APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Share Button

CLICK AQUI PARA VER PDF    ****


MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES ,
Matriz Hessiana de una función de varias variables,
Criterio de las segundas derivadas parciales para calcular los
extremos relativos,
Valores máximo y mínimo absolutos de una función de
varias variables,
, Extremos condicionados,
, Método de multiplicadores de Lagrange ,
En muchos campos del conocimiento humano (estadística, biología, ingeniería
industrial, etc.), con cierta frecuencia hay la necesidad de resolver problemas de
optimización a través de los poderosos conceptos de máximos y mínimos del
cálculo diferencial.
Para resolver los problemas a partir de la información dada por el conjunto de
datos, en primer lugar, se busca un modelo matemático que se ajusta al
comportamiento de los datos. Si el modelo matemático contiene varias variables,
es necesario identificar en forma clara las condiciones del problema que aporten
suficientes relaciones entre las variables.
Vamos a empezar el capítulo presentando la definición de máximos y mínimos
relativos de una función de n variables. Luego, se establecerán criterios para
determinar los puntos donde la función tiene un máximo o un mínimo relativo.
4.1 MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Sea f : D a R n ->R una función definida en el conjunto abierto D.
Definición 1.- Se dice que / presenta un máximo absoluto en el punto P0 G
si /( P ) < / ( P 0), VP 6 D, en tal caso / ( P 0) se denomina valor máximo absoluto de / . Definición 2.- Se dice que / presenta un mínimo absoluto en el punto Q0 E Df , si /((?o) ^ f(Q)>VQ e D, en tal caso /(Q o) se denomina valor
mínimo absoluto de / .
Observación 1.-
a) Un punto P E D se llama punto extremo, si P corresponde a un máximo o
mínimo. Así, /( P ) se denomina valor extremo de / .
b) Como en el caso de funciones de una variable real, no toda función tiene
máximo o mínimo absoluto.
Ejemplo 1.- La función z = / O ; y) = x 2 + (y – l ) 2 definida en el conjunto
D = R 2 tiene un mínimo absoluto en Q0(0; 1) y no presenta máximo absoluto.
(Fig. 4.1)
CÁLCULO III
Ejemplo 2.- La función z = /( x ;y ) = 2 — x 2 — (y — 2)¿ alcanza su valor
máximo en P0(0; 2) y no tiene mínimo absoluto (Fig. 4.2)
Ejemplo 3.- La función /( x ;y )
t y j l — X 2 —
y
con dominio
D = {(x;y) E R 2 / x 2 + y 2 < 1 A y > 0] no tiene máximo ni mínimo, pues
para 0 fijo se tiene lim / ( x ; y) = ±oo según sea x > 0 ó x < 0 y-* o + respectivamente. Teorema 1.- Sea D c Rn un conjunto cerrado y acotado, y sea / : D c R una función continua en D. Entonces, existe al menos un punto en D donde / tiene un valor máximo absoluto, y al menos un punto en D donde / tiene un valor mínimo absoluto. Ejemplo 4.- La función / O ; y) I ~4 y es continua en el conjunto cerrado y acotado f x 2 D = I O ; y) E R2 / — + y 2 < 1 El valor máximo absoluto de / ocurre en el punto (0;0), y su valor mínimo absoluto ocurre APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES Definición 3.- Se dice que una función definida en el conjunto abierto D presenta un máximo relativo o local en el punto P0 E D, si existe una bola abierta B(P0; s) f\ c Dt (e > 0), tal que
/ ( P ) < / ( P 0), VP E B(Po; £) en tal caso / ( P 0) se llama valor máximo relativo o local de / . Definición 4.- Se.dice que una función / : D c Mn -> R definida en el conjunto
abierto D presenta un mínimo relativo o local en el punto Q0 E D, si existe una
bola abierta B(Q0) Ó), (S > 0), tal que
f ( Q o ) < f ( Q ) , V Q E B ( Q 0;ó) en tal caso f ( Q 0) se llama valor mínimo relativo o local de / . Observación 2.- Un punto P0 E D es un punto de extremo relativo o local, si P0 corresponde a un máximo o mínimo relativo de la función / . Teorema 2.- Si la función / : D c Rn -» R definida en el conjunto abierto D d f presenta un extremo relativo en P0 E D y —— (P0), (/c = 1,2,..., n) existen, oxk entonces ^ - ( P 0) = 0, V/c = 1,2,3, ...,n. ° x k Demostración.- Supongamos que / presenta un máximo relativo en P0 E D, entonces existe una bola abierta £(P 0; 8) c D tal que / ( P ) < / ( P 0), VP G B(P0;S) Luego, para h > 0 y P0 + huk E £(P 0; 5), donde ü k = (0; …; 1; 0: … 0), se tiene
/ ( P 0 + huk) < /( P 0) y esto implica que: ^ — - - - < 0 n _ Por tanto , lim/ (--P--o--+--/-i--S--fc:)-----/-(--P---o--)-> 0
rC omo —df (-P—°-) exis• tet , entot nces se tiene
dxv
185
df(Po) f(Po + hük) – f ( P 0) / ( P 0 + huk) – f ( P 0)
— —– = Iim .————– ————– = lim ————– :————–= 0 ,
OXk h h – 0 ~ h
V/t = 1,2,…, n
Así, los valores extremos de una función / : D c M71 -> R definidas en el conjunto
abierto D pueden ocurrir en puntos donde las primeras derivadas parciales de /
son ceros.
CALCULO III
Definición 5.- (Punto crítico) Sea / : D c Rn -> R una función definida en el
conjunto abierto D.
Se dice que un punto P0 E D (punto interior de D) es un punto crítico de la gráfica
de / si:
df(Po) d f (P0)
i) Existen ——— , i = 1,2,… ,n y ———= 0, Vi = 1,2,… # n o bien
dx, dXi
ii)
df(Pp)
dx.
i = 1,2,…., no existen.
Ejemplo 5.- Sea la función
/(x ; y) = xy(3 – x — y) definida en el conjunto
D = {(x; y ) E l 2 / x > 0, y > 0; x 4 y < 3} (Fig. 4.4) Esta función tiene un único punto crítico en D. obtenido al resolver las ecuaciones d f ( x ; y ) dx df(x) y) dy = 3 y - 2xy — y — 0 3 y — 2xv — y 2 — 0 que es el punto P0(l; 1) Observación 3.- El teorema anterior afirma que una condición necesaria para que una función / : D c R n -> R tenga un extremo relativo en un punto P0 E D, donde
sus primeras derivadas parciales existen, es que ese punto sea un punto crítico.
Pero este teorema no es suficiente para estudiar el problema de la existencia de los
valores extremos de la función.
186
Observación 4.- Un punto crítico de la gráfica de la función / : D c Rn -> R que
no corresponde a un valor máximo o valor mínimo relativo, se denomina punto de
silla o ensilladura.
Ejemplo 6.- La función z = / ( x ; y ) = y 2 – x 2 (paraboloide hiperbólico) tiene
dy dy
derivadas parciales — = —2x, — = 2y
dx dx
que se anulan en x = y = 0
Sin embargo, la función no tiene máximo ni mínimo
en este punto (0;0). En efecto, esta función es cero
en el origen, mientras que en la vecindad inmediata
de este punto toma valoreá positivos como negativos,
es decir, (0; 0)es un punto crítico tipo silla (Fig. 4.5).
APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES
MATRIZ HESSIANA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES
Definición 6.- Sea / : D c R n -> R una función de n variables con dominio el
conjunto abierto D tal que /*.( P) y fXiXj( P) existen Vi,; = 1 ,2 ,… , n y VP E D
Se denomina matriz hessiana de la función / en el punto P E D, a la matriz dada
por
– / W P ) W p) ….. U ( P )
W P ) W p) …..
fxnx ¿ P ) fxnx ¿ P ) ….. fxnxn(P)
Ejemplo 7.- Halle la matriz hessiana de las siguientes funciones:
a) /(x ; y) = x 3 + y 3 – 9xy 4- 4 b) g(x\ y; z) = x 2 + y 2 + z 2 – x y 4- 2z
Solución
a) Las derivadas parciales de primer orden y de segundo orden de / son
f x(x-,y) = 3 x 2 – 9 y , f xx(x ;y ) = 6 x , f xy(x ;y ) = – 9
f y (x ;y ) = 3 y 2 – 9 x , fyx(x; y) = – 9 , fyy( x \ y) = 6y
Luego, la matriz hessiana de / es
W (/(x;y)> = f x Á x – . y ) f x y ( x : y ) 6 x – 9
f y x ( x – . y ) f y y ( x ; y ) 2X2
– 9 6y. 2×2
187
CÁLCULO III
b) Las derivadas parciales de primer orden y de segundo orden de g son:
rg x(x-,y,z) = 2 x – y , gxx(x;y; z) = 2, gxy(x;y;z) = – 1, gxz( x \ y , z ) = 0
\ g y (x; y;z ) = 2y – x, gyx( x \ y ,z ) = – 1, gyy(x ;y ,z ) = 2, ,gyz (x; y; z) = 0
gz (x; y;z ) = 2z + 2, g2X(x;y;z) = 0, ,gzy(x; y; z) = 0, £zz(x; y; z) = 2
Luego, la matriz hessiana de g es
g ( x ; y ; z ) =
2 – 1 0
– 1 2 0
0 0 2J3 X 3
Observación 5.- Los menores principales de la matriz hessiana //( /( P ) ) dada en
la definición 6 son los determinantes dados por
= f XlXl(P)
f X lX l ( P ) f XlX2( P )
f X2Xl( P ) f X2X2( P )
W3( / ( P ) ) =
f XlXl( P) f XlX2( P) 4 * 3 CP)
w n fX2X3(p)
f x 3xi(p ) / W p )
wn( / ( P ) ) =
AvvtO’) W p ) –
/ ^ O 5) J W p ) –
f x n X l ( P ) f x nx 2 ( P ) fxnxJP)
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES PARA
CALCULAR LOS EXTREMOS RELATIVOS
APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES
Teorema 3.- Sea f : D c IRn -> R una función de n variables con dominio el
conjunto abierto D c Mn, tal que fXi(P) y fxiXj(P) existen Vi,j = 1,2,… , n
y VP G D. Sea P0 G D un punto crítico de la gráfica de / , entonces se tiene:
a) Si la matriz hessiana //( /( P 0)) es definida positiva, esto es, H1(f(P0)) > 0,
W2( /( P 0)) > 0,…,Hn{f(P0)) > o. entonces / ( P 0) es un valor mínimo
relativo de / .
b) Si la matriz hessiana //( /( P 0)) es definida negativa, esto es, //i(/(P 0)) < 0 , W2(/(P o )) > 0 , H3(/(P o )) < 0 , W4(/( P 0)) > 0 ,…, y así sucesivamente
(es decir, los menores principales de orden impar son negativas y los de
orden par positivos), entonces / ( P 0) es un valor máximo relativo de f .
c) Si no se cumple ninguna de las dos primeras condiciones y Hn(f( P0)) ^ 0 ,
entonces el punto crítico P0 corresponde a un punto de silla de la gráfica de
/■
d) Si no se cumple ninguna de las dos primeras condiciones y f/n(/'(P 0)) = 0
, entonces nada se puede concluir con respecto al punto crítico P0; puede
corresponder a un extremo relativo, a un punto de silla o ninguna de estas
características.
Ejemplo 8.- Halle los extremos relativos de
/ ( * ; y ) = x 4 + y 4
Solución
Las derivadas parciales de primer orden de f
son
fxix-.y) = 4 x 3 y fy ( x ; y ) = 4y 3
Luego, fx (x;y) = 0 y / y(x;y) = 0 si
x = 0 y y = 0
Así, P0(0; 0) es un punto crítico de la gráfica
de / .
Ahora, la matriz hessiana de / es
f x x ( x-, y 0 fxy( x ; y ï 12×2 0
f y Á x – . y ) f y y í x ; y ) W(/(x;y)) = 0 12y 2„
Como los menores principales de la matriz hessiana en el punto P0(0; 0) son
189
W i(/(0; 0)) = 0 y W2( / ( 0; 0)) = |° °| = 0
entonces no se puede concluir nada con respecto al punto crítico P0(0; 0).
Sin embargo, la gráfica de la función / (Fig. 4.6) indica que P0(0; 0) corresponde
a un mínimo relativo de / y /(O; 0) = 0 es el valor mínimo relativo.
Ejemplo 9.- Determine los extremos relativos de
/( x ; y) = x 3 + y 3 + 9×2 – 3y2 + 15x – 9y + 20
Solución
Las derivadas parciales de primer orden de / son
/* (x ;y ) = 3×2 + 18x + 15 = 3(x + l)(x + 5)
f y (x;y) = 3y2 – 6y – 9 = 3(y + l)(y – 3)
Al igualar a cero estas derivadas parciales, se obtiene los puntos críticos
Pi (—i; – 1 ) , P2( – 1; 3), P3(—5; – 1 ) y P4( – 5 ; 3)
La matriz hessiana de f en un punto genérico (x; y) es
CALCULO III
W (/(x ;y ))
f x x ( x ; y ) f x y ( x ‘ . y )
f y x ( x – , y ) f y y ( x \ y )
6x + 18 0
0 6y – 6
Para el punto Px(—1; —1), se tiene
« C r c – l : – 1)) – [V _°12]
y como 1; —1)) = 12 > 0 y //2( / ( —1; —1)) = —144 < 0, entonces P0 corresponde a un punto de silla. El punto de silla de la gráfica de / es (?(—1; — 1; / ( —1, — 1)) = < ? ( - l ; - l ;1 8 ) Para el punto P2(—1; 3), se obtiene H ( / C - l : 3 » = °2] y como Hx( / ( —1; 3)) = 12 > 0 y //2( / ( —1;3)) = 144 > 0, entonces P2
corresponde a un mínimo relativo. El valor mínimo relativo es / ( — 1; 3) = —14
Para el punto P3(—5; —1). resulta
H(/(-5:-l» = [-„12 _°12]
y como H1 ( / ( —5; —1)) = – 1 2 < 0 y W2( / ( - 5; - 1 ) = 144 > 0, entonces P3
corresponde a un máximo relativo.
El valor máximo relativo de / es / ( —5; — 1) = 50
Para el punto P4(—5; 3), se tiene
-12 0
2 ° ]
190
y como H1 ( / ( —5; 3)) = – 1 2 < 0 y //2( / ( - 5: 3)) = - 1 4 4 < 0, entonces P4 corresponde a un punto de silla. El punto de silla de la gráfica de / es <2(-5; 3 ; / ( - 5 ; 3)) = Q (-5 ; 3; 18) APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES Ejemplo 10.- Halle los extremos relativos de /( x ; y; z) = x 3 -F y 3 + z 3 - 3xy - 3z2 + 2 Solución Las derivadas parciales de primer orden de / son f x ( x \ y , z ) = 3 x 2 - 3y = 3(x2 - y) f y ( x ; y ; z ) = 3y2 - 3x = 3 (y 2 - x) /^(x; y; z) = 3 z2 — 6 z = 3z(z — 2) Al igualar a cero estas derivadas parciales y resolver, se obtiene los puntos críticos P1(0 ;0 ;0 ),P 2(0;0; 2), P3(1 ;1 ;0 ) y P4( l ; l ; 2 ) La matriz hessiana de / en un punto genérico (x; y; z) es W (/(x ;y ;z )) = 6x —3 0 - 3 6y 0 LO 0 6z - 6 Para el punto Px(0; 0; 0) , la matriz hessiana de / es H( / ( 0; 0; 0)) = 0 - 3 - 3 0 0 0 y como tfa( / ( 0; 0; 0)) = 0, H2( f { 0; 0; 0)) = entonces Pa corresponde a un punto de silla. Para el punto P2(0; 0; 2), se tiene W (/( 0 ; 0; 2)) = 0 - 3 -3 0 0 0 y tf3( / ( 0 :0 :0 )) = 54; y como H1 (/(0 ; 0; 0)) = 0, W2(/(0 ; 0; 0)) = - 9 y tf3( / ( 0; 0; 0)) = entonces P2 corresponde a un punto de silla. Para el punto P3(l; 1; 0), se obtiene -54; / / ( / ( 1; 1; 0)) = - 3 -30 0 6 0 0 —6J y como / / i ( / ( l ; 1; 0)) = 6 > 0, //2( / ( l ; 1; 0)) — 27 > 0 y
//3( /( P 3)) = -1 6 2 < 0 , entonces P3 corresponde a un punto de silla. 191 CALCULO I Para el punto P4( 1; 1; 2), se obtiene / / ( / ( 1; 1; 2)) = 6 - 3 0 - 3 6 0 0 0 6 y como H1 ( / ( l ; 1; 2)) = 6 > 0, //2( / ( l ; 1; 2)) = 27 > 0 y
H3 ( / (P4)) = 162 > 0, entonces P4 corresponde a un mínimo relativo. El valor
mínimo relativo de / es / ( l ; 1; 2) = —3.
