ARITMETICA EJERCICIOS DEL TERCER BIMESTRE DE MATEMATICA DE QUINTO DE SECUNDARIA EN WORD

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DEFINICIÓN:
Se llama fracción a todo par de números enteros dados en un cierto orden, de tal modo que el primero no sea múltiplo del segundo y éste sea distinto de cero:

Sea la fracción: que también se puede representar como par ordenado (a, b), donde a recibe el nombre de numerador y b denominador.
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Generalizando:

(a, b)   x ( – {0})  a    b  ( – {0})

Decimos que v pertenece al conjunto de enteros excluidos al CERO, porque la división entre cero no está definida.

DEFINICIÓN:
Una fracción es una manera de expresar que una cantidad ha sido dividida en cierto número de partes. El numerador indica el número de partes consideradas y el denominador el número de partes en que se ha dividido la cantidad en cuestión. Así 3/10 significa que se están considerando 3 de las 10 partes en que se ha dividido la cantidad.

Nota: Con frecuencia, en la práctica, a la cantidad que se divide se le considera como todo y se la representa con el número 1.

DEFINICIÓN:
Números fraccionarios o fracción, es uno o el conjunto de varias partes alícuotas del módulo o unidad que no constituyan un número natural de unidades.

LECTURA DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS:
Se representa una fracción escribiendo el numerador encima del denominador separados por un trazo horizontal.

Se nombra una fracción escrita, nombrando primero el numerador y después el denominador seguido, en general de la denominación “avos” y por excepción con las denominaciones medio, tercio, cuarto o décimas, centésimas, etc.

Si los términos vinieran expresados por letras, por ejemplo, la fracción se leería “a” betésimas o simplemente “a” PARTIDO por “b”

 cinco séptimos

 trescientos, cuarenta y tresavos

 “m” enésimas

 “c” detésimas

 La fracción que no tiene más que una parte alicuota, se llama unidad fraccionaria:

FRACCIONES INVERSAS
Dos fracciones se dice que son entre si inversas, cuando el numerador de cada una es el denominador de la otra. Así la fracción inversa es y la fracción inversa de es

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar una fracción, es hallar otra igual a ella de términos menores. Se dice que fracción es irreductible o que está reducida a su más simple expresión, cuando ya no puede ser simplificada esto es cuando el numerador y denominador son primos entres si.

Ejemplo: Simplificar

Al pesar de la primera a la segunda se ha simplificado la fracción, pero no se ha reducido a su más simple expresión, ya que a su vez:

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES ORDINARIAS POR LA RELACIÓN DE SUS TÉRMINOS

I. Fracción propia: Es aquella en la que el numerados ES MENOR que el denominador.
Ejemplos:
; en general:  a < b II. Fracción Impropia: Es aquella en la que el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos: ; en general:  a > b

III. Fracciones homogéneas: Aquellas que tiene el mismo denominador.
Ejemplos:

IV. Fracciones heterogéneas: Aquella que tienen distinto denominador.
Ejemplos:

V. Fracción igual a la Unidad: Es aquella en la que el numerador y denominador son iguales.
Ejemplos:
; en general = a  0

VI. Número mixto: Es la suma de un número entero con una fracción, tal como que se expresa como que se puede reducir a fracción:

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR:
Se halla el M.C.M. de los denominadores y él será el denominador común, y se multiplica cada numerador por el cociente de dividir el referido M.C.M. por el denominador correspondiente: Dar común denominador a las siguientes fracciones:

M.C.M. (6; 7; 12) = 84 entonces:

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓN
Definición: Se llama suma de dos números racionales de igual denominador al número racional de igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores. Es decir, que:

SUSTRACCIÓN
Definición: Definida la adición de dos números racionales, definiremos la sustracción como la operación inversa, diciendo que: la sustracción de dos números racionales  y  ( > ) llamadas, respectivamente, minuendo y sustraendo, tienen por objeto hallar otro número racional  llamada diferencia, tal que

Regla General: Para hallar la diferencia entre dos números racionales se reduce a un común denominador. Se restan los numeradores y se pone de denominador el común. Así:

MULTIPLICACIÓN
Definición: La multiplicación de dos números racionales tienen por objeto, dados dos números racionales  y , llamados respectivamente, multiplicando y multiplicador hallar otro número racional  que sea respecto al multiplicando , lo que el multiplicador  es respecto a la unidad.
Con esta definición dada, no hay contradicción con la definición dada en números naturales.
a. Ejemplo:
Si el multiplicador fuese fraccionario  x =p. el producto tienen que ser a , lo que es de 1, luego:

de 

b. Ejemplo:
Consideremos las situaciones siguientes:
Consideremos el siguiente Cuadrado:

Tratemos de calcular la mitad de la tercera parte del cuadrado:

de se escribe

DIVISIÓN
Considerada la división como operación inversa de la multiplicación, daremos la siguiente definición:

Definición: Dados DOS números racionales,  el dividendo y  el divisor,   0 y   la división de números racionales tiene por objeto hallar otro número racional  tal que  .  = 

Esta definición está justificada porque no hay contradicción la definición dada de división en números naturales y además porque satisface la ley de uniformidad.
Regla General: Para dividir dos números racionales, se multiplica el dividendo por la inversa del divisor. Así:

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE NÚMEROS RACIONALES

DEFINICIÓN 1
Se llama máximo común divisor de varios números racionales, al mayor número racional divisor común de aquellos.

