ARITMETICA EJERCICIOS DEL TERCER BIMESTRE DE MATEMATICA DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

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NOCIÓN DE CONJUNTO

Intuitivamente un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos reales o ideales, a estos objetos se les denomina ELEMENTOS del conjunto.

Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas (A, B, C, …Z) y sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves.
Ejemplos:
A = {6, 7, 8, 9}
B = {Las Universidades del Perú}
C = {a, b, , *}
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DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

I. Por Extensión o en Forma Tabular
Es cuando se pueden indicar explícitamente a cada uno de los elementos de un conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida.

Ejemplos:
A = {2, 3, 5, 7, 11}
B = {1, 4, 9, 16, 25}
C = {a, e, i, o, u}

II. Por Comprensión o en Forma Constructiva
Es cuando se menciona una o más características comunes y exclusivas a los elementos del conjunto.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

A. Inclusión 
Se dice que A esta incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B.

Se denota. A  B

Se lee: “A esta incluído en B”
“A esta contenido en B”
“A es subconjunto de B”

Ejemplos:
1) A = {p, q}
B = {p, q, r, s}

 A  B

Observación
1. A  B  (  x  A)  x  B
A  B ó B  A

: Para todo (Cuantificador)

2. Todo conjunto está incluido en sí mismo o es subconjunto de sí mismo.

 A : A  A

3. El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.

4. Si un conjunto tiene “n” elementos entonces tendrá: 2n subconjuntos.

Ejemplo 1:
B = {a, b}
Sub conjuntos de “B”:

 ; {a} , {b} , {a , b}
 Numero de subconjuntos de B es:
22 = 4

Ejemplo 2:
Si: B = { 3, {3}, {4}, {{4}} }

Dar su valor de verdad de las proposiciones:

– {3}  B … ( V )
– {3}  B … ( V )
– {{3}}  B … ( V )
– {{{4}}}  B … ( V )
– {{4}}  B … ( V )
– 7  B … ( F )
– 7  B … ( F )

B. Igualdad
Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin importar el orden.

Se denota: A = B

Se define:
A = B  A  B  B  A

Ejemplo:
A = {x/x  Z  x + 3 = x 2 – 9}
B = {-3, 4}

De A: x + 3 + x2 – 9

X2 – x – 12 = 0
X -4
X 3

Ejemplos:
De la parte I

A = {P/P es un número primo  P<12} B = {x2 /x  N  x < 5} C = {x/x es una vocal} Esquema General: Conjunto = Ejemplos: A = {x4 / (x + 3) (x + 1) x (x-1) (x-3) = 0} Observación x = - 3 : - 1 ; 0 ; 1 ; 3  A = {81 , 1 , 0} Nota No todo conjunto se puede determinar por extensión y comprensión a la vez. RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice que pertenece, () a dicho conjunto, en caso contrario no pertenece () a dicho conjunto. Ejemplo: A = {a, {a}, b, c} a  A {b}  A e  A c  A {a}  A {{c}}  A DIAGRAMAS DE VENN – EULER Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos, así: Ejemplo: A = {1, 8, 27, 64}  Observación Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es: NÚMERO CARDINAL El número cardinal de un conjunto (A) nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee y se denota por: n(A) Ejemplos: A = { 5, 6, 6, 5 }  n ( A ) = 2 B = { x/x  IN  3 < x < 6 } n (B) = 2 ; x = 4 ; 5 ( x – 4 ) ( x – 3 ) = 0 x = – 3  4 C. Conjuntos Diferentes (  ) Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro. Se define: A  B  A  B  B  A Ejemplo: A = { x/(x–1)(x–2)(x–3) x = 0 } B = {0, 1, 2, 3, 4} De A: (x – 1)(x – 2)(x – 3) x = 0 x = 0 ; 1 ; 2 ; 3 A  B D. Conjuntos Comparables Dos conjuntos A y B son comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro es decir: A  B ó B  A Observación: Si dos conjuntos son iguales, entonces son comparables; lo contrario no siempre se cumple. E. Conjuntos Disjuntos Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando poseen elementos comunes. Simbólicamente: A y B son disjuntos   x/x  A  x  B  : “Existe alguno” (Cuantificador) Ejemplo:  A y B son disjuntos Gráfica: F. Conjunt. Equipotentes o Coordinables “Para hablar de éstos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre termina” . Dos conjuntos serán coordinables cuando el número de sus elementos son iguales. Ejemplo:  A y B son equipotentes DIAGRAMAS LINEALES Son representaciones gráficas que sirven para indicar relación de inclusión. Ejemplo: Si : A  B  Si : A = B  A  B CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS Todos son números complejos: C Imaginarios Propiedad:     Q  R  C OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS I. Unión o Reunión La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de “A” con todos los elementos de “B”. Notación: A  B (A o B) Simbólicamente se define: A  B = {x/x  A  x  B} Observación “  <> ó : unión”
Ejemplo:
A  B = {2, 3, 4}

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

 B  A

Observación
Si : B  A  A  B = A

Propiedades:
A  B = B  A (Conmutativa)
A  (B  C)=(A  B)  C (Asociativa)
A  A = A (Idempotencia)
A  U = U
A   = A (Elemento Neutro)

