Archive for ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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OBJETIVOS:
*Comprender los fundamentos y conocer los teoremas fundamentales sobre la circunferencia .
* Diferenciar la circunferencia del círculo
*Familiarizarse con los ángulos en la circunferencia y sus aplicaciones en la solución de problemas .
*diferenciar las posiciones relativas de dos circunferencias .
* Reconocer los cuadriláteros inscritos de los inscriptibles.
* Aplicar correctamente las propiedades de los cuadriláteros inscritos e inscriptlbles.
* Identificar las propiedades de los polígonos inscritos, ex inscritos y circunscritos.
* Aplicar correctamente los teoremas (Poncelet, Plthot , Steiner , ….,etc.)
INTRODUCCIÓN :
Las necesidades y los momentos en que se vive, hace que descubramos o inventemos cosas , es así como nace la rueda la cual se caracteriza por tener la forma de una circunferencia. Dicho objeto fue y es de mucha utilidad y así como él, hay otros objetos que adoptan esa misma forma tales como: los ventiladores, los timones de los carros, etc. En base a ello podemos notar que la circunferencia es una figura geométrica de mucha importancia.
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto del mismo plano llamado centro.
LUGAR GEOMÉTRICO :
Es el conjunto de puntos que gozan de una misma propiedad.
La circunferencia divide al plano en tres subconjuntos de puntos :
* Puntos interiores a la circunferencia.
* Puntos exteriores a la circunferencia.
* Puntos de la circunferencia.
CÍRCULO :
Es la figura formada por los puntos de la circunferencia y los puntos interiores a la circunferencia.


 Conocer las principales líneas notables asociadas a la circunferencia.
 Conocer las propiedades de los arcos y ángulos asociados a la circunferencia.
LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS
Una de las figuras más admiradas de todos los tiempos por su singular perfección ha sido la circunferencia. Desde la antigüedad, su circularidad fue objeto de adoración por el hombre al constatar que influía de forma decisiva sobre la vida humana.
Asimismo, la invención de la rueda en la Edad de Bronce ha supuesto uno de los mayores avances técnicos del hombre, lo que muestra la gran transcendencia que encierra esta figura.
En la actualidad, la encontramos en todos los campos de la técnica. Concretamente en arquitectura, aparece en rosetones, columnas de sección circular y otros ornamentos, donde desempeña un papel importante. Nosotros mismos, en 105 temas que anteceden, hemos hecho uso del compás para el trazado de circunferencias.
La circunferencia es la línea curva y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia de un punto interior llamado centro.
Con anterioridad vimos la equivalencia entre el apotema de un polígono regular y el centro y el radio de una circunferencia. Sin embargo, éstos no son los únicos elementos de la circunferencia. En la figura aparecen los más notables: centro, radio, cuerda, diámetro y arco. De la propia figura puedes deducir tu mismo la definición de cada uno de ellos.
Al igual que para Polígonos, en la circunferencia hablamos del perímetro como la longitud de ésta, la cual, a causa de su particular interés, estudiamos detalladamente en el siguiente apartado.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA.
EL NÚMERO p
Después de estudiar los elementos de una circunferencia se nos plantea el problema de averiguar cuál es la longitud de ésta, complicado problema ya que hay que vérselas ¡nada más ni nada menos que con el infinito! Sin embargo, nos atreveremos a ello de la mano del ingenioso Arquímedes (S. CXI a.C.), quien se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaución de polígonos regulares inscritos y circunscritos; es decir, por duplicación del número de lados de los polígonos como se muestra en la figura.

