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APLICACIONES DE LA DERIVADA EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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Funciones Monótonas
, Problemas de Aplicación de Máximos y Mínimos
, Concavidad y Puntos de Inflexión
, Condiciones Suficientes para la Concavidad. Puntos de Inflexión y Valores Extremos con la derivada n-ésima
, Trazado de la Gráfica de una Función
, Interpretación Cinemática de la Derivada
, Razón de Cambio
, Aplicaciones de las derivadas a la Economía
, Método de Newton para determinar las Raíces Reales de f(x)=0 ,
En este capítulo, veremos las aplicaciones de ios teoremas del capítulo y
estudiaremos nuevos teoremas que nos permitirán analizar la variación de una
función, determinando los intervalos de crecimiento, los valores extremos
relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. Con esta
información y con la ayuda de las asíntotas, estaremos en condiciones de construir
la gráfica de una función.
7.2 FU N CIO N ES M O N Ó TO N A S
Definición 1. S e a /: M -* R una función e / c Df .
a) Se dice que / es no decreciente en / cuando V x 1(x 2 e / con x x < x 2, se
cumple que f ( x x) < / ( x 2) (Fig. 7.1).
b) Se dice que / es no creciente en / cuando V x 1(x 2 6 / con x x < x 2, se cumple
que /( X j) > / ( x 2) (Fig. 7.2).
c) Se dice que / es creciente en / cuando V x x,x 2 £ I con x x < x 2, se cumple
que /(X j) < / ( x 2) (Fig. 7.3).
d) Se dice que / es decreciente en / cuando V x „ x , 6 / con Xt < x 7, se cumple
que / ( x 2) < / ( x j (Fig. 7.4).
En cualquiera de los cuatro casos, se dice que / es monótona en /.
T< >!’ !(‘< >S n r I ‘ M < 1 '! O V( )| i
f '9 7.3 Fig. 7.4
Proposición 1
Sea / : E -> E continua en [a; fe] y derivable.en (a; b).
I) Si f ‘ ( x ) > 0 , V x G (a; b ) , entonces / es creciente en [a; b\ .
II) Si f ' ( x ) < 0, V x G (a; b ) , entonces / es decreciente en [a; b].
D em ostración
I) Sean x x, x 2 G [a,¿>] con x x < x 2. Las condiciones a) y b) del T.V.M. se
verifican en el intervalo [xl . x 2] c [a,b]. Luego, por el T.V.M., existe
c G (xx, x 2) tal que f { x 2) — f ( x x) = ( x 2 - x x) f ' ( c ) .
Como f ' { c ) > 0 y x 2 – x, > 0, entonces f ( x 2) – f { x x) > 0, de donde
f ( x x) < f (x 2). Por tanto, / es creciente en [a; b],
II) Ejercicio para el lector.
Proposición 2 (Condición suficiente de extremo de una función con la
primera derivada)
Sea / una función que está definida en una vecindad fí(c; 8) del punto c y es:
I
a) Continua en B(c-, 8 ) = (c — S ; c -r 8). \
b) Derivable en B(c\ 5), excepto tal vez en c.
Luego, j
I) Si f ' ( x ) > 0, V x G { c – 6 – , c ) y f ‘ { x ) < 0 , V x G {c;c + S), entonces j
/ ( c ) es un valor máximo local de / . ]
II) Si f ( x ) < 0 , V x G (c — 5; c) y f ' ( x ) > 0 , V x G (c; c 4- S), entonces j
/ ( c ) es un valor mínimo local de f .
Demostración
I) De las hipótesis y por la proposición 1, / es creciente en (c — 8;c) y es
decreciente en (c; c + S). Luego, / ( x ) < / ( c ) , V x G B (c ;5 ), de donde se
deduce que f ( c ) es un valor máximo local de / .
II) Ejercicio para el lector.
2 6 2
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Proposición 3 (Condición suficiente de extremo de una función con la
segunda derivada)
Sea f una función tal que
a) Tiene derivadas hasta el segundo orden continuas en una vecindad B(c; 8) del
punto c.
b) / '( c ) = 0
c) f ' \ c ) * 0
Luego,
I) Si f " (c) < 0, entonces / ( c ) es un valor máximo local de / .
II) Si / " ( c ) > 0, entonces / ( c ) es un valor mínimo local de / .
Demostración
/ ‘( c + K)
I) C o m o /’(c ) = 0, por definición, / ” ( c ) = lim —– —— .
Considerando la continuidad de f ” en c y el hecho de que / ” ( c ) < 0, se tiene:
Para h < 0 (suficientemente pequeño), f \ c + K) > 0, es decir,
/ ‘( * ) > 0, V x G Í c – S ^ c ) (1)
Para h > 0 (suficientemente pequeño), f ’(c + h.) < 0, es decir,
/ ' ( * ) < 0, V x G ( c ; c + <51) (2)
De (1), (2) y la proposición 2 se concluye que / ( c ) es un valor máximo local
de f .
II) Ejercicio para el lector.
Observación 1 (Criterio de la prim era derivada para extremos)
La proposición 2 nos perm ite establecer el siguiente criterio para determinar los
valores máximos o mínimos relativos de una función continua.
1) Determinar los puntos críticos de la función f .
2) Si c es un punto crítico, se debe determinar el signo de f ' ( x ) , prim ero para
valores que están antes de c (lo suficientemente próximo,) y luego para
valores que están después de c (lo suficientemente próximo).
a) Si el signo cambia de " — “ a " + ", / ( c ) es un valor m inino relativo.
b) Si el signo cambia de " + " a " — ", f ( c ) es un valor máximo relativo.
c) Si no existe cambio de signo, no existe ni máximo ni mínimo relativo en c.
26 3
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
Observación 2 (Criterio de la segunda derivada para extremos)
En virtud de la proposición 3, podemos establecer el siguiente criterio:
1) Determinar los puntos críticos de la función / .
2) Si c es un punto crítico, hallar f " ( c )
a) Si f " ( c ) > 0, entonces f (c) es un valor mínimo relativo.
b) Si / ” ( c ) < 0, entonces / ( c ) es un valor máximo relativo.
c) Si f " (c) = 0 ó f " ( c ) no existe, el criterio es inconsistente.
Ejem plo 1. Determine los intervalos de crecimiento y los valores extremos
relativos de la función f ( x ) — x 3 — 3 x 2 — 9x + 2.
Solución
a) D¡ = IR.
b) Para determinar los intervalos de crecimiento, por la proposición 1, es
suficiente hallar los intervalos donde / ' es positiva o negativa.
c) / '( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9 = 3(x + 1 ) 0 - 3)
Puntos críticos: x = — 1 y x = 3.
El análisis de los signos de la derivada se muestra en la siguiente tabla.
Intervalos Signo de f ' ( x ) Crecimiento Valores Extremos
( - 00; - 1) + creciente : > ‘/ ( —1) = 7 máx. relativo
<—l; 3> – decreciente
(3; + 00) + c re c ie n te —— / ( 3 ) — —25 min. relativo
La gráfica de la función se muestra en la fig. 7.5.
Ejem plo 2. Dada la función f ( x ) = ~ + ^ ‘ halle los intervalos de;crecimiento
y sus extremos locales.
Solución
a) Dr = IR – {0}
(x – 5)(x + 5)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
5 X
b) f (x) =
5×2
c) Puntos críticos: x = y S y x = 5 (x = 0 no es punto critico, pues 0 g Df ).
En la siguiente tabla, se muestra el análisis de los signos de la derivada.
Intervalo Signo de f ( x ) Crecimiento Extremos
( – 00; – 5 ) + creciente
( – 5 : 0 ) — decreciente — v ■ / ( —5) = —2 máx. reí.
(0; 5) – decreciente — ‘ / ( 0) = 12 mín. reí.
( 5 ; + 00) + creciente
La gráfica de la función se muestra en la Fig. 7.6.
Ejemplo 3 Si / ( x ) = x 2/,3(x + 3 )1/3, halle sus valores extremos locales.
Solución
a) Df = IR b) / (x) — ^ 173^ ^ 73)273
c) Puntos críticos: x = —3, x = —2 y x = 0.
+ + +
Signo de / ‘( x ) : -> Df =
- 2 0
Observamos que en x = — 3 y x = 0 no existe la derivada (la derivada se hace
infinita). Geométricamente, significa que la gráfica presenta una tangente-;vertical
en estos puntos. La gráfica de la función se muestra en la Fig. 7.7.
2 6 5
TOPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
Ejem plo 4. Si f ( x )
(x – 2)2 , halle los valores extremos relativos de / .
- 4 x
Solución
a) Df = R – {2} b) f ‘ í x ) = – _
X Z )
c) Punto crítico: x = 0
El análisis de los signos de la derivada se muestra en la siguiente tabla.
Intervalo | Signo de f ‘ í x ) Crecimiento Extremos í
( – « 3; 0) 1 decreciente ,1
(0: 2) 1 + creciente mín. / ( 0 ) = 0 |
(2; + 00) – decreciente ii
En la función, se observa que x = 2 es asíntota vertical e y =1 es asíntota
horizontal (a la derecha y a la izquierda). Su gráfica se muestra en la Fig. 7.8.
Ejemplo 5 Sea a > 0. Demuestre que el valor máximo absoluto de
/ O ) =
1
l + |x | 1 + \x – a¡
es
Solución
/ ( * ) =
1 — x 1 + a – x
1 1
2 -f a
1 + a’
, x < 0
1 + x a — x
, 0 < x < a
V1 + x 1 + * — a
x > a
x < 0
(1 - x ) 2 (1 + a - x ) 2
1 1
f ' í x ) = ( - - - + 77 ■, -— , 0 < x < a
(1 + x ) 2 (1 + a - x ) 2
1 1
(1 + x ) 2 (1 + x - a ) 2
f no es derivable en x = 0 y en x = a, pues
/ ' ( o - ) = i + ^ y / ' ( o +) = - i +
x > a
(A)
(B)
(C)
1
(1 -r a ) 2
1
1 + a ) 2
De (A) y (C) se sigue que f ‘ í x ) > 0, V x < 0. y f ' í x ) < 0 , V x > a.
respectivamente.
2 6 6
APLICACIONES DE LA DERIVADA
La única posibilidad para que f ‘ í x ) = 0 está en (B ). De esta parte se obtiene que
f ‘ í x ) = 0 si x – a/ 2.
En resumen, los puntos críticos son x = 0, * = a / 2 y x = a.
En la siguiente tabla, se muestra el análisis de los signos de la derivada.
Intervalos | Signo d e / ‘( x ) Crecimiento Extremos
( – 00; 0> j +
(0; a/2> ¡
(a /2 ; a) | +
(a; + 00) I —
creciente
decreciente
creciente
decreciente
máx. local / ( 0 )
mín. local / ( a / 2 )
máx. local / ( a )
a + 2
Valor máximo local de / es / ( 0 ) = —— = f í a ) .
Valor mínimo local de / es f faJ\ = —4”—
Considerando la continuidad de / y el hecho de que / ( a / 2 ) < f í a ) , se concluye
a + 2
que el valor máximo absoluto de / es f í a ) = — — .
Ejemplo 6 Halle los valores extremos de f í x ) = + 7 ) . si x < 3
(.12 — x 2 , si x > – 3
Solución
a) Df = [ - 1 2 ; + 00)
( x + 7
,, , — --------------- --- _ x < _ 3
0 )- f ( x ) = j v'2 5 - ( x + 7 )2
l - 2 x , x > - 3
c) Puntos críticos: x - —7, x = — 3 y x = 0.
En la siguiente tabla, se muestra la información sobre ios valores extremos de ía
función.
¡ Intervalos Signo de f ' í x ) Crecimiento Extremos
( - 1 2 ; - 7 ) + creciente máx. / ( —7) = 5
| ( - 7 ; - 3 ) — decreciente mín. / ( —3) = 3
i ( - 3 : 0 ) + creciente máx. / ( 0 ) = 12
¡ (0;+oo) — decreciente
La g r á fic a d e / se m u e s tra e n la fig u ra 7 .9 .
2 6 7
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
Ejemplo 7. Si f { x ) = a x 3 + b x 2 + ex + d, halle los valores de a , b , c y d de
manera que la función presente extremos relativos en (1; 2) y (2; 3).
Solución
f ' ( x ) = 3 a x 2 + 2 bx + c
Como x = 1 y x = 2 son puntos críticos de / , entonces
/ ' ( l ) = 3 a + 2b + c = 0 (1)
/ '( 2 ) = 12 a + 4b + c = 0 (2)
También se tiene:
/ ( 1 ) = a + b + c + d = 2 (3)
/ ( 2 ) = 8 a + 4b + 2c + d = 3 (4)
Resolviendo las cuatro ecuaciones, resulta a — —2, b = 9, c — —12 y d — 7.
Ejemplo 8. Si f { x ) = a x 4 + ¿ x 2 + c. determine los valores de a, 6 y c de
modo que la función tenga un valor extremo relativo en x = 1 /2 y que la
ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = — 1 sea 2x — y + 4 = 0.
Solución
Teniendo en cuenta las condiciones del problema, se tiene
/ ' O ) = 4 a x 3 + 2 bx
f ( - j = — + b = 0 (x = 1 /2 es punto crítico)
/ ' ( - 1 ) = - 4 a - 2b - 2 ( m = 2 es la pendiente de la recta tangente)
/ ( —1) = a + b + c = 2 (en la recta tangente para x = — 1 , y = 2)
Resolviendo las tres últimas ecuaciones, se obtiene
268
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Observación 3 (Criterio para los valores extremos absolutos (le una fu n c ió n
continua en un intervalo cerrado)
Si f es una función continua en [a; b], por el Teorema de Weierstrass (Teorema
6 Cap. 4), f presenta valores extremos absolutos.
Para hallar sus valores extremos absolutos, considerando que estos pueden estar
en los extremos del intervalo, es suficiente agregar a los puntos críticos los
pum os a y b. Luego, se debe comparar los valores que toma f en cada uno de
estos puntos; el mayor es el valor máximo absoluto y eí menor, el valor mínimo
absoluto.
Ejem plo 9. Halle los valores extremos absolutos de f ( x ) = x 3 + 3 x 2 — 24x — 10
en el intervalo [0; 4j.
Solución
a) / es continua en el intervalo [0; 4], Su gráfica se muestra en la figura 7.10.
b) f ‘ ( x ) = 3(x – 2 )(x + 4)
c) Puntos de análisis: x – 0, x = 2 y x – 4 (0 y 4 son los extremos del
intervalo y – 4 S [0; 4]).
d) Como / ( 0 ) = —10, / ( 2 ) = —32 , f ( 4 ) — 6, entonces
Valor máximo absoluto: / ( 4 ) = 6
Valor mínimo absoluto: f ( 2 ) = —32
Ejemplo 10 Calcule los valores máximo y mínimo absolutos de
4 |x |
/ W = “ r ü – * 6 h4:2]
Solución
a) / es continua en [ - 4 ; 2], Su gráfica se muestra en la Fig. 7.11.
269
u, , 4X(X2 – 1)
b) / 0 0 = T|xi|n( l +■— x 2Y
c) Puntos de análisis en [ - 4 ; 2]: x = – 4 , x = 2 , x = 0 , x = 1 y x = – 1 .
