ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN POR INTEGRALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Área en coordenadas rectangulares
Área de una superficie de revolución cuando la curva es dada en forma paramétrica
Área de una superficie de revolución en coordenadas polares
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Definición
El área de la superficie S obtenida por rotación, alrededor del eje X del arco de la
curva y= f(x) entre los puntos x= a y x= b, se define mediante la fórmula
Cuando un elemento de arco, de longitud ds, rota alrededor del eje X engendra un
“cilindro” circular de altura h = ds, radio r= y, y superficie lateral dA = 2Ity ds.
Nota
De manera análoga, el área de la superficie S obtenida por rotación, alrededor
del eje y, de un arco de la curva x=f(y), entre los puntos y=c e y=d, se define
mediante
Ejemplo 1
Encuentre el área de la superficie obtenida por rotación de un arco completo de la
curva y = sen x.
Ejemplo 2
Halle el área de la superficie de la esfera engendrada al rotar un círculo de radio R
alrededor de un diámetro.
Ejemplo
Calcule el área de la superficie formada al rotar la cardiode p = 2a( 1 + cos 8) alrededor
del eje polar
Problema 1
Halle el área de la superficie lateral de un cono recto de altura h y base circular de
radio r.
Problema 2
Encuentre el área de la superficie de revolución obtenida al rotar alrededor del eje X
la curvay=e-x, desde x=O hasta x=oo.
Problema 3
Calcule el área de la superficie formada por rotación alrededor del eje X del arco de
la curva 4y=x2 -2lnx entre x=l y x=4.
Problema 4
Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al rotar, alrededor del
eje X el lazo de la curva
9a/=x(3a-x)2.
ProblemaS
Calcule el área de la superficie de revolución engendrada al rotar, alrededor del
ej,e X , 1a h¡’ POCl’C1 O ‘ld e x 2/3 + y 2/3 = a 2/
Problema 6
Encuentre el área del elipsoide de revolución engendrado por rotación, alrededor
del eje X de la elipse
Problema 7
El arco de la parábola cúbica
9y=x3 entre x= O y x= 3 se rota alrededor del eje X
Halle el área de la superficie de revolución engendrada
ProblemaS
Pruebe que el área de la superficie de revolución obtenida al rotar la elipse
Problema 9
Encuentre el área de la superficie obtenida por rotación de la catenaria
y = a cos h ~ alrededor del eje X desde x= O hasta x= a.
Problema 10
Calcule el área de la superficie de un toro formado al rotar el círculo x2 + (y- b)2 = i
alrededor del eje X (b > a).
Problema 11
Calcule el área de la superficie obtenida al rotar un arco completo de la cicloide
x=a(t-sen t)
y=a(l- cos t),
alrededor de la tangente a la cicloide en su punto más alto.
Problema 12
Calcule el área de la superficie obtenida al rotar, alrededor del eje polar, la lemniscata
2 2 P =a cos20.
Problema 13
Calcule el área de la superficie generada por rotación, alrededor del eje X, del arco
t t 1t
de la curva x= e sen t, y= ecos t desde t= O hasta t = -.