APLICACIONES PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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Correspondencias, Correspondencia inversa, Aplicación,Tipos de aplicación, Aplicación inversa , ProducTo o composición de aplicaciones , Función ,EJERCICIOS RESUELTOS.

1. Correspondencia
DEFINICION. Decimos que se ha establecido una correspondencia entre
dos conjuntos A y B cuando se relacionan los elementos de A con los elementos
de B.
Una correspondencia se puede establecer por ejemplo, entre países y capitales,
entre padres e hijos, entre profesores y alumnos,entre hombres y
mUjeres
Una correspondencia la definimos así: Dados los conjuntos A y B no vacíos,
se llama correspondencia entre A y B Q toda operación, ley, norma o
criteno que asocia los elementos de A con los elementos de B_
Una correspondencia f ~ntre los conjuntos A y B la expresamos asíf:
A –B 6 A -“,f_ B
Si en una correspondencia a un elemento a E A se le asigna algún elemento
de B, cada uno de estos se llama imagen de a, es dedr, si:
f: A B
a b
b E B es la imagen de a E A que lo llamamos origen Lo simbolízamos
poniendo
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Gráficamente
/-,.
b
En una correspondencia se pueden dar los siguientes casos_
1) Que existan e lementos
a e A sin imagen en B.
3) Que un mismo elemento
o e A tenga varias im6genes en B.
A
2) Que existan elementos
b e B que no son imágenes de
ninguno de A.
4) Que IJorfos elementos de A
tengan una sola imagen en B.
A
B
“.

-Ji—–t …
Ejemplo 1 Consideremos los coníuntos A y B dados por
A~ID.. O .D.O. C> J
B – 13. 4. 5J
y asociamos los elementos de A con el número de lados que liene_
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Gráficamente la correspondencia f resulta
/’,
O
O
Cl
los elementos asocia.dos los podemos escribir:
f(/’,) – 3 feO) – 4 f(Cl) – 4
las correspondencias en las que los elementos de A tienen a lo más una
imagen se llaman unívocas.
Las correspondencias unívocas en las que los elementos de 8 reciben a
lo rncSs una flecha de A, se llaman bluníuocas.
B
O
o
A _f<--. B correspondencia unívoca 2 3 O o A _ /<---. B correspondencIa biunrvoca CONJUNTO IMAGEN. En una correspondencia f establecida entre A y f:A - - B el conjunto A es el conjunto de partida y el conjunto B es el conjunto de lle gada. El conjunto formado por todos los elementos de A de los Que sale una flecha se llama conjunto origen . Todos los elementos de este subconjunto son origenes. www.Matematica1.com El conjunto formado por todos los elementos de B a los que llega una flecha se llama conjunto imagen , Todos los elementos de este subconjunto son imágenes También se define el conjunto imagen de A como el subconjunto de B formado por todos los elementos que son imágenes de los elementos de A Se representa por I(A) itA) - [(Ix) Ix E Al e B Ejemplo 2 En la apllcación f definida en el ejemplo 1 -Conjunto de partida = I ~ , O , O ,O ,'C> 1 = A
-Conjunto origen – ! lJ. , O . O 1 e A
-Conjunto de llegada – 13, 4 , 51 – B
-Conjunto imagen – 13. 41 e B
GRAFO DE UNA CORRESPONDENCIA. Una correspondencia tarr,bién
queda determinada conocidos los pares de elementos asociados.
L/amamos grafo de una correspondencia f entre dos conjuntos A y B al
subconjunto de A x B formado por todos los pares ordenados de elemen·
tos asociados Se escribe G (f).
En cada par perteneciente al grafo la segunda componente es la Imagen
de la primera.
Dados los conjuntos
A – la, b, e, d, el
B – 11. 2. 3, 4J
establecemos la correspondencia I dada por su grafo
G(J] – Ha, 1), lb, 1) , le. 2), Id, 3))
fácilmente podemos representar gráficamente esta correspondencia colocando
los dos conjuntos A y B Y asociando con una flecha los dos elementos de
cada par pertenecie llt~ al grafo

b
,
I_~—++ 3
4
A –,1′—. B
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Se puede comprobar que Glf) e A x B.
Siempre el grafo G(f) es un subconjunto de A x B.
Una correspondencia f : A – B queda determinada conocido su grafo
G(f) e A x B y recíprocamente dado un grafo siempre queda determinada
una correspondencia única f entre los elementos de dos conjuntos.
Ejemplo 3 . Entre los conjuntos A y B del ejemplo 1 se establece la
correspondencia f que asocia los elementos de A con el número de lados
que tiene
/’,
O
O
A f
El grafo de esta correspondencia es
4
B
GIf) – [L, 3), [0 ,4), 10,411
Este grafo G(f) es un subconjunto de A x B
Ejemplo 4. Dados los conjuntos A – 1m, p, q, ‘1 y B (1, 5 , 6)
se establece una correspondencia f dada por su grafo G(f)
GIf) – [1m, 1) , Ip, 1), Iq, 1), 1″ 511
¿Cuál será la correspondencla utilizando diagramas de Venn? Basta
con asociar los pares trazando una flechi’J que relacione la primera componente
pertene<:lenle a A con la segunda perteneciente a B. m p , q / www.Matematica1.com 2. Correspondencia Inversa DEFINICION. Dados los conjUntos A y B y la correspondencia / entre ellos f : A - B se define la correspondencia inversa o recíproca de / como aquella Que tie ne por conjunto Inicial o de partida el conjunto final o de lle gada B de /. por conjunto final el inicial A de / y por regla de asociación la que asigna a cada elemento b E B sus origina/es por f. Se simboliza por .1" . La correspondencia inversa de 1: A B es .1" : B --A En [a correspondencia: / : A - B se cumple A.,.-... f I(a) - b , b En la correspondencia inversa J I: B - A se cumple .f" (bl ~ • En una correspondencia inversa / -1 de B en A el conjunto imagen 1-1 (B) es el conjunto origen de la correspondencia f de A en B. Ejemplo 1 Consideremos los conjuntos A - {6, 0 , O , O ,C> I
B – {3, 4, 51
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La correspondencia f entre A y B viene dada así:
/:;…+—..l
O
O
L7
O
A —–‘/~ B
3
La correspondencia inversa fl de B en A vendrá dC’lda por
/:;
3
O
4 O
• ‘C7
O
B ” A
En esta correspondencia Inversa ji
– El conjunto de partida es B – 13, 4, 5).