Ejemplo 11.- Halle los extremos relativos de la función
f ( x ; y, z) =
jX+y+z
(1 + ex)( ex + ey)(ey + ez) ( l + ez)
Solución
Al aplicar la regla del producto, las derivadas parciales de primer orden de / son
f x(x-, y; z) = / O ; y; z) – y; z) – – y v ; . v / 0 ; y; z) … (1)
f y ( x ; y ; z ) = /( x ;y ;z )
e1 + e*
e* + e>”
f ( x ; y , z ) –
ey + ez
f ( x ; y , z ) …(2)
e* e
/ z(x; y; z) = /( x ; y; z) – — -— – / ( x ; y; z) – — —- / ( x ; y; z) … (3)
1 + ez ^
Como / ( x ;y ;z ) ^ 0, V (x;y;z) G entonces al igualar a cero y resolver las
ecuaciones (1), (2) y (3) se obtienen respectivamente,
y = 2x , 2y = x + z y y = 2z
Luego, al resolver estas ecuaciones se obtiene el único punto crítico Px(0; 0; 0)
Para el punto P2(0; 0; 0) la matriz hessiana de / es
W (/( 0; 0; 0)) =
ycomoW1( / ( 0; 0; 0)) = – ^ < 0 , tf2( / ( 0; 0; 0)) = ~ > 0 y
W3( / ( 0; 0; 0)) = — < 0, entonces Pj corresponde a un máximo relativo. 1 1 0 ~ 3 2 64 1 1 1 64 ~~ 32 64 0 1 64 1 _ 32 Por tanto, el valor máximo relativo de / es /(0 ; 0; 0) = — . 16 o 192 Ejemplo 12.- Una caja rectangular cerrada con un volumen de 16 m 3 se construye con dos clases de material. La parte superior e inferior se hace con un material que cuesta 10 doláres el metro cuadrado; los lados, con un material que cuesta 5 dólares el metro cuadrado. Calcule las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo. Solución Sean x, y y z las dimensiones de la caja rectangular (Fig. 4.7). Como hay dos lados de área xy, dos lados de área yz y dos lados de área xz; el costo C del material para construir la caja es APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES C = 10(2xy) + 5(2yz) + 5(2xz) = 20xy + lOyz + lOxz Dado que el volumen de la caja debe ser de 16 m 3, se tiene 16 V = x v z = 16 => z = —
xy
Luego, al reemplazar la expresión de z en la del costo se obtiene
160 160
C (x;y) = 20xy + 4- – y – ,x > 0 ,y > 0
Las derivadas parciales de primer orden de la función costo son
160 160
Cx (x;y) = 20y —– r y CyO ;y ) = 20x T
x y
Al igualar a cero estas derivadas parciales, se obtiene
fx2y = 8
Ix y 2 = 8
Al resolver estas ecuaciones, se obtiene el punto crítico Px (2; 2)
La matriz hessiana del costo C en un punto genérico (x; y) es
r320
y— ó 20
320
y 3
W (C(x;y)) = XJ
20
Para el punto crítico Pi(2; 2), resulta
H{C(2\ 2)) = 40
20
201
40J
y como W1(C (2;2)) = 40 > 0
corresponde a un mínimo de C.
W2(C (2; 2)) = 1200 > 0, entonces l\
193
Por tanto, las dimensiones de la caja de costo mínimo son: base x = 2 m,
y = 2 m y altura z = 4 m. El costo mínimo es C(2; 2) = $ 240
CÁLCULO III
Ejemplo 13.- Un fabricante que posee derechos exclusivos sobre una nueva y
completa maquinaria industrial planea vender una cantidad limitada de las
máquinas tanto a empresas nacionales como extranjeras. El precio que el
fabricante espera fijar a las máquinas dependerá del número de máquinas
disponibles. (Por ejemplo, si sólo unas cuantas máquinas se ponen en el mercado,
las ofertas de los compradores potenciales que compiten entre sí tenderán a subir
el precio). Se calcula que si el fabricante suministra x máquinas al mercado naciox
y
nal e y máquinas al mercado extranjero, éstas se venderán a 60 — — 4- — miles
y x
de dólares cada una en el mercado local y a 70 — — H—–miles de dólares en el
J 5 20
exterior. Si el fabricante puede producir las máquinas a un costo de US$ 20000
cada una, ¿cuántas máquinas debería enviar a cada mercado para generar la mayor
utilidad posible?
Solución
La función de utilidad (a maximizar) es dada por
U(x;y) = /(x ;y ) –
= x ^60 –
■C(*;y)
x y lo + 20
) + y ( 7 0 – | + ^ ) – 2 0 x – 20y
y
= 40x + 5 0 y – — + — , x > 0, y > 0
Las derivadas parciales de primer orden de la función utilidad son
2x 4 y]
[500 – 4y 4- x]
y resolver
Ux (x ;y ) = 40 — % + = 2 – [400
y 5 10 10
2y x 1
t/y(*;y) = 50 — r- 4- –
Al igualar
5 10 10
a cero estas derivadas parciales las
correspondientes, se obtiene el único punto crítico P1(300; 200).
La matriz hessiana de la función utilidad en un punto genérico (x; y) es
ecuaciones
H (t/(x ;y ))
– 1 1 * ‘ 1 1 ‘
_ 5
1
10
2 =^> H(U(300; 200)) = 5
1
10
2
-10 ~ 5- -10 ~ 5-
Como Ht (U(300; 200)) = – – < 0 y H2(U(300; 200)) = ^ > 0 , entonces
194
APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES
P ^O O ; 200) corresponde a un máximo relativo.
Por tanto, debe enviar 300 máquinas al mercado nacional y 200 máquinas al
mercado extranjero para generar la máxima utilidad.
Ejemplo 14.- La empresa Sajita S.A. produce un solo producto en dos plantas
ubicadas en Arequipa y Trujillo. Los costos mensuales totales de producción en
cada planta son
CA(x) = 50×2 4- 1000 y CT(y) = 8y 3 – 400y + 2000
donde x e y son las cantidades producidas en cada planta. El precio del mercado
para el producto es de 2000 soles la unidad. ¿Cuántas unidades debería producir
mensualmente la empresa en cada planta para generar la mayor utilidad posible?.
Solución
La función utilidad (a maximizar) viene dada por
Í7(x;y) = / (x; y) – C (x;y)
= 2000x + 2000y – [50×2 + 1000 4- 8y 3 – 400y + 2000]
= 2000x + 2400y – 50×2 – 8y 3 – 3000, x > 0, y > 0
Las derivadas parciales de la función utilidad son
t/*(x;y) = 2000 – lOOx y Uy (x;y) = 2400 – 24y2
Al igualar a cero estas derivadas parciales y resolver, se obtiene el único punto
crítico P1(20; 10).
La matriz hessiana de la función U en el punto genérico (x ;y ) es
« ( B ( * ; y ) ) – [ T ‘ « o ) ) _ 4° J
Como tfi (1/(20; 10)) = – 1 0 0 < 0 y H2(U(20; 10)) = 48000 > 0, entonces
Px corresponde a un máximo local.
Por consiguiente, la empresa debe producir 20 unidades en su planta de Arequipa
y 10 unidades en su planta de Trujillo para maximizar su utilidad mensual.
Ejemplo 15.- Supóngase que x e y representan las cantidades (en kilos) de los
complementos diferentes mezclados en un alimento balanceado para pollos. Los
pesos resultantes (en kilos) para vender los gallos y las gallinas se estiman por
p = 6x — 3y y q = 3y — 9 respectivamente.
La utilidad (en miles de nuevos soles) obtenido de un lote de pollos se modela por
la función U(p; q) = 10 — 2 (p — 15)2 — (q — 12)2 (se supone qué el número
de gallos y gallinas en cada lote no varía).
Determine las cantidades x e y de cada complemento alimentario que maximiza la
utilidad.
