AREAS y VOLUMENES DE POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCION PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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Poliedros, Prisma , Pirámide, cilindro.,Cono, Esfera ,
Volumen de poliedros y cuerpos redondos ,EJERCICIOS RESUELTOS

AREAS y VOLUMENES DE POLIEDROS
Y CUERPOS DE REVOLUCION
1. Poltedros
Son cuerpos geométricos limitados por polígonos.
En todo poliedro hay que tener en cuenta
I
r
‘1
r i
1
11 _
,J.. :. .. .-¡– ‘ .
i
1
r
·1
,1
1
1..

Sus caras que son polígonos que separan el espacio interior del poliedro
del exterior.
Sus aristas que son la intersección de dos caras consecutivas. Son los lados
de los polígonos que limitan el poliedro. Cada arista es común a dos
caras.
Sus uértices que son los vértices de los polígonos que los limitan Cada
vértice es común a tres o más aristas.
Sus 6ngulos diedros los formados por cada dos cafas consecutivas
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Sus ángulos poliedros los formados por cada tres o más caras que tienen
un v~rtice común. Cuando son tres las caras del ángulo se llama triedro.
la diagonal del poliedro que es todo segmento que une dos v~rtices no
situados en la misma cara.
Desarrollar un poliedro es construir en el plano todas sus caras colocadas
consecutivas y tal que doblando convenientemente por las aristas , resulte el
poliedro propuesto
diagonal
,:”of– -ángulo Irtedro
POLIEDROS REGULARES. Son los cuerpos geométricos cuyas caras
son polígonos regulares iguales y cuyos ángulos diedros y triedros son iguales.
Sólo hay cinco poliedros regulares que son : Tetraedro, Octaedro, Icosaedro.
Cubo o Hexaedro y Dodecaedro
En un cuadro resumimos las características principales de los poliedros
regulares.
ANGULOS ANGULOS FORMA DE
POLIEDRO CARAS VERTtCES ARISTAS DIEDROS TRIEDROS LAS CARAS
Tetraedro 4 4 6 6 4 T riáng . equil.
Octaedro 8 6 12 12 6 Triáng. equil.
Icosaedro 20 12 30 30 12 Triáng. equil.
Cubo 6 8 12 12 8 Cuadrados
Dodecaedro 12 20 30 30 20 Pentág. reg.
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En todos los poliedros regulares sucede que:
Número de caras + NúmE:ro de vértices = Número de aristas + 2
C+V=A+2
esta igualdad recibe el nombre de Teorema de Eu/er.
Para desarrollar el tetraedro se dibuja un triángulo equilátero y sobre sus
tres lados otros tantos triángulos equiláteros.
Para desarrollar el cubo se dibujan seis cuadrados iguales en forma de
cruz, de t, etc.
AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES. Como los poliedros regulares
tienen todas sus caras iguales, para determinar el área basta con calcular
el área de una de sus caras y multiplicar por el número de ellas
-Area del tetraedro: Conocida la arista I el área de una cara es J2~ y
el área del tetraedro es
A – 4 f -./3 _ l’ -./3
4
Ejemplo 1. Determinar el área de un tetraedro de arista 8 cm.
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– Area del octaedro: Como está formado por 8 triángulos equiláteros y
1’J3 el área de cada cara es -4-‘ el área del octadero es
A = 8 1’J3 = 2rJ3
4
Ejemplo 2. Determinar el área de un octaedro de 5 cm de arista
A – 2 . 5~.J3 – 50 ..;3 cm’
– Area del icosaedro: Como está formado por 20 triángulos equiláteros
19uaJes y el área de cada cara es -1’¡J-3- , el área del octaedro es
A = 20·
Ejemplo 3. Determinar el área de un icosaedro de 4 cm de arista
A = 51′ -13 – 5 · 4′../3 – 80J3 cm’
– Area del cubo: El cubo está formado por 6 caras que son cuadradas,
siendo !2 el área de cada cara , por tanto el área del cubo es
Ejemplo 4. Determinar el área de un cubo de arista 10 cm
A ca 612 _ 6 . 1()2 _ 600 cm2
-Area del dodecaedro : ComQ está formado por 12 pentágonos regula ~
res, siendo P el perímetro de una cara y a su apoLema, ~ I área de cada cara
?xa es 2 ,por tanto el área del dodecaedro es
A = 12 X Pxa
2
Ejemplo 5. Determinar el área de un dodecaedro siendo 30 cm el
perímetro de una cara y 2,5 cm su apotema
A – 6 Pa ~ 6 . 30 . 2,5 _ 450 cm2
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2. Prismas
Los prismas son también poliedros, en ellos hay caras, aristas, ángulos
diedros y ángulos triedros. Dos de sus caras se llaman .básicos y las demás
son laterales. Tiene tantas caras laterales como lados tiene el polígono de la
base .
Prisma es el cuerpo geométrico limitado por dos polígonos iguales y parale/
os llamados bases y por caras laterales que son paralelogramos.
Cada prisma se nombra según el número de lados del polígono de la base.
Si la base es un triángulo el prisma es triángular; si es un cuadrado , cuadrangular;
si es un pentágono, pentagonal; si es un exágono , exagonal y así
sucesivamente.
Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a las básicas.
En los prismas rectos las caras laterales son rectángulos. los prismas
que no son rectos, se llaman oblicuos.
