ANALISIS COMBINATORIO EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO DE SECUNDARIA EN PDF

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Para realizar el estudio del análisis combinatorio se hacen necesarias algunas herramientas, tales como el factorial de un número y los números combinatorios.
Factorial
Factorial de un número es el producto de los números enteros positivos y consecutivos comprendidos desde el número 1 hasta el número indicado inclusive.
descomposición canónica de un factorial
Los factoriales mayores que 5 o igual que 5; siempre terminarán en cero.
Solamente está definido el factorial para números enteros y positivos así por ejemplo:
propiedades de los factoriales
El factorial de un número puede ser siempre descompuesto como el producto de factorial de otro número menor que él por todos los números consecutivos a este último; hasta completar dicho número.
aplicaciones de las factoriales
Principio de Adición
Si el suceso “A” puede realizarse de “m” maneras y el suceso “B” de “n” maneras, entonces el suceso “A” o el suceso “B” se puede realizar “(m+n)” maneras.
En el principio de adición, o bien ocurre un caso o bien el otro caso, pero nunca pueden ocurrir simultáneamente.
Si se tiene 3 pares de zapatillas distintas y 5 pares de zapatos diferentes, ¿cuántas maneras de calzar tiene en total?

* Proyectamos un viaje y decidimos ir en tren o en microbús. Si hay 3 rutas para el tren y 4 para el ómnibus, ¿cuántas maneras tenemos para decidir nuestro viaje?

Principio de Multiplicación
Si el suceso “A” se puede realizar de “m” maneras y el suceso “B” se puede realizar de “n” maneras, entonces los sucesos “A” y “B” se pueden realizar en forma conjunta de: m x n maneras siempre que se efectúe uno después del otro.

Este principio se puede generalizar para más de dos sucesos.

De una ciudad “A” a otra ciudad “B” hay 4 caminos diferentes y de la ciudad “B” a la ciudad “C” hay 3 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá ir de “A” a “C”?

* Un alumno tiene 3 libros de física y una alumna tiene 5 libros de química. ¿De cuántas maneras podría prestarse un libro?

* Si se tiene 5 blusas de distintos colores y 7 pantalones de distintos colores, ¿de cuántas maneras diferentes podrá combinar sus prendas?

Variaciones o Arreglos
Variación es cada una de las ordenaciones que pueden formarse con varios elementos, tomadas con varios elementos, tomadas de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres, de modo que dos ordenaciones cualquiera del mismo número de elementos se diferencien por lo menos, en un elemento o por el orden en que están colocados.

El número de maneras de ordenar a “n” elementos de un conjunto, tomados de “r” en “r” es:

* Cuatro alumnos llegan a matricularse a una academia que dispone de 7 aulas. ¿De cuántas maneras se les puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes?

Permutaciones
Se llama permutaciones a las variaciones en las que entran todos los elementos en sus diversas ordenaciones, de modo que dos grupos cualesquiera contienen los mismos elementos y solamente difieren en el orden que están colocados. En toda la permutación, la característica principal es el orden de sus elementos.
Sean los elementos: a, b, c

permutaciones lineales
Se da cuando los elementos considerados son todos distintos y se arreglan u ordenan en línea recta. Por ejemplo:
- Cuando cuatro elementos se ponen en línea para recibir un premio.
- Cuando intento formar un número de cifras con los dígitos “1″, “2″ y “3″ (sin repetir).
El número de permutaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” está representado por:

permutaciones circulares
A diferencia de las permutaciones lineales donde interesa los lugares que los objetos ocupan, en este tipo de permutaciones lo que importa es la posición relativa de los objetos entre sí.

permutaciones con lugares fijos
Si se establece que determinados elementos han de ocupar lugares fijos, el número de agrupaciones será el que se puede formar con los demás elementos.

