CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN EL BACHILLERATO EJERCICIOS RESUELTOS Y TEORÍA PDF

Share Button

• Experimentos aleatorios.

Espacio muestral.

Sucesos.

Operaciones con sucesos.

Suceso contrario y sucesos incompatibles.
• Idea intuitiva del concepto de probabilidad. Propiedades.
• Probabilidad en espacios muestrales finitos. Regla de Laplace.
• Probabilidad condicionada. Dependencia e independencia de sucesos.
CLICK AQUI PARA VER PDF    ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
Espacio muestral.
El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles
de un experimento.
Suceso aleatorio.
Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.
Se llama sucesos elementales a los sucesos formados por un solo resultado del experimento
aleatorio.
Se llama sucesos compuestos a los sucesos formados por dos o más resultados del experimento.
Operaciones con sucesos.
a) Unión de sucesos.
Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso unión de A y B al
suceso que se realiza cuando se verifica A o B. Se representa por A∪B
b) Intersección de sucesos.

Definición clásica de probabilidad.
Esta definición es debida a Laplace (1749-1827) y dice: La probabilidad de un suceso A es el
cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles.
Definición axiomática de probabilidad.
Esta definición es debida a Kolmogorov (1903-1987) y dice: Se llama probabilidad a toda función
que asocia a cada suceso A, del espacio de sucesos, un número real que llamamos probabilidad
de A y representamos p(A), que cumple los siguientes axiomas:
1º. La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula
p(A) ≥ 0
2º. La probabilidad del suceso cierto es igual a la unidad.
p(E)=1
3º. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las
probabilidades de cada uno de ellos.
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles.
Si A y B son dos sucesos compatibles de un mismo experimento aleatorio, se verifica que la
probabilidad de la unión de A y B es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos,
menos la probabilidad del suceso intersección de A y B
Probabilidad de la intersección de sucesos independientes.
Si A y B son dos sucesos independientes, se verifica que la probabilidad de la intersección de A y
B es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos
Probabilidad de sucesos dependientes.
Si A y B son dos sucesos dependientes de un mismo experimento aleatorio, se verifica que la
probabilidad de la intersección de A y B es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos,
supuesta no nula, por la probabilidad del otro, condicionada a la realización del anterior

Ejemplo-
Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada
carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en
el sobre que le corresponde?

Ejemplo-
En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de
un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la película, 1 500
vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de
los encuestados:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate?
c) Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?

Ejemplo-
El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta
enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los
pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da
negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad?
b) Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad?

EJERCICIOS.
1. Se considera el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire y dar lectura del número de la
cada superior. Se pide:
a) Universo del experimento.
b) ¿Cual es el suceso de obtener un número par?
c) ¿Cual es el suceso de obtener un número primo?
d) ¿Cual es el suceso de obtener un múltiplo de tres?
e) Hallar los sucesos unión e intersección de cada uno de los sucesos anteriores.
5 Probabilidad
2. Se lanzan dos dados de distinto color. Escribir el espacio muestral asociado a este
experimento y hallar la probabilidad de que la suma de puntos obtenidos sea igual a 9.
3. Consideremos el experimento que consiste en lanzar dos dados y calcular el resultado de la
suma de las caras superiores. Formar los siguientes sucesos:
a) El espacio muestral
b) El suceso “obtener suma igual a 11”
c) El suceso “obtener suma igual a 8”
d) El suceso “obtener suma menor o igual a 4”
e) El suceso “obtener suma mayor o igual a 10”
4. Consideremos el experimento que consiste en la extracción de tres tornillos de una caja que
contiene tornillos buenos y defectuosos. Se pide:
a) El espacio muestral y el número de elementos de que costa.
b) Formar el suceso A=el último tornillo extraído es defectuoso.
c) Formar el suceso B= sólo hay un tornillo defectuoso.
d) Formar el suceso C=extraer al menos un tornillo defectuoso.
5. Antonio y Basilio son los finalistas de un torneo de ajedrez. Gana el torneo quien gane dos
juegos seguidos o tres alternativos. Hallar el espacio muestral o conjunto de los resultados
posibles.
6. Los equipos de fútbol de Argentina y Brasil disputan un campeonato. Se proclama vencedor el
primero que gane tres veces. Hallar el espacio muestral, es decir, el conjunto de todos los
resultados posibles. Se aconseja utilizar un diagrama de árbol.
7. Se extraen simultáneamente cuatro cartas de una baraja española. Calcular las probabilidades
de los siguientes sucesos:
a) Al menos una de las cartas sea figura.
8. Se lanzan tres monedas al aire. Se pide:
a) Probabilidad de obtener tres caras o tres cruces.
b) Probabilidad de obtener una o dos cruces.
9. En una baraja española, se extraen dos cartas, devolviendo la primera carta después de la
primera extracción. Se pide:
a) Probabilidad de obtener un rey y un as indistintamente.
b) Probabilidad de no obtener ningún rey ni ningún as.
c) Probabilidad de obtener por lo menos un rey o un as
d) Probabilidad de obtener dos reyes.
10. Determinar la probabilidad de obtener dos resultados diferentes, lanzando simultáneamente
dos dados ordinarios.
11. Se arrojan 6 veces dos dados. Determinar la probabilidad de que salga el seis doble al menos
una vez.
12. A un examen han concurrido 100 alumnos a examinarse de matemáticas y física. Han
aprobado las matemáticas 54 alumnos en total, la física 75 en total y ambas asignaturas 40.
Hallar la probabilidad de que elegido un alumno al azar entre los 100 que se han examinado,
no haya aprobado ninguna asignatura.
13. La probabilidad de que un hombre viva 25 años es de 0,6 y la probabilidad de que viva una
mujer es de 0,7. Se pide:
a) Probabilidad de que ambos vivan 25 años.
b) Probabilidad de que sólo viva el hombre.
c) Probabilidad de que sólo viva la mujer.