ANGULOS NOTABLES Y RAZONES TRIGONOMETRICAS EJERCICIOS DE MATEMATICA 10–DECIMO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DEOperaciones con ángulos, Relaciones angulares,Ángulos internos en polígonos regulares,Medida de ángulos,Ángulos orientados,Razones trigonométricas de un ángulo agudo,Razones trigonoméricas de los ángulos de , Resolución de triángulos y rectángulos, Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera , Circunferencia goniométrica ,Propiedades y relaciones de las razones trigonométricas , Ángulos coterminales, Ángulos cuadrantales , Reducción al primer cuadrante,
Prerrequisitos
Recuerda
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• Un ángulo puede interpretarse de dos maneras
diferentes:
• Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un
ángulo recto. Sus lados reciben
nombres especiales:
Hipotenusa: lado opuesto al ángulo
recto.
Catetos: cada uno de los lados
que forman el ángulo recto.
• Decimos que dos triángulos
ABC y son semejantes
si tienen los ángulos iguales y
los lados proporcionales.
Evaluación diagnóstica
• Expresa 35° en forma incompleja de segundos
y 32 046 en forma compleja.
• Calcula el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 25 cm y 32 cm.
• Enuncia los criterios de semejanza de triángulos.
— ¿Cómo se enuncian estos criterios en el caso
de triángulos rectángulos?
• Calcula las medidas que faltan
en la figura de la derecha.
• Representa en un sistema de
coordenadas cartesianas los
puntos (0, 0), (−1, −4) y (−5, 2).
— Dibuja un triángulo con vértices en estos puntos
y calcula las longitudes de sus lados.
Destrezas con criterios de desempeño
Revisarás tus conocimientos sobre los ángulos y su medida, conocerás las razones trigonométricas de un ángulo
cualquiera y las relaciones que se establecen entre éstas.

DDCCDD
Es la región del plano limitada
por dos semirrectas que tienen
el mismo origen.
Es la región del plano barrida
por una semirrecta que gira
respecto de su origen desde
una posición inicial hasta una
posición final.
Cateto
Hipotenusa
Cateto

Vértice
Lado
Lado
Semirrecta generatriz
Posición
inicial
Posición
final
• Reconocer ángulos complementarios; suplementarios;
coterminales y de referencia en la resolución
de problemas.
• Calcular medidas de ángulos internos en polígonos
regulares de hasta seis lados para establecer
patrones.
• Definir las razones trigonométricas en el triángulo
rectángulo.
• Aplicar las razones trigonométricas en el cálculo
de longitudes de lados de triángulos rectángulos.
• Realizar conversiones de ángulos entre radianes
y grados.
• Reconocer medidas en radianes de ángulos notables
en los cuatro cuadrantes.
• Utilizar el lenguaje geométrico para interpretar y
transmitir información.
• Aplicar los conceptos elementales de la trigonometría
a la resolución de problemas de la vida cotidiana.
• Apreciar las importantes aplicaciones de la trigonometría
en la determinación de alturas y distancias.
• Valorar el uso de recursos tecnológicos como la calculadora
y el ordenador en el trabajo con razones
trigonométricas.
114
Ángulos consecutivos Ángulos adyacentes
Los ángulos ^A y ^B tienen en común el vértice y uno
de los lados.
Los ángulos ^C y ^D son consecutivos y sus lados
no comunes forman un ángulo llano.
1 Operaciones con ángulos
Dos ángulos reciben diferentes nombres según su posición. Observa:
Para sumar dos ángulos, se transporta uno a continuación
del otro de manera que resulten ángulos consecutivos.
Para restar dos ángulos, superponemos el menor al mayor
de modo que tengan un lado y el vértice comunes.
Multiplicación por un número natural División por un número natural
Suma Resta
Para multiplicar un ángulo por un número natural, sumaremos
tantas veces el ángulo como indica dicho número.
Dividir un ángulo por un número natural es hallar otro ángulo
que multiplicado por dicho número dé el primero.
Recuerda que en el caso particular en que dividimos el
ángulo en dos partes iguales, la semirrecta obtenida
es la bisectriz del ángulo.
A + =
B
B A
B+ A
2A
A A
A 2A
4
4
B
B
B B
A = B B
A
A– B
Los ángulos pueden sumarse, restarse, multiplicarse por un número natural y dividirse por un número
natural. Veamos cómo efectuar gráfica y numéricamente estas operaciones.
^A = 60°
^B = 20°
^A = 60°
^B = 20°
^A +
^B = 80° ^A −
^B = 40°
^A = 30° 2 ⋅
^A = 60°
O
B
A
Lado común
O
C
D
Lado común
^
B = 120°
^
B
4
= 30°
A
A
4
A
A+B
B
B B
B
B
A–B 3B
a b c d
Dados los ángulos ^
A y ^
B, efectúa gráfica y numéricamente:
a) ^A +
^B
c) 3 ⋅
^B
b) ^A −
^B
d) ^A ÷ 4
ejemplo 1
A = 60∞ B = 25∞
Resolución gráfica:
Transportamos los ángulos de la manera conveniente.
Resolución numérica:
a) 60° + 25° = 85°
b) 60° − 25° = 35°
c) 3 · 25° = 75°
d) 60
4
° 15
= °
Dado un ángulo, podemos definir su ángulo complementario y su ángulo
suplementario de esta manera:
Ángulos complementarios Ángulos suplementarios
A
Ángulos
complementarios
B ^A + ^B = 90° C
Ángulos suplementarios
D
^C
+ ^D = 180°
Los ángulos ^A y^B son complementarios porque suman 90°. Los ángulos^C y^D son suplementarios porque suman 180°.
1.1. Relaciones angulares
Veamos a continuación las relaciones entre ángulos y las propiedades que nos permiten determinar si
dos ángulos son iguales o si son suplementarios sin necesidad de efectuar ninguna operación.
Los dos ángulos son agu dos. Los dos ángulos son obtusos. Un ángulo es agudo y el otro, obtuso.
Ángulos de lados paralelos
^A
=
^B
^A
=
^B
^A
=
^C
^A
+
^B
= 180° ^B +
^C
= 180°
Ángulos opuestos por el vértice
^A
= 180° −
^D
^A
=
^C
^C
= 180° −
^D
A B
A B A
B
C