– El oonjunlo de llegada es A – f6 . 0 , D. O ,<::> l.
– El conjunto origen es 13. 41.
-El conjunto imagen es !.6., O , O ).
,’131 – !é.
r’141 • O
r'(41 – O
GRAFO DE UNA CORRESPONDENCIA INVERSA. Una co”espon·
dencia inversa tambi~n queda determinada conocidos los pares de elementos
asociados.
Llamamos grafo de una correspondencia inverso JI entre los conjuntos
B y A al subconjunto de B x A formado por todos los pares ordenados de
elementos asociados. Se escribe G(JtL
El grafo de la correspondencia inversa jt se puede obtener directamente
del grafo de la correspondencia J, basta con cambiar el orden de Jos elementos
de cada par en Glf).
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Así los conjuntos A – la, b,c, d, el y B = 11,2,3, 4J de la correspondencia
f dada por su grafo
Gltl ~ Ila, 11. lb, 1), le, 21. Id, 31J
se puede obtener su correspondencia inversa ¡-l
Gir’) – 1(1, a), (1, b), 12, e), 13, d)1
basta con cambiar el orden de los pares de G IJ)
Se cumple que
Gltl e A x B y G(f-‘) e B x A
Fádlmente podemos representar gráficamente la correspondencia inversa
¡-1 de B en A
,
2–¡-~
j” B-‘–A
Ejemplo 2 Dada la correspondencia f; A – B por su grafo, siendo
G{j) – [(José, Luis, Ana, Rafael, Rosa, Andrésl
B ~ 13,4,51
GUi = ¡(José, 4), (Luis, 4), (Ana, 3), (Rosa, 4)1
La correspondencia inversa ¡-1: B – A viene dada por su grafo
G(jl) _ {(4, José), (4, Luis), (3, Ana), (4, Rosal!
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y gráficamente así
4
5
B –r-” — A
Ro~
R~f~el
Andr~
3. Aplicación
DEFINICION. Una correspondencia f de A en B se llama aplicaci6n
cuando a todo elemento de A le corresponde un elemento de B y sólo uno.
Dados los conjuntos A … {a, b, c, dI y B = {l, 2, 3, 4) la correspondencia
f: A – B es una aplicación
,
b 2
, 3
–1—4..
A ~f,– B
De todo elemento de A sale una flecha hacia los elementos de B y s610
una
El grafo de esta aplicación viene dado por:
G(f] – Ila, 1), lb, 1), le, 3), Id, 4)1
En cada par de G(f) aparece, como primera componente todos los elementos
de A pero sólo una vez.
Una correspondencia no es aplicación en estos dos casos:
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1)

• •

No es aplicaci6n
No es aplicaci6n
Porque hay elementos en el primer
conjunto que no tienen imagen
en el segundo. Hay un elemento
del que no sale Hecha hacia
los elementos del segundo conJunto.
Porque hay un elemento del primer
conjunto que tiene dos imágenes
en el segundo conjunto.
Ejemplo 1. Dados los conjuntos e – ¡Madrid, Murcia, Albacete,
París, Venecia) y N .. ¡España, Francia, Italia, Ruslal hacemos corresponder
a cada ciudad de e la naci6n a que pertenece en N, Esta correspondencia
es una apllcacl6n
Madrid _'” Murcia
Fnmclll
Albacete
hali/!
París
e –,”–., N
Ejemplo 2 Dados los conjuntos:
A – [-2, – 1. O, 11 Y B – [-l. O. 1, 2, 41
se establece la correspondencia 1: x – y => Xl . ¿Es aplicad 6n?
Para ello ponemos k>s conjuntos A y B y establecemos la correspondenda
asociando cada elemento de A con su cuadrado en B.
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– 2 4
– 1 2
O
O
1 – 1
A f B
Todo elemento de A tiene una scla imagen en B. por tanto es aplicac16n.
Su grafo es
GIJI – (1- 2, 41, 1-1, 11. ID. 01. 11, 111
4. Tipos de aplic8ctones
APLlCACION INVECTIVA. Una aplicación f de A en B se llama ¡nyectjva
o se dice que es uno inyecci6n de A en B si para dos elementos XI ‘
x: E A siendo Xl * X2 se ueri!Ica que sus im6genes ¡(Xl) y ¡(x,) pertenecientes
a B también son distintas.