/ ( —4) = – 1 6 /1 7 , / ( – l ) – - 2 , /(O ) = 0 , / ( 1 ) – - 2 , / ( 2 ) = – 8 / 5
Valor máximo absoluto: /(O ) = 0
Valor mínimo absoluto: f ( l ) = / ( – l ) = – 2
TÓPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
Ejem plo 11. Determine ios valores extremos absolutos de
f \x + 4 |3
— 6 < x < — 3
v 2 x 2 + |x /3 l
3 13
- ) —7 - ^ - S g n ( x 4 - 256)
X oo
95
x 3' 5(4x - 28)1/5
Solución
a) / es continua en [ - 6 ; 6].
í ( x + 4 )5(4x2 - 8x - 6)
- 3 < x < —1
— 1 < x < 6
b) f \ x ) = { - -
X4
95
l ~ 7 2
¡x + 4 |3(2x2
9
2 ) 3 /2
16x - 84
- 6 < x < - 3
- 3 < x < - 1
,5x2/5(4x - 28)4/sJ ' - 1 < x < 6
c) Puntos críticos: x = - 6 , x = - 4 , x = - 3 , x = - 1 , x = 0, x = -21/4 y x = 6
d) Evaluando / en cada uno de estos puntos, se obtiene que el valor máximo
absoluto es / ( 2 1 /4 ) = 5,27 y el valor mínimo absoluto es / ( —l ) = —2,64.
2 7 0
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Para trazar la gráfica de esta función (Fig. 7.12), construimos la siguiente tabla:
Intervalos Signo de f ' ( x ) Crecimiento Extremos
( - 6 ; —4) — decreciente
¡ ( - 4 ; - 3 ) + creciente - i ; - - '• / ( —4) es mín. relat.
i <—3: —1> — decreciente – : – - – ‘ / ( —3) es máx. relat.
<—1; 0) + creciente------- '- / ( —1) es mín. relat.
(0 ;2 1 /4 ) + creciente--------- ; '/ ( 2 1 / 4 ) es máx. relat.
1 (2 1 /4 :6 ) - decreciente
Ejem plo 12. Sea / ( x ) = ------ — . Halle sus valores máximo y mínimo absolutos
en [—1; 4j, si existen.
Solución
/ no es continua en [—1; 4], pues no es continua en x = 2. Como lim f ( x ) -■ +oo,
x->2
x = 2 es asíntota vertical y la función no tiene valor máximo absoluto. N o es
posible aplicar la observación 3, pues la función no es continua en [—1; 4j.
—4x
/ (* ) = ( x _ 2)3 ■ Para x ^ 2
El único punto crítico es x = 0. De este modo, se tiene la siguiente tabla:
Intervalos Signo de / '( x ) Crecimiento Extremos
( - 1 : 0 ) - decreciente
<0;2> + ■ - - /( 0 ) = 0 mín. relat.
(2; 4) - decreciente
Considerando que / ( —1) = 1 /9 , / ( 4 ) '= 4 y observando la gráfica (Fig. 7.13),
se concluye que /(O ) = 0 es el valor mínimo absoluto de f .
271
rx 2/3(x + 2 )1/3 - x ,
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN í
Ejemplo 13. Dada la función
/ ( * ) =
V 2x - x 2 ,
x 2 - 6x + 8
x 2 + 6x 4- 8 '
V 5 2 x 2 - x 4 - 5 7 6 ,
(x - 6 )1/,3(x - 1 2 )2/3 , x > 6
x < 0
0 < x < 2
- 2 < x < 4
4 < x < 6
/ ( x ) — x
a) Halle lim ------------.
*-»i x — 1
b) Calcule lim
' X-.12+X-12
c) Si — 2 < x < 4, halle la derivada de y = /( x ) con respecto a
x — 4
x + 4 ’
d) Halle g ' [ f ' ( 1)] , si g { x 4- 2) = x 2 – x.
e) Verifique si el T.V.M. se aplica a / ( x ) en [4; 6j. Si es así, determine el valor
que lo verifica.
f) Determíne los intervalos de continuidad de / .
g) Halle los valores extremos de / .
h) Halle las asíntotas de y = / ( x ) .
i) Esboce la gráfica de / .
Solución
f ( x ) — x V 2 x - x 2 — x
a) lim ------------ = lim -------------------- = —1
*-* i x - 1 * -*i x - 1
^ ,. / O ) ,. ( x - 6 ) 1/3
b) lim — = hm ------------ ,, = 4-oo
x->12+ x — 12 x-*12+ (x — 1 2 )1/ 3
X 2
c) Para — 2 < x < 4 , / ( x ) =
x 2 4- 6x 4- 8
dy 12(x2 - 8)
Seau = —— r .entonces £ = f - = ( l ± 2 f f i £ ± í > L = ■
x 4- 4 du du 8 2(x 4- 2)2
dx (x 4- 4 )2
d) Como g ( x + 2) — x 2 — x => g ( x ) = x 2 - 5x 4- 6
1 - x
Para 0 < x < 2 => / '( x ) = — / ' ( 1) = 0
V2x - x 2
Por tanto, g ' [ f ' { 1)] = <7'(0) = - 5 , pues g ' ( x ) = 2x - 5.
272
e) Si x £ [4; 6], / ( x ) = V 52x2_- x ^ _-^5 7 6 , / es continua en [4; 6] y
x (2 6 — x 2)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
/ '( * ) = ( x 2 - 3 6 )3/4(16 - x 2) 3/ 4
, V x £ (4; 6)
Por el T. V. M., existe c £ (4; 6) tal que / '( c ) = ^ ^ => c = V26.
6 — 4
0 Después de analizar la continuidad en x = 0, x = 2, x = 4 y en x = 6, se
concluye que f es continua en {—co; 4-oo).
3 x 4 -4
3 x 1/ 3(x 4- 2 )2/ 3
1 – x
1 ,
g) /’G O =
V2x – x 2
1 2 (x 2 – 8)
( x 2 4- 6x 4- 8 )2 ‘
x (2 6 — x 2)
(x 2 – 3 6 ) 3/4( 1 6 – x 2) 3/4
x — 8
x < 0
0 < x < 2
2 < x < 4
4 < x < 6
x > 6
, ( x – 6 ) 2 / 3 ( x – 1 2 ) 1/ 3 ‘
Puntos críticos: x = —2, x = —1 6 /9 , x = 0, x = l , x = 2, x = V8,
x = 4, x — V26, x = 6, x = 8 y x = 12
El análisis de los signos de la derivada se muestra en la siguiente tabla.
Intervalos Signo de f ‘ ( x ) Crecimiento Extremos
( – o o ;- 2 ) 4- creciente
( – 2 ; – 1 6 / 9 ) 4- creciente — – ‘ / ( —1 6 /9 ) – 2,68 máx.
( – 1 6 / 9 ; 0)
<0; 1) 4-
decreciente* -
creciente
-/(O ) = 0 mín.
<1; 2) decreciente • '' * / ( l ) = 1 máx.
<2; V8) - decreciente - - - /( V 8 ) = - 0 ,0 3 mín.
<4;V26) 4- creciente ",’ /(V 2 6 ) = 3,16 máx.
<6; 8) + creciente * - - . ’/ ( 8 ) = 3,17 máx.
(8; 12)
<12; -l-oo)
— decreciente <
4- creciente '/ ( 1 2 ) = 0 mín.
h) y = 2 /3 es una asíntota horizontal hacia la izquierda porque
lim f ( x ) = - , donde / ( x ) = x 2/3(x 4- 2)1/3 - x .
X -* -o o 3
273
y = x - 10 es una asíntota oblicua hacia la derecha, porque
f ( x )
lim ------ = 1 = m A b = lim \ f ( x ) - x] = - 1 0 ,
x-*+oo X X->+°o
donde f ( x ) = (x — 6 )1¿,3(x — 12 )2/ 3.
No tiene asíntotas verticales.
i) La gráfica de y = f ( x ) se muestra en la figura 7.14.
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
EJERCICIOS
En los siguientes ejercicios, determine los intervalos de crecimiento, los valores
extremos relativos y bosqueje la gráfica de las funciones dadas.
1) f M – x 3 + 2 x 2 – 4x + 2
2) g ( x ) — x 4 – 1 4 x 2 – 24* + i
3) f ( x ) =
1 + x 2
4) f ( x ) = \ x 2 – 9|
5) / ( * ) =
6) /( * ) =
x 2 + x + 1
x 2 + 2
4x
7) f ( x ) = 5 x 2/3 – x 5/3
x 2 – 5x + 6
8) f ( x ) =
x 2 — 4x — 5
R. máx en x = —2, mín en x = 2 /3
R. máx en x = – 1 ,
mín en x = —2 y en x = 3
R. máx en x = 1, mín en x = – 1
R. máx en x = 0,
mín en x = 3 y en x – - 3
R. máx en x = 0, mín en x – - 2
R. máx en x = 1, mín en x = — 2
R. máx en x – 2, mín en x = 0
R. máx en x — 11 — \¡72,
mín en x — 11 + V72
2 7 4
9) f { x ) = 3 x 5 – 1 2 S x 3 + 2160*
10) f ( x ) = ( x – l j V x 2 R. máx en x = 0, mín en x = 2 /5
11) / (x ) = \¡ (x + 2 )2 — \]{ x – 2 )z R. máx en x – 2, mín en x = – 2
3
12) f ( x ) = x 3 + – R. máx e n x = – 1 , mín en x = 1
x
x 2 + 2x — 23
13) f ( x ) = ——————- ———— R. máx en x = 3, mín en x = 5
x — 4
1 + X + X2
14) f { x ) = ————^ R. máx en x – 1, mín en x = — 1
1 – x + x ¿
1 — x + x 2
15) f ( x ) = ————— R. máx en x — – 1 , mín en x = 1
1 + x + x l
\ — x + x 2
16) f ( x ) – ————r R. m á x e n x = 1/2
1 + X – X1
En los ejercicios del 17 al 20, encuentre los valores máximos y mínimos de las
funciones dadas.
17) f ( x ) = ( a t – x ) 2 + … + ( a n – x ) 2
18) f ( x ) = (a – x ) 3 + (b — x ) 3 , con a ^ b
19) / O ) = ( a t – 2 x 2) 2 + … + (a n – 2 x 2) 2
20) f (x) = {ax — x ) r + … + ( a n — x ) r , r entero positivo impar.
21) f ( x ) = ‘ z ~ n Para algún n t ^ 1 máx local y 0 mín local
Í 0 , en los dem ás casos
Para cada una de las siguientes funciones, halle los valores máximo y mínimo
absolutos en los intervalos que se indican.
22j /O, ). = 3 xa4 – 8 x 3* + 6 x ,2 en 1 l l R- máx = —43 , mín = 0
2 2J 16
APLICACIONES DE LA DERIVADA
23) f ( x ) = —r———- – en
x 5 + x + l
X 4* 1
24) /(x) = ^ T í en
i
1 ; 2 .
1 i 32 1
R. máx = — . m ín = -
l + V 2
R. máx = — -— , mín = 0
x
25) f ( x ) = ….^ en [0; 5] R. no existe ni máx ni m ín absoluto
2 7 5
En los ejercicios del 26 al 31. determine las asíntotas, los intervalos de
crecimiento, los valores extremos relativos y construya la gráfica de la función.
TOPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
r(x 4- 5) 1/3(x + 2 )2/ 3 ,
26) / ( x ) = < ¡ V T = ^ ,
27) / ( x )
x < —2
— 2 < x < 2
(x - 2 )1/3(x - 6 )2/3, x > 2
R. Asíntotas: y = x 4- 3 , 3y = 3x – 14
V. máx. en x = – 4 ; 0; 1 0 /3 y V. mín. e n x = – 2 ; 2; 6.
f x ( x + 2 )2/3, x < 0
x 2/s(x - 2 )1/3 , 0 < x < 2
L(x - 2) 2/3(x - 4 )1/3 , x > 2
R. Asíntota: 8y = 3x — 8
V. máx. en x = – 2 ; 0; 2 y V. mín. en x = – 6 / 5 ; 4 /3 ; 1 0 /3 .
( x 2 + 9x + 8
x < - 1
1 < x < 1
1 < x < 3
x > 3
R. Asíntotas: y = 1 , 3y = 3x — 19
V. máx. en x = – 1 /3 ; 2; 14/3 y V. mín. en x = -2 V 2 ; 1; 3;
x 2 – 9x + 8 ’
28) f { x ) = (x + l ) 1/3(x – l ) 2/ 3 .
V 4x – x 2 – 3 ,
. (x — 3 )ly,3(x — 8 )2/ 3 ,
f(x + 2 )1”5(x – 2 )3^5 ,
V x 3 – 4x ,
2 9 ) / ( x ) = <¡|x2 - 8 x 4 - 1 2 | ,
V x2 — 36 — V12x — 72
-V x 2 - 36 4- V l2 x - 72
x < - 2
— 2 < x < 2
2 < x < 6
x > 6
3 0 ) / ( x ) =
f * + 8
X 3 – 8 ‘
3 (x 2 – 4 )
2 (x 2 4- 4)
V8x – x 2 – 12
V x 2 – 8x 4- 12
V |x —ó l ^ l A 4-
x < —2
2 < x < 2
2 < x < 6
R. Asíntotas: y = l , y = x + 2
V. máx. en x = 2 y V. mín. en x = 0; 4.
276
APLICACIONES DE LA DERIVADA
[6x — l l T ' 2/3
31) / ( x )
I x +
x - 2
|x |1/3|x + 2 |1/3|x - 2¡1/3
8x — x 2 — 12
x ¡ r 7 - 2 x t n 1/3
) ( ^ + T r 7 | ) •
V xz — 8x + 12
l ( x - 6 ) 2/ 5( x - l ) 3 /s ,
R. Asíntotas: y = x + 4 , x =
2 2
— 2 < x < 2
2 < x < 6
x > 6
V. máx. x -5; — —; — y V. mín. en x = —3; 0; 4.
V3 V3
x 2/3(x + 3 )1/3 ,
V 2x — x 2 ,
32) Dada la función / ( x ) = x 2 – 6x + 8
6x -i- 8
x < 0
0 < x < 2
2 < x < 4
k(x - 4 )2/3(x + 5 )1/3 , x > 4
a) Si 2 < x < 4, halle la derivada de y = f ( x ) con respecto a
x,+ 4
x - 4 '
b) Halle g ' ( f ' ( - 2 ) ) sí g ( x 4- 3) = x 3 - 3 x 2 + 8.
c) Halle los extremos relativos y esboce la gráfica de / .
33) Determine los valores de a, b y c si
a) / ( x ) = 2 x 3 4- a x 2 4- b presenta un extremo relativo en (—1; 2).
R. a = - 3 , 6 = 1
b) / ( x ) = a x 2 + bx + c tiene un valor máximo relativo en (1; 7) y ia
gráfica de / pasa por (2; - 2 ) . R. a = - 9 , b = 18, c = - 2
34) Para una constante a > 0, encuentre la diferencia entre el valor máximo y el
valor mínimo relativo de la función / ( x ) = ( a ——- x ) (4 — 3×2) .
35) Sean / y g funciones derivables en ( a ; b) con / ‘( x ) > g’ {x), V x £ (a;fe).
Si existe c £ ( a ; f e ) tal que / ( c ) = g(c), pruebe que f ( x ) < g ( x ) ,
V x £ (a; c), y g { x ) < / ( x ) , V x £ (c; fe).
/( x )
36) Sea / derivable en E y ^ (x ) = ------,x 0. Si c es un punto de máximo local
X
de g, pruebe que:
a) c / '( c ) - / ( c ) = 0
b) La recta tangente a la gráfica de / en el punto ( c ,; / ( c ) ) pasa por el
origen.