Dos ángulos opuestos por el vértice son de igual medida.
Dos ángulos de lados paralelos son iguales si los dos son agudos o si los dos son obtusos, y son
suplementarios si uno es agudo y el otro es obtuso.
C A
D
B
^A
y ^Dson adyacentes, por tanto, ^A +
^D= 180°.
^C y ^Dson adyacentes, por tanto, ^C +
^D= 180°.
Del mismo modo se obtiene ^B =
^D.
Los ángulos ^A y ^C tienen el mismo
vértice y los lados de uno son la prolongación
de los del otro. Son ángulos
opuestos por el vértice.
También los ángulos ^B y ^D son opuestos
por el vértice.


Los dos ángulos son agudos. Los dos ángulos son obtusos. Un ángulo es agudo y el otro, obtuso.
Ángulos de lados perpendiculares
^A +
^C
= 90° ^A =
^B
^B
+
^C
= 90°
^C
=
^D
^A =
^C
+ 90°
^A
=
^B
^B
=
^D
+ 90°
^A
+
^C
= 180° ^A +
^B
= 180° ^C =
^B
A
B
C
C A
D
B A
C
B
⎫⎬⎭
⎫⎬⎭
⎫⎬⎭
Dos ángulos de lados perpendiculares son iguales si los dos son agudos o si los dos son obtusos, y
son suplementarios si uno es agudo y el otro es obtuso.

116
Correspondientes Alternos internos Alternos externos Opuestos por el vértice
Adyacentes Conjugados internos Conjugados externos
Ángulos determinados por dos paralelas y una secante
^A
y ^H
^B
y ^G
^C
y ^F
^D
y ^E
^A
y ^B
^A
y ^D
^B
y ^C
^C
y ^D
^E
y ^F
^E
y ^H
^F
y ^G
^G
y ^H
Al cortar dos rectas paralelas por una recta secante se determinan ocho ángulos. Estos ángulos guardan entre sí
diferentes relaciones según la posición que ocupan. Observa:
Dos ángulos adyacentes son suplementarios.
Dos ángulos correspondientes
son iguales.
Dos ángulos alternos
internos son
iguales.
Dos ángulos alternos
externos son
iguales.
Dos ángulos opuestos
por el vértice
son iguales.
Dos ángulos conjugados
internos son su –
plementarios.
Dos ángulos conjugados
externos son suplementarios.
   
  
A
C
B
D
G
H
E
F
C
D E
F
A
B H
G
C
B
D
H
G
F
E
A
G
A
D
H
E
C F
B
C F
D E
B
A
G
H
Razona y responde:
—¿Todos los ángulos consecutivos son adyacentes?
¿Y al revés?
—¿Todos los ángulos suplementarios son adyacentes?
¿Y al revés?
Dibuja el ángulo complementario y el suplementario
de cada uno de los siguientes ángulos.
Determina numéricamente sus valores.
Justifica las relaciones entre ángulos alternos internos
y alternos externos a partir de las relaciones
entre ángulos correspondientes y entre ángulos
opuestos por el vértice.
En la figura de la derecha, determina los pares de
ángulos iguales.
—Justifica tu respuesta.
2
1 3
4
Actividades 
A = 40∞ B = 80∞
A
B
C
E
D
F
^A
y ^C
^B
y ^D
^E
y ^G
^F
y ^H
^A
y ^G
^B
y ^H
^C
y ^E
^D
y ^F
^A
y ^E
^D
y ^H
^B
y ^F
^C
y ^G
2 Ángulos internos en polígonos regulares
Recordemos que un polígono es la figura plana limitada por lados rectos.
Un polígono es regular si todos sus lados y sus
ángulos internos son de igual medida.
El polígono de menos lados es el triángulo y si
es regular se trata de un triángulo equilátero (y
equiángulo).
Como la suma de las medidas de los ángulos internos
de todo triángulo es 180°, se deduce que los
ángulos internos del triángulo equilátero miden 60°.
El polígono regular de cuatro lados es el cuadrado;
si trazamos una diagonal desde cualquier vértice,
se forman dos triángulos. La suma de las
medidas de los ángulos internos de los dos triángulos,
que a su vez es la suma de las medidas de
los ángulos internos del cuadrado, es 360°, de
ello se deduce que cada ángulo interno del cuadrado
mide 90°.
El polígono regular de cinco lados, el pentágono
regular, forma tres triángulos al trazar dos diagonales
desde cualquier vértice, con ello se afirma
que la suma de las medidas de los ángulos
internos de los tres triángulos, que corresponden
a la suma de las medidas de los ángulos internos
del pentágonos de 540° y se deduce que
cada ángulo interno
mide 108°.
El polígono regular de seis lados, el hexágono regular,
forma cuatro triángulos al trazar tres diagonales
desde cualquier vértice, con ello concluimos
que la suma de las medidas de los ángulos
internos del hexágono es 720° y cada ángulo interno
mide 120°.
Verifica con la fórmula el valor de las medidas de los ángulos internos
para en triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular y hexágono
regular.
Calcula la suma de los ángulos de un eneágono. ¿Cuánto mide cada ángulo
si se trata de un polígono regular?
Calcula cuánto mide cada uno de los ángulos de un pentágono regular. Con
ayuda de un graduador, traza un pentágono regular de 3 cm de lado.
7
6
5
Actividades 
La suma de los ángulos de
un triángulo es 180°.
Para comprobarlo, recorta
un triángulo y procede del
mismo modo que se indica
en la fi gura.
Sea cual sea el triángulo,
siempre podrás formar un
ángulo llano, es decir de
180°.
MUCHO OJO 