L1 /
” , J- – —v prisma recto prl5ma oblicuo
Altura de un prisma es la perpendicular comprendida entre las dos bases.
En los prismas rectos la altura mide lo mismo que una arista lateral. En
los prismas oblicuos la altura es menor que la arista lateral.
_–7 ….. . .
h
/ 1 / f—-i,–, __ arista lateral , , ,,, ,, ,,
/J.—– [7
__ altura
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Prismas regulares son los prismas rectos que tienen por bases polígonos
regulares. Los demás prismas se llaman irregulares.
/1″”–‘ /: / /
:, ,, , I I
,I I , I , I I
I .J- I “‘ ………… J– 1/ , , , V
prisma regular prisma Irregular
En todo prisma se cumple que: e + v = A + 2
Entre los prismas los hay con nombre propio’
-Paralelepípedo es el prisma cuyas bases son paralelogramos Todo paralelepípedo
tiene seis caras, todas paralelogramos.
-Ortoedro es el paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos Todas
sus caras son rectángulos, sus ángulos diedros son rectos y sus cuatro
diagonales iguales
-Romboedro es el paralelepípedo cuyas seis caras son rombos.
-Hexaedro o cubo es el paralelepípedo cuyas seis caras son cuadrados.
AREAS DE UN PRISMA
al Area lateral es la suma de las áreas de las caras laterales.
Las caras laterales en conjunto forman un rectángulo que tiene por base
el perímetro del polígono de la base y por altura la altura del prisma:
Así en un prisma regular de base cuadrada
rh

LArea
lateral = Perímetro de la base x altura
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Ejemplo l. Calcular el área lateral de un prisma pentagonal regular
de 10 cm de altura y 8 cm de lado del pentágono
Perímetro base – 8 x 5 => 40 cm
Area lateral – 40 x 10 – 400 cm2
b) Area total: Se obtiene sumando al área lateral el área de los polígonos
de las bases
Ejemplo 2_ Hallar el área total de un prisma recto de altura 10 cm y
de base un triángulo equilátero de lado 5 cm
A, – P x a …. 15 x 10 – 150 cm
4 4 4
A, – A, + 2B – 150 + 2 25Y3 _ 150 + 12,5..J3 cm2
4
EL CUBO Es un poliedro regular que tiene las seis caras iguales y cuadradas_
1,
I
I ‘ .: ~
I ‘ ,”‘–\ / ‘” d,’ ‘
Trazando la diagonal d en una cara y la diagonal D del cubo se tiene
aplicando Pitágoras,
tres
d1 =a2 +a1 =2a2
0 2 = d1 + a2 = 2a2 + a2 = 3a1
D ~ a..[3
La diagonal de un cubo es igual a la arista multiplicada por la raíz de
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, ,,’ …. ‘·IIUL
Ejemplo 3. Determinar la diagonal de un cubo de arista 5 cm
o – a.J3 “” 5v’3 cm
3. Pirámide
Superficie piramidal es la engendrada por una semirrecta que describe el
contorno de un polígono . El punto origen de la semirrecta está situado fuera
del plano que contiene el polígono y le llamamos vértice .
Plrómide es el cuerpo flmitado por una superficie piramidal y un plano
que la corta.
v
También se puede definir así:
Plr6mide es el cuerpo geométrico limitado por un polrgono llamado base
y por caras laterales que son triángulos con un vértice común.
Las pirámides toman el nombre del polígono de la base. Si la base es un
triángulo, la pirámide se llama triángular; si es un cuadrado, cuadrangular,
etc.
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El vértice de la pirámide es el v~rtice común a los triángulos que forman
las caras laterales.
Las caras laterales son triángulos y tienen un v~rtice común que es el
vértice de la pirámide.
Ariscas laterales son las que concu”en en el v~ rtice.
Aristas básicas son los lados del polígono de la base.
Altura de una pirámide es el segmento de perpendicular comprendido
entre el v~rtice de la pirámide y su base.
Pirámide regular es aquella cuya base es un polígono regular y sus caras
laterales son triángulos isósceles. El pie de la altura coincide con el centro de
la base .
Pirámide irregular cuando no es regular.
Apotema de una pirámide regular es la altura de una de sus caras laterales
trazada desde el vértice de la pirámide.
AREAS DE UNA PIRAMIDE
a) Area lateral es la suma de las áreas de las caras laterales.
Una pirámide regular cuadrangular desarrollada tiene la forma siguiente

Vemos que son cuatro triángulos iguales de área: A
La suma de las áreas de las caras laterales es
Ix.
Ar-4 x — ~
2
pero 41 – perímetro de la base, por tanto
A, – P xa
2
41 x a
2
I x.
= -2-
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EI6rea lateral de una pir6mide es igual al semiperímetro de la base por la
apotema de la pir6mide.
Ejemplo 1. Determinar el área lateral de una pirámide cuadrangular
de lado de la base 5 cm y de apotema 10 cm
Al _ ~ = 20 x 10 _ 100 cm2
2 2
b) Area total: El área total de la pirámide regular es igual al área lateral
más el área de la base.
Como la base es un polígono regular llamando a’ a su apotema tendremos
Por tanto
A.=AI+B=
B = P X a’
2
Pxa
2
+ P x a’ ‘–‘:~
2
pro + a’)
2
El 6reo total de lo pirámide es igualo la semisuma de las apotemas (apotema
de la base y apotema de la pirámide) multiplicada por el perímetro de
lo base
Ejemplo 2_ Determinar el área total de una pirámide cuadrangular
de lado de la base 5 cm y de apotema 10 cm.