195
CALCULO III
Solución
Al aplicar la regla de la cadena, las derivadas parciales de la función utilidad con
respecto a x e y son
dU
dx
dU dp dU dq ‘
-5- – / + I T – I T dp dx dq dx ,= ~ 24K6x – 3y) – 15]
i u a u t v a u * _ _ 15] _ 6[(3y _ 9) _ 12]
dy dp dy dq dy
Al igualar a cero estas derivadas parciales y resolver, se obtiene el único punto
crítico P1(6] 7), esto es, x = 6 y y = 7.
La matriz hessiana de la función utilidad en un punto genérico (x; y) es
H(U(x:>0 ) = [“ 71244 _7524] ~ « ( 1/( 6; 7 )) = [ – > « _” ]
Como H1( í/( 6; 7)) = -1 4 4 < 0 y H2(U(6; 7)) = 2592 > 0, entonces P ^ó; 7)
corresponde a un máximo relativo.
Por consiguiente, las cantidades de x = 6 kilos e y = 7 kilos maximizan la
utilidad.
Ejemplo 16.- Una caja rectangular descansa sobre el plano XY con un vértice en
el origen coordenado. Halle el volumen máximo de la caja si el vértice opuesto
está situado en el plano Q: 2x + 2y + z = 12.
Solución
Sean a, b y c las longitudes de las aristas de la caja, tal que P(a; b\ c) es el vértice
(opuesto al origen) de la caja situado en el plano Q (Fig. 4.8).
Como P(a; b; c) está sobre el plano Q, entonces
sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano,
esto es
Q\2a + 2b + c = 12
<=> c = 12 — 2a — 2b
Luego, el volumen de la caja en función de a y b
es
– 2a – 2b)
2 ab 2
V = abe = ab {12 Fig. 4.8
= 12a£> — 2 a 2b
Las derivadas parciales de primer orden de la función volumen son
Va(a\ b) = 12b – Aab – 2b2 = b(12 – 4 a – 2b)
196
APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES
Vb(a; b) = 12a – 2a2 – 4ab = a ( 12 – 2 a – 4b)
Al resolver estas ecuaciones, se obtiene el único punto crítico de interés Px(2; 2).
Para verificar si el punto crítico corresponde a un máximo relativo, determinamos
la matriz hessiana de la función volumen, esto es,
H ( V ( a ; b ) ) = [1 2 _ ~ 4 a _ i b 12 ” ] – ” O ‘ ® 2» = C 4 I s l
Como H1(V(2; 2)) = — 8 < 0 y H2{V(2\ 2)) = 48 > 0, entonces Px(2; 2)
corresponde a un máximo relativo.
Por tanto, el volumen máximo de la caja es
V = (2)(2)(4) = 16 u 3
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN
DE VARIAS VARIABLES
Recordemos que el teorema de existencia de extremos absolutos para una función
de una variable real establece que si la función / es continua en el intervalo
cerrado [a)b], entonces existen puntos en [a\b] en donde / tiene un valor
máximo absoluto y un valor mínimo absoluto.
En forma similar, en el siguiente teorema consideramos la existencia de extremos
absolutos para una función de varias variables, en un conjunto cerrado y acotado
D c Df .
Teorema 4 – (Existencia de extremos absolutos)
Si / : D c IRn -> R es una función continua en el conjunto cerrado y acotado
D, entonces
i) Existe al menos un punto P0 6 D, tal que / tiene un valor mínimo absoluto
en P0.
ii) Existe al menos un punto Q0 E D, tal que / tiene un valor máximo
absoluto en Q0.
Observación 6.- Un procedimiento general para determinar los valores extremos
absolutos de una función continua / en un conjunto cerrado y acotado D c Df es:
1 Comprobar que la función sea continua en el conjunto cerrado D.
Determinar los puntos críticos que pertenecen al conjunto D y calcular los
valores de la función en esos puntos,
v- I lallar los valores de la función en los puntos frontera del conjunto D.
197
4.- El mayor valor de los valores encontrados en los pasos (1) y (2) es el valor
máximo absoluto de / ; el menor valor de estos valores es el valor mínimo
absoluto de f .
Ejemplo 17.- Halle los extremos absolutos de
la función
/ O ; y) = 4x zy — x 3y — x 2y 2 en el conjunto
limitado por las rectas x = 0 , y = 0,
x + y — 6 = 0
Solución
El conjunto D es la región del plano XY que
consta de las fronteras del triángulo C1? C2 y
C3 y su inferior (Fig. 4.9).
i) En el interior y en las fronteras C1 y C3.
los puntos críticos son soluciones del sistema de ecuaciones.
fx(x > y) = 8xy – 3x 2y — 2x y 2 = x y (8 — 3x — 2y) = 0
y) = 4 x 2 – x 3 – 2x2y = x 2(4 — x – 2y) = 0
Estos puntos son: Px(0; 0), P2(0; 2), P3(0; 4), P4(4; 0) y P5(2; 1)
i i) En la frontera C2 de ecuación y = 6 — x , se tiene
/i(x) = /( x ; 6 – x) = 2x 3 – 12x 2
Esto determina una función de una variable cuyo dominio es el intervalo
[0; 6j. La primera derivada de esta función es
/i'(x) = 6x 2 — 24x = 6x(x — 4).
Al igualar a cero esta derivada resulta x = 0 ó x = 4. Asi, los puntos críticos
de / en la frontera C2 son:
P6(0; 6) y P*7(4; 2)
Luego, los puntos críticos en los cuales hay que analizar los extremos
absolutos incluyendo el vértice (6; 0) del triángulo son:
Pt (0; 0),P2(0; 2), P3(0; 4),P4(4; 0),P 5(2; 1),P6(0; 6),P 7(4; 2) y Pa(6 ; 0)
iii) Para determinar los extremos absolutos de la función / , evaluamos la función
en cada punto para así hallar el punto en el cual / alcanza su mayor y menor
valor. Los valores de la función son:
/ ( P x) = 0,/ ( P 2) = 0, / ( P 3) = 0, /( P 4) = 0, / ( P 5) = 4, /( P 6) = 0,
/ ( P 7) = – 6 4 y / ( P 8) = 0
CÁLCULO III
198
Por tanto, el valor máximo absoluto de / es 4 y ocurre en el punto P5(2; 1), y
el valor mínimo absoluto de / es – 6 4 y ocurre en el punto 0
Tí Tí
d) /(x ; y) = eos x 4- eos y 4- cos(x 4 y), — < x < n , — < y < n CÁLCULO III 2 0 0 / 2 tí 2 n \ R.Mm.en — ; — APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES 3 ' 3 ) e ) /( x ;y ) = 8y 2e x ~y R. Mín. en (0; —1), punto de silla en (0; 1) 0 f(x ] y) = ~ y 2 + 4^ S) f(x : y) = ^ e li) fíx-, y) = 8 y e x - ^ (y3 + e 3x) /?. Máx. e?i (2 ln 2 ; 2) 3.- Analice para qué valores de a E M la función / ( x ; y) = a(x - l)(y - 2) - (x - l ) 2 - (y - 2)2 tiene en ( 1;2) un máximo, un mínimo o un punto de silla. R. Ti-ene un mínimo para a G (-2 ; 2). Punto de silla para a G ( - 00; - 2 ) U (2; 400) 4.- Sea / : R 2 -> R una función de dos variables, tal que
V /(x ;y ) = ((x – l)(2 x + y – 2); (y – l ) ( 2 x – y – 6))
Halle los puntos críticos de / y clasifíquelos.
5.- Sea f : R 2 ->R una función de dos variables, tal que su matriz hessiana en el
punto P0(m: n) es
m 4 3 m – 1 0
H (/(m ; n)) = 1 5 – 2
. 0 – 2 1 .
¿Para qué valores de m, / ( P 0) es un valor mínimo relativo0 R. m = 2
6.- Sea / : R 2 -> R una función de dos variables, tal que su matriz hessiana en un
punto genérico (x; y) es
f f ( / t e y ) ) = [4 j x
Si (a; a) es un punto crítico de / , ¿para qué valores de a el punto
(a; a; / (a; a)) es un punto de silla? R. a > 1
7.- Sea / : R^ -* R una función con derivadas parciales de primer y segundo
orden continuas en R 2 tal que A(2\ – 1 ) es un punto crítico de / .
