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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA LINEA SENO Y COSENO PROBLEMAS RESUELTOS NIVEL UNI PDF




OBJETIVO :
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
* Definir la Circunferencia Trigonométrica (C.T.).
* Utilizar la C.T. como instrumento de visualización de las razones trigonométricas, mediante segmentos dirigidos.
* Ubicar los números reales en la circunferencia trigonométrica a través de los arcos dirigidos en posición normal .
* Justificar el paso de una razón trigonométrica a una función trigonométrica.
* Representar , graficar y analizar las razones trigonométricas seno, coseno , mediante segmentos dirigidos.

introducción :
Si hacemos coincidir el centro de una circunferencia de radio unidad con el origen de coordenadas obtenemos la circunferencia trigonométrica (también llamada circunferencia goniométrica), en la que el seno y el coseno de un ángulo vienen representados por la ordenada y por la abscisa, respectivamente.

La circunferencia trigonométrica es una circunferencia de radio unidad en la que se inscriben los ángulos, con el vértice en su centro. También en su centro se ubica el origen de un sistema de coordenadas ortogonales (x;y). En la circunferencia trigonométrica se considera que los ángulos están orientados; se atribuye un signo al sentido de giro: si los ángulos se miden desde el eje x, crecen positivamente en sentido contrario al de las agujas del reloj . Por lo tanto , si se miden en sentido horario , los ángulos serán negativos.
La razón del valor uno es por simple comodidad, es más facil deducir los valores de las funciones trigonométricas a partir de un valor simple como uno (el único valor más simple que 1 es cero , pero el cero no aplica en este caso), asi que se toma este por hacer las cosas más fáciles y poder deducir los valores de manera sencilla.

Tener en cuenta:
* Ángulo es el conjunto de puntos del plano común a la intersección de dos semiplanos. Se los mide en grados sexagesimales, grados centesimales o radianes.
* Un ángulo de un radián es aquel en que el arco que subtiende, trazado con centro en el vértice del ángulo, es igual al radio.
* Los argumentos de las funciones trigonométricas son ángulos.
* Las funciones trigonométricas son números sin unidad de medida. Surgieron como relaciones entre las medidas de los segmentos que forman los lados del triángulo
ARCO ORIENTADO
Es la trayectoria descrita por un punto al desplazarse sobre una curva, en un determinado sentido. Estos arcos poseen un origen y un extremo.

CIRCUNFERENCIA CANÓNICA
Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen del sistema cartesiano. Estas circunferencias, en la geometría analítica, poseen una ecuación de la forma:
x2 + y2 = r2

Donde “r” es el radio de la circunferencia.
ejemplos :

CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMÉTRICA
Es aquella circunferencia canónica cuyo radio es igual a la unidad del sistema. Se pueden notar las siguientes características:

* Donde:
A (1; 0) : origen de arcos.
(0; 1) : origen de complementos.
A’ (-1; 0) : origen de suplementos.
B’ (0; -1) : sin nombre especial.
LT : eje de tangentes.

* De la figura:

a y q : son arcos dirigidos en posición normal.
P : extremo de arco q.
Q : extremo de arco a.
q : es un arco positivo (sentido antihorario).
a : es un arco negativo (sentido horario).

ARCO EN POSICIÓN NORMAL
Son arcos orientados determinados de una circunferencia canónica; con origen en el punto “A”, mostrado en el grafico adjunto; los cuales pueden ser generados en sentido antihorario (positivos) o en sentido horario (negativos), por ejemplo:

Así tenemos un arco dirigido en posición normal
del sector circular sombreado, se tiene que por longitud de arco . Para una CT (r=1), en consecuencia se cumplirá:

Es importante trabajar los arcos en posición normal en la CT , teniendo en cuenta el extremo del arco , este extremo nos indicará el cuadrante al que pertenece dicho arco. Así por ejemplo en la siguiente figura .