La longitud de la circunferencia está comprendida entre los perímetros de estos polígonos. La mayor o menor precisión dependerá del número de lados considerados. Arquímedes lo hizo para polígonos de hasta 96 lados, lo que le permitió conocer con gran aproximación la longitud de la circunferencia.
Arquímedes es sin duda alguna la máxima figura de la matemática griega y una de las mentes más preciadas de todos los tiempos. Nació en Siracusa en el 287 a.C. y murió en el 212 a.C. durante el saqueo de esta ciudad por los romanos con motivo de la 11 Guerra Púnica.
La obra de Arquímedes está caracterizada por una gran originalidad lo que denota su carácter de investigador en diversas ramas de la ciencia como geometría, aritmética, ingeniería e hidrostática. Esta última rama es la más reconocida de Arquímedes por su escrito De los cuerpos flotantes, en el que estudia científicamente el equilibrio de los cuerpos sumergidos y enuncia el célebre principio que lleva su nombre: “Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado”.
En geometría y aritmética sus escritos Sobre la esfera y el cilindro, Sobre las conoides y esferoides, Sobre las espirales, Sobre la medida del círculo, así como El Arenario, muestran la gran aportación de Arquímedes a las matemáticas.
En particular, El Arenario presenta el interés de crear un sistema de numeración que supera el de la época, al permitir manejar números tan grandes como el número de granos de arena que pueda llenar todo el universo. Así mismo expone un ingenioso procedimiento para determinar el diámetro aparente del sol, dando un valor bastante aproximado del mismo, lo que demuestra los conocimientos que Arquímedes poseía en astronomía.
Por último, mencionemos uno de los trabajos más originales e interesantes del sabio de Siracusa: una larga carta dirigida a Eratóstenes, hoy conocida con el título abreviado de Método, en la que Arquímedes expone un procedimiento, mezcla de consideraciones geométricas y mecánicas, mediante el cual llegaba a descubrir propiedades (áreas. volúmenes), centros de gravedad que luego demostraba rigurosamente con recursos estrictamente geométricos.
Si volvemos al Método de Exhaución utilizado por Arquímides para obtener la longitud de la circunferencia, deducimos simplemente calculando perímetros de polígonos, la siguiente tabla:

Observando el polígono de 768 lados, comprobamos que los terceros factores que aparecen en las columnas de perímetros son casi iguales.
Al final de este proceso tales factores son iguales, e indicamos dicho valor común con la letra griega p. De ahí que la longitud de la circunferencia sea:
L=22r
O también: L= 11D, donde es la razón de proporcionalidad entre la longitud y el diámetro de la circunferencia:
=
En 1596, Ludolf Van Ceulen continuó el método de Arquímedes y empleó el polígono de 1 073 741 284 lados para obtener el valor de con 35 cifras decimales. Concretamente obtuvo:
p=3,14159265358979323840264338327950288…
Semejante laboriosidad de cálculo ha hecho que al número se le conozca también como el número de Ludolf. Posteriormente se han conseguido mayor número de cifras decimales de utilizando métodos de cálculo superior y haciendo uso del ordenador.
Debido al ilimitado proceso utilizado, el número tiene una infinidad de cifras decimales.
En relación con este número, en el periódico Le Courrier Picard apareció publicado el siguiente artículo:
“Un japonés, Hideaki Tomoyori, ha batido un récord del mundo memorizando 15 151 cifras decimales de “Pi”: que constituye la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.
Tomoyori ha recitado tales cifras durante tres horas y diez minutos ante tres periodistas de la cadena de periódicos Yomiuri, batiendo asi el récord ostentado desde 1977 por el británico Michael John Pourtney con 5 050 cifras.
Él ha tenido la idea, de batir este récord leyendo una información relativa a que un estudiante canadiense, Luc Lapointe, de 17 años, había memorizado 8 750 cifras decimales, hazaña que no había sido aún homologada oficialmente.
El nuevo recordman, de 46 años, logró memorizar estas cifras por grupos de l0, traduciéndolas en palabras fonéticamente tratables. Así, las cifras 2, 9, 8 pueden ser pronunciadas en japonés “fu, ku, ya” y memorizadas “fukuya”, lo que quiere decir “sastre”.
Por otra parte, cada 100 cifras plegaba un dedo de la mano derecha, y cada 10 cifras un dedo de la mano izquierda para acordárse de dónde estaba. Se paraba cada mil cifras para descansar. Los periodistas lo constataban utilizando los cálculos hechos con un ordenador.
Tomoyori ha declarado tras su hazaña que pensaba poder memorizar hasta 100 000 cifras decimales.”
Le Courrier Picard, 15/6/79
Cabe suponer que en todos estos años transcurridos Tomoyori haya superado su proeza.

Definición:
Es el conjunto de todos los puntos pertenecientes a un plano, que equidistan de otro punto fijo del plano llamado centro. A la distancia constante de estos puntos al centro se denomina radio de la circuferencia

Centro: O
Radio:

En la figura se observa una circunferencia de centro “O”.