La suma de los ángulos de un polígono de n lados es igual a:
180° · (n − 2)

118
Centro, apotema y ángulo central de un polígono regular
Los polígonos regulares exclusivamente tienen elementos característicos,
estos son: el centro, las apotemas y los ángulos centrales.
El centro del polígono regular es el punto interior del mismo que equidista
de todos los vértices.
La apotema del polígono regular es el segmento de recta que une el centro
del mismo con el punto medio de cualquier lado, la apotema y su lado
correspondiente son perpendiculares.
El ángulo central de un polígono regular tiene por vértice el centro del
mismo y por lados dos segmentos de recta que unen el vértice con dos
vértices adyacentes del polígono.
Observa que todas las apotemas de un polígono regular miden lo mismo,
es decir son congruentes entre sí.
Diremos que hay tantos ángulos centrales como lados del polígono.
Puesto que todos los ángulos centrales suman 360° y son iguales, tenemos
que la medida de cada uno de ellos se calcula al dividir los 360° para
el número de lados del polígono.
Razona porque en el caso del hexágono regular, si se trazan sus diagonales,
se forman seis triángulos equiláteros.
Calcula el valor del ángulo central de un pentágono regular.
 = 360° ÷ 5
 = 72°
ejemplo 2
Dibuja un cuadrado y halla su centro. A continuación,
dibuja un ángulo central y una apotema.
¿Cuánto mide el ángulo central? ¿Qué relación
existe entre la apotema y el lado del cuadrado?
Determina el valor del ángulo central de un octógono
regular.
¿Es posible que el ángulo central de un decágono
regular mida 30°? Razona tu respuesta.
Halla las medidas de los ángulos señalados en el
siguiente octógono regular.
11
10
9
8
Actividades 
C
A
B
Punto interior del polígono
que está a la misma distancia
de todos sus vértices.
Segmento que une el centro
del polígono con el punto
medio de cualquier lado.
Centro
Apotema
Ángulo con vértice en el
centro del polígono cuyos
lados son semirrectas que
pasan por dos vértices
adyacentes.
Ángulo central
Ángulo Centro
central
Apotema
Equidistar: que está a la
misma distancia.
MUCHO OJO 
3 Medida de ángulos
Si consideramos los ángulos como región del plano, conviene
observar que dos rectas perpendiculares en el plano forman
cuatro ángulos iguales. Cada uno de estos ángulos es
un ángulo recto.
A partir del ángulo recto, se definen las unidades de medida
de ángulos.
La unidad de medida que utilizamos habitualmente para medir ángulos es el grado
sexagesimal (°).
Un ángulo recto mide, por tanto, 90° y el ángulo central de una circunferencia
mide 360°.
La unidad de medida de ángulos en el SI, que también se utiliza con frecuencia,
es el radián (rad).
Puesto que la longitud de la circunferencia es 2π r, ésta
contiene 2π veces la longitud del radio, luego:
360° = 2π rad
Esta equivalencia permite pasar de grados a radianes y viceversa, tal y como
se muestra en el ejemplo siguiente.
Indica cuánto miden, en grados sexagesimales, los
ángulos interiores de:
a) Un triángulo equilátero.
b) Una escuadra y un cartabón.
Pasa estos ángulos de grados a radianes.
a) 12° b) 180° c) −60°
— A continuación, pasa de radianes a grados.
d) e) f) 1,5 π 4 rad
3
π rad π
5
rad
12 13
Actividades 
Un grado sexagesimal es el ángulo obtenido al dividir el ángulo recto
en 90 partes iguales.

Un radián se define como la medida del ángulo
central de una circunferencia que abarca un
arco de longitud igual a la del radio.

Efectúa las transformaciones de unidades angulares.
a) De 45° a radianes. b) De a grados sexagesimales.
5
12
5
12
360
2
75 π π
π
rad rad
rad
= · ° = °
5
12
rad π
45 45
2
360 4
° = °
°
· =
π rad π
rad
ejemplo 3
Los ángulos pueden clasificarse
según su amplitud o
medida en:
MUCHO OJO 
Ángulo recto:
90°
Ángulo agudo:
< 90° Ángulo obtuso: > 90°
Ángulo nulo:

Ángulo llano:
180°
Ángulo completo:
360°
120
3.1. Ángulos orientados
Si consideramos los ángulos como giros, cabe tomar en consideración el sentido
del giro.
Para representar un ángulo orientado, utilizamos
un sistema de coordenadas cartesianas.
Hacemos coincidir el lado origen del ángulo con el
semieje positivo de las abscisas. La posición del lado
extremo dependerá de la amplitud del ángulo y de
su signo.
Los ángulos se clasifican según el cuadrante al que pertenece su lado extremo.
Así, por ejemplo, el ángulo de 150º es un ángulo del segundo cuadrante y
el ángulo −45º del cuarto cuadrante (fig. 1).
3.2. Reducción de un ángulo al primer giro
Al considerar los ángulos como giros, es posible definir
ángulos mayores de 360º.
Consideremos, por ejemplo, un ángulo de 420º. Para
girar 420º hemos de efectuar una vuelta completa y
60º más.
Así pues, la representación de un ángulo de 420º
coincide con la de un ángulo de 60º, y decimos que 60º
es el resultado de reducir al primer giro el ángulo
de 420º. Es decir el ángulo de 60º es coterminal con el de 420º.
Luego, para reducir un ángulo al primer giro, dividiremos la medida del ángulo
entre 360º para saber cuántas vueltas completas contiene. El resto de la división
nos proporciona el ángulo equivalente del primer giro.
Representa e indica a qué cuadrante pertenece cada uno de estos ángulos, reduciéndolos al primer giro en caso
necesario.
a) 257º b) −73º c) 420º d) 135º e) −270º f) 1845º g) −870º
14
Actividades 
Si el sentido de giro es contrario
al movimiento de las
agujas del reloj, el ángulo
es positivo.
Si el sentido de giro coincide
con el del movimiento de
las agujas del reloj, el ángulo
es negativo.
O
A′
A
15o
O
A′
A
15o
O Lado origen
y
x
Lado extremo
O
y
x
60o
240o
y
O x
150o
—45o
■ Fig. 1
Los ejes de coordenadas dividen
el plano en cuatro regiones que
reciben el nombre de cuadrantes
y que se enumeran según se indica
en la figura siguiente.
MUCHO OJO 
Reduce al primer giro un ángulo de −2295º, represéntalo
e indica a qué cuadrante pertenece.
Efectuamos la división entre 360º.
2295 360
135 6 ⇒ −2295º = − 6 360º − 135º
Luego, el ángulo de −2295º equivale al de −135º.
Situamos el lado origen del
ángulo sobre el semieje positivo
de las abscisas y giramos
135º en el sentido de
las agujas del reloj.
Observa que el ángulo representado
pertenece al
tercer cuadrante.
ejemplo 4
O
y
x
3. cuadrante –135o er
y
x
2.° 1.°
3.° 4.°
O
4 Razones trigonométricas
de un ángulo agudo
En un triángulo rectángulo pueden establecerse ciertas relaciones entre un ángulo
agudo y sus lados. La trigonometría es la parte de las matemáticas que
trata de la relación entre las longitudes de los lados y las amplitudes de los ángulos
de un triángulo.
Fíjate en el ángulo agudo  que hemos indicado
del triángulo rectángulo OAP de la
figura de la derecha. Los cocientes entre
las longitudes de dos lados cualesquiera
de este triángulo se denominan razones
trigonométricas de .
Considera ahora los triángulos OAP y OAP de
la figura de la derecha. Ambos son semejantes a
OAP por ser triángulos rectángulos y tener el ángulo
 común.
Entonces se cumple que la razón entre la longitud
del cateto opuesto al ángulo  y la de la hipotenusa
es la misma para cada uno de los triángulos,
es decir:
Luego el seno del ángulo  es independiente del triángulo rectángulo escogido. Lo
mismo sucede con su coseno y con su tangente.
Observa que las razones trigonométricas de un ángulo son adimensionales, ya
que están definidas como el cociente entre dos longitudes.
Además, se pueden definir sus razones trigonométricas inversas.
AP
OP
A P
OP
A P
OP
  
 

 

sen 
A
P
O A A
P
P
Las calculadoras científicas
poseen teclas que permiten obtener
las razones trigonométricas
de un án gulo.
Si queremos calcular, por ejemplo,
sen 53º 15 tecleamos:
En la pantalla aparece:
Así, sen 53º 15  0,801.
Para calcular el coseno o la tangente,
sustituimos la tecla del
seno por las correspondientes
del coseno y de la tangente.
También podemos hallar el valor
de un ángulo conocida una de
sus razones trigonométricas. Así,
si sen   0,75; debemos aplicar
su función inversa que el arc
sen.
arc sen (sen ) = arc sen (0,75)
= arc sen (0,75)
= 48,59037789
En la calculadora tecleamos:
En la pantalla aparece:
Así, 48,590 es un ángulo cuyo
seno es 0,75.
La función inversa del coseno es
el arc cos, de la tangente es el
arc tan y para encontrar el valor
del ángulo, procedemos de
forma similar al ejemplo del sen
.
sin 3 5 ,, , 1 5 =  ,, , 
La razón entre la longitud
del cateto opuesto al ángulo
 y la de la hipotenusa
se llama seno del
ángulo  y se escribe
sen 
sen  =
AP
OP
La razón entre la longitud
del cateto contiguo al
ángulo  y la de la hipotenusa
se llama coseno
del ángulo  y se escribe
cos .
cos  =
OA
OP
La razón entre la longitud
del cateto opuesto al
ángulo  y la del cateto
contiguo se llama tangente
del ángulo  y se
escribe tg .
tan  =
AP
OA
Seno Coseno Tangente
csc = 1
sen


sec = 1
cos


cot = 1
tan


Cosecante Secante Cotangente
LAS TIC Y LA MATEMÁTICA
SHIFT 0 . 7 5 = sin
122
Razones trigonométricas de los ángulos de y
4.1. Razones trigonométricas de los ángulos de , y
Existen tres ángulos agudos cuyas razones trigonométricas pueden obtenerse
a partir de construcciones geométricas sencillas. Son los ángulos de 30º, 45º
y 60º o , y en radianes.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm
y 8 cm.
Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos
agudos.
Construye un triángulo rectángulo sabiendo que la
tangente de uno de sus ángulos agudos es .
15 16
Actividades
Aplicamos el teorema de Pitágoras a uno de estos triángulos para hallar
el valor de d.
Así pues, las razones trigonométricas del ángulo de 45º son:
Y, las razones trigonométricas del
ángulo de 60º son:
Así pues, las razones trigonométricas
del ángulo de 30º son:
Consideremos un cuadrado de lado la unidad.
La diagonal del cuadrado lo divide en
dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos
agudos miden 45°.
Consideremos un triángulo equilátero de lado
la unidad. La altura lo divide en dos triángulos
rectángulos iguales, cuyos ángulos
agudos miden y .
Aplicamos el teorema de Pitágoras a uno de
esos triángulos para hallar el valor de h.
6 6
3 3
4
4
4
4
Razones trigonométricas del ángulo de
Expresa las razones trigonométricas del ángulo  de la figura.
Calculamos la medida del lado AP:
ejemplo 5
4 cm
5 cm
O A
P
h 1
1
2
3
4
3
2
2
2
d 12 12 2
sin cos tan
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
4 4 4
AP 52 42 9 3
sen cos
cotg
3
5
4
5
3
4
5
3
5
4
4
cosec sec
3
sen
1
2
1
1
6 2
6
cos
3
2
1
3
2
6
tan
1
2
3
2
1
3
3
3
sen
3
2
1
3
3 2
3
cos
1
2
1
1
2
3
tan
3
2
1
2
3
6
6
4
3
3
6

