AREAS DE REGIONES CUADRANGULARES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Al finalizar la unidad el alumno será capaz de :
* Comprender qué son regiones cuadrangulares.
* Diferenciar el concepto de una región cuadrangular con el área de una región cuadrangular.
* Reconocer los teoremas que permiten calcular el área de una región cuadrangular en los problemas.
* Conocer formas adecuadas de establecer la razón de áreas en dos regiones cuadrangulares.
* Identificar ciertas figuras de nuestra vida cotidiana y saber relacionarlas con las regiones cuadrangulares.
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Introducción :
La comparación ha sido un mecanismo utilizado por el hombre para su desarrollo, por ejemplo para un incremento de’ población de una ciudad específica se requiere una mayor cantidad de terrenos destinados para la vivienda ¿cuánto de terreno se requirió?
En la actualidad, este problema es una preocupación permanente ya que son escasos los terrenos que se pueden destinar para vivienda y en la mayoría de los casos se sacrifican terrenos agrícolas.
En las civilizaciones antiguas la preocupación consistía en establecer cuantos terrenos agrícolas se deberían incrementar para satisfacer la demanda de alimentación de una población en constante crecimiento.
Antiguamente emplearon formas rudimentarias para hacer mediciones, en principio para medir terrenos de forma cuadrangular y se vieron en la necesidad de estudiar este tipo de figura, con resultados sin mucha precisión.
En la actualidad, podemos ver algunas de las figuras de forma cuadrangular, por lo cual al estudiarlas en cuanto al calculo de su área (puertas, mesas, edificios y paredes, etc.) nos damos cuenta que es importante conocer para nuestro entorno.
Por ejemplo al colocar una puerta en nuestra habitación necesitamos las medidas del largo y ancho de su respectivo marco.
áreas de regiones cuadrangulares
Fórmula general :
El área de una región cuadrangular convexa o no convexa es igual al semiproducto de las longitudes de las diagonales , por el seno de la medida del ángulo determinado por dichas diagonales.
I) Región cuadrangular ABCD convexa.

• Conocer el área de las diferentes regiones cuadrangulares.
• Relacionar las áreas de las diferentes regiones cuadrangulares.
INTRODUCCIÓN

EXPERIENCIA: EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES

Es posible que conozcas de álgebra ciertos productos notables, como son:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Si te resultaran difíciles de memorizar, te sugerimos que los recuerdes visualizándolos de un modo geométrico:

a. Toma una cartulina en forma de cuadrado y observa que al cortarla como se muestra en la figura, el área del cuadrado se conserva, si bien aparece como suma de las áreas de los rectángulos y cuadrados en que ha quedado descompuesto.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b. Por otra parte, toma otra cartulina con forma cuadrada y recorta un cuadrado de una de sus esquinas; la figura restante puedes cortarla en dos trozos por la línea de puntos y redistribuirla adosando al pie del rectángulo mayor el trozo punteado.

(a2 – b2) = ………………………. = (a + b) . (a – b)

Comparando las áreas , deducirás que:
(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Observa que las construcciones anteriores no dependen del tamaño de los cortes que produzcas. Puedes comprobarlo al comparar tu experiencia con la de otro compañero.

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
FÓRMULA GENERAL
El área de una región cuadrangular es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales multiplicando con el seno de la medida del ángulo determinado por dichas diagonales.

Región Cuadrangular Convexa

Región Cuadrangular no Convexa

ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
El área de una región trapecial es igual al producto de la semisuma de las longitudes de las bases con la longitud de la altura de dicho trapecio.

: Mediana del trapecio.

ÁREA DE UNA REGIÓN
PARALELOGRÁMICA
ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBOIDAL
El área de una región romboidal es igual al producto de las longitudes de un lado y a la altura relativa a dicho lado.

ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBAL
El área de una región rombal es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales.

ÁREA DE UNA REGIÓN RECTÁNGULAR
El área de una región rectángular es igual al producto de las longitudes de dos de sus lados consecutivos.

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRADA
El área de una región cuadrada es igual al cuadrado de la longitud de su lado.

FÓRMULAS ADICIONALES

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
CIRCUNSCRITA A UNA CIRCUNFERENCIA
El área de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia es igual al semiperímetro multiplicado por el inradio.

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
INSCRITA EN UNA CIRCUNFERENCIA
El área de una región cuadrilátera inscrita en una circunferencia es igual a la raíz cuadrada del producto de las diferencias del semiperímetro de dicha región cuadrilátera con la longitud de cada uno de sus lados.

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
INSCRITA Y CIRCUNSCRITA A UNA
CIRCUNFERENCIA.
El área de una región cuadrilátera inscrita y circunscrita a una circunferencia es igual a la raíz cuadrada del producto de las longitudes de sus lados.

