ALGEBRA EJERCICIOS DEL PRIMER BIMESTRE DE MATEMATICA DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

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I) OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.1 Definir y clasificar expresiones algebraicas.
1.2 Resolver problemas relacionados a polinomios especiales.
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II) PROCEDIMIENTOS
a) Motivación
Acerca del Álgebra podemos afirmar actualmente lo siguiente: Es una rama de las matemáticas que estudia a la cantidad del modo más general posible y las operaciones que con ella se realizan en los diferentes conjuntos numérico.
Para estudiar a la cantidad del modo más general posible, el álgebra empela constantes y variables.
b) Contenido Teórico

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes o por el número de sus términos.

 SEGÚN LA NATURALEZA DE SU EXPONENTE

A. Expresiones Algebraicas Racionales
Son aquellas cuyas variables no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Estas expresiones se subdividen en:
a) Racionales enteras.- Son aquellas expresiones en las que al transponer todas las variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros y positivos ( o cero).
Ejm: 2x2y3; ;
b) Racionales fraccionarias.- Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador, o si están en el numerador, alguna de ellas aparece con exponente entero negativo.
Ejm: ; 3xy;

B. Expresiones Algebraicas Irracionales
Estas expresiones se caracterizan por que sus variables están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.
Ejm: ; ;

 SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS
A. Monomios.- Son expresiones algebraicas racionales enteras en donde no existe nexos de suma o resta, tratándose entonces de un solo término.
Ejemplos: 8x5y3; – 2x; 5

B. Polinomios.- Un polinomio es la unión de dos o más monomios a través de sumas o restas.
Ejemplos: 3×2 – 2x + x3 + 8; x2 + x – 1;
x + 2

Nota: si un polinomio tiene 2 términos recibe el nombre de binomio; si tiene 3, recibe el nombre de trinomio. Si tiene “n” términos se le denomina polinomio de “n” términos.
II. GRADO DE LAS EXPREIONES ALGEBRAICAS

A. Grado.- Es aquel exponente numérico (no variable) racional positivo o negativo que afecta a una variable tomada como base.
B. Clases de Grado
a.Grado Relativo (G.R.)
Con respecto a una de las variables.
b.Grado Absoluto (G.A.)
Con respecto a todas sus variables

GRADO DE UN MONOMIO

a) Grado Relativo
Se refiere a una de sus variables y está determinada por el mayor exponentes que posee dicha variable; para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada.
Así el monomio: A(x,y,z) = 6x2y5z8
Con respecto a “x” es de 2do grado
Con respecto a “y” es de 5to grado
Con respecto a “z” es de 8vo grado
b) Grado Absoluto
Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables.
Así el monomio M(x,y,z) = – 3x3y2z5
tiene por Grado Absoluto (G.A.)=3+2+5=10

Importante:
El grado de toda constante siempre es cero
Ejemplo:
• Si P(x) = 24, su grado es cero por ser constante.
• Si P(x) = 0. Este es el único polinomio cuyo grado es indefinido.

GRADO DE UN POLINOMIO

a) Grado Relativo
Se refiere a una de las variables y está determinado por el mayor exponente que afecta a dicha letra en todo el polinomio.
Así el polinomio:
F(x;y;z) = 2x2y4z3 – 3x3y2z + 5x5yz2
Es: Con respecto a “x” de 5to grado.
Con respecto a”y” de 4to grado
Con respecto a”z” de 3er grado.

b) Grado Absoluto
Se calcula el término de máximo grado.
Así el polinomio:

Tiene por grado 11.

REGLAS PARA LOS GRADOS DE LAS DIFERENTES OPERACIONES ALGEBRAICAS

En el siguiente cuadro se muestra como obtener los grados de las diferentes operaciones.

Operación Grado Resultante
Multiplicación Se suman los grado de los factores
División Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor
Potenciación Se multiplica el grado de la base por el exponente
Radicación Se divide el grado del radicando entre el índice del radical

POLINOMIOS ESPECIALES

Son aquellos polinomios que poseen características particulares que los diferencian de otros. Estos son:

A. Polinomio Homogéneo
Es aquel cuyos términos están constituidos por más de una variable y presentan el mismo grado.
Ejemplo: P(x; y) = 2xy4 – 3x3y2 + y5 es un
Polinomio homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 5.
B. Polinomio Ordenado
Cuando los exponentes de la variables que se toma como referencia, guardan cierto orden, ya sea ascendente o descendente.
Ejemplo: P(x; y) = x5y – 2x3y2 + 6xy3 es ordenado en forma decreciente respecto a “x”; y en forma creciente respecto a “y”.

C. Polinomio Completo
Es aquel que contiene todos los exponentes de la variable que se toma como referencia, desde el mayor exponente hasta el exponente cero inclusive (término independiente).
Ejemplo: P(x) = – 3x + 4×2 + 2×3 – 11 es completo de 3er grado y tiene 4 términos.
Importante:
En todo polinomio completo se cumple que el número de términos es igual al grado del polinomio aumentado en una unidad.
# términos = Grado + 1

D. Polinomio Idénticos
Son aquellos cuyos términos semejantes poseen el mismo coeficiente.
Ejemplo: Si P(x) = ax3 + bx2 + c y
Q(x) = mx3 + nx2 + p
Son idénticos [P(x)  Q(x)], se cumplirá que:
a = m ; b = n ; c = p
E. Polinomios Equivalentes
Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes adoptan el mismo valor numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables.
Ejemplo:
Dado los polinomios:
P(x; y) = (x+y)2 + (x–y)  Q(x; y) = 2(x2+y2)
Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de “x”  “y”, entonces serán equivalentes; veamos.

Hagamos x = 3 ; y = 2

En P(x; y) : P(3; 2) = (3+2) + (3 – 2) = 26
En Q(x; y) : Q(3; 2) = 2(32+22) = 26

Por lo tanto: P(x; y)   Q(x; y)

F. Polinomio Idénticamente Nulo
Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la variable.
Ejemplo: Si: P(x) = ax4 + bx + c, es idénticamente nulo, se cumplirá : a = 0 ; b = 0
y c = 0
Y se podrá representar así: P(x)  0

 Propiedades Adicionales en los Polinomios

1. Valor Numérico de un Polinomio
Es el valor que adquiere el polinomio cuando se le asigna determinados valores a sus variables.
Ejemplo1: Si: P(x) = x2 – 3x + 2
 P(1) = 12 – 3(1) + 2 = 0
 P(2) = 22 – 3(1) + 2 = 0
 P(– 2) = (– 2)2 – 3(– 2) +2= 12

Ejemplo2: Si: P(x) = 4x + 3; hallar P(3x – 5)
En este caso reemplazamos x por 3x – 5
 P(3x – 5) = 4(3x – 5) + 3 = 12x – 17

Ejemplo3: Sea F(x – 1) = 19x + 1; hallar F(x)
Solución:

 Método de cambio de variable
x – 1 = y  x = y + 1
 f(y) = 19(y + 1) + 1 = 19y + 19 + 1
 f(y) = 19y + 20
 Método de formación de variable en el segundo miembro:
f(x – 1) = 19x+ 1 = 19x – 19 + 20
 f(x – 1) = 19(x – 1) + 20
 f(y) = 19y + 20 , cambiamos y por x:
f(x) = 19x + 20

2. Para todo polinomio se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando a la variable o variables con las cuales se está trabajando por la unidad.

3. Análogamente, el término independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a la (s) variables (s) por cero.

EJERCICIOS DE CLASE

01. Señale verdadero o falso:
I) es irracional
II) 3xy + y2 es racional entera
III) es racional fraccionaria

a) VFV b) VFF c) VVV d) FFF e) VVF

02. Señale la alternativa que representa a una expresión algebraica racional fraccionaria.

a) b) c) (x–2)–3 d) e)

03. Es una expresión algebraica racional entera, excepto:
a) b) c) (x–2 d) e) 1

04. Hallar el grado absoluto de la expresión:
x2y + x3yz – xyz + x3y3

a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 15

05. Son términos semejantes:

a) 5b2 y 5a2 b) 3a2bc y 3a2b c) 99a2 y d) a2 + b y a + b2
e) N.A.

06. Hallar el valor de “n” para que el grado de (2xn+2y)3 sea 18.

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

07. Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9.

3xa+1y – 4a+2xay – 5×2

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 15

08. Calcule el grado de:

a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 0

09. Si el grado relativo a “x” es 9. Dar el grado relativo a “y”, en:

P(x, y) = 21x3yn – 8(xy)3n – xny5

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

10. En la siguiente adición de monomios:

Calcular a + b + c

a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 14

11. ¿Cuál es el grado absoluto de?

P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 – 8x4y2 + 9y9 – 7x2y2

a) 8 b) 9 c) 12 d) 15 e) N.A.

12. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es el tipo racional fraccionaria.

a) b) c) d) e) N.A.

13. Hallar A – b para que el polinomio:

Ax4 + (B – 3)x2 + bx + A

Sea de grado 1

a) 0 b) – 2 c) – 3 d) – 4 e) – 5

14. Respecto a x, la expresión:

a) Es de 1er grado b) Es de 2do grado c) es de 3er grado
d) Es de 6to grado e) Es de 8vo grado

15. Si: (a + 2)x2a + 3 y3b – 1;
(b – 3)xa+5 y2a+b–3

Son semejantes; su suma es:

a) 2x7y2 b) – x5y3 c) 3x3y7 d) – 2x7y3 e) 5x4y3

16. Si el grado absoluto de:
P(x, y) = x2ayb+2 – 3xayb+1 + xayb
Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. Calcular el grado relativo a “y”.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.

17. dado el término:
2xa-1yaz2a. Si su grado absoluto excede en 9 a su grado relativo a “x”. Hallar su grado relativo a “y”.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A.

