ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Y MEDIA ARITMÉTICA EJERCICIOS DE MATEMATICA 10–DECIMO AÑO PDF

Share Button

CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Cuerpos geométricos,Poliedros ,Cuerpos de revolución,Teorema de Pitágoras en el espacio,Áreas,Áreas de la pirámide y pirámide truncada , Áreas del cono y del cono truncado , Volúmenes , Principio de Cavalieri , Volúmenes de prismas y cilindros,Volúmenes de pirámides y conos. . . , Volumen de la esfera , Cálculo aproximado de volúmenes,Media aritmética,
Resolución de problemas utilizando la media aritmética ,
CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Prerrequisitos
Recuerda
• Los polígonos regulares son los que tienen todos
sus lados y ángulos iguales.
• La distancia entre un punto y un plano es la longitud
del segmento perpendicular PQ interceptado
por el plano.
• La distancia entre dos planos paralelos es la
longitud del segmento perpendicular PQ interceptado
por los planos.
• Determina cuál es el valor que más se repite en
la siguiente serie de cifras: 1, 5, 6, 7, 3, 4, 7, 2,
8, 2, 6, 3, 7, 3, 6, 1, 8, 3, 5, 1, 4, 7, 9, 3, 1, 5, 3,
4, 7, 2 y 5.
Evaluación diagnóstica
• Observa los ángulos poliedros de estos cuerpos e
indica cuál de ellos es convexo y cuál es cóncavo.
• Escribe las fórmulas que permiten calcular las
áreas de las figuras planas sencillas.
• ¿Cuál es la unidad de volumen derivada del metro?
Escribe tres múltiplos de esta unidad.
• Completa en tu cuaderno:
Cada unidad de volumen es …………….. veces mayor que
la inmediatamente inferior y ……………………. veces menor
que la inmediatamente superior.
• La edad, en años, de los participantes en un campeonato
de ajedrez es la siguiente: 16, 21, 45, 36, 30,
18, 29, 27, 18, 47, 22 y 40. Calcula la media aritmética
de estos datos.
Destrezas con criterios de desempeño
En este tema ampliarás tus conocimientos sobre los cuerpos geométricos y la forma de calcular sus áreas y volúmenes.
Así como también resolverás problemas utilizando la media aritmética.

DDCCDD
• Calcular áreas laterales de conos y pirámides en
la resolución de problemas.
• Calcular volúmenes de pirámides y conos con la aplicación
del teorema de Pitágoras.
• Aplicar el teorema de Pitágoras en el cálculo de áreas
y volúmenes.
• Calcular la media aritmética de una serie de datos
reales.
• Apreciar, en diferentes ámbitos de la vida cotidiana,
los aspectos que pueden ser expresados por medio
de la geometría.
• Tener una predisposición a aplicar las nociones
geométricas a situaciones cotidianas.
α
P
Q
a b
α
β
P
Q
142
1 Cuerpos geométricos
1.1. Poliedros
Como ya sabes, un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos. Sus
elementos son:
Las caras que concurren en un mismo vértice forman un ángulo poliedro.
Atendiendo a estos ángulos, podemos clasificar los poliedros en convexos y cóncavos.
Observa que:
• Si un poliedro es convexo, todas sus caras pueden apoyarse sobre un plano.
• Si un poliedro es cóncavo, alguna de sus caras no puede apoyarse en un
plano.
Relación de Euler
Todos los poliedros convexos cumplen una propiedad, conocida como relación
de Euler, que relaciona el número de caras, aristas y vértices.
• Caras: cada uno de los polígonos.
• Aristas: cada uno de los lados de los polígonos.
• Vértices: cada uno de los puntos en los que
se cortan las aristas.
Caras
Aristas
Vértices
Poliedro cóncavo: alguno
de sus ángulos
poliedros es cóncavo.
Poliedro convexo: todos
sus ángulos poliedros
son convexos.
Todo poliedro convexo cumple que el número de caras, C, más el número
de vértices, V, es igual al número de aristas, A, más 2.
C + V = A + 2