A : origen de arcos.
MÙ N : extremos de arco.

B : Origen de complementos de arco.
A’ : Origen de suplementos de arco.
B’ : Anónimo.
Además; se cumple que: (en rad) (numéricamente); y debido a esta observación se cumple:

* Es decir, con esta propiedad fundamental es posible calcular las razones trigonométricas de cualquier numero real, siempre y cuando esta se encuentre definida.

En la siguiente figura de la izquierda , se tiene una recta numérica vertical donde el origen de la recta coincide con El punto A(1; 0) de la CT. Considerando a la CT como una sección de un carrete y la recta numérica como un hilo (espesor despreciable) entonces, en la siguiente derecha , la parte positiva de la recta se envuelve en sentido antihorario y la parte negativa en sentido horario.

Este procedimiento tiene por fin ilustrar al lector que a cada punto de la recta numérica le corresponde un único punto de la CT.
Como ya se ha enunciado, es importante ubicar el extremo de un arco en la CT ya sea para la ubicación de su cuadrante o para las definiciones que se verán más adelante. Así por ejemplo el arco 1 en la CT se relaciona a un ángulo en posición normal 1rad , análogamente el arco p a p rad y el arco -2 a -2rad .
ARCO EN POSICIÓN ESTANDAR
Es aquel arco cuyo extremo inicial es el origen de arcos de la C.T. y su extremo final cualquier punto sobre la C.T. (es aquel que indica el cuadrante al cual pertenece dicho arco).
El ángulo central correspondiente a un arco en posición estándar tiene una medida en radianes que es igual a la medida del arco en unidades lineales.

“q ” y “a ” son arcos en posición estándar tales que:

OBSERVACION:
Para poder ubicar el extremo del arco 1 se necesita ubicar el ángulo de 1 rad, de forma análoga para el arco 2 el ángulo 2 rad, y así sucesivamente hasta el arco 6. Por ello del segundo capítulo se sabe lo siguiente: l rad <> 57°17’44″ (aproximadamente)
De igual forma podemos obtener 2 rad <> 114°35′ 28″

(aproximadamente) 3 rad <> 171 ° 53′ 12″
(aproximadamente) 4 rad <> 229° 10′ 56″
(aproximadamente) 5 rad <> 286° 28′ 40″
(aproximadamente) 6 rad <> 343° 46′ 24″
(aproximadamente)

Del gráfico estos extremos de arcos servirán como referencia para ubicar aproximadamente otros arcos

en la C.T.

En los siguientes gráficos , se muestran a los arcos de mayor uso .

La simetría existente entre los extremos de los arcos. Veamos en qué medida nos facilitará en calcular las coordenadas de otros puntos, conocido uno de ellos.
Las coordenadas de los extremos de los arcos representados en las siguientes figuras y , tales coordenadas se han obtenido teniendo como referencia los pares ordenados en el primer cuadrante y luego utilizando criterios de simetría respecto al eje de abscisas y al eje de ordenadas.

Hasta aquí queda claro que los arcos en la C.T. son números reales, es decir, cantidades sin unidades. También se les suele llamar cantidades adimensionales.
Expuesto lo anterior, se debe tener presente que los arcos dirigidos en posición normal no necesariamente pertenecen a determinado cuadrante, puede darse el caso que dichos arcos no pertenezcan a cuadrante alguno. A estos tipos de arcos que se encuentran en posición normal y no pertenecen a cuadrante alguno se les suele llamar ángulos cuadrantales.
Ejercicio 1 :

RESOLUCIÓN:

Ejercicio 2 :
Ubique gráficamente en la circunferencia trigonométrica los extremos de arcos (en posición estándar).

RESOLUCIÓN:
Para que los arcos se encuentren en posición estándar en la C.T. esto tendrán su posición inicial en el punto A (1; 0).