Cuerda :
Diámetro :
Flecha o Sagita :
Recta secante : L1
Recta tangente : L2
Recta normal : L3
Punto de tangencia : T

En la figura: : arco AB

POSTULADO
La medida en grados de un arco es la misma que la del ángulo central correspondiente.

ÁNGULOS INTERSECADOS CON LA
CIRCUNFERENCIA
1. Ángulo inscrito:
Ángulo cuyo vertice pertenece a la circunferencia y sus lados intersecan a ella

2. Ángulo sEmiinscrito:
Ángulo cuyo vertice pertenece a la circunferencia, un lado es tangente en el vertice del ángulo y el otro interseca a ella.

3. ángulo interior:
Ángulo cuyo vertice es un punto interior a la circunferencia y sus lados intersecan a ella.

4. ángulo exterior:
Ángulo cuyo vertice es un punto exterior a la circunferencia y sus lados pueden ser:
Primer caso:

 APB: Ángulo exterior.

Segundo caso:

 APB: Ángulo exterior.

Tercer caso:

APB: Ángulo exterior.

Propiedades

1. Si A y B son puntos de tangencia

2. Si A, B y C son puntos de tangencia se cumple:

3. Si las circunferencias son congruentes se cumple:

4. Si O1 y O2 son centros, además M es punto medio de se cumple:

5. Si A y B son puntos de tangencia se cumple:

1. En la figura, calcule: x. P y Q son puntos de tangencia.

2. En la figura, P y Q son puntos de tangencia. Calcule: x.

3. En la figura calcule: x si: f – q = 40º, P y Q son puntos de tangencia.

4. En la figura calcule: x si: P y Q son puntos de tangencia.

6. En la figura: , P y Q son puntos de tangencia. Calcule: x.

  A) 20º B) 30º C) 35º
D) 40º E) 45º

7. En la figura: . Calcule: x. A, C y T son puntos de tangencia.

  A) 110º B) 150º C) 135º
D) 140º E) 120º

8. En la figura: A, B, C, D y E son puntos de tangencia. Calcule: q.

  A) 15º B) 30º C) 20º
D) 36º E) 22º30’

9. En la figura ABCD es un cuadrado. Calcule la

  A) 127º B) 143º C) 135º
D) 152º E) 120º

10. En la figura: AB = TD. Si T es punto d etangencia, calcule: x.

  A) 40º B) 45º C) 50º
D) 55º E) 60º
• Identificar las propiedades de los polígonos inscritos, ex inscritos y circunscritos.
• Aplicar correctamente los teoremas (Poncelet, Pithot y Steiner)
Experiencia

BUSCANDO EL NÚMERO p
Los dibujos adjuntos sugieren un método para encontrar el número p. Basta medir la longitud L, del alambre que envuelve al cilindro y el diámetro D de éste. El cociente L/D, entre la longitud de la circunferencia y el diámetro de ésta, es el número p, ya que

El número p lo puedes encontrar en cualquier circunferencia, sea del tamaño que fuera. Compruébalo haciendo esta experiencia con cuerpos de sección circular de muy distinto tamaño.

Actividad

a. Puesto que la longitud de la circunferencia es L = 2pr, y recordando que una vuelta de circunferencia equivale a 360º, ¿cuál sería la longitud de un arco de amplitud 1º? Deduce que la expresión de la longitud de un arco de circunferencia de amplitud nº es:

b. La paradoja de p: Suponte que la Tierra está ceñida en el ecuador por una cinta. Cortando y añadiendo a esta cinta un pequeño trozo de 1m, al rodear nuevamente la Tierra produciríamos de una bella aureola. ¿Podría pasar un ratón entre la cinta y la Tierra? ¿Y si la Tierra se reemplazara por una bola de billar?

Al poner la cinta aureola a 1 m de distancia de la Tierra, ¿cuál será el exceso de longitud de dicha cinta sobre el ecuador? ¿Y en la bola de billar?

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA 1.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto de tangencia.

TEOREMA 2.- La perpendicular trazada desde el centro de una circunferencia a una cuerda biseca a ésta.

Consecuencia:

TEOREMA 3.- En una misma circunferencia a arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes.