277
La solución de problemas prácticos que implican en su enunciado la optimización
de sus resultados requieren:
a) Expresar el enunciado, en lo posible, como una función de una variable (si es
necesario se representa geométricamente).
b) Identificar el tipo de extremo a calcular, y luego aplicar el criterio de la
primera o de la segunda derivada para verificar el extremo que se pide.
Los siguientes ejemplos muestran un método en la solución de estos problemas.
Ejemplo 14. Halle dos números positivos tal que su suma sea igual a 60 y su
producto sea el mayor posible.
Solución
Suponiendo que uno de los números es x y el otro es y = 60 - x. Se desea que
P( x ) — x (6 0 — x ) = 60x - x 2 sea máximo.
P' ( x) = 60 - 2x => x = 30 es punto crítico y P ” (3 0 ) = —2.
Por el criterio de la segunda derivada, en x = 30 la función P tiene valor
máximo. Por consiguiente, los números buscados son: x — 30 e y = 30.
Ejemplo 15. De una hoja cuadrada de lado a, se desea construir una caja sin
tapa, cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la
parte restante. Determine el lado de los cuadrados que deben ser cortados de
modo que el volumen de la caja sea el mayor posible.
Solución
Siendo x el lado de los cuadrados cortados, el volumen de la caja es
V( x ) — x ( a – 2 x )2 , donde 0 < x < a / 2
Luego de maximizar esta función, se obtiene que en x --- a / 6 existe valor
máximo para V. es decir, se debe cortar cuadrados de lado a / 6.
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
7.3 PR O B LEM A S DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y M ÍN IM O S
278
Ejemplo 16 Se desea construir una lata cilindrica (con tapa) de manera que se
gaste lo menos posible ¿Cuál es la relación entre la altura y el radio de la base
para que esto ocurra?
Solución
1-1 problema, desde el punto de vista matemático, se presenta bajo dos aspectos:
a) De todas las latas que poseen igual área total (A constante), tendrá menor gasto
el que tenga mayor volumen (V máximo).
b) De todas las latas que poseen el mismo volumen (V constante), tendrá menor
gasto el que tiene área mínima. (A mínimo).
Vamos a resolver utilizando (a). Se deja al lector la solución según (b).
El área del material es A = 2 n r 2 4- 2 n rh y el volumen es V = n r 2h.
^ A — 2/7" /■“
Como A es constante, h = ------------ . Sustituyendo este valor en V se obtiene
2 n r
A r
K (r) = —— n r 3, r > 0
Al optimizar esta función, encontramos que en r = J A / 6 n existe máximo para V
y la relación que existe entre el radio (r) y la altura (h) es: h = 2r.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Ejem plo 17. Un alambre de longitud L es cortado en dos partes de manera que
con una parte se forme un cuadrado y con la otra, una circunferencia ¿De qué
modo debe ser cortado para que la suma de las áreas sea máxima?
Solución
Sea A = A i + A 2 (Fig. 7.17). Si x es ía longitud del lado del cuadrado y r el radio
del círculo, entonces A t — x 2 y A z = n r 2.
Lt_4x
Considerando que L — 4x = 2nr => r ————, entonces
2n
, ¡L – 4 x \2 , (L – 4x)2
A(x) = Ax + A2 – x c + n [ — ---- ) - x 2 + ----- --------, 0 < x < L
\ 2n l 4ír
279
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
Puesto que A '(x) — 2 x ---------------- =* x = --------- es punto crítico.
rr tt + 4 y
El problema planteado es encerrar la mayor área posible (máximo absoluto). Como
x G [0; L], los puntos de análisis son x – 0 , x – L y x = L / { n + 4).
Evaluando la función A en estos 3 puntos, se concluye que el valor máximo
absoluto ocurre cuando x = 0. Por lo tanto, se encierra la mayor área posible
cuando no se corta el alambre y se usa todo para construir el círculo (en el punto
crítico x = L / ( n + 4), la función presenta valor mínimo relativo).
Ejem plo 18. Halle el área del rectángulo más grande (con lados paralelos a los
ejes coordenados) que puede inscribirse en la región limitada por las parábolas
3y = 12 – x 2 , 6y = x 2 – 12.
Solución
Sea ABCD el rectángulo inscrito (Fig. 7.18) de base 2x y altura z. Si el área del
rectángulo es A, entonces A = 2x z, donde
1 . 1 , , 12 — x 2
z = – ( 1 2 – x 2) – - ( x 2 – 12) = —- —–
3 6 2
Entonces, A = A ( x ) = 12* – x 3 , 0 < x < V l2
Efectuando las operaciones, se concluye que existe máximo para A en x — 2. Por
consiguiente, el área máxima del rectángulo inscrito es 1 6 u z.
Ejemplo 19
Si un paralelogramo y un triángulo tienen un vértice común y los otros vértices
del paralelogramo están sobre los lados del triángulo dado, pruebe que el área del
mayor paralelogramo que se puede inscribir del modo descrito es igual a la mitad
del área del triángulo (se conoce la base y la altura del triángulo).
2 8 0
Sea ABCD el paralelogramo con las características del problema, inscrito en el
triángulo AEF de altura h y base b (Fig. 7.19).
Si x e y son las longitudes de la base y de la altura del paralelogramo
respectivamente, su área está dada por A — xy ... (1)
De la figura, A A E F ~ A B E C .
h —y h b(h — y )
Luego, ------- = 7 , de donde x = ------ ------ ... (2) x b h
b(hy — y 2)
Reemplazando (2) en (1), se tiene: A = A(y) = ------ ------- , 0 < y < h.
Maximizando esta función, se deduce que y = h/2 es un punto de valor máximo
para A. Reemplazando este valor en (2), se obtiene x — b/2.
bh 1 bh 1
Luego, A = — = - ■ —• = - (área del triangulo)
4 2 2 2
Ejem plo 20. Encuentre la altura del cono recto de mayor volumen que puede
inscribirse en una esfera de radio R.
Solución
1
El volumen del cono es V —- n r 2h ... (a )
h t
En la Fig. 7.20, ACAB-ABAD => – = — — – => r 2 = 2Rh – h 2 … (/?)
v ¿ t i — t i
Reemplazando (/?) en (a ) se tiene
V = v(h) = ^ n (2 h 2R – h3), 0 < h < 2R
Maximizando V(h), se obtiene que para h = 4R/ 3 el volumen del cono es
máximo.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Solución
Ejemplo 21. Una compañía de aviación transporta 8000 pasajeros por día, con
una tarifa de 800 dólares por persona. Al considerar un aumento en la tarifa, la
compañía determina que perderá 400 pasajeros por cada 50 dólares de aumento.
Bajo estas condiciones, ¿cuál debe ser el aumento para que el ingreso de la
compañía sea máximo?
Solución
Si x es el número de incrementos de 50 dólares en la tarifa, entonces 800 + 50x
es la tarifa resultante y el número de pasajeros será 8000 - 400x.
El ingreso es
/ (x) = (800 + 5 0 x )(8 0 0 0 - 400x) = 20000 (320 + 4x - x 2), 0 < x < 20.
Esta función ingreso presenta un máximo absoluto para x = 2. Luego, el aumento
que maximiza el ingreso es de 100 doláres, es decir, el valor del pasaje será 900
dólares.
Ejemplo 22. Tres fábricas están situadas en los vértices de un triángulo isósceles.
Las fábricas B y C, que distan entre sí 16 millas, están situadas en la base: la
fábrica A, en el tercer vértice y a una distancia de 10 millas de la base ¿A qué
distancia de A. a lo largo de la altura, se debe colocar una instalación de bombeo
de agua, de manera que se emplee la menor longitud de cañerías para abastecer a
las tres fábricas?
Solución
Por la figura 7.21, se desea que L = AM + BM + MC sea mínima.
L(x) = x + 64 + (10 - x ) 2 , 0 < x < 10
Esta función presenta mínimo cuando x = 10 — 8 V 3 / 3 . Por tanto, el sistema de
bombeo de agua debe ubicarse a (10 - 8 a/ 3 / 3 ) millas de A.
Ejemplo 23. Supongamos que las funciones del precio y costo de una producción
están dadas por p (x ) = 20 — 4x y C(x) = 2x — 106, donde x es el número de
unidades producidas. Supongamos también que el gobierno grava las ventas con
un impuesto t % por cada unidad. Determine, en términos de t, la cantidad de
producción que maximiza la utilidad de la empresa y además, halle el valor de t
que maximiza la renta del gobierno por concepto de impuestos.
Solución
Se conoce que: Ingreso = (precio), (cantidad) y Utilidad = Ingreso - Gastos.
Entonces, U( x ) = /( x ) - (C (x) + tx ) = (20 - 4 x )x - 2x - 106 - tx.
Esta función presenta un máximo para x = (18 - t ) / 8 . Esto significa que si el
gobierno grava con un impuesto de t % a cada unidad vendida, la empresa debe
producir X = (18 — t ) / 8 unidades para maximizar su utilidad.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN i
2 8 2
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Por otro lado, la renta del gobierno está dada por
t(1 8 - t) 18t - t 2
R( t ) = t x = •
8 8
Maximizando R, se obtiene que para t = 9, R( t ) es máximo. Por tanto, el
gobierno maximiza la renta gravando con un impuesto de 9% a cada unidad.
Ejem plo 24 Un fabricante desea construir cajas cerradas de 256 cm 3 de
capacidad. La base debe ser un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho. Si se
sabe que el precio del material para la base y la tapa es de S/. 3 por cm 2, y para
los lados es de S/. 2 por cm 2; halle las dimensiones de la caja que minimizan su
costo y el costo mínimo.
Solución
El costo de cada caja es C(x) = 3 (4 x 2) + 2(4x/i) + 2(2x/i) ... (1)
128
Como 2 x2h = 256 => h = —— … (2)
x 2
Al reem plazar (2) en (1), se obtiene: C(x) = 1 2 ^ x 2 H——-x > 0
Esta función presenta mínimo para x = 4. Por consiguiente, las dimensiones de
la caja de menor costo son: ancho = 4 cm, largo = 8 cm y alto = 8 cm. El
costo mínimo de la caja es de S/. 576.
Ejem plo 25. Un pez nada contra la corriente a una velocidad constante v en
relación con el agua. Se sabe que el agua tiene una velocidad v 1 río abajo.
El pez intenta alcanzar un punto, situado a una distancia s río arriba. La energía
requerida es esencialmente determinada por el roce con el agua y por el tiempo t
necesario para alcanzar el objetivo. Experiencias pasadas han mostrado que esta
energía está dada por E = c v k t , donde c > 0 y k > 2 son ciertas constantes (k
depende de la forma del pez). Dado v lf ¿qué velocidad minimiza la energía?
283
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
Solución
Se observa (Fig. 7.23) que la velocidad del pez río arriba es v — vt .
s s
Por otro lado, esta velocidad tam bién es igual a esto es, v — v, = -.
t 1 t
De lo anterior, se deduce que
s
t —v——– — v1
Reemplazando este valor en E, se tiene
c sv k
E(v) = ——– , v > v, (k , s, c, v , son constantes)
V – Vi
Después de realizar el proceso de optimización, se demuestra que la energía es
mínima cuando v = – Á – v x. Esto significa que la velocidad que permite ahorrar
energía a un pez que nada contra la corriente depende solamente de la velocidad
Vi del agua y de un parámetro k relacionado con la forma del pez.
Ejem plo 26. Un campo de atletismo de 400 metros de perímetro consta de un
rectángulo que tiene pegado en cada uno de sus lados menores un semicírculo.
Con el fin de realizar varias actividades al mismo tiempo, se pretende que el área
de la parte rectangular sea la mayor posible. Halle las dimensiones del campo para
tal fin.
Solución
Se quiere maximizar el área (A) del
rectángulo
A = 2 rx.
Si P es el perímetro del campo, de las
condiciones del problema se tiene
P = 2 x + 2 n r = 400 => x = 200 — n r
Sustituyendo este valor de x en A, se obtiene
A = 2 r(2 0 0 — t ) = 4 0 0 r — 2 n r 2
Esta función presenta máximo cuando
r = 100/7T. Por tanto, las dimensiones del
campo que maximizan el área de la parte
rectangular son:
100
x — 100 m y r = —– m.
n
2 8 4
EJERCICIOS
1) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por P ( 3; 4 ) y forma con el primer
cuadrante un triángulo de área mínima.
R. 4x + 3y – 24 = 0
2) Se quiere construir un jardín que tenga la forma de un sector circular, con un
perímetro de 30 m. Halle el jardín de mayor superficie.
R. 56,25 m 2
3) Encuentre los puntos de la curva y 2 = x + 1 que están más cerca del origen.
R. (—1/2; + V 2/2)
4) Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje x y los otros dos están,
respectivamente, sobre las rectas y — x, 4y + Sx = 20. Halle el valor de y
para que el área del rectángulo sea máximo.
R. 1 0 /9
5) Un cilindro circular recto es inscrito en un cono circular recto de radio r.
Halle el radio R del cilindro, si su volumen es máximo.
R. R = 2 r /3
6) Demuestre que el rectángulo de área máxima inscrito en un círculo es un
cuadrado.
7) Un punto móvil P describe la curva y = 4 /x , x > 0. Determine la distancia
mínima de P al origen.
R. 2V2
8) Trace una tangente a la elipse 9 x 2 + 1 6 y 2 = 144 de modo que el área del
triángulo que forma con los ejes coordenados sea mínima. Determine las
coordenadas del punto de tangencia P y el área mínima, si se sabe que P está
en el primer cuadrante.
R. P(2V 2; 3 V 2 /2 ) y A = 12 u 2
9) Determine el punto P de la curva y = x 2 + x que está más cerca del punto
(7;0), y pruebe que la recta que pasa por (7;0) y P es normal a la curva en P.
R. P ( l; 2)
10) Una hoja de papel tiene S cm 2 de material impreso, con márgenes superior e
inferior de 4 cm y márgenes laterales de 2 cm. Determine cuáles deben ser
las dimensiones de la hoja para que se use la menor cantidad de papel.
R. 4 + V 25/2 (base) y 8 + ‘F ls (altu ra)
11) Se tiene una hoja rectangular de cartón, de lados 8 cm y 15 cm. Se desea
hacer con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas cuadrados iguales
y doblando convenientemente la parte restante. Determine el lado de los
cuadrados que deben ser cortados a fin de que el volumen sea el mayor
posible. R. 5 /3 cm
APLICACIONES DE LA DERIVADA
2 8 5
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
12) Si la suma de las áreas de un cubo y de una esfera es constante, ¿cuál es la
relación entre el radio de la esfera (r) y el lado del cubo (a) cuando la suma
de sus volúmenes es mínima?
R. a = 2r
13) Demuestre que el volumen del cilindro recto más grande que puede ser
inscrito en un cono es 4/9 del volumen del cono.
14) Un cono recto es cortado por un plano paralelo a su base ¿A qué distancia de
la base debe ser hecho el corte para que un cono recto de base en la sección
determinada y de vértice en el centro de la base del cono dado tenga
volumen máximo?
R. 1/3 de la altura del cono.
15) Si los lados de un rectángulo son a y b, demuestre que el rectángulo más
grande que puede construirse de manera que sus lados pasen por los vértices
del rectángulo dado es un cuadrado de lado (a 4- b) / 2.
16) Demuestre que el triángulo isósceles de área máxima que puede inscribirse
en una circunferencia es un triángulo equilátero.
