BINOMIO SUMA AL CUADRADO PROBLEMAS RESUELTOS

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CUADRADO DE UN BINOMIO
(Trinomio cuadrado perfecto): El cuadrado de la suma (diferencia) de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más (menos) el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

BINOMIO SUMA AL CUADRADO :
Observa esto:

* Ahora, juntemos los cuadrados por una de sus esquinas y formemos imaginariamente un cuadrado mayor.

* Sin embargo el área de ese cuadrado mayor, puede ser obtenida mediante la suma de las áreas que están en él.

EjemploS: 

Problema 1 :
Si: a + b = 2
ab =1
dar «a2 + b2»
A)1 B) 2 C) 3 D)4 E)6
Resolución:
* Buscando un producto notable que relacione a “a+b” , “ab” y “a2 + b2″, encontraremos a:

* Que al reemplazar datos, se obtendrá:

RPTA : ‘‘b’’
Problema 2 :
Si:

dar:

A)6 B) 7 C) 8 D) 9 E)N.A
Resolución:
* Elevando al cuadrado a “”
* Es decir:

RPTA : ‘‘b’’
PROBLEMA 3 :
Si :

Calcular:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución:
Busquemos alguna identidad que involucre únicamente a «a+b», «ab» y a «a2+ b2» ; la cual será:

• Al reemplazar valores se obtendrá:

RPTA : ‘‘c’’
Efectuar:

1. (x + 3y)2 = (x)2 + 2(x)(3y) + (3y)2
= x2 + 6xy + 9y2

2. (2x – 3y)2 = (2x)2 – 2(2x)(3y) + (3y)2
= 4×2 – 12xy + 9y2

3. (m + 8n)2 = (m)2 + 2(m)(8n) + (8n)2
= m2 + 16mn + 64n2

4. (2q + 3p2)2 = (2q)2 + 2(2q)(3p2) + (3p2)2
= 4q2 + 12qp2 + 9p4

5 . Desarrollar: (x + 1)2

6. Desarrollar: (x + 3)2

7. Desarrollar: (x + n)2

8. Desarrollar: (x + 3n)2

9. Desarrollar: (3x + 1)2

10. Reducir: A = (x + 2)2 – 4x

Desarrollar cada una de las siguientes expresiones:

1. (x + 2)2 =

2. (x + 5)2 =

3. (2x + 3)2 =

4. (4x + 7)2 =
5. (2x + 3y)2 =

6. Reducir: B = (x + 6)2 – x2

7. Reducir: C = (x + 4)2 – x(x + 8)

8. Calcular:

M = (3x + 2)2 – (3x + 1)2 – 3(2x + 1)

a) 1 b) 0 c) -1
d) -4 e) -8

9. Simplificar:

S = (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 – 3x(x + 4)

a) -1 b) 0 c) 10
d) 12 e) 14

10. Simplificar:

R = (x + 1)2 – (x + 2)2 – (x + 3)2 + (x + 4)2

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 12

11. Si:
x + y = 13
x.y = 50
Hallar: L = x2 + y2

a) 100 b) 69 c) -69
d) 49 e) 59

12. Si:
a + b = 12
a2 + b2 = 120
Hallar: S = a.b

a) 6 b) 12 c) 14
d) 18 e) 16

13. Efectuar:

a. (x + 7)2 = _______________________

b. (x2 + 3)2 = _______________________

c. (3x + 2y)2 = _________

Que es un binomio al cuadrado?
Un binomio al cuadrado también llamado cuadrado de un binomio, es una ecuación con dos términos que son elevados al cuadrado, es decir, es una ecuación que se multiplica por si misma:

(a+b)² = (a+b)(a+b) = a (a+b) + b (a+b)

El producto de este es igual al cuadrado del primer termino mas el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo:

(a+b)² = (a)² + 2(a)(b) + (b)² = a² + 2ab + b²

Porque sale esto? 
Porque multiplicando:

a por a da .
a por b da ab
b por da ab
b por b da 


esto es igual a:

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Esto ocurre cuando es un adición, cuando es una diferencia de cuadrados solo se cambio el signo mas por menos:

(a-b)² = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b²

 Ejemplos:

(a+n)² =      (a)² + 2 (a)(n) +(n)² =         a²+2an+n²

(1-m)² =       (1)² + 2 (1)(-m) +(-m)² =        1² – 2m + m²

(3a^4 -5b²)² =       (3a^4)² + 2 (3a^4) (-5b²) + (-5b²)² =       9a^8 – 30a^4b² + 25b^4


Ejercicios: 
  
(m+3)² =
(x-7)² =
(1+3x² )² =
(5w + 2z)² =
(z – w)² =
(6p – q)² =
(x + 8)² =
(y – 1/5)² =
(7a²b³ +5x^4)² =
(10x³ – 9xy^5)² =

