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BINOMIO DE NEWTON EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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OBJETIVOS :
* Desarrollar potencias de binomios aplicando la fórmula del Binomio de Newton.
* Calcular un término cualquiera en el desarrollo de la suma de un binomio mediante el uso de la expresión del término general.
introducción :

El triángulo de Pascal, que lleva el nombre de quien fuera un precursor del cálculo de probabilidades, se originó en una discusión que su creador tuvo con Fermat sobre un juego de azar. Este triángulo tiene la propiedad de que la suma de los números de cualquier fila es igual al total de combinaciones posibles de tantos elementos como lo indica el segundo número de fila correspondiente, tomados de dos en dos. cada cifra de la fila indica, desde afuera hacia adentro, las probabilidades decrecientes, en relación al total de la fila, de que se den las distintas combinaciones.
DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON
* Desarrollando los binomios:

Nuestro objetivo es encontrar las potencias del binomio (a+b) cuando n 5.
Para ello vamos a estudiar métodos o formas de poder conocer el desarrollo de :
EL TRIÁNGULO DE PASCAL
Analicemos las pirmeras potencias de (a+b) y escribamos solamente sus coeficientes en el siguiente esquema triangular.


• Este acápite nos permitirá desarrollar la potencia de un binomio elevado a un exponente natural.
• El conocimiento de las múltiples propiedades de (a+b), nos permitirá construir y demostrar problemas del análisis combinatorio y de los tópicos de introducción al análisis.
• En matemáticas superiores, se tienen diversas aplicaciones; tales como:
– La desigualdad de Bernoulli:

útil en acotamientos lineales.
– La obtención del número de Neper:

Donde el número trascendente “e”, se obtiene a partir de la serie infinita:

– El cálculo de la suma finita, tal como:

Estas y otras contribuciones que se han obtenido gracias al conocimiento de las propiedades básicas de la potencia de (a+b)n.

BINOMIO DE NEWTON
SÍNTESIS TEÓRICA

TEOREMA DE NEWTON
El desarrollo polinomial de la potencia de (a+b)n, siendo n un número natural, viene dada por la fórmula:

Expansión de la potencia de (a+b)n

Demostración deductiva del Teorema
Se tiene la multiplicación indicada general:

Efectuemos aplicando la propiedad de Stevin:
P = an + S1an–1 + S2an–2 + S3an–3 + ….. + Sn … (a)

En el cual: S1 = b1 + b2 + b3 + ….. + bn
S2 = b1b2 + b1b3 + ….. + bn–1bn
S3 = b1b2b3 + b1b2b4 + ….. + bn–2bn–1bn

Sn = b1b2b3 ….. bn
Haciendo:
b1 = b2 = b3 = ….. = bn–2 = bn–1 = bn = b

Reemplazando en la multiplicación inicial:

resulta:

Análogamente, sustituyendo en el polinomio de Stevin, los coeficientes Sk (1 £ k £ n), los cuales los reducimos por separado del siguiente modo:

Reemplazando los equivalentes de los Sk en (a):

Ordenando, se tiene:

Igualando con (b), se concluye que:

con lo cual queda demostrado.
Ejemplos Diversos:
• Desarrollar la potencia (a+b)4.
Por el teorema:
Evaluando sucesivamente para k=0, 1, 2, 3 y 4:

Por lo tanto:
(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
• Expandir la potencia de (a – b)5.
Por Newton:

Del mismo modo, evaluando para
k=0, 1, 2, 3, 4 y 5:

Efectuando:
(a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5

• Muestre el desarrollo polinomial de (3×3 + 2y2)3
Por el teorema:

Evaluando la forma genérica para k=0, 1, 2 y 3

Efectuando operaciones elementales en el 2do. miembro:

finalmente se tiene:
(3×3 + 2y2)3 = 27×9 + 54x6y2 + 36x3y4 + 8y6

CARACTERÍSTICAS DEL DESARROLLO
DE (a+b)n
En la potencia del binomio de Newton:

Se observa las siguientes características:
1º El desarrollo de (a+b)n es un polinomio homogéneo de grado n y además es completo con respecto a las variables a y b.
2º El número de términos de la expansión de (a+b)n es igual a (n+1).
3º Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son números combinatorios COMPLEMENTARIOS. Por tal razón, tendrán el mismo valor. Algunos de estos son:

4º En la potencia de (a+b)n, los exponentes de a disminuyen de uno en uno (a partir de n), mientras los de b aumentan de uno en uno (hasta llegar a n).

TRIÁNGULO DE TARTAGLIA
Este arreglo de números distribuido triangularmente, fue diseñado por NICCOLO FONTANA (1500-1557), matemático italiano apodado TARTAGLIA. Dicho triángulo aritmético presenta la siguiente estructura:

Donde cada número colocado en los lados del triángulo son iguales a 1, y cada número ubicado anteriormente es la suma de los dos números ubicados sobre él, en la línea horizontal anterior, la ampliación de dicho triángulo aritmético puede continuarse a voluntad, es decir, según la necesidad del estudiante.

