Archive for BINOMIO AL CUBO

PRODUCTOS NOTABLES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS





OBJETIVOS :
* Conocer aquellas multiplicaciones indicas muy conocidas y utilizadas en el desarrollo del curso de matemáticas.
* Utilizar los productos notables, en forma correcta y cuando sea necesario, para efectuar la multiplicación.

Productos Notables
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtienen en forma directa, sin tener que efectuar la multiplicación.

I) BINOMIO AL CUADRADO :
(Trinomio cuadrado perfecto): El cuadrado de la suma (diferencia) de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más (menos) el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Aportes sustaSíntesis Teórica
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación. Ello por lo forma característica que presentan.
PRINCIPALES EQUIVALENCIAS
ALGEBRAICAS
1. Cuadrado de un binomio
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Al desarrollo del cuadrado de un binomio se le denomina Trinomio Cuadrado Perfecto.
Identidad de Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Consecuencias importantes:
• (a + b)4 + (a – b)4 = 2[(a2 + b2)2] + (2ab)2]
• (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)
Teorema 4
Todo trinomio de la forma (ax2 + bc + c) es cuadrado perfecto, si y sólo si, su discriminante es igual a cero.
Es decir: D = b2 – 4ac = 0 «
2. Diferencia de cuadrados
(a + b) (a – b) = a2 – b2
3. Cubo de un binomio
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Identidad de Cauchy
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b)
Consecuencias importantes:
 (a + b)3 + (a – b)3 = 2a (a2 + 3b2)
 (a + b)3 – (a – b)3 = 2b (3a2 + b2)
4. Suma y diferencia de cubos
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
Formas particulares usuales:
(a + 1) (a2 – a + 1) = a3 + 1
(a – 1) (a2 + a + 1) = a3 – 1
5. Formas explícitas de an + bn
• a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
• a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b)
• a4 + b4 = (a + b)4 – 4ab (a + b)2 + 2(ab)2
• a5+b5 = (a+b)5 – 5ab (a+b)3 + 5(ab)2 (a+b)
6. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
(a+b+c)2 = a2+b2+c2 + 2ab+2bc+2ca
(ab+bc+ca)2 = (ab)2+(bc)2 + (ca)2+2abc (a+b +c)
7. Desarrollo de un trinomio al cubo
Forma expuesta por Cauchy:
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc
Otras formas usuales del desarrollo
• (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a+b) · (b+c) (c+a)
• (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b+c) · (ab+bc+ca) – 3abc
• (a+b+c)3=3(a+b+c)(a2+b2+c2)–2(a3+b3+c3)+6abc
8. Identidades de Stevin
(x+a) (x+b) = x2 +(a+b)x +ab (x+a) (x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca) · x +abc
9. Identidad trinómica de Argand
(a2n+anbn+b2n)(a2n–anbn+b2n)=a4n+a2nb2n+b4n
Forma general de mayor utilidad: (a2n +an+1) (a2n–a+1)=a4n+a2n+1
10. Identidades de Lagrange
 (a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2 + (ay–bx)2
 (a2+b2+c2) (x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2 + (ay–bx)2 + (bz – cy)2 + (az – cx)2
11. Identidad de Gauss
a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2– ab–bc–ca)
Para lo cual debemos tener en cuenta que:
a2+b2+c2–ab–bc–ca=[(a–b)2+(b–c)2+(c–a)2]
12. Equivalencias adicionales
(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b) (b+c)(c+a) +abc
(a+b) (b+c) (c+a)=ab (a+b) +bc (b+c) +ca (c+a) +2abc
(a–b)(b+c)(c–a)=ab(b–a)+bc(c-b)+ca (a–c)

IGUALDADES CONDICIONADAS
Si a+ b+c = 0;
se cumplen las siguientes relaciones:
 a2 + b2 + c2 = –2(ab+bc+ca)
 a3 + b3 + c3 = 3abc
 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 =(a2+b2+c2 )2
 a5 + b5 + c5 = –5abc (ab+bc+ca)
 a6 + b6 + c6 = 3(abc)2 – 2(ab+bc+ca)3
 a7 + b7 + c7 = 7abc(ab+bc+ca)2
 3(a2+b2+c2) (a5+b5+c5) = 5(a3+b3+c3) (a4+b4+c4)




PROPIEDADES VÁLIDAS PARA NÚMEROS REALES

1° Si: A2n + B2n + C2n = 0 ; ” n Î Z+
Se cumple que: A = B = C = 0

2° Si:
Se cumple que: A = B = C = 0

3° Si:
Siendo m y n números pares. Se verifican las relaciones numéricas simultáneas;
A = B = C = 0 Ù D = E = F = 0

EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Sabiendo que: a+b = 5 y ab = 3, calcular el valor de: a2 + b2.
Resolución:
Teniendo en cuenta el binomio al cuadrado:
(a+b)2 = a2 + 2(a)(b) + b2
Reemplazamos los datos:
(5)2 = a2 + 2(3) + b2
25 = a2 + 6 + b2
\ a2 + b2 = 19

2. Calcular:

Resolución:
Teniendo en cuenta que:
24 = 25 – 1 = 52 – 1
la expresión queda así:

Aplicando la diferencia de cuadros tenemos:

\

3. Examen Admisión 2005 – II
Si:

hallar:

Resolución:

Observación:

Recordando la identidad Legendre de la resta:
* (a+b)2 – (a–b)2 = 4ab
* (a–b)2 – (a+b)2 = –4ab
Usando la segunda observación:

1. Demostrar que:
(a + b)5 – a5 – b5 = 5ab (a + b) (a2 + ab + b2)
Resolución:
Sea: E = (a + b)5 – a5 – b5
• Como E es una función de a que se anula para a = 0 Þ por el Teorema del Factor: a es un factor de E.
análogamente b es un factor de E.
• Como E también se anula para a = –b Þ por el Teorema del Factor: a + b es un factor de E.
• En consecuencia E contiene a ab (a + b) como factor. El factor restante debe ser simétrico respecto a a y b y de segundo grado y de la forma: Aa2 + Bab + Ab2

Si: (a+b)(c+b)(a+c)=60
ab + bc + ac = 11
abc = 6
Entonces, el valor de:
es:

Resolución:
Recuerda la identidad:
(a+b+c)(ab+bc+ac)–abc(a+b)(b+c)(a+c)

Reemplazando: (a+b+c)(11) – 6 = 60
a+b+c = 6
También, recuerda la identidad:
(a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(a+c)

Reemplazando: (6)3=a3+b3+c3+3(60)
a3+b3+c3=36
Por otro lado:
(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 2(ab+bc+ac)
62=a2+b2+c2+2(11) a2+b2+c2=14
Luego:
(ab+bc+ac)2a2b2+b2c2+a2c2+2abc(a+b+c)
(11)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2(6)(6)
a2b2+b2c2+a2c2 = 49
También:
(a2+b2+c2)a4 + b4 + c4+2(a2b2+b2c2+a2c2)
(14)2 = a4+b4+c4 + 2(49)
a4+b4+c4 = 98
inciales del Álgebra Geométrica

Sabemos que la parte teórica de la matemática tiene su origen en las escuelas científicas y filosóficas de la Grecia antigua. Una vez descubiertos los números irracionales, en la aún fortalecida matemática griega, hubo la necesidad de crear para la investigación científica una teoría matemática general adecuada, tanto para los números racionales como para los irracionales.
En cuanto se descubrieron los números irracionales resultó que la colección de magnitudes geométricas por ejemplo, los segmentos era más completa que el conjunto de los números racionales, entonces resultó oportuno construir un cálculo más general en forma geométrica. Este cálculo fue creado y recibió el nombre de Álgebra Geométrica pues desde este momento los productos notables -conocidos en la actualidad- tienen su interpretación geométrica.
Algunos de estos ejemplos se muestran a continuación:

1. Trinomio cuadrado perfecto
JOSEPH LOUIS LAGRANGE
Turín (Italia) 1736 – París 1813

Geómetra y astrónomo francés
Hijo de una ilustre familia parisina, pasó sus primeros años en Turín, su madurez en Berlín y sus últimos años en París donde logró su mayor fama.
A los diecinueve años fue nombrado profesor de matemáticas en la escuela Real de artillería de Turín. A los veinticinco obtuvo fama resolviendo el problema isoperimétrico. Inventó un nuevo cálculo de variaciones, que será el tema central de su vida.
Después de varios años de esfuerzo (de vez en cuando se enfermaba debido al exceso de trabajo) sucedió a Euler en Berlín.
Fue llamado por Federico II a formar parte de la Academia de Berlín en 1788, y allí, trabajó con gran esfuerzo y éxito en temas relativos al análisis, la mecánica y la astronomía.
Residió en Prusia durante veinte años produciendo obras que culminaron en su Mecánica Analítica publicada en Francia. A la muerte de Federico regresó a su país natal donde se dedicó a la metafísica, la historia, la religión, la filología, la medicina, la botánica y la química.
En 1786, Luis XIV de Francia le invitó a trasladarse a París, donde hizo gran amistad con el químico Lavoisier, y en parte agotado por los esfuerzos realizados en Berlín, sufrió fuertes depresiones y desganas para trabajar en matemáticas.
Se dice que cuando en 1788 salió publicada su obra maestra, la Mecánica Analítica, ni siquiera quiso abrir su ejemplar. La época del Terror (1793 – 1794) le trajo más sufrimientos, entre otros, el del guillotinamiento de su amigo Lavoisier.
Se le perdonó por ser extranjero e incluso, poco después, los organismo de la Revolución requirieron su ayuda menos, su esfuerzo estimuló a Cauchy, que siguió un curso más acertado.
Cuando Lagrange murió rodeado de honores, Laplace dijo en su elogio fúnebre, que él, al igual que Newton, “había poseído, en máximo grado, aquel supremo arte que consiste en descubrir los principios generales que constituye la propia esencia de la ciencia”.
Lagrange tuvo, efectivamente, la virtud de saber detectar y traducir en fórmulas matemáticas principios básicos, por ejemplo de la Mecánica, de los que se derivan los resultados más insospechados con ayuda del cálculo y que, luego, la experimentación pone de manifiesto.
Murió convertido por Napoleón en conde y senador.