En cada caso, indique si el punto crítico corresponde a un extremo relativo o a
un punto de silla.
a ) /* * ( 2 ;- l) = – 3 , fxy(2\ —1) = 2 y / yy( 2 ; – l ) = – 8
201
CÁLCULO III
b) fx x ( ? ) —1) = 25, f x y (2; —1) = 10 y f y y ( 2; —1) = 8
C) fx x d 2; – 1 ) = – 4 , f x y (2; – 1 ) = 6 y / yy(2; – 1 ) = 9
8.- En los siguientes ejercicios, halle los extremos absolutos de la función en la
región D indicada
a) / ( x ; y ) = 8x 2 – 4xy 4- 5y 2 – 4x – 8y , D es la región triangular limitada
por las rectas x = 0, y = 0, x 4- y = 3
R. Máx. absoluto en (3; 0) y Mín. absoluto en (1/2; 1)
b) /(x ; y) = x 2 4- x y 4- y 2 — 6x, D es la placa rectangular
0 < x < 5 , —3 < y < 3 c) /( * ; y) = x 2 4-y 2 - 2x, D es la región limitada por el triángulo cuyos vértices son los puntos (0; 0), (2; 0) y (0; 2). R. Máx. absoluto en (0; 2) y Mín. absoluto en ( 1; 0). d) /(* ; y) = 4 x 3 - 2x2y 4- y 2, D es la región limitada por la parábola y = x 2 y la recta y = 9. 9.- Una placa circular plana tiene la forma de la región D = {(x; y) 6 M2 / x 2 4- y 2 < 1} La placa, incluido la frontera x 2 + y 2 = 1 se calienta de manera que la temperatura en cualquier punto (x;y) es T (x;y) = x 2 4- 2y 2 - x. Determine los puntos más calientes y más fríos de la placa, asi como la temperatura en cada uno de ellos. 10.- Halle la mínima distancia del origen al cono z 2 = (x - l ) 2 + (y - l ) 2 vTó *• — 11.- Halle tres números reales positivos, tal que su suma es 24 y su producto es un m á x i m o . r . L os n ú m e r o s s o n 8, 8, 8 12.- Cuál es el volumen máximo del paralelepípedo rectangular que se puede x 2 y 2 z 2 inscribir en el elipsoide — 4 — 4- — = 1 R 64 9 16 36 13.- Suponga que se desea construir una caja rectangular que contenga 32 cm 3 de oro en polvo. Se utilizan tres materiales diferentes en la construcción. El material para los lados cuesta un dólar el centímetro cuadrado, el material para la parte inferior cuesta 3 doláres el centímetro cuadrado y el material para la parte superior cuesta 5 doláres el centímetro cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja menos costosa? 2 0 2 APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES R. Base de la caja es un cuadrado de 2 x 2 y al tura 8 cm. 14.- Un agricultor que produce zapallo y maíz determina que la ganancia g (en miles de nuevos soles) que obtiene al vender y kilogramos de zapallo y x kilogramos de maíz está dada por g(x; y) = 10_4y + 3(10"4)x - 10"8(2 y 2 4- 3x2) a) Halle el nivel de producción que le da la máxima ganancia. R. 2500 kg de zapallo y 5000 kg de maíz. b) Halle la máxima ganancia R. S/. 875 15.- Una tienda de calzado de la provincia de Cañete vende dos marcas de zapatillas de varones: una marca local que obtiene a un costo de S/. 30 el par y una marca nacional que obtiene a un costo de S/. 40 el par. El dueño calcula que si la marca local se vende a ‘;x” nuevos soles el par y la marca nacional a “y ” nuevos soles el par, entonces se venderán cada mes aproximadamente 70 — 5x 4- 4y pares de zapatillas de la marca local y 80 4 6x — 7y pares de zapatillas de la marca nacional. Halle el precio de venta que debería fijar el dueño a cada par de zapatillas de ambas marcas para maximizar la utilidad. R. Marca local a S/. 53 el par y marca nacional a S/. 55 el par. 16.- En un supermercado se venden dos productos que compiten entre si a precios de x e y nuevos soles respectivamente. Si el ingreso debido a la venta de estos productos viene dado por /(x; y) = —7x2 — 4 y 2 4 2xv 4 lOx 4 14y Calcule los precios para que el ingreso sea máximo. R. Precios S/. 1 y S/. 2 respectivamente. 17.- Una lechería produce dos tipos de queso a un costo medio constante de 50 y 60 soles por kilo respectivamente. Si el precio de venta del primer tipo es x soles por kilo y el segundo y soles por kilo, el número de kilos que pueden venderse cada semana viene dada por N1 = 250(y — x) y N2 = 32000 4- 250(x - 2y). Demuestre que, para el máximo provecho, los precios de venta deben fijarse en 89 y 94 soles por kg respectivamente. 18.- En una tienda de alimentos se venden dos tipos de emparedados. El costo de hacerlos es de 70 céntimos y 90 céntimos respectivamente. El propietario estima que se venden en x céntimos el primer tipo y en y céntimos el segundo tipo, entonces el número de emparedados que se venderá de cada tipo será 240(y — x) y 240(150 4- x - 2y), respectivamente. ¿En cuánto debe venderse cada emparedado para obtener la utilidad máxima? R. 1 10 y 120 céntimos. 2 03 19.- Una empresa tiene tres fábricas, en cada una se elabora el mismo producto. Si la fábrica A produce x unidades, la fábrica B y unidades y la fábrica C produce z unidades, y sus respectivos costos de producción son: 3x2 4- 200, y 2 + 400, 2z2 + 300; y si hay un pedido de 1100 unidades, ¿cómo debe distribuirse la producción entre las tres fábricas a fin de minimizar el costo de producción total?. R. A = 200, B = 600 y C = 300. 20.- La fábrica Pallancos S.A. planea vender un nuevo producto a S/. 15 la unidad y estima que si invierte x miles de nuevos soles en desarrollo e y miles de nuevos soles en publicidad, los consumidores compran aproximadamente 540y 160x —r— - H— ---- unidades del producto al mes. y 2 + 9 x 2 + 4 F Si el costo de fabricación de este producto es S/. 5 por unidad, ¿cuánto debería invertir la fábrica en desarrollo y en publicidad para generar la mayor utilidad?. R. S/. 2500 en desarrollo y 3000 en publicidad, mensualmente. 4.2 EXTREMOS CONDICIONADOS El matemático fránces J.L. Lagrange ideó un procedimiento para el problema de determinar máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a condiciones de enlace o restricciones. Este método se conoce como Método de Multiplicadores de Lagrange. Por ejemplo, para hallar la distancia mínima de un punto de la superficie #(x; y; z) = 0 al origen, debemos minimizar la función d 2 = /( x ; y; z) = x 2 + y 2 + z 2 sujeta a la condición ,g(x;y;z) = 0. Una condición como ésta es llamada condición de enlace. En general, se tiene la siguiente definición: Definición 7.- Sea / : D c Rn -> R una función de n variables con dominio el
conjunto D <= Rn i) Se dice que las coordenadas del punto P (xx; x2; ...; xn) "6 D satisfacen las condiciones de enlace, si existen funciones cpl t (p2, ... ,(pm\ D c Rn -> R tal
que
Í f ( P)
para todo P y P0 que satisfacen las condiciones de enlace (*).
iü) Se dice que / presenta valor mínimo condicionado en el punto Q0 G D si
/((2o) < / M ) para todo Q y Q0 que satisfacen las condiciones de enlace (*). MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Sea / : D c Rn -> R una función diferenciable en el conjunto D a Rn tal que las
coordenadas del punto P (x1#… ,x n) G D satisfacen las condiciones de enlace (*).
Para hallar los valores extremos condiciones de / sujeta a las condiciones de
enlace (*), se procede de la siguiente manera:
Paso 1.- Construir la función L de Lagrange dada por
L — L(x^;…; xn; A1: …; Am)
/ ( * 1 ‘ ■ • • > x n ) ^ l ^ P l ( * i / • • • i X n ) + ■*• + Á m (pm (X i , … X n )
donde Á1,Á2, …, Am son los multiplicadores de Lagrange.
Paso 2.- Hallar los puntos críticos de la función L, al resolver el siguiente sistema
de ecuaciones
( dL
f e = 0
dL
d ¿ ¡ ~ °
dL
{ — – = 0
dxn
dL
— = (p1(x1-,…;xn) = 0
dL
= 0 VdAm
Para resolver el sistema, eliminamos Á1, …,Am de las n primeras ecuaciones y los
resultados lo sustituimos en las m últimas ecuaciones tratando de no perder
soluciones con las simplificaciones.