PROBLEMAS PROPUESTOS IV

01. Calcular (a-b) si el monomio:
M(x; y) = 5x2a+bya+2b
Tiene: G.A. = 15 y G.R.(x) = 8

a) 1 b) – 1 c) 2 d) – 2 e) 3

02. ¿De que grado es la expresión?
E = 2xy + (x – y)2 + x2 – y2

a) 2 b) 1 c) 0 d) Indefinido e) N.A.

03. Dado el polinomio
2xa+2y2 – 3xa+1 yb + 52x6yb–1 , si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a “y” es 4. hallar su grado relativo a “x”.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e)7

04. Hallar el valor de “a” para que el grado del polinomio 3xa + 1 – 4a + 2xay – 5×2 sea 9.

a) 7 b) 5 c) 6 d) 8 e) 4

05. Hallar el coeficiente del monomio

Si su G.A. es 10 y el grado relativo a “x” es 7.
a) 1 b) 2 c) d) 3 e) 9

06. Se tiene los polinomios P y Q. Determinar el grado absoluto de Q si se sabe que el grado absoluto del polinomio P es 16 y el menor exponente de “y” en el polinomio Q es 4.
P = 5xm + 11yn – 3 – 3xm + 7yn + 2 + 7xm + 2yn + 1

Q = 4x2m + 6yn + 2 – 3x2m + 2yn + 7 – 5x2myn + 10

a) 20 b) 21 c) 22 d) 24 e) N.A.

07. Si G.P.(x) = 3  G.Q.(x) = 4
¿Cuál es el grado de la expresión?

a) 46 b) 47 c) 48 d) 49 e) 50

08. Marque la alternativa que representa una expresión algebraica racional fraccionaria.
a) b) c) d) 3×3 + 2y4 e)

09. Marque la alternativa que representa una expresión algebraica racional entera.
a) b) c) d) 2×3 – 3y– 1 e) N.A.

10. ¿Cuál es el grado del polinomio?

P(x) = xn – 1 + xn – 3 + x5 – n
Si se sabe que tiene tres términos.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Hay dos respuestas.

11. Si el siguiente polinomio es homogéneo:
P(x; y) = x5 + xny2 + xmy4 + yr – 1
Hallar: m+ n + r

a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12

12. El polinomio:
P(x; y) = ax3 – a2x2y + a3xy2 – a4y3
a) Es heterogéneo, ordenado y completo.
b) Es homogéneo, ordenado y completo.
c) Es homogéneo, ordenado e incompleto.
d) No es homogéneo, no es ordenado ni completo.
e) N.A.

13. Si el polinomio es completo:
P(x) = xn+1 + 3xn+2 + xn+3 + 5
Hallar “n”
a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

14. Hallar 2a + b, sí se tiene que:
(2a – b)x2 + 4bx + 2c  7×2 + 20x – 5

a) 21 b) 17 c) 19 d) 11 e) 13

15. Si el polinomio:
P(x) = 20xm – 6 – mxn – m + 3 + 3pxp – n + 5
Es completo y está ordenado en forma creciente.
Calcular.
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) P(1)

16. Si el polinomio:
3x3ym + 8xny4 + mxmym + n – 6
es homogéneo, hallar el grado del polinomio:
2x2mym+n + 3xnym+n – 4x3m

a) 12 b) 14 c)17 d) 19 e) 20

17. Sea f(x) = x2 + 3
Si: = 8. Hallar f(a):
a) 26 b) 28 c) 30 d) 32 e) 34

18. Siendo: F(x+1) = 3×2 +7x – 9
Determinar : F(x – 3)

a) 3×2 – 17x + 11 b) x2 – 11x + 7
c) 3×2 – 2z + 1 d) 2×2 – 9x + 11
e) N.A.
19. Determinar “m” con la condición que el término independiente del producto (m  0):
(x + 3)2 (x + 2)3 (x – m)2 (x2 + 5)
sea 1440

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
20. Hallar “K” si se cumple la siguiente identidad:
(x + y)7 – x7 – y7  Kxy(x + y) (x2 + xy + y2)2

a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 10

TAREA DOMICILIARIA

01. Si: f(x + 3) = (x – 1) (x + 2) + 3

Calcular: f(2) + f(1)

02. Si el grado relativo de “m” es 9. Dar el grado absoluto del polinomio P(m; n).

P(m; n) = 21m3yn – 7(mn)3n – mny5

03. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas:
I. II. III. IV.
V.

04. Si el grado del polinomio: P(x) = (25×2 + 7)n (100×3 – 1) (2×5 – 1) Es 49.
Calcular el valor de

05. Si el polinomio: 5a3bm + 10anb4 + mambm + n – 6 es homogéneo, hallar el grado del polinomio:
2a2mbm+n + 3anbm+n – 4a3m

06. Si el polinomio es completo: P(y) = yn+1 + 8yn+2 + yn+3 + 11.
Hallar: n2 +2n – 5

OPERACIONES CON POLINOMIOS

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1.1 Efectuar correctamente las operaciones de adición y/o sustracción de polinomios.
II. PROCEDIMIENTOS

A) MOTIVACION
En nuestro mundo existen muchos misterios que el hombre, a través de aproximaciones, trata de desentrañar. Es la lucha constante de los estudios de las ciencias.

Las matemáticas tienen sus misterios, sus incógnitas, pero a pesar de ello es posible sumar, restar, multiplicar, dividir; en fin realizar operaciones con cantidades desconocidas, ¡solo están representados!, pero se pueden realizar las operaciones con estas cantidades abstractas.

B) CONTENIDOS TEÓRICOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS

1. ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para efectuar dicha operación, escribimos los polinomios, uno bajo el otro, o uno al costado del otro y se procede a reducir términos semejantes.
Ejemplo:

Si: M = x2 + 3×2-8 ; N = 4×3-4×2-x+2
P = 2×2-8x+3

Calcular : M + N + P

Colocamos un polinomio debajo del otro, tratando que los términos semejantes estén en una misma columna.
así:

(+)

1. SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Para efectuar esta operación, lo transformamos en una adición reemplazando el sustraendo por su opuesto.
Ejemplo:

Hallar Q(x) – H(x), sabiendo que:
Q(x) = 8×7 – 5×2 + 6 – x4
H(x) = 3×2 – x – 2×4 + 7×7

Para hallar la DIFERENCIA, los escribimos:
Q(x) – H(x)
(8×7 – 5×2 + 6 – x4) – (3×2 – x – 2×4 + 7×7)

* Eliminando los signos de colección:
8×7 – 5×2 + 6 – x4 – 3×2 + x + 2×4 – 7×7

* Reduciendo términos semejantes:
x7 – 8×2 + 6 + x4 – x

* Ordenando el polinomio diferencia:
x7 + x4 – 8×2 + x + 6. Rpta.

PRÁCTICA DE CLASE 02

I. Hallar la suma de:

a) 4a + 5b – 3c ; a – b + 2c ; – a + b
b) a + b – c; a – b + c; –a + b + c
c) 2x + y + z; x – y + 2z; 5y – 2z + z
d) m + 3n + 2p; –2m – 3n + p; 3m – 2n – 3p
e) x2 – 3x + 5; –2×2 + 5x + 8; 12×2 – 8x – 6
f) 3x2y2 – y2 + 2×2 ; 5×2 +2x2y2 – 3y2 ;
2y2+3×2 – 4x2y2
g) (a2 + 2ab – c2) – (–b2 + 4ac + 2a2)
h) 2m –
i) – [–x+y+{–(–2x+y) – [y – x +(2x – y)] –y}]
j) – [– {– (– x+(y + z) + y) – z}+ x] – x+y+ z
k)

II. Hallar el producto de multiplicar.

a) (x + y – z) por (x + y + z) b) (m2 + mn) por (m – m2n + 1)
c) a2 – ab + b2) por (a + b) d) 2x + y por x + y + 3
e) 3ax-1 +2ax por 3ax+1 – 2ax –1

III. Efectuar:

a) (a + b – 1) (a – b + 1)
b) (x + 2) (x -1) + (x – 2)(x +3) – (x + 2)(x +3)
c) 2(x – 1)2 – 3(x – 2)2 – 2(x – 1)2
d) (2x – 1)2 – 3(x + 3) – (x – 1)(x – 2) (x – 3)

IV. Simplificar las siguientes expresiones:

a) 5(x – 2) – 2(x – 5)
b) 3x – [5x – (2x – 2) + 5] – 12
c)
d) 2x – [3x – [2y + 5x) + y] + 3x – 2
e)

PROBLEMAS PROPUESTOS (II)

01. Sustraer 2x + 8 de 3×2 – 6x + 7

a) – 3×2 + 8x + 1 b) 3×2 + 8x – 1 c) 3×2 – 8x – 1
d) – 3X2 – 8X – 1 e) 3×2 + 8x + 1

02.Efectuar:
(x + 1) (x + 2) + (x – 1) (x – 2) + 2x(1 – x)

a) 2(x +2) b) 2x + 1 c) 2(x – 1) d) 2(x + 1) e) N.A.

03.De m2 sustraer la suma de 3mn – 6 y
3m2 – 8m + 5

a) 2m2 – 5mn – 1 b) – 2m2 + 5mn + 1 c) 2m2 + 5mn + 1
d) – 2m2 – 5mn – 1 e) N.A.

04.Hallar A . B, si:

A = x2 + xy + y2
B = x2 – xy + y2

a) x4 + 2xy +4x2y2 – y4 b) x4 + x2y2 + y4 c) x8 + xy + 2x2y2 + 4x4y4 + 8y8
d) x4 – xy – y2 – 2y4 e) N.A.

05.Simplificar:
E = [x +{–(x + y) – [– x + (y – z)] – y}] – 2y+2z

a) x – y + z b) – x + y + z c) x + y – z d) – x – y – z e) N.a.

06.Simplificar la expresión:
[– 3m – {n +[– m + (2m – n) –(– m + n)] + 3n]} + 3m]

a) m + 2n b) m – n c) 2m – n d) – m – n e) 0

07.Si: A = x2 – xy – 2y2
B = 3×2 – 4y2 + 4xy
C = – x2 + y2 – 3xy
Calcular: B + C – 2A

a) 2xy – y2 b) 3xy + y2 c) – 3xy + y2 d) 4xy – x2 e) N.a.