II. Intersección
La intersección de dos conjuntos “A”y “B” es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.
Notación: A  B (A y B)
Simbólicamente se define:
A  B = x/x  A  x  B

Observación
“ <> y : intersección”

Ejemplo:
A  B = {4, 5}

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

Observación
* Si : B  A  A  B = B
* Si : A y B son conjuntos disjuntos
 A  B = 

Propiedades:
A  B = B  A (Conmutativa)
A  (B  C)=(A  B)  C (Asociativa)
A  A = A (Idempotencia)
A  U = A
A   =  (Elemento Neutro)

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS
– Distributiva:
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

– Ley de Absorción:
A  (A  B) = A
A  (A  B) = A
(A  B)  C)  A  C y B  C
Si : A  B y C  D  (A  C)  (B  D)

III. Diferencia
La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”
Simbólicamente:
A <> B  n(A) = n(B)

CLASES DE CONJUNTOS

A. Conjunto Finito
Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algún momento.

Ejemplo:
A = {x/x es un contribuyente de la Sunat}
B = {x/x es un mes del año}

B. Conjunto Infinito
Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes; es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo:
A = {P/P es un número primo}
B = {x/x  IR  8 < x < 9} C = {x/x es una estrella del universo} CONJUNTOS ESPECIALES 1. Conjunto Nulo o Vacío Es aquel conjunto que carece de elementos. Ejemplo: A = { x/x es el actual INCA del Perú } B = { x/x  IN  7 < x < 8 } Notación: “” ó { }  A = B =  = { } Nota: El conjunto vacío “” es subconjunto de todo conjunto. 2. Conjunto Unitario o Singletón Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo: A = { x/x  Z  10 < x < 12} = {11} B = { 2, 2, 2, 2, …} = {2} 3. Conjunto Universal ( U ) Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto. Ejemplo: A = { 1, 3, 5 } B = { 2, 4, 5, 6 } Podrían ser conjuntos universales U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } U = { x/x  IN } * Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante el rectángulo. Ejemplo: A = { x/x es peruano } B = { x/x es colombiano } C = { x/x es mexicano}  U = {x/x es americano} 4. Conjunto de Conjuntos ó familia de Conjuntos Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplo: A = { {5} , {7,9} ,  } 5. Conjunto Potencia o Conjunto de Partes Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A está formado por toda la familia de subconjuntos de A. Notación: P (A) Ejemplo: A = { 2, 3 } n[P(A)] = 4 = 2n(A) = 22 Ejemplo: A = { a, b, c } P(A)= n [ P (A) ] = 23 = 8 Simbólicamente: P(A)= {x/x  A} Observación * Si un conjunto A tiene “n” elementos entonces el número de subconjuntos de A es 2. * Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A. Ejemplo 1: Si n(A)=5 entonces el número de subconjuntos propios es: n[P(A)]=25 = 32 # subconjuntos propios de A = 25 – 1 =31 Ejemplo 2: Determinar el valor de verdad de cada proposición. A = {,{},{{}},{{{}}}} -   A … ( V ) -   A … ( V ) - {{}}  A … ( V ) - {{}}  A … ( V ) - {{}}  P(A) … ( V ) - {{{}}}  P(A) … ( V ) - {{{{}}}}  P(A) … ( V ) Notación: A – B Se lee: “A pero no B” (sólo A) Simbólicamente: A – B {x/x  A  x  B} Observación Si : A  B  A – B  B – A Si : A = B  A – B = B – A =  POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B  A – B Observación * Si: B  A  B – A =  * Si: A y B son conjuntos disjuntos A – B = A ; B – A =B Ejemplo: IV. Diferencia Simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos. Notación: A  B Simbólicamente se define: A  B = {x/x  (A – B)  x  (B – A)} ó AB = {x/x  A  x  B  x  A  B} POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B Observación * Si: B  A  B – A =  * Si: A y B son conjuntos disjuntos A  B = A  B Propiedades: * A  B = (A - B)  (B - A) * A  B = (A  B) - (A  B) * A  B =  * A   = A Ejemplo: V. Complemento El complemento de A, es el conjunto formado por los elementos que pertenece al conjunto universal U pero no a “A” Notación: A´ ; ; AC ; C A Simbólicamente: A´ = {x/x  U  x  A} = U – A Diagrama  A‘ Observación = B – A Propiedades 1. (Involución) 2. 3. 4. 5. Leyes de Morgan 6. Caso particular de la absorción Observación 1) n(  )=0 2) n(A  B)=n(A)+n(B)-n(A  B) 3) Si A y B son conjunto disjuntos n(AB)=n(A)+n(B) 4) n(ABC) = n(A)+n(B)+n(C) – -n(AB)–n(AC) – -n(BC)+n(ABC) PRÁCTICA DE CLASE 01.Dado el conjunto: A={xN/3x<10} ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta, si N es el conjunto de los números naturales? a) -2A b) 4A c) 2A d) 0A e) 3A 02.Dado el conjunto: A={xZ+ /2x  12} ¿Cuál de las siguientes relaciones es incorrecta si Z+ es el conjunto de los enteros positivos? a) 12A b) 10A c) 8A d) 2A e) 5A 03.Dado el siguiente conjunto: A={0;{2,3}; 3; 8} ¿Cuál (es) de las proposiciones son verdaderas? I. 2A II. 3A III. n(A)=5 IV. n(A)=4 a) Todas b) Sólo I c) Sólo II d) II y IV e) Sólo III 04.Dado: A={2,{4,5},4} ¿Qué afirmaciones son incorrectas? a) 2A b) 2A c) {4,5}A d) 4A e) 0A 05.Determine por comprensión el conjunto A = {1/3; 2/3; 1; 4/3} a) { /nZ;2 0 }