17) Una ventana, cuya forma es un semicírculo sobrepuesto a un rectángulo,
tiene un perímetro dado. Hallar la altura y el ancho de la ventana, de manera
que pueda admitir la mayor cantidad de luz.
R. El radio del semicírculo debe ser igual a la altura del rectángulo
18) Determine la superficie lateral del cilindro circular recto que puede ser
inscrito en un cono circular recto dado.
R. A = n r h /2
19) Determine las dimensiones del cilindro recto de mayor superficie lateral que
puede inscribirse en una esfera dada.
R. altura = V 2r
20) Halle las dimensiones de un triángulo de área máxima que puede inscribirse
en una circunferencia de radio r.
R. triángulo equilátero de lado = V 3r
21) Determine el cono circular recto de mayor superficie total que puede
inscribirse en una esfera de radio r.
R. altura = (23 – v 1 7 J r/1 6
22) Un agente de bienes estima que el beneficio mensual P en soles que obtiene
ai alquilar un edificio de s pisos, está dado por P = – 2 s 2 + 9 2 s ¿Qué
número de pisos hará más rentable el edificio?
R. 23 pisos
286
.’.3) Una radioemisora ha hecho una investigación sobre las costumbres de
audición de los residentes locales en las horas comprendidas entre las 5 p.m.
y la medianoche. La investigación estima que * horas después de las 5 p.m.
1 , 27 27
de una noche típica de la semana, — – x + — x — — x + 30 por ciento
4- o L
de la población adulta local está sintonizando la estación.
a) ¿En qué momento, entre las 5 p.m. y la medianoche, está escuchando la
estación la mayor cantidad de gente?
b) ¿En qué momento, entre las 5 p.m. y la medianoche, está escuchando la
estación la menor cantidad de gente?
R. a) 5 p.m. b) 8 p.m.
24) Un. comerciante estima que el costo de producción de x unidades de
mercancía es C (x) = 25x + 20000. Además, se sabe que x + p = 5000 es
la ecuación de demanda, donde x representa la cantidad de unidades
demandadas al precio de p soles la unidad.
a) Calcule la utilidad máxima.
b) Si el gobierno exige al comerciante un impuesto de 10 soles por cada
unidad producida, ¿cuál es la nueva utilidad máxima?
25) El costo inicial de una máquina es C y el costo de operación por x años es
b x(x — 1)
ax 4——- ——-. Obtenga el costo medio por año y calcule el valor de x que
minimiza el costo medio.
26) El costo de fabricación de x unidades es a x 2 + bx + c y el precio de venta
de cada unidad es p = a – (5×2 . Determine el valor de x que anula la
utilidad marginal y pruebe que este valor maximiza la utilidad.
27) Un fabricante de conservas usa latas cilindricas, cuyos volúmenes deben ser
iguales a 500 cm 3 ¿Cuáles deben ser las dimensiones más económicas de las
latas? (Sugerencia: minimizar el área de la superficie)
28) La producción de bicicletas de una empresa es de x unidades por mes, al
costo total de 100 + 3x + — . Si la demanda es de x = 75 — 3p, donde p
25
es el precio por unidad, calcule el número de unidades óptimo, es decir, el
valor de x que maximiza la utilidad.
29) Sea v la velocidad de un pájaro relativo al aire, W su peso y p la densidad
del aire. Penny Cuik (1969) encontró la siguiente fórmula para la potencia P
que el pájaro debe mantener durante el vuelo:
w 2 p A v 3
P = y2 p-S^v + —r ~2
APLICACIONES DE LA DERIVADA
287
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
donde S y A son ciertas constantes relacionadas con la forma y el tamaño del
pájaro. Halle la velocidad v que minimiza la potencia P.
R. y w 2/ 3 p 2SA
30) La energía producida por algunos pájaros puede ser medida. Para el
periquito australiano (Melopsittacus Undulatus), la energía producida en
c a l/g r x km (caloría por gramo por kilómetro) puede ser descrita por la
fórmula
E = I (0 ,074(v – 3 5 )2 4- 22)
v
donde v es la velocidad del pájaro en km/h (la velocidad del viento se
desprecia) ¿Qué velocidad le permite ahorrar más energía?
31) En ciertos tejidos, las células tienen la forma de un cilindro circular recto de
altura h y radio r. Si el volumen V es fijo, encuentre el radio particular que
minimiza la superficie total del área. ¿Cuál es la relación entre (i y r?
R. r = \ ] V / 2 n , h = 2r
32) Se dispone de un trozo de madera que tiene la forma de un tronco de cono
circular recto de 10 cm de altura, y se desea cortar un sólido cilindrico de
mayor volumen. Determine las dimensiones de dicho sólido, si las bases del
tronco tienen como diámetros 4 y 9, respectivamente.
R. r = 2
33) Tres puntos A, B y C están situados de modo que 4-ABC = 60°. Un
automóvil sale de A y, en el mismo momento, de B parte un tren. El
automóvil se dirige hacia B a 80 km/h y el tren se dirige a C a 50 km/h.
Considerando que AB = 20 km, ¿en qué momento será mínima la diferencia
entre el automóvil y el tren?
R. 1 hora y 38’
34) Un torpedero está anclado a 9 km del punto más próximo de la orilla. Se
necesita enviar un mensajero al campamento situado también en la orilla, y
se sabe que la distancia entre el campamento y el punto refet ‘do es de 15 km.
Teniendo en cuenta que el mensajero recorre a pie 5 km/h y en un bote,
remando, 4 km/h, ¿en qué punto de la orilla debe desembarcar para llegar al
campamento lo más pronto posible?
R. a 3 km del campamento
35) Sean >4(1; 4) y 5 (3 . ;0 ) dos puntos de ia elipse 2 x 2 + y 2 = 18. Halle ei
tercer punto C de modo que ei área del triángulo ABC sea el mayor posible.
R. C( —V6; -V 6 )
36) Se desea construir un embudo cónico cuya generatriz debe ser igual a 20 cm
¿Cuál será la altura del embudo cuyo volumen sea el mayor posible?
R. 20V 3/3 cm
37) Halle la ecuación de la recta que pasa por P ( l ; 4 ) , de modo que la suma de
sus coordenadas (positivas) en el origen sea la menor posible.
R. 2x 4- y = 6
38) En un cuadrado de lado 10 cm queremos apoyar la base de un cilindro cuya
área lateral es 50 cm 2¿Cuál debe ser el radio del cilindro para que su
volumen sea el mayor posible?
R. 5 cm
39) En una carretera a través del desierto, un automóvil debe ir desde la ciudad A
hasta el oasis P situado a 500 km de distancia de A. Puede aprovechar para
ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una
velocidad de 100 km/h, mientras que por el desierto su velocidad es de 60
km/h. Si se sabe que las distancia más corta de P a la carretera que une las
ciudades A y B es de 300 km. determine la ruta que deberá usar para ir de A
a P en el menor tiempo posible.
40) Un hato de 104 venados se transporta a una isla pequeña. El rebaño crece
inicialmente de forma rápida, pero entonces los recursos alimenticios de la
isla comienzan a escasear y la población disminuye. Se sabe que el número
N( i ) de venados que hay a los t años está dado por N ( t ) = — t 4 4- 2 2 12 4-
104.
a) ¿Cuándo deja de crecer el hato?
b) ¿Cuál es el tamaño máximo?
c) ¿Cuándo se extingue la población?
d) ¿Cuándo crece más rápidamente la población?
e) Trace la gráfica de N (t) para t > 0.
41) Se quiere hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y
capacidad 80 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un determinado
material, pero para la base se debe emplear un material un 50% más caro.
Halle las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible.
R. El envase tiene la base cuadrada de 4 cm de lado y 5 cm de altura.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
289
Sea / : IR -* IR una función derivable en el punto c interior de su dominio D. La
ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(c; / ( c ) ) es
n * ) = m + f \ c x x – c).
P ara* E D, consideremos la función
u (x ) = f ( x ) – T( x) = f ( x ) – f ( c ) – f (x )(x – a)
Definición 2 (Concavidad hacia arriba o convexidad). Se dice que / es
cóncava hacia arriba en el punto c, si existe una vecindad B{c\ 8) c D tal que
u (x ) > O, V x e B (c;S ) y x * c (Fig. 7.24).
. Definición 3 (Concavidad hacia abajo o cóncava). Se dice que / es cóncava
hacia abajo en el punto c, si existe una vecindad B(c; ¿ ) c D tal que
u( x ) < 0 , V x 6 B(c-, fi) y x ^ c (Fig. 7.25).
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
7.4 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Observación 4
Teniendo en cuenta que la recta tangente a la gráfica de f en el punto P (c ; f ( c ) )
divide al plano en dos semiplanos (uno superior y otro inferior), decir que la
curva es cóncava hacia arriba en el punto c significa que su gráfica en la
vecindad B(c-, S) se encuentra en el semiplano superior ó que la recta tangente se
encuentra por debajo de la curva.
Análogamente, decir que f es cóncava hacia abajo en el punto c significa que la
gráfica de f en la vecindad B (c ; S) se encuentra en el semiplano inferior ó que la
recta tangente se encuentra por encima de la curva.
Definición 4 (Concavidad en un intervalo) Se dice que / es cóncava hacia
arriba (o hacia abajo) en el intervalo (a; b) cuando es cóncava hacia arriba (o
hacia abajo) en todo punto de (a; b). Si una curva es cóncava hacia arriba se
denotará con U, y si la curva es cóncava hacia abajo se denotará con H.
290
Definición 5 (Punto de inflexión). Sea / una función continua en el punto c. Se
dice que P ( c ; / ( c ) ) es un punto de inflexión de f , si existe un S > 0 tal que las
concavidades en los intervalos (c – 5 ; c ) y (c ;c + <5) son diferentes. En otras
palabras, el punto de inflexión de una curva continua es el punto que separa la
parte convexa de la cóncava (Fig. 7.26).
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Proposición 4
Sea / : IR -» R derivable en una vecindad B(c; 6) c D y / " ( c ) 0.
I) Si f í e ) > 0, entonces / es cóncava hacia arriba en el punto c.
II) Si f í e ) < 0, entonces / es cóncava hacia abajo en el punto c.
Demostración
f ' ( x ) _ f ’ ( c )
I) Como f í e ) = lim ------------------ > 0, existe con 0 < S1 < S tai que
t— l z L S - 1 > o, v x e B (c;5i) A x * c … (11)
x — c
Se probará que u(x) = / ( x ) – / ( c ) – f ‘ í e ) { x – c) > 0, V x E B(c; Aplicando el T.V.M. a la diferencia / ( x ) - f í e ) , se obtiene
u (x ) = f ' í d ) í x - e) - f í c ) ( x - e ) , con d entre c y x
- \ f í d ) - f { c ) ] { x - e )
Como (11) es verdadero para todo x E B(e; ót ) con x *= c, se tiene
S i x < c = > x — c < 0 a f ( x ) - f í e ) < 0 => f ( d ) – f í e ) < 0 (pues d está
entre c y x). Luego, u í x ) > 0, V x E (e – S ^.e) … (12)
Análogamente , se prueba que u( x) > 0 , V x E (c; e + 5X) … (13)
De (12) y (13) se sigue que u (x ) > 0, V x 6 fí(c; 5X) A x =?= c. Esto
demuestra que f es cóncava hacia arriba en el punto e.
II) La demostración es análoga a la anterior.
291
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
Corolario
Sea / una función derivable hasta el segundo orden en B(c; í ) c ¡ ) y P (c;/ ( c ) )
un punto de inflexión de / , entonces / ” ( c ) = 0.
Demostración
Por el absurdo, supongamos que / ” ( c ) 0, entonces / ” ( c ) > 0 ó / ” ( c ) < 0.
Por la proposición anterior, / es cóncava hacia arriba en c ó / es cóncava hacia
abajo en c, lo que contradice a la hipótesis. Por tanto, necesariamente / " ( c ) = 0.
Proposición 5 (Condición suficiente para punto de inflexión)
Sea / una función derivable hasta el segundo orden en B(c; 5 ), excepto tal vez
en x - c, pero continua en x - c y
a ) / " ( c ) = 0 ó 2 / " ( c )
b) / " tiene signos opuestos en (c — <5; c) y en (c; c + 5)
Entonces, P ( c ; / ( c ) ) es punto de inflexión.
D em ostración. Inmediata.
Corolario
Sea / derivable hasta el orden 2 en ¿?(c;5) tal que / " ( c ) = 0 y / '" ( c ) =é 0,
entonces P (c; / ( c ) ) es punto de inflexión de / .
Demostración. Ejercicio para el lector.
O bservación 5 (Criterio p a r a determ inar los pun tos de inflexión)
Las proposiciones 4 y 5 nos permiten establecer el siguiente criterio para hallar
los puntos de inflexión de una función continua f .
1) Hallar los valores de x para los cuales f " ( x ) = 0 ó f " ( x ) no existe. A estos
valores los llamaremos pu n tos críticos de inflexión (PCI).
2) Determinar el signo de f " ( x ) para valores menores y para valores mayores
(lo suficientemente próximos) a cada punto crítico de inflexión.
Si hay cambio de signo de / " ( x ) , existe punto de inflexión en el PCI.
Si no hay cambio de signo de f " ( x ) , no existe punto de inflexión en el PCI.
Ejemplo 27. Si / ( x ) = x 4 — 3 x 3 — x + 1, determine sus intervalos de
concavidad y sus puntos de inflexión.
Solución
a) / es continua en HL
b) / '( x ) = 4 x 3 - 9 x 2 - 1
292
APLICACIONES DE LA DERIVADA
c) f " ( x ) = 1 2 x 2 — 18x = 6 x ( 2 x — 3)
Puntos críticos de inflexión: x = 0 y x = 3 /2 (de / " ( * ) = 0).
El análisis de los signos de f " ( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f " ( x ) Concavidad Puntos de Inflexión
<-oo; 0)
( 0 :3 /2 )
( 3 / 2 ; +oo)
+
+
ü
nu
(0; 1) esP .I.
( 3 / 2 ; - 8 9 / 1 6 ) es P.I.
Ejem plo 28. Analice la concavidad y halle los puntos de inflexión (si existen) de
x + 3
= 3 ^ -
Solución
a) Df — E - {3}
b ) r w = t ^ 3? y r w = “ ( ^ F
x — 3 no es punto crítico de inflexión (no pertenece al dominio). En
consecuencia, / no tiene puntos de inflexión.
El análisis de los signos de la segunda derivada se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de / " ( x ) Concavidad Puntos de Inflexión
( - “ ; 3) + y
no existe
(3; +oo) — n
La gráfica se muestra en la figura 7.27.
2 9 3
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
Ejemplo 29. Si / ( x ) = Vx, determine los intervalos de concavidad y los puntos
de inflexión.
Solución
a) Df = R y / es continua en IR (su gráfica se muestra en la figura 7.28).
b ) r w = i é f y
Punto crítico de inflexión: x = 0 ( / " ( x ) no existe)
El análisis de los signos de / " ( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f " ( x ) Concavidad Puntos de Inflexión
(-<»: 0)
(0; +oo)
+ tí..........
R " " "
‘ (0 ;0 ) es P.I.
Ejemplo 30. Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de
(x - l ) 2 , si x > 1
— Vx — 1 , si x < 1
la función h ( x ) =
Solución
a) Dh = R y h es continua en R (su gráfica se muestra en la figura 7.29).
í 2 (x — 1 ) , s i x > l ( 2 , s i x > l
b ) h ‘ ( x ) = ——-_ i = , s i x < l y = H 7J = , si x < 1
l 3 3V ( x - 1 ) 2 ( 9 3V ( x - 1 ) 5
Punto crítico de inflexión: x = 1.