A. – AI+B= -P-X-a
2
También
A, P(a + a’)
2
+ 12
“”
20 X 10
2
20110 + 2,51
2
+ 52 _ 125 crnz
… 125 cmz
TRONCO DE PIRAMIDE. Es la porción de pirámide comprendido entre
la base y un plano paralelo a ella.
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El trozo de la altura y apotema de la pirámide comprendidas entre la base
y (:!I plano trazado son la altura y apotema del tronco de pirámIde .
El tronco de pirámide tiene también área lateral y área to tal
Para determinar el área laleral habrá q ue determinar las áreas de cada
cara y sumarlas. Cada cara es un trapecio cuya área es
x a
Al multiplicar por el mímero de caras se tiene
A, =
P + P’
2
x a
SIendo P = perímetro de la base mayor . P’
nor y a – apotema (altura del trapecio lateral)
perímetro de la base me-
FI 6reo late ral de un troncO de plr6rn ide regular es Igual a l producto de la
semisuma de los perímetros básicos por la apotema.
El óreo total se obtiene sumando al área lat€ral el área de las bases .
A. =
p+ p ‘
2
X a + B + B ‘
E,iemp lo 3 Determinar el área latera! y el área total de un tronco
de Pirámide regular de bases cuadradas de 5 y 3 cm de lado y de apo·
tema 6 cm
A. –
p + p ‘
2
x a ~ (4 X 5) ..¡. (4 x 3) x 6 = 96 cm2
2
A, “”‘” A, + D + D’ _ 96 + ~? + 32 = 130 cm2
4. Cilindro
S upe rficie cilíndrica es la engendrada por una recta deslizada bordeando
una circunferencia manteniéndose paralela a sí misma La recta toma el
nombre de generatriz.
Reglón cilíndrica es el conjunto de recias paralelas a la generatriz e inleriores
a la superficie cilíndrica
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Cilindro es la porci6n de regi6n cilíndrica comprendida entre dos planos
paralelos
h
h
De la intersección de una reglon cilíndrica con los dos planos resultan
dos círculos que son las bases del cilindro.
El radio de uno cualquiera de los círculos de las bases es el radio del cilindro
La altura del cilindro es el segmento de perpendicular comprendido entre
las dos bases.
Cilindro recto es el que tiene sus generatrices perpendiculares a las bases.
En un cilindro recto la altura y la generatriz son iguales Un cilindro que
no sea recto se llama oblicuo.
También se puede definir el cilindro como el cuerpo de revoluci6n engendrado
por un rect6ngulo al girar sobre uno de sus lados como eje
AREAS DEL CILINDRO
a) Area lateral de un cilindro es igual al producto de su altura por la Ion”
gitud de la circunferencia de la base.
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Desarrollando el cilindro
l
El área lateral desplegada es un rectángulo de base la longItud de la cir·
cu nferencia y de altura la altura del cilindro
b) Area total es igual al área lateral m6s el área de las bases
A ,. Al + 26 ‘”” 211T h + 2rr2 = 21fr(r + h )
Ejemplo. Un cilindro recto tien l:! de altura 10 cm y de radio de la
base 3 cm ¿.Cuánto vale el área lateral? t.Y el área total?
Al – 2n h – 2… 3 10 _ 60″/1″ cml
A, .,. 2u{r -lo hl – 211″ 3(3 + 10) – 78.,… cm2
5. Cono
S uperficie c6nica es la engendrada por una semirrecta llamada generatriz
que se mueve alrededor de una circunferencia. El punto origen de la semi·
rrecla está situado fuera del plano que contiene a la CircunferencIa, llamado
vértice.
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Regi6n c6nica es el conjunto de todas las semirrectas con el mismo origen
que la generatriz e interiores a la superficie cónica.
Cono es la porción de regi6n cónica limitada por un plano.
T 1,
–,/’—1
La intersecci6n del plano y la región cónica es un círculo que es la base
del cono
El radio del círculo de la base es el radio del cono_
El vértice de la superficie cónica es el vértice del cono,
El segmento de perpendicular compendido entre el vértice y la base es la
altura del cono
Cono recto es cuando el pie de la altura coincide con el centro del círculo
de la base Si no coincide es oblicuo.
También se puede defínir el cono como el cuerpo de reuoluci6n engendrado
por un triángulo rectángulo al girar sobre uno de sus catetos como
eje
AREAS DEL CONO
aJ Area lateral La superficIe lateral es un sector circular de radio igual a
la generatriz del cono y de arco la longitud de la circunferencia de la base
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Area sector – ~ arco x radio = ~ 21f9 r = 71Tg
2
El área lateral es igual al producto del radio por la generatriz y por 11″
b) Area total es el área lateral más el área de la base.
A, ., Al + B – ng + n 2 ,. n(r + g)
Ejemplo 1 Hallar el área lateral y el área total de un cono de generatriz
5 cm y de radio 3 cm
Ar “” 1ITg – 11″ • 3 . 5 ::. 1511″ cm2
A, – 1IT(g + r) – 11″ 3(5 + 3) >= 2411″ cm2
TRONCO DE CONO. Es la porción de cono comprendido entre la base
y un plano paralelo a ella.
