BINOMIO AL CUBO PROBLEMAS RESUELTOS

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Cubo de la suma de dos monomios.
El cubo de la suma de dos monomios es igual al
cubo del primero, más el triple del cuadrado del
primero por el segundo, más el triple del primero
por el cuadrado del segundo, más el cubo del
segundo.
BINOMIO DIFERENCIA AL CUADRADO Y SU ANALOGIA GEOMETRICA – DEMOSTRACION Y EJEMPLOS

Cubo de la suma de dos monomios
Este resultado se enuncia:
“El cubo de la suma de dos monomios es igual al cubo del primer monomio, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo monomio”.
Cubo de la diferencia de dos monomios
Este resultado se enuncia:
“El cubo de la diferencia de dos monomios es igual al cubo del primer monomio, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo monomio”.
Cuando la suma de dos monomios (a + b) o la diferencia de dos monomios (a – b) están elevados a un exponente mayor que 3; es recomendable aplicar la fórmula de binomio de Newton, siendo ésta:
1. El desarrollo de tendrá términos.
2. Si la base es el binomio suma, los términos del desarrollo serán todos positivos; así:

Pero si la base es el binomio diferencia, los términos del desarrollo serán alternados (positivos los de lugar impar y negativos los de lugar par); así:

Sean los monomios “a” y “b”, su suma es “a + b”

(a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)2 (a + b)
= (a2 + 2ab + b2) (a + b)

Efectuando esta última multiplicación indicada se tiene:

Luego: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

La anterior expresión se interpreta diciendo que:

Ejemplos:

1. Efectuar: (x2 + 2×4)3

a) Cubo del primero : (x2)3 = x6

b) Triple del cuadrado del primero por el segundo.
3(x2)2(2×4) = 3(x4)(2×4) = 6×8

c) Triple del primero por el cuadrado del segundo.
3(x2)(2×4)2 = 3×2 . 4×8 = 12×10

d) Cubo del segundo: (2×4)3 = 8×12

e) Luego: (x2 + 2×4)3 = x6 + 6×8 + 12×10 + 8×12

2. Efectuar: (2a2 + 3b3)3

= (2a2)3 + 3(2a2)2(3b3) + 3(2a2)(3b3)2 + (3b3)3

= 8a6 + 36a4b3 + 54a2b6 + 27b9

3. Efectuar:
a) Cubo del primero:

b) Triple del cuadrado del primero por el segundo.

c) Triple del primero por el cuadrado del segundo.

d) Cubo del segundo:

e) Luego:

II. Cubo de la diferencia de dos monomios.

Sean los monomios “a” y “b”, su diferencia es “a – b”.

(a – b)3 = (a – b) (a – b) (a – b) = (a – b)2 (a – b)
= (a2 – 2ab + b2) (a – b)

Efectuando esta última multiplicación indicada, se tiene:

Luego: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

La anterior expresión se interpreta diciendo que:

El cubo de la diferencia de dos monomios es igual
al cubo del primero, menos el triple del cuadrado
del primero por el segundo, más el triple del pri-
mero por el cuadrado del segundo, menos el cubo
del segundo.

Ejemplos:

1. Efectuar: (4×2 – 2×3)3

a) Cubo del primero: (4×2)3 = 64×6

b) Triple del cuadrado del primero por el segundo.
3(4×2)2. (-2×3) = 3(16×4)(-2×3)
= -96×7

c) Triple del primero por el cuadrado del segundo.
3(4×2).(-2×3)2 = 12×2.4×6 = 48×8