Gráficamente , ,
“. . I’¡~” ” .J ¡(Xl)
A —,’,– B
En una aplicación inyectiva nunca pueden tener dos elementos distintos
del primer conjunto la misma Imagen ya que
si ¡(XI) = f(xz) entonces XI ” Xz
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En una aplicación inyectiva pueden quedar elementos del segundo conjunto
que no sean imágenes, es decir. elementos de B a los que no llega
ninguna (lecha

En una aplicación inyectiva el número de elementos o cardinal del primer
conjunto es menor o igual que el número de elementos o cardinal del
segundo conjunto,
En la aplicación inyediva f : A – B
n(A) ‘” n(B)
Ejemplo 1. Sea A ::> ¡París , Roma . Madrid . Londres) y
B “‘” 1Francia . Italia. España, Inglñterra . Alemania ). Hacemos corresponder
a cada capital su nación respectiva_
París
Rom.
Madrid
Londres
A —,1,— R
Esta correspondencia ~ una aplicadón inyectiva. Se cumple
n(A) – 4 Y n(B) – 5 “‘” n(A) < n(B) Ejemplo 2. En el conjunto N de los números naturales establecemos la correspondencia f www.Matematica1.com Es aplicación porque J(1) J(2) J(3) 2 1 2·2 2 3 1 1 1 1 3 5 Todo número natural tiene imagen cumpliéndose además que dos elementos distintos tienen distinta imagen Gráficamente APLlCACION SOBREYECTlVA Una aplicación f de A en B se dice que es sobreyectiva, exhaustiva o suprayectiva si el conjunto formado por las im6genes de los elementos de A coincide con el conjunto B, es decir J(A) ~ B Gráficamente A f B A todos los elementos del segundo conjunto B les llega una flecha por lo menos En una aplicación sobreyectiva el número de elementos o cardinal del primer conjunto es mayor O igual que el número de elementos del segundo conjunto En la aplicaci6n sobreyectiva f: A - B n(A) '" n(B) www.Matematica1.com Ejemplo 3 Consideremos los conjuntos P Q Ip, e, n. c. h. 01 N - 11. 2. 3) La aplicación f de P en N dada por su grllfo G(/) - [[P. 11. [e. 11. In . 21. le. 21. Ih, 21, 10,311 es una aplicación sobreyectiva porque f(P) = N. p--\--- P ~/,,- N A todos los elementos de N llega al menos una flecha. EJemplo 4 . Dados los conjuntos A - 1-3. -2. -l. O. 1.2.31 B = 10, 1. 2. 3) Se establece la aplicación fA B x Ixl GrIHicamente. -3.k---1 -, - 1 O O 1 2 A ~/,,- B 11-3) - 1-31 - 3 11-2) - 1-21 - 2 11 -1) - 1-1 1 - 1 1101 - 101 - O 111) - 111 - 1 1(2)- 121 -2 1131 - 131 - 3 Esta aplicación es sobreyectiva porque !(Al - B. www.Matematica1.com APLlCACION BIYECTIVA. Una aplicaci6n f de A en B se dice que es biyectiuo cuando es a la uez Inyectiva y sobreyectiua. En una aplicación biyectlva f: A - B por ser inyectiva se cumple Xl *" X: ~ f(x l) *" ¡(X2) siendo v XI> Xz E A Y ¡(Xl), f(x!:) E B; por ser sobreyediva
se cumple fíA) => B. Por tanto a cada elemento de A le corresponde
solamente un elemento de B y cada elemento de B es imagen de
uno s610 de A.
Gráfica menh,!
A –,1′—.. B
En una aplicación biyectiva el mí mero de elemento o cardinal del primer
conjunto es igual al número de elementos o cardinal del segundo conjunto.
En la aplicación biyectiva f: A – B
n(A) – n(B)
Ejemplo -5 Sea A el conjunto formado por los Juga.dores de un
equipo de fútbol y el conjunto B el de los números de sus c”misetas_
Haciendo corresponder a cada Jugador el número de su camiseta habremos
definido una aplkacl6n blyectlva.
Ejemplo 6_ Sea Z el conjunto de los números enteros. Se define la
aplicación
lo Z Z
x -x
Esta aplicación es biyectiva porque:
1) Dos elementos distintos tienen distinta Imagen
1(-2) – -(-2) – 2
1(3) – – 3
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3) El conjunto formado por las imágenes coincide con el segundo
conjunto
OTRAS APLICACIONES. Hay aplicaciones que no son de los tipos descritos
anteriormente, que son simplemente aplicaciones.
Dados los conjuntos A y B las siguientes aplicaciones no son ni inyectivas,
ni sobreyectivas, ni biyectivas_
A ~f,— B A
,
B
No son inyectivas porque a dos elementos distintos le corresponde la
misma imagen
No son sobreyectivas porque el conjunto imagen no coincide con el segundo
conjunto
Ejemplo 7 Dados los conjuntos A – 1-2, -1, 1. 2, 31 y B – 10,
3, 5, 81 se establece la siguiente correspondencia f:
fA B
x x2 – 1
GráfIcamente
se trata de una aplicación simplemente
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5. Aplicación inversa
DEFINICION . Dada una aplicación
loA B
x y – [(x)
se define la correspondencia Inversa de la aplicaci6n 1 como aquella correspondenCia
JI puesta así:
¡-‘,B–A
Y –¡-‘(y) – x
Esta correspondencia JI puede ser aplicaci6n o no
Analicemos lo que ocurre cuando la aplicaci6n dada es sobreyectiva, inyectiva
o biyectiva
Dada las aplicación 1: A – B e y E B nos podemos preguntar ¿f-l{y)
es vado o no?
Si A es distinto del conjunto vado A “* ljJ entonces
y E [(A) por tanto ¡-‘(y)”‘¡’
siendo 1 aplicación sobreyectiva y y E B … 1-1 (y) “* ~ .