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Ellrozo de altura y la generatriz del cono comprendidas entre la base y el
plano trazado son la altura y la generatriz del tronco de cono.
También se puede definir e l tronco de cono como el cuerpo de revolu ción
engendrado por un trapecio rectángulo al girar alrededor del lado perpendicular
a las bases del trapecio.
El tronco de cono tiene también área lateral y área tolal.
r–=-9_-,–___ ~
I “‘,
El área lateral es el área del trapecio circular que es la semisuma de la
longitud de sus arcos por la generatriz.
A, –
2.,. + 2n’
2
9 – … (r + r’)g
El área lateral del tronco de cono es igual a la semisuma de las longitu des
de las circunferencias básicas por la generatriz.
El área total se obtiene sumando al área lateral el área de las bases.
A. = Al + 8 + 8′ – 7r(r + ,’)g + 7172 + … r’2
Ejemplo 2. Hallar el área lateral y lolal del tronco de cono de radios
bAsicos 6 cm y 10 cm y de generatriz 8 cm.
A, – ,…(r + r ‘ )g _ ..-(6 + la) . 8 = 12811″ cmz
A, “‘” A, + B + B’ … 128 . ,… + 62,… + 102,… … 26411″ cmz
6. La esfera
S uperficie esférica es la superficie engendrada por una semicircunferencia
al girar alrededor de su diámetro.
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Esfera es el cuerpo geométrico formado por todos los puntos del espacio
contenidos en el interior de una superficie esférica,
La superficie esférica es el borde o frontera de una esfera que separa los
puntos interiores de los exteriores. Los puntos de la superficie esférica equidistan
del centro de la esfera.
Radio de la esfera es el segmento que une un punto de la superficie esférica
con el centro.
Di6metro es el segmento formado por dos radios consecutivos
Plano diametral de una esfera es un plano que pasa por su centro.
Círculo m6ximo de una esfera es la intersección de la esfera con un plano
diametral.
Círculo menor es la intersección de una esfera con un plano secante que
no pasa por el centro.
Semiesfera es cada una de las dos partes resultantes de cortar una esfera
por un plano diametral.
Casquete esférico es cualquiera de las dos partes resultantes de cortar la
superficie esférica por un plano.
Zona esférica es la parte de superficie esférica comprendida entre dos
planos secantes paralelos. La altura de la zona esférica es la distancia entre
los dos planos.
Huso esférico es la porción de superficie esférica comprendida entre las
caras de un diedro cuya arista contiene al diámetro.
+
Esleril C”,””,,”I es/lírico Zonil \’sf~r¡cJ
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AREAS
~) Afea de la Zona esférica. La zona esfbica puede suponerse engendrada
por el giro de un arco de circunferencia máxima alrededor de un diámetro
perpendicular a los planos secantes que lo definen ; la proyección sobre el
eJe es la altura de la zona esférica.
El área de la zona esférica viene dada por
A = 21fT h
siendo h la altura de la zona esférica y r el radio de la esfera.
b) Area del Casquete esférico vie ne dada por la misma expresión que la
de la zona esférica
A = 21fT h
el Area de la Superficie esférica es equivalente al área lateral de un Cilin dro
de altura el diámetro de la esfera y cuya base tiene por radio el radio de
la esfera .
También se considera el área de la superficie esférica como e l área de la
zona esférica en donde h – 2r
A – 2″,. h ~ 2″,(2,) – 4~,z
Ejemplo 1 Calcular el área de la zona esférica limItada por dos planos
que distan entre sí 6 cm siendo el radio de la esfera la cm ¿Cuál
es el área de la supetfkie esférica?
A zona = 2n h _ 2 … . 10 fi _ 120″11″ cm2
A sup esf. – 4nl _ 4 . JI” – lOZ – 400 …. cm!
d) ATea del Huso esférico . El área de un huso esférico de n grados se
obtiene mediante una regla de tres. diciendo si a 3600 corresponde el área
de la superficie esférica a n grados corresponde el área del huso esférico .
Por tanto
A –
4″,’
360
x n ~
~,zn
90
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Ejemplo 2. Determinar el área de un huso e.sférko de amplitud 9(}0
en una esfera de radio 10 cm.
A – .rn
90 -~._~10′: -. 9oc0: “” 100 … cmz
90
7. Volumen de poliedros y cuerpos redondos
UNIDADES DE VOLUMEN
la unidad principal de volumen es el metro cúbico que es el volumen de
un cubo de 1 metro de arista . Se escribe mJ .
l os múltíplos del metro cúbico son:
a) El dec6metro cúbico. se escribe clam] y es el volumen de un cubo de
1 dam de arista.
b) El hectómetro cúbíco, se escribe hm3 y es el volumen de un cubo de
1 hm de arista.
e) El kil6metro cúbíco. se escribe km3 y es el volumen de un cubo de
1 km de arista .
d) El miriámetro cúbico, se escribe mam] y es el volumen de un cubo de
1 mam de arista.
1 dam] = 1000 ml
1 hm’ … 1000000 m3
1 km’ – 1000000000 m’
1 m.m’ = 1000000000000 m’
Los submúltiplos del metro cúbico son
a) EJ decfmetro cúbico, se escribe dml y es el volumen de un cubo de
1 dm de arista.