08.Hallar:

a) 0 b) 2m2n c) 4m2n d) – 4m2n e) N.a.

09.Dados. P = (p – 1)x2 + 3x + 3y
Q = 5×2 – 3(x + y)
Si: P – Q se reduce a 6(x + y). Hallar el valor de p.

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

10. Simplificar:

a) 0 b) x c) – x d) 7x e) – 7x

I. OBJETIVOS ESPECIFICOS:
1.1.Determinar el producto de dos expresiones algebraicas.
II. PROCEDIMIENTOS
A. MOTIVACIÓN
En esta sesión se tratará de la operación algebraica llamada multiplicación y la manera de efectuarla. Recuerda que la habilidad para el manejo de las expresiones algebraicas, con precisión y rapidez, es requisito satisfactorio en las aplicaciones del álgebra.

B. DESARROLLO
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos expresiones algebraicas hallar una tercera llamada producto.

La multiplicación se caracteriza por medio de cinco leyes o propiedades análogas a las de la adición.

Ley de la Existencia:
La multiplicación es siempre posible.
Ley de la Unicidad:
Para dos números dados cualesquiera a y b, existe un número c y sólo uno tal que ab=c.
Ley Conmutativa:
Si a y b son dos números cualesquiera entonces ab=ba.
Ley Asociativa:
Si a,b y c son tres números cualesquiera entonces: ab) c = a (bc)
Propiedad Multiplicativa de la Igualdad:
Si a,b y c son números cualesquiera tales que a=b entonces ac=bc.
La multiplicación y la adición están relacionadas por medio de la importante propiedad llamada:
Propiedad Distributiva:
Dados a,b y c tres números cualesquiera entonces:
a(b+c) = ab+ac
Regla de los Signos:
La regla de los signos es consecuencia de los teoremas siguientes:
* El producto de un número positivo por un número negativo es un número negativo
* El producto de dos números negativos es un número positivo.
En general:
El producto de un número cualesquiera de factores es positivo si no hay factores negativos o bien si el número de los factores negativos es par, el producto serán negativo si el número de factores negativos es impar.
Ejemplo:
a) ( 4 ) ( – 2) = – 8 b) ( – 2) ( – 3) = 6
En la multiplicación de expresiones algebraicas es conveniente utilizar las siguientes leyes de los exponentes para calcular los términos del producto.

I. Multiplicación de Monomios
Para multiplicar monomios, primero se multiplican los signos de acuerdo a la regla dada, después se multiplican los coeficientes y a continuación la parte literal teniendo en cuenta las leyes de los exponentes.

1. Efectuar:

2. Efectuar:

3. Efectuar:

II. Multiplicación de un Monomio por un Polinomio
El procedimiento utilizado es una consecuencia inmediata de la propiedad distributiva.
Ejemplos:
Efectuar :

Efectuar:

III. Multiplicación de Polinomios
Para la multiplicación de polinomios también se aplica la propiedad distributiva, es decir se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, luego se reducen términos semejantes si los hubiera. Ejemplo:
Multiplicar:
3x – 2 por 4x – 5
Resolución :
(3x- 2).(4x- 5)=12 -15x – 8x+10=12 -3x+10

Multiplicar :
por

Resolución:
(2 -3).(2 -3 -2x-1) =
=4 -6 -4 -2 + 6 +9 +6x +3
= 4 – 6 – 6 +5 -2 +6x+3

Por lo laborioso que resulta, la reducción de términos semejantes, es conveniente escribir los factores uno debajo del otro, estando ordenados ambos según las potencias de una cierta variable.(colocando un cero por cada término que falta, con la finalidad de guardar su lugar), luego colocar los productos parciales en columnas de modo que los términos semejantes aparezcan uno debajo del otro para facilitar su reducción.
Ejemplos:

Multiplicar : 3x – 2 por 4x – 5
Resolución :
3x – 2
4x – 5
12×2 – 8x
– 15x + 10
12×2 – 23x + 10

Multiplicar : 2×4 – 3×3 – 2x – 4 por 2×2 – 1
Resolución
2×4 – 3×3 + 0 – 2x – 1
2×2 – 0 – 3
4×6 – 6×5 + 0 – 4×3 – 2×2
– 6×4 + 9×3 + 0 + 6x + 3
4×6 – 6×5 – 6×4 + 5×3 – 2×2 + 6x + 3

Estos productos también se pueden obtener mediante el proceso conocido como Multiplicación de Coeficientes Separados. Este proceso consiste en formar una tabla de doble entrada, escribiendo en la primera fila los coeficientes de uno de los factores y en la primera columna, los coeficientes del otro factor; en la intersección de cada fila con cada columna, el producto del coeficiente que encabeza la fila por el coeficiente que encabeza la columna.
Finalmente, cada coeficiente del producto es la suma de los productos que pertenecen a una misma diagonal, excepto los extremos.
Ejemplos:
Multiplicar : 3x – 2 por 4x – 5
Resolución.

x 3 – 2
4 12
– 8
– 5 – 15 10

Multiplicar : 2×4 – 3×3 – 2x – 1 por 2×2 – 3

Resolución:

x 2 – 3 0 – 2 – 1
2 4 – 6
0
– 4 – 2
0 0 0 0 0 0
3 6 9 0 6 3

Finalmente el producto será:
4×6 – 6×5 – 6×4 + 5×3 – 2×2 + 6x + 3

PRÁCTICA DE CLASE 03

1. Multiplicar los siguientes Monomios
a) (- 15×2 y) . (- 3×3 y2 z5)
b) (5×3 y2) . (6×5 y2) . (- 11xz4)
c) (3/8 x5 y9) . (- 10/11 x4 y5 z3)
d) (- 3/5 xy2) (- 8/9 x3 z2) (- 15/2 x3 y3 z6)

2. Efectúe las siguientes multiplicaciones de Monomios por polinomios
a) 3a2 b (5a2 – 2ab + b2)
b) – 2a3 b2 (5a3 – 2ab + 6)
c) 3/8 x2 y (4×3 y – 12/7 xy3 z – 16/9 y5 z4)
3. Multiplique los siguientes polinomios, ordenando los factores uno debajo del otro
a) (2×2 – 5x + 9) (6×2 – 3x + 11)
b) (x3 – x + 3) (x2 – 8 + 2x)
c) (8×3 + 5 – 7x) (2×3 + 7 – 3x + 4×2)
4. Multiplique los polinomios del ejercicio 3 de la comprobación, por el método de coeficientes separados.
5. Efectúe las siguientes multiplicaciones y halle el producto de la suma de los coeficientes con exponente par, por la suma de los coeficientes con exponente impar.
a) (3×2 – 5x + 7) (2×2 + 6x – 9)
b) (x2 – 11x + 7) (x3 – 7×2 + 6x – 3)
c) (x+5) (2×2 – 5x + 6)
d) (x + 8) (x – 3) (x2 – 5x + 7) (x – 1)

6. Efectúe las siguientes multiplicaciones:
a) (3×2 – 5xyz2 + 6y3 z5) (2×2 – 3xyz +7y2 z3)
b) (5/3 x2 y – 3/7 xy2 z + 11y4 z4) (6×2 – 14xyz + 6z2)
c) (x2 – xy + y2) (5×2 – 3xy + 7y2) (x3 – 2×2 y + y3)

PROBLEMAS PROPUESTOS III
1. Al multiplicar los polinomios:
A(x) = 2×4 – x2 + 2x – 3 y
B(x) = 3×3 – 6×2 + 1.
Señalar el menor coeficiente del polinomio producto.
a) 2 b) – 21 c) – 12 d) – 3 e) 6
2. Completar la siguiente tabla del producto de dos polinomios.
x – 3 2 – 1
– 4
4 – 8
1 2

Señalando la suma de los coeficientes positivos del polinomio producto.

a) 12 b) 22 c) 19 d) 25 e) N.a.

3. Completar la siguiente tabla del producto de dos polinomios y señale la suma de los coeficientes del polinomio producto.

x 2 – 3 4
1 -5 -1
6
– 4

a) 6 b) – 3 c) 15 d) – 9 e) 5

4. Al multiplicar los polinomios : A(x) = x2 +x + 1 ; B(x) = x + 3.

Se obtiene : P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Hallar el valor de : a + b – c

a) 6 b) 4 c) 5 d) 7 e) N.a.

5. Hallar el coeficiente del término de grado 5 del producto total en:

(3×5 – 1 + 2×4) (3 + 4x – 2×2) (x2 + 1)

a) 12 b) 13 c) 17 d) 19 e) N.a.

6. Hallar “m” para que en el producto resultante, el termino de grado 4° tenga como coeficiente 21.
(mx3 – mx + 3×4 – 3 + 5×2) (4 + 3×2 + 2×3 – x)

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.

7. Hallar “m” para que en el producto resultante, el término de grado 3° tenga como coeficiente 7.

(mx + 3×2) (mx2 – 3x + 1) (x – m)

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.

8. Hallar el grado absoluto del producto total en

(x22 + 1) (x23 +1) (x24 + 1) …..
20 factores en total

a) 610 b) 620 c) 630 d) 440 e) 800

09. Hallar el grado absoluto del producto total en:

(x2 + 1) (x12 + 1) (x36 +1) (x80 + 1) ……
10 factores en total

a) 3025 b) 3045 c) 3065 d) 3410 e) 385

10. Indicar el producto de los coeficientes de uno de los factores de:
(4x + 1) (12x + 1) (3x + 1) (2x + 1) – 36

a) 42 b) 420 c) 70 d) 700 e) 500

TAREA DOMICILIARIA

1. Efectuar las multiplicaciones de los siguientes polinomios:

a) (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) b) (6m7 – m2 + 2) (3mn + m4)
c) (5×2 + 3x – 2) (6×3 – x + 1)

2. Señale el resultado de multiplicar la suma de
2x – x2 + x3 con x2 – x3 + 3; con el resultado de la diferencia de 3×2 + x + 6 con 3×2 – x – 1, al resultado final restarle : 4x (x + 5).

