-8) (+2) (-3) = ___________________________________

2. De las afirmaciones:

i. ( – ) ( – ) ( + ) ( – ) ( + ) = + ii. (-3) (-4) = -2
iii. 2 (-5) = -0 iv. (-1) (1) = 1

¿Cuántos son verdaderos?

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. N.A.

3. Completar el siguiente cuadro efectuando las multiplicaciones indicadas:
DIVISIÓN EN Z

La división nos permite encontrar un número llamado cociente, conociendo a otros dos llamados dividendo y divisor respectivamente.

Ley de signos

- El cociente de dos números enteros de igual signo es positivo. Ejemplo:

a. (+144) ¸ (+12) = +12 b. (-48) ¸ (-6) = +8
c. +28 ¸ +4 = ______ d. 30 ¸ -10 = ______
e. (72) ¸ (+9) = ______ f. (-26) ¸ (-2) = ______

- El cociente de dos números enteros de diferentes signos es negativo. Ejemplo:

a. (-18) ¸ (+2) = -9 b. (+169) ¸ (-13) = -13
c. -24 ¸ +4 = ______ d. 15 ¸ -5 = ______
e. -96 ¸ +3 = ______ f. +60 ¸ -5 = ______

¡AHORA HAZLO TÚ

1. Completar el siguiente cuadro efectuando las divisiones indicadas:

2. Calcular teniendo en cuenta la ley de signos para la división.

a. (-60) ¸ (+5) = ______________________________
b. (+10) ¸ (+2) = ______________________________
c. (+32) ¸ (+4) = ______________________________
d. (-48) ¸ (-8) = ______________________________
e. (+72) ¸ (-9) = ______________________________
f. (+36) ¸ (-4) = ______________________________
g. (+144) ¸ (-12) = ______________________________
h. (7 – 5 + 8) ¸ (3 – 2) = ______________________________
i. (-11 + 3 – 9 + 2) ¸ (4 – 7 + 8) = ______________________________
j. (+12 + 4 – 6) ¸ (20 – 15) = ______________________________
k. (+121) ¸ (-11) = ______________________________
l. (+42) ¸ (+7) = ______________________________

3. Sabiendo que: a = 18; b = -10; c = 55; d = -30; e = -2 y f = -5; hallar:

a) b ¸ e b) d ¸ b c) a ¸ e
d) d ¸ f e) d ¸ e