Corolario 1: El máximo común divisor de varios números racionales, será la fracción cuyo numerador sea el máximo común divisor de los numeradores de las fracciones irreductibles equivalentes a aquellos y por denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores de las expresadas fracciones irreductibles.

M.C.D.

Corolario 2: Todo número racional divisor común de varios números racionales, será divisor de su máximo común divisor.

DEFINICIÓN 2
Se llama mínimo común múltiplo de números racionales, al menor número racional que es múltiplo común de todos ellos.

Corolario 3: Si varios números racionales vienen expresados por fracciones irreductibles, su mínimo común múltiplo será la fracción cuyo numerador es el mínimo común múltiplo de los numeradores y el denominador el máximo común divisor de los denominadores. Así:

M.C.M. =

Corolario 4: Todo número racional múltiplo común de varios números racionales, será múltiplo de su mínimo común múltiplo.

FRACCIÓN COMPLEJA
Definición
Se llama fracción compleja al cociente indicado en forma de fracción, de dos números de los cuales uno por lo menos NO es número natural.
Ejemplo:

Nota: para simplificar fracciones complejas y reducirlas a fracción simple, las operaciones se deben efectuar en este orden:

1º Multiplicación
2º División
3º Sumas
4º Restas
5º Potenciación y luego radicación

NÚMEROS DECIMALES
Fracciones decimales: Se le llama fracciones decimales aquellas cuyo denominador es una potencia de 10, es decir, la unidad seguida de ceros. Ejemplo:

Así como en las aplicaciones de la aritmética de los números naturales se prefiere utilizar la numeración decimal; en las de los números racionales son las fracciones decimales las más usadas, y por esto, a pesar de que todas las proposiciones que corresponden a ellas se obtienen como caso particular de las ya estudiadas para las fracciones en general, merece un estudio especial.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES
I. Exactas o Limitadas: Tienen una cantidad determinada de cifras decimales.
Ejemplos:
375,284; 0,325; 62,0078142

II. Ilimitadas: Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales y pueden ser: ilimitadas periódicas e ilimitadas no periódicas: las ilimitadas periódicas son aquellas que tienen período o sea que tienen una o más cifras que se repiten en forma constante e ilimitada y pueden ser: periódicas puras o periódicas mixtas:
i. Periódicas Puras: Cuando el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal. Ejemplos:
0,173173173 …….; 378,666 …….

Para abreviar la escritura de un número decimal periódico, se acostumbra a colocar una ligadura que abarque todo un período; también se utiliza una barra o un corchete, así los ejemplos anteriores se pueden representar:

ii. Periódica mixta: Cuando el período empieza después de una o varias cifras, después de la coma decimal, la parte que no constituye el período se llama parte no periódica o parte exacta. Ejemplos:

III. Ilimitadas no periódicas:
Son aquellas donde las cifras salen sin guardar ningún orden y en forma ilimitada. No se pueden obtener dividiendo dos números enteros. Pueden ser: limitadas no periódicas irracionales e ilimitadas no periódicas trascendentes.

i. Numero decimal ilimitado no periódico irracional: Es el que resulta al extraer raíz de cualquier índice a números que no tienen raíz exacta. Ejemplo:
= 1,4142136……………
= 1,2599210……………
= 1,7320506……………
= 1,4422496……………

ii. Número decimal ilimitado no periódico trascendente: Son ciertas constantes matemáticas como:
 = 3,1415926535897932…..
e = 2,718281…………………….

REDUCCION DE FRACCIONES ORDINARIAS A FRACCIONES DECIMALES
Se reduce el quebrado a su mínima expresión y:

1º si el denominador del quebrado posee sólo el factor primo 2 ó 5 ó los dos a ala vez dará origen a una fracción decimal EXACTA o limitada y se puede asegurar que tendrá tantas cifras decimales como indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó 5. Así:

como 6 400 = 28 x 52 como el denominador posee sólo los factores primos 2 y 5, dará origen una fracción exacta o limitada y como el mayor exponente de los factores primos es 8, la parte decimal tendrá 8 cifras, efectivamente:

2º Si el denominador del quebrado no posee el factor primo 2 ni 5, dará origen a una fracción decimal periódica pura.
Para saber cuantas cifras tendrá el periodo se procede de la siguiente forma:

i. Se averigua cuál es el menor número formado por cifras nueve que sea divisible por los factores primos del denominador; la cantidad de “nueves” indica la cantidad de cifras que tendrá el período. Para su resolución ayuda el siguiente cuadro:

9 = 32
99 = 32 x 11
999 = 33 x 37
9 999 = 32 x 11 x 101
99 999 = 32 x 41 x 271
999 999 = 33 x 7 x 11 x 13 x 37
9 999 999 = 32 x 239 x 4649
99 999 999 = 32 x 11 x 101 x 73 x 137

Ejemplo ¿Cuántas cifras tendrá el período?
Como: 33 = 3 x 11 y 99 es el menor número formado por nueves que contiene a 3 y 11 el período tendrá dos cifras.

ii. En la forma general, se descompone (después de hacerla irreductible), el denominador en sus factores primos y se averigua “cuántas cifras” nos da cada factor hallado; calculando después el M.C.M. de las cifras que nos dan los diversos factores. Cada factor da tantas “cifras” como número de nueves tenga el menor de sus múltiplos formado de sólo nueves, como se deduce en el cuadro anterior.

Ejemplo ¿Cuántas cifras tendrá el período?