3. Dadas las siguientes expresiones:

A = 2(x2 + x + 2) (x – 1) + 3(x + 1) (x2 – 1)
B = 2(x2 – x + 2) (x + 1) + 3(x – 1) (x2 + 1)
Indicar el valor de: (A + B) – 4x + 6

4. Si se sabe que:
A = 2(x2 + x + 1) (x + 1) + 2x
B = 2(x2 – x + 1) (x – 1) – 2x
Calcular: A – B – 4x – 4

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
1. Identificar los productos notables a partir de los factores. Así como el reconocimiento de los factores a partir del producto.
2. Aplicar los productos notables en la solución de problemas.

II. PROCEDIMIENTOS.
A. MOTIVACIÓN.
Para llevar a cabo cualquier multiplicación se debe utilizar la ley distributiva de los números reales, es decir:
a(b + c) = ab + ac ó (b + c) a = ba + ca

Pero par mayor número de términos esta ley se debe ampliar o buscar métodos prácticos que permitan realizar operaciones con mayor facilidad como la regla del cuadro de doble entrada, que es de mucha utilidad para multiplicar polinomios completo y ordenado en forma decreciente de una variable tal como se muestra:

Sean los polinomios:

P(x) = x2 + 2x + 3;
Q(x) = 2×3 + 4×2 – 5x + 2

Luego se ubican los coeficientes en un cuadro de doble entrada:
P
Q 1 2 3
2
4
– 5
2

Y se completa el cuadro colocando en cada casillero los productos de los coeficientes de P y Q según corresponda:
P
Q 1 2 3
2 2 4 6
4 4 8 12
– 5 – 5 – 10 – 15
2 2 4 6
Bien sabemos que el grado del producto de P y Q es 5 y los coeficientes se toman sumando diagonalmente los resultados del cuadro.
Finalmente como el producto PQ tiene igual característica que: P y Q tenemos:
P(x)–Q(x)=2×5 + 8×4 + 9×3 + 4×2 – 11x + 6

A pesar de esto para los ejercicios que tengan una o más variables se pueden emplear algunas multiplicaciones cuyos resultados adoptan formas fáciles de reconocer los cuales reciben el nombre de PRODUCTO NOTABLE.

B. CONTENIDO TEÓRICO.
PRODUCTOS NOTABLES.-
Son ciertos productos que se determina sin necesidad de efectuar la multiplicación; cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección utilizando para ello identidades algebraicas.
Debe tener presente que los diferentes productos notables que se exponen en el presente módulo serán de mucha utilidad cuando esté cursando estudios superiores, por lo que trata de retener su desarrollo y aplicarlo con precisión.

La siguiente es una lista de los principales PRODUCTOS NOTABLES:

1. Binomio al Cuadrado:

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a–b)2=a2–2ab+b2

Observaciones:

(– a – b)2 = (a + b)2 = ( b + a)2

(– a + b)2 = (a – b)2 = ( b – a)2

2. Binomio Suma por Binomio Diferencia:

(a+b) (a–b)=a2–b2

3. Identidades de Legendre:

(a + b)2 + (a – b)2 = (a2 + b2)

(a + b)2 – ( a – b)2 = 4ab

4. Binomio Al cubo:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b)

5. Multiplicación de un Binomio con un Trinomio:

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

6. Multiplicación de Binomios con Término Común:

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc

7. Trinomio al cuadrado:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

8. Trinomio al Cubo:

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc

(a + b + c)3 = a3 + b3 +c3 + 3(a + b) (a + c) (b + c)

(a + b + c)3 = a3 + b3+ c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ac) – 3abc

9. Identidades de Lagrange:

(ax + by)2 + (ay – bx)2 = (a2 + b2) (x2 + y2)
(ax+by+cz)2 + (ay–bx)2 + (az+cx) + (bz–cy)2 = (a2+b2+c2) (x2+y2+z2)

10. Identidad de Argand:

(a2+ ab + b2) (a2 – ab + b2) = a2 + a2b2 + b2

11. Identidad de Gauss:

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+ b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

12. Identidades Condicionales:

•Si a; b; c  R:

a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc entonces: a = b = c
•Si a + b + c = 0 ; entonces:

a2 + b2 + c2 = 2(ab + ac + bc)
a3 + b3 + c3 = 3abc
a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + a2c2)

PRÁCTICA DE CLASE

01. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. (x + y) (y – x) = x2 – y2
II. (x + 2) (x – 3) = x2 + x – 6
III. (x + y) (x2 – 2xy + y2) = x3 + y3

a) VVV b) VFV c) FFF d) FVF e) FFV

02. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. (3n + 1) (3n – 1) = 32n – 1
II. (x + y)3 (x – y)3 = x6 – y6
III. (A + B)2 + (A – B)2 = 2(A2 + B2)

a) VFV b) FVF c) FFV

03. Simplificar:

(x + a) (x – a) (x2 – ax + a2) (x2 + ax + a2)
(x6 + a6) (x12 + a12) + a24

a) a24 b) x24 c) x12 d) a12 e) a18

04. Calcular:

(x + 9)2 – (x + 13) (x + 5) (x + 10) (x + 9) –
(x + 16) (x + 3)

a) 21/8 b) 2/7 c) 3/4 d) 8/21 e) 4/7

05. Simplificar:

a) 8 b) 0 c) 1
d) 2 e) 4

06. Simplificar:

a) y2 b) x2 c) y d) x e) xy

07. Simplificar:

(x + 1) (x – 1) (x + 2) (x + 4) + 2x(x + 3) – x2(x + 3)2

a) 8 b) – 8 c) 4 d) – 4 e) 2

08. Calcular:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

09. Simplificar:

(a + b)(a2 + b2)(a3 – b3)(a2 – ab + b2) . (a4 – a2b2 + b4) + b12

a) 12 b) b12 c) a24 d) b24 e) N.A.

10. Simplificar:

(a2 + 5)(a2 – 5)(a4 – 5a2 + 25)(a4 + 5a2 +25) – (a – 125) + 31250

a) 125 a6 b) 250 a6 c) 25 a6 d) 125 e) N.A.

11. Indica el resultado de efectuar:

a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

12. Reducir:

a) a2 b) a c) a3 d) a6 e) N.A.

13. Al reducir:

(a + b)3(a – b)3 – (a2 – b2)(a4 + a2b2 + b) + 3a4b2

a) 3a2b4 b) 3a4b2 c) 3a6b4

14. Al reducers:
(x + 1)(x – 2)(x + 3)(x – 4) – (x + 2)2(x – 3)2 + 2(x2 – x)

la expresión resultantes es:

a) 36 b) – 24 c) – 12x d) 24x – 1 e) – 12

PROBLEMAS PROPUESTOS (V)

01. Efectuar: (x + 2)2 – 2(x + 1)2 + x2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) – 1

02. hallar: 5(2 + )3 – 14 (1 + )3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

03. Calcular:

a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e)

04. Reducir:

a) a b) a2 c) b d) b2 e) ab

05. Hallar:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

06. Efectuar:

(x2 + 5x + 5)2 – (x + 1) (x + 2)(x + 3)(x + 4)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

07. Reducir:

(a + b + c)3 – (a + b)3 – 3(a + b)(a + b + c)c

a) a3 b) b3 c) c3 d) 2a3 e) 2b3

08. Efectuar:

(a+b+c)(a+b+d) + (b+c+d)(a+c+d) – (a+b+c+d)2

a) ab + cd b) ac + bd c) ad + bc d) a2 + b2 + c2 + d2
e) (a + b)(c + d)

09. Realizar:

E = (a2+a–ab+b+b2)2 – (a2–a–ab–b+b2)2

a) 2(a2 + b2) b) (a2 – b2) (4) c) 4(a3 + b3) d) 4(a3 – b3)
e) 2(a2 + ab + b2)

10. Simplificar:

a) x b) x4 c) – 1 d) – x2 e) 1

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

1. Conocer los métodos de división de polinomios.
2. Buscar la aplicación de la división a capítulos posteriores.
3. Hallar los restos de algunas divisiones en forma directa.

II. PROCEDIMIENTOS.

A. MOTIVACIÓN.
La operación de la división aparece y se desarrolla conjuntamente con los números quebrados al llamarles números ruptos (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar el numerador del denominador. En el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio de M.C.M.
La división de polinomios se simplifica cuando aparecen los trabajos de Guillermo Homer y Paolo Rufino; donde se muestran esquemas que hacen que la división de polinomios sea mas sencilla.
La división de polinomios tiene mayor aplicación en la teoría de ecuaciones. A continuación desarrollaremos una aplicación importante del Homer al cálculo de la suma de las potencias de las raíces de una ecuación polinominal.
Ejemplo:
Sea polinomio; P(x) = x3 – x2 + 11x – 6 donde se sabe que las raíces son: x1 = 1; x2 0 2; x3 = 3 ahora obtendremos el polinomio: P(x) = 3×2 – 12x + 11 (llamado también la derivada de P (x)).

Luego dividimos: por Homer.

Lo que se obtiene en el cociente representa:

1 3 – 12 11
6
– 11
6 18 – 33 18
36 – 66 36
84 – 154 84
.
.

3 6 14 36 …..

   

S0 S1 S2 S3

Lo cual se verifica tendiendo en cuenta que: x1=1; x2=2; x3=3; como se planteó al inicio.