permutaciones con repetición
Ocurre cuando los elementos a ordenar no son todos ellos distintos, es decir, hay un elemento o más de uno que se están repitiendo una o más veces.
Con las letras de la palabra MIMI puedo obtener los siguientes ordenamientos: MMII, MIMI, MIIM, IMMI, IMIM, IIMM (seis ordenamientos).
Supongamos que tenemos “n” elementos tales que hay “k1″ elementos repetidos de una clase, “k2″ elementos repetidos de una segunda clase y así sucesivamente hasta “km” elementos repetidos de una enésima clase. Entonces el número de permutaciones de “n” elementos de los cuales se repiten algunos, está dado por:

Combinaciones
Consideremos “n” elementos distintos, los cuales se agrupan de “k” en “k”. El número de grupos diferentes con “k” elementos disntitos, viene dado por:
Para las combinacines el orden no interesa. Por ejemplo si queremos unir los puntos que se muestran; como se observará nosotros podemos empezar a unir por cualquiera de los puntos.

El orden para empezar a unirlos no interesa, ya que podemos empezar por cualquiera de ellos.

* Eymi, Rocío, Hugo y Diana son candidatos para integrar una comisión de dos personas. ¿Cuántas posibles comisiones podrán conformarse?

Diferencia entre Combinaciones y Variaciones
Las combinaciones se diferencian por sus elementos y las variaciones por el orden de los mismos.

El número de combinaciones de “m” elementos tomados de “n” en “n” es igual al número de combinaciones de “m” elementos tomados (m-n) en (m-n)

OBJETIVOS :
Al final del capítulo el alumno deberá estar capacitado para:
1. Aplicar las distintas técnicas de conteo de sucesos a la vida real.
2. Manipular de manera satisfactoria los elementos de un determinado conjunto ya sea agrupándolos u ordenándolos.
3. Diferenciar una combinación de una permutación.
4. Resolver situaciones o problemas que involucren algún tipo de conteo de sucesos.
5. Entender, posteriormente, los conceptos y nociones básicas acerca de las Probabilidades y la Estadística.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL
DEL ANÁLISIS COMBINATORIO

Suponga que una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada a B, tiene 3 maneras de llegar a otra ciudad C. ¿De cuántas maneras podrá realizar el viaje de A a C pasando por B?

Si empezó a pie, podrá tomar luego avión, carro o trasatlántico, y si empezó en bicicleta, también podrá tomar avión, carro o transatlántico.

La persona tuvo 6 formas diferentes de realizar el viaje que son: (iniciales)
Se puede representar en un diagrama de árbol:

Por lo que el principio fundamental del análisis combinatorio, puede expresarse así :
Si una primera decisión, operación o acción puede efectuarse de a formas diferentes, una segunda acción puede efectuarse de b formas diferentes, una tercera acción puede efectuarse de c formas diferentes y así sucesivamente hasta la enésima acción que puede efectuarse de z formas diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que puede efectuarse estas n acciones es igual a:

Este principio también se llama principio de conteo o principio multiplicativo.
Ejemplo 1:
¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones y 2 pares de calzado?
Resolución
3 × 4 × 2 = 24 maneras diferentes
Ejemplo 2:
En una ciudad los números de teléfono constan de 5 dígitos, cada uno de los cuales se llama con alguno de los 10 dígitos (0 al 9). ¿Cuántos números diferentes pueden formularse?
Resolución
10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 números
Ejemplo 3:
La agencia de Publicacidad PIPSA, ha obtenido la exclusividad respecto a una línea de polvos para preparar postres. A estos efectos la agencia ha decidido organizar un concurso nacional destinado a adivinar el nombre futuro de esa línea de productos.
Las condiciones son:
a. Los nombres que se propongan deben ser de 4 letras.
b. Ninguna letra debe repetirse.
c. La primera y tercera letra deben ser consonantes.
d. La segunda y cuarta letra deben ser vocales.
e. Si una persona propone 2 veces el mismo nombre queda descalificada.
¿Cuántos nombres debe proponer una persona para estar seguro que participa en el sorteo público?
(Considerar 28 letras del alfabeto)
Resolución
23 × 5 × 22 × 4 = 10 120 nombres diferentes
¿Por qué esos números?
Porque hay 28 letras del alfabeto, 23 consonantes y 5 vocales, pero se disminuyó de 23 a 22 en la primera y tercera cifra porque una de las condiciones es que las letras no se repitan. Así como 5 y 4 en la segunda y cuarta cifras, que son las vocales.
Permutaciones
Una permutación es un conjunto ordenado de “n” elementos.
Notación: Pn
Permutación de 5 elementos: P5 = 5!
Por lo que:
P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Ejemplo 1:
Para el conjunto {a, b, c} existen las siguientes permutaciones :
Resolución
abc, acb, bca, bac, cab, cba = 6
P3 = 3! = 6
Ejemplo 2:
En una asamblea de accionistas, hay 6 perso-nas que han solicitado hacer uso de la palabra. ¿En cuántos órdenes diferentes pueden hablar, si es que no se ha establecido un orden de prioridades?
Resolución P6 = 6! = 720
Ejemplo 3:
En un proceso de manufactura hay seis operaciones distintas, que se indican con A, B, C, D, E y F. En general no existe una secuencia fija para las operaciones, con la salvedad de que A debe efectuarse al principio y F al final. ¿Cuántas secuencias diferentes pueden ocurrir?
Resolución