El período tendrá 6 cifras. En efecto:

iii. Si el denominador del quebrado irreductible, posee el factor primo 2 ó 5 ó los dos a la vez y además posee otro u otros factores primos, dará origen a una fracción decimal periódica mixta, donde la parte no periódica tendrá tantas cifras como lo indique el mayor de los exponentes de los factores primos 2 ó 5 (primer caso) y para determinar cuantas cifras tendrá el periodo se aplica el procedimiento descrito anteriormente. Ejemplo:

Como: 630 = 2 x 32 x 5 x 7
Para la parte no periódica (exacta): 2 x 5 . . . exponente mayor = 1

 La fracción tendrá una cifra en la parte exacta o no periódica y 6 en el período. Efectivamente:

Ejemplo:

Como: 2 255 = 5 x 11 x 41

Para la parte exacta (no periódica): 51 … nos da una cifra

Para la parte periódica M.C.M. (2; 5) = 10

 La parte exacta tendrá una cifra y diez cifras el período:

Propiedad:
La última cifra del período de la decimal periódica pura equivalente a una fracción irreductible cuyo denominador es primo con 10, será igual o distinta a la última de la parte entera, según respectivamente, que el numerador de la ordinaria irreductible termine o no termine en cero.

timas cifras del periodo y de la parte entera son distintas (respectivamente 2 y 1).

REDUCCIÓN DE FRACCIÓN DECIMAL A ORDINARIA
DEFINICIÓN:
Reducir una fracción decimal a ordinaria, es hallar la fracción ordinaria que reducida a decimal, nos da la fracción decimal propuesta.

A la fracción ordinaria que da origen a una fracción decimal se le llama generatriz.

Teorema Nº 1: “La generatriz de una fracción decimal limitada, tiene por numerador el número natural que se forma prescindiendo de la coma en la fracción decimal propuesta y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene la fracción decimal”.

Es una consecuencia inmediata de la definición de fracción decimal, pues si:

comprendidos en este caso aquel que E sea cero y aquellos en que E tenga más de una cifra.

Observación
La generatriz obtenida puede o no ser irreductible. En cualquiera de los dos casos como su denominador no tiene ningún factor distinto de 2 y 5 y al hacerla irreductible. Nunca se introducen factores nuevos, se puede asegurar comprobando lo dicho por el Teorema
1. Ejemplos: Hallar las generatrices de:

0,2  g =
3,125  g =
825,0424  g =

Teorema Nº 2: La generatriz de una periódica pura tiene por numerador la diferencia que se obtiene restando la parte entera, del número natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera el período, y por denominador, un número formado de tantas cifras 9 como cifras tienen el período.

fracción generatriz:

10P g – g =
g (10P – 1) =
g =
g = lo que demuestra el teorema.
Ejemplos Hallar las generatrices de:

35, =

Teorema Nº 3: “La generatriz de una decimal periódica mixta, tiene por numerador la diferencia entre el número natura que se obtiene escribiendo a la derecha de la parte entera las cifras de la parte no periódica y las del período y el número también natural que se forma escribiendo a la derecha de la parte entera la parte no periódica, y por denominador un número formado de tantas cifras 9 como cifras tiene el período, seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica”.
Sea la fracción decimal periódica mixta:

Sea “g” su generatriz:

Al multiplicar ambos miembros por: 10q Se obtiene:

La expresión (1) por 10p+q:

A la expresión (3) le restamos la (2) y como tiene la misma parte decimal, ésta se elimina obteniéndose:

10qg (10p – 1) =
10qg
g =
Lo que demuestra el teorema.

PRÁCTICA DE CLASE

MATERIAL DE CLASE Nº 1
01. ¿La mitad de lo que me queda en una botella de agua mineral es igual a al tercera parte de lo que ya me tomé. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda. ¿Qué fracción de toda mi agua mineral habré tomado?

a) 3/10 b) 3/7 c) 4/7 d) 7/10 e) 10/3

02.Hallar una fracción equivalente a 0.375 tal que el producto de sus términos sea 384. dar como respuesta la diferencia entre el denominador y el numerador de dicha fracción.

a) 20 b) 18 c) 12 d) 24 e) 16
03. Hallar las fracciones equivalentes a: 95/209, tales que la suma de sus términos sea divisible por 3 y por 8; además, la diferencia de esos mismos términos divisible por 7. ¿Cuál es la fracción cuyos términos son los menores posibles? Dar como respuesta el denominador

a) 231 b) 147 c) 77 d) 63 e) N.a

04. El denominador de una fracción excede en 5 unidades a su numerador. Si al numerador le quitamos una unidad, el quebrado resultante es 2/3. ¿Cuál es el numerador del quebrado original?

a) 17 b) 13 c) 11 d) 19 e) 18
05. Un número racional irreductible tiene las siguientes propiedades:
a)
b) Si se divide el intervalo [3/5; 4/5], en cinco partes iguales, el punto x está en el punto medio del tercer intervalo.
Calcular: p + q

a) 5 b) 12 c) 43 d) 25 e) 49

06. ¿Cuántas fracciones comprendidas entre 19/43 y 23/29, son tales que sus términos son números consecutivos?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

07. Hallar la suma de los valores enteros de K, para que E también se entera: E =

a) 12 b) 8 c) 9 d) 16 e) 18

08.El MCD del numerador y denominador de una fracción equivalente a 16/72 es 13. ¿Cuál es esta fracción?