B) CONTENIDOS TEÓRICOS
DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Definición
Es aquella operación donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se obtienen otros dos polinomios llamados cociente y residuo; donde estos 4 polinomios cumplen la siguiente identidad:

D(x)  d(x) q(x) + R(x)

Donde :
D(x) = Polinomio Dividendo
d(x) = Polinomio Divisor
q(x) = Polinomio Cociente
R(x) = Polinomio Resto ó Residuo

Además: Grado [d(x)]Grado [R(x)  R(x)=0

PROPIEDADES DEL GRADO

• GR [d(x)]  GR [d(x)]
• Máximo GR [R(x)] = GR [R(x)] –1
• GR [q(x)] = GR [D(x)] – GR [d(x)]
Clasificación de la División

A. División Exacta  R (x)  0
Del algoritmo D(x)  d(x)q(x) + R(x)

B. División Inexacta  R (x)  0
Del algoritmo D(x)  d(x)q(x) + R(x)

Método para dividir
Para dividir polinomios; se van a desarrollar dos métodos:

A. Método de Homer
Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema.

NOTA:
K = Grado de Divisor

Ejemplo:
Dividir:

Primero completamos los polinomios:
D(x)  2×5 – x4 + 2×3 + 5×2 + 0x + 2

D(x)  2×3 – x2 + 0x + 5
Llevamos al esquema:

1 2 – 1 2 5 0 2
1
0
– 5 1 0
0 0
2 – 5
0 0
1 0 – 5
1 0 1 1 0 – 3

q (x) R (x)

q(x) = 1×2 + 0x + 1 = x2 + 1
R(x) = 1×2 + 0x – 3 = x2 – 3
B. Método de Ruffini
Es una consecuencia del método de Homer que se aplica cuando el divisor es de la forma:
d(x) = ax + b; a  0; de acuerdo al esquema:

Donde:

Ejemplo:
Dividir:

como están completos y ordenados llevamos al esquema:

3x-1=0 3 8 -6 13 17 -1 3
X = 1/3 1 3 -1 4 7 2
3 9 -3 12 21 6 5

q(x) Falso R(x)

q(x) verdadero =

q(x) = 1×5 + 3×4 – 1×3 + 4×2 + 7x + 2
R(x) = 5

Teorema del Resto
Este teorema nos permite hallar el resto de una división en forma directa; de acuerdo al enunciado:
Sea P(x) un polinomio no constante; entonces el resto de dividir P(x) entre:
(x – a) es P(a).
Demostración:
Del algoritmo: P(x)  (x – a)q(x)+R para
X = a  P(a) = 0q(a) + R  P(a) = R
Ejemplo:
Sea P(x) un polinomio no constante.
• El resto de es P(5)
• El resto de es P(–4)

Procedimiento Práctico

I. Igual a cero el divisor.

II. Reemplazar en el denominador.

Ejemplo:

Hallar el resto de :

I. x – 2 = 0  x = 2
II. Resto = 25 + 2 – 1 = 33

Generalización del Teorema del resto
El teorema del resto también se aplica para divisores de la forma: ax + b; a  0; y para divisores de grado mayor que uno de acuerdo al siguiente procedimiento:

I. Se iguala a cero el divisor y se despeja lo más conveniente.
II. Se reemplaza en el numerador; hasta obtener un polinomio de grado menor que el grado del divisor el cual será el resto.

Ejemplo:
Hallar el resto de:

Resolución:
Por el T.R. Generalizado:
I. x2+5x–1 = 0  x2+5x = 1
II. Resto = (x2+5x+4) (x2+5x+6)+x2–4

(1) (1)
= (5) (7) + x2 – 4

1 – 5x

= 35 + 1 – 5x – 4 = – 5x + 32
 Resto = – 5x + 32

PRÁCTICA DE CLASE

BLOQUE I: División de monomios

01.

02.

03.

BLOQUE II: División de un polinomio

01.

02.

03.

BLOQUE III: Método Convencional

01.

02.
03.

BLOQUE IV: Dividir por el método de HORNER

01. (x4 + 3×3 – 5×2 + 3x – 10
entre (x2 + x – 2)

02. (6×5 + 4×4 + 5×3 + 8×2 – 7x – 5
entre (3×2 + 2x + 1)
03. (2×5 + 3×4 + 3×3 + 2×2 – 8x – 11
entre (x2 + 2x + 1)

04.

BLOQUE V: Dividir por el método de RUFFINI.

01. (5×5 + 16×4 – 15×3 + 2x – 8) : (x + 4)

02. (4×4 – 5×3 + 6×2 + 7x + 18) : (x + 1)

03. (8×3 – 9×2 – 2x +4) : (x – 2)

04. (2×3 – 10x – 15) : (x – 3)

BLOQUE VI: Hallar el resto que resulta de dividir (utilizar el TEOREMA DEL RESTO)
01. (2×3 – 10x – 15) : (x – 3)

02. (2×4 + 3×3 – 4X + 2) : (x – 2)

03. (160×4 – 24×3 + 6x + 1) : (2x + 1)
04. (18×3 – 4×2 + 4x + 5) : (2x – 1)

05. [(x2n – (2n + 3)x + 2(n + 3)] : (x – 1)

PROBLEMAS PROPUESTOS (VI)

01. Al dividir 8×4 + 2×3 + 3×2 – 13x + 8) entre
(4x – 1) se obtiene un cociente, que tiene por suma de coeficiente a:

a) 4 b) 3 c) 21 d) 1 e) 5
02. El resto que se obtiene al dividir:
6×6 – 3×5 + 2×4 + 33×3 + 8×2 – 6x + 4 entre
x3 – 2×2 + 3x + 1 es:

a) 3x + 2 b) x2 + 10 c) x2 – 20x d) x – 20 e) N.A.

03. Al dividir:
4×5 + 2×4 + 2×3 – x2 + 4x entre
2×3 + 3×2 – x + 2 el cociente es:

a) 2×2 – 2x + 5 b) 2×2 + 3x – 2 c) 2×2 – x + 5
d) 2×2 + x – 2 e) N.A.

04. Calcular el resto en:
(4×3 – 2×2 + 10x – 4) entre (2x – 1)

a) 4 b) 1 c) 2 d) 5 e) 6

05. Si la división de:
6×4 – 5×3 – 7×2 + Ax + B entre
3×2 + 2x – 2 es exacta. Entonces el valor de A + 2B es:

a) 8 b) 6 c) 4 d) 5 e) 0

06. Al dividir:

el término independiente del cociente es:

a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) N.A.

07. Si la división de:
, es exacta
Entonces el valor de a + b + c es:

a) – 53 b) – 48 c) – 6 d) 32 e) N.A.

08. Si al dividir:

el resto que se obtiene es:
2×2 + 4x. Entonces calcular:
E = a + b + c – 5d.

a) 9 b) 8 c) 4 d) 3 e) N.A.

09. Si al dividir:

el resto que se obtiene es:
3×2 – 2x + 1. Entonces a + b + c es:

a) 2 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

10. Al dividir:

a) – 12 b) – 15 c) – 17 d) 10 e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

Realizar las siguientes divisiones:

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08. (8×4 – 20×3 + 3x – 5) : (x – 1)

09. (4×5 – 11×3 + 6x – 7) : (x – )

Hallar el resto que resulta de dividir:

10. (x40 + 5×39 + 6×38 – 4×2 – 9x + 10 ) : (x + 2)

11. (x128 – 2×127 + x2 – 2x + 3) : (x – 2)

12. (x1998 + 5×1997 + x2 + 5x + 1) : (x + 5)

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

01. Suma de Coeficientes: Para determinar la suma de coeficientes de un polinomio, se hacen la variable o variables iguales a 1.
Cuando el polinomio tiene una sola variable se tiene:

02. Teorema Independiente: Para calcular el término independiente de un polinomio, respecto a una variable, se hace la mencionada variable igual a CERO. Cuando el polinomio tiene una sola variable se tiene:

Término independiente: P(0)

03. Si un polinomio P(x) al ser dividido entre (x – a) deja por resto cero, dicho polinomio es divisible entre dicho binomio. Esto se manifiesta así:

P(x) es divisible entre (x – a)

04. Si un polinomio P(x) es divisible separadamente entre varios binarios, dicho polinomio será divisible entre el producto de ellos, lo cual se expresa de la manera siguiente;

Luego:

05. Si un polinomio P(x) es divisible por el producto de varios binomios, dicho polinomio P(x) será divisible separadamente por cada uno de ellos, lo cual se expresa de la siguiente; manera:

Observación:
Este principio es recíproco al anterior.

06. En toda división, si al dividendo y al divisor se multiplica por una misma cantidad diferente de cero, el cociente no se altera, sin embargo el resto queda multiplicado por dicha cantidad.

Si se desea hallar el resto original, se divide el resto obtenido entre la cantidad por la cual se había multiplicado.
Así tenemos:

Sea: , multiplicando por “m”

El resto es ahora: R m

Luego:

07. En toda división, si se divide al dividendo y divisor por una misma cantidad diferente de cero, el cociente no se altera, sin embargo el resto queda dividido por dicha cantidad.

Si se desea obtener el resto original se multiplica el resto obtenido por la cantidad por la cual se dividió:
Así tenemos:

Sea , dividiendo entre “m”, se obtiene:

El resto ahora es:

METODO DE WILLIAM G. HORNER

Pasos a seguir:

1) Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado.

2) Coeficientes del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario, salvo el primero.

3) Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal.

4) Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes del cociente.

ESQUEMA GENERAL

La línea divisoria se colocará separando tantos términos de la parte final del dividendo como lo indique el grado del divisor.

OBSERVACIÓN: Si la división origina un cociente exacto, entonces el residuo es un polinomio nulo (todos sus coeficientes son cero).

Ejemplo:

Dividir :

La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto, se tiene:

Q(x ; y) = 2×3 – x2y + xy2 + 3y3
R(x ; y) =-7x3y4 + 2x2y5 + 9xy6 – y7

METODO DE PAOLO RUFFINI
Se utiliza para dividir polinomios y cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma: (ax+b).
También podría ser cualquier otro divisor que puede ser llevado o transformado a la forma antes mencionada.

Pasos a seguir:

1) Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado con respecto a una variable.
2) Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.
3) Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por  y colocado en la siguiente columna.
4) Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna.

