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LOGARITMOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Los objetivos de este capítulo se muestran a continuación :
• Presentar la séptima operación de la matemática, su definición, sus propiedades y sus diversas aplicaciones en la física, química, biológica, estadística, etc.
• Notar la trascendencia de los sistemas de logarimos más usuales:
Los logaritmos decimales, vulgares o de BRIGGS cuya base es el número real 10.
Los logaritmos naturaleza, hiperbólicos o de NEPER cuya base es el número trascendente “e”.
• Exponer la importancia del operador inverso de logaritmo, denominado antilogaritmo o exponencial de un número real; así como también del cologaritmo y sus propiedades.
• Recurriendo a los tópicos de las matemáticas modernas, establecer las definiciones de las funciones exponenciales y logarítmicas, el análisis gráfico cartesiano de las mismas, sus propiedades de orden, sus variabilidades y artificios diversos.
 Aprenderemos a resolver ecuaciones e inecuaciones logarítmicas dentro del conjunto R, para lo cual, debemos establecer todas las restricciones posibles que permitan que estas relaciones (de igualdad y de orden), esten definidas en el conjunto de los números reales.

• Presentar la séptima operación de la matemática, su definición, sus propiedades y sus diversas aplicaciones en la física, química, biológica, estadística, etc.
• Notar la trascendencia de los sistemas de logarimos más usuales:
Los logaritmos decimales, vulgares o de BRIGGS cuya base es el número real 10.
Los logaritmos naturaleza, hiperbólicos o de NEPER cuya base es el número trascendente “e”.
• Exponer la importancia del operador inverso de logaritmo, denominado antilogaritmo o exponencial de un número real; así como también del cologaritmo y sus propiedades.
• Recurriendo a los tópicos de las matemáticas modernas, establecer las definiciones de las funciones exponenciales y logarítmicas, el análisis gráfico cartesiano de las mismas, sus propiedades de orden, sus variabilidades y artificios diversos.
 Aprenderemos a resolver ecuaciones e inecuaciones logarítmicas dentro del conjunto R, para lo cual, debemos establecer todas las restricciones posibles que permitan que estas relaciones (de igualdad y de orden), esten definidas en el conjunto de los números reales.
 Para casos especiales, presentamos las siguientes propiedades generales:
1°)
2°)
3°) LogbMn = n logb |M|
4°)
Los cuales las aplicaremos en problemas de este capítulo.
SÍNTESIS TEÓRICA

LOGARITMO
Se denomina logaritmo de un número positivo “x” en una base dada “b”, positiva y distinta de la unidad, al exponente real “y” a que debe elevarse dicha base, para obtener una potencia igual al número dado.

ALGORITMO:

Donde: x : Número real positivo
b : base del Logaritmo
y : Logaritmo definido en R

Ejemplos explicativos
1. Calcular: Log32512

Log32512 = y 32y=512
25y=295y=9

2. Calcular

3. Calcular:

Debemos tener en cuenta lo siguiente:

CONSECUENCIA DE LA DEFINICIÓN

Sabemos que: Logbx = y . . . (a)
by = x . . . (b)
Sustituyendo (a) en (b), resulta:

Ejemplos explicativos
1.
2.
3.
4.
5.
6.

7.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

Teorema 1. Logaritmo de un producto
; M>0, N>0
Teorema 2. Logaritmo de un cociente.

Teorema 3. Logaritmo de una potencia

Teorema 4. Logaritmo de una raíz

APLICACIONES ELEMENTALES
1. Dar el valor de:
Sabiendo que:

 Desarrollando E, por propiedades:

Por datos:

2. Calcular el aproximado de Log500.
Si por tablas logarítmicas: Log2 = 0,30103
 Veamos:
Log 500 = Log 1000 – Log2
Log 500 = 3 – 0,30103
Por lo tanto: Log 500 = 2,69897

3. Considerando que: Logba=2.
Dar el valor de la expresión:

 Desarrollando por propiedades:

Del mismo modo, extendiéndolo y buscando el dato “Logba”, se tiene:

Luego:
Como:
Por lo tanto:

4. Resolver la ecuación: 100x = 3x–2
Si se sabe que: Log 3 = m + 2
 Tomando Logaritmo en base 10, en ambos miembros de la ecuación exponencial:
 Log100x = Log3x–2
X Log100 = (x–2) Log3
2x = x Log3 – 2Log3
2 Log3 = x (Log3–2)
Luego:

ANTILOGARITMO O EXPONENCIAL

Ejemplos explicativos



 2,718

PROPIEDADES

En el análisis matemático, se define:

El cual se lee: “exponencial del número x en base b”.
Se observa que este operador es equivalente al del antiLogaritmo. Por ello, se establece que:

PROPIEDADES DEL EXPONENCIAL

1°) expbx . expby = expb (x+y)
2°)
3°)
4°)
Debemos notar que, si la base del exponencial es el número trascendente “e”, la representación convencional es más reducida,así:

Ejemplo 1
Resolver la ecuación:
donde “e” es la base de los Logaritmos naturales
 Por definición:
Luego:
Ejemplo 2
Despejar el valor de “m” en:



Igualando bases:

Ejemplo 3
De la exponencial contínua y finita
exp.exp exp . . . expx=x. Dar el valor de
.
 Por definición:
; por propiedad:

PROPIEDADES DIVERSAS
1. Regla de la cadena

2. Producto unitario

3. Logaritmo constante
A)
B)
4. Extracción directa de un factor

5. Permutación de a y c

En general:

6. Equivalente Logarítmico de un exponencial

A)
B)

FÓRMULA DEL CAMBIO DE BASE
Por consecuencia de la definición:

Tomando Logaritmo en base “a”, en ambos miembros de la igualdad:

Como las constantes “a” y “b” son conocidas, la fracción nos representa un factor de conversión, el cual es constante.
Asumiendo que:
Entonces, la fórmula matemática:

Nos permite cambiar un Logaritmo de base “a” a base “b”, para lo cual se debe conocer “m” el cual se denomina módulo de paso o de transformación.

Por ejemplo:
La fórmula que nos permite cambiar un Logaritmo de base 3 a base 2, es la siguiente:

donde el módulo de paso, se obtiene de:

Por lo tanto:

1. Demostrar la siguiente equivalencia:

Resolución:
Sea:

por definición de logaritmo se tiene en

escribiendo por definición:

reemplazando (I) y (II) en (III):

Demostrado.
2. Demostrar la siguiente equivalencia:

Resolución:

1. Calcular el logaritmo de 32 en base 8 por definición.

Rpta………………………………………………….

2. Aplicando definición calcular el logaritmo en base de 1/81.

Rpta………………………………………………….

3. Calcular el logaritmo de en base

Rpta………………………………………………….

4. Calcular el logaritmo de en base

Rpta………………………………………………….

5. Hallar el valor de x en:

Rpta………………………………………………….

6. Calcular el valor de x:

Rpta………………………………………………….

7. Calcular el valor de b.

Rpta………………………………………………….

8. Al resolver:

calcular el valor de:

Rpta………………………………………………….

9. Si se tiene:

calcular el valor de:

Rpta………………………………………………….

10. Calcular el valor de:

Rpta………………………………………………….

11. Calcular el valor de:

Rpta………………………………………………….

12. Si se sabe:
calcular el valor de:

Rpta………………………………………………….

13. Determinar el valor de:

Rpta………………………………………………….

14. Si: abc=128
calcular el valor de:

Rpta………………………………………………….

15. Determinar el valor de:

Rpta………………………………………………….
16. Sabiendo que a y b son las raices positivas de la ecuación:

calcular el valor de:

Rpta………………………………………………….

17. Sabiendo que:

calcular el valor de:

Rpta………………………………………………….

18. Calcular:

Rpta………………………………………………….

19. Si se tiene:
Calcular A+B

Rpta………………………………………………….

20. Calcular los siguientes logaritmos en términos de a y b:

Rpta………………………………………………….

1. Calcular el logaritmo de 81 en base 27 por definición.
A) 3 B) 3/4 C) 4/3
D) 2 E) 5/2

2. Calcular el valor de x:

A) 1 B) 3 C) 5
D) 4 E) 2

3. Calcular el valor de:

A) 98 B) 36 C) 126
D) 189 E) 215
4. Calcular el valor de:

A) 98 B) 110 C) 115
D) 95 E) 100

5. Calcular el valor de:

A) 1 B) 3 C) 5
D) 6 E) 2
COLOGARITMO
Se define el cologaritmo de un número N (N > 0) en una cierta base a (a > 0 Ù a ¹ 1), que se denota por cologaN, como el logaritmo de la inversa de N en la misma base a.

Ejemplo:
Propiedades

Siendo: M > 0 Ù N > 0 ; a > 0 Ù a ¹ 1 Ù p Î R
Se cumple que:
1. cologa1 = 0 ; cologaa = –1
2.
3. cologa(ap) = –p

4. cologa (M · N) = cologaM + cologaN
5.