Contesta las siguientes preguntas.
Justifica tus respuestas.
a) Un poliedro convexo tiene 4 caras
y 6 aristas. ¿Cuántos vértices tiene?
b) Un poliedro convexo tiene 6 vértices
y 12 aristas. ¿Cuántas caras
tiene?
c) Un poliedro tiene 9 vértices, 20
aristas y 12 caras. ¿Es convexo?
1 Observa estos poliedros. ¿Son
convexos? Comprueba si cumplen
la relación de Euler y, a continuación,
indica si las siguientes
afirmaciones son ciertas.
a) Todos los poliedros cumplen
la relación de Euler.
b) Existen poliedros cóncavos
que cumplen la relación de
Euler.
2
Actividades 
Debemos distinguir las diagonales
del poliedro de las diagonales
de las caras.
Diagonales del poliedro (D):
cada uno de los segmentos que
unen dos vértices situados en caras
diferentes.
Diagonales de una cara (d): cada
uno de los segmentos que unen
dos vértices no adyacentes situados
en la misma cara.
 FÍJATE
D
d
El poliedro de la figura es cóncavo,
pues las caras rayadas no pueden
apoyarse sobre un plano.
 FÍJATE
A continuación, centraremos nuestra atención en poliedros regulares, prismas,
pirámides y troncos de pirámide.
Poliedros regulares
Un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos regulares e iguales
entre sí, y en cada vértice concurre el mismo número de aristas.
A diferencia del plano, donde existen infinitas formas poligonales regulares, en
el espacio sólo se dan cinco poliedros regulares. Observa:
Prismas
Los prismas son poliedros en los cuales dos caras son po lí gonos iguales y
paralelos entre sí, y las demás caras son paralelogramos. En la figura 1 puedes
observar sus elementos.
La distancia entre los planos que contienen las bases es su altura.
Los prismas se nombran según los polígonos que forman sus bases: triangulares,
cuadrangulares…
Además, los prismas se clasifican en rectos y oblicuos.
Un prisma es regular si es recto y sus bases son polígonos regulares.
Tetraedro Octaedro Icosaedro Hexaedro
o cubo
Dodecaedro
4 triángulos
equiláteros
8 triángulos
equiláteros
20 triángulos 6 cuadrados
equiláteros
12 pentágonos
regulares
Un prisma es recto si las aristas laterales
son perpendiculares a las aristas básicas.
Un prisma es oblicuo si las aristas laterales
no son perpendiculares a las aristas
básicas.
¿Son convexos los poliedros regulares? ¿Cumplen la
relación de Euler?
¿Es regular este poliedro?
Justifica tu respuesta.
Observa que está limitado
por triángulos equiláteros
e iguales entre sí.
Explica qué son la diagonal de un poliedro y la diagonal
de una de sus caras.
a) Dibuja un cubo e indica la diagonal de una de sus
caras y la diagonal del cubo.
b) ¿Cuántas diagonales tiene un prisma cuadrangular?
¿Y cuántas diagonales tiene cada una de
sus caras?
¿Son convexos los prismas? ¿Cumplen la relación de
Euler?
6
5
4
3
Actividades 
Si seccionamos un prisma, recto
u oblicuo, por un plano paralelo
a sus bases, la sección del
prisma que obtenemos es un polígono
igual que sus bases.
 FÍJATE
Base
Altura
Base
Arista lateral
Cara lateral
Arista básica
Fig. 1
Este balón de futbol, a pesar
de estar formado por
pentágonos y hexágonos
regulares, no es un poliedro
regular.
CONTRAEJEMPLO
144
Pirámides
Las pirámides son poliedros en los cuales una cara es un polígono cualquiera
y las otras son triángulos que tienen un vértice común.
En la figura 2 puedes observar sus elementos.
La distancia entre el vértice y el plano que contiene su base es su altura.
Como en el caso de los prismas, las pirámides se nombran según el polígono
que forma su base: triangulares, cuadrangulares…
Las pirámides también se clasifican en rectas y oblicuas.
Una pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular. La apotema
de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.
Troncos de pirámide
Observa en la siguiente figura como, al seccionar una pirámide por un plano
paralelo a su base, obtenemos otro cuerpo geométrico llamado tronco de
pirámide.
¿Cuándo es cóncava una pirámide? ¿Puede ser
cóncava una pirámide regular? ¿Cumplen la relación
de Euler las pirámides regulares?
Halla las medidas de las aristas de las bases de
un tronco de pirámide, si sabemos que el tronco
se ha obtenido al seccionar la pirámide de la derecha
por el plano que indicamos.
8
7
Actividades
Una pirámide es recta si todas sus caras
laterales son triángulos isósceles.
Una pirámide es oblicua si no todas sus
caras laterales son triángulos isósceles.
Base
Cara
lateral
Base
4 cm
3 cm
9 cm
La sección de una pirámide recta
u oblicua por un plano paralelo
a la base es un polígono semejante
a la base de razón de
semejanza .
Este resultado se obtiene aplicando
el teorema de Tales a los
triángulos señalados en la figura
siguiente:
k
x
h
=
FÍJATE
x
h
■ Fig. 2
Arista
lateral
Cara
lateral
Arista
básica
Altura
Base
Vértice
1.2. Cuerpos de revolución
Los cuerpos de revolución son los cuerpos geométricos que se obtienen al girar una figura plana 360° alrededor
de un eje.
Cilindro, cono y esfera
Los tres cuerpos de revolución más sencillos son el cilindro, el cono y la esfera.
Secciones de los cuerpos de revolución
La sección de un cilindro o de un cono por un plano paralelo a la base es un círculo. La sección de una esfera
por un plano siempre es un círculo. Además, si el plano pasa por el centro de la esfera, la sección obtenida
se llama círculo máximo y la circunferencia
que lo delimita, circunferencia máxima.
Observa los cuerpos de revolución que se obtienen
al seccionar el cono y la esfera.
Un cilindro se obtiene al girar 360° un
rectángulo sobre uno de sus lados.
La superficie que lo delimita se llama
superficie cilíndrica.
Un cono se obtiene al girar 360° un
triángulo rectángulo sobre uno de sus
catetos.
La superficie que lo delimita se llama
superficie cónica.
Una esfera se obtiene al girar 360°
un semicírculo sobre su diámetro.
La superficie que lo delimita se llama
superficie esférica.
Vértice
Base
Generatriz
Altura
Base Radio Centro
Base Generatriz
Altura
Al seccionar una esfera por
un plano que pasa por su
centro, se obtienen dos semiesferas.
La parte de la
superficie esférica que delimita
una semiesfera se llama
hemisferio.
Al seccionar una esfera por
un plano que no pasa por su
centro, se obtienen dos
segmen tos esféricos. La
parte de la superficie esférica
que delimita un segmento
esférico se llama
casquete esférico.
Al seccionar un co –
no por un plano
paralelo a su base,
se obtiene otro
cuer po geométrico
que se llama
tronco de cono.
Al seccionar una esfera por
dos planos paralelos, se
obtiene un segmento esférico
de dos bases. La
parte de la superficie esférica
que lo delimita se llama
zona esférica.
Hemisferio
Semiesfera
Hemisferio
Casquete
esférico
Segmento
esférico
Casquete
esférico
Segmento
esférico
de dos
bases
Zona
esférica
Base
Generatriz
Base
Dibuja el cuerpo de revolución que
se obtiene al girar 360° cada una de
estas figuras planas alrededor del
eje indicado. Trabaja en tu
cuaderno.
9
Actividades 
146
Esfera terrestre
En geometría, una esfera es un cuerpo limitado por una superficie curva cerrada,
cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. En la
vida cotidiana hay muchos objetos y elementos que nos recuerdan a una esfera.
La Tierra es un claro ejemplo. La esfera que representa la Tierra se llama
esfera terrestre.
Fíjate en sus elementos:
Debido al movimiento de rotación de la Tierra, la hora del día varía de un lugar
a otro y viene determinada por el meridiano.
Puesto que la Tierra tarda 24 horas en dar una vuelta sobre sí misma, se ha dividido
la superficie terrestre en 24 husos, llamados husos horarios, cada uno
de los cuales abarca 15° de longitud. De esta forma, todos los lugares situados
en un mismo huso horario adoptan la misma hora.
Cuando pasamos de un huso horario a otro, debemos avanzar el reloj 1 h si
viajamos hacia el Este o retrasarlo 1 h si viajamos hacia el Oeste.
Busca un planisferio en un atlas e indica las coordenadas geográficas de las
siguientes ciudades: París, Tokio, Río de Janeiro, Quito, Guayaquil.
¿Cuál es la diferencia de hora solar entre las ciudades del Tena y Puerto
Baquerizo?
11
10
Actividades
• Eje terrestre: línea imaginaria alrededor de la cual gira la Tierra en su
movimiento de rotación. Su intersección con la superficie esférica son dos
puntos llamados polos.
• ecuador: circunferencia máxima contenida en un plano perpendicular al
eje terrestre.
• Paralelos: circunferencias obtenidas al seccionar la esfera por planos paralelos
al plano del ecuador.
• Meridianos: semicircunferencias máximas con extremos en los polos.
• Zona: parte de la superficie terrestre comprendida entre dos paralelos.
• Huso: parte de la superficie terrestre comprendida entre dos meri dia nos.
Polo
Paralelos
Huso
Zona
Polo
ecuador
Meridianos
Eje terrestre
La longitud de un punto A es la medida del ángulo que forma el plano del
meridiano que pasa por ese punto con el plano que contiene el meridiano
de Greenwich.
• La longitud se mide de 0° a 180° en dirección Este y Oeste desde el meridiano
de Greenwich.
La latitud de un punto A es la medida del ángulo correspondiente al arco
de meridiano que pasa por A, comprendido entre el ecuador y dicho punto.
• La latitud se mide de 0° a 90° en dirección Norte y Sur desde el ecuador.
Para indicar las coordenadas geográficas de un punto cualquiera de la superficie
terrestre, escribimos primero su longitud y, a continuación, su latitud.
Así, las coordenadas geográficas del punto A son (73° O, 40° 42 N).
73°
Latitud
Sur
Longitud
Este
Latitud
Norte
Meridiano
de Greenwich
ecuador
Longitud
Oeste
A
73°
40° 42’
Existen tres tipos de hora:
— La hora solar (o local), determinada
por la incidencia del
Sol en cada meridiano y que
varía en cada punto según su
longitud.
— La hora local media, determinada
por el meridiano medio
del huso horario correspondiente.
— La hora oficial, que es la que
fija el gobierno de un país para
su uso, y que puede diferir en
un número entero con la hora
local media.
 FÍJATE
MATERIAL CONCRETO
Globo terraqueo
Por cualquier punto de la superficie terrestre pasan un meridiano y un paralelo.
Esto nos permite determinar la posición de un punto sobre la esfera terrestre
asociándole un par de números: su longitud y su latitud.
Para determinarlos, se toma como meridiano origen el que pasa por la ciudad
inglesa de Greenwich, denominado meridiano de Greenwich, y como paralelo
origen, el ecuador.
1.3. Teorema de Pitágoras en el espacio
A partir del teorema de Pitágoras, podemos obtener distintas relaciones métricas
entre diferentes elementos de un cuerpo geométrico que nos permitirán calcular
áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Fíjate en los siguientes
ejemplos.
ejemplo 1 ejemplo 2
Calcula el valor de la altura de la pirámide regular de la
figura.
La altura de la pirámide es uno de
los catetos del triángulo rectángulo
cuya hipotenusa es la apotema de
la pirámide y cuyo otro cateto es la
apotema de la base.
— Calculamos el cateto y la altura.
La altura de la pirámide mide 24 cm.
c
h
= =
= − =
14
2
7
252 72 24
Calcula el valor de la generatriz del cono de la figura.
La generatriz del cono es la hipotenusa
del triángulo rectángulo
cuyos catetos son la altura
del cono y el radio de la base.
— Calculamos el valor de la generatriz
aplicando el teorema
de Pitágoras al triángulo anterior.
Así, la generatriz del cono mide
13 cm.
g = 122 + 52 = 13
g
12 cm
5 cm
25 cm
14 cm
h
c
ejemplo 3
Calcula la diagonal de un cubo de 3 cm de arista.
— Dibujamos un cubo en el
que representamos el enunciado
del problema.
Observamos que la diagonal
del cubo es la hipotenusa
del triángulo rectángulo
cuyos catetos son la
arista del cubo y la diagonal
de su base.
Construye este cubo y comprueba tu resultado.
— Aplicamos el teorema de Pitágoras y calculamos la diagonal
de la base del cubo.
— Aplicamos de nuevo el teorema de Pitágoras y calculamos
la diagonal D del cubo.
Así, la diagonal del cubo mide 5,2 cm.
D d a a a a a
D
= + = + = =
= ◊ =
2 2 2 2 2 3 2 3
3 3 5,2
d = a2 + a2 = 2 a2 = 2 a
a
d
D
Calcula el valor de x en cada uno de estos cuerpos
geométricos.
Calcula el valor de la diagonal
del prisma de la figura.
¿Cuánto mide el radio de
la base del segmento esférico
obtenido al seccionar
una esfera de radio
5 cm por un plano
que dista 4 cm del centro
de la esfera?
14
12 13

MATERIAL CONCRETO
148
2 Áreas
Conoces a varios cuerpos geométricos, por ejemplo el cubo, los prismas,
ahora estudiaremos las pirámides y los conos.
Existen las p y las p , también los c y c
; en el caso de los cuerpos truncos debemos observar que estos
tienen dos bases (inferior y superior) mientras que las pirámides y conos normales
tienen una base inferior y por cúspide a un vértice.
En los cuerpos truncos trataremos a los que tienen sus bases paralelas.
Una p es regular si su base es un polígono regular.
Las pirámides tienen varias caras laterales, que son triángulos en los cuerpos
normales y trapecios en los truncadas.
Como ya sabes, el área de un cuerpo geométrico es la medida de la superficie
que lo delimita.
En los cuerpos geométricos hablamos del á , la cual se obtiene al
sumar todas las áreas de las caras laterales y del á cuando se suma
al valor del área lateral el área de la base o las bases.
2.1. Áreas de la pirámide y pirámide truncada
148
Figura Patrón plano Área lateral y área total
• Área lateral: la superficie lateral está formada por
triángulos.
A lateral = Área de sus caras laterales
• Área total: se obtiene sumando el área lateral y el área
de la base.
A total = Alateral + Abase
• Área lateral: la superficie lateral está formada por
trapecios.
A lateral = Área de sus caras laterales
• Área total: se obtiene sumando el área lateral y el
área de las dos bases.
A total = Alateral + Ab1 + Ab2
Pirámide Truncada
Pirámide
Desarrollo plano
■ Fig. 3
Ab2
Ab1
2.2. Área del cono y del cono truncado
Figura Área lateral y área total
• Área lateral: la superficie lateral es un sector circular
de radio la generatriz del cono y de longitud
de arco la longitud de la circunferencia de la base.
A lateral =
• Área total: se obtiene sumando el área lateral y
el área de la base.