Halle el cardinal de: [(A  B) x A]

a) 12 b) 9 c) 18
d) 15 e) 10

04.Se tiene 2 conjuntos A y B, tales que:
* (A  B) = 15
* (A  B) = 3
* (A) – n(B) = 2
* n(B´)=8

Hallar el cardinal del Pot(A´)

a) 32 b) 16 c) 64
d) 128 e) 256

05.Sabiendo que: además: n[P(S)]=576 y : n(G  S) = 2.

Hallar : n(G  S)

a) 13 b) 12 c) 14
d) 10 e) N.A.

06.¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, sabiendo que tiene 63 subconjuntos propios?

a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8

07.Sabiendo que: n(A) – n(B) = 4 además entre A y B tienen 544 subconjuntos.

Hallar: n(A) + n(B)

a) 12 b) 14 c) 11
d) 10 e) N.a.

08.Si A y B son 2 conjuntos disjuntos, tales que n(A) = 3 y n(B)=4. ¿Cuántos subconjuntos propios tendrá la unión de los 2 conjuntos?

a) 7 b) 15 c) 31
d) 63 e) 127

TAREA DOMICILIARIA

01. A y B son dos conjuntos tales que:
n(AB)=12, n(AB)=7; n(A)=n(B)+1 Calcule cuántos subconjuntos propios tienen (A – B)

a) 7 b) 8 c) 9
d) 5 e) 10

02.En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y los 5 tres idiomas. Si todos hablan por lo menos un idioma. ¿Cuántas personas del grupo hablan exactamente 2 de estos idiomas?

a) 25 b) 26 c) 32
d) 12 e) 40

03.Si se cumple:

A = { x3/x  N  1< 2 – 3  9 } B = { x – x4/x  Z  2 < x < 5} Cuántos subconjuntos propios tiene (AB) a) 24 b) 30 c) 76 d) 63 e) 62 04.Si: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 } Calcule: n[(AxB)(BxA)]+n[(AxB)–(BxA)] a) 32 b) 64 c) 25 d) 48 e) 128 05.Si se sabe que: * n[P(AB)]=1 * n(C-A)=12=2n(AC) * n(CC(ACC))=40 Calcular n() a) 48 b) 50 c) 60 d) 62 e) 58 06.Simplificar la expresión conjuntista: {[A(CA)] [BC]C  [B(AC B)C]} a) A  B b) A  B c) ABC´ d) B  C e) A  B  C INTRODUCCIÓN Antiguamente los egipcios, griegos y romanos tenían formas distintas de representar los números, la base de su numeración era decimal. Otros pueblos elaboraron distintos sistemas: por ejemplo, los babilonios tenían como base el sesenta; los mayas, en América, desarrollaron un sistema de base veinte. En cambio, los hindúes habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema de Europa a partir de siglo VIII por eso, nuestras cifras se llaman indoarábigas. En el siglo XVIII Leibnitz descubrió la numeración de base binaria y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración. En la actualidad el lenguaje de los números en forma hablada y escrita tiene su alfabeto, que hoy en día se utiliza en todas las naciones y se denomina Sistema Decimal de Numeración que utilizas las diez cifras del 0 al 9. Además, el uso de los sistemas binario y hexadecimal que son los que utilizan las computadoras para realizar sus cálculos. Numeración Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números. Número Es la idea asociada a una cantidad que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza Numeral Es la representación simbólica o figurativa del número Ejemplo: Se puede representar: , , oo , 3, tres, etc. Cifras Los símbolos que convencionalmente se van a utilizar para la formación de los números son: 0, 1, 2, 3, 4, … SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN Es el conjunto de principios, normas y convenios que nos permite la formación, lectura y escritura de los naturales. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES A. Del Orden Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado, el cual se considera de derecha a izquierda. Ejemplo: B. De la Base Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. Ejemplo: Representar treinta y dos unidades en la base 3, 10, 8, 6 y 4 Nota: En forma práctica la base nos indica de cuanto en cuanto estamos agrupando las unidades Conclusiones: 1. Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero no negativo y menor que la base, es decir, en base “n”, se puede utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son: A mayor numeral aparente le corresponde menor base. Del ejemplo obtenemos: 32 = 40(8) = 44(7) = 200(4) = 1012(3) Es decir, si 120n = 45k Como: 120 > 45
Afirmamos: n < k ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Base Nombre Del Sistema Cifras 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octavario Nonario Decimal Undecimal duodecimal 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3, … 6 0,1,2,3, … 7 0,1,2,3, … 8 0,1,2,3, … 9 0,1,2,3, … 9(10) 0,1,2,3,...9(10),(11) Nota: Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras para su representación. (10) <>  <> A
(11) <>  <> B
(12) <>  <> C
Ejemplos:
4(11)6(10)(15) = 46(15) = 4B6A(15)

REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS

Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:
 Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.
 La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.
 Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes.