d) Cubo del segundo: (-2×3)3 = -8×9

e) Luego: (4×2 – 2×3)3 = 64×6 – 96×7 + 48×8 – 8×9

2. Efectuar: (m4 – 2b2)3

= (m4)3 – 3(m4)2(2b2) + 3(m4) (2b2)2 – (2b2)3

= m12 – 6m8b2 + 12m4b4 – 8b6

3. Efectuar:

    EJERCICIOS Y EJEMPLOS DEL CUBO DE UN BINOMIO
    1. (a + 3)³= a³ + 3(a)²(3) + 3(a)(3)² + (3)³
    = 27 + 9a² + 27a + 27

  1. (p – q)³ = p³ – 3(p)²(q) + 3(p)(q)² – q³
    = p³ – 3p²q + 3pq² – q³

    3. (x + 2)³ = x³ + 3(x)²(2) + 3(x)(2)² + 2³
    = x³ + 6x² + 12x + 8

  1. (a – 3)³ = a³ + 3(a)²(3) + 3(a)(3)²+ (3)³
    = a³ + 9a² + 27a + 27

  1. (t + 4)³ = t³ + 3(t)²(4) + 3(t)(4)² + (4)³ =
    = t³ + 3(t)²(4) + 3(t)(4)² + (4)³
    = t³ + 12t² + 48t + 64
  1. (2 – a)³ = 2³ – 3(2)²(a) + 3(2)(a)² – a³
    = 8 – 12a + 6a² – a³
  1. (2a – b)³ = (2a)³ -3(2a)²(b)+3(2a)(b)²- b³ =8a³ – 3(4a²)b + 6ab² – b³
    = 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³

  1. (3a – 5b)³ = (3a)³-3(3a)²(5b)+3(3a)(5b)²-(5b)³
    = 27a³ – 135a²b + 225ab² – 125b³

9. (2x + 3y)³=(2x)³+3(2x)²(3y)+3(2x)(3y)²+(3y)³ = 8x³ + 36 x²y + 54xy² + 27y³

10. (1 – 3y)³ = (1)³ – 3(1)²(3y)+3(1)(3y)²- (3y)³ = 1 – 9y + 27y² – 27y³

11. (2 + 3t)³ = 2³ + 3 (2)²(3t) + 3(2)(3t)² + (3t)³ = 8 + 36t + 54t² +27t
  1. (3a –2x)³=(3a)³–3(3a)²(2x)+3(3a)(2x)²-(2x)³ = 27a³ – 54a²x + 36ax² – 8x³


13. (5a – 1)³= (5 a)³–3(5a)²(1)+3(5a)(1)² – (1)³ =125 a³ – 75a + 15a – 1

14. (3a²-2a)³=(3a)³–3(3a)²(2a)+3(3a)(2a)²-(2a)² = (x)² – (5x) ² = x ² – 25x ²

  1. (t² + t³)³ =(t²)³+ 3(t²)²(t³) + 3(t²)(t³)² + (t³)³
    = t⁶ + 3t⁴t³ + 3t²t⁶ + t⁹
    = t⁶ + 3t⁷ + 3t⁸ + t⁹

  1. ( 1 + x⁴)³= (1)³ + 3(1)²(x⁴) + 3(1)(x⁴)² + (x⁴)³
    = 1 + 3x⁴ + 3x⁸ + x¹²

  1. (2t–3a²)³=(2t)³–3(2t)²(3a²)+3(2t)(3a²)²– (3a²)³ =
    = 8t³ – 36t²a² + 54ta⁴ – 27a⁶
18. (u² +5v)³=(u²)³+3(u²)²(5v)+3(u²)(5v)²+ (5v)³
= u⁶ + 15u⁴5v + 75u²v² – 125v³

  1. ( ½ – a)³ = (½ )³ – 3(1/2)²(a) +3(1/2)(a)² – a³
= 1/8 – 3a/4 + 3a²/2 – a³

20. (1/2x + 2y)³=(1/2x)³+3(1/2x)²(2y)+ 3(1/2x)(2y)² + (2y)³
    = x³/8 + 6x²y/4 – 12y²x/2 + 8y³
    = x³/8 + 3x²y/2 – 6y²x + 8y³

    21. (2/3a – 1/3b)³ =
    =(2/3a)³–3(2/3a)²(1/3b)+3(2/3a)(1/3b)²+(1/3b)³
= 8a³/27 – 12a²b/27 + 6ab²/27 – 1/27b³
= 8a³/27 – 4a²b/9 + 2ab²/9 – 1/27b³

22. (5p/2 + 3q/2)³ =
=(5p/2)³+3(5p/2)²(3q/2)+3(5p/2)(3q/2)²+(3q/2)³
= 125p³/8 + 225p²q/8 + 135pq²/8 + 27q³/8

  1. ( 1 m/10 – 1 n /5)³ =
= (1m/10)³–3(1m/10)²(1n/5)+3(1m/10)(1n/5)² – (1n/5)³
= m³/1000 – 3mn/500 + 3mn²/250 – n³/125