Patrón plano
Relaciona cada poliedro regular con su patrón plano
y con la fórmula que permite calcular su área.
a) Calcula el área lateral y el área total de cada uno
de estos poliedros.
b) Calcula las áreas laterales y las áreas totales de
estos cuerpos de revolución.
15 16

ejemplo 4
Calcula el área total de un cono truncado que tiene una base inferior de radio 5 cm, base superior de radio 2 cm y su
generatriz de 12 cm.
Organicemos los datos: R = 5 cm; r = 2 cm; g = 12 cm
Reconozcamos las A lateral = πg ⋅ (R + r )
fórmulas respectivas: A total = πg ⋅ (R + r ) + πR2 + π r 2
Calculemos el área A lateral = π· g ⋅ (R + r ) = π·12·(5+2)  263,89
lateral:
Calculemos el A total = πg ⋅ (R + r ) + πR2 + π r 2
área total: A total = π·12·(5+2) + π·52+ π·22
A total =113· π  400
A total  400 cm2
150
3 Volúmenes
El volumen de un cuerpo geométrico expresa el número de veces que el cuerpo
contiene una unidad de volumen.
Así, para calcular el volumen de este ortoedro, contaremos la cantidad de unidades
de volumen de 1 cm3 que contiene. Observa:
Vortoedro = 6 · 4 · 5 = 120 cm3
Fíjate en que el número de unidades de volumen
que contiene coincide con el producto del
área de su base por su altura. Por lo tanto:
Vortoedro = Abase · altura
No siempre podemos deducir la fórmula del volumen de un cuerpo geométrico
cubicándolo. El siguiente principio nos servirá para obtener los volúmenes del
resto de los cuerpos geométricos estudiados: prisma, cilindro, pirámide, cono
y esfera.
3.1. Principio de Cavalieri
Observa los dos cuerpos geométricos de la figura.
• Tienen la misma altura.
• Las secciones por planos paralelos
a las bases tienen la misma área.
Estas condiciones permitieron asegurar
a Bona ventura Cavalieri, matemático del
siglo XVII y discípulo de Galileo Galilei,
que estos dos cuerpos
geométricos tienen el mismo volumen.
Principio de Cavalieri
5
4
6
1 cm3
Si dos cuerpos geométricos de la misma altura cumplen que las secciones
por planos paralelos a sus bases tienen la misma área, entonces estos
cuerpos tienen el mismo volumen.

Escribe la fórmula para calcular el volumen de un cubo
de arista a.
Calcula los volúmenes de los siguientes ortoedros:
Observa estos cuerpos geométricos. Aplica el principio
de Cavalieri y razona si tienen el mismo volumen.
19
18
17
Actividades 
10 cm
3 cm
2 cm
4 cm
4 cm
8 cm
5 cm
3 cm
2 cm
a b c
3 cm
4 cm
9 cm
2 cm
6 cm
9 cm
A la izquierda tenemos un montón
de monedas perfectamente
alineadas; a la derecha las mismas
monedas no alineadas. Evidentemente,
ambos montones
ocupan el mismo volumen.
La formalización de este principio
es, precisamente, el principio de
Cavalieri.
 FÍJATE
20 Calcula el volumen de cada cuerpo geométrico de la figura 4.
Actividades 
3.2. Volúmenes de prismas y cilindros
La imagen muestra un ortoedro, un prisma recto, un prisma oblicuo y un cilindro
que tienen la misma área de la base, Abase, y la misma altura, h.
Observa que en estas figuras las secciones siempre son iguales al área de la
base. Por tanto, podemos afirmar que las secciones por un plano paralelo a
sus bases tienen la misma área:
A1 = A2 = A3 = A4
Así, por el principio de Cavalieri, los cuatro cuerpos tienen el mismo volumen,
que podemos calcular a partir del volumen del ortoedro.
Vprisma recto = Vprisma oblicuo = Vcilindro = Vortoedro
El volumen del ortoedro es el área de su base por su altura.
Vortoedro = Abase · h
Por tanto, podemos concluir que:
A1 A2 A3 A4 h
Abase Abase Abase Abase
El volumen de un prisma o de un cilindro es igual al área de su base por su
altura.
Vprisma = Abase · h
Vcilindro = Abase · h = π r 2 · h

ejemplo 5
Halla los volúmenes de los siguientes cuerpos geométricos.
a) Un prisma recto de altura 150 cm y base un cuadrado de lado 20 cm. ¿Obtendrías
el mismo resultado si el prisma fuera oblicuo?
b) Un cilindro de radio 8 cm y altura 34 cm.
a) Calculamos el área de la base y aplicamos la fórmula del volumen del prisma.
Abase = a 2 = 202 = 400 cm2
Vprisma = Abase · h = 400 · 150 = 60 000 cm3
Si el prisma fuera oblicuo, se obtendría el mismo resultado en virtud del principio de
Cavalieri.
b) Calculamos el área de la base y aplicamos la fórmula del volumen del cilindro.
Abase = πr 2 = π · 8 2 = 201,1 cm2
Vcilindro = Abase · h = 201,1 · 34 = 6 837,4 cm3
7 cm 4 cm
10 cm
10 cm
4 cm
10 cm
10,44 cm
■ Fig. 4
152
3.3. Volúmenes de pirámides y conos
Para obtener las fórmulas de los volúmenes de las pirámides y de los conos,
deducimos en primer lugar la del volumen de una pirámide recta de base cuadrada
a partir de la fórmula del volumen de un cubo.
En la figura 5 puedes observar que el cubo de arista a se descompone en seis
pirámides rectas iguales cuyas bases son cada una de las caras del cubo y
cuya altura es . Por tanto:
Vpirámide recta = Vcubo = Abase · 2 h = Abase · h
de base cuadrada
A partir de este resultado, vamos a obtener el volumen de las pirámides y el de
los conos en general.
En la siguiente figura se muestran una pirámide recta de base cuadrada, una
pirámide triangular recta, una pirámide triangular oblicua y un cono que tienen la
misma área de la base, Abase, y la misma altura, h.
Puesto que cada sección es semejante a la base correspondiente con razón
de semejanza , se cumple que:
Por consiguiente, las secciones por un plano paralelo a sus bases tienen la
misma área.
Así, por el principio de Cavalieri, los cuatro cuerpos tienen el mismo volumen,
que podemos calcular a partir del volumen de la pirámide recta de base cuadrada.
V1 = V2 = V3 = V4 = Abase · h
Por tanto, podemos concluir que:
1
3
A1 A2 A3 A4 x 2
= = = = (—) ⇒ A1 = A2 = A3 = A A 4 base Abase Abase Abase h
k
x
h
=
1
3
1
6
1
6
h
a
=
2
21 Calcula el volumen de cada uno de los cuerpos geométricos de la figura 6.
Actividades 
El volumen de una pirámide o de un cono es igual a un tercio del área
de su base por su altura.
Vpirámide = Abase · h Vcono = Abase · h = 1 π r2 · h
3
1
3
1
3

h
A1 A2 A3 A4
x
A A A A
h
a
a
a
■ Fig. 5
La pirámide de Keops es la mayor
de las tres pirámides de Gizeh, en
Egipto, la única de las siete maravillas
del mundo antiguo que aún sigue
en pie. Busca sus dimensiones
y calcula su volumen. Para ello
puedes conectarte a la página
http://www.egiptologia.com/
sociedad/piramides/jufu/jufu.htm.
@
La razón entre las áreas de dos
polígonos semejantes es igual al
cuadrado de la razón de semejanza.
 FÍJATE
10 cm
10 cm
10,44 cm
5 cm
5 cm
3 cm
10 cm
■ Fig. 6
3.4. Volumen de la esfera
En el siglo III a. C., Arquímedes determinó el volumen de una esfera relacionándolo
con el volumen de un cilindro y el de un cono. Veamos el procedimiento que
utilizó.
Consideramos un cilindro y un cono cuyos radios sean r y cuyas alturas sean
iguales a los radios, y una semiesfera de radio r.
Observa la relación entre el radio de sus bases y el radio de las secciones por
un plano paralelo a dichas bases.
Así, las áreas de las secciones por planos paralelos a sus bases son:
A1  r 2 A2  x 2 A3  (r 2  x 2)
Es decir: A3   (r 2  x 2)   r 2   x 2  A1  A2
Las secciones de la semiesfera por un plano paralelo a la base son iguales a
las del cilindro menos las del cono. Así, si aplicamos el principio de Cavalieri a
la semiesfera y al cuerpo que resulta de extraer el cono del cilindro (figura 7),
tenemos que:
Vsemiesfera  Vcilindro  cono
Por tanto, el volumen de la esfera es:
Vesfera  2 Vsemiesfera  2 (Vcilindro  cono)  2 (Vcilindro  Vcono) 
 

 

 

 