Ejemplos:
 Un numeral de 2 cifras de la base 10 {10,11,12, …, 98, 99}.
 Un numeral de 3 cifras en base 7.
 { 1007, 1017, 1027, …, 6667 }

 Un numeral de 4 cifras consecutivas creciente en base 7.

NUMERAL CAPÍCUA

Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son iguales.

Ejemplos: 557; 3538; ; ;

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

Ejemplo:
1. Simple.
 4352 = 4×103+3×102+5 x101+2
 206458 = 2×84+6×82+4×81+5
 3005046 = 3×65+5×62+4
 = ak3+bk2+ck+d

2. Por Bloques.
 4352 = 43×102+52
 206458 = 208×83+648×81+5
 = 135×53+
 = x n2+
 = x k2+

CAMBIO DE BASE
1. De base “n” a base 10(n0)
Ejemplo: Exprese 5246, en base 10
5246=5×62+2×6+4=196
 5246=196

2. De base 10 a base “n” (n0)
Ejemplo: Exprese 196, en base 6.

 196 = 5246

Propiedades.
A. Numeral de cifras máximas
9 = 10 – 1 78 = 8 – 1
99 = 102 – 1 778 = 82 – 1
999 = 103 – 1 7778 = 83 – 1

En general:
= nk – 1

B.  1c = n + c
 = n + c + b
 = n + c + b + a

En general:
= n + x + … +d+c+b+a

Casos Especiales de Conversión:
1. De base “n” a base “nk”
Procedimiento:
 Al numeral dado se les separa en bloques de k, cifras (de derecha a izquierda)
 Cada bloque considerado en su base respectiva, se descompone polinómicamente, siendo el resultado una cifra del numeral en la base “n”

Ejemplo: Expresar 111011101112 a base 8

Resolución:
Como 8 = a3 las cifras se separan en bloques de 3 y luego se descompone cada bloque.

Base 2 11 101 110 1112
Base 8 3 5 6 78
 111011101112 = 35678

2. De base nk a base n
Procedimiento:
 Cada una de las cifras del numeral se convierte a la base n, teniendo cuidado de obtener bloques de k cifras (si existiesen grupos incompletos, se completará con ceros a la izquierda)
 Los bloques obtenidos conformarán la representación en la nueva base
Ejemplo: Expresar 42839 en base 3

Resolución:
Como 9 = 32, cada cifra del numeral se convierte a base 3, generándose un bloque de 2 cifras.

Base 9 4 2 8 39
Base 3 11 02 22 103

PRACTICA DE CLASE

01.Trasladar al sistema decimal:
I. 245(6) ………………………………
II. 3142(8) ………………………………
III. 2154(7) ………………………………
IV. 1346(8) ………………………………
V. 1249(11) ………………………………

02.Trasladar:
I. 425 a base 7 ………..………………
II. 1234 a base 6 ..………………………
III. 1452 a base 9 ..………………………
IV. 798 a base 5 ..………………………
V. 946 a base 3 …..……………………

03.Trasladar:
I. 532(6) a base 5 ………….…………
II. 1341(5) a base 7 ………….…………
III. 782(9) a base 8 ………….…………
IV. 2341(6) a base 11 ………….…………
V. 12312(4)a base 6 ………….…………

04.Calcular (a+ b), si: + = +14

a) 9 b) 11 c) 10
d) 12 e) 8

05.Calcular (m + n + p + q) de:
, , ,

a) 13 b) 9 c) 10
d) 7 e) 8

06.Hallar “n”
1050(n) =

a) 8 b) 4 c) 9
d) 6 e) 7

07.Hallar: a + b, si:

a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
08.Calcular: a + b + c, si:

a) 4 b) 9 c) 5
d) 7 e) 8

09.Hallar un número de 3 cifras que sean iguales, sabiendo que en el sistema senario se escribe con cuatro cifras iguales.

a) 777 b) 888 c) 666
d) 555 e) 999

10.¿Cuántos números de la forma cumplen con la siguiente condición?
=7(a + b)

a) 4 b) 5 c) 6
d) 3 e) 7

11.Hallar la base del sistema de numeración en el cual el número 52 del sistema decimal se escribe como 103

a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 5

12.El número 7564(n) está escrito en una base menor que 10; ¿Cómo se escribe en la base cuyo valor es (3n/2)?

a) 2538 b) 3358 c) 2358
d) 2258 e) 2458

13.El mayor número de tres cifras de la base “n” se escribe en el sistema heptanario como 425. hallar “n2”

a) 49 b) 25 c) 36
d) 12 e) 64

14.Al convertir un número en 3 cifras consecutivas crecientes de la base 8 a base 11 se obtiene 311. ¿Cuál es la menor cifra de dicho número?

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
15.Un número del sistema decimal se ha convertido a dos sistemas de numeración de bases consecutivas y se obtuvieron los números 204 y 312. Hallar el número en el sistema decimal.

a) 50 b) 52 c) 53
d) 54 e) 64

16.El cuádruplo de un número es de la forma , pero si al número se le multiplica por 3 y luego se le divide entre 2 se obtiene . Hallar (a – b).

a) 1 b) 2 c) 5
d) 8 e) 3

17.¿Cuál es el número comprendido entre 300 y 400 tal que al duplicarlo resulta igual al consecutivo del número de invertir las cifras del original?

a) 379 b) 387 c) 393
d) 395 e) N.a.