Consecuencia:

TEOREMA 4.- En una circunferencia los arcos comprendidos entre rectas paralelas son congruentes.

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

TEOREMA 5.- Los dos segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto exterior son congruentes.

Si: son segmentos tangentes.
Þ

Consecuencia:

Si O: Centro
Þ Ù

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARIAS

1. Circunferencias exteriores.- Dos circunferencias son exteriores si la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios.

O1 y O2: Centros

2. Circunferencias Tangentes exteriores.- Dos circunferencias son tangentes exteriores si la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

O1 y O2: Centros

3. Circunferencias Secantes.- Dos circunferencias son secantes si la distancia entre los centros es menor que la suma de los radios y mayor que la diferencia.

O1 y O2: Centros

Circunferencias Ortogonales.- Son dos circunferencias secantes cuya distancia al cuadrado entre sus centros es igual a la suma de los cuadrados de sus radios.

Þ EL DO1PO2 es rectángulo

4. Circunferencia Tangente interiormente a otra.- Una circunferencia es tangente interiormente a otra si la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

5. Circunferencia interior a otra
Una circunferencia es interior a otra si la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

Circunferencias Concéntricas.- Son dos circunferencias cuya distancia entre sus centros es cero, es decir tienen el mismo centro.
O: Centro

Teoremas

1. Si: es cuerda tangente.
O: Centro

2. Si: es cuerda secante.
O: Centro

El equÍvoco del periodista deportivo

A menudo, en retransmisores deportivas, oímos expresiones como “… el jugador tiró a gol sin apenas ángulo de tiro…”, expresión no demasiado acertada, como veremos a continuación.

En el esquema adjunto y haciendo uso del transportador, mide los ángulos bajo los cuales se ve la portería desde los puntos P1, P2 y P3. Habrás observado, contra todo pronóstico, que los tres ángulos son iguales. Mediante regla y compás de los puntos anteriores. Justifica el equívoco apoyándote en la medida de ángulos inscritos en la circunferencia.
Los puntos del campo bajo los cuales se ve la portería con el mismo ángulo a, determinan un arco llamado arco capaz del segmento bajo el ángulo a.

CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
Es aquel cuadrilátero convexo cuyos vértices pertenecen a una circunferencia.

PROPIEDADES
1. En todo cuadrilátero inscrito se cumple que la suma de las medidas de sus ángulos opuestos es igual a 180º.

2. En todo cuadrilátero inscrito se cumple que la medida de un ángulo interior es igual a la medida de su opuesto exterior.

3. En todo cuadrilátero inscrito se cumple que las diagonales determinan con los lados opuestos, ángulos de igual medida.

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUNFERENCIA

Condiciones para que un cuadrilátero sea inscriptible:
1. Todo cuadrilátero convexo cuya suma de las medidas de sus ángulos opuestos es 180º; es inscriptible.

2. Todo cuadrilátero convexo cuya medida de uno de sus ángulos internos es igual a la medida de su opuesto exterior, es inscriptible.

3. Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales determinan con los lados opuestos ángulos de igual medida, es inscriptible.

Algunos cuadriláteros inscriptibles son los siguientes:

1. En la figura: BC = 8. Calcule: MN.

  A) 2 B) 4 C) 8
D) E) 16

2. En la figura: AB = 5, CD = 8. Calcule: q.

  A) 74º B) 36º C) 60º
D) 37º E) 53º

3. En la figura calcule el inradio del triángulo ABC. PQ = 2 y es la sagita de

  A) B) C) 1 D) 2 E)

4. En la figura: P, Q y L son puntos de tangencia, AM = 5, ML = 3. Calcule: PS.

  A) 10 B) 16 C) 12
D) E)

5. En una circunferencia de centro O se trazan el diámetro y la cuerda que se intersecan en P. , AP = 2 y AB = 10.
Calcule: PC.
  A) 3 B) 4 C) 5 D) 2,5 E) 6

6. En la figura, el triángulo ABC es equilátero, P y A son puntos de tangencia. Calcule la

7. En la figura, calcule: x.

8. En la figura, calcule: x.

9. En la figura, B es punto de tangencia. Calcule: x.

  A) 70º B) 80º C) 60º
D) 90º E) 100º

10. En la figura calcule x.