2 
1
3
2
1
3
r2 r  r 2 r  r 3  r 3 2
2
3
4
3
 r 3   r 3
r r
r
r
x
r
r x r r x 1
2
2 3
 
 2  2  2
r1 r r3
r2
x
r r
r
x
r
r
El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del número  por su
radio al cubo.
Vesfera  r 3 4
3
r
r
r
Fig. 7
¿Sabes de cuál de sus descubrimientos
Arquímedes se mostraba
más orgulloso? Infórmate en
la página http://www.arrakis.
es/~mcj/arquimed.htm
@
Calcula los volúmenes de la semiesfera, del cilindro y
del cono representados en la figura.
— ¿Cómo se relaciona el volumen de la semiesfera
con el de los otros dos cuerpos geométricos? Justifica
tu respuesta.
22
Actividades
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
154
Área de la esfera
La obtención del área de la esfera no es tan sencilla como la de otros cuerpos
geométricos. Esto es debido a que no tiene desarrollo plano, a diferencia del
cilindro y el cono.
Veamos cómo obtener el área de la esfera a partir de su volumen.
Recubrimos la superficie esférica con triángulos iguales y con sideramos las
pirámides con vértices en el centro de la esfera cuyas bases son estos triángulos
y cuya altura es el radio de la esfera. Así, obtenemos que el volumen de
la esfera puede aproximarse sumando los volúmenes de dichas pirámides.
Vesfera = V1 + V2 + … = Ab1
· r + Ab2
· r + … =
= (Ab1
+ Ab2
+ … )· r = Aesfera · r
Por otro lado, hemos visto que Vesfera= πr 3.
Por lo tanto, igualando las dos fórmulas obtenemos:
Aesfera · r = πr 3
Despejando el área de la esfera, tenemos que Aesfera = 4 π r 2
4
3
4
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
El área de la esfera es igual a cuatro veces el número π por su radio al cuadrado.
Aesfera = 4 π r 2

ejemplo 6
Calcula el área
de una esfera de
5 cm de radio.
— ¿Cuál será el
área de un
huso esférico
que abarca
15° sobre la
superficie de
la esfera?
Aplicamos la fórmula con la que obtenemos el área de
la esfera.
Aesfera = 4 π r 2 = 4 π 52 = 314,16
El área de la esfera es 314,16 cm2.
— Veamos qué fracción de la superficie esférica representa
el huso esférico de 15°.
Puesto que la superficie esférica tiene 360°:
360 ÷ 15 = 24
Así, la superficie esférica puede dividirse en 24 husos
como el de la figura. Por lo tanto:
Ahuso esférico = Aesfera ÷ 24 = 314,16 ÷ 24 = 13,09
El área del huso esférico es 13,09 cm2.
15∞
Calcula el área de una esfera de 7 cm de radio y el área de un huso esférico que abarca 36° sobre su superficie
esférica.
24 El volumen de una esfera es 288 π cm3. ¿Cuál es su área?
23
Actividades 
3.5. Cálculo aproximado de volúmenes
No siempre podemos calcular de una forma exacta el volumen de un cuerpo
geométrico, pues quizá no tenga una forma regular que nos permita aplicar
las ecuaciones estudiadas anteriormente. En cambio, en muchos casos sí podemos
realizar una aproximación.
Otras veces deseamos obtener el volumen de un cuerpo con forma regular
pero no tenemos instrumentos de medida para hacerlo. En estos casos también
podemos hallar su volumen de forma aproximada.
ejemplo 7
Obtén el volumen aproximado de cada uno de estos objetos.
Expresa el resultado en cm3.
— El cuerpo geométrico que más se parece a la copa
es el cono. Así, aplicando la fórmula del volumen de un
cono:
Vcopa =
El volumen aproximado de la copa es 127 cm3.
— El cuerpo geométrico que más se parece a la caja de
herramientas es un prisma de base rectangular. Así,
aplicando la fórmula del volumen de un ortoedro:
Vcaja de herramientas = Abase · h = 50 · 20 · 24 = 24 000
El volumen aproximado de la caja de herramientas es
24 000 cm3.
1
3
1
3
2 4 52 6 127 π r h = π ⋅ , ⋅ 
6 cm
4,5 cm
20 cm 50 cm
24 cm
ejemplo 8
Halla una aproximación
de la capacidad de la
jarra sin utilizar ningún
instrumento de medida.
Expresa el resultado en
litros.
Un palmo equivale, aproximadamente,
a 20 cm.
El cuerpo geométrico que más se parece a la jarra es el cilindro.
Por otro lado, podemos considerar que el radio del cilindro
mide 5 cm y su altura, 20 cm.
Aplicamos la fórmula del volumen de un cilindro:
Vjarra = π · r 2 h = π · 5 2 · 20  1 571
Por otro lado se cumple que:
1571 cm 3 = 1,571 dm 3 = 1,571 l
Así, el volumen aproximado de la jarra es 1,571 l.
1 palmo
12
palmo
20 cm
Averigua las capacidades aproximadas del tazón y de la
cuchara. Expresa dicha aproximación en litros.
Como ayuda ten en cuenta lo siguiente:
— Media esfera es una buena aproximación a la forma
del tazón.
— El cuerpo geométrico que más se parece a la cuchara
es un ortoedro.
— Un dedo mide aproximadamente 1,5 cm.
Calcula aproximadamente la capacidad en litros de cada
uno de estos objetos.
a) Un envase tetra brik de un jugo de frutas. b) Una botella pequeña de refresco.
26
25
Actividades 
6 dedos
3 dedos
12
dedo
4 dedos
156
4 Media aritmética
Para que el agua de una piscina se mantenga limpia, se deben colocar líquidos
limpiadores en una cantidad que depende del volumen de agua que esta contenga.
El agua de una piscina se mueve continuamente por las corrientes de aire del
lugar; por esta razón, la profundidad varía en cada punto de la piscina al transcurrir
el tiempo. Si medimos la profundidad de esta piscina en un mismo lugar
pero en distinto tiempo, la medida será distinta, pese a que el ancho y el largo
de esta no varían cuando se mueve el agua.
Para que la variación en la altura no impida que podamos calcular el volumen del
agua, podemos encontrar un valor representativo de la altura del agua en el
tiempo, usando una herramienta matemática conocida como media aritmética.
T 1 T
2 A la media aritmética también se la conoce como promedio o media.
Cada dato representa la observación de un lugar y la media aritmética indica el
centro alrededor de las observaciones.
El valor de la media aritmética puede ser un dato observado o no.
Escribe dos ejemplos en los que se pueda encontrar la media aritmética.
Comenta con tus compañeros y compañeras en qué problemas creen que se
puede aplicar la media aritmética y por qué.
27
28
Actividades 
Un dato es un antecedente necesario
para llegar al conocimiento
de algo.
Puede ser una cantidad, un
valor, un documento, un hecho,
etc.
 FÍJATE
Promedio es el punto en que algo
se divide por la mitad o casi por
la mitad.
MUCHO OJO 
Si en un mismo lugar de la piscina medimos la atura del agua en varias ocasiones
y deseamos calcular la altura promedio del agua, debemos realizar lo siguiente:
1. Enumeramos las medidas de la altura del agua.
2. La media aritmética se calcula sumando todas las medidas que realizamos
y dividiendo esta suma para el número de medidas tomadas:
Número
de medida
1
2
3
Medida
[m]
3,10
3,15
3,11
Número
de medida
4
5
6
Medida
[m]
3,10
3,12
3,13
Número
de medida
7
8
9
Medida
[m]
3,15
3,12
3,10
Número
de medida
1
2
3
4
Medida
[km]
5,0
3,5
1,2
4,1
Número
de medida
5
6
7
8
Medida
[km]
2,5
5,0
6,1
7,9
Número
de medida
9
10
11
12
Medida
[km]
1,5
4,0
6,4
8,0
Suma de las medidas realizadas
Número de medidas hechas
Media =
3,10 + 3,15 + 3,11 + 3,10 + 3,12 + 3,13 + 3,15 + 3,12 +3,10
9
Media =
28,08
9
Media = = 3,12
Suma de las medidas realizadas
Número de medidas hechas
Media =
5,0 + 3,5 + 1,2 + 4,1 + 2,5 + 5,0 + 6,1 + 7,9 + 1,5 + 4,0 + 6,4 + 8,0
12
Media =
55,2
12
Media = = 4,6
Calcula la distancia promedio que un grupo de estudiantes debe recorrer para llegar desde sus respectivos hogares
hasta el colegio.
ejemplo 9
a) Enumeramos la distancia que cada uno recorre para llegar al colegio.
b) Usamos la fórmula de la media aritmética, para calcular la distancia promedio que recorren los estudiantes:
c) La distancia promedio que los estudiantes recorren para llegar al colegio es 4,6 km.
Consulta cuánto falta para el cumpleaños de cada uno de tus compañeros y compañeras. Calcula el número de
meses promedio que faltan para que los estudiantes de tu curso cumplan años.
Investiga los años de fundación de cinco ciudades del Ecuador; luego; encuentra el año promedio de esas fundaciones.
29
30
Actividades 
158
4.1. Resolución de problemas utilizando la media aritmética
Para analizar los datos que recogimos en un experimento o una observación, podemos
agruparlos según sus clases o tipos, utilizando una tabla de frecuencias.
Litros producidos por hora
0
1
2
3
4
5
6
Datos
x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
Frecuencia
3
9
9
10
7
8
4
De una investigación sobre la cantidad de leche que producen las vacas de un rancho durante 50 horas, se obtuvieron
los siguientes datos.
Realiza una tabla de frecuencias y calcula el promedio de litros de leche por hora.
ejemplo 10
a) En la primera columna escribimos cada valor obtenido. En la siguiente, registramos la frecuencia:
b) Para calcular la media aritmética con los datos agrupados en una tabla de frecuencias, usamos la fórmula deducida
anteriormente:
31 Utilizando una tabla de frecuencias, encuentra la media aritmética de los siguientes datos:
Organicen un grupo que investigue y recolecte cincuenta datos de un tema que les interese; luego, calculen el
promedio de los datos recolectados. Por ejemplo, puedes calcular el promedio de partidos de futbol que se juegan
cada día en América.
32
Actividades 
Suma de las medidas realizadas
Número de medidas hechas
Media =
Suma de cada: (Clase de dato multiplicado por su frecuencia)
Suma de las frecuencias
Media =
0·3 +1·9 + 2·9 + 3·10 + 4·7 + 5·8 + 6·4
3 + 9 + 9 + 10 + 7 + 8 + 4
Media =
149
50
Media = = 2,98
0 1 3 6 3 3 6 5 2 3 2 3 5 6 4 1 5
5 3 4 1 2 1 4 0 4 1 5 1 4 5 2 4 2
3 1 5 4 2 6 3 5 2 3 0 1 2 3 1 2
15 23 12 11 17 9 22 8 15 22 8 23 11 17 23 17
12 15 15 11 22 15 15 12 21 9 8 12 27 15 9 15
En una investigación estadística, los datos que se obtienen pueden ser distintos entre sí. Para utilizar este tipo
de datos, los debemos agrupar por intervalos.
En un curso vacacional se ha clasificado a los asistentes según sus edades. Para calcular el valor medio de cada intervalo,
debemos tomar en cuenta los siguientes parámetros:
ejemplo 11
a) Cada intervalo debe tener dos números que indican el principio y el fin de éste.
b) La distancia de cada intervalo debe ser la misma.
c) Por lo general se construyen seis intervalos.
Con los valores medios de cada intervalo, es posible calcular el promedio de los datos tomados.
En la muestra de cosecha de una exportadora de mangos, se han calculado los siguientes pesos. Organiza los
pesos en intervalos y encuentra el promedio.
33
Actividades 
12,3 12,5 13,1 13,9 14,5 14,4 12,7 15,2 16,7 15,9
13,8 13,5 14,2 14,8 14,9 12,6 13,8 17,5 17,9 16,4
17,8 17,2 15,3 16,8 17,3 15,5 16,7 17,9 15,3 12,8
15,6 14,2 16,5 15,8 16,4 16,9 16,5 15,2 17,0 17,5
Intervalo
[0,5 a 3,5)
[3,5 a 6,5)
[6,5 a 9,5)
[9,5 a 12,5)
[12,5 a 15,5)
[15,5 a 18,5]
Valor medio Distancia del intervalo
3,5 – 0,5 = 3
6,5 – 3,5 = 3
9,5 – 6,5 = 3
12,5 – 9,5 = 3
15,5 – 12,5 = 3
18,5 – 15,5 = 3
Frecuencia
7
20
15
12
8
23
0,5 + 3,5
2 = 2
3,5 + 6,5
2 = 5
6,5 + 9,5
2 = 8
9,5 + 12,5
2 = 11
12,5 + 15,5
2 = 14
15,5 + 18,5
2 = 17
Calcular el promedio de edades de los asistentes al curso vacacional.
ejemplo 12
a) Calculamos los valores medios de cada intervalo.
b) Usamos los valores medios y la frecuencia de cada intervalo en la fámula de la media aritmética.
c) La edad promedio de los asistentes es 10,2 años.
Suma de cada: (valor medio multiplicado por la frecuencia del intervalo)
Suma de las frecuencias
Media =
2·7 + 5·20 + 8·15 + 11·12 + 14·8 + 17·23
7 + 20 + 15 + 12 + 8 + 23
Media =
869
85
Media =  10,22
160
Ejecución del plan de resolución
— Volumen de la lata estándar:
Ve = π re
2  he = π · 3,202  10,35 =
= 333 cm3
— Cociente entre volúmenes y razón
de semejanza:
— Áreas totales:
Ae = 2 π re (ge + re) = 2 π · 3,20 (10,35 + 3,20) = 272,44 cm2
Am = k 2 Ae = 1,1452 · 272,44 = 357,18 cm2
— Relaciones precio/volumen y superficie/volumen:
;
;
La lata maxi sale más rentable al consumidor. Esta misma lata
requerirá menos aluminio para envasar los 1 000 litros.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Repasa los cálculos efectuados y comprueba que son
correctos.
V
V
m k
e
= = ⇒ = =
500
333
1,5 3 1,5 1,145
A
V
m
m
= =
357 18
500
0 71
,
, cm−A
V
e
e
= =
272 44
333
0 82
,
, cm−1
p
V
m
m
= =
60
500
0,12
cts.
cm3
p
V
e
e
= =
45
333
0,135
cts.
cm3
Comprensión del enunciado
Las latas estándar y maxi son semejantes. De la primera conocemos
las dimensiones y de la segunda el volumen. Será más
rentable para el consumidor aquella que tenga una relación
precio/volumen menor y tendrá menor coste para la empresa
aquella que tenga una relación superficie/volumen menor.
Planificación de la resolución
En primer lugar, calcularemos el volumen de la lata estándar.
La relación entre los volúmenes de ambas latas nos permitirá
obtener la razón de semejanza.
A continuación, calcularemos el área de la lata estándar. A
partir de la razón de semejanza, hallaremos también el
área de la lata maxi.
Finalmente, calcularemos las relaciones precio/volumen y
superficie/volumen para ambas latas y deduciremos cuál es
la más rentable para el consumidor y la que empleará menor
cantidad de aluminio para contener los 1 000 litros.
Un escultor ha realizado una estatua en bronce que
representa a un célebre investigador científico, de
cuerpo entero, sosteniendo un tubo de ensayo.
— Si el investigador tiene una estatura de 1,72 m y
la estatua una altura de 2,15 m, ¿cuál es el factor
de escala?
— En la estatua, el científico aparece con un lente circular
cuya área es 43 cm2. ¿Qué radio tiene el
lente real?
— El tubo de ensayo es un cilindro de radio 0,5 cm
y altura 15 cm. ¿Qué cantidad de bronce ha sido
necesaria para reproducirlo?
Un arquitecto ha construido una maqueta de una
urbanización residencial a escala 1: 850.
— Si proyecta un hotel de una altura real de 84 m,
¿qué altura tendrá el correspondiente edificio en
la maqueta?
— Si el área total de la maqueta es de 11 800 cm2,
¿qué extensión total ocupará la urbanización?
—En la maqueta se puede ver una piscina con
forma de prisma rectangular de dimensiones
2,9 × 0,5 × 0,2 cm. ¿Cuál será la capacidad de la
piscina real?
34 35