2 0 5
CALCULO III
Paso 3.- De acuerdo a la naturaleza del problema, se decide si el punto crítico
corresponde a un valor máximo o mínimo condicionado de / . Es decir,
se calcula el valor de la función f en los puntos críticos; el mayor valor
es ei máximo condicionado de f y el menor valor es el mínimo
condicionado de / .
Ejemplo 19.- Halle los extremos condicionados de /( x ;y ) = x 2 + y 2 sujeto a la
condición de enlace x + y = 2.
Solución
Sea la función de Lagrange
L(x; y; A) = x 2 + y 2 4 A(x + y – 2)
Para hallar los puntos críticos de esta función, se tiene el sistema de ecuaciones
( dL
—— — 2x 4- A = 0
dx
dL
\ —— — 2y 4- A — 0
dy
dL—
= x + y – 2 = 0
Restando las dos primeras ecuaciones, se obtiene y = x, y sustituyendo en la
tercera ecuación, resulta x = y = 1.
Así, el único punto crítico es P0( 1; 1)
Ahora, para determinar su naturaleza elegimos el punto Q0(2] 0) que-satisface la
condición de enlace x 4- y — 2 = 0. Luego, se tiene
/ ( l ; 1) = 1 4- 1 = 2 y /(2 ; 0) = 4 4 0 = 4
Por tanto, la función f presenta un mínimo condicionado en el punto P (l; 1)
Ejemplo 20.- Halle los extremos condicionados de la función / ( x ; y ; z ) = xyz,
sujeta a las condiciones de enlace í ^ 1^ ‘ x + ^ z ^ ^ ■ ••(*)
lcp2 (x; y; z) = x – y – z – 8 = 0
Solución
La función de Lagrange es
L(x; y; z; A; u) = xyz 4- A(x 4- y – z – 3) 4 u(x — y – z – 8)
Para hallar los puntos críticos de la función L, se tiene el sistema de ecuaciones
2 0 6
APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES
f Lx ( x ; y : z ; A ; u ) = y z + A + u = 0 …(1)
Lv(x; y ; z; A; u) = xz + A – u = 0 … (2)
Lz(x; y; z; A; u) = xy — A – u = 0 … (3)
La ( x ; y ; z; A; u ) = x + y – z – 3 = 0 … ( 4 )
lLu (x; y ; z ; A; u ) = x – y – z – 8 = 0 … ( 5 )
Al eliminar A y u en las ecuaciones (1) y (3), se obtiene
y(x + z) = 0<=>y = 0 V x 4 z = 0
Para y = 0 no existe solución. Luego, suponiendo que y =r 0 resulta x = —z (6)
Al reemplazar (6) en (4) y (5), se tiene
( y – 2z – 3 = 0 1 1 5 1 1
[ – y – 2z – 8 = 0 ^
(11 5
Así, el único punto crítico es P0 y— ; — – ;
11\
t J
Para determinar la naturaleza del extremo condicionado, se eli^e el punto
/ l 5 5 7\
Qo ~ ~ ; — – ) que satisfaga las condiciones de enlace (*). Luego, se tiene
x / I I 5 11\ / l l w 5\ / 11\ 605
m ) = r ( T ; – – ; – T ) = (T ) ( – 2) ( – T ) = i r
„ / , /15 5 7\ /1 5 \ / 5\ / 7\ 525
f o (“픑 ~ 2 ‘ _ í) “ (t) (~ 2) (~~ 4) ~ ~32
Por tanto, la función f presenta un máximo condicionado en el punto
/ I I 5 11\
p° ( t : – 2 ; ~ t )
Ejemplo 21.- El cono z 2 = x 2 4- y 2 es cortado por el plano z = 1 4 x 4 y en una
curva C. Halle los puntos de C que están más próximos y más alejados del origen.
Solución
Sea P(x; y; z) un punto de la curva C. Luego, la distancia del punto P al origen de
coordenadas es d ( 0; P) = yjx2 + y 2 + z 2
Optimizar la función distancia es equivalente a optimizar la función distancia al
cuadrado.
Así, la función a optimizar es / ’(x ;y ;z ) = d 2(0; P) = x 2 4 y 2 4 z 2
sujeta a las condiciones d, e enl, ace ]( z = 0
Al sustituir z = 0 en la ecuación (4). se obtiene y = x = 0. Sin embargo, las
coordenadas del punto (0; 0; 0) no satisfacen la ecuación (5). De este modo
A ^ – 1, lo cual implica que x = y (ecuación (6)).
Ahora, al reemplazar y = x en las ecuaciones (4) y (5), se obtiene
2×2 = (2x + l ) 2 <=> x = – 1 + ^ V x
Así, los puntos críticos de / son
V2
CÁLCULO III
1 2
V2
1 + — ; – l + V2 y Pz
V2 V2
Luego,
f (P i ) = 6 – 4a/2 y / ( P 2) = 6 + 4V2
Por tanto, el punto Px está más próximo al origen y el punto P2 está más alejado
del origen.
Ejemplo 22.- Un disco circular tiene la forma de una región acotada por el círculo
x 2 + y 1′ = 1. Si T es la temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x; y)
del disco y 7 (x ;y ) = 2×2 4-y 2 — y, encuentre los puntos más calientes y más
fríos del disco.
Solución
La lunción a optimizar es 7 (x ;y ) = 2×2 + y 2 — y, sujeta a la condición de
enlace 0,y0 >
o o 7 x” y z^
superficie — + ^ + — = 1
H 4 8 16
a) Calcule el volumen del sólido limitado pollos
planos cartesianos y el plano tangente
al elipsoide en el punto P0.
b) Halle P0 que está sobre el elipsoide de
modo tal que el volumen del sólido sea
mínimo.
Solución
a) Puesto que P0 es un punto sobre el
elipsoide, entonces sus coordenadas
satisfacen la ecuación
G(x0; y0; z0) = 4x¿ + 2y 02 + z$ – 16 = 0
0,z 0 > 0) un punto sobre la
Fig. 4.11
2 0 9
Luego, V6 (x0; y0; z0) = (8×0; 4y0; 2z0) = 2(4×0; 2y0; z0) = Ñ es normal al
plano tangente al elipsoide en el punto Po(xQ) y0; z0). Por consiguiente, ei
plano tangente al elipsoide en P0 es
PT: 4×0(x – Xq) + 2y0(y – y 0) + z0(z – z0) = 0
PT\4 x0x + 2y0y + z0z – 1 6 = 0
Los puntos de intersección del plano tangente con los ejes coordenados son
8 \ / 16\
CALCULO III
El volumen del sólido (tetraedro) limitado por los planos cartesianos y el plano
tangente al elipsoide en P0 es
V = – (área de la base)(altura)
1 / 4 8 \ /1 6 \ 256
~ 6 \ x 0 ‘ y 0) \ z 0) 3x0y 0z 0
b) La función a minimizar es
256
sujeta a la condición de enlace
G(x0;y 0;z0) = 4xo + 2y¿ + z¿ – 16 = 0
Así, la función de Lagrange es
256
L(x0;y 0; z 0; A) = ~ ” + A(4x¿ + 2y l + z¡j – 16)
•í^oyoZo
Los puntos críticos se obtienen en el siguiente sistema de ecuaciones:
256 , 32
-r——–1- 8Ax0 = 0 <=> A = —^—
3x 2y0z0 3x¿y0z0
256 . 64
— 5h 4 Ay0 = 0 <=> a = —— —–j
3 x0y 2z0 3x0y¿z0
256
, 128
——-=■ + 2Az0 = 0 <=> A = ——–
3x0y0Zo 3x0y 0z¿
U A(x0: y0: Z0 ; A) = 4x£ + 2y¿ 4- z\ – 16 = 0 … (4)
Lx0^ 0)y 0]z0;Á) – 3xqY ” + 0 <=> A
¿yo(*o;y0; *0; *) = – 3jC2o5yu2 7 + 4Ay<> = o «• a. = – (2)
L ^ x 0-,y0:z0-,X) = – — 2 « ^ – ^ 3 …(3)
Al igualar (1) y (2), se obtiene y l = 2×1 – – ( 5 ) , y al igualar (1) y (3), se
obtiene za = 4xa … (6)
Al sustituir (5) y (6) en (4), resulta
2
4xn + 4xq 4- 4×1 – 16 = 0 <=> 12xq = 16 <=> x0 = —
210
V8 4
v l ‘ Z o _ v !