a) 180/234 b) 52/65 c) 26/117 d) 65/117 e) 26/39

09. Martín puede hacer una obra en 30hrs. Y César puede hacer la misma obra en 45hrs. Si los dos trabajan juntos a razón de 6 horas diarias. ¿En cuántos días harán dicha obra?

a) 5 días b) 3 días c) 4 días d) 1 día e) 6 días

10. En un depósito se colocan 4lt de lejía y 8lts de agua. Se consume ¼ de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuántos lt de agua hay en la mezcla final?

a) 9 b) 6lt c) 3lt d) 4lt e) 8lt
MATERIAL DE CLASE Nº 2
11. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 0,1363636…… existen, tales que su numerador sea un número de 2 cifras y su denominador un número de 3 cifras?

a) 17 b) 23 c) 29 d) 39 e) 43

12. ¿A y B pueden realizar cierto trabajo en 4 días; B y C pueden en 12 días en hacer la misma obra. A y C en 9 ¿Cuánto demorarían juntos en hacer una obra?

a) 3 días b) 4 días c) 3 1/3 días d) 3 1/2 días e) 4,5 días

13. al dejar caer al suelo una pelota, cada vez que rebota se eleva a una altura igual a los 2/9 de la altura de donde cayó. Después de 3 rebotes la pelota se ha elevado 16/27 de metro. ¿De qué altura se dejó caer la pelota al empezar?

a) 27mts b) 18mts c) 54mts d) 9mts e) 81mts

14. Si perdiera los 3/7 de mi dinero más S/. 300, luego ganara 4/5 de lo que tengo más S/.100 y finalmente perdiera la mitad del resto, entonces me quedaría S/. 2300. ¿Cuánto tengo?

a) S/.2600 b) S/.3700 c) S/.4200 d) S/.4900 e) S/.5000

15. Hallar el valor de “a”, si: =0,a36363636………..

a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 3

16. Hallar: a +b Si: =0,969696…………

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

17. Efectuar: T =

a) n(n+1) b) c) d) e)

18.Si 0, – =0. Hallar a.

a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6
19. Si la fracción: 18/247 origina un número decimal inexacto periódico puro. ¿Cuáles son las 2 últimas cifras del período?

a) 56 b) 46 c) 26 d) 06 e) 16

20.Hallar N. sabiendo que: es equivalente a 13/17.

a) 2886 b) 2860 c) 2847 d) 2873 e) N.a.

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

01. Encontrar el número racional entre 2/13 y 41/52 cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo.

a) 11/52 b) 19/52 c) 49/104 d) 15/26 e) 9/13

02. El denominador de una fracción excede al numerador de una unidad. Si se agrega a ambos términos de la fracción una unidad, la nueva fracción excede a la original en 1/72. ¿Cuál es la fracción original?

a) 3/4 b) 4/5 c) 5/6 d) 6/7 e) 7/8

03.Si un jugador en su primer juego pierde un tercio de su dinero, vuelve a apostar y pierde los 3/5 de los que le queda y en una tercera apuesta pierde los 4/7 del resto. ¿Qué fracción del dinero que tenía originalmente le ha quedado?

a) 23/105 b) 4/35 c) 22/35 d) 13/105 e) 4/105

04.Sabiendo que A y B pueden realizar una obra en 10 días; B y C lo harían en 12 días; A y C en 15 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra los tres juntos?

a) 6 días b) 5 días c) 7 días d) 8 días e) 9 días

05. Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja: la primera en 9 días, la segunda en 10 días y la tercera en 12 días. Se empleó de la primera brigada. de la segunda y de la tercera. ¿En cuánto tiempo hizo la zanja?

a)7,8 días b) 9 días c) 10 días d) 11,2 días e) 13 días

06.Un automovilista observa que 1/5 de lo recorrido equivale a los 3/5 de lo que falta recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas?

a) 4 hrs. b) 7 hrs. c) 9hrs. d) 5hrs. e) 3hrs.

07.El rebote de una pelota alcanza 2/3 de la altura desde done se la deja caer. Determinar el espacio total recorrido hasta detenerse, si se le deja caer inicialmente desde 17mts. De altura.

a) 85m. b) 102m. c) 93m. d) 51m. e) 60m.

08. Sabiendo que: Hallar: x + y + z + w

a) 21 b) 22 c) 19 d) 20 e) 18

09.Hallar las 3 últimas cifras del desarrollo decimal generado por la fracción 17/83. dar la suma de sus cifras.

a) 5 b) 7 c) 4 d) 8 e) 3

10. Hallar a + b, sabiendo que:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

TAREA DOMICILIARIA

TAREA Nº 1

01. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda. Si ha perdido en total $12. ¿Cuánto tenía el principio?

a) $108 b) $120 c) $132 d) $144 e) $54

02. Naty llega tarde al cine cuando había pasado 1/8 de la película; 6 minutos después llega Ana, y sólo ve os 4/5. si la película empezó a las 16:00 horas. ¿A qué hora termina?

a) 17:20 b) 17:30 c) 18:30 d) 18:20 e) N.a.

03. Una piscina está llena hasta sus 5/6 partes. Si se sacan 20 000 lt. Quedaría llena hasta sus 2/3 partes. ¿Cuántos lts falta para llenarla?

a) 20 000 Lts b) 2 400 Lts c) 3 000Lts d) 18 000 Lts e) 40 000 Lts
04. Una pelota pierde las 2/5 partes de su altura en cada rebote que da. Si se le deja caer desde un metro de altura. ¿Qué altura alcanzará después del tercer rebote?

a) 51,20cm b) 21,60cm c) 36,00cm d) 12,96cm e) 6,40cm

05. Después de vender los 5/9 de un rollo de alambre, queda 1/7 de él más 9,5. ¿Cuál era la longitud original del rollo?

a) 33 b) 20,5 c) 32,5 d) 21 e) N.a.