Una empresa comercializa dos tipos de latas de refresco.
• La lata estándar tiene forma cilíndrica,
de radio 3,2 cm y altura
10,35 cm. El precio de un
refresco estándar es de 45 cts.
• La lata maxi es semejante a la
estándar, pero tiene un volumen
de 500 cm3. El precio
de un refresco maxi es de 60
cts.
— ¿Qué tipo de lata sale más rentable al consumidor?
— La empresa desea envasar 1 000 l. ¿Con cuál de los dos
tipos de lata necesitará menor cantidad de aluminio?
h
r
2 π r
g
r
r
Cómo resolver problemas
Actividades
se obtienen a partir del
se obtienen a partir del
En resumen
1 Un poliedro es una región del espacio limitada
por polígonos.
• Todo poliedro convexo cumple la relación de
Euler:
El número de caras, C, más el número de vértices,
V, es igual al número de aristas, A, más 2:
C + V = A + 2
• Un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos
regulares e iguales entre sí, y en cada vértice
concurre el mismo número de aristas.
• Los prismas son poliedros que tienen dos caras
que son polígonos iguales y paralelos entre sí,
y las demás son paralelogramos.
• Las pirámides son poliedros que tienen una cara
que es un polígono cualquiera y las demás son
triángulos que tienen un vértice común.
2 Los cuerpos de revolución son los cuerpos geométricos
que se obtienen al girar una figura plana
360° alrededor de un eje.
• Un cilindro se obtiene al girar 360° un rectángulo
sobre uno de sus lados.
• Un cono se obtiene al girar 360° un triángulo rectángulo
sobre uno de sus catetos.
• Una esfera se obtiene al girar 360° un semicírculo
sobre su diámetro.
3 El área de un cuerpo geométrico es la medida de
la superficie que lo delimita.
4 Si recortamos un cuerpo geométrico por las aristas
adecuadas y lo desplegamos, obtenemos su desarrollo
plano. El área del desarrollo plano coincide
con el área del cuerpo geométrico.
5 El volumen de un cuerpo geométrico expresa el número
de veces que el cuerpo contiene una unidad
de volumen.
6 Principio de Cavalieri:
Si dos cuerpos geométricos de la misma altura cumplen
que las secciones por planos paralelos a sus
bases tienen la misma área, entonces estos cuerpos
tienen el mismo volumen.
 La media aritmética de una serie de datos se obtiene
sumando todos los datos y dividiendo entre
el número total de ellos.
Prisma
A total = Alateral + 2 Abase
Cilindro
Alateral = 2 π r · g
A total = 2 π r · (g + r)
Pirámide
Atotal = Alateral + Abase
Cono
Alateral = πr · g
A total = πr · (g + r)
Tronco de pirámide
Atotal = Alateral + Ab1
+ Ab2
Tronco de cono
Alateral = πg · (R + r)
A total = πg · (R + r ) + πR2 + πr 2
Áreas
Prisma
V = Abase · h
Cilindro
V = Abase · h = πr 2 · h
Pirámide
V = A base 1 · h
3
Cono
V = A base · h = 1 π r 2 · h
3
1
3
Esfera V = 4 π r 3
3
Volúmenes
Esfera A = 4π r 2
Cuerpos
geométricos
Áreas Desarrollo plano
se clasifican en
entre ellos
Poliedros destacan
• Poliedros regulares
• Prismas
• Pirámides
• Cilindros
• Conos
• Esferas
entre ellos
destacan
Cuerpos
de revolución
Volúmenes Principio de Cavalieri
podemos calcular sus
Síntesis
162
Ejercicios y problemas integradores
Elizabeth organiza una fiesta con 20 invitados, para esto necesita
21 vasos para servir gaseosa a sus invitados. ¿Cuántas gaseosas de
3 litros necesitará si las dimensiones de cada vaso son de 4 cm de radio
y 14 cm de altura, pero solo llenará hasta 10 cm de altura?
• El vaso que se observa tiene una forma cilíndrica
• Si el volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura, entonces
calculamos el área de la base del cilindro:
Abase = r2 = 42 = 50,27 cm2
• Si conocemos el área de la base del cilindro entonces, el volumen es
Vcilindro = A base  h = 50,27 cm2  10 cm = 502,7 cm3
• Entonces el volumen aproximado de cada vaso es de 502,7 cm3
• Como se tienen 21 vasos, multiplicamos:
21  502,7 = 10 556,7 cm3
• Si cada botella contiene 3 litros de gaseosa y cada litro tiene
1 000 cm3, entonces una botella de gaseosa contiene 3 000 cm3.
• Ahora dividimos el volumen total de vasos para el volumen de la botella
de gaseosa:
10 556,7 cm3 ÷ 3 000 cm3 = 3,51
R: Elizabeth necesita aproximadamente 3 botellas de gaseosa de
3 litros para servir a sus invitados.
Al inicio de clases un estudiante adquiere libros y cuadernos para los
estudios durante el año lectivo, lo básico son 7 cuadernos universitarios
de 100 hojas y 3 libros del Ministerio de Educación de 95 páginas.
Calcular la cantidad de papel necesario durante el año y el espacio que
se necesita para guardar estos materiales. Si las hojas del cuaderno tienen
una dimensión de 21 cm x 28 cm y las hojas de los libros 20,8 cm
x 28 cm.
12
r = 4cm
10cm
21cm
28cm 28cm
20,8cm