4

3

6
4
3
2 3
sen
csc
cot

tan


 

 

El teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas nos permitirán, una vez
conocidos algunos de los lados o de los ángulos de un triángulo rectángulo, hallar
los restantes; es decir, resolver el triángulo.
La tabla siguiente resume los diferentes casos que pueden presentarse en la resolución
de triángulos rectángulos.
Los datos y las incógnitas hacen referencia a la figura 2.
C b A
B
a
c
C
B

 
Dados la hipotenusa y un cateto  
 
Dados dos catetos
  
 Dados la hipotenusa y un ángulo agudo 
 
 Dados un cateto y un ángulo agudo
Datos Incógnitas Fórmulas


^


tan 



tan



 2 2
cos    
4
5
36,87°
sen  
4
5
4
5
arcsen 53,13°
 52
42  9  3 cm
 
12
5
67,38°
 122 52  169  13 cm
C b = 4 cm A
B
a = 5 cm
C b = 12 cm A
c = 5 cm B
Datos Incógnitas Fórmulas


^


 2
2
cos 



sen



^ ^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^
^
  
  
!” 
Los datos son  5 cm y   4 cm.
Debemos calcular , ^ y ^.
  #
 $  
Los datos son   12 cm y  5 cm.
Debemos calcular , ^ y ^.
Datos Incógnitas Fórmulas


^



   cos ^
  sen ^
^  90°

^
Datos Incógnitas Fórmulas


^


  90°

^




tan




sen ^
Datos Incógnitas Fórmulas




   tan

^  90°






cos
 
  ” #
%&
Los datos son   4 cm y ^  50º.
Debemos calcular ! y ^.

  90º

^  90º
50º  



4
tan50
3,36 cm



4
sen 50
5,22 cm
 
  ’ 
(%&
Los datos son  3 cm y ^  70º.
Debemos calcular ! y ^ .
  3  cos 70°  !
 3  sen 70°  !”
^  90º
70º  
C A
B
a = 3 cm
70
C b = 4 cm A
B
50
   
5
12
22,62°
^
^
tan
tan
124
Aplicaciones. Determinación de alturas y distancias
A continuación, veremos unos ejemplos de una de las aplicaciones más importantes
de la trigonometría, la determinación de alturas y de distancias.
Calcula la altura de un edificio si situados a 20 m de éste observamos su extremo superior bajo un ángulo de
elevación de 54º.
Desde un faro se observa un barco bajo un ángulo de depresión de 20º, y si el barco se aproxima 500 m al faro
el ángulo pasa a ser de 26º. ¿Qué distancia separa el barco del faro en la segunda observación?
18
17
Actividades
El ángulo de elevación del extremo superior de un obelisco observado desde un
punto del suelo situado a 45 m del pie del obelisco es de 30 º. Calcula la altura del
obelisco.
Sea h la altura del obelisco. Si aplicamos trigonometría, tenemos que:
Sustituimos tan 30º por su valor y despejamos h.
Así pues, la altura del obelisco es de 25,98 m.
3
3 45
45
3
3
   25 98
h
h · ,
3
3
tan30
45
 
h
ejemplo 6
45 m
30
Dos excursionistas que distan entre sí una distancia de 20 km observan el punto más alto de una montaña que está en
el mismo plano vertical que ellos bajo ángulos de 35º y de 42º. Halla la altura de la montaña y la distancia que separa el
punto más alto de la montaña de cada uno de los excursionistas.
Sean h la altura de la montaña y x la distancia AD. Resulta evidente
que DB es igual a 20
x.
Si aplicamos la trigonometría en los triángulos rectángulos ADC
y CDB, tenemos que:
Al sustituir tg 35º y tg 42º por sus valores y resolver el sistema,
obtenemos el resultado siguiente: h  7,88; x  11,25.
Así pues, la altura de la montaña es de 7,88 km.
Si aplicamos el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos ADC y CDB, podremos hallar AC y BC, que corresponden
a las distancias que separan el punto más alto de la montaña de cada uno de los excursionistas.
Por tanto, al excursionista situado en el punto A le faltan 13,73 km para alcanzar el punto más alto de la montaña,
mientras que al excursionista situado en el punto B le faltan 11,77 km.
El procedimiento que acabamos de desarrollar recibe el nombre de método de doble observación.
BC  DB2 DC2 BC  8,752 7,882  11,78
AC  AD2 DC2 AC  11,252 7,882  13,74
35
42
20
 
 






h
x
h
x
ejemplo 7
x
20
A 20 — x B
C
35 42
h
D
El ángulo que forma la visual con
el plano horizontal que pasa por
el ojo del observador se llama
ángulo de elevación si el punto
observado está por encima
de dicho plano, o ángulo de depresión
si el punto está por debajo.
FÍJATE
Ángulo Ángulo
de elevación
A
B
de depresión
B
A
tan
tan
5 Razones trigonométricas de un ángulo
cualquiera
Una vez definidas las razones trigonométricas de
un ángulo agudo, veamos cómo podemos definir
las razones trigonométricas de otros ángulos.
Representamos el ángulo  en un sistema de
coordenadas cartesianas y consideramos un punto
cualquiera P de su lado extremo.
Si (x, y ) son las coordenadas del punto P y r es
su distancia al origen de coordenadas, definimos
las razones trigonométricas del ángulo  de la
siguiente forma:
Veamos que estas definiciones no dependen del punto P escogido.
En efecto, si consideramos otro punto P del lado extremo del ángulo , obtenemos
el triángulo OPA semejante al OPA (fig. 2); entonces se verifica:
Es decir, el valor de las razones trigonométricas no varía.