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b) El centímetro cúbico, se escribe cml y es el volumen de un cubo de 1
cm de arista.
e) El mifímetro cúbico, se escrIbe mm] y es el volumen de un cubo de
1 mm de arista
1 dm3 0,001 m3
1 cml = 0,000001 ml
1 mm] :z 0,000000001 ml
La capacidad de un recipiente es el volumen de líquido que contiene
cuando está Heno. La capacidad se mide en litros, por eso los litros se utilizan,
a veces, para expresar el volumen de líquidos
La relación que une a las medidas de volumen y a las medidas de capacidad
es.
ldm’ = ll
Se define el litro como el volumen de líquido encerrado en un cubo de
1 dm de arista.
VOLUMEN DEL PRISMA RECTO Y CILINDRO DE REVOLUCION. El
volumen de cualquier prisma recto y cualquier cilindro de revo luci6n de altura
h viene dado por
v = B x h
El volumen de un prisma recto es el área de lo base por la altura.
El l/olumen de un cilindro de rel/olución es el área de la base por la altura.
-El caso pl!Irtjcular del ortoedro de aristas él, b y e su volumen es
v = abc
– El caso partIcular del cubo de arista a es
Ejemplo J. Determinar el volumen de un cilindro de revolución cuya
altura mide el diámetro de la base siendo 5 cm el radio.
v _ B x h – n 2 h _ lr . 52 10 _ 250lr cml
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VOLUMEN DE LA PIRAMIDE Y DEL CONO. Fácilmente se puede
comprobar en el caso del prisma triangular que se puede descomponer en
tres pirámides triangulares del mismo volumen
En general si el contenido de una pirámide de base B y altura h se Introduce
en un prisma de base B y altura h . se comprueba que hace falta el contenido
de tres pirámides para llenarlo, por lo que el volumen de la pirámide
es la tercera parte del volumen del prisma .
Por lanto
v = Volumen Pirámide – Volumen Prisma
3
B x h
3
Esta expresión es válida tanto para pirámides rectas como oblicuas, regu lares
o irregulares.
El uo/umen de una pirámide es un tercio del área de 10 base por la o/·
tura .
Al considerar el volumen del cono como el límite de una pirámide inscri·
ta de base regular cuyo número de lados crece indefinidamente, se puede
conocer el volumen de un cono bien sea recto u oblicuo .
El volumen de un cono de revolución es un tercio del 6rea de la base
por la altura.
v “” B x h 1!’rlh
3 3
Ejemplo 2. Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular
de altura 8 dm y de arista bAska 6 dm. ¿Cuántos litros contiene?
V – _1 B h
3
… 1. 62
3
x 8 – % dml – 96 litros
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Ejemplo 3 Calcul”r el volumen de un cono sabiendo que el radio
de la base es 3 cm y la generatriz 5 cm
VOLUMEN DEL TRONCO DE PIRAMIDE. Al cortar una pirámide por
un plano paralelo a la base se obtiene una parte de pirámide más pequeña
llamada pirámide deficiente que contiene el v~rtice y otra parte que no contiene
el v~rtice llamada tronco de pirámide.
El volumen del tronco de pirámide se puede obtener hallando el volu men
de la pirámide original y restándole el volumen de la pirámide defi ciente
Si la pirámide inicial tiene como altura h y como base B y la pirámide deficiente
tiene como altura h’ y base B’ , el tronco de pirámide tendrá como
volumen
~B ‘ h’
3
No siempre se tendrán datos suficlelltes porque no se conocerá mas que
la altura del tronco de pirámide, en ese caso se emplea la fórmula
v = ~ (B + B’ + ,JBB’ Ih
3
El volumen de un tronco de pir6mide se obtiene multiplicando el tercio
de la alrura por la suma de los tres sumandos área de la base mayor. 6rea de
la base menor y media proporcíonal de las dos bases.
Ejemplo 4. Calcular el volumen de un Ironco de pirámide cuadrangular
regular de base mayor 32 cm de perímetro y de base menor
12 cm de perímetro siendo la distancia entre las bases 9 cm
v = ~ (B + B’ + ..JBB’)h _ ~ (82 + 3~ + ..¡gz–:y) x 9 – 291 cm}
VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO. Si un cono se corta por un piano
paralelo a la base se obtiene un cono deficiente y un tronco de cono.
El volumen del tronco de cono se puede hallar como el del tronco de pirámide,
restando al volumen el cono inicial el volumen del cono deficiente.
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SI es R el radio de la base mayor y h su altura y r el radio del cono deficiente
y h ‘ su altura , el volumen del tronco de cono es
1 2 h ‘
3′”
No siempre se tendrán estos datos, cuando s610 se conocen los radios de
las bases del tronco de cono y la distancia entre las mismas, el volumen del
Ironco del cono viene dado por
v – ~ lB + B’ + ” BB’ Ih
3
_ 1.. 1f(R2 + rZ + Rr)h
3
El volumen de un tronco de cono se obtiene multiplicando el tercio del
producto de su altura por el número 1(‘ por la suma de los tres sumandos,
cuadrado del radio mayor, cuadrado del rodio menor y producto de los dos
radios.
1
V –
3
1th (R2 + ,.-2 + Rr)
Ejemplo 5. Determinar el volumen de un tronco de cono siendo los
radios 11 y 5 cm y la generatriz del tronco 10 cm.
v _ ~ (1)2
3
+51 +11 51 –
1608 1 — r a – 14, b – 21 yc = 4
Afea total”” 2ab + 2ac + 2bc – 2· 14 21 + 2 14 – 4 + 2 – 21 A _ 868 cmz
Volumen = abe – 14 21 4 = 1176 cm]
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3. Se tíene un tubo de 4 cm de radio interior. Si se tapa por un extremo y se
echa un litro de agua, ¿qué altura alcanzará’
Solución
1 dml “” 1] – 1000 cm]
V·Bh – n’h
1000 = r 42 h;> h 1000 – –~. 16r
19,9 cm
4. Hallar el área y el volumen de un tetraedro regular de 10 dm de arista
Solución
El área de una cara es. A “” ]2V3 _ 10
2 ,/3 ‘”” 25–13 dm1
4 4
Se forma un triángulo rectángulo de catetos la altura del tetraedro y los ~ de
la altura del triángulo de la base y como hipotenusa la arista del tetraedro
Luego
Volumen “” leB
3
x h –
~ (” -2
3
Iv3 l’ – l’
2,
1′.J3
4
,1 (2_ 1′.J2 Y3 4
l’
3
103 -“;2
4
21′
3
., 250 -.;2 dm3
5. Un octaedro regular tiene de arista 12 cm. ¿Cuánto vale su área? ¿Y su volumen?
Solución
1) El área de cada cara es· A –
]lV3
4
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al ser 8 caras
A – 8 IZ..[3 _ 212 -/3 _ 2 · 12z .J3 _ 2SS .J3 cm!
4
2) Descomponiendo el telraedro en dos pirámides de !).,ses cuadradas, la diagonal
de la base es
La ahur3 de la pirámide es
h2 _ al _
V-J..B
3
( 2
d )’-
x h _
Luego el volumen del tetraedro
12′ – 72 – 72 – h • 612
1
3
12′ 6../2 – 288.J2 Cm]
v … 2 x 288.;2 – 576../2 cm’
6. Las diagonales de un rombo miden 8 cm y 6 cm. Calcular el área y el volu men
engendrado por el mismo al girar alrededor de la dIagonal mayor
Solución
Engendra dos conos iguales de radio la milad de la diagonal menor y de altura
la milad de la diagonal mayor .
v _ 2 x J.. B h
3 – 2 – 2
1 . -w
3
3′ 4 “” 2411″ cm]
7. Si la altura de un cono mide 6 m y el di6metro de lo base 16 m y a 2 m del
cenUO de la misma trozamos un plano paralelo a ella, se preg unta ·
l ‘ .,;Cu6/ será ‘a generatriz y el radio del nueuo cono?
2) Area del tronco de cono comprendido enlre las dos bases.
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Solución
Se tienen dos triángulos rectángulos semejantes
A
-A-S – -A-S’- SC S’C’
~ _ _ 4_ => 8’C’ _ r
8 S’C’
p”L—‘_–,”,c
=~
3
1) La generatriz del cono mayor es: g = ‘,,/”h2 + r2 = -,,)62 + 82 _ 10
La generatriz del cono menor es
AC’
AC
AS’
AS
=> AC’ 9
5 4
6
10
3
2) Afea laleral – lr(r + r’)g ,(8+~) (10-~)
“, 3 ” 3′
_ _80_0 , m’
Area lotal = Area lateral + B + B ‘ = 800 11′ + lrr2 + JrT’2 “”
9
~ -8-0101 ‘ + 6411′ + (,’ -16- )- 2 ,- -5-44- , m’
9, 3 , 3
9
8. Un cono de re[)olución de 30 cm de radio de la base y 50 cm de generatril
se corta por un plano paralelo a la base, que pasa por el punto medio de la generatriz,
Calcular
1) Area lateral del tronco de cono
2) Area total del tronco de cono
3) Volumen del tronco del cono
Solución
Se tienen dos triángulos semejantes
A
AS SC AC
AS’ – S’C’ – AC’
AS _ ~ _ 50 ~ S’C’ _ 15
AS’ S’C’ 25
AB’ – 20
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Luego
r .. 30 , r ‘ _ 15 • h “” BB’ = 15 , 9 – 25
1) Area lateral – 7!'(r + r’)g .. 11′(30 + 15) . 25 – 112511′ cm2
2) ATea lolal = A, + n! + n’! = 1125 … + 3OZ7r + 152 … ,. 2250..- cm’
3) Volumen + r ‘l + rr ‘)h _ ~ ..-(302 + 19 + 30 · 15) I!”) ..
_ 7875 … cml
9. Un triángulo equilátero de 4 cm de lado gira alrededor de un fado Hallar el
volumen engendrado .
Solud6n
Se forman dos conos iguales, luego ‘ V=::2 . -1 B h
3
La base tiene como radio la altura del triángulo que es
,- -1,/-3
La altura del cono es la mitad del lado
v _ 2
– 2
1 3 11
– 7–
3 4
2
I
h – -2
2
7 4′
4
10. La longitud del arco de un sector Circular mide 31.416 cm y su radío
20 cm. Hallar la superfiCie total del cono de revolución cuyo desarrollo fuera el seco
toro ¿Cuál es su volumen?
Solución
l =< 211T - 3 1,416 - r = La generatriz del cono es 20 cm 31.416 27 - 5 cm La ahura del cono es h "" .J?--= rr =..,j2fj2 52 = s../B v - 1 "" -1( 3 5' 125...,115..- 3 cm' www.Matematica1.com 11. Hallar el volumen engendrado por un trapecio is6sceles que gira sobre la base mayor de 12 m; la otra base mide 7 m y el lado no paralelo 9 m Solución 12 - 7 Se forman dos conos iguales de altura - - -2- - 2.5 m y de radio r - -./91 2,52 = 8.65 y r2 = 74.75 Por tanto V,_ ... _1 8 h - 1 1 _'lUz h .. - 1r ' 74 75 · 25 - 62297 m l 3 3 3 ' , , v.,,¡~~ .. _ B h ' ... lI"rz h ' - ... 74.75 7 _ 523,25"11" m' 12. Una pirámide triangular regular tiene 5 cm de arista b6sica Calcular la apotema si el 6rea de la base es la cuarta parte del área lateral. Solución A. ... ,./ - Base -1' ,/3 g 4 Por hipótesis. 48.., A, 2S,/3 - 1S. -. - 2 p x. 2 52 y'3 - - - 4 2 · 2S,/3 1S 1S. 2 2S,/3 4 10,/3 - -- cm 3 www.Matematica1.com 13. Una pir6mide regular exagonal tiene de arista b6sica 3 cm y de arista latera/ 5 cm Hallar - Solución 1) Area lateral 2) Area lotol 3.J Volumen 1) Ate;, ["teral P x a 6 - -2- - 3 x 4,77 _ 42,93 cm% 2 2 ) Area lotal - ATea lateral + Base Base - P )( a' 2 y a ' 1,5J _ 2,6 B 6 . 3 2,6 = 234 cm! 2 ' Atea total - 42,93 + 23,4 .. 66,33 cm2 3) Volumen - .!Bh 3 14. Una cámara cilíndrica termino en una semiesfera y tiene por volumen 260.62 m' Hallar la superJicíe total del conjunto siendo 4.5 m e l radio del cilindro. Solución 1 4 1 1 4 VH"''''f''~ .. '2 . '3"n = '2 . '3lf . 4 .5] - 6O.75lf ml V<";""n> – 1IT2 h _ lf· 4,9 h ‘=* 20.25 h 7r m’
v – 60,75.,.. + 20.25 h lf – 260,62 ‘” h – 1,1
Superfk ie – 2n2 + 2…, h + n l – 2lf – 4,52 + 2 … . 4 .5 1.1 +
+”11″ 4 ,5′ – 40.5,.. + 9.9 … + 20,25″11″ “” 70.65 “11” ml
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15. A un triángulo rectángulo de catetos 18 y 24 cm respectivamente se le cIrcunscribe
una circunferencio_ Calcular:
1) El radio de la circunferencia.
2) El uolumen engendrado por el semicfrculo al girar 3600 alrededor de /0 hipotenusa.
3) El uolumen engendrado por el tri6ngulo al girar 36Q<> o/rededor de la hlpote –
nusa
4) El oolumen comprendido entre ellos ,
Solución
1) El diámetro es la hipotenusa
d – JI82-+ 241″ := 30 cm
r = ]5 cm
4
‘” – 1″ ‘ 3
3) Se engendran dos conos de igual radio (altura del triángulo correspon diente
a la hipotenusa) ,
” – 18 x 24
30
14,4 cm
v – .!Bh + J..Bh , – .!B(h
333
-¡.h’) “” .!B
3
_ 1.,.. 14.41 . 30 – 2073.6,.. cml
3
4) V diferencia – 4.500,.. – 2073.6,.. – 2426,4,..cm]
d _
16. Una esfera de 5 m de diámetro es cortada por dos planos que pasan por
el centro formando un 6ngulo de 45<> Hallar elvo/umen de la parte de esfera comprendido
entre los dos planos_
Solución
Se forman dos cuñas esféricas de amplitud 45° cada una
v – ,,’ 2-
270
x 45 – r 5′
270 x 90 –
25 ,
– -rm
3
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17. Al cortar una esfera de radio 10 m por un plano se forma un círculo de
8 m de radio Hallar la distancia del centro de dicho círculo al centro de la esfera y
el volumen del segmento esférico formado por el plano y otro paralelo que pasa
por el centro de la esfera
Solución
en donde h es la altura del segmento esférico y R y r los radios mayor y menor
v _ ~ [h2
6
+ 3(102 + 82)) _ 52811″ m1
18. Una esfera ha sido embalada en una caja cúbica cuya arista mide 20 cm y
tal que todas sus caras tocan a la esfera en un solo punto. Calcular:
1) El volumen de la esfera
2) El espacio vacío que se ha rellenado con embalaje.
Solución
1) V esfera 4
->
3
10′ 4000 1 – —
3
62 -8 _ 9611″m3
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2) El cilindro tiene por altura la base menor del trapecio y por radio de la
base 6.
A, .,., 2nh – 2,.. · 6 · 20 – 24011″ m2
V”” Bh _ n1h ….. . 62 . 20 -7201I”m’
3) La figura tendrá
A, – 60r + 24011″ _ 300’11’ m2
A, = A, + B – 300’11” + n 2 – 30011′ + 3611″ _ 336’11” m2
V – 961f + 720,.. = B16 … m’
20. Una esfera de 10 cm de radio es cortada por dos planos paralelos que dis tan
del centro 4 y 6 cm. Hallar:
1) El órea de la zona si ambos pIonas están al mismo lodo del ce ntro.
2) El órea de la zona si ambos planos están a distintos lado del centro
3) Volumen del segmento esfbico Si ambos planos están 01 mismo lado (lel
centrO
4) Volumen del segmento esférIco si ambos planos están a distinto lado del
centro.
Soludón
1) La altura es h – 2 .. A ;o 2nh – 2 … . 10 2 – 40 … cm’
2) La altura es h – 10 = A .. 2:nh .. 2r 10 10 – 20011′ cmz
3) Laalturaesh;o 2 _ V -“:…-,1,,,0,-‘ –,2=- (30 _ 2)
3
4) La altura es h – 10 _
_ 5600 T cm’
3
V _ rr2h (3r _ h)
3
~T—-,l,-;~'; —,1-0,- (30 . 10 – 101 _ 20000
3
21. En un cono recto de oltura h y rodio 3 cm se circunscribe a la bose un
triángulo ABe equilátero. Se pide
11 El valor de h pora que el tetraedro VABC sea regular
2¡ Holtar el volumen comprendido entre el tetraedro y el cono
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Solución V
B
A
Luego
1) Si el tetraedro es regular
Como la altura del triángulo de la bao
se vale 3r.
(3r)Z _ 12 l’
– – – I – 2r.J3
4
hZ _ 12 _ 4.-2 _ 4r2 3 – 4r2 – 8.-2
h – 2r ..[2 – 6 ‘-‘2 cm
2) Volumen tetraedro 1
– – 8
3
Volumen como – ; B x
x h 1 IZ.J3
~- –· 2r..J1í. –
3 4
“” 79,92 cm)
Volumen comprendido – 132.3 – 79,92 ‘”” 52,38 cm)
22. Dado un triángulo equilátero ABe de 10 cm de lado se traza por un vérti·
ce A una perpendicular aliado AB y por el vértice C una perpendicular ollado Be.
Estas dos perpendiculares se cortan en un punto O. Hallar el volumen engendrado
pOI la revoluci6n del cuadrilátero ABCO alrededor de AB.
Solución
A .1
o
B,#-“””~=~”””f,c
/
El punto O es opuesto al B en la circunferencia
Circunscrita al triángulo ABe
y de radio
3 -, = ,¡¡oo 25 – )75
2
10.,13 , = — cm
3
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El volumen engendrado por el cuadrilátero ABCO es la suma del volumen VI
de) cono engendrado por el niángulo BCE y del volumen V! del tronco de cono
engendrado por el cuadrilátero AECO
5 = 125 …. cm}
V¡ – .! …. (ECZ + AO! + EC . AO) AE ‘”
3
– ~ ,[ (lO’ – 5’1 + ( 10
3
-.’3 )’ + 5 .jj 1O;[l J 6-
.l-…. {75 + 100 + 50) 6
3 3
_ _95_0 …. cm
i
3
125″1″ + 950 1325 , –r = – –.cm
3 3
23. Parttendo de que el metro es aproximadamente la diezmillonésima parte
del cuadrante lerrestre, expresar en rniri(‘jmelros cuadrados Ja superficie de un huso
horario .
(Oposición E G R, 1983)
Solución
Longitud de! círculo máxImo de la esfera terrestre – L
L – 2n “” 4 x 10000000 _ 4 x 101
4 X 107 , – –
El huso horario t)ene de amplitud
La superficie del huso horario es
A – X n =::
90
(
. -20.00 )”
90
2 )( 101 2000
~–:, :=- m • – -, – m.m
360
24
x 15 “” 4000000
6.
2000000
3r
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24. Calcular el volumen de un tronco de pirámide de bases paralelas cuya bao
se mayor es un cuadrado de 5 metros de largo. La altura del tronco mide un metro
y sus caras laterales forman ángulos de 60° con la referida base
(Oposici6n E G B , 1983)
Solución
Seccionando la Pirámide por un plano perpendicular a los lados de las bases y
que contiene al vértice, se obtiene la figura.
A
Los triángulos AMN y ABC son semejantes.
h
BL-_.J…..l.C
Por la semejanza de triángulos
AB AM
–~– ~ BC MN
5-/3 – 2
MN _ _ –,2;,-_
-/3
MN – -l’ … l’ =
2
En el triángulo ABC
AB
BC
AB .,. Be
5-/3 5.J3_ 1
2 2
5 MN
2
5-/3 – 2
2-/3
5-/3 – 2
.J3
tg 60°
~
1
–/3 –
2
El volumen del tronco de pirámide viene dado por
5-/3
2
v = -.!..(B +S’+ .JBB’)h _ ~ [52 + (5v’3-2)2 + 5. 5v’3-2] 1
3 3. -/3. -/3
~ ~ [25 + 5-/3 – 2 (5-/3 – 2 + 5 1] ~
3 -/3 -/3 _
_ ~ [25+ (5y:l-2)~IO-/3-2)] ~; [25+ 150-20-/33-10-/3+4]_
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_ -‘- [25 + 154 – 30.J3 ] _ -‘- -‘7-‘-5_+’–“I54c,;—-“-3~0v~’33o.
:1 3 _ 3 3 –
229 – 30’/3 ,
– 9 m
Otra forma de d eterminar el volumen de! tronco de pirs’mide es hallar el volumen
de la pirámide entera y restarle el volumen de la pirámide deficiente