• Las hojas de los cuadernos y de los libros tienen forma rectangular.
• Si sabemos que el área de un rectángulo es base por altura, entonces
tenemos el área de una hoja del cuaderno:
A = b  h = 21 cm  28 cm = 588 cm2
• Como cada cuaderno tiene 100 hojas y 2 pastas. Calculamos el área
total del cuaderno que resulta:
588 cm2  102 = 59 976 cm2
• Si el área de un cuaderno es de 59 976 cm2, multiplicamos por 7 cuadernos
tenemos: 419 832 cm2.
• Recordemos que un metro cuadrado tiene diez mil centímetros cuadrados,
entonces un estudiante utiliza 41,9832 m2 de papel en cuadernos.
• Ahora vamos a calcular el área de las hojas de los libros, realizando
el mismo procedimiento:
A = b  h = 20,8 cm  28 cm = 582,4 cm2
• Como cada libro tiene 97 hojas. Calculamos el área total del libro que
resulta:
582,4 cm2  97 = 56 492,8 cm2.
• Si el área de las hojas del libro es 56 492,8 cm2 y multiplicamos por 3
libros tenemos: 169 478,4 cm2.
• Si un metro cuadrado tiene diez mil centímetros cuadrados, Entonces
un estudiante utiliza 16,95 cm2 de papel en libros.
• Sumando las dos áreas se tiene: 58,93 m2.
R: Un estudiante utiliza durante el año lectivo 58,93 m2 de papel.
• El volumen de una hoja de papel es área de la base por la altura en
este caso es el grosor de hoja que equivale a 0,017 cm.
• Calculando el volumen de los cuaderno se tiene
V = Áreacuaderno  h = 419 832 cm2  0,017 cm = 7 137 144 cm3
• Calculando el volumen de los libros se tiene
V = Árealibro  h = 56 492,8 cm2  0,017 cm = 960,38 cm3
Volumentotal = 7 137 144 cm3 + 960,38 cm3 = 7 138 104,38 cm3
Volumentotal = 7,138 m3
Practica
Según la EMAAP, una persona no debe usar más de 150 litros diarios
de agua, pero la realidad es otra, el promedio de consumo al día es de
240 litros diarios por persona. ¿Cuánto consumirá tu familia al mes?
Reflexiona.
164
Cuerpos geométricos
¿Puede tener un poliedro convexo el mismo número
de caras, vértices y aristas? Justifica tu respuesta.
¿Qué longitud y qué latitud tienen los puntos situados
en el meridiano de Greenwich? ¿Y los de la línea ecuatorial?
¿Y los polos?
Observa los puntos A y B de la figura.
Si las coordenadas geográficas
de A son (22° E, 45° N), ¿cuáles
son las de B?
Dibuja la figura plana que genera cada uno de los siguientes
cuerpos de revolución: un tronco de cono,
una semiesfera y un casquete esférico.
Dibuja un prisma recto cuya base sea un rectángulo
de lados 9 cm y 12 cm, y cuya altura sea 18 cm.
— ¿Cuánto miden la diagonal de la base y la diagonal
del prisma?
Áreas
Dibuja el patrón plano de un prisma pentagonal y el de
una pirámide triangular.
¿Cómo podemos calcular el área de un cubo si conocemos
la arista?
¿Qué relación satisfacen el área de una esfera y la
de un círcu lo máximo?
Obtén el área del cuerpo geométrico representado en
la figura.
Calcula las áreas de estos poliedros regulares:
a) Tetraedro de 4 cm de arista.
b) Octaedro de 5 cm de arista.
c) Icosaedro de 6 cm de arista.
d) Cubo de 7 cm de arista.
e) Dodecaedro de 1,8 cm de arista y 1,24 cm de
apotema.
Calcula el área de un cubo de 10 cm de diagonal.
¿Cuánto miden las aristas de un tetraedro y las de un
octaedro si el área de cada uno de ellos es de 240 cm2?
La base de un prisma recto es un trapecio isósceles
de 20 cm de altura cuyas bases miden 10 cm y 15 cm.
Calcula el área lateral y el área total del prisma si su
altura es de 30 cm.
La base de una pirámide recta es un cuadrado cuya
diagonal mide 15 cm. Calcula el área lateral y el área
total de la pirámide si su altura es de 17 cm.
Calcula el área lateral y el área total de un cilindro
generado por un cuadrado de 6 cm de lado al girar
360° sobre uno de sus lados.
Calcula las áreas de estos cuerpos de revolución:
a) Cilindro de 2 cm de radio y 7 cm de generatriz.
b) Cono de 3 cm de radio y 4 cm de altura.
c) Tronco de cono que resulta al cortar el cono anterior
con un plano que dista 2 cm de su base.
Volúmenes
Si un prisma y un cilindro tienen la misma altura y
sus bases tienen la misma área, ¿qué relación cumplen
sus volúmenes?
¿Qué relación satisfacen el volumen de una esfera y
su área?
Cita objetos de tu entorno que tengan forma de prisma.
Fíjate en uno de ellos y haz una estimación de
su área y su volumen. Después, toma las medidas y
calcula los valores exactos.
Calcula el volumen de los conos que resultan al girar
360° un triángulo rectángulo sobre cada uno de sus
catetos si éstos miden 5 cm y 12 cm.
Calcula las áreas y los volúmenes de estos cuerpos.
Calcula el área y el volumen del
cono de la figura.
Calcula las áreas y los volúmenes de los cuerpos
de revolución que resultan al girar 360° las figuras
planas que se muestran a continuación.
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
1 cm
12 cm 7 cm
2 cm 4 cm
3 cm
2 cm
9 cm
12 cm
6 cm
12 cm
26 cm
10 cm
13 cm
60∞
5 cm
4 cm
2 cm
a b
4 cm
1 cm 1,5 cm 2 cm
2 cm 2 cm 2 cm
Ejercicios y problemas
Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos
A
B
En tu cuaderno
Aplicación en la práctica
Se quiere restaurar la fachada de un edificio como el
de la figura. Si se invierte una hora en restaurar medio
metro cuadrado, ¿cuánto tiempo se empleará en
restaurar toda la fachada?
Calcula los kilómetros cuadrados de la superficie
terrestre ocupados por tierra firme sabiendo que el
70 % de dicha superficie está bañada por agua. Recuerda
que el radio terrestre mide 6 371 km.
Se quiere pintar la cúpula semiesférica de un edificio
de 6 m de radio. Si por cada 6 m2 se utiliza 1 l de
pintura, ¿qué cantidad de pintura será necesaria?
¿Qué cantidad de papel se necesita para etiquetar un
lote de 100 latas de aceite de forma cilíndrica de
20 cm de altura y 7 cm de radio, si sabemos que la etiqueta
recubre toda la superficie lateral de la lata? Si el
aceite tiene una densidad de 0,92 g/cm3, ¿cuántos kilogramos
necesitaremos para llenar el lote completo?
Un tetraedro de hierro tiene una arista de 5 cm. Cal –
cu la cuál será su masa si la densidad del hierro es
d = 7,8 g/cm3.
En un museo de medidas antiguas se encuentra un
juego de pesas de 10 g, 20 g, 50 g, 100 g, 200 g,
500 g, 1 kg y 2 kg. Si todas ellas son figuras semejantes
y la mayor mide 8 cm de altura, ¿cuáles son
las alturas de las restantes pesas?
Compramos un jugo contenido en un envase cilíndrico
de radio de la base 3,2 cm y altura 11 cm, y lo repartimos
a partes iguales entre dos vasos cilíndricos
de radio de la base 2,8 cm y altura 8 cm. ¿A qué altura
llegará el refresco dentro de cada uno de los vasos?
Material concreto: Enrollando una lámina de cartulina
de 40 cm × 20 cm sobre uno de sus lados pueden
formarse dos cilindros diferentes.
Calcula:
a) El volumen de los dos cilindros.
b) La relación V/Atotal para los dos cilindros.
Calcula la capacidad de este vaso.
Calcula el volumen de la corteza terrestre sabiendo
que tiene un espesor de 50 km. Recuerda que el radio
terrestre mide 6 371 km.
Formen grupos y, utilizando un atlas o un globo
terrestre, indiquen la longitud y la latitud de:
a) Su localidad c) Lima
b) Sidney d) Los Ángeles
Busca en una enciclopedia o en Internet las coordenadas
geográficas de tu ciudad y de Madrid, donde
viven muchos ecuatorianos/as que han emigrado de
nuestro país. ¿Qué hora es en cada una de estas ciudades
cuando en la otra son las 12:00 (hora solar)?
Haz una estimación del área y del volumen de la pelota
utilizada en estos deportes:
a) pimpón c) fútbol
b) tenis d) baloncesto
— A continuación, busca información, en una enciclopedia
o en Internet, sobre las dimensiones de estos
objetos. Calcula sus áreas y volúmenes, y compara
los resultados con las estimaciones efectuadas.
En una carrera estudiantil de 400 metros planos, los
participantes cronometran los siguientes tiempos al
cruzar la meta: 1, 0; 1,2; 1,1; 1,5; 1,3; 1,4; 1,2; 1,6; 1,3;
1,5; 1,7; 1,6; 1,2; 1,3 minutos. Encuentra cuál es el
tiempo promedio que tardaron estos estudiantes en
recorrer los 400 metros.
Más a fondo
Se secciona un cono de 10 cm de altura y 4 cm de
radio por un plano paralelo a la base. Si el área de la
sección obtenida es 13,58 cm2, ¿a qué distancia se
encuentra la base del cono de dicho plano?
En una pecera de 1 m × 0,5 m se introduce un adorno
con forma de cilindro macizo. En consecuencia,
el nivel del agua sube 0,05 cm. Si la base del cilindro
tiene un área de 14 cm2, ¿cuál era la altura inicial
del agua?
71
70
69
63
64
65
66
67
68
72
73
74
59
60
61
62
2 cm
12 cm 3 cm
2 cm
2 cm
15 cm
7 cm
2 cm
2 cm
5 cm
10 cm
@
@