ESQUEMA GENERAL

Ejemplo 01: Dividir :

Por Ruffini :

Como : Grado (Q) =5 – 1=4, confeccionamos el cociente :

Q(x) = 3×4 + 4×3 + 15×2 + 19x + 43
R(x) = 87

OBSERVACION: Si en el divisor (ax+b), a1 ; luego de dividir por Ruffini los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto.
Ejemplo 02: Dividir :

Por Ruffini :

Q° =4 – 1=3 ; (Q°  nos indica el grado del cociente)
Confeccionamos el cociente :
Q(x) = x3 + 2×2 – 5x + 1 ; R = 8

OBSERVACION: Si el divisor es de la forma (axn+b), para proceder a dividir por Ruffini todos los exponentes de la variable en el dividendo deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor. Luego de verificar esto, se procede como en los ejemplos anteriores.

Ejemplo 03: Dividir :

Solución:

40, 30, 20, 10 son múltiplos de 10, entonces es posible aplicar el Método de Ruffini.

Q° =40 – 10=30, los exponentes de la variable en el cociente disminuyen de 10 en 10.

Q(x) = 3×30 – 5×20 + 6×10 – 7
R = 8

TEOREMA DEL RESTO

Enunciado del Teorema del Resto
El residuo de dividir un polinomio Racional y entero entre un binomio de forma (ax+b), es igual al valor que toma dicho polinomio cuando se reemplaza “x” por (-b/a) es decir:

Si: ax+b = 0, despejando x=
Luego:
P(-b/a) = [a(-b/a) + b] Q(x) + R
P (-b/a) = 0 + R
P (-b/a) = R

Entonces; para calcular el resto se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo.
El resultado obtenido es el resto.

Ejemplo 01
Calcular el resto :

Solución:
Por el teorema del resto: x- 2 = 0 x =2
R = (2)5 + 3(2) – 5  R = 33

Ejemplo 02
Calcular el resto :

Solución:
Por el teorema del resto: 2x–3= 0  x=3/2
R =
R =
R =  R =
R = 9 – 11  R = -2

Ejemplo 03
Hallar el resto en:
(3×60 – 5×45 + 3×30 – 2×15+x5+7) : (x5 + 1)

Solución:
Expresando el dividendo en función de x5, tenemos:

Por el teorema del resto:
x5 + 1 = 0  x5 = -1

El valor obtenido para x5 lo reemplazamos en el dividendo, así:

R=3(-1)12–5(-1)9+3(-1)6 – 2(-1)3 + (-1)+ 7
R = 3 + 5 + 3 + 2 – 1 + 7  R = 19

Ejemplo 04
Hallar el resto de:
(5×7 – 4×6 + 5×4 – 3×3 + 2×2 – 5x + 7) : (x2 + 2)

Solución:
En este caso los exponentes del dividendo no son múltiplos del exponente del divisor. Siendo el divisor de segundo grado, el grado del resto será de primer grado. (es el máximo valor que puede asumir).
El procedimiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior.
Expresamos el dividendo en función de la potencia x2 :

Por el teorema del resto, igualamos el divisor a cero y hallamos la potencia x2 :
x2 + 2 = 0  x2 = -2

Reemplazando en el dividendo tendremos:
R = 5(-2)3x – 4(-2)3+5(-2)2–3(-2)x+ 2(-2)
–5x+7
R = 5(-8)x – 4(-8)+ 5(4)+ 6x – 4 – 5x + 7
R = – 40x + 32 + 20 + 6x – 4 – 5x + 7
R = – 39x + 55

Ejemplo 05
Hallar el resto en:

Solución:
Como el divisor es de la forma x2 + 5x + 6, buscamos en el dividendo las potencias de (x2 + 5x); así:

Hacemos: x2 + 5x + 6 = 0  x2 + 5x=–6,
en el dividendo tendremos:

R = (-6+7)39 – 3(-6+5)41 + (-6) + 11
R = 1 – 3(-1)41 – 6 + 11
R = 1 + 3 – 6 + 11  R = 9

Ejemplo 06
Hallar el resto luego de dividir:

Solución:
Factorizando el divisor:
x2 – 7x + 12 = (x-4)(x-3)

En toda división:
D  d . Q + R, reemplazando los datos:
(x- 3100) + (x- 47) + 6 = (x- 4)(x- 3) . Q(x) + R
2do. grado 1er. grado

(x-3)100+(x-4)47+6=(x-4)(x-3) .Q(x)+(ax+b),  x
Si x = 3, se obtiene: 5 = 3 a + b . . . (1)
Si x = 4, se obtiene: 7 = 4 a + b . . . (2)

Restando 2 – 1 : a = 2
b = -1

Luego: R(x) = ax + b  R(x) = 2x – 1

Ejemplo 07
Al dividir F(x) entre (4×2 – 9)(x+3); se obtuvo como residuo 2(x – 3)2. Hallar el residuo de dividir F(x) entre (2×2 + 9x+ 9).

Solución:
F(x): (4×2-9)(x+3)  R = 2(x – 3)2

Luego:
F(x) = (4×2-9)(x+3). Q1 (x) + 2(x- 3)2 .. ()
F(x) : (2×2+9x+9)  R = ? (primer grado)
F(x) = (2×2+9x+9). Q2 + ax + b . . . . . ()
De () y () :

(2x+3)(2x-3)(x+3).Q1+2(x-3)2=(2x+3)(x+3).Q2+
(ax+b)

Si x = -3/2, se obtiene : 81/2 = -3/2 a + b  (-)
Si x = -3, se obtiene : 72 = – 3 a + b
81/2 – 72 = -3/2 a + 3a
81 – 144 = 3 a
-63 = 3 a
a =-21 ; b = 9

Finalmente:
R = – 21x + 9

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

1. Identificar las divisiones que originan un cociente notable
2 Proporcionar el desarrollo del cociente notable.
3. resolver situaciones que involucran cocientes notables.

II. PROCEDIMIENTOS

A) MOTIVACIÓN

Después de haber estudiado la división de polinomios y sus métodos.
Ahora vamos a examinar algunas divisiones de polinomio cuyos resultados o cocientes se pueden escribir directamente, sin efectuar la división propiamente dicha.
Te desafío, efectúa las divisiones y da el cociente sin efectuar la división:

1) (x – 20 + x2) :(x + 5)
2) (2 + 2×3 – x2) : (– 1 + x)
3)

B) CONTENIDO TEÓRICO

COCIENTES NOTABLES

Definición
Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmo correspondiente, o sea sin necesidad de efectuar la operación.

Estos casos especiales de la forma general:

Condiciones que deben cumplir:

a) Deben tener las bases iguales.
b) Deben tener los exponentes iguales.

Así:
Numéricamente

ESTUDIO DE LOS CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLES

Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son:

PRIMER CASO

a) CALCULO DEL RESTO
Por el teorema del resto:
X – a =  x = a
R = an – an = 0
 R = 0

Esto indica que para cualquier valor entero de “n” , será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable.

b) CALCULO DEL COCIENTE
Como se está dividiendo un polinomio de grado n entre uno de primer grado, el cociente resultante será de grado (n – 1).

Entonces:
Para cualquier valor de “n”

Ejemplo
Calcular el cociente en forma directa de:
1)

SEGUNDO CASO:

a) CALCULO DEL RESTO:
x – a = 0  x = a
R = an + an
R = 2an  0

Vemos que en éste caso para cualquier valor de “n” el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto.

b) CALCULO DE COCIENTE
Luego el cociente completo es:

TERCER CASO:

a) CALCULO DEL RESTO

x + a = 0  x = – a
R = (– a)n + an
Si: n = # par  R = an + an = 2an  0  cociente completo.
Si: n = # impar  R = – an + an = 0  cociente exacto.

b) CALCULO DEL COCIENTE
1) Para n = # par:

R = 2an  0

Luego el cociente completo es:

2) Para n = # impar:
R = 0

Luego el cociente exacto es:

CUARTO CASO:

a) CALCULO DEL RESTO:
x + a = 0  x = – a
R = (– a)n + an

Si: n = # par  R = an – an = 2an  0  cociente exacto.
Si: n = # impar  R = – an – an = 0  cociente completo.

b) CALCULO DEL COCIENTE:
1) Para n = # par
Lugar par
R = 0

Luego el cociente exacto es:

2) Para n =  impar
Lugar impar

R = 2an  0

Luego el conciente completo es:
Lugar par
R = 0

Luego el cociente exacto es:

2) Para n =  impar
Lugar impar

R = 2an  0

Luego el conciente completo es:

El signo del último término del cociente vería por estar ocupando diferente lugar.

FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES.
Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los demás.

Sabemos que:

t1 t2 t3 t4

Donde:
t1 = xn-1 = xn-a0
t2 = xn-2 = xn-2a1
t3 = xn-3 = xn-3z2
.
.
.
r69 = ……… = xn-69a68
.
.
.

en general:

; (1  k  n)

Donde k es el lugar pedido y n es el exponente de las bases en el numerador.

“O sea EL Exponente de x es igual al exponente común de las bases menos, el lugar que ocupa y el de a el lugar que ocupa disminuido en 1″
 Regla para el SIGNO

a) Cuando el divisor es de la forma (x – a):

Todos son positivos (+)

b) Cuando el divisor es de la forma (x + )m y si:

k = # impar  (POSITIVO +)
k = # par  (NEGATIVO –)

Ejemplos:

1)

2)
dando la forma adecuada:

3)

4) Calcular el 5to término del desarrollo de:

Solución:
– Dando la forma adecuada:

– Aplicando la fórmula general:
Tk = nn-kak-1
T5 = (a2b)10-5(x4y3)5-1
 T5 = a10b5x16y12

5) Encontrar el T22 del siguiente desarrollo.