La correspondencia inversa de una ap/icaci6n sobreyectiva es una corres·
pondencla, no es aplicac.i6n.
Gráficamente
f{x) – y
A ~f,– B
1 es aplicaci6n sobreyectiva
Ejemplo 1 Dados los conjuntos
j'(y) .. JI
A-‘r-‘ – B
1-1 no es aplicación
A – 1-3. -2, l . 2.31 Y B – 19. 4. 1)
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se establece la aplicación sobreyectiva
¡ , A B
x !(xl _ X2 _ y
¿Cuál es la correspondencia Inverst: de P
Representando gráficamente! resulta
2
3
A~f,-
Como !(x) – y <;) x - jI (y) B resulta: Xl _ Y - x - ±- .¡y - j l (y) Por tanto JI: B - A gráficamente es B -'r-' A JI no es aplicación. Si la aplicaci6n 1: A - Bes inyectiuQ, para y E I(A) entonces 1-1 (y) es no vacío y conllene uno y s610 un elemento_ La correspondencia inversa de una aplicación inyectiva es una correspondencia, no es aplicaci6n. www.Matematica1.com Gráficamente • • A / B tI A -'-- B / es aplicación inyectiva /-1 no es aplicación Ejemplo 2. En el conjunto N de los números naturales se establece la aplicación inyectiva f IN N x J(x)-y-x+5 ¿Cuál es la correspondencia inversa de p Representando grMlcamente resulta 2 3 2 3 --1--'- . 4 9 5 _-1--4.10 4 A~-.l..1I 5 N N ComoJ(x) - y - x .. J-I(y) resulta que x + 5 - y => x .. y – s .. J I(y)
Por tanto: 1-1; N – N gráficamente es:
I-¡ no es aplicaci6n
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Si la aplicación f: A – Bes biyectiva V y E B también y E f(A) entonces
f- 1 (y) es no vacío y contiene uno y sólo un elemento.
La correspondencia inversa de una aplicación biyectiua es otra aplicación
biyectiva
Gráficamente
A —,1,— B
f es aplicación biyectiva j-l es aplicación biyectiva
Ejemplo 3 En el conjunto Z de los números enteros se define la
aplicación biyectiva f;
foz z
x f{x) – y–x
¿Cuál es la correspondencia invere , de f?
Representando gráficamente f resulta’
Z —,1,— Z
Como f{xl – y … x “” Jl(y) resulta
-x – y … x – -y … f-l(y)
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Por tanto JI. B – A gr6ficamenle es
~
3 – -3
l::::: 2
1
O O
– 1
1
2
\.—23-/ ‘-..3 / Z —‘r–‘ Z
fl es aplicación biyectiva
ECUACION. A toda aplicación f de A en B y o rodo elemento b E B
corresponde una ecuación !(x) = b que se cumple para algunos elementos
x E A Aquellos valores de x tales que x – f- l (b) reciben el nombre de soluciones
de la ecuación . Encontrar estos valores es resoluer la ecuación
Según que la aplicación f sea invectiva . sobreyectiva. biyecliva o simplemente
aplicación estas ecuaciones tendrán solución única o múltiple .
Vamos a detallar estos casos·
1 Que f sea aplicaci6n . Pueden ocurnr:
A B
j(x) – b E j(A)
Por lo menos existe una solución
de la ecuación f(x ) – b,
A
Q
j(x) = b ~ jeA)
No existe soluci6n de la ecuaci6n
j(x) – b .
2. Que f sea aplicacl6n sobreyectiua. Como en este caso f(A) = B
siempre f(xl – b E I(A) para todo b E B. Por tanto existe al menos una
soluci6n
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A “1 ‘\ B
~ J(:i .. b
“- ./
3, Que f sea aplicación inyectiuo, Pueden ocurrir:
A
La solución de la ecuación
f(x) – b es única.
A B ¡(x) .. b
\ -A…—-¡/”_< La ecuación f(x) = b no tiene solución. 4_ Que f sea aplicación biyectiua: En este caso cualquiera que sea b E B siempre f{x) - b E itA) siendo la solución única. A B ,--.... Ejemplo 4. Dada la aplicación J' z z x f(x) - x2 -3x+2 Calcular los orígenes de O. ¿Es la aplicación biyectiva? www.Matematica1.com Como f{xl - O para resolver la ecuad6n tenemos que encontrar valores x E Z que tienen como imagen el O por la aplicación f x _ .::3...:"'::....:-.I,,"9;;.!4c--... ."::2:... _ 3 _"'_1 _ 2 2 Por tanto: ____ 2 -------1 f(2) - O} 2 y 1 son las soluciones de la ecuacl6n j(1) - O La aplicación no es biyectiva