ALGEBRA LINEAL

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El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Estos conceptos han contribuido notablemente en el desarrollo del conocimiento dentro de las matemáticas y también en otras ciencias, especialmente en las ciencias básicas, la economía, la informática, la ingeniería y las ciencias sociales. Por eso se justifica el estudio del álgebra lineal en la mayoría de las carreras universitarias.









ESTUDIO DE LOS VECTORES EN ALGEBRA LINEAL








SISTEMA DE ECUACIONES RESUELTOS POR MATRICES GAUSS – JORDAN EN ALGEBRA LINEAL








MATRIZ INVERSA EJERCICIOS RESUELTOS DE ALGEBRA LINEAL








DETERMINANTES EJERCICIOS RESUELTOS DE ALGEBRA LINEAL








SISTEMAS DE ECUACIONES RESOLUCION MATRICIAL Y DISCUSION PROBLEMAS RESUELTOS








EL PRODUCTO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES








RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO VECTORIAL – ALGEBRA LINEAL








ESPACIOS VECTORIALES








SUBESPACIOS VECTORIALES








ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERNO








COMBINACION LINEAL , ESPACIO GENERADO E INDEPENDENCIA LINEAL








BASES Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL








RANGO Y NULIDAD – ALGEBRA LINEAL








FACTORIZACION LU DE MATRICES – RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL








BASES ORTONORMALES – PROCESO GRAM SCHMIDT








TRANSFORMACIONES LINEALES








AUTOVALORES Y AUTOVECTORES , DIAGONALIZACION








ALGEBRA LINEAL PROBLEMAS RESUELTOS








AJUSTE LINEAL , EXPONENCIAL , CUBICO Y CON VARIAS VARIABLES – ALGEBRA LINEAL








SISTEMAS DE ECUACIONES CON NUMERO INFINITO DE SOLUCIONES








SISTEMA DE ECUACIONES DE 3×3 METODO DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PROBLEMA RESUELTO








SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3×3 – NUMERO DE SOLUCIONES METODO DE GAUSS JORDAN PROBLEMA RESUELTO








DETERMINANTES Y SISTEMA DE ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS

El material contenido en estas notas tiene como objetivo iniciar al estudiante en los conceptos básicos del álgebra lineal.

Por sus múltiples aplicaciones, el estudio del álgebra lineal en los programas universitarios cobra cada día más importancia. Esta rama de las matemáticas se ocupa de ciertas estructuras llamadas espacios lineales o vectoriales, e investiga de qué manera ellos se interrelacionan mediante las llamadas transformaciones lineales; comprende además el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y de las matrices. Los espacios vectoriales y las transformaciones lineales se pueden ubicar como temas capitales
del álgebra moderna, y su teoría es extensamente usada en el análisis funcional, en el análisis vectorial y en las ecuaciones diferenciales, entre otros; por ejemplo, en el cálculo es importante para las derivadas de orden superior. Sus numerosas aplicaciones no se restringen al campo de las matemáticas, sino que se extienden también al campo de las ciencias naturales y de las ciencias sociales. La historia del álgebra lineal moderna se remonta a mediados del siglo XIX con los trabajos de William Hamilton, de quien proviene el uso del término “vector”. Sin embargo, solamente en la segunda mitad del siglo XX el álgebra lineal se institucionalizó como una materia básica e introductoria en las matemáticas universitarias.

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ALGEBRA LINEAL GEOMETRICA

ÁLGEBRA LÍNEAL EJERCICIOS RESUELTOS
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Preliminares sobre Grupos
Introducción a los Grupos
El grupo de matrices
Grupo de polinomios
Un ejemplo de grupo no conmutativo
Homomorfismos de grupos
Introducción a la teoría de anillos
Introducción a los Anillos
El anillo de matrices
Unidades en el anillo M!R(n)
El anillo de polinomios
cuerpo de Números Complejos
Preliminares sobre Matemática Discreta
Algoritmos Básicos
Preliminares sobre Sistemas de Ecuaciones.
Resolución de sistemas y Operaciones elementales
Aplicaciones
Espacios Vectoriales
Definición y Ejemplos de espacios vectoriales
Subespacios
Base y Dimensión
Espacio Coordenado
Objetivos Generales
Motivación
Definición y ejemplos
Representación Matricial de T
Clasificación de Espacios Vectoriales
Ejercicios Resueltos
Ejercicios Propuestos
Introducción al Proceso de Diagonalización
Valores y Vectores Propios
Un criterio De Diagonalización
Aplicaciones
Espacios Vectoriales con Producto Interno
Norma
Preliminares sobre Producto Interno
Bases ortogonales
Proyección Ortogonal
Aplicaciones a la Estadística
Mlínimos cuadrados y sistemas de ecuaciones
El método de los mínimos cuadrados
Operadores Especiales
Preliminares sobre Formas
Formas Líneales
Ejercicios Propuestos
Preliminares sobre Formas Bilíneales
Clasificación de secciones Cónicas
Procesos Iterativos y algebra Lineal
Procesos Iterativos
Procesos Iterativos no Clásicos

Problema :
Una empresa elabora 4 tipos de productos T”ß T#ß T$ y T%
www.Matematica1.com
T”ß requiere 10 hrs. de diseño, 4 de armado, 5 de pulido y 2 hrs. de detallesÞ
T#ß requiere # hrs. de diseño, $ de armado, ” de pulido y ” hrs. de detallesÞ
T$ß requiere 1 hrs. de diseño, # de armado, ! de pulido y ” hrs. de detallesÞ
T%ß requiere & hrs. de diseño, $ de armado, ” de pulido y % hrs. de detallesÞ
Los recursos que se disponen son: 610 hrs. de diseño, 334 hrs. de armado, 288 hrs.
de pulido y 172 hrs. para detalles.
a) Determine el nivel de producción de modo, de ocupar todos los recursos.
b) Los costos por hora para el diseño es de $10, los costos por hora para el armado
es de $20, los costos por hora en las máquinas de pulido es de $12 y por terminar
los detalles se cobra $5 la hora. Calcular usando matrices el costo por unidad para
elaborar los productos: T”ß T#ß T$ y T%.
c) Hay más demanda por el producto T% que por el producto T”ß esto obliga a
cambiar el nivel de producción acostumbrado. Se impone la producción de 20 de
T”ß #! de T#ß & de T$ y 25 de T%ÞDetermine usando matrices, si es necesario
adquirir más recursos.
Solución.
Problema :
a) E es una matriz de & ‚ & con dos valores propios. Un espacio propio es
tridimensional y el otro bidimensional. ¿Es E diagonalizable? ,¿porque?.
b) Demuestre que si ? es un vector propio de EF y F? Á )ß entonces F? es
un vector propio de FEÞ
c) Sea J una forma cuadrática dada por Ja!b oe \>E\ß siendo \ el vector
coordenada del vector ! con respecto a W oe Ö!”ß !#ß Þ Þ Þ ß !8× una base de ‘ ß
8
donde E es una matriz simétrica diagonalizable.
Problema :
a) Demuestre que todas las raíces del polinomio característico de una matriz real
simétrica son números reales.
b) Si E es una matriz simétrica de 8 ‚ 8ß entonces los vectores propios que
corresponden a valores propios de Eß distintos entre si, son ortogonales.
Problema :
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, en caso que su
respuesta sea verdadera demuéstrela, y en caso de ser falsa muestre un contra
ejemplo.
a) Sea Z ß el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden 8ß sobre
un cuerpo Oß y sea [ formado por todas las matrices que conmutan con una
matriz dada, entonces [ és un subespacio de Z Þ
b) ‘$/‚ß és un espacio vectorial.
c) En ‘$/‘ß todos los vectores ortogonales a un plano, que no pasa por el origen,
forman un subespacio de ‘$.
Problema :
Demuestre que toda función que proyecta vectores de Z , ortogonalmente, sobre un
subespacio [ del espacio vectorial Z , es una transformación lineal.
Demostración.
Problema :
Sea [ el plano en ‘$ con ecuación B oe !Þ
a) Encuentre la matriz representativa de la transformación que proyecta
ortogonalmente vectores de ‘$, sobre el plano [Þ
b) Determine la matriz representativa de otra transformación, que transforme los
vectores del plano [ en los vectores de un plano cuya normal sea el vector
a”ß “ß “bÞ