Ejercicio 3 :
Ubicar los siguientes ángulos en la circunferencia trigonométricas:

RESOLUCIÓN :

Representaciones de las Razones
Trigonométricas en la
Circunferencia Unitaria
En esta parte al referimos a un arco, hacemos la suposición de que este es un arco dirigido en la C.T. en posición normal, es decir, su punto inicial es el origen de arcos A(1;0). En las representaciones siguientes, se han utilizado segmentos dirigidos.
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Son segmentos de medida positiva o negativa que van a representar el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o un número cualquiera.

I) Línea Seno (Ordenada del extremo del Arco)
Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado, hacia el eje de abscisas.
* En el gráfico, tenemos entonces que:

Variación Analítica

* Debe notarse además que la L.T. seno puede ser trazada para cualquier arco “q ”, verificándose además:

Ejemplos:

ejercicio 1 :
Si , ¿entre qué valores varía Sena ?
RESOLUCIÓN :

En la figura, considerando solo el IIC, trazando la C.T. y analizando en el IIC, se observa que si , entonces:

0 < Sena < 1, luego cuando , el Sena varía entre 0 y 1 .

ejercicio 1 :
Si ; halle el intervalo de variación de P, siendo:

Resolución:
Como ; según el ejercicio anterior , se tiene:
; multiplicando por 3; ; sumando 2 :

II) Línea Coseno (abcisa del extremo del arco)
Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de ordenadas.
* En el grafico, tenemos entonces que:

Variación Analítica

* Debe notarse además que la L.T. coseno puede ser trazada para cualquier arco “q”, verificándose:

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2 :
Represente la razón seno y coseno para

RESOLUCION:

OBSERVACIÓN:
Las coordenadas de “P” son (x0 ; y0 ),luego se tendrá:

Coordenadas del Extremo de Arco :

Coordenadas Opuestas:

Coordenadas Ortogonales:

VARIACIÓN ANALÍTICA
I) Variación Analítica del Seno :
Analizando la C.T. ; se observa

• Nota: * C : crece * D: disminuye

II) Variación Analítica del Coseno :
Analizando la C.T.; se observa:

En los siguientes gráficos se muestran los ángulos cuadrantales (en radianes) y las coordenadas de los extremos de estos arcos o ángulos .

Luego, identificamos los valores del seno o coseno de estos arcos, relacionando con las ordenadas o abscisas de los puntos A , B , A’ y B’.

cos( ~ + 2Kn) = O ) puesto que la abscisa del punto B es O y su ordenada es 1.
sen( ~+2Kn) = 1

Definición
La circunferencia trigonométrica es una circunferencia de radio unidad en la que se
inscriben los ángulos, con el vértice en su centro. También en su centro se ubica el
origen de un sistema de coordenadas ortogonales (x, y). En la circunferencia
trigonométrica se considera que los ángulos están orientados; se atribuye un signo al
sentido de giro: si los ángulos se miden desde el eje x, crecen positivamente en sentido
contrario al de las agujas del reloj. Por lo tanto, si se miden en sentido horario, los
ángulos serán negativos.

E) Sen6; sen4; sen
Determine el intervalo solución de “a”, si:

Calcular “a+b” si el intervalo solución de “k” es [a;b> en:

Determine el máximo valor de:

A)9 B)7 C)6 D)3 E)–1
Dada la expresión:

Determine el mínimo valor.
A) –9 B) –7 C) –5 D) –2 E)0

Indicar el símbolo correspondiente:

A)> B)< C)= D) E)
ndicar el signo correspondiente:

A)> B) < C)= D) E)
Indicar verdadero (V) ó falso (F), según corresponda:
I) Cos25° > Cos80°
II) Cos100° < Cos160°

A) VV B) VF C) FF D) FV E) N.A.
Indicar verdadero (V) falso (F) según corresponda:
I) S en10° > Cos10°
II) Sen200° < Cos160°

A) VV B) VF C) FF D) FV E) N.A.