porque kJs elementos distintos 2 y tienen la misma Imagen O. 6. Producto o composición de aplicaciones DEFINICION . Sean tres conjuntos A. B V C. distintos o no, y dos aplica· ciones f de A en B y 9 de B en e definidas por: f:A --B g:B-- C x jlx) ~ y y gly) ~ z a la aplicación h de A en e definido por h: A C h(x) ~ giflxlJ v x E A x h(x) - z se le llama aplicaci6n compuesta o producto de las aplicaciones f V g. Se re· presenta por: h = 9 o f. Gráfk:amente ,-~, A B ,-_, c I g ¡(x) ... y glYl ... L h www.Matematica1.com h es una aplicación porque: Sea x un elemento cualquiera de A. La aplicación f asigna a x una única imagen: f(xl - y E B, Ahora bien a cada elemento de B la aplicación 9 asigna una única imagen en C; en particular al elemento y E B le asigna g(y) ... 2 en C En definitiva a cada elemento x E A le corresponde un único elemento z - h(x) perteneciente a C. Se cumple h(x) ~ 9 o J(x) - g[{(x)] ~ g(y) ~ , En un producto o composición de aplicaciones f: A - By g' B -C v x E A g[{(x)] - 9 o J(x) Ejemplo 1 Sean A - [XI. x2 ' x3' x(, xsl B - IYI' Y2' Y3' Y() e - [ZI, Z2' Z], 2() y las aplicaciones f: A - B Y 9 B - e dadas así ¡(X¡) - YI. f(xs) - Y4; g[Y4) - 24 ¡(X2) ""' Y2' g(YI) - ZI' ¡(Xl) "" Y2' g(Y2) - 2). La aplicación producto h - 9 o fe A e vendrá dada por f(x() - Y(, g(Yl) = Z], h(xl) "" 9 o f(x l) - g[f(xll] ... g(YI) - ZI h(x2) - 9 o f(xt) - glf(Xl)] "" g(Y2) - z] h(x1) - 9 o ¡(X3) - g[f(x])] = g(Y2) - 23 h(x4) "" 9 o f(x4) "'" g[f('4)] - g(y() - Z( h(xs) - 9 o !(xs) ,. glf(xs)] - g(y() - z. www.Matematica1.com Gráficamente. ~ :::::---... " ~ ~ l'" ~ ' . .,. y, " . " ' .... '" '. \...~-" ~ ro ---- y, , ..J A l B' ~---~ e h PROPIEDADES 1 El producto de aplicaciones es asociativo: Dados cuatro conjuntos A, B, e y D Y entre ellos las aplicaciones f. 9 y h dadas así f:A--B goB-- C hoC--D se verifica A ---,''-. B -----"'-- C -----,h,- D x --y - -- z -- u es inmediato comprobar que (h og)oJ- ho(goj) Comparemos estos dos miembros aplicándolos a v x E A. Ilh u g) o j)(x) - (h o g) o !f(x)] ~ (h o g)y - h[g (y)) ~ h(z) - u [h o (g o j))(x) - h o [(g o j)x] - h o [g!f(x)Jl - h o Jg(yIJ - h(z) ~ u Estas dos aplicaciones son Iguales, ya que toman el mlsmo valor 'r( x E A, tenie ndo como conjunto de partida A y como conjunto de llegada D. La composición o producto de aplicaciones es asociativo (h o gl o J ~ h o (g o JI www.Matematica1.com Esta propiedad asociativa se puede representar por el esquema siguiente: 9 • ,0\ h f • (hog)of _ ho{g o j) Ejemplo 2_ Dados los conjuntos A ""' B - C =- O - Co njunto R de k>s números reales , se definen las siguientes aplkaciones :
j x—!{x)- y-x+3
g: y g(y) _ z ‘= .J….
3
h : z h ez) – u _ Zll
Comprobar que. h o (g o f) – (h o g) o f.
Aplicando a un elemento x
Ih o (g o flJix) • h(glf{x)]] • h. Ig{x + 3» _ h (X ; 3) _
_ (X ; 3)’
Ilh • g) o 11lx) • Ih • g) o Jlx) • (h o g) Ix + 3) • h(g{x + 3)1 •
• h(x ; 3) • (X; 3)’
Obtenemos el mIsmo resultado .
2 . El producto de aplicaciones no es conmutotiuo. Dados los conjuntos
A, B y e y entre ellos las aplicaciones f y g dadas así
f : A –6 g:6 –c
El producto 9 o f tiene sentido 5610 cuando A = C. En este caso
A —-‘f_ 6 —–“,- A
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tiene sentido hablar de 9 o / y de / o 9 pero
gof:A A
lo g: B B
Por tanto s6lo cuando A = B = e ocurre que
gof:A A
lo g: A A
y se verifica que
go/*/og
Ejemplo 3. Dados los conjuntos A “. B – e – Números Reales
se definen las operaciones
Se tiene
1(x)=x+5
g(x) _ X2
9 o 1(xl – gV(x)] – g{x + 5) – (x + 5)2
jo 9(xl ~ j[9(xll – j(x’l = x’ + 5
Se comprueba que
y por tanto
g01*1 0 g
3, En un producto de aplicaciones h = 9 o f si f y 9 son inyectiuas, h
es inyectiuQ.