06. Marcelo compra lapiceros, la mitad a 5 por S/.6 y la otra mitad a 6 por S/.7 Vende los 3/5 del número de lapiceros a 3 por S/.5 y las demás a 4 por S/.7. ¿Cuántos lapiceros habrá vendido si se sabe que ganó S/.930?

a) 900 b) 180 c) 2400 d) 3600 e) N.a.

07. Tres personas tienen que reunir cierta suma de dinero. Si han reunido respectivamente los 5/24, los 3/10 y la quinta parte de dicha suma. ¿qué fracción falta todavía reunir?

a) 11/24 b) 17/24 c) 7/24 d) 13/24 e) 5/24

08. Una persona recibe viáticos por 4 días. El primer día gastó la quinta parte; el segundo día gasto 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedó S/.150. ¿Cuál fue la cantidad entregada?

a) S/.500 b) S/.750 c) S/.360 d) S/.450 e) S/.900

09. César demora 6 días en hacer una obra y Martín demora 12 días en hacer la misma obra. ¿Cuánto demorarían junto en hacer una obra?

a) 9 días b) 3 días c) 4 días d) 2 días e) 4/3 días

TAREA Nº 2

10. ¿Cuál es el quebrado impropio que resulta duplicado, si se resta a sus 2 términos, la mitad de su numerador?. Expresarlo en forma de fracción decimal.

a) 0,8 b) 3,0 c) 0,5 d) 2,5 e) 1,5

11. Hallar la suma de los términos de una fracción, tal que si se le suma su inversa se obtiene: 41/20.

a) 5 b) 8 c) 9 d) 6 e) 10

12. Se divide un tubo en 4 partes desiguales: la primera es 1/3 de la longitud total del tubo, la segunda parte es ¼ y la tercera parte es 2/7 de la longitud total del tubo. Si la cuarta parte mide 11/14 de metro, ¿Cuál es la longitud del tubo?

a) 28mts b) 6mts c) 12mts d) 5mts e) 7mts

13. El producto del numerador por el denominador de un quebrado es 525114. ¿Cuál es dicho quebrado, si al simplificarlo se obtiene 14/31?

a) 151/344 b) 77/688 c) 154/341 d) 182/403 e) 217/242

14. Al tesorero de una sección de 5to. Grado le falta 1/9 del dinero que se le confió. ¿Qué parte de los que le queda restituirá lo perdido?

a) 1/8 b) 1/3 c) 1/6 d) 1/7 e) 1/9

15. Si: =0,037037037……… Hallar: “a + b”

a) 7 b) 6 c) 5 d) 8 e) 9

16. Si Hallar A

a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

17. Si Hallar: a + b

a) 14 b) 15 c) 12 d) 16 e) 2

INTRODUCCIÓN

Nos piden “comparar” la altura de los árboles con un cálculo muy simple podemos establecer que la altura del primero (A), sobrepasa a la del segundo (8) en:

24 – 6 = 18 ……………………………………… (1)

Pero también podemos afirmar que la altura del primero es:

= 4 …………………………………………….. (2)

Cuatro veces, la del segundo.

En ambos casos estamos comparando dos cantidades, en (1) mediante una resta y en (2) mediante una división.

“En matemática, al resultado de comparar dos cantidades se llama razón”

Al resultado de comparar 2 cantidades mediante una resta, se llama razón aritmética o por diferencia y sus términos son:

Cuando se comparan 2 cantidades por división, el resultado se llama razón geométrica o por división y sus términos son:

PROPORCIÓN
Dados cuatro números distintos de cero, en un cierto orden, constituyen una proporción, si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. La proporción puede ser aritmética o geométrica, según que las razones sean aritméticas o geométricas respectivamente.

Proporción aritmética (equidiferencia)
Si: a – b =   c – d = 
 Habrá proporción, ya que:

Si a  b  c  d la proporción se llama discreta y cualquiera de sus cuatro términos, cuarta diferencial.

Propiedad básica:
Suma de medios = suma de extremos
b – c = a + d

Proporción continua:
Aquella en la que los medios son iguales.
a – b = b – c

b = media diferencial o media aritmética.
a y c = tercia diferencial

Por propiedad básica:
2b = a + c
b =

Proporción Geométrica (equicociente)

Si: =K  =K  habrá proporción

Si a  c  d, la proporción es discreta y cualquiera de sus términos: cuarta proporcional.
Propiedad básica
Producto de medios = Producto de extremos
(b)(c) = (a)(d)

Proporción continua:
Aquella en la que los medios son iguales:

b = media proporcional o media geométrica a y c, tercera proporcional.

Por propiedad básica

PROPIEDAD DE LAS PROPORCIONES:
I. Toda proporción se puede escribir de 8 maneras diferentes:

Sea una proporción: se puede escribir.

i. cambiando medios:
ii. invirtiendo i y ii
iii.
iv. permutando términos a i, ii, iii, iv:
v.
vi.
vii.
viii.

2da. Propiedad.-
“En toda proporción se cumple que la suma o diferencia de los primeros términos es a la suma o diferencia de los segundos, como los antecedentes son entre si y como los consecuentes son también entre si”.