2 V8 4
APLICACIONES DE DERIVAD \S PARCIALES
y al reemplazar este valor en (5) y (6), se obtiene y0 = — ,z 0 =
Así, el único pumo crítico de f es P(), ,
\V3 v’3 V3.
Para determinar la naturaleza del extremo condicionado, se elige el punto
Qo(l; 2; 2) que satisface la condición de enlace (4). Luego, se tiene
/ 2 V8 4 \
64
V = /( 1 ; 2; 2) = y = 21,33
( 2 V8 4
Por tanto, el volumen del tetraedro es mínimo para el punto P0 — ; — ;-z=
\V3 V3 V3
Ejemplo 24.- Una organización internacional debe decidir cómo gastar los S 4000
que se le han asignado para aliviar la extrema pobreza en el departamento de
Ayacucho. Esperan dividir el dinero entre comprar trigo a $ 5 el saco y kiwicha a
$ 10 el saco. Para el número P de personas que se alimentarán se comprarán x
sacos de trigo e y sacos de kiwicha. Luego, P está dado por
x zy 2
P(x; y) = x -r 2y ‘ (10^)
¿Cuál es el número máximo de personas que pueden alimentarse, y cómo la
organización debe asignar su dinero?
Solución
La función a inaximizar es P(x; y) sujeta a la condición de enlace
Sx + lOy = 4000
Así, la función de Lagrange es
L(x;y; A) = x + 2y 4- + A(5x + lOy – 4000)
Al igualar a cero las derivadas parciales de primer orden de la función /,, se
obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
x y 2
L*(*;y;A) = l + ^ + 5A = 0 …(1)
x y
108
La(x; y; X) = 5x + lOy – 4000 = 0 … (3)
Ly (x] y; Á) — 2 + 4- 10A — 0 … (2)
Al multiplicar la ecuación (1) por 2 y restar la ecuación (2), se obtiene
CÁLCULO III
2x y 2 x 2y
– — = 0 <^> xy ( 2y – x ) = 0<=>x = 0 V y = 0 V x = 2y
Al reemplazar estos valores en la ecuación (3), se obtiene los puntos críticos
Px(0; 400), P2(800; 0) y P3(400;200)
y ¡os valores de la función P(x; y) en estos puntos son
P ( P J = P(0; 400) = 800
P ( P 2) = p ( 800; 0) = 800
P ( P 3 ) = P(400; 200) = 832
Por tanto, el número máximo de personas que pueden alimentarse es 832 y la
organización internacional debe asignar $ 2000 para comprar 400 sacos de trigo y
$ 2000 para comprar 200 sacos de kivvicha.
Ejemplo 25.- Un servicio de entrega de “paquetes establece que las dimensiones
de una caja rectangular deben ser tales que, el largo más el doble del ancho, más
el doble de la altura sea igual a 120 cm. Determine el volumen máximo de la caja
rectangular que puede enviarse.
Solución
Sea x la medida del largo, y la medida del ancho y z la
medida de la altura de la caja respectivamente.
La función a maximizar es V = x yz sujeta a la
condición de enlace
x + 2y + 2z = 120
Así, la función de Lagrange es
L(x; y; z; A) = xyz 4 A(x 4- 2y 4 2z – 120) (x > 0, y > Ü, z > Uj
Al igualar a cero las derivadas parciales de primer orden de L, se obtiene el
siguiente sistema de ecuaciones:
Lx (x; y; z; A) = y z + A = 0 … (1)
Ly(x;y; z; A) = xz + 2A = 0 … (2)
Lz(x; y; z; A) = xy + 2A = 0 … (3)
La ( x ; y;z;A) = x 4- 2y + 2z — 120 = 0 (4)
A’ resolver estas cuatro ecuaciones, se obtiene el único punto crítico
P0(40; 20; 20)
Para determinar la naturaleza del extremo condicionado, se elige el punto
Qo(40; 10; 30) que satisface la condición de enlac,e x 4 2y 4- 2z = 120. Luego,
tiene
V(P0) = 1/(40; 20; 20) = (40)(20)(20) = 16000 cm 3
V(Q0) = 1/(40; 10; 30) = (40)(10)(30) = 12000 cm3
2 1 2
Por tanto, las dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo son
largo 40 cm, ancho 20 cm y altura 20 cm.
APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES
Ejemplo 26.- Un cilindro circular recto cerrado con un
volumen de 8000 pies cúbicos se construye con dos clases
de material. La tapa y la base del cilindro se hacen de un
metal que cuesta S/. 16 el pie cuadrado. La cara lateral se
cubre con un metal que cuesta S/. 20 el pie cuadrado.
Calcule las dimensiones del cilindro para que el costo de
construcción sea mínimo.
Solución
La función de costo de construir un cilindro de radio r y altura h es
C(r; h) = 16(27rr2) 4 20(2nrh) = 32 nr 2 4 AOnrh
Como el volumen del cilindro debe ser: V = n r 2h = 8000, entonces la función
de Lagrange es
L(r; h] A) = 32 n r 2 4- 40nrh 4 A(nr2h — 8000)
Así, el sistema de ecuaciones para encontrar el punto crítico es:
Lr (r; h ; A) = 64nr 4 40nh 4 2Anrh = 0 … (1)
Lh(r ; h) X) = 407zr 4- nAr2 = 0 … (2)
LA(r; h) X) = n r 2h — 8000 = 0 … (3)
Al multiplicar la ecuación (1) por r y (2) por 2/i, y restar estos resultados, se
obtiene
5
647irA — 40nrh = 0 <=> Qnr(Qr – 5 h) = 0 « r = 0 V r = – h
5
Puesto que r = 0 no satisface la ecuación (3) se toma r = —h y se sustituye en
(3).
80 50
De donde resulta h = ■■■■..—- , r = —……
V257T V257T
/ 50 80 \
Luego, el único punto crítico es P0 I 3 ; j – ….. – 1
W257T v257i/
Por tanto, el costo mínimo de construcción es
= 9600V 25tt = 5/.41111,9295
VV 2 5 í r \Í25n ‘
2 13
CÁLCULO III
EJERCICIOS
1.- Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximo y mínimo
de la función, sujeto a la restricción dada.
a) /’O ; y) = 2 5 — x 2 – y 2, x 2 4 y 2 – 4y = 0
R. Valor mínimo /(O; 4) = 9 Valor máximo /(O; 0) = 25
b) f(x ; y) = xy, x 2 4 y 2 = 4
c) /( x ; y) = x 2 4 2y2 4 3xy + 1, x — y = 1
/ 7 5 \ 23
R.Valor máximo / ; — — J = —
d) /(x ; y) = 3x 3 4- y 3 + x 2y, x 4- y = 10
/10 20\
R. Valor máximo / ( —30; 40) = 19000. Valor mínimo / ; — J = 481,48
e) /(x ; y) = x 2 4 12xy 4 2y2, 4×2 4- y 2 = 25
0 f( x; y; z) = x 2 4 y 2 4 z 2, 3x — 2v 4 z — 4 = 0
g) / (x; y; z) = x 2 4- xy 4 y 2 4- 3z2, x 4 2y 4 4z = 60
1 1 1
h) / (x; y; z) = xyz, — H—–f – = 1 R. (3; 3; 3) es punto crítico.
x y z
i) / (x; y; z) = a (a — x )(a — y )(a — z), x 4 y + z = 2a (a > 0)
/2 a 2a 2 a\
es punto crítico.
V 3 3 j /
j) /( * ; y; z) = + y 3 + 2z3 ; X2 4 y 2 4 z 2 = 4, (x – 3 )2 4 y 2 4 z 2 = 4
2.- Encuentre los puntos de la curva de intersección del elipsoide
x” 4 4 y 2 4 4 z2 = 4 con el plano x – 4y – z = 0, que están más cercanos del
origen de coordenadas. Encuentre la distancia mínima.
3.- Sea & la curva de intersección entre las dos superficies
x 2 – xy 4 y 2 — z 2 = 1, x 2 4 y 2 = 1
Halle los puntos de la curva £ que están más cerca del origen de coordenadas
R. (0; ±1; 0) y (± 1 ;0 ;0 )
4.- Encuentre un punto de la superficie xyz = 25 en el primer octante que hace
que Q = 3x 4- 5y 4 9z sea mínimo
R. ( 5 : 3 | )
2 1 4
5.- ¿Qué punto de la esfera x 2 4- y 2 4 z 2 = 4 se encuentra más alejado del punto
i 4 ( l ; – l ; l ) ? R. 2V3(—1; 1; —1)
APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES
6.- ¿Cuál es el máximo volumen de una caja rectangular, si la suma de las
longitudes de las aristas es a?
c 3
R. V =
a
12^
7.- Determine el radio y la altura del cilindro de máximo volumen que puede
inscribirse en una esfera de radio a.