 


 


 
y
r
y
r
x
r
x
r
y
x
y
x
sen  cos  tan 
El seno de  es la razón entre la ordenada y del punto
P y su distancia r al origen de coordenadas.
El coseno de  es la razón entre la abscisa x del punto
P y su distancia r al origen de coordenadas.
La tangente de  es la razón entre la ordenada y y la abscisa
x del punto P.
sen  
y
r
cos  =
x
r
tan =
y
x
y
A x O x
y
P(x, y)
Calcula el valor de las razones trigonométricas del ángulo  cuyo lado extremo pasa
por el punto P (4, 3).
En primer lugar, aplicamos el teorema de Pitágoras en
el triángulo rectángulo OAP para calcular r.
Entonces, se tiene que:
sen   cos   tan
3
5
4
5
3
4
; ;
r  42 32  5
ejemplo 8
y
O x
3
P(4, 3)
4
A
Sabiendo que las coordenadas de un punto P del lado extremo de un ángulo son
P (
4,
6), calcula el valor de las razones trigonométricas de dicho ángulo.
19
Actividades
La forma en que hemos definido
las razones trigonométricas
en este apartado coincide con
las dadas anteriormente en el
caso de un ángulo agudo, ya
que si P(x, y ) es un punto del
lado extremo de un ángulo agudo,
el origen de coordenadas O,
el punto P y la proyección de
P sobre el eje de abscisas son
los vértices de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden x
e y, y cuya hipotenusa mide r.
FÍJATE
y
A A O x
x
y
x
y
P
P
r
r
Fig. 2
Ángulo sen cos tan
0° 0 1 0
30° 3
2
3
3
45° 2
2
2
2
1
60° 3
2
1
2
3
90° 1 0

Tabla 1. A partir de las definiciones de
esta página, podemos hallar las razones
trigonométricas de 0° y 90° para completar
la tabla.
1
2
 
5.1. Circunferencia goniométrica
Como hemos visto, el valor de las razones trigonométricas de un ángulo  no
depende del punto que tomemos sobre su lado extremo.
En particular, podemos considerar un punto P de su lado extremo situado sobre
una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas (fig. 3).
Esta circunferencia recibe el nombre de circunferencia goniométrica.
Vamos a ver cómo la circunferencia goniométrica nos permite obtener gráficamente
de forma sencilla las razones trigonométricas de cualquier ángulo.
La figura siguiente muestra cómo podemos obtener segmentos representativos
del seno, del coseno y de la tangente de ángulos de cualquier cuadrante.
Seno Coseno Tangente
El seno del ángulo coincide
con la ordenada del
punto del lado extremo del
ángulo cuya distancia al
origen vale 1.
sen
1
  
y
r
y
y
El coseno del ángulo coincide
con la abscisa del
punto del lado extremo del
ángulo cuya distancia al
origen vale 1.
cos
1
   
x
r
x
x
Observa en el triángulo
OP A , el segmento
OA = x = 1. La tangente del
ángulo coincide con la ordenada
del punto del lado
extremo del ángulo cuya
abscisa vale 1.
tan
1
  




 
y
x
y
x
y
y
126
y
x
Fig. 3
219o
39o
Fig. 4
O
y
x
P
r = 1
y
A
x= 1
A
P
y
x
y y y y
x x x x
Dibuja en una circunferencia goniométrica todos los ángulos cuya tangente sea 0,8.
Sobre una cuadrícula trazamos una circunferencia de radio 10 cuadraditos y que consideramos
que representa la unidad (fig. 4).
Contamos 8 cuadraditos hacia arriba sobre la recta tangente que pasa por A, que
representan el valor de 0,8 y dibujamos los lados extremos.
Medimos los ángulos con un transportador y obtenemos: 39º y 219º.
Indica sobre una circunferencia goniométrica los segmentos representativos del
seno, del coseno y de la tangente del ángulo de 150º.
20
Actividades
ejemplo 9
tan 
tan 
tan 
tan 
5.2. Propiedades y relaciones de las razones trigonométricas
Veamos ahora algunas propiedades de las razones trigonométricas que afectan
a su valor y su signo, así como las relaciones que existen entre las razones
trigonométricas de un mismo ángulo o de ángulos distintos.
Valor y signo de las razones trigonométricas
Sabemos que si representamos un ángulo  cualquiera sobre un sistema de
coordenadas, el valor del seno y el del coseno coinciden respectivamente con
la ordenada y la abscisa del punto P del lado extremo cuya distancia al origen vale
1 (fig. 6). Y puesto que las coordenadas de dicho punto están comprendidas
entre
1 y 1, podemos afirmar que:

1  sen   1
1  cos   1
Además, el signo de las razones trigonométricas del ángulo  depende únicamente
del signo que tengan las coordenadas de P; es decir, del cuadrante al que
pertenezca el ángulo  (tabla 2).
Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo
Sepamos ahora qué relaciones pueden establecerse entre las razones trigonométricas
de un mismo ángulo.
Consideremos la circunferencia goniométrica y, por ejemplo, un ángulo  del primer
cuadrante (fig. 5). Los catetos del triángulo rectángulo coloreado miden
y  sen  y x  cos . Si aplicamos el teorema de Pitágoras a este triángulo, se
tiene: sen2  cos2   1
Puesto que obtendríamos el mismo resultado si el ángulo perteneciera al segundo,
al tercero o al cuarto cuadrantes, podemos entonces afirmar que para
cualquier ángulo  se verifica:
sen2  cos2   1
Esta expresión se conoce como fórmula fundamental de la trigonometría.
Por otro lado, se tiene que:
Las expresiones sen2 cos2  1 y permiten calcular las razones
trigonométricas de cualquier ángulo, en valor absoluto, una vez conocida
una de ellas. Para determinar su signo es necesario considerar el cuadrante al
que pertenece dicho ángulo (tabla 2).
tan
sen
cos




sen
cos
tan






y
x
y
x
tan
sen
cos



Cuadrante sen cos tg

Tabla 2.
Fig. 5
Escribimos sen2  para indicar
(sen )2.
FÍJATE
Sabiendo que  es un ángulo del tercer cuadrante y que sen  
0,6, calcula cos  y tan .
— Sustituimos el valor de sen  en la expresión.
sen2  cos2   1 (
0,6)2 cos2   1
Si despejamos cos  y operamos, tenemos que:
Puesto que  pertenece al tercer cuadrante, sabemos
que cos  
0,8.
— Finalmente, calculamos tan .
tan
sen
cos



 


0 6
0 8
0 75
,
,
cos   1
(
0,6 )2 cos    0,8 ,
ejemplo 10





128
Ángulo cuadrantal de 0° o 360º (2 rad) Ángulo cuadrantal de 90° (/2 rad)
5.4. Ángulos cuadrantales
A los ángulos que forman una abertura entre dos ejes coordenados del plano cartesiano se los conoce como
ángulos cuadrantales o equivalentes a cuadrantes.
Para formar un ángulo, podemos emplear un segmento de recta fija en el origen del sistema coordenado.
Este segmento de recta lo giramos en sentido antihorario para formar ángulos positivos y, en sentido horario,
para formar ángulos negativos.
Para formar ángulos cuadrantales, tomamos como lado origen el eje positivo de las abscisas y desplazamos
el segmento de recta hasta que intercepte con otro eje coordenado.
Ángulo cuadrantal de 180° ( rad) Ángulo cuadrantal de 270° (3/2 rad)
Para encontrar las relaciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales, utilizamos
la circunferencia de radio uno, observa:
En la representación anterior, el cos( ) corresponde al valor de la abscisa del
punto P, y el sen( ) al valor de la ordenada del mismo punto. cos
sen
5.3. Ángulos coterminales
Con un segmento de recta que tiene un extremo fijo en el origen del plano cartesiano,
podemos formar una clase de ángulo que utiliza como lado origen el eje
positivo de las abscisas y desplaza al segmento de recta hasta algún punto en
el plano.
Entre el eje de las abscisas y el segmento de recta desplazado se forman infinitos
número de ángulos, que tienen los mismos lados de origen y de fin, por lo que
son conocidos como ángulos con las mismas terminales o coterminales.
Los ángulos coterminales pueden
ser positivos o negativos y
tener más de 360º o (2 π rad)
 FÍJATE
Encuentra dos ángulos coterminales al ángulo de 30º
Graficamos el ángulo de 30º
ejemplo 11
Luego, graficamos los ángulos que tengan los mismos
terminales que el ángulo del paso anterior.
O
y
x
30o
O
y
x
30o
390o
-330o
6
rad π
6
rad π
Actividades 
Encuentra tres ángulos coterminales de los siguientes ángulos.
a) 60º b) 120º c) 45º
21
3
rad π
3
rad 2π
4
rad π
Encuentra las relaciones trigonométricas del ángulo cuadrantal de 90° ( /2).
ejemplo 12
a) Graficamos en un círculo de radio uno, el ángulo
 =
b) Observamos las coordenadas del punto P.
Encuentra el valor de la tangente que corresponde al ángulo cuadrantal de /2.
ejemplo 13
a) Usamos la relación entre las razones trigonométricas y los valores que previamente encontramos para el
y para el :
b)
c) Asociamos las funciones trigonométricas a cada valor
de la coordenada encontrada en el paso anterior.
c) En este caso, como no podemos dividir un número
para cero, el valor de la no está definido.
no existe la división para cero.
2
rad.

P (0, 1) 1
1
sen ( )
= 2
rad
x 0
y 1
x cos 0
2
y sen 1
2
tan ( sen (
cos (
cos
2
tg
2
2
10
2
2
tan
sen
cos
sen
2
Para calcular la función tangente de un ángulo cuadrantal, podemos utilizar
los valores calculados para el coseno y para el seno del mismo ángulo y la
relación:
Usando el círculo de radio uno, encuentra los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales
y completa la tabla en tu cuaderno:
22
Con un círculo de radio 3, encuentra la relación entre las funciones trigonométricas del ángulo y los valores del
punto P en los ejes coordenados. Comprueba tu respuesta, encontrando los valores que calculaste para las funciones
trigonométricas de los ángulos cuadrantales.
23
Actividades
sen ( ) cos ( ) tan ( )
0° (0 rad)
90° ( /2 rad)
180° ( rad)
270° (3 /2 rad)
0
…..
…..
…..
…..
…..
– 1
…..
…..
indefinido
…..
…..
130
5.5. Reducción al primer cuadrante
La tabla siguiente nos muestra cómo las razones trigonométricas de cualquier
ángulo siempre coinciden, excepto en el signo, con las de algún ángulo del
primer cuadrante.
Estas relaciones permiten calcular las razones trigonométricas de cualquier
ángulo, conociendo las de los ángulos del primer cuadrante.
Reducción del segundo cuadrante
al primer cuadrante
Reducción del tercer cuadrante
al primer cuadrante
Reducción del cuarto cuadrante
al primer cuadrante
y y
x x y
x y
x y
y
x
x
sen (
)  sen 
cos (
) 
cos 
tan (
) 
tan 
  