El análisis de los signos de /i"(x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f " ( x ) Concavidad Puntos de Inflexión
.<-°°;i>
(1; +co) +
R – - – - – -
…………….
- – (1 :0 ) es P.I.
Ejemplo 31. Determine los intervalos de crecimiento, los valores extremos, los
4 |at¡
intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de / ( x ) = ——– .
1 + x 2
Solución
a) Df = R y / es continua en R
4x (1 – x 2)
b ) / w = W ‘ Í T 7 5 r * * °
Puntos críticos: x = — 1 , x = 0 y x = 1.
El análisis de los signos de / ‘( x ) se muestra en la tabla siguiente.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Intervalo Signo de f ‘ ( x ) Crecimiento Extremos
( – o o ;- 1 )
( – 1 : 0 )
(0 :1 )
(1; +oo)
+
+
• / ( —1) = 2 máx.
-/(O ) = 0 mín.
■ / ( l ) = 2 máx.
decreciente
creciente _
decreciente -
f a 2 « f r – V 3 ) ( , + V3)
1*1 (1 + x2) 3
Puntos críticos de inflexión: x = -V 3 , x = 0 y x = a/3
El análisis de los signos de / ” ( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f ” ( x ) Concavidad Puntos de Inflexión
( – o o ; -V 3 ) +
(-V 3 ; 0) – • P ( —V3;V 3) es P.I.
<0: V3) - n — - - -P (V 3 ;V 3 ) es P.I.
(V3; + o o ) + t í ' '
La gráfica se muestra en la figura 7.30.
2 9 5
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
Ejem plo 32. Si / ( x ) =
'yj\x — 3| — Sgn(x4 - 81) , si x 6 ( - 00; - 7 )
i ( x + 8 )1/3O - 20 )2/ 3 , si x 6 [ - 7 ; 20] ,
.V x 2 - 10x - 2 0 0 , si x 6 (2 0 ; +co)
determine los intervalos de crecimiento, los valores extremos, los intervalos de
concavidad y los puntos de inflexión.
Solución
a) Df = R y / es continua en R.
1
b) / '( x ) = ■
2 \ Í 2 ^ x '
3x — 4
9 (x + 8) 2/ 3(x - 20) 1/3
2 x — 10
y < —7
- 7 < x < 20
x > 20
W ( x 2 – lO x – 2 0 0 )6/ 7 ’
Puntos críticos: x — —1 , x – 4 /3 y x = 20
El análisis de los signos de / ‘( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f ‘ ( x ) Crecimiento Puntos de Inflexión
( – 00; – 7 ) — decreciente 7) = 3 mín. reí.
( – 7 ; 4 /3 ) + creciente – r – - ; ‘/ ( 4 / 3 ) = 4,938 máx. reí.
(4 /3 ; 20) — decreciente _ – / ( 20) = 0 mín. reí.
(2 0 ; + 00) + creciente
c) / ” ( x ) =
‘ 4 (2 – x ) 3/ 2 ‘
1568
2 7 (x + 8) 5/,3(x — 2 0 ) 4/3
1 0 (x 2 — lO x + 340)
x < —7
— 7 < x < 20
x > 20
V 4 9 (x 2 – lO x – 2 0 0 )13/ 7 ‘
Puntos críticos de inflexión: x = —7 y x = 20.
El análisis de los signos de f ( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de / ” ( x ) Concavidad Puntos de Inflexión
( – 00; – 7 ) _ fl
( – 7 ; 20) – n No existe
(20; + 00) – .fl
La gráfica se muestra en la figura 7.31.
7.5 C O N D IC IO N ES SU FIC IEN TES PARA CON CA V ID A D , PU N TO S DE
IN FLEX IÓ N Y EX TR EM O S CON LA DERIVADA n-ÉSIM A
Hay situaciones en que las condiciones de las secciones 7.2 y 7.4 no son
aplicables. Por ejemplo, en la función / ( x ) = (x — 3) 4 no es posible aplicar el
criterio de la segunda derivada para hallar sus valores extremos. En lo que sigue,
se verá un criterio para determinar los valores extremos, la concavidad y los
puntos de inflexión con la ayuda de la n-ésima derivada.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Proposición 6 (Condición suficiente de concavidad y puntos de inflexión con
la n-ésima derivada)
Si / : R -> R, con dominio D, tiene las siguientes condiciones:
a) Derivadas continuas hasta el orden n en una vecindad B(c; 8) a D
b) f ” ( c ) = f ” ‘ ( c ) = — / (n_l5(c) = 0
c) /í ” ) ( c ) * 0
Entonces,
I) Si n es par y / (nJ(c) > 0, entonces / es cóncava hacia arriba en x = c.
II) Si n es par y / (n)(c) < 0, entonces f es cóncava hacia abajo en x = c.
III) Si n es impar, existe punto de inflexión en x = c.
Demostración
Sea u (x ) = / ( x ) - / ( c ) - / '( c ) ( x - c) p a r a x e D ... (14)
La hipótesis (a) nos permite desarrollar / por la Fórmula de Taylor con resto de
Lagrange de orden (n - 1) en la vecindad B(c; 8) como
( x - c ) n
/(x ) = / ( c ) + / ' ( c ) ( x - c ) + ...+ j^ -C x -c )" -1 + — —— f W [ c + 6(x - c ) ] ,
con 0 < 6 < 1.
Sustituyendo esta expresión en (14) y teniendo en cuenta la hipótesis (b), se tiene
(x - c)n
u (x ) = — —— / (n)[c + 0(x — c)J, 0 < 6 < 1
Como f (n) es continua en B( c; 8) , existe una vecindad B f c ; ^ ) cz B (c ;5 ) en la
cual / (nJ(x) y / (n)(c) tienen el mismo signo que / n (c). Luego:
I) Si n es par y / n (c) > 0, entonces u (x ) > 0 , V x 6 B f c ; ^ ) A x c ; es
decir, f es cóncava hacia arriba en x = c.
II) Si n es par y / n (c) < 0, entonces u (x ) < 0 , Vx G B^c-.Si) A x í c ; es
decir, / es cóncava hacia abajo en x — c.
III) Si n es impar, u (x ) tiene signos diferentes para x < c y para x > c (teniendo
en cuenta que (x — c )n es positivo o negativo según si x > c ó x < c,
V x G S í c ; ^ ) ) . En otras palabras, en x = cexiste un punto de inflexión
para / .
297
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
Proposición 7 (Condición suficiente de extremo y puntos de inflexión)
Si / : D -> R tiene las siguientes condiciones:
a) Derivadas continuas hasta el orden n en una vecindad B(c; 8) c: D
b) f ‘ ( c ) = f ” ( c ) = … = / (n-1)(c) = 0
c) f nKc) o
Entonces,
I) Si n es par y / n (c) > 0, entonces c es un punto de mínimo de / .
II) Si n es par y / n (c) < 0, entonces c es un punto de máximo de / .
III) Si n es impar, en x = c existe punto de inflexión.
Demostración
Como f ' ( c ) = 0, entonces u (x ) = / ( x ) — / ( c ) , V x 6 B ( c ; 5 ) . Aplicando la
proposición anterior, tenemos:
I) Si n es par y / n (c) > 0, existe una vecindad B C c ;^ ) c B( c ; 8) tal que
/ ( * ) _ / ( c ) = u ( x ) > 0, V x £ B(c; 8t ) A x * c. Luego. Vx e £ ( c ; < ' > 1)
con x ^ c, se tiene / ( x ) > / ( c ) ; es decir, c es un punto de mínimo de / .
II) Si n es par y / n (c) < 0, existe una vecindad B C c ;^ ) c B ( c , 8 ) tal que
/ ( x ) - / ( c ) = u ( x ) < 0 , V x £ B (c ;5 0 con x * c; es decir, c es un punto
de máximo de / .
III) Si n es impar, en x = c existe punto de inflexión, es decir. P ( c ,/ ( c ) ) es
punto de inflexión donde la tangente es horizontal, pues f ' { c ) = 0.
Ejemplo 33. Determine los valores extremos de f ( x ) = (x — 3 )4.
Solución
/ '( x ) = 4 (x - 3 )3, / " ( x ) = 12(x - 3 )2, / '" ( x ) = 24(x - 3) y / (4)(x) = 24
La ecuación f ' ( x ) = 0 admite una única solución en x = 3 (punto crítico).
Como / '( 3 ) = / " ( 3 ) = / '" ( 3 ) = 0 . f (4j( 3) > 0 y n = 4 es par, entonces
existe un mínimo en x = 3, y el valor mínimo es / ( 3 ) = 0.
Ejemplo 34. Determine los puntos de inflexión de / ( x ) = (x — 3 )5 -f 4.
Solución
/ ‘( x ) = 5 (x – 3 )4, / ” ( x ) = 2 0 (x – 3 )3, f ” \ x ) = 6 0 (x – 3 )2,
/ (4,(x) = 120(x – 3) y / (S,(x ) = 120.
Como / ” ( 3 ) = / ” ‘( 3 ) = / C4,( 3) = 0 , / (5J(3) ? 0 y n = 5 es impar, entonces
en x = 3 existe punto de inflexión en x = 3. Por tanto, P (3 ; 4) es punto de
inflexión y la tangente en este punto es horizontal, pues / ‘( 3 ) = 0.
298
Ejem plo 35. Determine los valores extremos de / ( x ) = 6 – (x 4- 2 )6.
Solución
/ ‘( x ) = —6(x + 2 )5, / ” ( x ) = —30(x + 2 )4, / ‘” ( x ) = – 1 2 0 ( x + 2 )3,
/W ( x ) = —3 6 0 (x + 2 )2, / ( 5>(x) = —720(x + 2) y / ^ ( x ) = – 7 2 0
La ecuación / ‘( x ) = 0 admite solución única en x = – 2 (punto crítico) y como
/ ‘ ( —2) = / ” ( —2) = … = / (s)( – 2 ) = 0, / ^ ( – 2 ) < 0 y n = 6 es par,
entonces x = —2 es un punto de máximo, y el valor máximo es / ( —2) = 6.
7.6 TRA ZA D O DE LA G R Á FIC A DE UNA FUNCIÓN
La construcción de la gráfica de una función es muy importante, pues con ella
podemos determinar el comportamiento de la función. Se construye la gráfica con
la ayuda de los límites y de las derivadas.
El procedimiento a seguir es el siguiente:
1) Determinar el Dominio de / (Dr ).
2) Determinar las intersecciones con los ejes.
3) Verificar la simetría de la función, la existencia de asíntotas, y calcular límites
en los extremos del dominio y en los puntos de discontinuidad, a fin de
determinar el comportamiento de la función en dichos puntos.
4) Determinar los intervalos de crecimiento y los valores extremos de la función.
5) Determinar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
6) Construir la gráfica de la función (con la ayuda de la información obtenida).
x 2 — x — 2
Ejemplo 36. Trace la gráfica de la función /( x ) = --------- — .
Solución
1) Df = R - {5}.
2) Intersecciones: x = 0 => / ( 0 ) = 2 /5 y / ( x ) = 0 = > x = – 1 V x = 2.
Los puntos de intersección con los ejes coordenados son: (0; 2 /5 ), ( —1; 0) y
(2 :0 ).
3) La gráfica de / no es simétrica con respecto al eje y, pues / ( —x ) / ( x ).
Asíntota vertical: x = 5 porque lim / ( x ) = —oo y lim / ( x ) = +oo.
x-*S~ x-*S+
A síntotas horizontales: no tiene, pues lim / ( x ) = -oo y lim f ( x ) — +oo. x —-ao x-*+co
A síntotas oblicuas: y = x + 4 es la única asíntota oblicua (a la derecha y a
f(x)
y a la izquierda), pues lim ——= 1 y lim (/(x ) – x) = 4.
X-*±OG X *-»±00
APLICACIONES DE LA DERIVADA
299
TOPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
4) / ‘( * )
lOx + 7
(x – 5)2
Puntos críticos: x = 5 – 3V2 = a y x = 5 + 3V2 = /?
El análisis de los signos de / ‘( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f ‘ ( x ) Crecimiento Extremos
(-o o ; a)
(a: 5)
(5: /?>
+ creciente
+ creciente
- - ’•/(/?) — 17,6 m áx.
5) C o m o /"(x )
36
-, no existe puntos críticos de inflexión.
( * - 5 ) 3 '
En la siguiente tabla, se muestra el análisis de los signos de / " ( x ) .
Intervalo Signo de / " ( x ) Concavidad Puntos de Inflexión
(-oo; 5) - n no tiene puntos de
(5; +oo) + U inflexión
6) La gráfica de f se ilustra en la fig. 7.32.
E jem plo 37. Trace la gráfica de g( x) =
x 2 — 4
Solución
1) Dg = K — (2, —2}
2) Intersecciones con los ejes: (0; 0)
3) La gráfica de g no es simétrica con respecto al eje y porque g ( —x ) =£ g( x) .
A síntotas verticales: x = 2 , x = — 2 , pues
lim o(x) = —co, lim o(x) = -feo, lim g( x) = —oo, lim g{x) = + o o
x->2~ x->2+ x-*-2~ X-»-2+
300
A sín to ta h o riz o n ta l: y = O.pues *l-*im+c og( x) = 0.
No tiene asíntotas oblicuas.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
+ 4
4) g (x) _ 4)2 j–. –N–o– -h-aJy * p”-u–n–t-o-s– -c-r-í-t-i co s Jy »g ‘v(x-v) ^< 0, V x e DL.Sg.-
Luego, g es decreciente en (-co ; -2>, ( – 2 ; 2} y (2; + o o ).
n ,,r , 2x(x2 + 12)
5 > 9 ( ^ – 4 ) 3
Punto crítico de inflexión: x = 0
El análisis de los signos de f ” ( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de / ” ( x ) Concavidad ¡ Puntos de Inflexión
(-0 0 ; – 2 )
( – 2 : 0 )
(0; 2)
(2; + o o )
+_
+
n |
^ ‘ , ‘ ; ; : t – ‘ P ( 0 : 0 ) e s P . i .
u
6) La gráfica se muestra en la fig. 7.33.
*2 j | Q
E jem plo 38. Trace la gráfica de f ( x ) = —————-.
6 ‘ J x 2 – lOx + 9
Solución
1) Df – R – {1:9}.
2) Intersecciones con los ejes: (0; 1), ( – 9 : 0 ) y (—1; 0).
3) La gráfica no es simétrica respecto al eje y.
A síntotas verticales: x = 1 y x = 9, pues
lim / ( x ) = + oo, lírn /( x ) = -oo , l i m / ( x ) = – co y lim f(x ) = +oo
x-*l~ X->1+ x->9~ x->9+
Asíntota h o rizonta l: y = 1, pues *-l4i m+ C O/ ( x ) = 1
4) / ‘ ( x ) = -
2 0 ( x – 3)(x + 3 >
(x — l ) 2(x — 9 )2
Puntos críticos: x = — 3 y x = 3
El análisis de los signos de / ‘( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de / ‘( x ) Crecimiento Extremos
(-o o ; – 3 ) _ d e c re c ie n te —.
< - 3 ; l ) + creciente -* “/ ( —3) = —1 /4 mín.-
(1 :3 ) + creciente----------- - / ( 3 ) = —4 máx.
(3 :9 ) — d e c re c ien te -''
(9; +co) - decreciente
301
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
4 0 (x 3 — 27x + 90)
(x — l ) 3(x — 9 )3
La ecuación f " { x ) — 0 admite una única raíz c = —6,406 ....