0,5 m
14 cm2
0,05 cm
20 cm 40 cm
40 cm
20 cm
8 cm
6 cm

166
1. ¿Cuántas aristas tiene un poliedro convexo de 12 vértices
y 8 caras?
2. ¿Cuál es el nombre del siguiente poliedro? Completa,
en tu cuaderno, la figura con sus elementos.
3. La siguiente tabla muestra las edades de los participantes
en un campeonato de ajedrez.
Sabiendo que la media de edad es 12,4 años, calcula:
a) El valor de a.
4. Calcula el área de un cubo de 24 cm de diagonal.
1. Determina el volumen de una esfera si su área es
de 7 854 cm2.
2. Dos cilindros tienen la misma área lateral y sus radios
miden 3 cm y 5 cm. La generatriz del primero es 12 cm.
¿Cuánto mide la generatriz del segundo?
3. Un prisma regular hexagonal tiene una arista básica de
5 cm, una apotema básica de 4,33 cm y una arista
lateral de 23 cm. Calcula el área total y el volumen.
4. Un cono de radio 12 cm y altura 36 cm se divide en dos
partes al ser cortado por un plano transversal paralelo
a la base y situado a 24 cm de distancia de ésta.
¿Cuáles son los volúmenes de las dos figuras resultantes?
5. ¿Cuál es el volumen del cuerpo geométrico de la figura?
4. …………………
5. …………………
6. …………………
1. …………………
2. …………………
3. …………………
4 cm
3 cm
10 cm 3 cm
?
Buen Vivir
Una buena forma de emplear el tiempo libre es la
natación. Este deporte es completo y beneficioso
tanto para el cuerpo como para la mente, porque al
realizar movimientos en el agua, favorece la
contracción de todos los músculos y mejora la
respiración.
Los movimientos efectuados de manera simultánea
favorecen la circulación de la sangre y la eliminación
progresiva de grasas en forma natural;
además de que, el ejercicio de la respiración permite
recuperar la serenidad y la calma. En cuanto
a los estilos, el de espaldas, ayuda a que los músculos
se relajen al no soportar la carga completa
del cuerpo.
Actividades
Visiten una piscina que esté cerca de su hogar
este fin de semana, para disfrutar en familia las
bondades del tiempo libre.
Consulten los beneficios de la natación para salud de quienes la practican con regularidad.
¿Qué beneficios tienen las aguas termales
para nuestra salud? Averigüen la composición
química de las piscinas de aguas termales más
cercanas a su localidad.
¿Existen suficientes espacios para la recreación
en la localidad donde viven?
¿Pueden la comunidad y ustedes mismos
crear espacios de recreación? ¿Cómo? Planteen
alternativas viables y anímense a ponerlas
en práctica para construir el Buen Vivir.
1
2
3
4
5
Buen
Uso del tiempo libre Vivir
Autoevaluación Coevaluación
Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar.
Edad
11
12
13
a
3
2
3
2
Frecuencia
absoluta