6. cologaNp = p · cologaN

ANTILOGARITMO
Consiste en otra forma de denotar a la función EXPONENCIAL, y se define así:
Siendo: a > 0 Ù a ¹ 1 Ù x Î R

Ejemplo: antilog23= …………

Propiedades
Siendo a > 0 Ù a ¹ 1, se cumple que:
1. antilog x = exp10 (x) = 10x
2. antilogex = expe (x) = ex
3. antilogalogaN = N ; N >0
4. loga antiloga X = X ; X Î R
5. antiloga (x+y) = antiloga x · antiloga y
6. antiloga (px) = (antiloga x)p

PRINCIPALES SISTEMAS DE LOGARITMOS
Sólo dos de los infinitos sistemas que existen, son los de mayor aplicación matemática en diferentes campos profesionales: los logaritmos decimales y los logaritmos naturales. Se aplican por ejemplo en Economía, Estadística, Administración, Ingeniería, etc.

1. LOGARITMOS DECIMALES, VULGARES O DE BRIGGS
El sistema de los logaritmos decimales es el más utilizado, sobre todo en múltiples cálculos aritméticos, y tiene como base al número 10. Para el cálculo de los logaritmos en éste sistema se ha elaborado, desde hace mucho tiempo atrás, diferentes TABLAS LOGARÍTMICAS; las primeras con cuatro cifras decimales de aproximación y las últimas hasta con ocho cifras.
En la actualidad, éstas tablas logarítmicas han sido desplazadas y ampliamente aventajadas por las calculadoras electrónicas y computadoras personales; donde es posible calcular el logaritmo decimal de cualquier número positivo y con una cantidad deseada de cifras decimales de aproximación.
Notación: loga N <> log N
y se lee logaritmo decimal de N.
 log2s = 0,301030……
 log3 = 0,477125……
 log7 = 0,845098……

2. LOGARITMOS NATURALES, NEPERIANOS O HIPERBÓLICOS.
Este sistema es de mucha importancia en el análisis matemático, puesto que su base (el número “e”) se obtiene como resultado del cálculo del límite de una función:

donde el desarrollo de la función, aplicando el binomio de Newton en el caso general, es:

en el límite, cuando x ® 0, resulta:

Luego:

Para el cálculo de logaritmos naturales también se han elaborado tablas logarítmicas de éste sistema; pero con ciertas limitaciones, dado que no es posible emplear criterios similares a aquellos de los logaritmos decimales.
Pero, conociendo el logaritmo decimal de un cierto número N, se puede calcular el logaritmo natural del mismo número.

Notación: loge N <> Ln N
Se lee: logaritmo natural o logaritmo neperiano de N.
Dentro de éste sistema, hay que tener en cuenta dos valores “notables”, que son:

FUNCIÓN LOGARÍTMICA
DEFINICIÓN
Siendo, a > 0 Ù a ¹ 1, se define la FUNCIÓN LOGARITMO así: y = G(x) = loga x
cuyo dominio de definición es:
Dom(log) = R+ = á0, 8+ñ
La gráfica cartesiana de la función LOGARITMO es la reflexión de la gráfica de la EXPONENCIAL con respecto a la recta y=x (y viceversa). Generalizando, la función LOGARITMO: es la INVERSA de la función EXPONENCIAL:

de donde:

1. CASO: a > 1
Cuando a > 1, la gráfica cartesiana de la función LOGARITMO siempre guarda la misma forma que la exponencial.

CARACTERÍSTICA
 Es una función creciente,

 Es una función inyectiva
(Posee inversa).

2. CASO: 0 < a < 1
La gráfica se comporta de la siguiente forma:

CARACTERÍSTICAS:
 Es una función decreciente,
 Es una función inyectiva y posee inversa.

ECUACIONES E INECUACIONES
LOGARÍTMICAS
I. Sean f(x)y g(x) expresiones matemáticas de valores reales.
Sea a > 0 Ù a ¹ 1, la ecuación:
, es equivalente al sistema mixto.

C.S. = S1 Ç S2 Ç S3

Resolver:

1. Demostrar que al resolver la ecuación logarítmica:

el conjunto solución es:

Resolución:
Se nota que: x>0
luego de la ecuació:

por propiedad:

reduciendo:

Aplicando definición:

2. Si:

Demostrar que:

Resolución:

1. Resolver:

Rpta………………………………………………….

2. Resolver:

Rpta………………………………………………….

3. Resolver la ecuación logarítmica:

Rpta………………………………………………….

4. Resolver:

Rpta………………………………………………….

5. Calcular el valor de x:

Rpta………………………………………………….

6. Resolver:

Rpta………………………………………………….

7. Resolver:

Rpta………………………………………………….

8. Resolver:

Rpta………………………………………………….

9. Resolver para x:

Rpta………………………………………………….

10. Resolver:

Rpta………………………………………………….

11. Resolver:

Rpta………………………………………………….

12. Resolver la ecuación:

Rpta………………………………………………….

13. Resolver:

Rpta………………………………………………….

14. Al resolver:

Rpta………………………………………………….

15. Resolver la ecuación logarítmica:

Rpta………………………………………………….

16. Hallar el producto de las soluciones:

Rpta………………………………………………….

