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AREAS DE REGIONES CIRCULARES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Al finalizar la unidad el alumno será capaz de :
* Definir el círculo y calcular su área.
* Establecer teoremas que permiten calcular el área de las partes notables del círculo.
* Utilizar correctamente dichos teoremas en la resolución de los problemas.
* Relacionar con la realidad el concepto de perímetro.
* Desarrollar la capacidad de abstracción, utilizando el concepto de área y perímetro de regiones planas.
Introducción :
Antiguamente se planteó la teoría geocentrica de Claudio Ptolomeo (griego que nació 85 a.c y murió 16 d.C.) que con el transcurrir del tiempo se demostró que era falso.
Esta teoría manifestaba que la tierra era el centro del universo, y que todos 105 planetas giran alrededor de la tierra describiendo orbitás circulares, se entiende que en esa época se tenía limitaciones no se puede comparar con nuestra actualidad, en dicha teoría de Ptolomeo se puede ver el uso del concepto de círculo, aunque él lo entendió como circunferencia.
Nosotros sabemos que en la actualidad el círculo no es lo mismo que circunferencia por lo cual vamos aclarando definirlo de tal manera que no tengamos inconveniente en formular, resolver, formular y resolver un problema que involucra al círculo y a una circunferencia.
Además vamos a estudiar. analizar y abstraer problemas que esten relacionados con el término perímetro y que también vamos a delucidar.


• Conocer las diferentes áreas de las regiones ubicadas en el círculo.
• Aplicar las propiedades principales de las regiones triangulares y cuadrangulares en el cálculo de las regiones circulares.
INTRODUCCIÓN
Algunas figuras geométricas sirven para ilustrar de un modo sencillo relaciones aritméticas muy complejas que exigen ser demostradas por el método de inducción. A continuación te presentaremos dos de estos ejemplos; haz jugar la vista contando cuadrados como convenga a cada expresión algebraica y justifica que son ciertas para cualquier valor de n.

UN PROBLEMA CLÁSICO:
EL ÁREA DEL CÍRCULO
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemática en el periodo helénico: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
– El problema de la duplicación del cubo o problema de Delos, de origen griego, consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado.
– El problema de la trisección del ángulo, es decir, dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales, llamó seguramente la atención por la gran discrepancia entre la sencillez de sus términos y la imposibilidad de resolverlo con los medios elementales de la geometría, regla y compás, imposibilidad tanto más llamativa cuanto que con esos medios podía dividirse un ángulo cualquiera en 2, 4, 8, … partes iguales, y también podían trisecarse algunos ángulos muy particulares como el recto, el llano. etc
– En cuanto al problema de la cuadratura del círculo, nacido seguramente de la necesidad práctica de calcular el área de un círculo, consiste geométricamente determinar con regla y compás el lado de un cuadrado equivalente a un círculo de radio dado.

Una primera característica común de estos tres problemas es que no encajaban dentro de la geometría de polígonos y poliedros, de segmentos, círculos y cuerpos redondos, y que su solución sólo podía obtenerse utilizando otras figuras o medios que iban más allá de las construcciones fundadas en las intersecciones de rectas y circunferencias, o como posteriormente se denominaron, construcciones exclusivamente con regla y compás. En segundo lugar, y esto ha de haber llamado la atención a los geómetras griegos, algunos de los métodos que resolvían uno de esos problemas a veces resolvían también otro de ellos, hecho que revelaba alguna relación entre dichos problemas, relación que, sin embargo, permaneció siempre oculta para ellos.
De la investigación de estos problemas se ocuparon numerosos pensadores griegos del periodo helénico, el más antiguo de los cuales es el filósofo Anaxágoras (499-428 a.J.C), quien, según Plutarco, se habría ocupado de la cuadratura del círculo mientras estaba en Atenas encarcelado bajo la acusación de impiedad.
Datos más concretos se tienen de Hipócrates de Quíos, también del siglo V a.J.C., a quien se puede considerar como el primer matemático “profesional”: Se cuenta que era un comerciante que, asaltado y saqueado por piratas, vino a pedir justicia a Atenas, donde frecuentó a los filósofos y se convirtió en hábil geómetra. Y en efecto, las contribuciones geométricas que se le atribuyen son importantes, destacándose entre ellas las investigaciones relacionadas con el problema de la duplicación del cubo, que él convierte en un problema de geometría plana, y con el problema de la cuadratura del círculo, con el cual están vinculadas sus célebres “lúnulas” cuadrables.
El problema de la cuadratura del círculo, encarado por Hipócrates de Quíos a través de la búsqueda de figuras circulares cuadrables fue, enfocado por algunos sofistas contemporáneos desde otro punto de vista, que infructuoso entonces, resultó fértil más adelante. Así se atribuye al sofista Antifón el raciocinio siguiente: si se inscribe en un círculo un cuadrado y después, bisecando los arcos respectivos, se inscribe un octógono y así sucesivamente, se llegará a un polígono cuyos lados serán tan pequeños que el polígono podrá confundirse con el círculo. Este raciocinio tiene el mérito de haber introducido en la consideración del problema polígonos inscritos que más tarde, en manos de Arquímedes, proporcionó uno de los primeros resultados positivos.