Crónica matemática
Arquímedes (287-212 a. C.)
Fue uno de los matemáticos que más se dedicó al estudio de las áreas y
los volúmenes de los cuerpos geo métricos. Suyas son las fórmulas:
Aesfera = 4π r 2 Vcilindro = πr 2 · h Vcono= πr 2 · h Vesfera= π 4 r 3
3
1
3
• Imagina que tienes una lata de pintura roja, una de pintura azul y una
gran provisión de cubos de igual tamaño. Si pintas los cubos de manera
que cada cara quede pintada de un mismo color, ¿cuántos cubos
diferentes obtienes?
• Hay a la venta dos sandías de tamaño diferente. Una de ellas es la
cuarta parte más ancha que la otra y cuesta vez y media más cara.
¿Cuál de las dos debemos comprar para que nos resulte más
ventajoso?
Demuestra tu ingenio
Los cinco poliedros regulares
Ya eran conocidos en el siglo VI
a. C. por Pitágoras y sus discípulos.
También son llamados sólidos
platónicos, pues Platón (427-347
a. C.) identificaba cada uno de ellos
con un elemento de la materia.
Poliedros duales
Si en un poliedro unimos entre sí
los centros de las caras, obtenemos
otro poliedro que tiene tantas
caras como vértices el primero, y
viceversa. Estos poliedros se llaman
poliedros duales. Por ejemplo,
el poliedro dual de un octaedro
es un cubo.
1000 cm3
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000 cm3
100
200
300
400
600
700
800
900
500
¿Qué volumen ocupa una peonza (trompo)?
Observa cómo podemos calcular aproximadamente su volumen:
— Llenamos una probeta con un volumen de agua conocido.
— Introducimos la peonza.
— Miramos qué volumen ocupan ahora el agua y la peonza.
— El volumen de la peonza será la diferencia entre el volumen total y el volumen
que ocupaba el agua.
De esta manera puedes medir el volumen de cualquier cuerpo por muy
irregular que sea su forma.
El tetraedro representaba
el
fuego.
El cubo,
la tierra.
El octaedro,
el aire.
El ico saedro,
el agua.
Y el dodecaedro,
el universo.
Prismas y antiprismas
Como ya sabemos, un prisma
es un poliedro en el cual dos caras
son polígonos iguales y paralelos
entre sí (las bases), y
las demás son paralelogramos.
Si unimos las bases con triángulos
en lugar de paralelogramos,
obtenemos un poliedro
llamado antiprisma. En la figura
aparece un antiprisma
pentagonal.
39. a) 3.er cuadrante; b) 2.do cuadrante; c) 1.er cuadrante; d) 2.do cuadrante
e) 3.er y 4.to cuadrante; f) 1.er y 4.to cuadrante; g) 1.er y 2.do cuadrante
h) 3.er cuadrante
41. Si  y  son dos ángulos complementarios, se cumplirá:
sen   cos 
Por lo tanto:
43. — La longitud del cateto opuesto es:
Por lo tanto:
45. Las razones del ángulo agudo mayor son:
Y las del menor:
47. El ángulo formado por las aristas básicas de los dos prismas es
83,62º.
49. Los resultados obtenidos deben aproximarse a
a) b)
c) d)
51. a) b)
c) d)
53.
55.
57. a) ; b)
59. El ángulo que forma con el suelo es
El ángulo que forma con la pared es
61. La distancia es de 170,7 m y la altura del faro, 469,5 m.
65.
La componente horizontal de la fuerza es de 8660,3 N.
67.
Ejercicios y problemas
37. Puntos situados en el meridiano de Greenwich:
— Longitud: 0°
— Latitud: varía de 0° a 90° en dirección Norte y Sur desde el
Ecuador.
Puntos situados en el ecuador:
— Longitud: varía de 0° a 180° en dirección Este y Oeste desde
el meridiano de Greenwich.
— Latitud: 0°
Polos:
— Longitud: 0°
— Latitud: el polo norte 90° en dirección Norte y el polo sur 90°
en dirección Sur desde el ecuador.
39.
41.
A  6a2
43. El área de la esfera es cuatro veces la de un círculo máximo.
45. a) El área del tetraedro es de 27 ,71 cm2.
b) El área del octaedro es de 86,60 cm2.
c) El área del icosaedro es de 311,77 cm2.
d) El área del cubo es de 294 cm2.
e) El área del dodecaedro es de 66,96 cm2.
47. Tetraedro: Las aristas del tetraedro miden 11,77 cm.
Octaedro: Las aristas del octaedro miden 8,32 cm.
49. El área lateral de la pirámide es de 377,93 cm2 y el área total, de
490,43 cm2.
51. a) El área lateral del cilindro es de 87,96 cm2 y el área total, de
113,10 cm2.
b) El área lateral del cono es de 47 ,12 cm2 y el área total, de
75,40 cm2.
c) El área lateral del tronco de cono es de 35,34 cm2 y el área total,
de 70,69 cm2.
53. El cociente entre el área de la esfera y su volumen es igual al radio
partido por tres.
55. Resultan dos conos.
Primer cono (r = 5; h = 12):
Vcono  314,16
Segundo cono (r = 12; h = 5):
V’cono  753,98
El volumen de uno de los conos es de 314,16 cm3 y el del otro
cono, de 753,98 cm3.
1 1
sen
ec
 
 


cos
cos sec
48
5
sen  
4
5
tan 
4
3
sen   0,85; cos  0,53; tan   1,60
sen   0,53; cos   0,85; tan   0,63
31
90
sen π  0,88;
31
90
cos π  0,47;
31
90
tan π  1,88
14
15
sen π  0,21;
14
15
cos π  0,98;
14
15
tan π 

0,21
13
9
π sen  0,97;
cos  0,22;
tan 

4,33
13
9
π
13
9
π
 71
36
π sen  0,9;
cos  1,00;
tan  0,09
71
36
π
71
36
π


7
10
sen π 
cos
tan
π 7
10
 π  3
10
π
sen 3
10
π
7
10
π  cos 3
10
π
7
10
π  tan 3
10
π
sen π 
cos
tan
62
45
π  17π
sen
π  cos
π  tan
 π
45
62
62
62
45
45
45
17π
45
17π
45
17π
45
sen 
cos
tan
2 π 35π 
sen
 cos
 tan

18
π
18
35π
18
35π
18
35π
18
π
18
π
18
π
18
sen 
cos
tan
11π π 
sen
 cos
 tan

18
π
 18 7
π
18
7
π
18
7
π
18
7
 11π
18
 11π
18
 11π
18
19
2
3  1
1
2
5
6 7
3 4
45o
45o
45o
90o
90o
90o
90o 90o
90o
45o
45o
45o
90o
90o
45o 45o
45o
45o
90o
45o
45o
135o
135o
87,5 m   51,34 º
41,81º
 48,19
h F  8 660,3 N
FT  20,80 N
FN  77,60 N
Tronco de cono Semiesfera
Casquete
esférico
Áreas y volúmenes
de cuerpos geométricos.
Media aritmética 5 Módulo
202
57. El área lateral del cono mide 37, 07 cm2; el área total, 56,71 cm2, y
el volumen, 26,18 cm3.
59. Se emplearán 568 horas en restaurar toda la fachada.
61. Son necesarios 37,70 litros.
63. La masa del tetraedro es de 144,89 g.
65. La altura a la que llegará el refresco dentro de cada uno de los vasos
es de 7,18 cm.
67. La capacidad del vaso es de 464,96 cm3, o bien 0,465 l.
69. a) Respuesta abierta
b) Sidney (151° 13′ E, 33° 52′ S)
c) Lima (77° 3′ O, 12° 3′ S)
d) Los Angeles (118° 15′ O, 34° 4′ N)
71. a) Pelota de ping-pong
Área: A = 4 π · 22 = 50,3 cm2
Volumen:
b) Pelota de tenis
Área: A = 4 π · 3,252 = 132,7 cm2
Volumen:
c) Pelota de fútbol
Área: A = 4 π · 112 = 1 520,5 cm2
Volumen:
d) Pelota de baloncesto
Área: A = 4 π · 12,52 = 1 963,5 cm2
Volumen:
73. La base del cono se encuentra a 4,8 cm del plano que lo secciona.
Ejercicios y problemas
31. a) Ω = {c, x}
b) Ω = {cc, cx, xc, xx}
c) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
d) Ω = {1, 2, 3, 4, 5}
33. Sí, puesto que no pueden verificarse de manera simultánea. Por
ejemplo, obtener cara y obtener cruz al lanzar una moneda al aire.
35. Respuesta sugerida:
Sucesos compatibles: Sacar un número par y sacar un número
mayor que 5.
Sucesos incompatibles: Sacar un número par y sacar el número 7.
37. Aunque el resultado depende del experimento realizado, las frecuencias
relativas han de aproximarse a
39.
41. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B = {2, 4, 6, 8, 10}
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
D = {10}
E = ∅
F = {1, 2}
G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
43. Los sucesos A y B son dependientes.
Un ejemplo de sucesos independientes son A: acertar la primera casilla
de un bingo y B: acertar la segunda casilla de un bingo.
45.
B
c
R
B
+
R
V = ⋅ = cm
4
3
π 23 33,5 3
V = ⋅ = cm
4
3
π 3,253 143,8 3
V = ⋅ = cm
4
3
π 113 5575,3 3
V = ⋅ = cm
4
3
π 12,53 8181,2 3
1
3
= 0,333…
P( A ) = 1− 0,8 = 0,2.
47. 36 000 kg; 47 530 kg; 6 700 kg; 80 kg; 12 340 kg.
49. 0,036 kg < 7 800 cg < 0,89 hg < 6,9 hg < 3 800 dag 51. b) 600 cl + 0,9 cl = 600,09 cl 53. A: obtener bola roja. En el primer saco (saco A) tenemos: . En el segundo saco (saco B) tenemos: . 55. Este problema se resuelve como el ejemplo 9. Respuesta abierta. 57. a) (0, 2) b) c) Las frecuencias relativas de los sucesos {6}, {7}, {8} y {9} se aproximan al valor 0,25. Atribuimos a cada uno una probabilidad de 0,25. 59. a) Ha comprado 7,25 m de cinta en total. b) El importe de la compra es de $ 5,44. 61. 63. 6 m 85 cm = 6 m + 0,85 m = 6,85 m 4 m 43 cm = 4 m + 0,43 m = 4,43 m A partir de la figura deducimos los valores de x e y. 6,85 m = x + 1,5 m + 0,85 m ⇒ x = 6,85 − 1,5 + 0,85 = 4,50 m 4,43 m = y + 2 m + 0,85 m ⇒ y = 4,43 − 2 − 0,85 = 1,58 m 65. a) La probabilidad de que un habitante de la provincia tenga teléfono es 0,96, de que tenga móvil es 0,16 y de que no tenga es 0,04. c) El número previsible de habitantes con teléfono es 1440; con teléfono móvil, 240, y sin teléfono, 60. 67. Como un cubo de 1 m de arista se divide en 8 cubos de 50 cm de arista, la masa del cubo menor será: 80 hg : 8 = 10 hg — La densidad es el cociente entre la masa y el volumen. P(A) = = 2 6 1 3 d hg m kg hg = ⋅ = kg m 80 1 1 10 8 3 / 3 Probabilidad. Conversiones entre unidades del S.I. 6 Módulo Imposible E Muy improbable D Improbable F Tan probable como improbable B Probable G Muy probable C Seguro A 1– 2 1– 2 2– 5 3– 5 1– 5 4– 5 7 10 a) P(R) = 3 5 b) P(R/C) = + = 4 5 c) P(R/ ) 6 l == 600 cl 9ml = 0,9 cl P(A) = = 2 8 1 4 Suceso Frecuencia relativa 8 6 0,27 0,23 9 7 0,25 0,25 33600 ca x y 1,50 m 0,85 m 0,85 m 2 m