18.Si: N = 2(17)4 +2(17)3+26+4(17) como se escribe el número “N” en base 17

a) 22405 b) 20425 c) 22095
d) 22059 e) 22459

19.Calcular “n” si:

a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8

20.Hallar (a + b) en la siguiente expresión:

a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 3

21.Hallar (a + b) si:

a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
22.Hallar (a + b) si : 124(a) =

a) 13 b) 21 c) 22
d) 23 e) 20

23.Hallar (a+b+c) si: =0

a) 8 b) 7 c) 10
d) 9 e) 12

24.Hallar: (a+b+c), si:

a) 12 b) 13 c) 8
d) 6 e) 7

25.Hallar (a+b+c), si:

a) 3 b) 4 c) 5
d) 11 e) 7

26.Si:
hallar: + a + b

a) 95 b) 109 c) 110
d) 111 e) 101

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02

01.Si a un número de tres cifras se le agrega un 8 al final, el número original queda aumentado en 3527. hallar la suma de las cifras de dicho número de tres cifras

a) 16 b) 15 c) 14
d) 13 e) 17

02.Si a un número de tres cifras, se le agrega un 5 al comienzo y otro 5 al final, el número obtenido es 147 veces el número original. Dar como respuesta la suma de las cifras del número original.

a) 10 b) 14 c) 12
d) 13 e) 11
03.Hallar un número de 4 cifras, cuya cifra inicial es 3, tal que si esta cifra inicial se suprime se obtiene un número que es 1/5 del número original. Dar como respuesta la suma de las cifras del número original.

a) 10 b) 12 c) 15
d) 16 e) 18

04.Sabiendo que:
2541 = 3a + 3b + 3c + 3d + 3e

hallar: a + b + c + d + e

a) 24 b) 22 c) 21
d) 20 e) 19

05.Si un entero de dos dígitos es K veces la suma de sus dígitos, el número que se obtiene al intercambiar los dígitos es la suma de los dígitos multiplicada por:

a) 9 – k b) 10 – k c) 11-k
d) k – 1 e) k + 1

06.Hallar: a + b + m +n
Si:

a) 24 b) 23 c) 22
d) 25 e) 26

07.Sabiendo que:

hallar: (b – a + n + p)

a) 20 b) 19 c) 18
d) 17 e) 16

08.Si se cumple que: hallar (a+b+c)

a) 9 b) 8 c) 10
d) 11 e) 12

TAREA DOMICILIARIA

01. Un móvil recorre por hora kilómetros, observando que después de “c” horas le falta recorres kilómetros , ¿Cuántos kilómetros recorrió hasta ese momento, si debía recorrer kilómetros?

a) 24 b) 30 c) 42
d) 36 e) 58

02. Si escribir el mayor número en base 5

a) 1315 b) 2135 c) 4145
d) 3135 e) 2105

03.Si: = Hallar el valor de a+b

a) 12 b) 6 c) 8
d) 14 e) 10

04. Hallar (m+n), si: 937(m)=117(n)

a) 41 b) 42 c) 43
d) 44 e) 45

05. Hallar (m+n), si;

a) 13 b) 11 c) 8
d) 10 e) 12

06. Si; . Hallar: (a+b+m+n)

a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13

07. ¿Cuántos números se representan con numerales de tres cifras tanto en el sistema septenario como en el nonario a la vez?

a) 249 b) 262 c) 648
d) 354 e) 261
08. Hallar “a”, si: =1089

a) 2 b) 3 c) 4
d) 0 e) 1

09. Si: =1287
además: =55
Hallar: a +b +c +d

a) 9 b) 10 c) 12
d) 13 e) 14

10. Al expresar el número: 44444444447 en el sistema decimal, termina en la cifra:

a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0

DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS
Un número entero A se dice que es divisible entre otro número entero positivo B, llamado divisor, si al dividir A entre B la división resulta exacta. Es decir:

Donde: A  Z
B  Z+
K  Z

Se dice:
A es divisible entre B
B es un divisor de A

Ejemplos: Sea el número 28 y el 7 al dividir:

Se puede decir:
28 es divisible entre 7
7 es un divisor de 28

MULTIPLICIDAD DE LOS NÚMEROS
Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si existe un tercer número entero “K”, tal que al multiplicar por B resulta el número A.

A = BK de la división anterior

Se dice:
A es múltiplo de B
B es un factor de A
Del ejemplo anterior

28 = 7 x 4

28 es múltiplo de 7
7 es un factor de 28

Nota:
 Indicar que un número es divisible o múltiplo de otro, lo consideramos como equivalente
 Todo divisor de un número, es un factor de dicho número.

Si un número entero A es múltiplo o divisible entre otro entero positivo B se denota:
 A =
 A =

Ejemplo:
 21 =  5 =
 -45 =  0 =
 -460 =  14 =
 -57= 

Nota:
El cero es múltiplo de cualquier positivo

Ejemplos:
1. Indique en forma explícita los divisores positivos de 12 y 125.

a. 12:
b. -125:

Se observa que un número es múltiplo o divisible de cada uno de sus divisores

2. Indique en forma explícita los múltiplos de 7 y 11

a. : … -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, …
 = 7k, k  Z

b.