Sea l(a,1 = b, y g(b,1 = c,
l(a,1 = b, y 9 (b,1 = c,
A —–‘1_ B –“<- e a, --- b, --- c, az bz ez Al ser f inyectiva: al '=/:. a2 .... I{al) '=/:. l(a2) .... bl * b2· Al ser 9 inyectiva: bl '=/:. b2 .... 9{bl) * g(b2) .... CI * C2· www.Matematica1.com Considerando al '* az h(a,) 9 o j(a,) ~ glf(a,)J ~ g(b,) ~ e, h(a,) 9 o j(a,) - glf(a,)] ~ g(b,) ~ e, 4 En un producto de aplicaciones h == 9 o f si f y 9 son sobreyectivas, h es sobreyectiva. / Sea. A -'-- B -"'- e a b --e Por ser 9 sobreyectiva: V c E C 3 b E B I g(b) = c. Por ser f sobreyectiva: V b E B 3 a E Al f(a) - b. Dado entonces V cE C 3 a E Alh(a) - 9 of(a) = g(b) - c =$ h es sobreyectiva 5. En un producto de aplicaciones h = g o f si f y 9 son biyectiVas, h es biyectiva Si f y g son a la vez inyectivas y sobreyectivas la aplicación h será a la vez inyectiva y sobreyectiva y por [o tanto biyectiva. 7. Función DEFlNICION, Llamamos función a aquellas correspondencias en las que el conjunto de partida y el conjunto de llegada son numéricos. En una función la terminología suele ser un poco diferente. En una función f: A B x y~j(x) -El conjunto A recibe el nombre de conjunto de definicion. -El conjunto B recibe el nombre de conjunto de va/ores -El conjunto origen recibe el nombre de dominio de la variable -El conjunto imagen recibe el nombre de dominio de la función -La variable «x" recibe el nombre de variable independiente. -la variable "y" recibe el nombre de variable dependiente o función las funciones pueden ser de variable real o de variable compleja según que los conjuntos de definición sean el de los números reales o el de [os números complejos www.Matematica1.com Dentro de las funciones podemos distinguir: 1 Funciones multiformes: Son las correspondencias en las que a un mismo elemento le corresponden varias Imágenes . • • • • A ----'/- B 2. Funciones uniformes: Son las correspondencias en las que los ele· mentos del primer conjunto A tienen como máximo una sola imagen en B. • • A ----'/- B Nota: Conviene decir que hay autores que restringen más el sentido de fun ción diciendo que una correspondencia para Que sea función debe cum· plir «todos los elementos del primer conjunto tienen que tener imagen en el segundo ... En este sentido la función uniforme coincide con el concepto de. aplica ci6n entre conjuntos numéricos. Ejemplo 1 Dado el conjunto Z de los números enteros, se establece la funci6n f dada así Jo Z Z x ± .Ji Esta funci6n ¿es uniforme o multiforme? www.Matematica1.com Tomando varios números enteros y representando gráficamente: 1 -\::::::::::::----1f- 2 3 ,-t=:::::t- 5 6 Hay elementos que tienen dos imágenes, por tanto se trata de una función multiforme. Ejemplo 2. Dado el conjunto Z de los números enteros se establece la función f dada así: FZ-- x Se pide' 1) ¿Cuál es el conjunto de definición? 2) ¿Cuál es el conjunto de valores? 3) ¿Cuál es el dominio de la variable? 4) ¿Cuál es el dominio de la función? Observando los resultados obtenidos en el Ejemplo 1 se puede escribir 1) El conjunto de definición es Z. 2) El conjunto de valores es Z 3) El dominio de la variable está formado por los enteros positivos que son cuadrado perfecto. 4) El dominio de la función es el conjunto Z de los enteros, www.Matematica1.com EJERCICIOS RESUELTOS 1. De las correspondencias siguientes indica cuáles son unívocas y cuáles no unívocas -1-1--, 2 A ----,f'-. B e -----,''----- D E F Solución - La primera correspondencia f es unívoca -La segunda correspondencia 9 no es unívoca porque un elemento e tiene dos imágenes 6. y O -La tercera correspondencia h es unívoca. 2. De las correspondencias unívocas siguientes indica cuáles son biunívocas b. " 2 O • J O • 4 R f S M , N p " Q Soludón -La primera correspondencia unívoca f no es biunívoca porque al elemento a del conjunto S llegan dos flechas. -La segunda correspondencia unívoca 9 es biunívoca porque s610 llega una flecha a los elementos del segundo conjunto N -La tercera correspondencia unívoca h es biunívoca porque no hay ningún elemento de Q al que llegue más de una flecha. www.Matematica1.com 3. De las correspondencias siguientes indica cuáles son aplicaciones , m -JI-te -1-1-- y p ----'1_ Q R --"'- s M -"' - N Solución -La primera correspondencia f es aplicación porque de todos los elementos de P sale una sola flecha hacia los elementos de Q -La segunda correspondencia g no es aplicación porque hay un elemento del primer conjunto R del que no sale flecha hacia el segundo conjunto S - La tercera correspondencia h no es aplicación porque hay un elemento de M del que salen dos flechas hacia el segundo conjunto N 4. De estas tres correspondencias indica. , 2 3 o 4 " F 1 G o) Las que son unívocos b) Las que son biunívocos e) Las que son aplicaciones = P d) Los que son aplicaciones biyectivas Solución , a) Son correspondencias unívocas f, 9 y h. b) Son correspondencias biunívocas f y g_ 2 q x 3 4 Q H , J www.Matematica1.com el Son aplicaciones g y h d) Es aplicaci6n biyectiva solamente 9 5. De las siguientes funciones establecidas en el conjunto R de los números reales, indicar cu61es son aplicaciones y de qué tipo 1) j(x) 1 3) j(x) = x' + 1 x 2) f(x) = eX 4) f(x) = cos x Solución 1) No es aplicaci6n pues f(O) no es un número real 2) Es aplicaci6n inyectiva 3) Es aplicación solamente 4) Es aplicaci6n solamente 6. Dados los conjuntos A = ta, e, í, o, ul y B = 11,2,3,41 decir cu6/ de las correspondencias f definidas mediante sus grafos son aplicaciones y de qué tipo 1) G(j) 2) G(j) 3) G(f) 4) G(j) Solución = (fa, 1), (a, 2), (e, 3), (i, 4)1 [(o, 4), (e, 4), (1, 1), (o, 2), (u, 3) = !