PROPIEDADES DE ÁREAS EN
REGIONES CUADRANGULARES

PROPIEDADES PARA TRAPEZOIDES
1. Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del trapezoide luego se cumple:

2. Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del trapezoide luego se cumple:

3. Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del trapezoide luego se cumple:

4. En todo trapecio al trazar las diagonales se forman cuatro triángulos parciales cumpliéndose:

PROPIEDADES PARA TRAPECIOS

1. Si la figura mostrada es un trapecio se cumple:

2. Si ABCD es un trapecio y P, Q son puntos medios se cumple:

3. Si ABCD es un trapecio y P es punto medio de AB luego se cumple:

PROPIEDADES PARA PARALELOGRAMOS

1. Si ABCD es un romboide y P es un punto cualquiera se cumple:

2. Si ABCD es un romboide y P es un punto interior de la región se cumple:

3. Si ABCD es un romboide y P es un punto exterior al romboide se cumple:

INTRODUCCIÓN

EXPERIENCIA: EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES

Es posible que conozcas de álgebra ciertos productos notables, como son:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Si te resultaran difíciles de memorizar, te sugerimos que los recuerdes visualizándolos de un modo geométrico:

a. Toma una cartulina en forma de cuadrado y observa que al cortarla como se muestra en la figura, el área del cuadrado se conserva, si bien aparece como suma de las áreas de los rectángulos y cuadrados en que ha quedado descompuesto.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b. Por otra parte, toma otra cartulina con forma cuadrada y recorta un cuadrado de una de sus esquinas; la figura restante puedes cortarla en dos trozos por la línea de puntos y redistribuirla adosando al pie del rectángulo mayor el trozo punteado.

(a2 – b2) = ………………………. = (a + b) . (a – b)

Comparando las áreas , deducirás que:
(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Observa que las construcciones anteriores no dependen del tamaño de los cortes que produzcas. Puedes comprobarlo al comparar tu experiencia con la de otro compañero.

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
FÓRMULA GENERAL
El área de una región cuadrangular es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales multiplicando con el seno de la medida del ángulo determinado por dichas diagonales.

Región Cuadrangular Convexa

Región Cuadrangular no Convexa

ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
El área de una región trapecial es igual al producto de la semisuma de las longitudes de las bases con la longitud de la altura de dicho trapecio.

: Mediana del trapecio.

ÁREA DE UNA REGIÓN
PARALELOGRÁMICA
ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBOIDAL
El área de una región romboidal es igual al producto de las longitudes de un lado y a la altura relativa a dicho lado.

ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBAL
El área de una región rombal es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales.

ÁREA DE UNA REGIÓN RECTÁNGULAR
El área de una región rectángular es igual al producto de las longitudes de dos de sus lados consecutivos.

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRADA
El área de una región cuadrada es igual al cuadrado de la longitud de su lado.

FÓRMULAS ADICIONALES

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
CIRCUNSCRITA A UNA CIRCUNFERENCIA
El área de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia es igual al semiperímetro multiplicado por el inradio.

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
INSCRITA EN UNA CIRCUNFERENCIA
El área de una región cuadrilátera inscrita en una circunferencia es igual a la raíz cuadrada del producto de las diferencias del semiperímetro de dicha región cuadrilátera con la longitud de cada uno de sus lados.

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
INSCRITA Y CIRCUNSCRITA A UNA
CIRCUNFERENCIA.
El área de una región cuadrilátera inscrita y circunscrita a una circunferencia es igual a la raíz cuadrada del producto de las longitudes de sus lados.

PROPIEDADES DE ÁREAS EN
REGIONES CUADRANGULARES

PROPIEDADES PARA TRAPEZOIDES
1. Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del trapezoide luego se cumple:

2. Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del trapezoide luego se cumple:

3. Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del trapezoide luego se cumple:

4. En todo trapecio al trazar las diagonales se forman cuatro triángulos parciales cumpliéndose:

PROPIEDADES PARA TRAPECIOS

1. Si la figura mostrada es un trapecio se cumple:

2. Si ABCD es un trapecio y P, Q son puntos medios se cumple:

3. Si ABCD es un trapecio y P es punto medio de AB luego se cumple:

PROPIEDADES PARA PARALELOGRAMOS

1. Si ABCD es un romboide y P es un punto cualquiera se cumple:

2. Si ABCD es un romboide y P es un punto interior de la región se cumple:

3. Si ABCD es un romboide y P es un punto exterior al romboide se cumple:

INTRODUCCIÓN

EXPERIENCIA: EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES

Es posible que conozcas de álgebra ciertos productos notables, como son:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Si te resultaran difíciles de memorizar, te sugerimos que los recuerdes visualizándolos de un modo geométrico:

a. Toma una cartulina en forma de cuadrado y observa que al cortarla como se muestra en la figura, el área del cuadrado se conserva, si bien aparece como suma de las áreas de los rectángulos y cuadrados en que ha quedado descompuesto.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b. Por otra parte, toma otra cartulina con forma cuadrada y recorta un cuadrado de una de sus esquinas; la figura restante puedes cortarla en dos trozos por la línea de puntos y redistribuirla adosando al pie del rectángulo mayor el trozo punteado.