Sea: una proporción.

S.p.d.q.:

3ra. Propiedad.-
“En toda proporción se cumple que la suma de los primeros términos es a su diferencia como la suma de los segundos es también a su diferencia”.

Sea una proporción.

S.p.d.q.:

4ta. Propiedad.-
“En toda proporción se cumple que la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes, como cada antecedente es a su respectivo consecuente”.

Sea una proporción

S.p.d.q.:

5ta. Propiedad.-
“En toda proporción se cumple que la suma de antecedentes es a su diferencia como la suma de consecuentes es también a su diferencia”.

Sea una proporción.

S.p.d.q.:

6ta. Propiedad.-
“Si a ambos términos de una se le eleva a un mismo exponente o se les extrae raíz del mismo índice, se obtiene siempre una proporción”.

Sea una propiedad.

1º S.p.d.q.:

SERIE DE RAZONES IGUALES
Se llama así al conjunto de más de dos razones iguales. Así en las siguientes razones:

Notamos que todas las razones tienen el mismo valor (k), por lo tanto, podemos expresar.

=k constante de proporcionalidad o valor de cada razón.

Serie de Razones Iguales.
De los expuesto se deduce que: “La condición necesaria y suficiente para obtener una serie de razones iguales es que todas las razones tengan el mismo valor”.

Ejemplos

1º =0.2 constante de proporcionalidad o valor de cada razón.

2º =0.14287

TEOREMAS RELATIVOS A LA SERIE DE RAZONES IGUALES
TEOREMA 1
“En toda serie de razones iguales se cumple que la suma de antecedentes y la suma de consecuentes forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas”.

Consideremos la serie: =k
S.p.d.q.:
=k

Demostración:
De la hipótesis se deduce:

=k g = hk

a + c + e + g = k(b + d + f + h)

L.q.q.d.

TEOREMA 2
“El producto de los antecedentes y el producto de los consecuentes forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas, elevada a un exponente igual al número de razones que intervienen en la serie”.

Hipótesis:
Sea la serie: =k S.p.d.q.:

Demostración:
De la hipótesis:

Luego: L.q.q.d.

TEOREMA 3
“La raíz enésima del producto de antecedentes y la raíz enésima del producto de los consecuentes de “n” razones iguales, forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas”.
Hipótesis:

Sea la serie:

S.p.d.q.:

Demostración:
Por teorema anterior:

Extrayendo la raíz “n”:
L.q.q.d.

TEOREMA 4
“La raíz “n” de la suma de antecedentes elevados a la potencia “n”, y la raíz “n”, de la suma de los consecuentes elevados a la potencia “n” de “n” razones iguales, forman una razón igual a cualquiera de las razones propuestas.”

Hipótesis:
Sea la serie:

S.p.d.q.:

Demostración:
Elevando cada razón de la hipótesis al exponente “n” se tiene:

Aplicando el primer teorema:

Extrayendo la raíz “n” a ambos términos:

L.q.q.d.

PROPOSICIÓN ARMÓNICA: (*1)
Cuatro términos forman una proposición armónica cuando la diferencia de los dos primeros es a la de los dos últimos como el primero es al último, es decir:

(*1)

i. Un término extremo de esta proporción es:
, de donde x =

ii. Para un medio, se obtiene:
, de donde x =

MEDIO ANARMÓNICO
Cuatro términos están en proporción anarmónica cuando formándose la primera razón como se ha dicho en (*1), la segunda está invertida, así:

Un medio anarmónico (x), se calcula análogamente:
, de donde x=

MEDIA ANARMÓNICA
Es una media proporcional anarmónica y es de la forma:

, de donde x =

PRÁCTICA DE CLASE

RAZONES MATERIAL DE CLASE 1
01.La razón de dos números es y los de su producto es 288. Encontrar al mayor de los dos números.

a) 24 b) 18 c) 15 d) 20 e) 30

02. La razón geométrica, entre dos números cuya suma es 89, se invierte si se añade 23 al menor y se quita 23 al mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números?

a) 46 b) 26 c) 41 d) 23 e) 33

03. A un teatro, por cada 5 hombres que entras, 3 entran con un niño y de cada 7 mujeres 4 entran con un niño; además, por cada 6 hombres entran 5 mujeres. Si entraron 678 niños en total. ¿Cuántos adultos entraron al teatro?

a) 1515 b) 1155 c) 1224 d) 1551 e) 2105

04. En una fábrica embotelladora se tienen 3 máquinas A, B y C. se sabe que por cada 7 botellas que produce la máquina A, la máquina B produce 5; por cada 3 botellas que produce la B la máquina C produce 2. Cierto día, la máquina A produjo 440 botellas mas que C. ¿Cuántas botellas produjo la máquina B ese día?

a) 720 b) 480 c) 600 d) 640 e) 560

05. Dos personas A y B juegan a las cartas, A empezó con S/.2200 y B con S/.4400. Después de jugar 20 partidos, la razón entre lo que tienen A y B es 3/8. ¿Cuántas partidas ganó B si en cada partida se gana o se pierde S/.50?

a) 8 b) 12 c) 14 d) 10 e) 15
06. Se tienen dos escalas de temperatura: la “x” y la escala “y”. la temperatura en que el agua se congela es 0º en “x” y 20º en “y”; el agua hierve es 60º en “x” y 140º en “y”. ¿En qué temperatura coinciden las dos escalas?