1. (2 + x)² = 2² + 2(2)(x) + x²
= 4 + 4x + x²
2. (3a – 5b)² = (3a)² – 2(3a)(5b) + (5b)²
= 9a² – 30ab + 25b²
5. (x + y)² = x² + 2 (x)(y) + y²
= x² + 2xy + y²
6. (p – q)² = p² – 2pq + q²
7. (2p + q)² = (2p)² + 2(2p)(q) + q²
= 4p² + 4pq + q²
8. (3a + b)² = (3a)² + 2(3a)(b) + b²
= 9a² + 6ab + b²
9. (2a – 3b)² = (2a)² – 2(2a)(3b) + (3b)²
= 4a² – 12ab + 9b²
10. (x + 1)² = x² + 2(x)(1) + (1)²
= x² + 2x + 1
11. (a – 6)² = (a)² – 2(a)(6) + (6)²
= a² – 12a + 36
12. (x + 9)² = (x)² + 2(x)(9) + (9)²
= x² + 18x + 81
13. (3p – 1)² = (3p)² – 2(3p)(1) + (1)²
= 9p² – 6p + 1
14. (x + 5)² = (x)² + 2(x)(5) + (5)²
= x² + 10x + 25
15. (6x – 5y)² = (6x)² – 2(6x)(5y) + (5y)²
= 36x² – 60xy + 25y²

16.- (2m – 1)² = (2m)² – 2(2m)(1) + (1)²
= 4m² – 4m + 1
17. (4pq – 3q)² = (4pq)² – 2(4pq)(3q) + (3q)²
= 16 p² q² – 24pq² + 9q²
18. (9×2 – 7y2)² = (9x²)² – 2(9x²)(7y²) + (7y²)²
= 81×4 – 126 x²y² + 49y4
  1. (8a2b + 7ab6y²)² = (8a²b)² + 2(8a²b)(7ab6y²) + (7ab6y²)²
= 64a4b² + 112a3b7y² + 49a²b12y4
20. (15x²y – 3xy²z6)² =
= (15x²y)² – 2(15x²y)(3xy²z6) + (3x²z6)²
= 225x4y² – 90x²y3z6 + 9x4z12

21. (2a – 3b)² + (3a – 5b)² =
= [4a²-2(2a)(3b)+ 9b²] + [9a² – 2(3a)(5b) + 25b²]
= 4a² – 12ab + 9b² + 9a² – 30ab + 25b²
= 13a² – 42ab + 31b²
22. (11x – 5y)² – (13x + 3y)² + (x – 2y)²=
= (121x² – 2(11x)(5y) + 25y²) – (169x²+ 2 (13x)(3y) + 9y²) + (x² – 2(x)(2y) + 4y²)
= 121x² – 110xy + 25y² – 169x² – 78xy – 9y² + x² – 4xy + 4y²
= – 47x² – 192xy – 20y²

23. [a/2 + 2b]² + [2a – b/2]² =[(a²/4+2(a/2(2b)+4b²]+[4a²-2(2a)(b/2+b²/4]

= a²/4 + 4ab/² + 4b² + 4a² – 4ab/2 + b² /4
= a²/4 + 8ab + 4b² + b²/4
= a² + 16a² /4 + 16b² + b²/4
= 17a²/4 + 17b²/4
24. (3a – b/5)² = 9a² – 2(3a)(b/5) + b²/25
= 9a²- 6ab/5 + b²/25
  1. (2x²/3 – 3yz/5 )² =
    = 4×4 /9 – 2(2x²/3)(3yz/5) + (9x²y²/25)
= 4×4 /9 – 12x²yz/15 + 9x²y²/25
= 4×4 /9 – 4x²yz/5 + 9x²y²/25
  1. (0,1a² – 0,2abc)² =
    =(1a²/10 – 2abc/10)²
=(1a²/10)² – 2(1a²/10)(2abc/10) + (2abc/10)²
= a4/100 – 4a³bc/100 + 4a²b²c²/100
= 0,01a4 – 0,04a²bc + 0,04a²b²c²
27. (1,5xy² + 2,5xy)² =
    = (2.25 x²y4 + 2 (1,5xy²)(2,5x²y) + (6,25x4y²)
= 2.25 x²y4 + 7,5x³y³ + 6,25x4y²
  1. (3a²b³/4 – 3ab6/5 )² =
    = 9a4b6/16 -2(3a²b³/4)(3ab6/5)+ (9a²b¹²/25)
= 9a4b6/16 – 18a³b9/20+ 9a²b¹²/25
= 9a4b6/16 – 9a3b9/10 + 9a2b12/25

Cuadrado de la suma de dos monomios
“El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo monomio”.
) El segundo miembro de esta igualdad: se denomina trinomio cuadrado perfecto
II) El resultado: , también se obtiene efectuando el producto
III)