(a2 – b2) = ………………………. = (a + b) . (a – b)

Comparando las áreas , deducirás que:
(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Observa que las construcciones anteriores no dependen del tamaño de los cortes que produzcas. Puedes comprobarlo al comparar tu experiencia con la de otro compañero.

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
FÓRMULA GENERAL
El área de una región cuadrangular es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales multiplicando con el seno de la medida del ángulo determinado por dichas diagonales.

Región Cuadrangular Convexa

Región Cuadrangular no Convexa

ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
El área de una región trapecial es igual al producto de la semisuma de las longitudes de las bases con la longitud de la altura de dicho trapecio.

: Mediana del trapecio.

ÁREA DE UNA REGIÓN
PARALELOGRÁMICA
ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBOIDAL
El área de una región romboidal es igual al producto de las longitudes de un lado y a la altura relativa a dicho lado.

ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBAL
El área de una región rombal es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales.

ÁREA DE UNA REGIÓN RECTÁNGULAR
El área de una región rectángular es igual al producto de las longitudes de dos de sus lados consecutivos.

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRADA
El área de una región cuadrada es igual al cuadrado de la longitud de su lado.

FÓRMULAS ADICIONALES

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
CIRCUNSCRITA A UNA CIRCUNFERENCIA
El área de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia es igual al semiperímetro multiplicado por el inradio.

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
INSCRITA EN UNA CIRCUNFERENCIA
El área de una región cuadrilátera inscrita en una circunferencia es igual a la raíz cuadrada del producto de las diferencias del semiperímetro de dicha región cuadrilátera con la longitud de cada uno de sus lados.

ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
INSCRITA Y CIRCUNSCRITA A UNA
CIRCUNFERENCIA.
El área de una región cuadrilátera inscrita y circunscrita a una circunferencia es igual a la raíz cuadrada del producto de las longitudes de sus lados.

PROPIEDADES DE ÁREAS EN
REGIONES CUADRANGULARES

PROPIEDADES PARA TRAPEZOIDES
1. Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del trapezoide luego se cumple:

2. Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del trapezoide luego se cumple:

3. Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del trapezoide luego se cumple:

4. En todo trapecio al trazar las diagonales se forman cuatro triángulos parciales cumpliéndose:

PROPIEDADES PARA TRAPECIOS

1. Si la figura mostrada es un trapecio se cumple:

2. Si ABCD es un trapecio y P, Q son puntos medios se cumple:

3. Si ABCD es un trapecio y P es punto medio de AB luego se cumple:

PROPIEDADES PARA PARALELOGRAMOS

1. Si ABCD es un romboide y P es un punto cualquiera se cumple:

2. Si ABCD es un romboide y P es un punto interior de la región se cumple:

3. Si ABCD es un romboide y P es un punto exterior al romboide se cumple:

1. En un rectángulo ABCD, donde O es el punto de intersección de sus diagonales.
Del vértice B se traza de modo que AH = 2u y HO = 3u. Calcular el área de la región cuadrangular.

A) 24u2 B) 32u2
C) 36u2 D) 42u2
E) 48u2

2. En el gráfico mostrado: ABCD es un romboide. Calcular el área de la región sombreada siendo AT = 4u.

A) 4u2 B) 6u2 C) 8u2
D) 10u2 E) 16u2

3. De la figura mostrada:
calcular el área de la región sombreada siendo y AB = 4u.

A) B) 6u2 C)
D) 8u2 E) 16u2

4. Del gráfico adjunto: BN = 2, QB = 8, MQ = QN y AM = MC. Calcular el área de la región sombreada.

A) 80 B) 100 C) 120
D) 150 E) 160

5. En el gráfico mostrado: T es punto de tangencia y . Calcular el área de la región paralelográmica APTC.

A) B) C) 8
D) E)

6. Según la figura, calcular el área de la región paralelográmica OPEF siendo O centro de la región cuadrada ABCD y EP=2(OR) = 12 cm.

A) B)
C) D)
E) 48 cm2

7. En la figura mostrada: LH = HB; AM = 4u y
MH = 6u. Calcule el área de la región cuadrangular ACQN.

8. Del gráfico adjunto calcular el área de la región sombreada sabiendo que AR = 2u y RH = 6u.

A) B)
C) D)
E)

9. De la figura adjunta:
calcular el área de la región cuadrada ABCD siendo BM = MC y DF = 12u.

A) 25u2 B) 36u2 C) 64u2
D) 72u2 E) 81u2

10. En la figura mostrada: es diámetro y el área de la región ABPE = 18u2. Calcular el área de la región sombreada. (T es punto de tangencia).

A) 9u2 B) C) 10u2
D) 12u2 E) 18u2