Solución :
Dando la forma de un cociente notable:

Como el divisor es de la forma (x +a) y el término a buscar es par (k) tendrá signo negativo (-)
 T22 = – (x5)31-22 (a3)22-1
T22 = – (x5)9 (a3)21
 T22 = – x45a63

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar el valor de “n” para que sea C.N.:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

02. Hallar “n” y el número de términos de los siguientes C.N.:

a) 100, 20 b) 150, 30 c) 250, 50 d) 350, 70 e) 400, 80

a) 3, 15 b) 5, 15 c) 6, 15 d) 7, 15 e) 8, 15

03. El desarrollo del C.N.: ; tiene 14 términos. Hallar (R – S).

a) 14 b) – 14 c) 98 d) – 98 e) 0

04. Hallar el tercer término del desarrollo del C.N.:

a) a10b16 b) – a10b18 c) a30b18 d) a15b6 e) a32b20

05. Calcular el cuarto término del C.N.:

a) x21y6 b) – x21y5 c) x22y6 d) – x10y6 e) – x21y6

06. Obtener el valor numérico del tercer término del desarrollo de:

Para x = 0,5 e y = x-1 y b = 17

a) 3-1 b)3 c) – 3 d) – 1 e) 1

07. Hallar a.b, sabiendo que el término del C.N.:

; es x60y40

a) 600 b) – 2,400 c) 4,200 d) 35 e) 3,500

08. Dado el C.N.:

indica que lugar ocupa el término de grado absoluto 85.

a) 10 b) 13 c) 15 d) 17 e) 20

09. Hallar el grado del décimo del desarrollo de:

a) 32 b) 14 c) 47 d) 31 e) 20

10. El segundo término del C.N.:

; es x16y8. Hallar (a + b)

a) 7 b) 9 c) 10 d) 15 e) 8

11. Sabiendo que xay24 es el término central del desarrollo del C.N.:

. Calcular: (a + b + c)

a) 10 b) 40 c) 59 d) 89 e) 99

12. calcular el número de términos fraccionarios en el C.N.:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 20

PROBLEMAS PROPUESTOS VII

01. Dada la siguiente división:

indicar el grado del término de lugar 19.

a) 11 b) 22 c) 33 d) 19 e) 20

02. Calcular (m-t) sabiendo que el término de lugar 29 del cociente notable correspondiente a:

es: xm+t+1yt+80

a) 42 b) 37 c) 33 d) 84 e) 19

03. La siguiente división:

origina cociente notable; calcular los valores que puede adoptar “m”.

a) 2 y – 1 b) 2 y – 2 c) 1 y 3 d) 4 y 1 e) 2 y 0

04. Halle Ud. “m” si la división:

origina un cociente notable:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) – 8

05. Calcule (a+b) en la división que origina cociente notable:

, si tiene 13 términos.

a) 88 b) 66 c) 42 d) 55 e) N.A.

06. ¿Cuál será el término anterior al sexto, del cociente notable originado por.

?

a) 106y10 b) x9y7 c) x5y9 d) x10y8 e) 105y8

07. Señale ud. el quinto término del desarrollo de la división:

contando de derecha a izquierda.

a) 16a12 b) 16a9 C) 8a12 d) 8a15 e) a21

08. Simplificar:

a) x40 – 1 b) x40 + 1 c) x80 – 1 d) x80 + 1 e) N.A.

09. Hallar “m + n”, si el t25 del desarrollo de:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 14

10. Si los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3 y si además el t40 de su desarrollo tiene grado absoluto 87. Hallar el número de términos, siendo el C.N.:

a) 48 b) 50 c) 52 d) 60 e) N.A.

11. Si el siguiente cociente:

calcular el t19.

a) x3a36 b) x18a3 c) x3a3 d) – x18a36 e) x18a36

12. En el cociente notable:

, hay un término central, que es igual a xcy231. Hallar E = a + b + c

a) 821 b) 729 c) 769 d) 901 e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. Siendo “n” un número natural, calcular el lugar que ocupa el término de grado 135 en el siguiente cociente notable.

02. Encontrar los 4 primero términos del C.N. originado por::

03. En el desarrollo de , el quinto término es:

04. En el desarrollo de: , hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de “x” y “a” es:

FACTOR O DIVISOR
Se denomina así a un polinomio distinto de cero que divide exactamente a otro polinomio.

Así por ejemplo:
* Para el polinomio P(x; y) = xy (x-y)(x+y) ; un factor o divisor podrá ser el polinomio Q(x; y) =x+y, pues si se divide; P(x,y)/ Q(x,y) se obtendría como residuo cero.

FACTOR PRIMO ( IRREDUCTIBLE)

Se denomina así a aquel polinomio que es divisible por sí mismo y por la unidad, se dice también que en una expresión no factorizable.

Así por ejemplo:

*Para el polinomio: P(x,y) = xy(x-y)(x+y); un factor primo podrá ser el polinomio Q(x)= x, pues este es divisible por si mismo y por la unidad.

POSTULADO:
Todo polinomio lineal de la forma (ax+b) es irreductible en cualquier campo numérico.

NOTA:
Al factor de un polinomio también se le llama divisor, que no necesariamente es primo.

NOTA:
Si se cambia de signo a un números par de factores, la expresión no se altera.
Sea F(x) = (x – 4)(2 – x)(x+3)(5 – x)
Si se cambia de signo al factor : (2 – x) y (5 – x); se tendrá :
F(x) = (x – 4)(x – 2)(x +3)(x – 5)

FACTORIZACIÓN
En la multiplicación algebraica, el propósito es lograr una expresión resultante llamada producto a partir de otras denominadas factores. Al proceso contrario, o sea el transformar una expresión desarrollada o semidesarrollada en el producto indicado de factores (pero no de factores cualesquiera, sino primos) se le denomina FACTORIZACION. Todo lo antes mencionado podemos resumirlo en el siguiente esquema:
multiplicación

(x+3)(x+4) = x2+7x+12

factorización

La factorización o descomposición en factores de una expresión se realiza sólo para polinomios.

TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN UNICA
La representación factorizada de un polinomio es única, salvo el orden de los factores.

CRITERIOS DE FACTORIZACION

No existe un método específico para factorizar a una expresión, ya que ésta puede hacerse por dos o más procedimientos denominadas también criterios.

I. FACTOR COMUN y/o AGRUPAMIENTO DE TERMINOS

Para analizar este criterio, debe tenerse en cuenta lo siguiente:

* Se analiza si toda la expresión tiene uno o más factores comunes, si estuviesen elevados a exponentes, se extrae el que está elevado al menor.
* En caso que la expresión no tuviese factores comunes deseados entonces necesariamente, se tendrá que recurrir a la organización de términos, dicha agrupación tiene como objetivo conseguir factores comunes.
* Se extrae el factor común y el otro factor se determina dividiendo cada uno de los términos extraídos.

Ejemplos:

1. Factorizar : 2a2x + 4ax2 – 6ax
Se observa que: 2ax es el factor común (monomio)
Entonces; 2a2x + 4ax2 – 6ax = 2ax(a+2x – 3)

2. Factorizar: ax + by +ay + bx
Agrupando de 2 en 2 se observa:
ax + by + ay + bx = a(x + y) + b(x + y)

En cada sumando se repite (x+y): factor común (polinomio ).

Luego: ax + by + ay + bx = (x + y)(a + b)

3) Factorizar : P(m,n) = mn4 – 5m2n3 + 4m3n2 – 20m4n , e indique un factor.

a) n-5m b) n2+m2 c) n2-4m
d) m2n e) n-m

4) Factorizar: F(x) = a3x3 + a2x2b + a2x2c + a2x2d + abcx +abdx +acd x + bcd
e indique un factor:

a) ax+2c b) x-b c) 2x+c
d) ax+b e) N.a.

II. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES.

Consiste en emplear adecuadamente los diferentes casos enfocados en los productos notables (Trinomios Cuadrado Perfecto, Diferencia de Cuadrados, Sumas o Diferencia de Cubos, ..etc). Para este caso utilizaran los productos notables en forma inversa, entre los más importantes ya conocidos:

a2n – b2n = (an +bn )(an – bn)
a3n + b3n = (an +bn )(a2n – an bn + b2n )
a3n – b3n = (an – bn )(a2n + an bn + b2n )
a2n  2an bn + b2n = (an  bn )2

Ejemplos:

1) Factorizar : m2 – 4p2 +4mn +4n2
El primer, tercero y cuarto término, determinan un trinomio cuadrado perfecto.

Luego: ( m2+4mn +4n2 ) – p2

Entonces: (m+2n)2 – (2p)2

Luego se tiene una diferencia de cuadrados, entonces finalmente tenemos:

m2 – 4p2 +4mn +4n = (m+2n+2p) (m+2n -2p)

2) Factorizar : (1+mx)2 – (m+x)2
e indique cuál no es un factor primo.

a) 1+m b) 1+x c) 1-m
d) x-m e) 1-x

3) Factorizar : a(a2 +bc) + c(a2+b2 ) – b3 e indique un factor:

a) a-b+c b) a+b+c c) a2-ab+b2
d) a-b-c e) N.a.

4) Factorizar: x12 – 1 e indique el número de factores primos

a) 7 b) 8 c) 6 d) 5 e) N.a.

III. CRITERIO DEL ASPA SIMPLE

Se emplea para factorizar trinomios de la forma general :

P(x,y) = Ax2m + Bxm yn +Cy2n

El procedimiento a seguir es:
* Se adecua la expresión a la forma antes mencionada
* Se descompone convenientemente los extremos( teniendo cuidado con los signos).
* Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si este coincide con el término central de la expresión, entonces se concluye que los factores serán las sumas horizontales.

Ejemplos:

1) Factorizar :
Luego: x2 +14x + 40 = (x+10)(x+4)

2) Factorizar: 8×2 – 22x + 15 ; e indicar un factor:

a) 4x + 5 b) 2x + 3 c) 4x – 5
d) 4x – 3 e) 2x – 5

3) Factorizar : 8×6 +215×3 y3 – 27y6 ; indique la suma de los factores primos

a) 9×3+26y3 b) 8×3 -27y3 c) 7×3 -28y3
d) 9×3-26y3 e) N.a.