El análisis de los signos de / " ( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f " ( x ) Concavidad Puntos de Inflexión
(—oo; c) _ n
(c; 1) + ........ 3 P. l.en x = c
(1 :9 ) n I
(9; +oo) -f u
6) La gráfica se muestra en la fig. 7.34.
Ejem plo 39. Grafique la función f ( x ) = Vx4 - 1 7 x 2 + 16.
Solución
1) Df = ( —oo; —4 ] U [ - 1 ; 1] U [4; +oo).
2) Intersecciones con los ejes: (0; 4), (± 1 ; 0), (+ 4 ; 0).
3) Es simétrica respecto al eje y, pues / ( —x) = / ( x ).
A síntotas: no tiene.
4) / '( * ) =
lim / ( x ) = +oo
*-»±00
x (2 x 2 - 17)
V (x 2 - 1 6 )(x 2 - 1)
Punto crítico: x = 0.
El análisis de los signos de / '( x ) se muestra en la tabla siguiente.
302
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Intervalo Signo de / '( x ) Crecimiento Extremos
(—co; —4) - decreciente
( - l ; 0 ) + creciente------_
(0; 1> — decreciente r – - / ( 0 ) = 4 mín.
(4; +oo) + creciente
, 2×6 – 51×4 + 96×2 – 272
/ ( * ) = — ,
V (x2 – 16)3(x 2 – 1)3
La ecuación / ” ( x ) = 0 admite dos raíces reales x = + 4 ,9 ..= ± a , que son
los puntos críticos de inflexión.
El análisis de los signos de f ” ( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f ” { x ) Concavidad Puntos de Inflexión
(—00; – a )
( – a ; —4)
+ U ——-

( – 1 : 1 ) – R
(4; a )
(a; +oo) + ü ……….
6) La gráfica de la función se muestra en la figura 7.35.
Ejem plo 40. Trace la gráfica de
I’ V x + 38 , x < —11
/ ( * ) = W 2 5 - (x + 7 )2, - 1 1 < * < - 3
v 12 - x 2 , x > – 3
Solución
!) Df — IR y / es continua en D¡.
2) I n te rs e c c io n e s c o n lo s e je s: (0 ; 1 2 ) , ( – 3 8 ; 0 ), ( v T 2 ; 0 ).
303
TOPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
3) No tiene asíntotas, lim f ( x ) = – oo.
4) f ‘ ( x ) =
3 \¡(x + 38)2 ‘
x + 7
x < -1 1
- 11 < x < - 3
V25 - (x + i y ’
L—2x , x > — 3
Puntos críticos: x = —38 , x = —1 1 , x = — 7 , x = — 3 y x = 0.
El análisis de los signos de / ‘( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo , Signo de / ‘( x ) Crecimiento Extremos
(—<*>; – 3 8 )
(*—38; —11)
( – 1 1 ; – 7 )
( – 7 ; – 3 )
(~ 3 ; 0)
(0; +oo)
+ + + 1 + 1
creciente
creciente
decreciente
creciente – r r r r ‘
decreciente
Máx. / ( – 7 ) = 7
- – ‘ Máx. / ( 0 ) — 12
5) / ” ( * ) =
9 3V(x + 3 8 )5 ‘
25
x < -1 1
- 11 < x < - 3
V [25 — (x + 7)2]3 ’
V—2, x > – 3
Puntos críticos de inflexión: x = —3 8 , x = —11 y x — —3.
El análisis de los signos de / ” ( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f ” ( x ) Concavidad Puntos de Inflexión
( – o o ;- 3 8 ) + ti
( – 3 8 ; – 1 1 ) — n ………. :=■ ( – 3 8 ; 0) es P.I.
( – 1 1 ; – 3 ) – n
( – 3 ; +oo) – ñ
6) La gráfica se muestra en la figura 7.36.
Ejem plo 41. Trace la gráfica de la función / ( x ) = V x3 + 2 x 2 — 4x – 8.
Solución
1) Df = R y / ( x ) = l](x + 2 )2(x – 2) es continua en IR.
2) Intersecciones con los ejes: (0; —2) , (—2; 0) y (2; 0).
3) No tiene asíntotas verticales ni horizontales.
lim / ( x ) = —oo, lim / ( x ) = +oo
X-+-00 X-»+0O
304
A síntotas oblicuas: y = x + 2 /3 (a la derecha y a la izquierda), pues
,l im -/-(-*–)-= 1 y lim (/(x ) – x) = 2/3 *-*±oo X *-»±00
APLICACIONES DE LA DERIVADA
4) / ‘( * ) »
3×2 + 4x – 4 (3x – 2)
3 V (x3 + 2×2 – 4x – 8)2 3 (x – 2 ) ^ (x + 2 )i/3
Puntos críticos: x = – 2 , x = 2 /3 y x = 2.
El análisis de los signos de / ‘( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de / ‘( x ) Crecimiento Extremos
( – o o ;- 2 ) + creciente
< -2 ;2 /3 ) — decreciente - -' / ( —2) = 0 máx.
(2 /3 ; 2) + creciente------ » / ( 2 / 3 ) = 2,11 mín. relat.
(2: +oo) + creciente
5) / " ( * ) = -■
32
9 ( x - 2)5/3( x + 2)4/3
Puntos críticos de inflexión: x = — 2 y x = 2
El análisis de los signos de / " ( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f " { x ) Concavidad Puntos de Inflexión
( - o o ; - 2 ) + t)
( - 2 ; 2) +
(2; +co) R - " "
6) La gráfica se muestra en la figura 7.37.
305
Ejem plo 42. Mediante la derivada, demuestre que f ( x ) = - 2 x 3 4- 5x2 4- 4x + 1
admite una única raíz a comprendida entre 3 y 4.
Solución
Considerando que la raíz de / ( x ) es la intersección de su gráfica con el eje x,
mostraremos que la gráfica interseca al eje x en un solo punto, y este punto está
comprendido entre 3 y 4. En efecto,
/ '( * ) = - 6 x 2 4- lOx 4- 4 = - 2 ( x - 2 )(3 x + 1)
Los puntos críticos son x — —1 /3 y x = 2. En la siguiente tabla, se muestra el
análisis de los signos de / '( x ) .
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
Intervalo Signo de / '( x ) Crecimiento Extremos
{—co; —1 /3 )
( - 1 / 3 : 2 )
(2; 4-°o)
4-
decreciente —
creciente
d ecrecien te---'
- - / ( —1 /3 ) = 8 /2 7 mín.
- '/ ( 2 ) = 13 máx. relat.
Como —1 /3 es un punto de mínimo, 0 < / ( —1 /3 ) < / ( x ) , V x 6 ( —co; 2].
Luego, f no tiene raíces reales en (—co; 2],
Puesto que / es decreciente en (2; +oo) y lim / ( x ) = —oo, X-» + 0O entonces f admite
una única raíz real en el intervalo (2; +oo). Como / ( 3 ) = 4 y / ( 4 ) = —31, se
concluye que / admite una única raíz real que está comprendida entre 3 y 4 (Fig.
7.38).
Ejem plo 43. Sea / : ( a ; b) -» R una función tal que / '" ( * ) > 0 , V x & (a; b). Si
existe c e (a; b) con la condición / ‘( c ) = / ” ( c ) = 0, pruebe que / es creciente
en (a; b).
Solución
Puesto que / ‘” ( x ) > 0 , V x 6 (a; b ), se sigue que / ” es creciente en (a; b >, esto
es / es cóncava hacia arriba en (a; b). Como / ” ( c ) = 0, se tiene
f ” ( x ) < 0, V x e ( a ; c ) y / " ( * ) > 0, V x € ( c ; b )
Por lo tanto, / ‘ es decreciente en (a; c) y / ‘ es creciente en (c; b). Considerando
que f ‘ ( c ) = 0, se cumple que / ‘( x ) > 0 , V x £ ( a ; c ) y / ‘( x ) > 0 en (c; ¿).
Luego, / es creciente en (a; c) U (c; í>) y, por ser / continua en (a; ¿), resulta que
/ es creciente en (a; b).
306
E JE R C IC IO S
APLICACIONES DE LA DERIVADA
1) Determine la concavidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones.
a) / ( * ) – 3 x 4 — lO x3 – I 2 x 2 + lOx + 9 R. 3 P .l.e n x = — – , x = 2
,____ V2
b) f ( x ) = 4Vx 4- 1 — — x 2 – 1 R. 3 P. I. en x = 1
, 3x + 1 1 + 3j 5 / 2
c) f ( x ) = ( 2x + l ) 2 – R. 3 P. I. en x = ——-1——
d) / ( x ) = _+^ ;- R. 3 P . I . e n x = – 2
e) / ( x ) = ^ 1 R. 3 P. 1. en x = – 3
x ¿
x L “H 4
2) Pruebe que f ( x ) = —- —— admite dos puntos de inflexión en cx y c2, Con
1 + Sx^
- 1 < Cj < 0 y 0 < c2 < 1.
3) Sea f ( x ) = x 4 4- a x 3 4- fcx2 4- 2x - 2.
a) ¿Qué condiciones deben satisfacer a y b para que exista punto de inflexión
en x = 1? R. 3 a 4 b = - 6
b) ¿Existen a y b de modo que en x = 1 haya punto de inflexión con
tangente horizontal en dicho punto? R. a — — 3 , b = 0
4) Si / ( x ) = a x 3 4- b x 2, determine a y b de modo que la gráfica de / tenga un
punto de inflexión en (1; 2).
5) Si / ( x ) = a x 3 4- b x 2 + cx , determine a, b y c de manera que (1; 2) sea
punto de inflexión de la gráfica de / y la pendiente de la tangente en dicho
punto sea —2.
6) Sea / ( x ) = |x |“ |x — l | b, donde a y b son números racionales positivos.
Demuestre que / tiene un valor máximo relativo igual a la expresión
a ab b
(a 4- fa)a+b
Trace la gráfica de las siguientes funciones.
x 3
7) /■(*) = —------ R. máx. en x = - V 3 , mín en x = V I y P. I. en x = 0
x z — 1
x 2
8) / ( * ) = ----- - R. max en x = 0 y min en x = 4
4 x - 12
9) /( x ) = (X ' 2 y R-max-en * = 4
307
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 1
X 2 - 4
10) / ( x ) =
A . ----
i d m =
12) f ( x ) =
3
x 5 - 3 2
R. x = 0 es punto de mín reí.
R. x = 0 punto de mín abs.
R. x = - 2 \] 2 /3 punto de máx reí. y P. I en x = 2
8 x 2
13) f ( x ) = ( x 2 - l ) ( x 2 - 9)
R. máx local en x = 0 , mín local en x = ±V5 y P. I. en x = ± J S / 3
14) / ( x ) = V x 3 - x 2 - 5x + 5
16) /( * ) =
18) / ( x ) =
20) / ( x )
jl6 x 2 + 4x — 6
yj 9 x 2 - 6x - 8
x 4 - 5x2 4- 4
x 2 + 2x — 24
(x — l ) 2 , x < 1
— Vx + 1 , X > 1
15) / ( x ) = V x 3 – 2 x 2 – 4x -i- 8
17) / ( x ) -
9×2 — 6x
19) / ( x ) =
21) / ( x ) =
j 16×2 + 4x — 6
4 j 20 + x – x 2
x 2 + 4x – 12
2|x – 2|
x 2 + 4
22) / ( x ) = V 4 x 3 – 12x
24) / ( x ) = V5 + x — V8 – x
23) / ( x ) = Vx + 1 – V x ^ 7 !
25) / ( x ) = (x + 2 )V ^ x
26) / ( x ) =
r|x “i- 6 j ,
6 ,
— 6 < x < — 3
- 3 < x < 0
x 4 — 6 , 0 < x < 3
66 - x 2 - 6x , 3 < x < 6
6 6 , |x| > 6
f V x + 42 ,
4
27) / ( x ) =
x < - 1 0
\]2 S - (x + 7 )2 , - 10 < x < - 2
- , x > – 2
x
3 0 8
7.7 INTERPRETACIÓN CINEMÁTICA DE LA DERIVADA:
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
Supongamos que una partícula P se mueve sobre una recta orientada, en la cual se
11 ¡a un origen 0, y que la abscisa de P en cada instante t está dada por la ecuación
S = f ( t ) .
M’l IL ACIONES DE LA DERIVADA
s i
s ~f(t)
M—————————— M
k
!1 \1 / + A t // k.
— ——————————– ———► °
O P
…. ! \ j y
Fig. 7.39
I i velocidad media de la partícula entre los instantes t y £ -r At se define por el
cociente
A t + At) – f ( t )
At
Vm = —— 1 , At * 0
Se denomina velocidad de la partícula en el instante t o velocidad instantánea
en t al límite
f ( t + A t ‘ ) – f ( t )
v ( t ) — lim ———- ————-= lim Vm
K At-*0 At At-0 m
En otras palabras, la velocidad instantánea en t es la derivada de / en t o
dS
v ( t ) = f (t) = —
Suponiendo que la velocidad es una función v = v ( t ), la aceleración en el
instante t es definida como la derivada de la función v (t), o sea:
d ( v ( t) ) d 2S
Ejemplo 44. Una partícula P se mueve sobre el eje OX. de modo que en el
instante t la abscisa es dada por S (t) = t 3 – 2 1 12 -i- 1 2 0 t , t > 0. donde S está
en metros y t en segundos.
a) Calcule la velocidad en el instante t = 2.
b) Determine para qué valores de t la velocidad es positiva y para qué valores de
t es negativa.
c) Determine la aceleración de la partícula y analice su signo.
3 0 9
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
Solución
a) u ( t) — S ‘ ( t ) = 3 t 2 — 4 2 1 + 120 => v( 2) = 4 8 m /s
b) 5 “(í) = 0 => ^ = 4 , t 2 = 10.
+ — +
Signo de v (t): 1—————1———————- 1————- ►
0 4 10
La velocidad es positiva cuando t 6 (0; 4) U (10; +co) y es negativa cuando
t 6 (4; 10).
c) a ( t) = v ‘ ( t ) = 6 t — 42 = 0 => t = 7
— +
Signo de a ( t) : |————————- 1————————– ►
0 7
a (t) < 0 si t £ (0; 7) y a (t) > 0 si t £ <7; +oo).
7.8 RAZÓN DE CA M B IO
La derivada también se utiliza para determinar la razón de cambio instantánea o
simplemente razón de cambio de una variable respecto a otra. Por ejemplo, se usa
para calcular velocidades de objetos en movimiento rectilíneo, crecimiento de
poblaciones, ritmo de cambio de una producción, etc. Para definir este concepto,
supongamos que las variables x e y están relacionadas por y = f ( x ) . Si x cambia
de x x a + Ax, entonces el cambio correspondiente de la variable y es
Ay = / O í + Ax) - / O í )
Así, la razón o tasa promedio de cambio de y con respecto a x cuando x cambia
de Xj a Xj + A x es dada por
Ay f O í + Ax) - f O í ) cambio en la variable y
Razón prom edio = —— = ------------ ------------------------------ = ---—--------- :—r-¡—
Ax Ax cambio en la variable x
Al límite de esta razón de cambio se le llama razón instantánea de cambio de y
con respecto a x en x = x x, esto es.
Ay / O í + Ax) — / O í ) , , ,
Razón instantánea de cambio = lim — = lim -------------------------- a*-»o Ax ax^o Ax = / O í)
Por consiguiente, / 'O í ) es la razón instantánea de cambio de y — f O ) con
respecto a x cuando x = x x.