y 
y
x 
x
sen ( ) 
sen 
cos ( ) 
cos 
tan ( )  tan 
sen (2
) 
sen 
cos (2
)  cos 
tan (2
) 
tan 
 

y  y
x 
x
  2

y 
y
x  x
Calcula las razones trigonométricas
de un ángulo de rad.
Se trata de un ángulo del segundo cuadrante.
Por tanto:
sen  sen (
 ) 
 sen 
cos  cos (
) 
 – cos –
tan  tan (
)
 – tan –
ejemplo 14
Calcula las razones trigonométricas
de un ángulo de rad.
Se trata de un ángulo del tercer cuadrante.
Por tanto:
sen  sen ( ) 
 – sen –
cos  cos ( ) 
 – cos –
tan  tan ( ) 
 tan 
ejemplo 15
Calcula las razones trigonométricas
de un ángulo de rad.
Se trata de un ángulo del cuarto cuadrante.
Por tanto:
sen  sen (2
) 
 – sen –
cos  cos (2
) 
 cos 
tan  tan (2
) 

tan 
1
ejemplo 16
Indica qué ángulo del primer cuadrante nos servirá para calcular las razones trigonométricas
de cada uno de los ángulos siguientes.
a) b) c) d) e)
Calcula, utilizando siempre un ángulo del primer cuadrante, las razones trigonométricas
de estos ángulos.
a) b) c) d) e) –
26 Halla todos los ángulos comprendidos entre 0 y 2 rad que verifican cos = – .
25
24
Actividades
5
6
5
6
5
4
5
3

3
7
6
5
6
4
3
4
3
4
3
4
3

3

3

3

3

3

3
7
4

6
5
6

6

6

6

4

4

4

4

4

4
7
4
7
4
7
9
17
12
25
4
7
12
22
15
7
4

6

6
1
2
1
2
1
2 2
3
2
3
2
2
2
2
3
3
3
3
4
rad rad rad rad rad
rad rad rad rad rad
Comprensión del enunciado
Recuerda el método de doble observación que hemos
desarrollado en el ejemplo 8.
Planificación de la resolución
Aplicaremos el método de doble observación:
— Nos situamos delante de la casa y medimos el ángulo
 que forma la horizontal con la visual al punto
más elevado, C.
— Nos alejamos en línea recta según la dirección AD una
distancia d hasta situarnos en un punto B arbitrario,
y repitiendo el proceso anterior obtenemos el valor del
ángulo .
— Medimos la distancia d y con estos datos ya podemos
resolver el problema.
Ejecución del plan de resolución
Procedemos según hemos planificado y supongamos que
obtenemos los valores:   36º,   16º y d  25 m. Denotamos
por h la altura de la casa y por x la distancia
de A a D. Si aplicamos trigonometría, tenemos que:
Luego la altura de la casa es de 11,84 m.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Repasamos los cálculos y comprobamos que la respuesta
es la correcta.
tan
tan
36
16
25
 
 






h
x
h
x
Una persona situada en la ribera de un río observa
un árbol en la ribera contraria bajo un ángulo
de 56º. Si se aleja 15 m, lo observa bajo un ángulo
de 17º. ¿Cuánto mide el árbol?
Dos personas salen nadando de un mismo punto 28
de la playa y sus trayectorias rectilíneas forman
un ángulo de 30º. Si sus velocidades son 5 km/h
y 6 km/h, ¿a qué distancia se encontrarán transcurridos
3 minutos?
27
Una finca tiene forma de triángulo acutángulo.
Dos de sus lados miden 3 km y 6 km, y su área es
5,4 km2. Halla el perímetro de la finca y las medidas
de los tres ángulos del triángulo.
A ¿Cómo calcularías la altura de una casa de
la cual no puedes acceder a su pie? B
Comprensión del enunciado
Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos. Su perímetro
es la suma de las longitudes de los lados y su área
es igual a la base por la altura dividido entre 2.
Planificación de la resolución
— Representaremos mediante letras los elementos del triángulo:
ángulos y lados.
— A partir del área, determinaremos una altura. Sabemos
que la altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos
y podremos aplicar el teorema de Pitágoras para
hallar los lados de ambos triángulos.
— Una vez conocidos los lados, podremos hallar el perímetro
de la finca. Los ángulos podrán ser hallados a partir
de sus razones trigonométricas usando la calculadora.
Ejecución del plan de resolución
Dibujamos el triángulo y
procedemos a calcular los
parámetros desconocidos.
6
x  6
2,4  3,6
Con estos datos hallamos el perímetro de la finca y el valor
de los ángulos: P  4 3 6  13
A^  36,87° B^
 26,57°
C^
 180°
(36,87° 26,57°)  116,56°
El perímetro de la finca es 13 km y los ángulos del triángulo
miden 36,87°, 26,57° y 116,56°.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Repasamos los cálculos y comprobamos que las respuestas
son las correctas.
A
h
 5 4 
6
2
, 5 4
·
,
h  
2 5 4
6
1 8
· ,
,
a  1,82 3,62  4
tanB 
1 8
3 6
,
,
sen A 
1 8
3
,
x  32
1,82  2,4
^ ^ Al resolver el sistema, obtenemos:
x  16,30; h  11,84
Cómo resolver problemas
Actividades