Aplicación:
1. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras son:
a. múltiplos de 15.
b. múltiplos de 9 pero no de 5
c. múltiplo de 7.
d. múltiplo de 13 que terminan en cifras cero.

Rpta:
a. 60 b. 80
c. 128 d.7

NÚMEROS NO DIVISIBLES
Si un número entero A al dividir entre el número entero positivo B, la división resulta inexacta, se afirma que A no es divisible entre B. Por ser inexacta la división puede ser de dos tipos:

Por defecto Por exceso

Donde:
rd + re = B

Si un número no es múltiplo de un módulo, se puede expresar dicho número respecto a este módulo, por defecto o por exceso.

Ejemplo:
 63 = 10 x 6 + 3  63 = 10 x 7 – 7
63 = +3 63 = -7

Además:
N = +11M = -10
M = -6M= +4

Aplicaciones:
1. Calcule la suma de todos números positivos de dos cifras, tal que al dividirse entre 8 se obtienen residuos máximos.
Rpta. 605

2. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras son +7 y además dichos números terminan en cifra dos.
Rpta. 7

Principios:
I. Operaciones con números múltiplos de un mismo módulo:
a. 33 + 22 = 55
+ =
 + =

b. 33 – 22 = 55
– =
 – =

c. 91 =
11 x (91) =
Si A =
 Am =
Si: m  Z+

Aplicación:
1. Calcule cuál es el residuo al dividir entre 13. Si: N = 11x 2m + 910 x 2m + 132 x 2n
n  Z+ y m Zo+

II. Si un número es múltiplo entre cierto módulo es múltiplo con cada divisor del módulo.
Ejemplo: 15:
Entonces:
15 =
15 =
15 =
15 =

III. Si un número es múltiplo con varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos.
Ejemplo: Sea.

Entonces:A=

En General:
Si:
Entonces: A=

Ejemplo sea:
Entonces: 

Si:
Entonces: =

Aplicaciones
1. Calcule el menor número positivo de 4 cifras, tal que al ser divididos entre 2,3,4, … y 9 siempre se obtiene residuos máximos.
Rpta. 2519

2. Calcule cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 4 y pero no de 5.
Rpta. 60

Observación

Ejemplo:
 ( +2)( +1)( +3)= +6
 ( +a)( +b)( +c)…( +x)=
+axbxCx…xX

Aplicaciones:
1. Calcule el residuo al dividir N entre 9 si:
N =
Rpta. 6

2. Calcule el residuo al dividir A entre 22 si:
A = 23 x 24 x 25 x … x 29
Rpta. 2

BINOMIO DE NEWTON:
Sea la multiplicación:

Su desarrollo:
1. = ak
2.

Ejemplos:
 ( +2)6 = +26
 ( – 3)20 = +320
 =
 =
 =

Aplicaciones
1. Calcule el residuo al dividir:
A = (1333)508 entre 11
Rpta. 3

2. Si: B = se expresa en base 8, calcule la última cifra.
Rpta. 5

3. además = calcule la suma de valores de
Rpta. 336

RESTOS POTENCIALES
Se llaman restos potenciales de un entero E(diferente de cero) respecto a un módulo m a los residuos que deja la serie natural de las potencias sucesivas, enteras y positivas de E al ser divididas entre el módulo “m”

Ejemplo:
Calcular los restos potenciales de 5 respecto al módulo 9.
50 = 0+1 =………….. = + 1
51 = 0+5 =…………. = + 5
52 =5.5 =………….. = + 25 = +7
53= 5.52 =………….. =( +5)( +7)
= +35= +8
54=5.53 =………….. = ( +5)( +8)
= +40= +4
55=5.54 =………….. =( +5)( +4)
= +20= +2
56=5.55 =………….. =( +5)( +2)
= +10= +1
57=5.56 =………….. =( +5)( +1)
= +5
58=5.57 =………….. =( +5)( +5)
= +25= +7

Obsérvese que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódicamente. Al tomar una potencia cualquiera luego de 6 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia tomada inicialmente.

Ejemplo:
51, 57, 513, …,
Siempre dejarán de resto 5 respecto al módulo 9
 Las potencias: 53, 59, 515, …,

Siempre dejarán de resto 8 respecto al módulo 9

CASO PARTICULAR: El 5302 al dividirse entre 9, ¿Cuánto deja como resultado?
Solución:
5302 + 9
5302 = =

Toda potencia de 5 cuyo exponente sea múltiplo de 6 más 2, siempre deja como residuo 7.

GAUSSIANO (q)
SE llama gaussiano de un entero E respecto a un módulo m, a la cantidad de restos potenciales diferentes entre sí y diferentes de cero que se repiten ordenada y periódicamente.
Del ejemplo anterior el gaussiano de 5 módulo 9 es 6 porque existen 6 restos potenciales diferentes entre sí que se repiten ordenada y periódicamente.