V2 a 2
R. r = —— , h = —— a
V3 V3
8.- Encuentre los puntos de la curva C: x 4 + y 4 + 3xy = 2, que están más
cercanos y más alejados del origen de coordenados.
/ V2 V 2 \
R. Más cercanos A\ ± — ; ± — I, más alejados £ (± V 2; ±V2)
9.- El costo de taladrar un túnel a través de
un cerro es proporcional al cuadrado de
la longitud del túnel. Se debe excavar
dos túneles rectos desde los puntos Px y
P2 exteriores de un volcán hasta un
punto común Q en la orilla de su lago
circular interno. Trazando coordenadas
se obtiene el lago como x 2 4 y 2 = 1 y los puntos Px y P2 como (4;5) y (2;3)
respectivamente. Halle Q de modo que minimice el costo.
10.- Una caja rectangular debe tener una base de aluminio, lados de cartón y tapa
de plástico. Los costos por d m 2 de aluminio, cartón y tapa de plástico son de
20, 4 y 7 soles respectivamente. Si el volumen debe ser 27 d m 3, ¿qué
dimensiones minimizarán el costo de la caja?.
1.- Una caja rectangular sin tapa y sin fondo debe tener un volumen de V pies3.
Determine las dimensiones de la caja para que el área superficial sea mínima.
R. minimizar S = 2z(x 4- y) sujeto aV = xy z
2 1 5
CÁLCULO III
12.- La temperatura en cualquier punto (x;y) de la curva 4 x 2 -f 12y2 = 1 es T
grados y T = 4x 2 + 24y2 — 2x
Encuentre los puntos en la curva donde la temperatura es máxima y donde es
mínima. También encuentre la temperatura en esos puntos.
R. Máx. en A y m í n . e n B ^ – ; 0^
13.- La empresa Pallancos vende dos productos: Vifer y Difer. Su utilidad en
soles al vender x unidades de Vifer e y de Difer es
U (x; y) = 20x + 40y — 0 ,l(x 2 + y 2)
Si la empresa puede vender un máximo de 400 unidades de los dos productos,
¿qué combinación le producirá la máxima utilidad?
R. Vender 150 unidades de Vifer y 250 unidades de Difer.
14.- Un fabricante puede producir tres productos distintos en cantidades Ql9 Q2,
Q3 respectivamente y de aquí extraer un beneficio de
U(Q1;Q2:Q3) = 2Qi + 8Q2 + 24Q3
Halle los valores de Qt , Q2, Q3 que hacen máximo el ^beneficio, si la
producción está sujeta a la condición Q2 + 2Q2 + 4Q2 = 4500000000
R. Q1 = 10000, Q2 = 20000, Q3 = 30000
15.- Supóngase que una compañía produce dos artículos similares y que ejerce el
monopolio del mercado para dicho artículo. Además, supóngase que las
demandas de esos dos artículos a los que se designará por x e y,
respectivamente, como funciones de su precio p y q, están expresadas por
x = /( p ; q) y y = g ( p ; q). Si se designa con C (x;y) el costo que representa a
la compañía de producir esas cantidades de los dos artículos, la función
utilidad estará expresada por P = px + qy – C(x; y). Si los costos de
producción son de S/. 300 por unidad del primer artículo, S/. 200 por unidad
del segundo, y si las ecuaciones del precio-demanda son: x = 600 — 2p 4* q,
y = 800 -f p — 3q, halle los precios que maximizan la utilidad e indique cuál
es su valor máximo.
16.- Las normas postales vigentes de un país establecen que se puede enviar por
correo un bulto rectangular de aristas x , y , z pulgadas, siendo x < y < z, sólo si 2(x + y) 4- z es igual a 120 pulgadas. Si un cierto producto que pesa 10 libras por p ul 3 debe ser despachado por correo, determine qué cantidad 2 1 6 APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES máxima de tal producto podrá ser transportada en 12 paquetes postales en tales condiciones. 17.- Los cursos de dos ríos (dentro de los límites de una región determinada) representan aproximadamente una parábola y = x 2 y una recta x – y – 2 = 0. Hay que unir estos ríos por medio de un canal rectilíneo que tenga la menor longitud posible. ¿Por qué puntos del plano habrá que trazarlo? *■*&?)• *(r-D 18.- Se sabe que en la producción de cierto artículo se usa la siguiente ley: f (x ) y) = x 2 + (y – 2)2 en la que x e y están dados en kilogramos y son los insumos necesarios que están relacionados según la ecuación x 2 = 1 + y 2. Se pide averiguar para qué valores de x e y la producción es máxima y para qué valores es mínima. 19.- Un recipiente se construye con un cilindro recto de radio 5 pies y con tapas en forma de cono en los extremos del cilindro. Si el volumen total es V pies cúbicos, halle la altura H del cilindro y la altura h de cada una de las tapas cónicas de manera que el área de la superficie total sea la menor posible. V 4ttV5 R. h = 2i/5 , H = – ~ — 20.- Una sonda espacial de forma del elipsoide 4 x 2 + v 2 4- 4 z2 = 16 entra en la atmósfera de la tierra y su superficie comienza a calentarse. Pasada una hora, la temperatura en el punto (x; y; z) sobre la superficie de la sonda es 7 (x ;y ;z ) = 8×2 + 4yz – 16z + 600. Determínese el punto más caliente de la sonda. /4 4 4\ n í 4 4 4\ \3 ‘ 3 ; ~ 3/ y v 3 : ~ 3 ’ ~ 3/ 2 1 Sea C la curva de intersección de las superficies Sx: x 2 + z 2 = 2 y , S2: x – y + z + 3 = 0 Encuentre los puntos de la curva C que están más alejados y más cercanos al plano XZ. R. Px(3; 9; 3) es el punto más alejado y P2(- 1 ; 1; – 1 ) el más cercano. 22.- Un fabricante tiene S/. 80000 para invertir en desarrollo y publicidad de un nuevo producto. Se estima que si se invierten x miles de soles en desarrollo e y miles de soles en publicidad, se venderán aproximadamente 2 1 7 V ( x \ y ) = 20x 3/2y unidades. ¿Cuánto dinero debería asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a publicidad para maximizar las ventas? R. S/. 48000 a desarrollo y S/. 32000 a publicidad 23.- Si T (x ;y ;z) = x -f 2y + 3z representa la temperatura en cada punto del cilindro x 2 + y 2 — 2 = 0, halle las temperaturas extremas en la curva formada por la intersección del plano y + z = 1 y el cilindro. R. Temperatura mínima en A(-1;1;0) y máx. en B(l;-1;2) 24.- Una empresa planea gastar 10000 dólares en publicidad en radio y televisión. Se sabe que el minuto de publicidad en la televisión cuesta 3000 dólares, mientras que en la radio cuesta 1000 dólares. Si x es el número de minutos de publicidad que contrata en la televisión e y el número de minutos que contrata en la radio, su ingreso por ventas es G(x;y) = — 2 x 2 — y 2 4- x y + 4x + 6y + 10 ¿Cuántos minutos debe contratar en radio y cuánto en televisión para maximizar su ingreso por ventas? R. 2 minutos en TV y 4 minutos en radio. 25.- En un experimento de aprendizaje, a un estudiante se le dan x minutos para examinar una hoja de datos. Dicha hoja de información se retira entonces y al estudiante se le permite y minutos para prepararse mentalmente para un examen basado en la hoja de información. Suponga que se encuentra que la calificación alcanzada por el estudiante está dada por la expresión A(x\ y) = 2* 3/2y 1/2 ¿Cuál será la calificación máxima del estudiante si para examinar la hoja y prepararse mentalmente utilizó 12 minutos? R. 54V3 = 93,5 puntos. 26.- Un granjero planea cercar 7200 m 2 de terreno que tiene la forma rectangular, uno de cuyos lados limita con un río. Si solo debe cercar los tres lados no adyacentes al río, ¿cuál es la menor cantidad de cerco necesario para completar el trabajo? R. 240 m.