a) 11º b) 40º c) 10º d) 20º e) -20º

07. En una competencia ciclística, a le gano a B por 400m y B le ganó a C por 100m. ¿Por cuántos metros le ganó A a C, en una competencia de 1600m?

a) 500 b) 425 c) 475 d) 575 e) 415

PROPORCIONES MATERIAL DE CLASE 2
08. Hallar: S = A + B + C + D, sabiendo que:
A Es cuarta proporcional de B; C y D
B Es tercera proporcional de 8 y 14.
C Es media proporcional de 96 y 24.
D Es cuarta proporcional de 80, 15 y 16

a) 138 b) 125 c) 128 d) 135 e) 145

09. La suma de los términos de una proposición aritmética continua es 100, si el producto de los 4 términos es 375 000. hallar la diferencia de los términos extremos.

a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 25

10. En una proporción geométrica continua el primer término es del cuarto término. Hallar la suma de los antecedentes si el producto de los términos medios es 144.

a) 16 b) 14 c) 12 d) 10 e) 8

11. Si a los 4 términos de una proporción geométrica se le suma un número, se obtiene los números 91; 127; 175 y 253. Hallar la suma de dichos términos.

a) 270 b) 560 c) 820 d) 533 e) 570

12. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 20 736 y la suma de los antecedentes es igual al producto de los consecuentes. Hallar la suma de sus términos.

a) 46 b) 73 c) 64 d) 36 e) 48

13. En una proporción geométrica y continua el producto de los antecedentes es 400 y el de los consecuentes es 6400. hallar la suma de los 4 términos.

a) 210 b) 220 c) 420 d) 510 e) 250
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICOS IGUALES
14. Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2, 3 y 8 respectivamente son proporcionales a: 10, 25 y 50; encontrar el número mayor.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 13

15. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5,3 y 16 Hallar los números.

a) 4 y 16 b) 4 y 15 c) 2 y 8 d) 8 y 32 e) N.a.

16. En una serie de cuatro razones geométricas iguales, loas antecedentes son: 3,5,7,11 y el producto de los consecuentes 721875. ¿Cuál es el mayor de dichos consecuentes?

a) 45 b) 30 c) 20 d) 55 e) 60

17. En una serie de cuatro razones geométricas continuas e iguales, la suma del primer antecedente y del tercer consecuente es 336. determinar la suma de los consecuentes, si se sabe que la suma de las cuatro razones es 4/3.

a) 1440 b) 1480 c) 1420 d) 1430 e) 1450

18. Se tiene: =4, Además: X. Y. Z. = 192, Hallar: U.N.I.

a) 24 b) 28 c) 16 d) 20 e) 32

19. Sabiendo que: , Calcular: N + O + R + M + A.

a) 433 b) 434 c) 500 d) 278 e) 474

20. Si se cumple: , y (a2 + b2 + c2 + d2).(b2+c2+d2+e2)=44100. Calcular: M=5(ab+bc+cd+de).

a) 420 b) 630 c) 840 d) 1050 e) 1260

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02

01. De un grupo de niñas y niños se retiran 15 niños, quedando 2 niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan 5 niñas por cada niño. El número de niñas al comienzo era de:

a) 20 b) 25 c) 29 d) 43 e) 55
02. La razón del dinero que tienen César y ana se invierte cuando César le dá a ana S/.125. ¿Cuánto tiene ana si entre los dos tienen S/.3235?

a) 2365 b) 1645 c) 1655 d) 1550 e) 1555

03. A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta?

a) 2/3 b) 2/6 c) 3/7 d) 5/4 e) N.a

04. La suma de los cuatro términos de una proporción es 65. Cada uno de los 3 últimos términos es los del precedente. ¿Cuál es el último término?

a) 18 b) 15 c) 13 d) 9 e) 8

05. Si la cuarta parte de A, 1/5 de B y 3/20 de C son entre si como 4, 5 y 6 respectivamente. Hallar A, si: 2B + C = 360.

a) 64 b) 54 c) 65 d) 45 e) 38

06. Si la tercera proporcional de “a” y “b” es la media proporcional también de “a” y “b” luego:

a) a = b b) b2 = a c) a2 = b d) b2 = a3 e) 2 = b3

07. A, B y C tienen fichas de pago. Lo de A es a lo de B como 4 es a 5; lo de B es a lo de C como 8 es a 5. Si lo que tiene A excede a lo de C en 315. Hallar lo que tiene B.

a) 1500 b) 2100 c) 2400 d) 1800 e) N.a.

08. En una competencia de 1600m. a le ganó a B por 400m y B le ganó a C por 100m. ¿Por cuántos metros le ganó A a C?

a) 500 b) 450 c) 425 d) 475 e) N.a.

09. Dada la siguiente serie de razones iguales: además: b – d = 24. Hallar a +b +c +d

a) 126 b) 143 c) 146 d) 134 e) 162

10. En una serie de razones equivalentes, los antecedentes son: 2, 3, 7 y 11. el producto de los consecuentes es 37422. hallar la suma de los consecuentes.

a) 60 b) 63 c) 66 d) 69 e) 72
11. Si: hallar: N + A + T + Y

a) 480 b) 380 c) 420 d) 450 e) 370

12. Tres números son entre sí como 2; 5 y 7 sise les quita 5; 19 y 26 respectivamente originan 3 números que forman una progresión aritmética creciente. Hallar el mayor de los números

a) 49 b) 42 c) 56 d) 63 e) 70

TAREA DOMICILIARIA

TAREA RAZONES
01. La suma de tres números es 503 y dos de ellos están en la relación de 17 a 18, que sumados dan 385. ¿Cuál es el menor número?

a) 118 b) 96 c) 87 d) 187 e) 198

02. Un padre tiene 34 años y su hijo 7. al cabo de cuánto tiempo la razón de las edades será .

a) 10 b) 15 c) 20 d) 14 e) N.a.

