ANALISIS FUNCIONAL EN TEXTO PDF

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Espacios Normados ,
Definiciones y Resultados Preliminares,
Continuidad ,
Ejemplos Resueltos,
Espacios de Banach ,
Desigualdades clasicas en Analisis Funcional ,
Espacios de Banach , Teorıa Basica. Ejemplos y ejercicios,
Algunos Ejemplos de Espacios de Banach,
Separabilidad de un espacio normado y Ejemplos, El Lema de Riesz,
Ejercicios Propuestos ,
Operadores Lineales Acotados,
Noci´on de acotaci´on de un operador lineal. El espacio de B(X, Y ),
Normas Equivalentes. Nocion de operador cerrado,
Algunos ejemplos de operadores lineales acotados,

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Podemos decir actualmente que el Analisis Funcional es la tendencia abstracta
del Analisis, la cual comenz´o a ser desarrollada por algunos matem´aticos
europeos en los a˜nos de las dos primeras decadas del pasado siglo XX.
Entre esos matem´aticos destacan Fredholm, Volterra, Hilbert, y Riesz. Inicialmente
estos matem´aticos resolvieron problemas de ecuaciones integrales,
autovalores de operadores, y desarrollos ortogonales.
Tambi´en uno de los principales pioneros en el desarrollo de esta rama
de la Matem´atica, fue el polaco S. Banach el cual compagin´o en su libro
publicado en el a˜no de 1932 y reeditado en 1987 con t´ıtulo“ THEORY OF
LINEAR OPERATIONS ” [1] mucho de los principales resultados conocidos
hasta ese tiempo.
Nuestro prop´osito fundamental al redactar este libro, es desarrollar algunos
t´opicos b´asicos del An´alisis Funcional tratando digamos a un nivel
intermedio la teor´ıa de los espacios normados, la de los espacios de Banach,
y tambien la de los operadores lineales acotados.
Nuestro texto se desarrolla a trav´es de tres Cap´ıtulos. El primer Cap´ıtulo
el cual llamamos “ Espacios Normados” se ha dividido en cuatro Secciones.
A nuestra primera Secci´on se la ha denominado Definiciones y Resultados
Preliminares porque all´ı damos algunas de las nociones de uso m´as frecuente
en el An´alisis Funcional, como el de conjunto absorbente, balanceado y convexo;
capsula convexa, norma, espacio normado y algunas propiedades de
la norma. Tambi´en se dan algunos conceptos topol´ogicos, habiendo definido
previamente la topolog´ıa fuerte de un espacio normado.
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En la segunda Secci´on se da inicialmente el concepto de sucesi´on en un
espacio normado, para despu´es pasar a caracterizar los elementos de la clausura
de un subconjunto de un espacio normado como l´ımites de sucesiones
de elementos de este. Tambi´en, introduciendo previamente el concepto de
funci´on continua de un espacio topol´ogico (X, τ1) en otro (Y, τ2) se muestra,
un Teorema de Continuidad Global, y despu´es una consecuencia del mismo
como lo es el Teorema de Conservaci´on de Compacidad.
La Secci´on 1.3 contiene una buena lista de Ejercicios propuestos como
Ejemplos y en cada uno de ellos hemos dado los detalles de la soluci´on. Finalmente,
la ´ultima Secci´on presenta una variedad de Ejercicios que el lector
debe resolver [en donde en algunos de ellos se introducen nuevos conceptos].
En el segundo Cap´ıtulo trata sobre espacios de Banach. En la Seccion 2.1
se demuestra las desigualdades cl´asicas de Holder, y de Holder – Minkowsky
en la Seccion 2.2 se da la noci´on de espacio de Banach dada por S. Banach
Entre otras Proposiciones y Resultado mostramos un Teorema de Caracterizaci
´on para espacio de Banach. [Teorema 2.2.9].
En la Secci´on 2.3 damos algunos Ejemplos de espacios de Banach. Entre
otros mostramos con respecto a una norma definida previamente la completitud
de los espacios de sucesiones
lp (p ≥ 1); c0; y l∞.
Tambi´en en nuestra Secci´on 2.4 adem´as de definir espacio de Banach separable,
damos una Demostraci´on del Lema de Riesz, y en (2.5) presentamos
nuestra lista de Ejercicios.
El tercer Cap´ıtulo trata sobre operadores lineales acotados en la primera
Secci´on, se ha motivado el concepto de acotaci´on de un operador lineal, de hecho
de que toda transformaci´on lineal de Rn en Rm es acotada. Introduciendo
pu´es, para un operador lineal T las nociones de acotaci´on y continuidad se
muestra en la Proposici´on 3.1.7 que:
T es acotado () T es continuo.
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Ahora bien, definiendo los espacios L(X, Y ) y, B(X, Y ) mostraremos en
el Teorema 3.1.11 que B(X, Y ) es un espacio de Banach en la norma:
En la Secci´on 3.2 especificamente en el Teorema 3.2.6, se muestra que en
“ DIMENSION FINITA TODAS LAS NORMAS SON EQUIVALENTES ”.
Tambi´en damos el importante concepto de operador cerrado.
La Secci´on 3.3 da una lista de Ejemplos de operadores lineales acotados.
Entre otros, destacan el operador de Fredholm; el operador Shift [a la
izquierda y a la derecha], y la proyecci´on can´onica. Mostramos como un Ejemplo
tambi´en un Teorema de extensi´on de operadores; y dando la Definici´on
de operador compacto se muestra que el operador de Fredholm lo es.
Al final en la Secci´on 3.4 presentamos nuestra lista de Ejercicios a resolverse.
Esperamos que este texto se de utilidad aquellos estudiantes que comienzan
con el estudio de esta importante ´area de las Matem´aticas.