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COCIENTES NOTABLES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Se denomina cocientes notables, a ciertos cocientes cuyo desarrollo se puede escribir sin efectuar la división. Se caracterizan por ser cocientes exactos.
FORMA GENERAL DE LOS COCIENTES NOTABLES
Todo cociente notable se puede presentar de la siguiente forma general:
donde se observa:
1) El dividendo y el divisor tienen, cada uno, dos términos.
2) Las bases del dividendo y divisor “x”, “a” respectivamente son iguales.
3) Los exponentes en cada uno de los términos del dividendo son iguales.
4) Hay cuatro formas de cocientes notables, que se obtiene combinando los signos:
DESARROLLO DEL COCIENTE NOTABLE
Para desarrollar el C.N. se realiza la división por Ruffini, aplicado a un caso, pero se generaliza para los tres casos de cocientes notables con las reglas prácticas que se hará al final de la demostración.
REGLAS PRACTICAS PARA ESCRIBIR EL DESARROLLO DE CUALQUIER COCIENTE NOTABLE
1) El primer término del cociente es igual alcociente entre el primer término del dividendo y el primer término del divisor.
2) El último término del cociente es igual al cociente entre el segundo término del dividendo y el segundo término del divisor.
3) A partir del segundo término del cociente el exponente de “x” comienza a disminuir de 1 en 1 hasta
el valor cero.
4) También a partir del segundo término del cociente, aparece “a” con exponente “1” y en cada término posterior su exponente aumenta de 1 en 1 hasta
“m – 1”.
5) Para los signos de cada término se debe tener en cuenta:
a) Cuando el divisor es de la forma (x + 1) los signos de los términos del cociente son
alternados (+) y (-) comenzando por (+).
b) Cuando el divisor es de la forma (x – a) los signos de los términos del cociente son positivos.

• Obtener de manera directa, sin necesidad de operar, aquellas divisiones notables de la forma genérica:

INTRODUCCIÓN
LEONHARD EULER
Matemático Suizo
Basilea (Suiza) 1707 – San Petersburgo (Rusia) 1783.
Euler fue hijo de un pastor calvinista y matemático, que fue alumno de Jakob Bernoulli, e inició al joven Euler en los rudimentos del conocimiento matemático. Al igual que su padre, Euler fue alumno de un miembro de la familia Bernoulli, Johan, y entabló amistad con otros miembros de dicha familia. Destacó rápidamente en sus estudios matemáticos; para él era una cuestión de honor intentar responderse el máximo de cuestiones que pudiera preguntar a sus profesores.
A los quince años terminó los estudios de bachiller y a los diecisiete años era Licenciado, y un año más tarde publicaba su primera memoria en la Academia de París.
A partir de ese momento comenzó el camino que le llevaría al reconocimiento de ser la figura más importante de la época en las Matemáticas.
Euler trabajó en todas las ramas de las Matemáticas, y en cada una de ellas hizo aportaciones muy notables; es frecuente encontrar resultados con su nombre.
Puede ser considerado como el matemático con mayor número de trabajos publicados en Ciencias Matemáticas y otras (más de 700 memorias redactadas).
Al sistematizar el estudio de las funciones elementales, sus derivadas e integrales, introdujo la notación que se utiliza actualmente. “Leed a Euler, es el maestro de todos nosotros”, es la frase que solía decir Laplace a sus alumnos. Con esta frase mostraba el respeto y admiración que profesaba por Euler.
Un alumno de estudios preuniversitario está familiarizado con una metodología y notación clara y precisa. Muchas de estas notaciones son debidas a Euler; por ejemplo, en 1736 introdujo el símbolo e para indicar la base de los logaritmos naturales o neperianos; en 1737 el símbolo p y en 1777 el símbolo i (unidad compleja imaginaria).
COCIENTES NOTABLES
SÍNTESIS TEÓRICA
Concepto.- Son los resultados de ciertas divisiones indicadas, que se obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de división. Esto, debido a la forma que presentan.
FORMA GENERAL DE UNA DIVISIÓN INDICADA QUE GENERA UN COCIENTE NOTABLE
Las divisiones indicadas que originan COCIENTES NOTABLES, son de la forma general:

donde:
x : primer término del divisor
y : segundo término del divisor
n : número de términos de la parte entera del C.N.
Para realizar un estudio detallado del mismo, debemos tener en cuenta los siguientes aspectos a mostrar:
• Si la división es exacta (R(x,y) º 0)
La división notable adopta la forma general:

• Si la división es inexacta (R(x,y) 0)
La división notable asume la forma general:

EXPANSIÓN O DESARROLLO DE UN COCIENTE NOTABLE
1er. Caso : Forma general
• Cálculo del Resto
Por el Teorema del Resto: x – y = 0 ® x = y \ R = yn – yn = 0 ;

• Determinación del Cociente
Aplicando la Regla de Ruffini:

Ejemplos:




• = 16×4 + 8×3 + 4×2 + 2x+1

2do. Caso: Forma general
• Cálculo del Resto
Por el Teorema del Resto : x – y = 0 ® x = y \ R = yn + yn = 2yn ;

• Determinación del Cociente
Aplicando la Regla de Ruffini: Ordenando el cociente en forma conveniente, resulta:

Ejemplos :




3er. Caso: Forma general
• Cálculo del Resto
Por el Teorema del Resto: x + y = 0 ® x = –y \ R = (–y)n – yn ; como n es par
R = yn – yn = 0
• Determinación del Cociente
Por la Regla de Ruffini, resulta: Ordenando el cociente respecto a x, se tiene:

Ejemplos :



4to. Caso: Forma general
• Cálculo del Resto
Por el Teorema del Resto: x + y = 0® x = –y \ R = (–y)n – yn ; como n es impar
R = –yn – yn = –2yn

• Determinación del Cociente
Aplicando la Regla de Ruffini, se tiene: El cociente resultante será:

Ejemplos :


5to. Caso: Forma general
• Cálculo del Resto
Por el Teorema del Resto: x + y = 0® x = –y \ R = (–y)n + yn ; como n es impar
R = –yn + yn = 0

• Determinación del Cociente
Dividiendo por la Regla de Ruffini: El cociente obtenido será:

Ejemplos :


6to. Caso: Forma general

• Cálculo del Resto
Por el Teorema del Resto: x + y = 0 ® x = –y \ R = (–y)n + yn ; como n es par
R = yn + yn = 2yn

• Determinación del Cociente
Aplicando la Regla de Ruffini, se tiene: Ordenando el cociente respecto de “x”, resulta:

Ejemplos:



CUADRO SINÓPTICO DE LOS 6 CASOS DE C.N.

PROPIEDAD IMPLÍCITA
El exponente común “n” en la división indicada, nos muestra el número de términos de la parte entera del cociente notable expandido.

TÉRMINO GENERAL DE UN COCIENTE NOTABLE
En el desarrollo de la división indicada:
Un término cualquiera de lugar k, de la parte entera del cociente, se calcula mediante la fórmula general:

Donde: x : primer término del divisor
y : segundo término del divisor
n : número de términos del C.N.
k : lugar que ocupa el término
Regla Práctica para deducir el signo de Tk
a) Si el divisor es de la forma (x – y):
Todos los términos Tk del cociente notable, son POSITIVOS.
b) Si el divisor es de la forma (x + y):
– Los términos de lugar IMPAR son POSITIVOS.
– Los términos de lugar PAR son NEGATIVOS.
Ejemplo (1) Determine el 7mo. término del C.N. generado al dividir:
• En la fórmula general n=15 y K=7: T7 = (+) x15–7 y7–1
Por lo tanto: T7 = x8 y6
Ejemplo (2) Calcular el 13er. término del desarrollo de la división indicada:
• En la fórmula general: n=24 y K=13: T13 = (+) x24–13 y13–1
Por lo tanto: T13 = x11 y12
Ejemplo (3) Señale el vigésimo término del C.N. obtenido al efectuar:
• En la fórmula general n = 39 y k=20: T20 = (–) x39–20 y20–1
Por lo tanto: T20 = –x19 y19

Teorema Nº 11
CONDICIÓN DE PROPORCIONALIDAD IMPLÍCITA
Para que la siguiente división indicada:
genere un C.N., se debe cumplir la condición necesaria y suficiente:
siendo “r” el número de términos del C.N.
Ejemplo (1) En la siguiente división indicada:
Aplicando la condición de proporcionalidad:
Número de términos
Se observa que este genera un cociente notable de 7 términos.

Ejemplo (2) Si la división mostrada: genera un C.N., debe cumplir la condición:
Número de términos
Lo cual es absurdo. Por lo tanto, la división mencionada NO genera un cociente notable.

Ejemplo (3) Hallar el número de términos de la parte entera del C.N. que se obtienen a partir de la división:

Por la condición :
donde “r” nos expresa el número de términos pedido.
Resolviendo la ecuación: (3m + 2) (m – 5) = 2 (5m – 1)
Efectuando, resulta: 3m2 – 23m – 8 = 0
Factorizando: (m – 8) (3m + 1) = 0
Para m = 8, se obtiene: r = 13 términos
Para m = , el valor de r no resulta un número natural.

