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IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA EL ANGULO COMPUESTO EJERCICIOS RESUELTOS DE NIVEL UNI PDF

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OBJETIVOS :
Al finalizar la unidad , el alumno será capaz de:

* Demostrar las identidades de las razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos.

* Aplicar las identidades de las razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos en la resolución de problemas analíticos y gráficos.
INTRODUCCIÓN :

Con este tema se concluye toda la Trigonometría plana que pensaba exponer; en él responderemos a las siguientes preguntas:
¿Además de las relaciones y propiedades trigonométricas estudiadas hay otras que interesan?
¿Por qué son necesarias tales propiedades y relaciones?
¿Para qué las usaremos?
¿Que ocurre en las razones trigonométricas cuando sus ángulos se suman o se restan?
¿Que ocurre en las razones trigonométricas cuando sus ángulos se multiplican o dividen por un número?
Responderemos: Las razones trigonométricas no gozan de la propiedad asociativa de la suma o del producto. Dicho de otra manera:
De la suma o diferencia de arcos, no se sigue la suma o diferencia de las razones. Si un ángulo se duplica no se duplica la razón.

Demostraciones :
De la figura:

Dividiendo entre :

Seno de la Suma
de Dos Ángulos
Si el ángulo del seno esta compuesto por otros dos ángulos “” y “” , entonces el seno de este ángulo compuesto se puede expresar en términos de “” y “”, así:

Ejemplos:
* sen3x = sen(2x + x) = sen2xcosx + cos2x senx

* sen40°=sen(25°+15°)=sen25°cos15°+cos25°sen15°

* sen4xcosx + cos4x senx = sen(4x + x) = sen5x

* sen10°cos6°+cos10°sen6° = sen(10°+6°) = sen16°

* sen 75°
sen75°=sen(45° + 30°)
sen75°=sen45°cos30°+sen30°cos45°

* Calcule sen67°
sen67°=sen30°+37°
sen67°=sen30°cos37°+cos30°sen37°

* Sen98° = Sen( 45°+53°)
Sen98°=Sen45°Cos53°+Cos45°Sen53°

Seno de la Diferencia
de Dos Ángulos

Ejemplos:

* Sen2x = sen(3x–x)=sen3xcosx – cos3xsenx

* sen20°= sen(25°–5°) = sen25°cos5° – cos25°sen5°

* sen6xcos4x– cos6xsen4x = sen(6x– 4x) = sen2x

* sen14°cos10°– cos14°sen10°= sen(14°–10°) = sen4°

* Calcular el valor de sen15°
RESOLUCIÓN:
* sen15°= sen (45° –30°)
*sen15°=sen45°cos30° – cos45°sen30°

*

Coseno de la Suma
de Dos Ángulos
Si el ángulo del coseno esta compuesto por otros dos ángulos “” y “” entonces el coseno de este ángulo compuesto se puede expresar en términos de “” y “” así:

Ejemplos:
* cos5x = cos(3x + 2x) = cos3xcos2x– sen3xsen2x
* cos10°= cos(7°+ 3°) = cos7°cos3° – sen7°sen3°
* cos2xcosx– sen2xsenx = cos(2x + x) = cos3x
* cos13°cos4°– sen13°sen4°=cos(13°+4°)=cos17°

* Calcular cos16°
cos16°=cos(53° – 37°)
cos16°=cos53°cos37°+ sen53°sen37°

Coseno de la Diferencia
de Ángulos

Ejemplos:
*cos2x = cos(5x–3x) = cos5xcos3x + sen3xsen2x

*cos17°= cos(25°– 8°) = cos25°cos8°+ sen25° sen8°

* cos3xcos2x+sen3xsen2x=cos(3x – 2x)=cosx

* cos10°cos3°+sen10°sen3°=cos(10° – 3°)=cos7°

* Calcule cos7°
cos7°=cos(60°– 53°)
cos7°=sen60°cos53°+sen60°sen53°

Tangente de la Suma
de Dos Angulos

Ejemplos:

Tangente de la Diferencia de Dos Angulos

Ejemplos:

* Calcule: tan16°

RESUMEN :
* Para la Suma de Dos Arcos:

* Para la Diferencia de Dos Arcos:

Identidades Adicionales:

Ejemplo:

TEOREMA 1 :
Siendo a y b números reales , x variable real se cumple:

Donde:

Ejemplos:
*

* senx – cosx = 2sen(x – 45°)
TEOREMA 2 :
Siendo: , se cumple:

Ejemplos:

Identidad Para Tres Variables

propiedad :

Ejercicio 1 :
Si calcule:
Resolución:
Desarrollando el dato, se tiene:

Ejercicio 2 :
Calcule el valor de
Resolución:
Dando al numerador la forma de la diferencia de dos ángulos, se tiene:
Desarrollando el numerador se tiene:

factorizando: se
tiene:

Ejercicio 3 :
Si : . Calcule: Tan(60°+x)
Resolución:
Como 60°+x= 45° +(15°+ x) , se tiene:

Ejercicio 4 :
Si ABCD es un cuadrado, halle .

Resolución:
* Del gráfico se observa que el lado del cuadrado es igual a 6. De los triángulos rectángulos ADF y DAE se obtienen:
Del triángulo AGD ( por ángulo exterior ):

entonces:
luego:

Ejercicio 5 :
Reduzca:
Tanx+Tan2x+Tan3xTan2xTanx)Cot3x
Resolución:
Si: 2x+x=3x, entonces: Tan (2x+x)=Tan 3x
Desarrollando el primer miembro, se obtiene:

Luego:
Tan 2x+Tanx=Tan 3x –Tan 3x Tan 2x Tan x
Ordenando:
Tan x+Tan 2x+Tan 3x Tan 2x Tan x=Tan 3x
En el problema, dentro del paréntesis, tenemos:
Tan x +Tan 2x+Tan 3x Tan xTan 2x =Tan 3x
Finalmente: Tan3xCot3x=1
Ejercicio 6 :
Simplifique lo siguiente :
Resolución:
Por identidad trigonométrica, se tiene:

Aplicando identidades auxiliares:

Ejercicio 7 :
Simplifique lo siguiente :

Resolución:

Ejercicio 8 :
Simplifique lo siguiente :
Cos(60°+z)Cos(60°– z) – Cos2z
Resolución:
Aplicando identidades auxiliares:
Cos(60°+ z)Cos(60° –z) –Cos2z=Cos260°– Sen2z–Cos2z

Ejercicio 9 :
Simplifique lo siguiente :
Cos(x + y+z)Cos(x+y–z) +Sen2z
Resolución:

Ejercicio 10 :
Simplifique lo siguiente :

Resolución:

Ejercicio 11 :
Simplifique lo siguiente :

Resolución:

Ejercicio 12 :
Simplifique lo siguiente :

Resolución: