ARITMETICA EJERCICIOS DEL CUARTO BIMESTRE DE MATEMATICA DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

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CONJUNTO NUMÉRICO DE APLICACIÓN:

NÚMERO PRIMO ABSOLUTO

Son aquellos números que poseen solamente dos divisores que son : la unidad y él mismo.

Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 11; 13; …..

Divisores de 2: 1; 2
Divisores de 3: 1; 3
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NÚMERO COMPUESTO

Son aquellos números que poseen más de dos divisores.

Ejemplo : 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14

Divisores de 2: 1; 2; 4
Divisores de 6: 1; 2; 3; 6

NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRE SI (PESI)

Dado un conjunto de números, diremos que son primos entre sí, cuando tienen como único divisor común a la unidad.

Ejemplo 1: Sean los números 8 y 15

Divisores de 8: 1 ; 2 ; 4 ; 8

Divisores de 15: 1 ; 3 ; 5 ; 15

Como la unidad es el único divisor común, 8 15 son primos entre sí (PESI).

Ejemplo 2: Sean los números 10 , 12 y 15

Divisores de 10 : 1 ; 2 ; 5 ; 10

Divisores de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

Divisores de 15 : 1 ; 3 ; 5 : 15

Como la unidad es el único divisor común 10; 12 y 15 son primos entre sí (PESI)

PROPIEDADES

1. La serie de los números primos es limitada.
2. Todo número primo es mayor que 3, siempre es de la forma ; lo contrario no siempre se cumple.

Ejemplos:

• •
• •

3. Todo número consecutivos siempre son primos entre sí.

Ejemplo:

• 8 y 9 son PESI
• 14 ; 15 y 16 son PESI

REGLA PARA AVERIGUAR SI UN NÚMERO ES PRIMO.

– Se extrae la raíz cuadrada del número, si a raíz cuadrada es exacta, entonces el número no es primo, en caso contrario se sigue el siguiente paso.

– Se divide al número entre todos los números primos menores a la raíz cuadrada aproximada.

– Si todas las divisiones son inexactas el número será primo, pero si al menos una división es exacta entonces el número no será primo.

Ejemplo: Sea el número 131.


2º Primos menores que 11; 4; 2; 3; 5; 7; 11

Como todas las divisiones so inexactas 131 es primo.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA.

Todo número compuesto se puede expresar como un producto de factores primos diferentes elevados a ciertos exponentes; esta expresión es única y se llama “descomposición canónica”.

Ejemplo: Sea el número 360

360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1

Sea:

1. Cantidad de divisores de

Ejemplo:

2. Suma de divisores

Ejemplo 1:

Para el número 18, la suma de sus divisores es:

En general:

Sea

3. Suma de inversas de los divisores
Ejemplo:

Calcule la suma de las inversas de los divisores de 30.
Analizando sus divisores

En general : para N

4. Producto de divisores
Ejemplo I.

Sea el número 18:

Donde 6 es la cantidad de divisores de 18

Ejemplo 2

Donde 5 es la cantidad de divisores de 81

En general: para N

5. Función de Euler
Se define para todos los enteros positivos N y representa la cantidad de números enteros positivos menores que N y que son primos relativos (PESI) con N. Algunas veces la función es llamada “Indicador de N”

1. Si N es primo entonces:

2. Si p es número primo y  es un entero positivo entonces:

En general:
Sea N descompuesto canónicamente:

Entonces:

Si : N > 1 entonces la suma de los enteros positivos menores o iguales a N y PESI con N es;

PRÁCTICA DE CLASE

01. Indicar la suma de cifras del número de divisores de 600.

a) 6 b) 3 c) 9
d) 12 e) 15

02. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 360?

a) 20 b) 21 c) 22
d) 18 e) 19

03. Determinar el número de divisores pares del numeral 360.

a) 45 b) 40 c) 48
d) 65 e) 70

04. Calcular la cantidad de divisores impares del numeral 54 000.

a) 12 b) 9 c) 15
d) 16 e) 18

05. Si el numeral es PESI con 30, calcular la suma de valores de a.

a) 19 b) 20 c) 25
d) 30 e) Faltan datos

06. Hallar a – b sabiendo que tiene 2 divisores más que .

a) 2 b) 1 c) 5
d) 4 e) 3

07. Si : tiene 27 divisores, hallar cuántas cifras tiene .

a) 9 b) 7 c) 10
d) 12 e) 13

08. ¿Cuál es el valor de “a” si el número tiene 68 divisores compuestos?

a) 2 b) 8 c) 4
d) 5 e) 9

09. Si el número tiene tres divisores menos que le número . Calcular : P = A + 2B

a) 775 b) 1 225 c) 500
d) 225 e) 950

10. Calcular el valor del menor número que tenga 14 divisores. Indicar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 12 b) 9 c) 6
d) 15 e) 18

11. ¿Cuántos ceros debe tener N = 2 000….0 para que admita 56 divisores?

a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8

12. Si : tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de 2. Hallar “a . 2 + 3 . b”

a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22
13. ¿Cuál es el menor que tiene 15 divisores?

a) 120 b) 36 c) 18
d) 148 e) 144

14. Si , tiene 75 divisores compuestos, hallar el valor de k.

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

15. Sabiendo que tiene 8 divisores, dar la suma de todos los posibles valores de “a”.

a) 2 b) 7 c) 14
d) 12 e) 23

16. ¿Cuántos divisores compuestos como mínimo puede tener un número, si se sabe que tiene 60 divisores?

a) 54 b) 55 c) 53
d) 56 e) 58

17. ¿Cuántos divisores debe tener un número cuya descomposición canónica es para que su raíz cuadrada tenga 20 divisores?

a) 63 b) 48 c) 80
d) 54 e) 60

18. Si: tiene 84 divisores que no son divisibles por 12, hallar “a”.

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

19. Dar la suma de las cifras del número que descompuesto en sus factores primos es . Sabiendo que tiene 72 divisores y el número no es divisible por 27.

a) 9 b) 18 c) 24
d) 27 e) 30
20. Determinar N sabiendo que admite sólo 3 divisores primos que sumados resulta 16. Dar como respuesta el menor valor que adopta N, si éste tiene 30 divisores.

a) 1 500 b) 1 584 c) 1 600
d) 1 700 e) 1 728

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

01. ¿Cuántos números primos comprendidos entre 100 y 160 son tales que la suma de sus cifras sea un número par?

a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8

02. ¿Cuántos primos absolutos de la forma existen de modo que la suma de sus cifras sea 13, siendo o = cero?

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

03. Si se divide 360 entre x; (x + 24) y (x + 48); en los tres casos se obtienen divisiones exactas. Hallar el residuo de dividir 360 entre (x + 72)

a) 18 b) 12 c) 20
d) 24 e) 30

04. Si es igual al producto de varios factores primos consecutivos, donde o = cero, entonces a + b + c es:

a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 11

05. Si es un número primo, mayor que 40 ¿Cuántos divisores que son números compuestos tendrá el número ?

a) 144 b) 288 c) 225
d) 280 e) 136

TAREA DOMICILIARIA

01. Si : tiene 23 divisores compuestos, hallar “x”.

a) 10 b) 11 c) 12
d) 9 e) 8

02. Halle “n”, si : tiene 154 divisores.

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

03. Si tiene 20 divisores más que , ¿Cuántos divisores tendrá ?

a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16

04. Si tiene divisores, ¿Cuántos divisores tiene ?

a) 18 b) 9 c) 21
d) 36 e) 45

05. ¿Cuántas veces será necesario multiplicar por 10 al numeral 16 para que el resultado tenga 60 divisores?

a) 4 b) 5 c) 8
d) 10 e) 7

06. Si : tiene 36 divisores, hallar el valor de “n”.

a) 4 b) 5 c) 3
d) 1 e) 0

07. Hallar “a”, para que el numeral tenga 30 divisores.

a) 7 b) 5 c) 6
d) 3 e) 2

08. Hallar un número primo mayor que 3 tal que su cuadrado, disminuido en la unidad, dividido por 8, da por cociente un número primo.

a) 13 b) 11 c) 7
d) 5 e) 17

09. El número 7 920:
– ¿Cuántos divisores son pares?
– ¿Cuántos divisores son impares?
– ¿Cuántos divisores son múltiplos de 33?

a) 36; 24; 20 b) 36; 18; 26
c) 48; 12; 20 d) 48; 12; 30
e) 48; 18; 20

10. Calcular el valor de “n” si el número: tiene 88 divisores divisibles por 8 pero no por 5.

a) 2 b) 3 c) 4
d) 7/3 e) 5

Conjunto numérico de aplicación :

Máximo Común Divisor (MCD)

El máximo común divisor de un conjunto de dos o más números es aquel número que cumple dos condiciones :

– Es divisor común de los números.
– Es el mayor posible.

Ejemplo: Sean los números 18 y 24
Divisiones comunes: 1 ; 2 ; 3 y 6

Mayor
 MCD (18 ; 24) = 6

Asimismo:
MCD (60 ; 40) = 20 ; MCD (32 ; 40) = 8

PROPIEDADES

1. Todos los divisores comunes de varios números, son también divisores de su MCD.
2. Si A y B son PESI, se cumple:

MCD (A ; B) = 1

Ejemplo : MCD (8 ; 15) = 1

3. Si ; se cumple:

MCD (A ; B) = B

Ejemplo: MCD (60 ; 15) = 15

MÉTODOS PARA DETERMINAR EL MCD.

1. Por descomposición simultánea:

Ejemplo : Sean los números 540 ; 630 y 810

540 – 630 – 810 2
270 315 405 3
90 105 135 3
30 35 45 5
6 7 9

MCD (540 ; 630 ; 810) =

2. Por descomposición canónica:

Cuando los números están descompuestos canónicamente, el MCD está determinado por el producto de los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes.

Ejemplo : Sean los números:

Se cumple: MCD (A ; B) =

3. Por divisores sucesivas o Algoritmo de Euclides:

Sean los números A y B (A > B)

 MCD (A ; B) =

Ejemplo : Hallar el MCD de 391 y 323

 MCD (391 ; 323) = 17

PROPIEDADES

1. Sean los números A y B
Donde : MCD (A ; B) = d
Se cumple:

A = dp B = dp

• p y q son PESI

2. Si MCD (A ; B) = d

Ejemplo : Si MCD (14A ; 21B) = 350
7 MCD (2A ; 3B) = 50
x 4 MCD (8 A ; 12B) = 200

3. Se cumple:

MCD (AK ; BK) = MCD (A ; B) . K

Ejemplo: MCD (8 K ; 12 K) = 4 K
MCD (15 K ; 35 K) = 5 K
MCD (8 K ; 15 K) = K

4. Sean los números A ; B ; C y D
Donde : MCD (A ; B) =
MCD (C ; D) =
Entonces : MCD (A; B; C; D) = MCD

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar el MCD de 168; 248 y 360

a) 4 b) 8 c) 16
d) 12 e) 24

02. Si A = 15B y MCD (A , B) = 18, calcular: (A + B)

a) 240 b) 210 c) 250
d) 288 e) 300

03. El MCD de 3A y 24C es igual a 18N y el MCD de “c y B es 2N. Hallar el valor de “N” si el MCD de A y 4B y 8C es 210.

a) 8 100 b) 4 860 c) 1 620
d) 3 240 e) 2 700

04. El MCD de los números 36K; 54K y 90K es 1 620. Hallar el menor de los números

a) 8 100 b) 4 860 c) 1 620
d) 3 240 e) 2 700

05. Si el MCD de A y B es 74 y el MCD de 7 A y 5B es 2 590, calcular B si la suma de A y B es 888.

a) 500 b) 518 c) 524
d) 532 e) 540

06. Hallar el valor de “K” si:
MCD (5 A ; 5 B) = 20 K
MCD (A , B) = 5K – 10

a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 16

07. Si MCD (1524 ; N) = 127, hallar el número de valores que podría asumir “N”.

a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8

08. Hallar la suma de los cocientes sucesivos que se obtienen al calcular el MCD de los números 66 y 51 por el Algoritmo de Euclides.

a) 6 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11

09. Determinar el MCD de 1 240 y 980 por el método del Algoritmo de Euclides. La suma de los cocientes que se obtienen en le proceso, es

a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13

10. Hallar la valor de dos números sabiendo que están en la relación de 5/16 y que su MCD es 21.

a) 105 y 336 b) 115 y 216
c) 131 y 256 d) 96 y 435
e) 115 y 336

11. La suma de los residuos que se obtienen al calcular el MCD de 1 050 y 238 por el método de las divisiones sucesivas es

a) 154 b) 78 c) 308
d) 96 e) 98

12. Se calculó el MCD de un par de números que suman 222, por divisiones sucesivas, siendo los cocientes 1 ; 2 ; 1 ; 3 y 4.El mayor de ambos es

a) 128 b) 126 c) 124
d) 122 e) 120

13. En la determinación del MCD de un par de números por el método de Algoritmo de Euclides, se obtuvo los cocientes sucesivos; 1 ; 3 ; 2 y 4. Si el MCD es 7 ; el número mayor es

a) 240 b) 260 c) 280
d) 290 e) 310
14. Si el MCD de 6 432 y 132 se disminuye en 8, entonces será igual a

a) – 6 b) 6 c) 2
d) 3 e) 4

15. Determinar el MCD de 2 227 y 2 125 por el método del Algoritmo de Euclides e indicar la suma de los residuos obtenidos.

a) 204 b) 17 c) 324
d) 96 e) 102

16. Aplicando el método del Algoritmo de Euclides determinar el MCD de 1 348 y 1172. Dar como respuesta la suma de los cocientes obtenidos en el proceso.

a) 25 b) 26 c) 23
d) 24 e) 27

17. Si : MCD de y es 99; hallar (a + b + c)

a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18

18. Se tiene tres cajas de galletas a granel y se desea empaquetarlas en bolsas plásticas de manera que no sobren de las 270, 390 y 450 galletas que respectivamente hay en las cajas. ¿Cuántas bolsas plásticas como mínimo se necesitan?

a) 74 b) 38 c) 66
d) 37 e) 84

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02

01. Para calcular el MCD (A , B) se utilizó el método del algoritmo de Euclides donde los cocientes sucesivos son 8, 4, 1 y 4 respectivamente. Si el mCD (A , B) = 6, la suma de los números es:

a) 1324 b) 1325 c) 1437
d) 1439 e) 1530

02. Al calcular el MCD de dos números mediante el algoritmo de Euclides se obtuvo como cocientes sucesivos a: 1 ; 2 y 2 si la diferencia fdel MCM y el MCD es igual a 510. Hallar la suma de los 2 números.

a) 180 b) 210 c) 240
d) 270 e) 280

03. El MCD de y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 36. Indicar la suma de dichos números.

a) 1554 b) 1110 c) 1776
d) 1221 e) 1332

04. Si se dividen los números 8888 y 11888 entre se obtiene por residuos 529 y 314, respectivamente. Hallar a + b + c.

a) 13 b) 15 c) 17
d) 22 e) 12

05. Se tienen 2 números A y B tales que
MCD (3 A , 3B) = 24
MCM (A/4 , B/ 4) = 30
Hallar A + B sabiendo que no son divisibles entre sí.

a) 60 b) 48 c) 64
d) 72 e) 84

TAREA DOMICILIARIA

01. Si al calcular el MCD de dos números por el algoritmo de Euclides se obtuvieron los cocientes sucesivos 2; 5; 3 y 2, calcular el MCD de los números si la diferencia de ellos es 880.

a) 20 b) 25 c) 16
d) 28 e) 14

02. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 420; 360 y 1260?

a) 12 b) 10 c) 8
d) 6 e) 4

03. Los residuos que se obtienen al calcular el MCD de 1 050 y 238 por divisiones sucesivas suman

a) 78 b) 154 c) 308
d) 96 e) 201

04. El MCD de dos números es 13. Se desea conocer el menor de los números, si los cocientes sucesivos que se obtienen al hallar su MCD por divisiones sucesivas son 11; 9; 1; 1 y 2.

a) 604 b) 614 c) 624
d) 637 e) 650

05.
y MCD (A , B) tiene 15 divisores, calcular “n”

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

06. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B es 162

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
07. Si : MCD
Halle (a + b + c)

a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18

08. Si :

Hallar : (x + y + z)

a) 25 b) 27 c) 29
d) 31 e) 33

09. Hallar la suma de las cifras del MCD de los números 936; 360 y 1080.

a) 6 b) 9 c) 12
d) 15 e) 18

El MCM de un conjunto de números es le menor de los múltiplos comunes de varios números.

Sean los números:

• 12: 12, 24, 36 , 48, 60, 72 , 84, 96, 108 , 120 …

• 18: 18, 36 , 54, 72 , 90 , 108 , 126, 144 …

Múltiplos

 El MCM (12 ; 18) = 36
Obs.: Múltiplos comunes : 36 , 72 , 108 …

Múltiplos de …
Propiedad:

Los múltiplos comunes de varios números son múltiplos de su MCM.

Problema:

Si el MCM (A , B) = 36, ¿Cuántos múltiplos comunes positivos menores que 180 tienen A y B?

Solución:

Cálculo del MCM:

1. Por descomposición simultánea

Sean los números 360; 300 y 200

360 – 300 – 200 2
180 150 100 2
90 75 50 2
45 75 25 3
15 25 25 3
5 25 25 5
1 5 5 5
1 1 1

2. Por descomposición canónica
Pasos:

– Se descomponen los números canónicamente, en factores primos.
– El MCM estará dado por los factores primos comunes y no comunes elevados sus mayores exponentes.

Ejemplo: Sean los números 360; 300 y 200



El MCM :

Problema :
¿Cuántos divisores tiene el MCM de ?

Solución:

Propiedades:

1. Para 2 números A y B que sean P.E.S.I.
El MCD será siempre la unidad y el MCM será el producto de los menores.

Para 2 números A y B, P.E.S.I.
EL MCD (A , B) = 1
El MCM (A , B) = A . B

2. Para 2 números A y B se cumple siempre que el producto del MCD será igual al producto de los números.

Para 2 números A y B
MCD (A , B) . MCM (A , B) = A . B

3. Si al conjunto de números se le multiplica o divide por cierto factor su MCM también queda multiplicado o dividido por el mismo factor.

Si MCM (A , B) = P
MCM (kA , kB) = kP

4. Si el MCM de 2 números es “n” y el MCM de otros 2 números es “m” entonces el MCM de los números será el MCM de n y m.

Si MCM (A , B) = n ; y
MCM (C , D) = m
 MCM (A , B , C , D) = MCM (n,m)

5. Para 2 números A y B
Si MCD (A , B) = n
MCM (A , B) = m

Se cumple :
A = np
B = nq m = npq
 A . B = nm

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar el MCM de los números:

a) b) c)
d) e)

02. Si el MCM (A , B) = 36, ¿Cuántos múltiplos comunes positivos menores que 360 tiene A y B?

a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 7

03. ¿Cuántos múltiplos comunes de 4 cifras tienen los números: 24, 50 y 60?

a) 12 b) 15 c) 14
d) 13 e) 16

04. Sean A y B dos números primos entre sí, ¿Cuál será su MCD y cuál su MCM?

a) A, B ; A – B b) A + B ; A – B
c) AB ; 1 d) 1 ; A x B
e) No se puede saber

05. ¿Cuántos divisores tiene el MCM de 1 008 y 2 100?

a) 45 b) 90 c) 135
d) 80 e) 60

06. Hallar “n” si el MCM de:

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

07. Si el MCM de A = y tiene 72 divisores, ¿Cuántos divisores tiene A?

a) 45 b) 90 c) 60
d) 54 e) 64

08. Hallar “k” si el MCM de y tiene 72 divisores.

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

09. Hallar “x” en los números

Para que se cumpla: MCM (AB) = 12 MCD (A , B)

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

10. EL MCM de 2 números es 320. Hallar dichos números sabiendo que la diferencia entre ambos es igual a 7 veces el menor

a) 320 y 60 b) 320 y 50 c) 320 y 40
d) 320 y 30 e) 320 y 20

11. Estrella trabaja 11 días seguidos y descansa el décimo segundo día. Si comenzó a trabajar un día Lunes, entonces, ¿Cuántos días transcurrirán para que pueda descansar un domingo?

a) 83 b) 89 c) 90
d) 77 e) 84

12. En el colegio “Lord Kelvin” hay menos de 700, alumnos. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12 siempre sobran 5; pero si se cuenta de 11 en 11 no sobra ninguno. ¿Cuántos alumnos hay?

a) 125 b) 245 c) 365
d) 605 e) 485
13. La edad que tiene un profesor del colegio Lord Kelvin es múltiplo de 2 más 1, múltiplo de 7 más 6 y múltiplo de 10 menos 1. Si una pitonisa le dijo que iba a vivir 70 años, ¿Cuántos años faltaría para dejar este mundo?

a) 0 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1

14. SI se sabe que el MCM (A , B) = 1 848 y A/B = 12. Encontrar el valor de (A – B).

a) 154 b) 1694 c) 1419
d) 1562 e) 1672

15. Hallar el valor de MCM (2 A , 3B), sabiendo que : A . B = 5 760 y MCD = 8

a) 360 b) 720 c) 1440
d) 820 e) 480

16. Hallar dos números, sabiendo que su producto es igual a 8 veces su MCM y que su suma es igual a 6 veces su MCD.

a) 8 y 40 b) 8 y 30 c) 8 y 20
d) 6 y 40 e) 6 y 30

17. Un automovilista viaja a velocidad constante, recorriendo primero 900 km y luego 1 350 km. Si el MCM de los tiempos empleados es 90 horas, hallar el tiempo que viajó.

a) 30 b) 40 c) 45
d) 60 e) 75

18. Para que un objeto que pesa más de 2 000 g complete un peso de 10 kg se puede utilizar un número exacto de pesas de 40 g, 50 g, 60 g ó 0 g.
¿Cuál es el peso exacto del objeto?

a) 4 200 g b) 2 800 c) 8 400
d) 5 800 e) 3 000
19. Tres automóviles parten juntos del mismo punto de partida de un circuito cerrado de 3600 m de longitud, si las velocidades de ellos son 60, 36 y 20 m/s respectivamente. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que vuelvan a pasar juntos por el punto de partida?

a) 10 min. b) 12 min. c) 15 min.
d) 18 min. e) 16 min.

20. El MCD de los números es 36 y su MCM es 11 232. Hallar el número mayor.

a) 345 b) 864 c) 111
d) 288 e) 936

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03

01. Dadas las siguientes proposiciones

I. Si varios números son primos entre sí 2 a 2, entonces su MCM es le producto de ellos.
II. El MCM de 2 números es igual al producto de su MCD por los cocientes que se obtienen al dividir dichos números entre su MCD.
III. Si varios números son primos relativos, entonces su MCD es la unidad.

Los respectivos valores de verdad son:

a) FVV b) FFV c) VVF
d) FFF e) VVV

02. Indicar el valor de verdad de las proposiciones:

I. MCD
II. Si a, b, c, d son PESI  MCM (a, b, c, d) = abad
III. Si a  N  MCD (a, a + 1)

a) VVV b) VVF c) FVF
d) VFV e) VFF
03. Si el MCD de los números es un número que tiene 12 divisiones ¿Cuántos divisores tendrá su MCM?

a) 15 b) 16 c) 18
d) 24 e) 32

04. Calcular el máximo valor de (A + B) si se cumplen:
; MCD (A,B) = 33
y 500 < B < 6000 a) 9503 b) 6600 c) 6930 d) 9933 e) 14256 05. Si el MCD y el MCM . Entonces : (a + b+ m + n) es: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 TAREA DOMICILIARIA 01. ¿Cuántos múltiplos comunes de 3 cifras tienen los números 12; 25 y 30? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 15 02. Hallar m si el MCM de y tiene 140 divisores. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03. Hallar k si el MCM a) 100 b) 70 c) 80 d) 50 e) 90 04. Determinar el valor de “k” en los números: para que MCM sea 36 veces su MCD. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 05. ¿Cuántos divisores tendrá el MCM de y si su MCD tiene 100 divisores? a) 200 b) 240 c) 250 d) 260 e) 280 06. La suma de 2 números es 81 y el MCM de ellos es 180. ¿Cuál es el menor? a) 36 b) 27 c) 18 d) 45 e) 33 07. Dos números al multiplicarse por un tercero, se obtiene que su MCD es M, y cuando se divide por dicho tercer número el MCD es . Hallar el MCD de dichos números. a) b) c) M1M2 d) e) 08. Hoy las tres campanadas de una iglesia han sido tocadas simultáneamente. Si en adelante la primera será tocada cada 7 días, ¿después de que tiempo se volverán a tocar juntas? a) 350 b) 210 c) 70 d) 140 e) 280 09. Hallar 2 números sabiendo que su diferencia es 170 y que al sumar su MCD con su MCM se obtiene 530. Dar el mayor número. a) 172 b) 176 c) 96 d) 160 e) 89 10. Sabiendo que el MCM es 156. Determinar la suma de los divisores comunes de a) 13 b) 14 c) 16 d) 26 e) 39 FRACCIÓN Se denomina fracción a todo par de números enteros dados en un cierto orden, de manera que el primero se llama (numerador) el segundo (denominador) y éste sea distinto de cero. Sea la fracción a/b que también se puede “b” el denominador. En otras palabras, una fracción nos indica una parte que se toma de un todo dividido en partes iguales. Así por ejemplo la fracción 5/12 nos indica que se han considerado 5 partes de un total de 12 partes iguales en las que se ha dividido el total. Ejemplo: si dividimos un total en 25 partes iguales, ¿qué fracción representan las partes sombreadas? CLASIFICACIÓN I. De acuerdo a la relación entre sus términos a) Propia Toda fracción cuyo valor es menor que la unidad y mayor que cero. Esto sucede cuando el numerador es menor que el denominador. Ejemplos: 4/7 ; 6/13 ; 89/ 237 ; 127 / 32544 b) Impropia Toda fracción cuyo valor es mayor que uno (1). Esto sucede cuando el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos: 15/8 ; 13/5 ; 65 / 27 ; 3 227 /119 II. De acuerdo al denominador de la fracción a) Fracción ordinaria o común Toda fracción cuyo denominador es diferente a una potencia de 10. Ejemplos: 17/23; 34/97; 11/56; 457/ 129 b) Fracción decimal Toda fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Ejemplos: 77/ 100; 43/1 000; 21/ 10 000; 1/100 000 III. De acuerdo a los denominadores de un grupo de fracciones a) Fracciones homogéneas Es aquel grupo de fracciones que poseen el mismo denominador. Ejemplos: 6 / 17 ; 25 / 17 ; 11 / 17 ; 3 456 / 11 b) Fracciones heterogéneas Es aquel grupo de fracciones cuyos denominadores son diferentes. Ejemplos: 9 / 15 ; 65 / 128 ; 31 / 11 ; 3 / 4 OTRAS FRACCIONES a) Fracción equivalente: Una fracción equivalente es aquella fracción que tiene el mismo valor que otra más sus términos son diferentes. b) Fracción reductible: Toda fracción cuyos términos comparten divisores y permiten por lo tanto un proceso de simplificación. c) Fracción irreductible: Toda fracción cuyos términos son primos entre sí, es decir el único factor común entre los términos, es la unidad. donde 35 y 71 son PESI PRACTICA DE CLASE 01. Hallar el valor de: a) 372 / 106 b) 862 / 725 c) 504 / 312 d) 848 / 309 e) 849 / 308 02. Hallar el valor de: a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 03. ¿Cuántas fracciones de denominador 90 están comprendidas entre 3/4 y 7/ 2? a) 246 b) 247 c) 245 d) 248 e) 244 04. Simplifique: a) 98 / 165 b) 98 / 164 c) 98 / 166 d) 98 / 163 e) 98 / 169 05. Se deja caer una pelota desde cierta altura y en cada rebote pierde 2/3 de la altura anterior. Si en el cuarto rebote alcanzó una altura de 60 cm; la altura inicial fue: a) 48 m b) 48, 6 m c) 60 m d) 46, 8 e) 42, 4 m 06. Un reservorio de agua se puede llenar con dos llaves A y B en 60 horas y 10 horas respectivamente. Si estando inicialmente vacío el reservorio, se abren simultáneamente las llaves; el tiempo que se demora en llenar es: a) 1h 30 min. b) 2 h 45 min. c) 2h 30 min. d) 3h 45 min. e) 3h 07. La cantidad de valores que puede tomar “x”, si x/18 es una fracción propia mayor que 2/5, es: a) 10 b) 9 c) 11 d) 8 e) 7 08. Halle la fracción tal que si a sus 2 términos se les suma el numerador y el resultado se le resta la fracción, se obtenga 6/ 35. a) 2 / 7 b) 2 / 3 c) 2 / 9 d) 2 / 5 e) 1 / 3 09. La cantidad de fracciones propias menores que 0, 75; cuyos términos son consecutivos, es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Un limonero vende 2 /5 del total de limones que tiene, luego vende 1 /2 del resto y finalmente 2 /3 del nuevo resto. Si todavía le quedan 48 limones, el número de limones que tenía a inicio es: a) 460 b) 440 c) 480 d) 420 e) 520 11. El numerador de una fracción excede al denominador en 7. Si el denominador se aumenta en 22 el valor de la fracción es 1/2. la suma de os términos de la fracción original es: a) 23 b) 22 c) 21 d) 20 e) 24 12. Los 3/4 den barril más 7 litros son de gasolina tipo “A” y 1/3 menos 20 litros son de gasolina tipo “B”. ¿Cuántos litros son de tipo A? a) 120 b) 118 c) 122 d) 126 e) 124 13. Una persona ingresa a un conocido casino de la capital y al apostar por primera vez pierde 1/3 de su dinero; al apostar por segunda vez, gana 2/3 de lo que le quedaba y finamente decide apostar el dinero que le quedaba y pierde la mitad. Si se retiró a su casa con $ 40; el dinero con el que inicialmente jugó es: a) 70 b) 72 c) 74 d) 76 e) 78 14. Un empleado cobra su sueldo e inmediatamente gasta la mitad en alimentos; 1/3 del resto en luz, agua y teléfono; la quinta parte del nuevo resto en pago de impuestos. Si aún le queda S/. 120; su sueldo es: a) 430 b) 440 c) 420 d) 450 e) 460 15. La cantidad de fracciones propias e irreductibles de denominador 21; es: a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 13 16. ¿Cuántas fracciones de denominador 120 están comprendidas entre 4/3 y 5/2? a) 141 b) 139 c) 142 d) 140 e) 138 17. La cantidad de valores que puede tomar “n”; si n/24 es una fracción propia mayor que 3/7, es: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 18. Dos cañones pueden llenar un estanque de en 5 y 6 horas respectivamente; mientras que un desagüe lo podría vaciar en 10 horas. Si se abren los 3 caños y se cierran penas se llena el estanque; los de agua que se fueron por el desagüe, son: a) b) c) d) e) 19. Una vagoneta de cal pesa 720 Kg. Cuando contiene los 5/8 de su capacidad pesa 95/ 124 de su peso anterior. Hallar el peso de la vagoneta vacía. a) 1 300 kg. b) 1 400 kg. c) 1 500 kg. d) 1 600 kg. e) 1 200 kg. 20. Una piscina se puede surtir de agua con dos grifos A y B que pueden llenarla individualmente en 10 y 15 horas respectivamente. Una salida de agua en el fondo permite desalojar todo e volumen de agua en 30 horas. El tiempo necesario (si estuviera llena sus 7/15) para completar de agua la piscina abriendo todos los conductos de entrada y salida simultáneamente, es: a) 2h b) 3h c) 4h d) 5h e) 6h EJERCICIOS PROPUESTOS N° 04 01. En un depósito existen N litros de vino, primero se reemplaza 1/4 de ese volumen por agua, luego se reemplaza 1/5 de la mezcla por agua ¿Cuántos litros de agua hay en la mezcla final? a) 7N / 15 b) 11N / 5 c) N / 15 d) 4N / 15 e) 3N / 15 02. Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja, los primeros en 9 días, la segunda en 10 días, y la tercera en 12 días, se emplean a la vez 1/4 de la primera, 2/3 de la segunda y 3/5 de la tercera. ¿En cuantos días se termina la zanja? a) 7 b) 8 c) 9 d) 13 e) 15 03. Tres tuberías A, B, C trabajando juntas pueden llenar la tercera parte de un tanque en 2 horas. Si trabajan solo A y B pueden llenar las 3/4 partes del tanque en 5 horas y si trabajan B y C llenarán el tanque en 8 horas. ¿En cuantas horas llenará la tercera parte del tanque trabajando solo la tubería B? a) 20 / 13 b) 40 / 13 c) 60 / 13 d) 30 / 13 e) 50 / 13 04. Una persona gana en tres juegos consecutivos 1 / 3 de lo que tiene antes de cada juego y en el cuarto pierde los 2 / 3 de lo que tenía antes del tercer juego, resultando con 512 soles. La cantidad de dinero (en soles) que tenía al inicio es: a) 234 b) 432 c) 500 d) 400 e) 287 05. Un obrero realizó un trabajo en 4 días; el primer día hizo una parte; el segundo día hizo 1/4 de lo que le faltaba, el tercer día hizo 1/5 del resto y el cuarto día hizo el 40% de la obra. ¿Cuántos días menos emplearía si trabaja con el rendimiento del primer día? a) 1 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/2 e) 3/4 TAREA DOMICILIARIA 01. Simplifique: a) 9 / 13 b) 5 / 13 c) 8 / 13 d) 6 / 13 e) 7 / 13 02. Se deja caer una pelota desde cierta altura y en cada rebote pierde 1/ 4 de la altura anterior. Si en el tercer rebote alcanzó una altura de 54 cm; la altura inicial fue: a) 60 cm b) 128 cm c) 256 cm d) 130 cm e) 64 cm 03. Un reservorio de agua se puede llenar con dos llaves A y B en 4 horas y 9 horas respectivamente. Si estando inicialmente vacío el reservorio, se abren simultáneamente las llaves; el tiempo que se demora en llenar es: a) 2 h b) 47/ 19 h c) 19/ 47 h d) 13/ 36 h e) 36 / 13 h 04. La cantidad de valores que puede tomar “x”; si x/ 12 es una fracción propia mayor que 1/4, es: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 05. Hallar el valor de: a) 12 / 31 b) 12 / 11 c) 12 / 5 d) 12 / 7 e) 12 / 13 06. Hallar el valor de: a) 2 / 11 b) 2 / 3 c) 2 / 9 d) 2 / 5 e) 2 / 7 Número decimal Es la expresión que se obtiene al dividir el numerador de la fracción entre el correspondiente denominador. Ejemplo: Número decimal exacto Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2, por factores 5 ó por ambos. Ejemplo: = 1,1875 Número decimal inexacto periódico puro Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz no contiene factores 2 ni 5. Ejemplo: = = Número decimal inexacto periódico mixto Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2 y/o 5 y al menos un factor primo distinto a estos. Ejemplo: PRÁCTICA DE CLASE 01. Calcular la fracción generatriz de 0,45 a) b) c) d) e) 02. Calcular la generatriz de a) b) c) d) e) 03. Calcular la fracción generatriz de a) b) c) d) e) 04. Si a = calcule: a) b) c) d) e) 05. Si: = Calcule: m – a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 06. Calcule: a + b, si: a) 8 b) 9 c) 11 d) 7 e) 15 07. ¿Cuál es la última cifra del período de (3)–83 a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 1 08. Si: y = 429 calcule ” x ” a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 5 09. Al dividir un número entre 27, 81 y 2 se obtiene un entero, un decimal periódico puro y un decimal exacto respectivamente; ¿cuántas cifras decimales no periódicas se obtiene al dividirlo entre 972? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Calcule una fracción equivalente a sabiendo que la diferencia de sus términos es múltiplo es 17. a) b) c) d) e) 11. ¿Cuántas fracciones propias pueden generar una periódica pura de dos cifras? a) 90 b) 98 c) 99 d) 100 e) 91 12. ¿Cuántas fracciones dan origen a a) 9 000 b) 8 999 c) 8 910 d) 8 000 e) 9 001 13. Sabiendo que al dividir N entre 8 ! se obtiene un decimal de 5 cifras no periódicas y una periódica, ¿cuál es el menor valor de N? a) 17 b) 23 c) 28 d) 32 e) 71 14. Calcule el valor de : sabiendo que la generatriz de tiene un denominador que es primo que sumado con el numerador da 40. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. Calcule el período de un decimal periódico mixto, tal que su generatriz es propia, con 220 como denominador. Indicar la suma de las cifras como respuesta. a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 1 16. Si la fracción generatriz genera el número decimal , ¿cuál es el valor de a + b? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 17. Calcule un número que divido entre 37 origina el decimal: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 18. Se tiene la fracción de tal manera que se cumpla : , conociendo que a + 2 = e +f. Calcule la fracción . a) b) c) d) e) 19. Si calcule el máximo valor de: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 20. ¿Cuántas cifras tiene en la parte no periódica a fracción ? a) 1 b) 2 c)3 d)4 e) 5 EJERCICIOS PROPUESTOS N° 05 01. Indique los valores de verdad de las siguientes proposiciones: I. (0, 23223222322223 ……. + 0, 01001000100001 …..) es racional. II. 4,0 se aproxima a  con un error menor que 4/5. III. Si a y b son irracionales, a  b, entonces a . b es irracional. a) VVV b) VFF c) FVV d) VFV e) FFF 02. Dadas las proposiciones: I. Si a y b son irracionales  a + b es irracional. II. Si K  Q y a es irracional  es irracional. III. Si K  q, k  0 y a es irracional  k a  irracionales. Los respectivos valores de verdad son: a) VVV b) FFV c) FVV d) VFV e) FFF 03. Si la fracción irreductible da como resultado el decimal de la forma , entonces (a + b + c) es : a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 19 04. Si , entonces n es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 11 05. Si , entonces la cantidad de divisores compuestos que tiene es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 TAREA DOMICILIARIA 01. Calcular la fracción generatriz de 0, 28 a) b) c) d) e) 02. Calcular la generatriz de a) b) c) d) e) 03. Calcular la fracción generatriz de a) b) c) d) e) 04. Si: ; y calcule . a) b) c) d) e) 05. Si : calcule: “m”, si a  0. a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 7 06. Si: calcule a + b a) 4 b) 7 c) 3 d) 8 e) 11 07. ¿Cuál es la última cifra de periodo ? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 08. Si : calcule a + b a) 7 b) 8 c) 9 d) 15 e) 13 SOLUCIONARIO N° EJERCICIOS PROPUESTOS 01 02 03 04 05 01. C B E D E 02. B A D A B 03. D E B B B 04. C A E B B 05. D C A A A