BASES Y DIMENSION PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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BASES Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL






Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Teorema y definición: Dimensión.
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
• Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemostener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.

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Teorema:.
Sea S un espacio o subespacio de dimensión m. Entonces,
• Si tenemos m vectores linealmente indep. en S, también serán sistema generador de S.
• Si tenemos m vectores que generan S, también serán linealmente independientes.
Por tanto, si tenemos un conjunto formado por tantos vectores como indica la dimensión, dichos vectores serán a la vez linealmente independientes y sistema generador, o bien ninguna de las dos cosas.
Así pues, para probar que son base, bastaría probar solamente una de las dos cosas: que son linealmente independientes, o que son sistema generador.
Esto solamente se puede aplicar cuando conocemos la dimensión del espacio y cuando tenemos tantos vectores como indica la dimensión.
Teorema. En un espacio o subespacio de dimensión m,
• un conjunto de más de m vectores nunca puede ser linealmente independiente.
• un conjunto de menos de m vectores nunca puede ser sistema generador.
Así pues, por ejemplo, 3 vectores en ℜ2 podrán ser o no sistema generador de ℜ2, pero nunca podrán ser linealmente independientes.
Del mismo modo, 2 vectores en ℜ3 podrán ser linealmente independientes o no, pero nunca serán sistema generador de ℜ3 (aunque sí podrán serlo de un subespacio más pequeño).
IMPLICITACIÓN
Vimos ya las formas implícita y paramétrica de subespacios; el paso de la forma implícita a la paramétrica es sencillo pues se reduce a resolver un sistema de ecuaciones.
El paso inverso, de la paramétrica a la implícita, puede explicarse ahora a la luz de los conocimientos que ya tenemos. Podrá hacerse de dos formas; veámoslo con unos ejemplos.
COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Definición: Coordenadas.
En un espacio vectorial V, fijada una base {v1,v2,. . . vn} , todo vector u∈V puede ponerse de forma única como combinación lineal de dicha base:
u = α1 v1 + α2 v2 + . . . αn vn
Los escalares α1, α2, . . . , αn se llaman coordenadas del vector u en la base {v1,v2,. . . vn}.
Coordenadas en un subespacio.
En ℜ3 , sea el subespacio S generado por los vectores (1,1,0) y (0,0,1). (Se trata del plano x=y enℜ3). Los dos vectores son independientes, por tanto forman base de S.
Consideremos el vector v = (2,2,3) perteneciente a S. Hallemos las coordenadas de este vector respecto a la base (1,1,0), (0,0,1) de S. Para ello expresamos v como combinación lineal de dicha base:
(2,2,3)= 2·(1,1,0) + 3·(0,0,1)
Así pues, las coordenadas de v en esta base de S son (2,3).
No debe sorprendernos que v tenga sólo 2 coordenadas. El vector v ciertamente tendría 3 coordenadas como elemento de ℜ3, pero tiene 2 coordenadas como elemento del plano S, que es un subespacio de dimensión 2.
Definición: Matriz del cambio de base.
En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’ , se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’.
Su utilidad es la siguiente: Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho vector en base B’.
En efecto, sean (a1, a2, . . . an) las coordenadas de un vector en base B, y sea P la matriz de cambio de base de B a B’.
Propiedades de las matrices de cambio de base.
1. Toda matriz de cambio de base es cuadrada nxn, donde n es la dimensión del espacio al que se refieren las bases.
2. Toda matriz de cambio de base es inversible (es decir, con determinante no nulo).
Además, la matriz de cambio de B a B’ es inversa de la matriz de cambio de B’ a B.
• Comprobar en el ejemplo anterior que P y Q son inversas entre sí. Por tanto, después de hallar P, podríamos haber hallado Q como P–1.
3. La matriz de cambio de una base B a la misma base B, es la matriz identidad.

• Observar en el ejemplo anterior que la matriz más fácil de obtener es la P, que pasa de una base B a la base canónica, pues basta escribir en las columnas la base B.
SUMA DIRECTA Y SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS
Dados dos subespacios S, T, consideramos el subespacio suma:
S+T= { u+v : u∈S , v∈T}
Uniendo un sistema generador de S con uno de T se obtiene un sistema generador de S+T.
Sin embargo, no siempre es cierto que uniendo una base de S con una base de T se obtenga una base de S+T.
Cálculo de una base de un suplementario:
Dada una base de S, la prolongamos añadiendo vectores, independientes de los anteriores, hasta formar una base del espacio total. (Para ello podemos elegir cualesquiera vectores, por ejemplo elegirlos entre los de la base canónica).
Los vectores añadidos forman así una base de un suplementario de S.
Ejemplo.
En ℜ4, sea S el subespacio cuya base es v1=(1,0,2,0), v2=(3,0,0,0). Vamos a hallar un suplementario de S. Para ello prolongamos la base dada añadiendo vectores que elegimos entre los de la base canónica. Han de ser independientes de los anteriores.
• No podemos añadir (1,0,0,0) porque no es independiente de los anteriores. (Es múltiplo de v2).
• Podemos añadir v3 = (0,1,0,0) pues es independiente de v1 , v2 (La matriz formada por v1, v2, v3 tiene rango 3).
• No podemos añadir w = (0,0,1,0) pues no es independiente de los anteriores. (La matriz formada por v1, v2, v3 ,w tiene rango 3; su determinante es cero).
• Podemos añadir v4 = (0,0,0,1) pues es independiente de v1 , v2 (La matriz formada por v1, v2, v3 ,v4 tiene rango 4; su determinante es no nulo).
– Ya hemos terminado, pues tenemos 4 vectores independientes y por tanto una base del total ℜ4. Los dos vectores que hemos añadido, v3 = (0,1,0,0) y v4 = (0,0,0,1), forman una base de un suplementario de S.