Ejemplo 45. Un cilindro circular recto tiene una altura constante de 10 u. Si V es
el volumen del cilindro y r es el radio de su base, halle la tasa de cambio
promedio de V respecto al radio cuando r cambia de 5 a 5,1. Además, halle la
razón de cambio de V respecto a r , si r = 5.
3 1 0
UBICACIONES DE LA DERIVADA
Solución
,i) V(r) = 1 0 n r 2
Si rx = 5 y Tj 4- Ar = 5,1 => Ar = 0,1. Entonces
AV V(rx + Ar) — K(7\)
Ar = ———– Ar———~ = 107r(2 ri + Ar) = 10l7r
Por tanto, la razón promedio de cambio de V respecto a r cuando r cambia de
5 a 5,1 unidades es de 1017T u 3.
ni K’ (r) = 2 0 n r => ’/ ‘( 5 ) = 100tt.
La razón de cambio de V respecto a r en r = 5 es de iO O ínr por unidad.
Ejemplo 46. Una partícula se mueve sobre la gráfica de y = v r , x > 0, de
modo que su ordenada y varía a una velocidad de 5 cm/s. Cuando y = 4 cm.
/.cuál es la velocidad de la abscisa x de la partícula?
Solución
3′—7 d y 2
Si y = V x 2, entonces — = , x > 0.
d x 3 Vx
.. , dy cm dy d y d x d x 3Vx dy
Se sabe que — = 5 — y — = —— — , de donde — = ———- -
d t seg d x d x d t d t 2 dt
d x 3V8
Si y — 4 => x — 8 A — = — — 5 = 15 cm/s.
d t 2
Luego, la abscisa cambia a una velocidad de 15 cm/s.
Ejemplo 47. Un poste de 6 m de altura tiene un farol en la parte superior. Un
hombre de 2 m de estatura se aleja del poste caminando a una velocidad de
1,2 m /s. Cuando la distancia de la base del poste a la punta de la sombra del
hombre es de 8 m.
a) GCon qué velocidad crece su sombra?
b) ¿Con qué velocidad se mueve la punta de la sombra con respecto al farol0
Solución
a) De la Fig. 7.40, se quiere conocer — , sabiendo que — = 1 , 2 A x 4 – y = 8
d t d t
y 2 x
Por semejanza de triángulos, se obtiene que ——- = – => y = -
x 4 – y 6 2 ’
Derivando con respecto a t la última igualdad, se obtiene — = – —
d t 2 dt
d x dy
Considerando que — = 1,2 m /s, entonces — = 0,6 m /s
u l d t
Luego, la sombra crece a razón de 0.6 m /s.
311
dw dx dy
b) Se pide hallar – r – , sabiendo que — = 1 , 2 , — = 0 , 6 y z = x + y — 8.
d t d t dt
TOPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
Por el Teorema de Pitágoras, w 2 = z 2 + 6 2 => w = V z2 + 36
Derivando con respecto a t, se tiene
d w z d z z / d x d y \
d t Vz2 + 36 d t Vz2 + 36 ‘ d t d t )
dx dy
Sustituyendo los valores z = 8, — = l,2 m /s y — = 0 ,6 m /s , se tiene
d t d t
dw 8
— = , (1,2 + 0,6) = 1,44 m /s
d t V82 + 36
Por tanto, la punta de la sombra se mueve a razón de 1,44 m /s con respecto al
farol.
Ejem plo 48. Un controlador aéreo sitúa dos aviones C y D en la misma altitud.
Debido a un error en la transmisión de datos, ambos convergen en su vuelo hacia
un mismo punto P en ángulo recto (Fig. 7.41). El controlador detecta que el avión
C viaja a 450 km/h y el avión D. a 600 km/h.
a) ¿A qué ritmo varia 1a distancia entre los dos aviones cuando C y D están a 150
km y 200 km del punto de convergencia, respectivamente?
b) ¿De cuánto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias
distintas?
Solución
a) Se quiere conocer , si — = —450, — = —600, x = 150 y z = 200.
J * d t d t d t
Por el teorema de Pitágoras, se obtiene que w 2 = z 2 + x 2 (*)
Derivando implícitamente (*) con respecto al tiempo t, obtenemos
d w d z d x
dx dz
Reemplazando los valores — = -4 5 0 k m /h , — = -6 0 0 k m /h , x = 150km,
dw
z — 200km y w = 250km , resulta que — = — 750km /h.
Por consiguiente, la distancia entre los dos aviones disminuye a razón de
750 km /h.
b) El controlador dispone de 1/3 hora = 20 minutos para cambiar la trayectoria
de los aviones, pues luego de ese tiempo los dos aviones llegarían al punto de
convergencia y colisionarían.
EJERCICIOS
En los ejercicios del 1 al 5, la posición de una partícula que se mueve sobre una
recta coordenada está dada por 5 = / ( t ) , donde s se mide en metros y t en
segundos.
a) Determine la velocidad de la partícula en el instante t.
b) Determine los intervalos para t donde la velocidad cambia de signo.
c) Determine la aceleración de la partícula y analice su signo.
d) Trace la gráfica de s ( t) .
1) s = 4 t 2 — 7 t + 8 2) s = 3 t 4 – 2 0 t3 + 3 6 t2
3) s = t 4 – 2 13 + t 2 4) s = t 2 + y (t > 0)
5) s = t 3 — 9 12 + 1 5 t + 2
6) Un punto se mueve sobre la gráfica de y = V9 4- x 2, de modo que su abscisa
x varía a una velocidad constante de 5 cm/s. Calcule la velocidad de la
ordenada y en el instante en que x = 4 cm.
7) Un punto se mueve sobre la curva y 4 – x = 0 , x > 0 , y > 0 , de modo que
dy
la velocidad de la ordenada — = /? (constante). Muestre que la aceleración
d t
d 2x
de la abscisa es = 12/?2Vx/?.
dt’-
8) Las posiciones de dos partículas Px y P2 sobre la recta coordenada, al cabo
de t segundos, están dadas por
Sr = 3 13 – 1 2 t2 + 1 8 t + 5 y S2 = – t 3 + 9 12 – 12t
¿En qué momento las dos partículas tienen la misma velocidad?
9) Un objeto que se lanza verticalmente hacia abajo desde la azotea de un
edificio con una velocidad inicial de v 0 pies/s, viaja según la ecuación
S = v 0t + 1 6 t2 pies en t segundos. Si toca el suelo a los 2,5s con una
velocidad de 110 pies/s, ¿cuál es la altura del edificio? R. 175 pies
APLICACIONES DE LA DERIVADA
313
10) La empresa XX estima que si gasta en publicidad 1000 x soles, venderá y
unidades de cierto artículo, donde y = 5 + 400x — 2 x 2. Determine la razón
promedio de cambio de y con respecto a x cuando el presupuesto para
publicidad aumenta de S/. 10000 a SI. 11000 y halle la razón de cambio
cuando el presupuesto para publicidad es de S/. 10000
R. 358 y 360
11) La utilidad bruta anual de la empresa Y Y, t años después del Io de Enero de
2006, es de p millones de soles y p = ^ t 2 + 2 t + 10. Halle la tasa a la cual
estuvo cambiando la utilidad bruta el Io de Enero del 2008 y determine la
tasa a la cual cambiará la utilidad bruta el Io de Enero del 2012.
R. 3,6 y 6,8
12) La ecuación de demanda de un de artículo es q – 100 – 3 p — 2p 2, donde q
unidades se demandan cuando p soles es su precio unitario. Calcular la tasa
de cambio instantánea de la demanda con respecto al precio cuando p = 5.
13) Si el agua de una piscina está siendo retirada y V litros es el volumen de agua
en la piscina t min. luego de iniciada la extracción, donde
V = 2 5 0 (1 6 0 0 – 8 0 t + t 2), ¿qué tan rápido fluye el agua fuera de la piscina
5 min. después de que comienza a ser extraída?
14) Un tendedor de alambres trepa a un poste telefónico a razón de 2,5 pies/s,
mientras su jefe está sentado bajo un árbol observándolo. Si el terreno es
llano y el jefe está a 36 pies de la base del poste, ¿cuántos segundos tiene que
trepar el tendedor de alambres para que la distancia entre él y el jefe crezca a
razón de un pie/s? R. 6,2847 s
15) Se echa agua a razón de 30 cm 3/s en una copa cónica de 10 cm de altura y de
un radio superior de 5 cm ¿A qué velocidad está subiendo el nivel cuando
está a 2 cm por debajo del borde? R. 15/871 cm/s
16) Se bombee aire a un globo, de modo que su volumen se incrementa en ‘’00
cm 3/s. Despreciando la compresión del aire, ¿a qué ritmo crece el raí/o
cuando el diámetro llega a 30 cm? R. 2/9k cm/s
17) Una ciudad tiene forma de un cuadrado de x kms de iado. A causa de!
crecimiento de la población y la construcción de suburbios, x está creciendo a
razón de 1/2 km/año. Halle la razón de incremento del área urbana cuando
ésta ocupa 36 km 2. R. 6 km 2/año
18) Un aeroplano, que vuela en dirección norte a 640 millas por hora, pasa sobre
cierta ciudad al mediodía. Un segundo aeroplano, que va en dirección oeste a
600 millas por hora, está verticalmente sobre la misma ciudad 15 minutos
más tarde. Si los aeroplanos están volando a la misma altura, ¿con qué
rapidez se estarán separando a la-1:15 p.m.? R. 872 millas/hora
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
3 1 4
19) Un barco se dirige hacia el sur con una velocidad de 6 km por hora y otro
hacia el este, a 8km por hora. A las 16 horas, el segundo pasa por el punto
donde estuvo el primero dos horas antes. Se pregunta:
a) ¿Cómo varía la distancia entre ellos a las 15 horas?
R. decrece a razón de 2,8 km/hora
b) ¿Cómo varía la distancia entre ellos a las 17 horas?
R. crece a razón de 8,73 km/hora
c) ¿Cuándo la distancia no variaba? R. 15h. 17 minutos
20) Una escalera de 4 m de largo se apoya contra un muro vertical. Si la base
empieza a deslizarse a razón de 0,25 cm/s, ¿a qué velocidad cae la parte
superior de la escalera cuando la base está a 1,50 m del muro?
R. 0,10 m/s
21) Una partícula se mueve a lo largo de la curva 3y – x 3 + 2. Encuentre los
puntos sobre la curva en los cuales la ordenada está cambiando 9 veces más
rápido que la abscisa. R. (3; 2 9 /3 ) y ( – 3 ; – 2 5 / 3 )
22) La demanda de cemento está dada por la ecuación D – - 3 0 + 1 0 0 0 /p ,
donde D está en miles de bolsas y p es el precio por bolsa en soles. Si el
precio está subiendo a razón de un sol por bolsa a la semana, halle la tasa de
variación correspondiente a la demanda (en bolsas por semana) si:
a) El precio actual es de 20 soles por bolsa. R. 2500 bolsas por semana
b) El precio actual es de 25 soles por bolsa. R. 1600 bolsas por semana
23) Una bola cae verticalmente h = 4,90 t 2 metros en t segundos desde un
punto A, que está a 14,7 m sobre el suelo. Halle la velocidad de la sombra de
la bola cuando el sol está a 30° sobre el horizonte. R. 29,40 m/s
24) Una cometa que vuela a 100 m de altura es empujada horizontalmente por el
viento a una velocidad de 4 m/s. Si la cuerda se va soltando desde un punto
fijo, ¿a qué velocidad se aleja la cometa en el instante en que se han soltado
125 m de la cuerda? R. 2,4 m/s
25) Un peatón de 1,80 m de alto se aleja de una lámpara colocada a 5,4 m de
altura, a razón de 1,2 m/s. Si el peatón se encuentra a 7,2 m de la base del
poste de la lámpara, determine:
a) La velocidad del extremo de su sombra. R. 1,8 m/s
b) La razón del incremento de la longitud de la sombra. R. 0,60 m/s
26) Huyendo de un perro, una ardilla trepa por un árbol. El perro corre a razón
de 12 m/s y la ardilla, a razón de 6 m/s ¿Cuál será el cambio de la distancia
entre los dos cuando el perro está a 12 metros del árbol y la ardilla ha
trepado 5 metros? R. 8,77 m/seg
\ l ’l ICACIONES DE LA DERIVADA
3 15
27) Desde un dique, un pescador está jalando su bote con un cordel. Éste tiene
las manos 6 cm por encima del nivel del amarre de la proa, mientras recobra
cuerda a 1 m/s ¿A qué velocidad se estará acercando el bote cuando la
cuerda extendida mida 20 m? R. 5/4 m/s
28) Un gato, que va a una velocidad de 1,2 m/s por la calle, pasa a 0,9 m de un
poste que soporta un farol a 3,60 m sobre el gato ¿A qué velocidad aumenta
la distancia gato-farol un segundo después de que el gato pasó por el poste?
R. 0,369 m/s
29) Dos faroles de iluminación urbana, de 60 pies de altura cada uno, están a 100
pies uno de otro. La lámpara en lo alto de uno de los postes está
funcionando, mientras la del otro poste está sometida a reparación por un
trabajador. Si éste deja caer su caja de herramientas desde la parte más alta
del segundo poste, ¿con qué rapidez se mueve la sombra de la caja en el
instante en que la caja se encuentra a 20 pies del suelo? R. 60VTÓ pies/s
30) Una piscina tiene 25 pies de ancho, 40 pies de largo y 3 pies de profundidad
en un extremo y 9 pies en el otro, siendo el fondo un plano inclinado. Si se
bombea agua al interior de la piscina a razón de 10 pies cúbicos por minuto,
¿a qué velocidad se está elevando el nivel del agua cuando tal nivel es de 4
pies en el extremo más profundo? R. 0,015 pies/min
31) Sobre una pila de forma constantemente cónica cae arena a razón de 3 pies
cúbicos por minuto. Supóngase que el diámetro en la base del montón es
siempre tres veces su altura ¿A qué velocidad está aumentando la altura
cuando ésta ha llegado a los 4 pies? R. 1/1 2tc pie/min
32) Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto con
velocidad constante. Uno viaja hacia el sur a 60 km/h y el otro hacia al oeste
a 25 km/h ¿Con qué razón aumenta la distancia entre los dos automóviles 2
horas más tarde? R. 6.5 km/h
33) Una placa en forma de triángulo equilátero se expande a medida que
transcurre el tiempo. Cada lado aumenta a razón constante de 2 cm/h ¿Con
qué rapidez crece el área si cada lado mide 8 cm? R. 13,856.. cm 2/h
34) Un derrame de petróleo adopta una forma circular y tiene un espesor de 1/50
pie. Si el petróleo se está escapando a razón de 40 p ies3/m in , ¿a qué razón
está aumentando el radio de la mancha de petróleo, si éste es inicialmente de
50 pies?
R. 20/ti pies/min
35) Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por una estación de
radar situada en el suelo, a 4 millas de la rampa de lanzamiento ¿Cuál es la
velocidad del cohete cuando <_stá a 5 millas de la estación de radar y su
distancia aumenta a razón de 3600 millas/h? R. 6000 millas/h
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
3 1 6
APLICACIONES DE LA DERIVADA
7.9 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA ECONOMÍA
En economía es frecuente el uso de las funciones de costo, ingreso, utilidad, etc.
MI análisis marginal es la aplicación de la derivada para estimar la variación de
una función ante un incremento de una unidad en su variable independiente.