(a, 1), (e, 1), (i, 2), (o, 2), (u, 3)1 [(o, 1), (e, 2), (i, 3), (o, 4)) 1) La correspondencia no es aplicaci6n porque un elemento del primer conJun" to tiene dos imágenes y hay otros elementos que no tienen imagen 2) La correspondencia es una aplicaci6n sobreyediva, 3) La correspondencia es una aplicaci6n solamente 4) La correspondencia no es aplicaci6n pues hay un elemento sin imagen 7 . La correspondencia, no es una aplicación de Q en Q ¿Qué números es preciso excluir del conjunto de partIda para que la correspondencia f sea aplicaci6n? www.Matematica1.com Solución Para que f(xl E Q el denominador no puede ser cero, por tanto xZ +x-6 _ 0 -1±.J1+24 2 -1 ± 5 2 ~2 ----- -3 El conjunto de partida ha de ser Q sea aplicación 12, - 3) para que la correspondencia! 8. Siendo Z el conjunto de los números enteros, se considera la aplicaci6n f Z - Z que asocia a cada número entero x el entero 2x1 + 1 Contestar razonadamente, a las siguientes cuestiones. a) ¿Es! inyectiva? b) ¿Es! suprayectiva? el ¿Existe algún entero x, tal que sea !(x) = 3x? ¿Cu6ntos enteros cumplen tal condici6n? (OposiCión E G B 1977) Solución gen a) No es inyectíva porque a dos elementos distintos corresponde la misma ima- J(II = J(-II = 3 bl No es sobreyectiva porque: 1m! *" Z. C)f(x) - 3x~2x2+1 - 3x~x - 1yx - 1 2 Sólo cumple la condición el entero 1 9. Dada la aplicaci6n de Z en Z f(x)=xl -2x-l Determinar a) Origen de 2 b) Imagen de 5 c) ¿Es la aplicaci6n f sobreyectiva? www.Matematica1.com Solución a) Origen de 2: f(x) "" 2 => X2 – 2x – 1 := 2 … x .. 3 y x – – 1
El elemento 2 tiene dos orígenes 3 y – 1
b) La imagen de 5 es: f(5) ,. 52 – 2 5 – 1 – 14.
e) No es sobreyectiva porque hay muchos elementos del segundo conjunto cuyo
origen no es número entero_ Ejemplo el O
f(x) – O=>x2 -2x-l=ü=>x=1+.J2 y x””,l-.J2
10. Sean las aplicaciones f y 9 de Z x Z en Z que asocian a cada par de números
(x, y).
f(x, y) = 3x + 7y
g(x. y) = 7x + 8y
¿Existe algún entero x y algún entero y tal que
j(x, y) ~ -5 y g(x, y) = 5?
Solución
Hacemos
jlx, y) -5 } 3x + 7y ;5} . x – 3, y – – 2
g(x, y) 5 7x + 8y
11. Sean los aplicaciones f, g, h de Z x Z x Z en Z que asodan o codo terno
(x, y, z:)
f(x, y, z) = 2x – y + 3z
g(x, y, z) = x + 3y – 2z
h(x, y, z) = 4x + 2y + z
¿EXisten algunos enteros x, y, z tales que
f(x, y, z) 9
g(x, y, z) = -6
h(x, y, z) = 4
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Solucl6n
Resolvemos el sistema
/ (x. y. l) – 9
g(x , y, z) -6
hlx, y. z) – 4
}
2X – Y + 3Z – 9
x + 3y – 2z – 6
4x+2y+z- 4
de donde x … 1. y :=
12. Se da la aplicaci6n
I N N
n n’
siendo N el conjunto de los números naturales,
-1.z – 2
Raronar si existen aplicaciones del tipo g : N – N lales que la aplícaci6n compuesta
9 o f es
g o l N N
n n
(Se entiende que (g o / )(n) = g[[(n)] }
(OpoSIcIón E G B , J 97.’»
Soluci6n
Se debe de cumplir
N – .!’..-N –”– N
n — n’ —n
¡ (nI “” n1 y 9(n) – ..rn
g o fIn) = glf(n)) – g(n1) – ,/rl ., n
Resulta que la aplicación 9(n) no puede existir dentro del conjunto N de los números
naturales ya que hay muchos números naturales que al no tener raÍl cuadrada
exacta no tienen imagen,
Además 9(n) – ..¡n tiene dos Imágenes que son 10$ signos ± de la raíz con lo
cual tampoco podría ser aplicación
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13_ Dadas los aplicaciones
Hollar j()() .
Solución
(g o j){x) = 4)(% + 2)( – 5
g()(J = 2)( + 3
-x- –3 2
g-I(X)
jil
Solución
f(x) _ X2 _ ¡-I(xl = .. ‘;:x
lf-1 o (f o g)J(x) = [tit o j) o g](xl … g(xl
g(x) ,. lil o (f o g)J(x) – ¡1(X4 + 4X2 + 4) –
_ …/x4 + 4×2 + 4 _ .J(XZ + 2)2 _ X2 + 2
15. Dados las aplicaciones J y 9 de Z en Z mediante:
Obtener:
f(x)=x-l
g(x) =xl +2x+l
1) Correspondencias ¡I y g_l.
2) ¿Qué tipo de co”espondenci~s son?
31 Obcener los produdos f o 9 y fl o f.
41 ¿Cuónto vale g o /(1) y J o g(J)?
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Solucl6n
1) ¡(x) :.t x – 1 _ JI(X) – X + 1
g(x) – (x + 1)1 _ g*I(X) – .Ji – 1
2) jl(X) es aplicaci6n biyectiva y g*I(X) es correspondencia. no aplicación
3) lo g(x) – ll(x + lP) – (x + 1)2 -1
9 o !(x) – g(x + 1) .. I(x + 1) + lJI – (x + 2)’
4) 9 o J(I) ~ (1 + 2)’ – 9 y J o g(l) ~ 3
16. En el conjunto M ::= [o. e, i, o, u] se consideran las aplicaciones cuyos
grafos son .