CUANDO SE TOMA PARTE DE LOS
ELEMENTOS DEL CONJUNTO SE TIENE
UNA VARIACIÓN DE n ELEMENTOS
TOMADOS EN r EN r (CON n>r):

Ejemplo 1:
Sin n = 5 y r = 3

Ejemplo 2:
Hay 7 candidatos para desempeñar 3 tareas, si todos los candidatos son igualmente eficientes, ¿De cuántas maneras se puede efectuar la asignación?
Resolución

Combinaciones
Una combinación de n elementos tomados de r en r es un subconjunto no ordenado de “r” elementos.
(Con: n > r).
Dos combinaciones formadas por “r” elementos son distintas, si difieren al menos en un elemento.
Ejemplo 1:
Sea el conjunto {a, b, c} de cuántas maneras podemos seleccionar:
A) Un elemento
B) Dos elementos
C) Tres elementos
Resolución
A) Existen tres formas de seleccionar un elemento:
a; b; c.
B) Existen 3 formas de seleccionar dos elementos: ab, ac, bc
C) Existe 1 forma de seleccionar 3 elementos: abc.
Notación:
Para determinar el número de combinaciones de “n” elementos tomados de r en r, se tiene:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:
El congreso anglo mexicano de administración pública, debe elegir el futuro comité ejecutivo que regirá a esa institución durante el próximo año.
La comisión directiva se forma con 6 integrantes y este año han sido propuestos 7 representantes mexicanos y 4 ingleses para ser electos. Se pide determinar de cuántas maneras se puede integrar la comisión, si en dicha comisión debe haber 4 mexicanos y 2 ingleses.
Resolución
Los mexicanos se pueden escoger de:

Los ingleses se pueden escoger de :

Conjuntamente

Ejemplo 4:
En los laboratorios “HELICOIDAL” hay 3 plazas vacantes y de un total de 33 solicitudes de empleo sólo 14 se han considerado aceptables, en base a las entrevistas practicadas por el departamento de personal.
¿De cuántas maneras pueden asignarse las 3 plazas si todos los empleos son de la misma categoría?
Resolución

PERMUTACIONES CIRCULARES
Una permutación circular de “n” elementos es el número total de ordenamientos que se pueden realizar con ellos alrededor de una circunferencia.

(El orden de los elementos se toma con respecto a uno de ellos).

Notación: PCn
Para determinar el número de permutaciones circulares de “n” elementos se tiene:

Ejemplo
5 amigos se sientan alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse?
Resolución:
PC5 = (5 – 1)! = 4! = 24

Permutaciones con repetición
Dados “m” elementos de una sola clase, n elementos de otra clase, “p” elementos de una tercera clase, etc. Si llamamos k = m + n + p + …., entonces el número de ordenamientos de estos k elementos tomados todos a la vez se denomina permutación con repetición.
Notación:
(donde: k = m + n + p + ….)

Para calcular el número de permutaciones de k elementos donde m de ellos son de una clase, n de una segunda clase, p de una tercera clase, etc. se tiene:

Ejemplo:
¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra “CARRERA”?