Ejemplo2:
Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5.
30 = +1 … = +1
31 = +3 … = +3
32 = +4 … = + 4
33 = ( +3)( +4) = +2
34= ( +3)( +2) +1
35=( +3)( +1)= +3
36=( +3)( +3)= +4
37=( +3)( +4)= +2
Los restos que se repiten ordenada y periódicamente son: 1,3,4 y 2.
Luego el gaussiano(g) = 4

Ejemplo:
Al dividir 326 entre 5. ¿Cuál es el residuo?
326 = = +4
Toda potencia de 3 que se +2 al ser dividido entre 5 deja de resto 4.
r = 4

Observaciones
Mediante la aplicación de estos potenciales se determina cualquier criterio de divisibilidad

Ejemplo:
Hallar el criterio de divisivilidad por 7.

Si: N =
Por descomposición Polinómica:
N = h+10g +102f+103e+104d+105c+106b
+107ª+…

Expresando las potencias de 10 según módulo 7.

O también:

Interpretación:
Si N es múltiplo de 7 entonces al multiplicar sus cifras de de derecha a izquierda por: 1,3,2, -1, -3, -2, 1, 3, … respectivamente y al efectuar la suma algebraica, el resultado es también múltiplo de 7.

Ejemplo 2:
Hallar el criterio de divisibilidad por 4 en el sistema de base 5.

Solución:
Si: N =

Descomponiendo Polinómicamente:
N = f +5e + 52d+53c+54b+52a+…

Expresando N según módulo 4:
N=f+(4+1)e+(4+1)2d+(4+1)3c+(4+1)4b+
(4+1)5a+…

Por Binomio de Newton aplicado a la divisibilidad:
N = f( +1)e + ( +12)d + ( +13)c +
( +14)b + ( +15)a + …
N = f+ + e+ + d+ + c+ + b+ +
a + …
N = +(f +e +d +c +b +a +…)

Interpretación:
Para que N sea , entonces la suma de sus cifras tiene que ser también múltiplo de 4.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Sea el numero “N”
Donde: N =

Divisibilidad por 2n y 5n
 N = e =
 n =  =

 N =

Aplicaciones
1. Si:
Calcule: “a”
Rpta. 4

2. Si:
Calcule al suma de los valores de (a+b)
Rpta. 19

3. Si:
Calcule la suma de valores de (a+b)
Rpta. 12

Divisibilidad por 3 y 9
 N =
 N =  a + b + c + e =
 N=  a + b + c + e =

Aplicaciones:
1. Si . Calcule cuál es la última cifra al expresar.
N = en base 3
Rpta. 2

2. Si:
calcule (m + n + p) máximo
Rpta. 18

DIVISIBILIDAD POR 11
N =
+-+-+
N = a + c + e – b – d =

Aplicaciones:
1. Calcule el residuo al dividir
N = entre 11
Rpta. 5

2. Si:
calcule (a + b) máximo.
Rpta. 15

IV. Principio de Arquímedes
Si el producto de dos números enteros es múltiplo de cierto módulo y uno de los números no es múltiplo del módulo, entonces el otro número debe ser múltiplo de dicho módulo.

Ejemplo:
 5a =
a =
 23xb=
b =
 4xc =
2c =
c =
 91xd=
7xd =
d =
 12e = +24  12(e-2)=  e – 2
= e = +2
 8xf= -168(f+2)= f+2=
f = -2
 11xg= +44
g = +4
 5xh= +3

h = +2
 9xi = +1

i = +3
 23n = +1
23n = -23
n = -1

Aplicaciones:
I. Si: 1
41
Calcule la suma de valores de
Rpta. 2550

II. Alexandra tiene una cantidad de estampillas, si los agrupa de 7 en 7 sobran 2; si se agrupan de 9 en 9 le faltan 4 unidades para formar un grupo más. ¿Cuántas estampillas posee si dicha cantidad es el menor posible de 3 cifras?
Rpta. 149
III. Un número expresado en cierta base es:
 múltiplo de la base más la última cifra.
 múltiplo de la base elevado al cuadrado más las dos últimas cifras en dicha base.
 múltiplo de la base elevado al cubo más las tres últimos cifras en dicha base.
Sea: N =

Entonces:
 N = +d
 N =
 N =

Ejemplo:


 N = +3= …….3g = ….103
 M = +4= …47
 P =
 P = ……… (13)(81)
 P = ……… 14(9)

PRACTICA DE CLASE

01.Determinar cuántos números de dos cifras son múltiplos de 3 y 4 pero no de 9

a) 6 b) 5 c) 7
d) 9 e) 8

02.Si un número natural “N” es tal que: N= +2 y N = +4, entonces el resto de dividir “N” entre 30 es:

a) 22 b) 26 c) 28
d) 20 e) 10

03.Calcular el valor de “a” si la suma de con con hasta es múltiplo de 13.