17. Al resolver:

Calcular la suma de las raíces.

Rpta………………………………………………….

18. Si:

Hallar:

Rpta………………………………………………….

19. Si:

calcular el valor de A + B

Rpta………………………………………………….

20. Calcular el valor de x.

Rpta………………………………………………….

1. Resolver la ecuación:

A) 2,5 B) 4,5 C) 7,5
D) 8,5 E) 9

2. Resolver:

A) 8 B) 10 C) 12
D) 15 E) 17

3. Resolver la ecuación logarítmica:

A) –6 B) 7 C) 8
D) 7 y –6 E) 7 y 6
4. Sabiendo que:

calcular el valor de:

A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

5. Calcular el valor de x:

A) 2/3 B) 3/2 C) 1/2
D) 1/3 E) –2/3
Lectura:
A fines del siglo XVI, el desarrollo de la Astronomía y de la Navegación exigían cálculos aritméticos largos y laboriosos. Un auxilio valioso ya había sido obtenido con la reciente invención de las fracciones decimales, aunque aún muy poco difundida. Así, hallar un método que permitiese efectuar de manera rápida multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y extracciones de raíces, era, en esa época, un problema fundamental.
De acuerdo con el grado de dificultad, las operaciones aritméticas pueden ser clasificadas en tres grupos: adición y sustracción forman las operaciones de 1ra. especie, multiplicación y división son de 2da. especie, y potenciación y radicación son de 3ra. especie. Se trataba entonces de hallar un procedimiento que permitiese reducir cada operación de 2da. o 3ra especie a una especie inferior y por lo tanto más simple.
Con frecuencia sucede que un gran descubrimiento científico es realizado por 2 o más personas trabajando independientemente. Así sucedió con los logaritmos. Jost Burgi (1552 – 1632), suizo, fabricante de instrumentos astronómicos, matemático e inventor, y John Napier (1550 – 1617), un noble escocés, teólogo y matemático, cada uno ignorando totalmente al otro, publicaron las primeras tablas de logaritmos. La influencia de Napier en el desarrollo de los logaritmos fue mucho mayor que la de Burgi, debido a sus publicaciones y sus conexiones con profesores universitarios.
Una tabla de logaritmos consiste esencialmente de dos columnas de números. A cada número de la columna de la izquierda le corresponde un número a su derecha, llamado su logaritmo. Para multiplicar dos números basta sumar sus logaritmos; el resultado es el logaritmo del producto; para hallar el producto basta leer en la tabla, de derecha a izquierda, cuál es el número que tiene dicho logaritmo. Similarmente, para dividir dos números basta substraer sus logaritmos. Para elevar un número a una potencia basta multiplicar el logaritmo del número por el exponente. Finalmente, para extraer la raíz enésima de un número, basta dividir el logaritmo del número entre el índice de la raíz.
Posteriormente, el matemático inglés Henry Briggs (1564 – 1631), profesor de la Universidad de Londres, y luego de Oxford, elaboró, en colaboración con Napier, una nueva tabla de uso más sencillo, conteniendo los llamados logaritmos decimales o logaritmos ordinarios, que resultaban útiles por el hecho de utilizar un sistema de numeración decimal (base 10).
Durante los casi cuatro siglos que siguieron al descubrimiento de los logaritmos, sus ventajas han resultado decisivas en la Ciencia y la Tecnología. Actualmente, si bien su uso como instrumento de cálculo aritmético ya ha sido superado ampliamente por las calculadoras electrónicas y los computadores, su estudio es y seguirá siendo de gran importancia; ya que el desarrollo de la matemática y de las ciencias en general han mostrado que diversas leyes matemáticas y varios fenómenos físicos, químicos, biológicos y económicos están estrechamente relacionados con los logaritmos.

DEFINICIÓN
Dado un número real b (b > 0 Ù b ¹ 1), el logaritmo de un número x (x > 0) en la base b es el exponente y al que debe elevarse b, de manera que se cumpla: by=x.

NOTACIÓN

PROPIEDADES
1. Logb1 = 0
2. Logbb=1
3. logb(m · n) = logbm + logbn
4.
5. logb (mx) = x · logb m
6.
7.
8. Cambio de una base b a una base a:

9. logb m · logm b = 1
10.

COLOGARITMO

ANTILOGARITMO
antilogbm = bm

LOGARITMOS NATURALES
Llamados también Logaritmos Neperianos, o según Euler, logaritmos Hiperbólicos. Son aquellos logaritmos cuya base es el número trascendental “e” (épsilon o número de Euler), cuyo valor se puede aproximar a: e=2,71828182. Se les denota del siguiente modo: “lnX”, y se lee: “Logaritmo natural de x” o “Logatirmo neperiano de x”