Si observamos en detalle los elementos del triángulo, podemos deducir que, cada uno de ellos se puede expresar como un número combinatorio. Tal como sigue:

Como la (n+1) fila nos representa, los coeficientes de (a+b)n, concluímos que los números combinatorios distribuídos horizontalmente en cada fila de dicho triángulo, nos expresa los coeficientes de la potencia de un cierto binomio.

Por Ejemplo:
Desarrollar (a+b)6
Se sabe que todos los términos son positivos. Luego, tomando los números combinatorios de la 7ma. fila:

Luego:

Otro Ejemplo:
Expandir (a – b)7
Considerando que los signos de los términos son alternadamente positivos y negativos, tomemos los números combinatorios de la 8octava fila:

Finalmente:

TERMINO GENERAL (Tk+1)
Cualquier término del desarrollo de (a+b)n, siendo n un exponente natural, viene dado por la fórmula de recurrencia.

Donde (k+1) nos indica la posición que ocupa el término de dicho desarrollo.

REGLA PARA DETERMINAR
EL SIGNO DE Tk+1
• Si b > 0, todos los términos de la potencia de (a+b)n serán POSITIVOS.
• Si b < 0, los signos de los términos dependerá de la posición que ocupan. Tal como sigue:
– Términos de lugar impar son POSITIVOS.
– Términos de lugar par son NEGATIVOS.

Ejemplos Explicativos :
1. Determinar el 4to. término del desarrollo de:
(x4 + 2y3)5
En la fórmula general:
n = 5 ; k+1 = 4 ® k = 3

Por lo tanto: T4 = 80x8y9

2. Señale el 3er. y 6to. término de la potencia de la expresión racional:

• Del mismo modo: n = 8
k + 1 = 3 ® k=2

Se comprueba que el 3er. término es positivo.
• Análogamente: n = 8
k + 1 = 6 ® k=5

El sexto término resultó negativo como se esperaba.

3. Indique el término de lugar 10, en la expansión de:

Aplicando directamente la fórmula general:

Finalmente : T10 = 220×6

4. Calcular el sétimo término de la potencia de:

Por la fórmula de recurrencia:

PROPIEDADES:
1º) La suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo de (a+b)n es igual a 2n.
• Por el Teorema de Newton:

Evaluando para a = 1 y b = 1, se tiene:

Ejemplos:


CONSECUENCIA IMPORTANTE

Analicemos el desarrollo de (1+x)n ;
Por el Teorema de Newton se tiene:

Expandiendo la sumatoria, resulta:

Mostrando explícitamente la propiedad:

Ejemplos:


ALGUNAS APLICACIONES
ELEMENTALES
1. Sumar la serie:

Luego: P = (1+4)m = 5m
2. Efectuar:

Acomodando los coeficientes y sumando y restando el número , así:

Es decir:
3. Que se obtiene al sumar:

Es evidente que la sumatoria obedece la forma general de la propiedad. Por lo tanto:

2º) La suma de los coeficientes de los términos de lugar impar es igual a la suma de los coeficientes de los términos de lugar par en la potencia de (a+b)n.
• Por el teorema de Newton:

Evaluando para a=1 y b=–1, resulta:

Asumiendo que:
Sp : Suma de coeficientes de términos de lugar par.
Si : Suma de coeficientes de términos de lugar impar.
St : Suma total de coeficientes.
De la 1ra. propiedad: St = Si + Sp = 2n … (a)
De la 2da. propiedad, se sabe que: Si = Sp … (b)
Sustituyendo (b) en (a):
Sp + Sp = 2n
2Sp = 2n ® Sp = 2n–1
Por lo tanto: Si = Sp = 2n–1
Es decir:

Para calcular los últimos términos de ambos miembros, debemos considerar dos casos:
1er. Caso: Si n es PAR.

Por ejemplo:

2do. Caso: Si n es IMPAR.
Por ejemplo:

3º) La suma de los grados absolutos de todos los términos del desarrollo de (axp + byq)n.

Ejemplo: Dado: (3×4 + 2y5)3
Desarrollando, se tiene:
= (3×4)3+3(3×4)2 (2y5)+3(3×4) (2y5)2+(2y5)3
= 27×12 + 54x8y5 + 36x4y10 + 8y15
Luego: S G.A. = 12 + 13 + 14 + 15 = 54

Por la fórmula:

4º) Cálculo de un término cualquiera contado a partir del extremo final en la potencia de (a+b)n

Ejemplo: Determine el 4to. término contado de derecha a izquierda, en la expansión de la expresión:

Por la fórmula:

Finalmente:

5º) Cálculo del término central en la potencia de (a+b)n
• Si n es un número PAR
El desarrollo de (a+b)n admite un sólo término central, cuya posición se calcula así:

• Si n es un número IMPAR
La expansión (a+b)n posee dos términos centrales, cuyas posiciones se calculan así:

Ejemplo (1)
Muestre el término central en el desarrollo de:
(x5 + y3)6
Por propiedad:
Luego:

Por lo tanto: Tc = 20x15y9

Ejemplo (2)
Señale la suma de los grados absolutos de los términos centrales de la potencia de (x3–y4)7.
Por propiedad:

Análogamente, los términos serán:

Nos piden:
S = GA (Tc1) + GA (Tc2)
S = (12+12) + (9+16) = 49
1. En el término 28 del desarrollo de (x + 3y)n el exponente de la variable x es 3, calcular el valor de n.
A) 30 B) 27 C) 35 D) 28 E) 20

2. Indicar el valor de p en (x5 + yp)30 si el término 16 contiene a x75y60.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 15

3. Hallar el término independiente del desarrollo de:
A) 1716 B) 1761 C) 1715
D) 1751 E) 1768

4. Determinar (a + b) en la expansión de:
de modo que admita un solo término central cuya parte literal sea x24 · y15.
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

5. Hallar el número de términos irracionales y racionales que tendrá el desarrollo de:
A) 35 B) 40 C) 45 D) 43 E) 8

6. ¿Cuántos términos fraccionarios tiene el desarrollo de ?
A) 24 B) 30 C) 28 D) 32 E) 42

7. El quinto término del desarrollo de: (x + 2)n es 240xa. Calcular el valor de a.
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

8. Hallar el término independiente de x e y en el desarrollo de: .
A) 495 B) 459 C) 496
D) 456 E) 458

9. Si en el desarrollo del binomio existe un término que contiene a x5y8, indicar el número de términos.
A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 15

10. En el desarrollo de determinar el lugar que ocupa el término independiente de x.
A) 11 B) 12 C) 15 D) 16 E) 21

11. Si en el desarrollo de (6×4 – 8)n la suma de los coeficientes es 1024, ¿cuál es el grado absoluto del término central?
A) 20 B) 30 C) 25 D) 35 E) 15

12. Calcular la suma de los exponentes de todos los términos del desarrollo de: .
A) 231 B) 213 C) 251
D) 215 E) 221

13. En el término que lleva x8y del desarrollo de:
, ¿qué exponente tiene z?
A) 3 B) 2 C) 7 D) 9 E) 5

14. Proporcionar el lugar del término racional entero del desarrollo de la potencia: .
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1

15. Teniendo en cuenta el desarrollo de la expresión ¿cuál de las proposiciones, al terminar su valor, es verdadera?
I. El número de términos irracionales es 40.
II. El número de términos fraccionarios es 4.
III. El término independiente de x ocupa el decimotercer lugar.
A) FVF B) VFV C) VVV
D) FFF E) FFV

16. En el desarrollo del Binomio de Newton:
hallar la suma de los factores primos del término independiente.
A) 6 B) 12 C) 3 D) 10 E) 18

17. Hallar la relación entre r y n para que los coeficientes de los términos de lugares (3r) y (r + 2) del binomio (1 + x)2n sean iguales.
A) n = 2r B) r = 2n
C) n = 3r D) n = r
E) n + r = 0

18. Si el único término central del desarrollo de:
es de sexto grado, entonces el coeficiente de dicho término central es:
A) 20 B) 70 C) 10 D) 6 E) 3
ISAAC NEWTON

Woolsthorpe 1642 – Kensington 1727.
Físico, astrónomo y matemático británico.
El joven Newton ingresó, como alumno, a los dieciocho años en el Trinity College de Cambridge donde se despertó su interés por el campo de la ciencia, aunque en ningún momento dejó entrever la deslumbrante carrera científica que le esperaba vivir.
En 1663 es alumno de Barrow y entra en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y Descartes, y en 1664 inicia sus trabajos con el teorema del binomio y el cálculo de fluxiones, teniendo que volver a la granja familiar durante los dos años siguientes debido a una epidemia de peste.
En estos dos años de estancia en la granja descubre la ley del inverso del cuadrado, la naturaleza de los colores y los principios del cálculo diferencial e integral; en dos años desarrolla cada uno de ellos.
Newton era una persona a la que no le gustaba editar sus trabajos; en una ocasión, al publicar un trabajo sobre la teoría de la luz, fue muy criticado por científicos contemporáneos, como R. Hooke y Huygens, por lo cual no volvió a publicar prácticamente nada hasta 1687, animado por su amigo Halley, con su Philosophiae naturalis principia mathematica, compuesto por tres libros que contienen los fundamentos de la física y la astronomía.
Los últimos años, su vida se vio ensombrecida por la controversia con Leibniz sobre el descubrimiento del cálculo diferencial e integral, controversia de gran envergadura internacional.
Cabe destacar la opinión que Newton tenía de él mismo al final de su vida.
“No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de verdad se exponía ante mí, completamente desconocido”.
Newton fundamentó su cálculo sobre bases geométricas en su De quadratura corvarum, escrita en 1676 y publicada en 1704. En esta publicación hace hincapié en la concepción cinemática de las curvas.