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

04.Un pastor cuenta sus ovejas de 7 en 7, de 4 en 4 de 6 en 6 y siempre le sobra 6, 3 y 5 ovejas respectivamente. Calcular cuantas ovejas tiene este pastor si el número es la menor cantidad posible.

a) 42 b) 50 c) 80
d) 83 e) 167

05.El numeral: siempre es divisible por:

a) 13 b) 17 c) 19
d) 23 e) 29

06.A un evento deportivo asiste una cantidad de personas menor de 300; si 2/11 de los asistentes son mayores de edad, los 5/17 de los mismos son limeños. ¿Cuántos no son limeños?

a) 22 b) 55 c) 77
d) 132 e) 252
07.Si 3A = ; 5A= . ¿Cuál es el menor valor que toman A si es de 3 cifras?

a) 104 b) 119 c) 168
d) 112 e) 108

08.Cuántos números son en los 3000 primeros enteros positivos.

a) 175 b) 176 c) 177
d) 178 e) 180

09.¿Cuántos números de 4 cifras terminados en 3 son divisibles por 7?

a) 124 b) 125 c) 126
d) 127 e) 130

10.Entre 5000 y 12000. ¿Cuántos son múltiplos de 19 y terminan en cifra 6.?

a) 36 b) 37 c) 38
d) 39 e) 40

11.¿Cuántos de los números de 1 a 240 son y pero no de 5?

a) 72 b) 84 c) 96
d) 120 e) 144

12.¿Cuántos de los números de 3 cifras son múltiplos de 7 pro no de 5?

a) 26 b) 106 c) 108
d) 102 e) 103

13.Hallar el residuo de dividir entre +2

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

14.Hallar el valor de “a.b” si:

a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12

15.Hallar el valor de “a+b” si se cumple que:

a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 12

16.Hallar el valor de “a” si: 15! =

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

17.Hallar el residuo de dividir entre 11

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

18.Si se sabe que: . Hallar cuántos valores puede tomar

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

19.Hallar “x” si:

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

20.Hallar el residuo de dividir: entre 11

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 10

21.¿Cuántos múltiplos de 3 y 5 pero no de 4 hay en: 1,2,3,4, …………, 189?

a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11

22.¿Cuántos múltiplos de 4 y 5 pero no de 4 ó 5 solamente, hay de 2 cifras?

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

23.¿Cuántos múltiplos de 7 existen de 3 cifras?

a) 240 b) 192 c) 271
d) 280 e) 128

24.Luego de una votación, se agrupan los votos de 5 en 5 ó de 7 en 7 y siempre sobran 3. ¿Cuántos son los votos si están comprendidos entre 215 y 186?

a) 210 b) 213 c) 218
d) 223 e) 242

25.En un salón de “LORD KELVIN” se observa tres alumnos que siempre faltan, uno de ellos lo hace cada 3 días, otro cada 5 días y el tercero cada 7 días. Si el día de hoy faltan los 3. ¿Dentro de cuántos días volverán a faltar los 3 nuevamente?

a) 90 b) 95 c) 102
d) 105 e) 110

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03

01.¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 18?

a) 50 b) 45 c) 36
d) 48 e) 72

02.El número de la forma: =99 hallar: a – b

a) 6 b) 4 c) -4
d) -6 e) 0

03.Si =9. Hallar “a”

a) 6 b) 7 c) 9
d) 5 e) 8
04.En el hospital hay 180 internos. De los que son dados de alta, se sabe que: 2/5 tienen problemas cardiacos , 3/7 son casados y 2/3 padecen de artritis. ¿Cuántos pacientes seguirán en el hospital?

a) 108 b) 105 c) 210
d) 75 e) 95

05.Calcular el residuo de dividir N entre 7.
N = +2+( +5)( +3)+( -2)( +3)

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

06.Si al ser dividido entre 9, el resto obtenido es 4. Hallar “a”

a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

07. siempre será divisible entre:

a) 5 b) 2 c) 7
d) 13 e) 11

08.El número de la forma:

Hallar « a »

a) 8 b) 4 c) 5
d) 3 e) 2

TAREA DOMICILIARIA

01. Un ganadero cuenta las reses que tenía de 5 en 5, de 8 en 8 y le sobraba 4 y 7 respectivamente. ¿Cuánto recibirá, si cada res la vende a $250 y su establo puede tener como máximo 1120 reses?

a) 275950 b) 255970 c) 257950
d) 299750 e) 279750

02. Un cerrajero cuenta las llaves que tenía de 45 en 45 y de 50 en 50, faltándole 5 y sobrándole 40 en cada caso. ¿Cuántas llaves tendrá si cada una la vende a S/.0,02 y recibe entre 18 y 20 soles?

a) 960 b) 940 c) 920
d) 910 e) 860

03. Del 1 al 300 , ¿Cuántos números son múltiplos de 4?

a) 90 b) 36 c) 75
d) 81 e) 74

04. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8?

a) 128 b) 136 c) 108
d) 118 e) 112

05. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 4 pero no de 3?

a) 225 b) 1205 c) 200
d) 180 e) 150

06. En una división el divisor es +2, el cociente es +4 y el resto +5, entonces el dividendo será:

a) +1 b) +2 c) +3
d) +4 e) +5
07. Si N = +3, entonces N2 es:

a) +2 b) +1 c) +3
d) +5 e) +6

08. ¿Cuál es el residuo de dividir “E” entre 17. E = 34n+2+2.43n+1+8?

a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9

09. ¿Cuál es el residuo de dividir “E” entre 8. E =212+232+252+…+3432?

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 2

10. Hallar “a + b + c” si se cumple que: =5ª.b.c

a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15

SOLUCIONARIO

Nº Ejercicios Propuestos
01 02 03
01. C A A
02. D B D
03. E C E
04. C D D
05. A C C
06. C D A
07. B A E
08. E B C
0