Por ejemplo, si C( x ) es el costo de producir x unidades, a la derivada del costo
C'(x) se denomina costo marginal. Para interpretar el costo marginal,
consideremos que la producción se incrementa en una unidad, es decir, si se
produce (x + 1) unidades, entonces la variación de costo es
AC = C(x + 1) - C(x)
Por lo visto en diferenciales (capítulo 5), este incremento puede ser aproximado
por C '(x), pues en el caso de A x = 1 se tiene
AC = C (x + 1) - C(x) = dC - C' ( x) Ax = C' (x)
En resumen, el costo marginal C' (x) es una aproximación a la variación del costo
cuando se produce una unidad adicional. También se interpreta como la
aproximación al costo de producción de la unidad (x + 1).
De manera similar, se tiene:
Si l ( x ) es la función ingreso, /'(x ) es el ingreso marginal
Si U{x) es la función utilidad, U'(x) es la utilidad marginal
Si P{x) es la función producción, P'(x) es la producción marginal
La interpretación para estas funciones marginales es similar a la del costo
marginal. Por ejemplo, la utilidad marginal es la aproximación al cambio en la
utilidad cuando la variable x se incrementa en una unidad.
Ejemplo 49. Si C(x) = 50x + 10000 es el costo total de producir x unidades,
entonces el costo marginal es C '(x) = 50.
(La producción de una unidad adicional hará que el costo aumente en 50 u.m.)
Ejemplo 50. Si C = 2 x 3 — 1 2 x 2 + 50x + 40 es la función de costo total, donde
x es el número de unidades producidas, halle:
a) La función costo marginal
b) El costo marginal cuando x = 6. Interprete el resultado obtenido.
Solución
a) La función de costo marginal es C '(x) = 6 x 2 — 24 x + 50.
b) C '(6) = 110
La interpretación de este resultado es que el costo aumenta aproximadamente
en 110 u.m., cuando la producción aumenta de 6 a 7 unidades. Otra
interpretación es que el costo estimado de producir la unidad 7 es de 110 u.m.
3 1 7
125x
Ejem plo 51. Si la función ingreso es I(x') = ----- - - 5x, donde x es la cantidad
x + 5
de productos vendidos, halle el ingreso marginal y la función demanda.
Solución
625
a) El ingreso m arginal es /'( x ) = ----------=- - 5.
(x + 5)
b) Considerando que el ingreso I = px . donde p es el precio unitario del
producto, entonces
125
p = ------- — 5 es la función demanda.
x + 5
7.9.1 ELA STICID A D
Consideremos que q = D (p) es la función demanda de un producto P. Se sabe
que ésta es decreciente.
Se-conoce como A q a la variación de q ante un cambio del precio Ap. De acuerdo
con la figura 7.42, A q = q2 — qx y A p = p2 ~ Pi- Se observa también que
Aq < 0.
En economía, se define la elasticidad de la dem anda como una tasa media de la
variación de ia cantidad con respecto a la tasa media de variación del precio, esto
es:
_ A q /q _ A q p
A p /p A p q
Sin embargo, esta definición es ambigua, ya que en la fórmula de e aparecen los
valores de p y q, y estos pueden ser tomados iguales a p x y qx ó p 2 y q2 ■ Esta
dificultad se resuelve mediante las derivadas.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
3 1 8
Definición 6. La elasticidad de la demanda, denotada por ed, es dada por
/ A q \ p dq p p
ed = I lim — — = --------= D (p) • -
\A p -> o A p ) q dp q q
Ejemplo 52. Si la ecuación de demanda es q = 500 — lOp, halle la elasticidad
de la demanda y calcule dicha elasticidad cuando p = 2.
Solución
dq p dq lOp
(lomo ed = ———y —— = —10, entonces ed = ———-
dp q dp q
Para p = 2, se tiene que q = 480 y la elasticidad en este punto es ed = —1 /2 4 .
Definición 7
a) Se dice que la demanda es elástica en el punto (p; q) si \ed \ > 1.
b) Se dice que la demanda es inelástica en el punto (p; q) si \ed \ < 1.
c) Se dice que la demanda tiene elasticidad unitaria en el punto (p; q) si
\ed \ = 1.
Observación 6
Si \ed \ > 1 (demanda elástica), significa que ante una variación porcentual en el
precio, será mayor la variación porcentual en la cantidad demandada.
Si | ed | < 1 (demanda inelástica), significa que ante una variación porcentual en
el precio, será menor la variación porcentual en la cantidad demandada.
Si \ed \ = 1 (elasticidad unitaria), significa que ante una variación porcentual en
el precio, la variación porcentual en la cantidad demandada es casi la misma.
En el ejemplo 52, la curva es inelástica en el punto (2; 480) y en el punto
(30; 200) la curva es elástica (ed = —1,5). Por consiguiente, aunque la curva de
demanda sea una recta, la elasticidad no es constante.
7.9.2 UTILIDAD M ÁXIM A
Como es natura!, el objetivo básico de cualquier empresa es maximizar su utilidad
total (lucro total) o minimizar la pérdida.
El punto importante para ¡a empresa es el punto donde la utilidad es máxima, y
esto ocurre cuando el costo marginal es igual al ingreso marginal.
Si designamos con U el lucro (ganancia o utilidad total), entonces
U( x) = I ( x) - C(x) (Ingreso - Costo)
Para maximizar la utilidad, se debe cumplir que U'(x) = 0 y U" ( x ) < 0.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
(U' (x) = 0 <=> /’( x ) – C ‘(x ) = 0 <=> /’( x ) = C ‘(x ))
3 1 9
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
Ejemplo 53. Supongamos que tenemos competición pura y que el precio p es
constante e igual a 100. El ingreso total de la firma es I = lOOx, donde x es la
cantidad vendida. Supongamos que el costo es C — 2 x 3 — 1 2 x 2 + 2 8 x + 40,
entonces
U = lOOx – 2 x 3 + 1 2 x 2 – 28x – 40 = 12x – 2 x 3 + 1 2 x 2 – 40
U’ = 72 + 2 4x – 6 x 2 = —6(x – 6 )(x + 2)
U’ = 0 =* x = 6.
Como U” = 24 — Í 2 x y Í7″(6) = – 4 8 < 0, se concluye que x = 6 maximiza
la utilidad y la utilidad máxima es 392.
Ejemplo 54. Consideremos ahora el caso de un monopolio, esto es, cuando el
precio del mercado no es constante (puede ser alterado por el monopolista).
Supongamos que el costo total es C = 0,25x2 + 35x 4-25 y p = 50 — 0,5*.
entonces.
U(x) = (50 - 0,5x)x - (0 ,2 5 x 2 4- 35x 4- 25) = - 0 ,7 5 x 2 4- 15* - 25
í/'( x ) = — 1 ,5 x 4 -1 5 y U'{x) = 0 => x = 10
Esta cantidad maximiza U, pues U “(1 0 ) = —1,5 < 0.
Luego, la cantidad que maximiza a la utilidad es x = 10 y la ganancia máxima es
U = 50.
EJERCICIOS
1) Si la función de costo total es C(x) = 0 ,lx 2 4- 5x 4- 200, determine el costo
promedio y el costo marginal.
500
2) Si la función de dem anda es q = ^ ^ - 30, determ ine el ingreso total y
el ingreso marginal.
10 - p
3) Calcule la elasticidad de la demanda, si la función de dem anda es q = — -—
5
cuando p = 5 y cuando p = 3.
4) Elasticidad de demanda constante. Consideremos ía función de demanda de
k
la forma q = — , donde k y a son constantes positivas. Demuestre que la
elasticidad de la demanda es constante en todos los puntos y calcule ed para ei
caso especial de k = 200 y a = 3. Interprete para a > 1, a = 1 y a < 1.
3 2 0
APLICACIONES DE LA DERIVADA
5) Si la dem anda es q = 200 - lOp y el costo prom edio es Cm = 5 4-----
50
determine la función de utilidad, el costo marginal y el ingreso marginal.
(>) Dada la función de costo total Ct = 100 4- 8x 4- 0 ,0 0 6 x 2, determine el costo
marginal, el costo medio, el punto de intersección de las dos curvas, y muestre
que éste coincide con el punto de mínimo de la función costo promedio Cm .
7) El costo total de un monopolista es Ct = 0 , l x 2 4- 5x 4- 200 y el precio de
venta de una pieza es p = 10 – 0,05x, siendo x la producción diaria.
Determine el valor de x que maximiza la ganancia.
8) Calcule la utilidad máxima de un monopolista cuya función de costo es
Ct = 0 ,5 x 2 4- 20x 4- 15 y el precio de venta de cada unidad es p = 30 — x,
donde x es la cantidad de productos.
9) La firma XX opera bajo libre competencia y el precio de venta de un producto
es p = 50. Si su función de costo total es Cc = 100 4- 3x 4- 0,5 x 2,
determine la utilidad máxima de de la firma.
10) La función de costo total de la firma YZ es 0.2.v2 +6.V + 100, donde x es dado
en kg. Determine la función de costo medio y el valor de x para el cual el
costo medio es mínimo.
11) En competencia perfecta, la firma XX puede vender toda su producción de
una cierta mercancía a un precio de S/. 100 la unidad. Si a diario producen x
unidades, el costo total de la producción diaria es x 2 4- 20x 4- 700 soles.
Halle el número de unidades que deberán producirse diariamente para que la
firma obtenga la máxima utilidad total diaria.
12) En situación de monopolio, la ecuación de demanda de un artículo es
p = 6 -O.2V.V-IOO , donde p dólares es el precio por artículo cuando se
demandan x artículos. Además, se sabe que x £ [100; 1000]. Si el costo total
de la producción es C(x) = 2x 4- 100 (dólares), halle ias funciones ingreso
marginal y costo marginal, y calcule el valor de x que maximiza la utilidad.
13) El costo fijo de un fabricante de juguetes es de 400 dólares por semana y los
otros costos llegan a los 3 dólares por cada juguete producido. Halle el costo
total, el costo promedio, el costo marginal, y determine el menor número de
juguetes que deben producirse a fin de que el costo promedio por juguete sea
menor que 3,42 dólares.
321
7.10 M ÉTO D O DE NEW TON PARA D ETER M IN A R LAS RA ÍC ES
REA LES D E / ( x ) = 0
Consideremos la ecuación f ( x ) = 0, donde / : ffi -> M es una función derivable.
Las raíces reales de la ecuación f { x ) = 0 son las intersecciones de la gráfica de
y = f í x ) con el eje x.
Sea a una raíz real desconocida de f ( x ) = 0. Si podemos encontrar una
aproximación x x para a , una mejor aproximación para a está dada por la
intersección x 2 de la tangente a y = f ( x ) en el punto (x 1; f ( Lx 1)’) con el eje x
(Fig. 7.44).
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
Puesto que x 2 es también una aproximación para a , entonces la tangente a
y = f ( x ) en (x 2, f ( x 2)) corta al eje x en x 3, y es una mejor aproximación para a
(Fig. 7.51). Aplicando este método un número suficiente de veces, la raíz a de
f ( x ) = 0 se puede calcular con tantas cifras decimales exactas como se desee.
Este método se debe a Isaac Newton y es conocido también como el m étodo de
las tangentes.
Sea Xj una primera aproximación para una raíz a de f ( x ) = 0. La tangente a la
gráfica de y = f ( x ) en (x x\ / ( x j ) es
y ~ f (x i) = / ‘O i ) ( x -
La intersección x 2 con el eje x se encuentra haciendo y = 0 en la ecuación
anterior. Resolviendo para x , se obtiene
3 2 2
Aplicando e l mi s n o método, la siguiente aproximación x 3 es la intersección de la
l,ingente a la gráfica de y = f ( x ) en el punto ( x 2, f ( x 2′)), y está dada por
f ( x 2)
■^3 — r
f ‘ ( x 2)
Y así sucesivamente, la n-ésim a aproximación está dada por
f\.xn- 1 )
donde n es cualquier entero positivo mayor que 1.
Ejemplo 55. Aproxime la raíz real de la ecuación 2 x 3 — x 2 + x — 3 = 0.
Solución
Sea f ( x ) = 2 x 3 — x 2 + x — 3. Puesto que / ( l ) = — 1 , / ( 2 ) = 11 y / es
continua entre 1 y 2, existe una raíz real a E (1; 2) de 3 x 3 — x 2 + x — 3 = 0.
Si x x = 1 es una primera aproximación de a, considerando que / ‘( 1 ) = 5, se
tiene
/ ( * i) … 1 6 _ – ,
* 2 Xl- f ‘ ( x i) 5 5 ’
Análogamente, como / ‘ ( l , 2) = 7,24 y /( 1 ,2 ) = 0,216 .tenem os
0,216
*3 = 1 . 2 – — = 1 .1 7 0 1
Observación 7
Para determinar una aproximación de una raíz real a de la ecuación f ( x ) = 0.
se debe tener en cuenta las siguientes recomendaciones:
1) Determinar un intervalo [a; b] de modo que f ( a ) y f(Jb) tengan signos
diferentes, ya que, por la continuidad de f , entre a y b existe por lo menos
una raíz real. El intervalo [a; b], en lo posible, debe ser el más pequeño
posible.
2) A l tomar a ó b como una primera aproximación a la raíz a comprendida en
[a; b], puede suceder que la tangente corte al eje x en un punto que se
encuentra fuera de! intervalo [a; b], por lo que la tangente debe ser trazada
en aquel extremo del arco donde coinciden los signos de la función y de su
segunda derivada.
3) Se debe evitar que dentro de [a; b] exista un punto de inflexión. Su existencia
puede hacer que la intersección de la tangente con el eje x esté fuera de [a; b].
APLICACIONES DE LA DERIVADA
3 23
TOPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
Ejem plo 56. Encuentre la raíz real de 2 x 3 – 15×2 + 24x — 20 = 0, con una
aproximación de tres cifras decimales exactas.
Solución
Teniendo en cuenta las recomendaciones dadas en la observación anterior y que la
gráfica de f ( x ) = 2 x 3 — l S x 2 + 24x — 20 (Fig. 7.45), la única raíz real a está
en el intervalo [5; 6], pues / ( 5 ) = —25 y / ( 6 ) = 16.
Escogemos como primera aproximación a = 6. Como / ‘( 6 ) = 60, entonces
16
* 2 = 6 – - = 5,733..
La raíz está en el intervalo [5,7; 5,73], pues /(5 ,7 ) = —0,1.. y /( 5 ,7 3 ) = 1,2.. .
Considerando como una segunda aproximación a x 2 = 5,73 y aplicando la
fórmula, se obtiene
*>= 5’7 3 – P M = s j o 3 6 –
Teniendo en cuenta que la raíz está entre [5,703; 5,7036] porque
/(5 ,7 0 3 ) = -0 ,0 2 0 0 1 5 .. y /(5 ,7 0 3 6 ) = 0,000825.. , la raíz con una
aproximación de 3 cifras decimales es a = 5,703.
Fig. 7 .4 5
EJERCICIOS
Calcule las raíces reales de las siguientes ecuaciones, con 3 cifras decimales
exactas.
1) x 4 + 2 x 2 – 6x 4- 2 = 0 , comprendida en [0; 1]
2) x 5 – x – 0,2 = 0 , comprendida en [1; 1,1]
3) x 4 + 2 x 2 – 6x + 2 = 0 , comprendida en [1; 2]
4) x 3 – 4 x + 2 = 0 , comprendida en [ - 3 ; 2]