Se pide ‘
GtJ) e {(a, 0, (e, ul, 0, ¡J, (o. oJ, (u, o)]
G(g) = I(a. eJ , (e , oJ. (i, aJ. (o. iJ, (u. ul)
J} Clasificar estas aplicaciones y sus recíprocas si existen .
2) Escribir el grafo de las aplicaciones: f o g y g~ l o I o g.
Solución
1) GUl es aplicación.
G(f’I) .. l(j, aL (u , el , (l. JI , (o , o) , (o. u)) no es aplicaci6n.
G(g) es aplicaci6n biy€ctiva.
G(g’ l) oc He, al. lo, el. la, il. (j, o) . (u , ull es apliclIci6n biyectiva.
2) Gif o g) – {(a, u). (e , o). 11. il , (o, n, (u. o)J
G(g’l o f o g) – !la, u). (e, e), (i. o), (o, o), (u, el]
17. Se consideran las aplicaciones de R en R dadas por
J¡(xl ::: X Jz(x) = x + …,fj
1-x-/3
x – -/3 ; J,(x) = “‘::’_-“-‘;0
1 + x.J3
Se pide escribir en una tabla de doble e ntrada todas las funciones compuestas J,
oJ,.
Solucl6n
Hacemos’
x + .J3 -c”–‘—‘-‘ó;- – -/3
(
x + J3 ) _ ~I -‘–x~J3~_
1 – x-/3 1 + _-,xc..+:…..:J3C3;;.- . J3
1 – x../3
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De esta forma se completa la siguiente tabla:
o
1,
J,
J,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
18. Se considera las cuatro aplIcacIones de R en R
1 1
J¡(x) “” x ; ¡¡(x) == – . ¡,(x) == -x ; 14(x)
x x
Escribir en una tabla de doble entrada totEas las aplicaciones compuestas .
Soluci6n
Tomando dos aplicaciones cualesquiera:
1
– – .. l t(x) •
y así sucesivamente con todos. obteniendo la siguiente tabla
o J, J, J, l.
J, 1, ¡, 1, J.
J, J, J, J. J,
J, J, l. J, J,
J. J. J, J, J,
19. Se consIderan las seis aplicacIOnes de R en R siguientes ‘
¡ , (x) == x ; 1 1
J2(X) == – . f,(x) = 1 – x : ft(x) ‘” – –
x 1 – x
¡,(x)
x – 1
; ¡.(x)
x
x x – 1
Se pide escribir en una tabla de doble entrada todas las aplicaCIOnes compuestas
.
Solucl6n
Tomando dos aplicaciones cualesquiera
(X-l) (‘-1) 1 f3 o f,(x) – f, – .- – 1 – – .- .. -; – ¡ ¡(xl
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y así sucesivamentE’ con todos obteniendo la siguiente tabla:
o J, J, J. J. J. J.
J, J, J. J. J. J. J.
J. J. J, J. J. J. J.
J. J, J. J, J. J. J.
J. J. J. J. J. J, J,
J. J, J. J. J, J. J.
J. J. J. J, J. J. J,
20. Dados dos subconjuntos A y B de X se considera la aplícaci6n
J’ X y
Demoslrar I(A U BI = I(A ) U I(B} cuando I es sólo aplicaci6n
Solución
Aplicando la propiedad antisimétrica de la inclusión , vemos
1) J(A U B) e J(A) U J(B)
‘ti Y E I(A U Bl ~ :I x E A u Bl/lx) – y
{
‘ E A {Y ~ J(,) EJ(A)
x E A U B – o'” o _ y E I{A) U l(B)
, E B Y – J(,) E J(B)
2) J(A) U J(B) e J(A U B)
{
y E J(A) { , , E A IJ(,) – Y
vyEJ(A)UJ(B)- o – o –
y E f(B) :1 x E B 1ft,,,:) – y
– ‘x E A u RIJ(,) ~ Y _ Y E J(A U S)
Por la1110
J(A U B) – J(A) U J(B)
21. Dados dos subconjuntos A V B de X se considera la aplicaci6n
J” X Y
Demostrar que IfA n B) e I(A) n I(B) cuando I es s6/0 aplicacl6n
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Solución
• y EllA n BI – , x E A n Blllxl – y
{
X E A {y – Ilxl EllA)
Si x E A n B – y => y – y e I(A) n f(B)
xEBy-Ilx)EIIB)
Por lo tanto
IIA n BI e IIAI n I IB)
22. Dados dos subconjuntos A y B de X se considera la aplicaci6n
¡. X Y
Demostrar que . ¡fA n B) = ¡fA) n I(B} cuando 1 es JnyectllJa
Solución
Aphcando la propiedad antisimétrica de la inclusIÓn.
1) I(A n Bl e I(Al n I(B) demostrada en el caso anterior
2) I(A) n l1B) e I(A n B) siendo I invectiva
{
y EllA)
VyE IIAlnIIB) – e {
‘x E Alllxl – y
= y
y E IIB) :1 x’ E BII(x ‘ ) – y
Al ser I inyectlva:
y – ¡(xl .. ¡(x’) => x == x’
es decir V x E A n B I¡(xl – y E ¡lA n Bl
Por tanto si f es inyectiv¿I
IIA n Bi – IIA) n IIB)