Resolución
Aquí debemos ordenar 7 elementos (siete letras de la palabra) pero, A se repite 2 veces y R se repite 3 veces, C una vez y E una vez, entonces:

1. Hallar el número de ordenamientos que se pueden hacer con todas las letras de “POPULAR” si las vocales deben estar juntas.

Rpta.:

Rpta.:

3. Tengo 3 anillos distintos, ¿de cuántas maneras puedo colocarlos en los dedos de la mano izquierda colocando sólo un anillo por dedo y sin contar el pulgar?

Rpta.:

Rpta.:

5. ¿Cuántos números de 3 cifras necesitan al menos una cifra par o cero en su escritura?

Rpta.:

6. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 5 personas en una banca de 8 asientos si el total de personas que se contaba inicialmente era 9?

Rpta.:

7. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de vóley mixto de un total de 6 varones y 6 mujeres sabiendo que Ana debe ser seleccionada fija?

Rpta.:

8. ¿Cuántas comisiones integradas por un varón y una mujer se pueden formar de un total de 4 varones y 5 mujeres si un varón en particular siempre pelea con 2 mujeres (Ana y Betty)?

Rpta.:

9. ¿De cuántas maneras se puede ordenar en fila todas las fichas del ajedrez si las fichas de igual color siempre deben estar juntas?

Rpta.:

10. ¿Cuántos sonidos distintos pueden producirse con las 8 teclas de un piano si sólo deben tocarse simultáneamente al menos 2 teclas pero no más de 6?

Rpta.:

11. De 10 polos, 6 de ellos son defectuosos. ¿De cuántas maneras podemos escoger 3 artículos de los mencionados de modo que entre ellos hay al menos 2 defectuosos?

Rpta.:

Rpta.:

1. Un estudiante debe contestar 8 preguntas en un examen. Si las 3 primeras son obligatorias, ¿de cuántas maneras diferentes podrá hacerlo?

Rpta.:

2. De 7 números positivos y 6 negativos se escogen 4 números tal que su producto sea un número positivo. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerse dicha elección?

Rpta.:

3. ¿De cuántas formas diferentes se puede repartir 5 juguetes distintos a 4 niños si a cada uno debe tocarlo por lo menos un juguete?

Rpta.:

4. ¿De cuántas maneras distintas se puede colocar alineadas 8 monedas de las cuales 5 son de 20 céntimos y 3 de 10 céntimos?

Rpta.:

5. El número de permutaciones de x elementos diferentes tomados de 4 en 4 es al número de permutaciones de los mismos elementos tomados de 5 en 5 como 1 es a 8. Halle x.

Rpta.:

6. Un joyero fabrica en oro una estrella de 6 puntas y piensa adornar sus puntas con piedras preciosas diferentes. Si dispone de 8 piedras distintas y coloca una en cada punta, ¿de cuántas formas diferentes podrá adornar la joya?

Rpta.:

7. Betty es amiga de José, Pablo y 6 amigos más. ¿De cuántas maneras diferentes puede seleccionar un grupo de 5 para cenar si José y Pablo no pueden estar en el mismo grupo?

Rpta.:

8. ¿De cuántas maneras distintas se puede ubicar 4 parejas de esposos alrededor de una fogata tal que cada pareja no se separa?

Rpta.:

9. Una compañía aérea debe realizar diariamente 2 viajes al Cuzco, 3 a Trujillo y 2 a Iquitos. ¿De cuántas maneras distintas puede programas los viajes?

Rpta.:

10. En una fila de 7 asientos se van a sentar 2 mujeres y 5 hombres. ¿De cuántas maneras diferentes puede ocurrir que un hombre se siente entre las 2 mujeres?

Rpta.:

11. ¿De cuántas maneras diferentes 8 alumnos pueden ubicarse alrededor de una mesa si 4 de ellos siempre deben permanecer juntos?

Rpta.:

12. Se tiene un grupo de 7 varones y 3 damas, se desea formar un equipo de fulbito. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá hacerlo si en el equipo debe haber por lo menos una dama?

Rpta.:

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