03. Hallar la razón aritmética entre la tercera proporcional de y la cuarta proporcional de

a) b) c) d) e) 1

04. Las edades de una pareja de esposos son proporcionales a la suma y a la diferencia de las edades de sus 2 hijos, cuyo producto es 7. Si la esposa tuvo a su primer hijo a los 17 años. Hallar la edad del esposo.

a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e) 40

05. Lo que tiene Martín es a lo que tiene César como 13 es a 18. si uno de ellos le da al otro S/.80 ambos tendrán la misma cantidad. ¿Cuántos nuevos soles tiene entre los dos?

a) 992 b) 1023 c) 1054 d) 1085 e) 1116

06. Iván tiene 24 años y Martín tiene los 5/8 de la edad de Iván. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será de 3 a 4?

a) 10 b) 15 c) 12 d) 18 e) N.a.

07. ¿En qué mes y día de un año común se cumplirá que: el tiempo transcurrido del año, es al tiempo que falta transcurrir del año como 33 es a 40?

a) 12 Junio b) 7 Junio c) 10 Junio d) 15 Junio e) 14 Junio

08. Un jugador de billar A, le da ventaja a B, 40 carambolas para 100 y B le da ventaja a C, 60 carambolas para 100. ¿Cuántas carambolas debe dar A a C en un partido de 100?

a) 35 b) 38 c) 28 d) 70 e) 76

09. En una fiesta concurren 400 personar entre hombres y mujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas, por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron?

a) 120 b) 240 c) 80 d) 160 e) 200

10. Ana tiene 400 fichas entre rojas y azules, de las cuales 240 son rojas. ¿Cuántas de estas? Fichas rojas deben de ser pintadas de azul para que estén en la razón de 3 a 5

a) 100 b) 600 c) 75 d) 80 e) 90

11. Lo que gana y ahorra semanalmente un individuo está en la relación e 5 a2. lo que gana y gasta suman S/.640 . Hallar el ahorro mensual.

a) 560 b) 640 c) 480 d) 720 e) N.a.

TAREA PROPORCIONES
12. El valor de una razón de una proporción geométrica es 5/9. si el producto de los antecedentes es 1 800 y la suma de los consecuentes es 162. hallar la diferencia de los antecedentes.

a) 28 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36

13. Entre A, B y C tienen 920 canicas. A tiene 1/3 más que B; y éste 1/3 menos que lo de C. ¿Cuántas canicas tiene uno de ellos?

a) 400 b) 340 c) 200 d) 240 e) 280

14. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de sus cuatro términos es 128. hallar el valor de la razón aritmética. Sabiendo que los extremos son entre si como 5 es a 3.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 16 e) 24
15. La diferencia entre el mayor y el menor término de una proporción geométrica continua es 25 si el otro término es 30. Hallar la suma de los términos extremos.

a) 35 b) 45 c) 55 d) 65 e) 75

16. Sabiendo que:
– “a” es la media proporcional de 8 y 32.
– “b” es la tercera proporcional de 32 y a
– “c” es la 4ta proporcional de a; b y 6.

Hallar (a+b+c)
a) 27 b) 24 c) 32 d) 28 e) 21

17. En una proporción geométrica continua la suma de los consecuentes es 9 y el producto de los términos diferentes es 216. hallar la suma de los antecedentes.

a) 12 b) 18 c) 9 d) 15 e) 21

18. En una proporción aritmética discreta los extremos son entre sí como 4 a 3 y los medios son como 5 a 9 si la suma de los antecedentes es 68. Calcular la cuarta diferencial.

a) 32 b) 36 c) 24 d) 28 e) 38

19. Si la cuarta proporcional de 48; a y (a + 20) es la media proporcional de 10 y 250. hallar la suma de cifras de “a”.

a) 4 b) 8 c) 6 d) 10 e) 7

20. Se tiene una proporción geométrica discreta cuya razón es 3/8 si la razón aritmética de los antecedentes es 19,5. Hallar la suma de los términos extremos.

a) 53 b) 63 c) 48 d) 64 e) más de 68

21. Al recorrer 1km Andrea le da ventaja a Elitza de 400 metros y Elitza le da a Carlos 300 metros para una carrera de 500 metros. ¿Cuánto de ventaja debe darle Andrea a Carlos en una carrera de 1 Kilómetro?

a) 730m b) 710m c) 750m d) 760m e) 770m

22. En una proporción aritmética continua la suma de los cuadrados de sus términos diferentes es 200 y el producto de los términos extremos es 60. Calcular la media diferencial.

a) 7 b) 8 c) 10 d) 6 e) 5

23.Si: a + b = 15
c + d = 25
b + d = 16

Además indicar el valor de “a”

a) 3 b) 6 c) 9 d) 10 e) 15

SOLUCIONARIO

Nº Ejercicios Propuestos
01 02
01. D B
02. E E
03. B A
04. D E
05. B A
06. C A
07. A D
08. A D
09. C D
10. D D
11. A
12. A
13.
14.
15.