ALGEBRA PREUNIVERSITARIA PROBLEMAS RESUELTOS TIPO INGRESO A LA UNIVERSIDAD PDF

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PREGUNTA 1 :
Si a y b son las raíces de x2+14x –1=0; c y d
son las raíces de x2+17x+2=0, halle el valor de
abc+bcd+cda+dab.
A) 17 B) – 45 C) –11
D) – 28 E) 31
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Resolución
Tema: Ecuación cuadrática
Análisis y procedimiento
Aplicamos el teorema de Cardano en cada ecuación
cuadrática.
• x2+14x –1=0; a y b son las raíces
Entonces a+b=–14; ab=–1
• x2+17x+2=0; c y d son las raíces
Entonces c+d=–17; cd=2
Luego
abc+bcd+cda+dab = – c+2b+2a – d
= – (c+d)+2(a+b)
= – (–17)+2(–14)
= 17 – 28
= –11
∴ abc+bcd+cda+dab = –11
Respuesta
–11
PREGUNTA 2 :
Calcule el valor de k si la división
x x x k
x
4 3
2
− − +

tiene como resto 10.
A) 2 B) 8 C) 3
D) 6 E) 4
Resolución
Tema: División algebraica
Análisis y procedimiento
Sea la división
x x x k
x
4 3
2
− − +

con residuo
R(x)=10
Por el teorema del resto, se cumple
x – 2=0 → x=2
R(x)=24 – 23 – 2+k=10
16 – 8 – 2+k=10
6+k=10
∴ k=4
Respuesta
4
PREGUNTA
Dado el sistema de ecuaciones, determine el
valor de x.
1 1 1
12
1 1 1
20
1 1 1
15
x y
y z
x z
+ =
+ =
+ =
A) 15 B) 20 C) 60
D) 30 E) 25
Resolución
Tema: Sistema de ecuaciones
Análisis y procedimiento
Del sistema
1 1 1
12
1 1 1
20
1 1 1
15
x y
y z
x z
+ =
+ =
+ =
(+)
2
1 1 1 1
12
1
20
1
x y z 15
 + +
 

 
= + +
2 1 1
20
5 3 4
x 60
+ 
 
 
= + +
2 1
10
12
x 60
+ =
1
5
2 1
5
1
x 10
= −
2 1
x 10
=
∴ x=20
Respuesta
20
PREGUNTA
Halle la suma de las coordenadas del punto de
intersección de las gráficas de las funciones,
y f x x
= = x+ + x 
( ) 2 3 · 2 , 2 1
R
y g x x
= = − x  ( ) 4 4 · 2 , R.
A) 2 B) 3 C) 1
D) 6 E) 7
Resolución
Tema: Funciones
Del gráfico
g
f
y0
x0
(x0; y0) es el punto de intersección de los gráficos
de f y g, tal que y0 f x g x 0 0
= ( ) = ( ).
Análisis y procedimiento
Primero, hallamos el punto de intersección de las
siguientes funciones:
f x x
x x
( ) = + · ;  22 +1 3 2
R
g x x
x
( ) = 4 − 4 · 2 ; R
Entonces f(x)=g(x)
2 3 2 4 4 2 2x+1 + x = − x · ·
2 22 7 2 4 0
· · x + x − =
2 · 2x
1 · 2x
–1
+4
2 · 2 1 2 4 0 ( x − )( x + ) =
Como 2x+4 > 0, entonces 2 · 2x –1=0
2
1
2
x =
x = −1
Luego
f( )
( ) · −
= − + + − = + = 1
22 1 1 3 2 1
1
2
3
2
2
Entonces (–1; 2) es el punto de intersección.
Por lo tanto, la suma de las coordenadas del punto
de intersección es (–1)+2=1.
Respuesta
1
PREGUNTA
En una progresión aritmética, la razón y el número
de términos son iguales y la suma de todos los
términos es 120. Si la diferencia entre el último
y el primer término es 30, halle la suma de estos.
A) 40
B) 35
C) 60
D) 45
E) 50
Resolución
Tema: Sucesiones
Tenga en cuenta que
P.A.: t1; t2; t3; t4; …
r r r razón
• Término general: tn = t1+(n –1)r
• Suma de términos: Sn t t n
n = + 
 
 
1 ×
2
Análisis y procedimiento
Sea la progresión aritmética (P.A.) de la forma
t1; t2; t3; t4; …; tn
r
n términos
r r razón(constante)
Por dato
• La razón y el número de términos son iguales,
es decir,
r = n
• La diferencia entre el último y primer término
es 30.
→ tn – t1 =30
(n –1)n=30 n=6
razón
• La suma de todos los términos es 120.
S =  t + tn n
 
 
1 =
2
120
t1 tn
2
6 120
 +
 

 
× = (simplificando)
t1 + tn = 40
Por lo tanto, la suma del primer y último término
es 40.
Respuesta
40
PREGUNTA
Halle la expresión equivalente a
E
n
n
m
m
k
k
= m n k


 

 
+


 

 
+


 

 

1 1 1
2
2
2
2
! ! ! , ; ; N.
A) (n − 1)! + (m2 − 1)! + (k2 − 1)!
B) n2 !+ (m+ 1)!+ (k + 1)!
C) (n − 1)!+m2 !+ k2 !
D) n!+m2 !+ k 2 !
E) n2 !+m!+ k2 !
Resolución
Tema: Combinatoria
Tenga en cuenta
Notación de combinatoria
C
n
r n r r
n =
( − )
!
!· !
< >
n
r
n
n r r

 

 
=
( − )
!
!· !
Propiedades
n
r
n
n r

 

 =


 

 
Ejemplos

5
3
5
2

 

 
=

 

 

7
6
7
1

 

 
=

 

 
n
n
1

 

 
=
Ejemplos

8
1
8

 

 
= •
n
n
2
2
1

 

 
=
Análisis y procedimiento
Por dato
E
n
n
m
m
k
k
= m n k


 

 
+


 

 
+


 

 

1 1 1
2
2
2
2
! ! ! , ; ; N
A cada combinatoria la expresamos con su equivalencia.
E
n m k =

 

 
+

 

 
+

 

 
1 1 1
2 2
! ! !
∴ E=n!+m2!+k2!
Respuesta
n!+m2!+k2!
PREGUNTA
Dada la función f(x) = x3 + 5, x R, halle la función
inversa de f.
A) x − 5, x  5
B) 3 x + 5, x R
C) 3 x − 5, x R
D) x + 5, x  −5
E) 3 −x − 5, x R
Resolución
Tema: Función inversa
Tenga en cuenta
Dom(f)=Ran(f *)
Ran(f)=Dom(f *)
donde
f *: función inversa de f
Análisis y procedimiento
Consideremos la función con regla de correspondencia.
f(x) = x + ; x  3 5 R
Hallamos Dom( f *)
Como x ∈R → x
f x
( 3 + 5) 
( )
 R
→ Ran(f) = R
Dom(f*)=R
Hallamos la regla de correspondencia de f*
y=x3+5
y – 5=x3
→ x = 3 y − 5
Cambiamos x por y
y x
f(x)
* 
= 3 − 5
∴ f(x) x x
* = 3 − 5; R
Respuesta
3 x − 5, x R
PREGUNTA
Para todo x en el conjunto solución de la
inecuación |1 – x|< 1, indique el intervalo al que pertenece 1 – 2x. A) 0, 2 B) −4, 0 C) 0, 4 D) −2, 2 E) −3, 1 Resolución Tema: Valor absoluto Recuerde que |x|< b ↔ b > 0 ∧ (– b < x < b) Análisis y procedimiento Se tiene |1 – x|< 1 |x – 1|< 1 ↔ –1 < x – 1 < 1 sumamos 1 0 < x < 2 multiplicamos por (– 2) 0 > – 2x > – 4
sumamos 1
1 > 1– 2x > – 3
→ (1 – 2x) ∈ −3;1
Por lo tanto, el intervalo al que pertenece (1 – 2x)
es −3;1 .
Respuesta
−3, 1
PREGUNTA
Con el valor de n obtenido de la igualdad
3n+1 + 3n+2 + 3n+3 + 3n+4 = 120,
halle la suma de las raíces de la ecuación
x3 − (2n + 1) x2 − n = 0.
A) 0 B) 2 C) 1
D) 3 E) – 2
Resolución
Tema: Ecuación de grado superior
Observación
Teorema de Cardano para una ecuación cúbica
Sea ax3+bx2+cx+d=0; a ≠ 0
de raíces x1, x2 y x3, entonces se cumple
x x x
b
1 2 3 a + + = −
x x x x x x
c
1 2 2 3 1 3 a + + =
x x x
d
1 2 3 a = −
Análisis y procedimiento
En primer lugar, hallamos el valor de n en la
ecuación exponencial.
3n+1+3n+2+3n+3+3n+4=120
3n+1 (1 +3+32 +33 ) = 120
3n+1 (40) =120
3n+1=31
→ n+1=1
n=0
Luego, x3 – (2n+1)x2 –1=0
x3 – 2×2=0, donde x1, x2 y x3 son sus raíces.
Entonces x1+x2+x3=2
Por lo tanto, la suma de raíces de la ecuación
cúbica es 2.
Respuesta
2
PREGUNTA
Las raíces de la ecuación Ax2+Bx+C=0, donde
A ≠ 0, son r y s. Halle el valor de P para que las
raíces de la ecuación x2+Px+Q=0 sean r 2 y s2.
A) B AC
A
2
2
− 4 B)
B AC
A
2
2
− 2
C)
B C
A
2
2
− 2
D)
2 2
2
AC B
A
− E)
2 2
2
C B
A

Resolución
Tema: Ecuación cuadrática
Análisis y procedimiento
Se tiene la ecuación Ax2+Bx+C=0 con raíces
r y s.
Entonces, por el teorema de Cardano, se cumple
que
r s
B
A
rs
C
A
+ = − y =
Nos piden el valor de P, donde r2 y s2 son las raíces
de la ecuación x2+Px+Q=0.
Entonces, nuevamente por el teorema de Cardano
r 2 + s 2 = −P
(r + s)2 − 2rs = −P