Otro sofista, Brisón, compañero del anterior, agregó la consideración de los polígonos circunscritos afirmando, con razón, que el área del círculo está comprendida entre los polígonos inscritos y circunscritos.

Al margen de las construcciones con regla y compás, la invención de curvas especiales para resolver los tres problemas clásicos, señalan un proceso importante en la evolución del pensamiento griego. Abandonando la norma platónica, que sólo consideraba perfectas la circunferencia y la esfera, figuras con las que pretendía explicar el universo, pretensión que perduró veinte siglos aún a través de Copérnico hasta la innovación kepleriana, los nuevos geómetras griegos engendran curvas con definiciones convencionales, y hasta utilizan movimientos, dando ingerencia a la cinemática; doble imperfección de la geometría que habría horrorizado a Platón.

Uno de los primeros innovadores fue el sofista Hipias de Elis, de finales del siglo V a.J.C., a quien se debe una curva que le permitió resolver el problema de la trisección del ángulo y que más tarde se denominó cuadratriz, pues por obra de un matemático del siglo siguiente, Dinostrato, se demostró que con esa curva podía rectificarse la circunferencia o, lo que es lo mismo, resolver el problema equivalente de la cuadratura del círculo. (J. BABINI. J. REY PASTOR. Historia da la Matemática / Ed. Gedisa).

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
ÁREA DE UN CÍRCULO
El área de un círculo es igual a multiplicado por el cuadrado del radio.

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
Es aquella porción de círculo limitados por un ángulo central y su arco correspondiente.

ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR

T: Punto de tangencia.

ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR.

ÁREA DE UN SEGMENTO CIRCULAR.

PROPIEDADES.
1. En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos es igual al área de la figura semejante construida sobre la hipotenusa.

2. Lúnulas de Hipócrates.
Si en un triángulo rectángulo sobre sus lados se construyen exteriormente semicircunferencias, se cumple que la suma de las áreas de las lúnulas formadas es igual al área del triángulo rectángulo.

3. Si en un triángulo rectángulo tomando como diámetro sus lados se construyen círculos, se cumple:

4. Si en un triángulo rectángulo se construyen semicirculos sobre sus lados, se cumple:

1. En la figura: OP = AQ y OB = 6u. Calcular el área de la región circular.(A y B son puntos de tangencia).

Rpta.:

Rpta.:

3. En la figura mostrada calcular el área del semicírculo si: y EM = MF = 1. (A y O son centros).

Rpta.:

4. Se tiene un cuadrado ABCD, en se ubica el punto O, con centro en O y radio se trazan circunferencias donde OE = AB, el área del círculo OD es 40m2. Calcular el área de la corona circular cuyos radios son OC y OE.

Rpta.:

5. De la figura mostrada:
OM = O1M y (MH) (ML) = 4 cm2. Calcular el área de la corona circular. (O y O1 son centros).

Rpta.:

6. Calcular del gráfico el área de la región sombreada donde O es centro, OA = 10 y

Rpta.:

7. En un cuadrado se inscribe una circunferencia tangente a en P y Q; intersecan a la circunferencia en L y S respectivamente. Calcule la razón de área del segmento circular LS y la región limitada por el cuadrado.

Rpta.:

8. En el gráfico mostrado se tienen cuatro semicírculos y una circunferencia inscrita en el triángulo ABC. Calcular Sx en función de S1, S2 y S3.
(S1, S2, S3 y Sx son las áreas de las regiones sombreadas).

Rpta.:

9. En la figura mostrada se tienen nueve semicircunferencias y una circunferencia inscrita en el triángulo ABC. Si: , entonces, calcular S en función de S1, S2 y S3.

Rpta.:

Rpta.:

1. En la figura: es diámetro y O es centro. Calcular el área del círculo sombreado si:
AB = 10, (AL) (LP) = 9 cm2.

2. En la figura que se muestra calcular el área sombreada si: , H es punto de tangencia, AH = 2 cm y HC = 8 cm.

3. En el gráfico: I es incentro del triángulo OPA. Si , calcule el área de la región sombreada. ( es diámetro de la semicircunferencia).

4. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un pentágono regular cuyo perímetro es 20u.
A) 2 pu2 B) 3 pu2 C) 4 pu2
D) 5 pu2 E) 6 pu2

5. En el gráfico: y . Calcule el área de la región sombreada.

6. Del gráfico: A y C son centros. Calcular Sx.
(Sx: área de la región sombreada)

A)
B)
C)
D)
E)

A) p – 1 B) 2(p – 2) C) p – 2
D) 3p – 2 E) 2p

8. En la figura mostrada el radio de la circunferencia inscrita en el DABC es 4u. Calcular el área de la región sombreada.

A) (3p + 4)u2 B) 2(p – 2)u2
C) 4(p – 2)u2 D) 3(p –2)u2
E) 5(p – 2)u2

9. En el gráfico se muestran 3 semicircunferencias con diámetros AB, BC y AC. Siendo , calcular la suma de las áreas de las regiones sombreadas. (P y Q son puntos de tangencia).

A) B) 4u2 C) 8u2
D) E) 16u2

A) B) 4u2 C) 8u2
D) E) 16u2