TÉRMINO GENERAL DEL C.N. DE UNA DIVISIÓN ARBITRARIA QUE VERIFICA LA CONDICIÓN DE PROPORCIONALIDAD IMPLÍCITA
Se sabe que en la división indicada: . Se cumple :
Luego, cualquier término se obtiene a partir de la fórmula explícita:

Ejemplo explicativo:
De la división mostrada:
Determine el 17o y 38o término respectivamente del C.N. generado al expandirlo.
Por la condición:
• Cálculo de T17 (Lugar impar) T17 = (+) (x3)51–17 (y2)17–1
Por lo tanto: T17 = x102 y32
• Cálculo de T38 (Lugar par) T38 = (–) (x3)51–38 (y2)38–1
Por lo tanto: T38 = –x39 y74

Regla Práctica para desarrollar
Las características más saltantes de su desarrollo, son las siguientes:

a) El C.N. admite r términos en su parte entera.
b) Con respecto a x, los grados relativos van disminuyendo de p en q (partiendo de m – p hasta cero).
c) Con respecto a y, los grados relativos van aumentando de q en q (partiendo de cero hasta n – q).

Ejemplos Diversos:






• Siempre y cuando el valor de P sea par.
• Siempre y cuando el valor de (n/r) sea impar.
• Sólo si el valor de 3m es par.
Para el caso de divisiones inexactas, el criterio es el mismo para extender los términos de la parte entera del cociente, sólo que debemos agregar la fracción: residuo sobre divisor.
Según el algoritmo:

PROPIEDADES PARTICULARES
I. Término Central de la parte entera de un C.N.
Se tiene la división indicada:
a) Si n es un número impar
El cociente notable admite un sólo término central, cuya posición se calcula así:

luego, dicho término se determina por la fórmula:

b) Si “n” es un número par
El cociente notable admite dos términos centrales, cuyas posiciones se calculan así:

Luego los términos buscados se determinan por las fórmulas:

II. Término Contado a partir del extremo final
Para la parte entera del cociente notable generado al dividir :
un término cualquiera de lugar “K”, contado a partir del extremo final, se calcula así:

Ejemplo:
Señale el 10mo. término contado a partir del final, en el desarrollo de:
• Es evidente que el número de términos n = 75.
• Aplicando la fórmula general:
Por lo tanto:
III. Suma de los grados absolutos de todos los términos del desarrollo de la división indicada
• que admite “r” en términos en la parte entera del C.N.
Se trata de calcular la suma de la serie:
Es fácil deducir la siguiente relación: ………. (a)
• Si se tiene la forma elemental de la división notable:
por simple inspección, se tienen por comparación los datos mostrados :
m = n ; p = q = 1 ; r = n
Reemplazando en la fórmula (a), resulta:

13. Calcular el número de términos fraccionarios en el C.N. de:
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

14. Para que el valor de n el producto de los términos de lugar 10; 50 y 100 del cociente notable originado al dividir: , es idéntico a x236.
A) 132 B) 131 C) 133 D) 134 E) 135

15. A continuación se muestran tres términos consecutivos de un cociente notable:
… + x91y54 + T + x103y42 + …
determinar el grado absoluto del término T.
A) 145 B) 135 C) 125
D) 115 E) 105

16. Dado el cociente notable:
, hallar el término central de su desarrollo.
A) (x – 9)3 B) 10 C) (x2 – 16)4
D) (x – 9)5 E) x – y
17. Si el término central del desarrollo de: es 576x2y4 y la suma del segundo y cuarto término es 384x3y2 + 864xy6; hallar: a2 + b2.
A) 24×3 + 4y2 B) 16×2 + 36y2
C) 8x – 12y2 D) 8×3
E) 12×2 + 1

18. Si uno de los términos del cociente notable:
es x4y10. Hallar: a · b.
A) 120 B) 250 C) 20
D) 25 E) 30

19. Si los grados absolutos de los términos del desarrollo del coeficiente notable: disminuyen de dos en dos y el gradoi absoluto de cuatro términos es 21, hallar el número de términos.
A) 20 B) 18 C) 5 D) 8 E) 10

20. Si en el desarrollo del cociente notable:
hay 14 términos, hallar el grado absoluto del término que ocupa el lugar (m – n) es decir: tm–n.
A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 72