4) Factorizar: (3m2 -4m)2 – 19(3m2-4m) + 60; indique el número de factores primos.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

TEOREMA:
Todo polinomio de la forma:
P(x) = Ax2 + Bx + C ; {A; B; C}  Z   A  0 es factorizable en las racionales, si y sólo si B2 – 4AC es un cuadrado perfecto.

Ejemplo # 1
¿2×2 – 5x + 2 es factorizable?

Solución:
Veamos: (-5)2 – 4(2) (2) = 25 – 16 = 9
Como 9 es cuadrado perfecto  2×2 – 5x + 2, si es factorizable en los racionales.

Ejemplo # 2:
¿3×2 + x +1 es factorizable en Q?
Rpta: …………………………………………………………………….

NOTA:
Todo polinomio cuadrático en una variable, si es factorizable, debe admitir el criterio del aspa simple. Si no admite aspa simple, es porque no es factorizable a Q.

IV. CRITERIO DEL ASPA DOBLE

Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma:

P(x,y) = Ax2m +Bxm yn + Cy2n +Dxm +Eyn + F

Para factorizar se adecua el polinomio a la forma general, en caso falte un término este se completará con cero.

 Se toma el primer trinomio y se aplica un aspa simple para comprobar el término central (xm yn )

 Seguidamente a los términos y2n, yn y el término independiente se les aplica un aspa simple para comprobar el término yn .

 Finalmente se aplica un aspa de extremo a extremo para comprobar el término en xm

 Los factores se toman horizontalmente.

Ejemplos:

1) Factorizar : 6×2 +19xy +15y2 -17y -11x + 4

Ordenando el polinomio de acuerdo a la forma general:

6×2 + 19xy + 15y2 – 11x – 17y + 4

comprobaciones:
( I ) : (3x (3y) + (2x)(5y) = 19xy
( II) : (5y)(-1) + (3y)(-4) = -17xy
( III): (3x)(-1) + (2x)(-4) = -11x
Finalmente:
El resultado es (3x + 5y – 4) (2x + 3y – 1)

2). Factorizar: 3×2 +4xy + y2 +4x +2y + 1 ; e indique un factor:

a) x+y-1 b) 3x-y-1 c) x+y+1 d) 3x-y+1 e) N.a.

3) Factorizar : 30×2 + 2xy -4y2 +47x -12y + 7 ; e indique un factor:

a) 6x-2y – 1 b) 5x-2y-7 c) 5x+2y+7 d) 6x+2y-1 e) N.a.

4) Factorizar : 15×2 -22xy + 24x + 8y2 -16y ; e indique la suma de sus factores primos:

a) 8x-6y+9 b) 8x-6y+8 c) 12x-y+10 d) 6x-12y+1 e) 4x+y-1

V. ASPA DOBLE ESPECIAL
Se emplea para factorizar polinomios de la forma:

P(x) = Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

 Se adecua el polinomio a la forma general, en caso falle un término, este se completará con cero.
 Se descomponen convenientemente los términos extremo : Ax4  E
 El resultado se resta del término central: Cx
 Lo que sobre o falte para que sea igual a este, será la expresión que se tenga que descomponer en las partes centrales de los factores nuevos dos factores
 Luego se aplican dos aspas simples y se toman horizontalmente.

EJEMPLOS:

1) Factorizar:
P(x)= x4 +6×3 + 7×2 + 6x +1
El polinomio está completo y ordenado, entonces, haremos los pasos indicados:

x4 + 6×3 + 7×2 + 6x + 1

Se observa que: se tiene +2×2
se debe tener +7×2
se necesita 5×2

Pero: 5×2 puede descomponer como: (5x)(x)
(-5x)(-x)
Pero sólo una de esas opciones es la conveniente y esa es : (5x) (x), así :

x4 + 6×3 + 7×2 + 6x + 1

En el aspa II se comprueba: (x2)(x)+(x2 )(5x)=+6×3
en el aspa III se comprueba : (5x)(1) + (x)(1) = +6×2

Luego:
P(x) = (x2 + 5x + 1) (x2 + x + 1)
Por ser polinomio cuadrático en tres variables de 10 términos aplicaremos el método del aspa triple (3 veces aspa simple ).

III II I

Comprobación para cada variable:

I) 6×2 + 19x +15 II) 6y2+21y+15 III) 6×2 + 14xz + 8×2

VII. DIVISORES BINOMICOS O EVALUACION BINÓMICA

Se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.

i) Cero de un Polinomio. Es el valor o conjunto de valores que tiene la propiedad anular
(valor numerico cero ) a un polinomio dado.

Ejemplo: Sea:
F(x) = 2×3 + 7×2 – 5x – 4
Si x = 1

 F(1) = 2(1)3 + 7(1)2 – 5(1) – 4 = 0, se anula.

Entonces:
1 será un cero de F(x).

TEOREMA:
Dado P(x), si el número “b” es un “cero” de este polinomio, entonces (x – b) será un factor de P(x).

ii) Determinación de los posibles cero de un polinomio.

* Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles ceros estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo, Asi:
Si P(x) = x5 – 2×4 +7×3 -3x +2

* Si el primer coeficiente del polinomio es diferente de la unidad, los posibles ceros estarán expresados por:
Posibles cero =

Por ejemplo sea:
P(x) = 2×3 +7×2 – 5x +3

Posibles ceros:
 1,3 =  1,  3,  1/2,  3/2
1,2

III) Procedimiento a seguir para factorizar.

* Se determinan los ceros del polinomio
* Se deduce el factor que dá lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad algebraica. Si un polinomio
P(x) se anula para x=a ó P(a)= 0. Entonces dicho polinomio tendrá un factor (x-a)

* El otro factor se determina utilizando la regla de RUFFINI, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio; por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado, para poder aplicar el aspa doble especial o de segundo grado que es más sencillo de factorizar .

EJEMPLOS:
1. Factorizar : F(x) = x3 – 3×2 +4x – 2
* Tenemos : posibles ceros: 1,  2.
Para x=1; F(1) = 13 -3(1)2 +4(1) – 2
F(1) = 1 – 3 + 4 – 2 =0,se anula.
* Entonces tendrá un factor (x-1)
* Determinar el otro factor por la regla de Ruffini

Luego : F(x) = (x-1)(x2-2x+2)

2) Factorizar : x4+6×3 -5×2 – 42x+40; e indique un factor :

a) x+1 b) x-4 c) x+5 d) x+2 e) x-5

3) Factorizar : 6×3 -25×2 +23x – 6 ; e indicar la suma de sus factores primos lineales.

a) 5x-1 b) 6x-6 c) 3x+2 d) 4x-3 e) 2x-7

4) Descomponer en sus factores primos:
P(x) = 12×5 – 8×4 – 13×3 + 9×2 +x – 1

a) (x-1)(x+2)(2x+1)2(3x-1) b) (x+1)(x-2)(2x+3)2(x-3)
c) (3x-1)(x+1)(2x-1)2(x+4) d) (x+1)(x-1)(2x-1)2 (3x+1)
e) N.a.

VIII. CRITERIO DE LOS ARTIFICIOS DE CALCULO.

A) CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en buscar expresiones iguales, directa o indirectamente (a través de cierta transformaciones) para luego proceder a un cambio de variable, que permitirá transformar una expresión aparentemente compleja en otra mucho más simple y sencilla.

EJEMPLOS.
1) Factorizar:
P(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1
Como la expresión no presenta algún factor común o una forma convenientemente (dos 2 primeros y los 2 últimos ).

P(x) = (x2+5x+4) (x2+5x+6) +1

Haciendo: x2+5x+4 = m, se tendrá :

P(x) = m(m+2) + 1 = m2 +2m + 1 = (m+1)2

Ahora reponiendo la variable original:
P(x) = (x2 +5x+5)2

2) Factorizar: P(x) = (x-2)(x+3)(x+2)(x-1) +3 ; e indique un factor:

a) x2+x-3 b) x2-x+5 c) x2- x+3
d) x2+x+3 e) x2-x-5

3) Factorizar:
F(x) = (x2+7x+5)2 +3×2 +21x +5 ; indicar el número de factores primos:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) N.a.

B. QUITA Y PON O REDUCCION A DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Consiste en sumar y restar una expresión (quitar y poner) de modo tal que haciendo ciertas transformaciones (reducciones) adecuadas, se logre una diferencia de cuadrados.

EJEMPLOS:
1) Factorizar : F(n) = n4 + 2n2 +9

La primera intención sería factorizarlo por el aspa simple, pero no resultaría, luego podría intentarse por Identidades, pero no es un trinomio cuadrado perfecto, descartadas estas dos posibilidades; lo factorizamos utilizando el criterio del quita y pon:

F(n) = n4 + 2n2 + 9

2 (n2 ) x (3 ) = 6n2

Utilizando el esquema del trinomio cuadrado perfecto, se deduce que en la expresión; para que 2n2 sea igual a 6n2 tenemos que sumarte 4n2, siendo esta la expresión a “quitar” y “poner”.

Veamos:

F(n) = n4 + 2n2 + 9 +4n2 +4n2
F(n) = n4 + 6n2 + 9 – 4n2
F(n) = (n2 +3)2 – (2n)2

Diferencia de cuadrados
F(n) = (n2 +3 +2n) (n2+3-2n)

Ordenando: F(n) = (n2 +2n +3) (n2 -2n+3)

2) Factorizar : F(x) = 16×8 – 17×4 + 16 ; e indicar un factor

a) 2×2+x+1 b) 2×2-x+2 c) 4×4-7×2-4 d) 2×4-7×2+4 e) 2×2-x-2

3) Factorizar : M(x) = x4 + 324 ; e indicar la suma de coeficiente de un factor primo.

a) 23 b) 20 c) 18 d) 16 e) 14

C. SUMAS Y RESTAS ESPECIALES.

Consiste en sumar y restar una expresión en forma conveniente de modo tal que se obtengan uno de las trinomios (x2+x+1) ó (x2-x+1) ambos componentes de una diferencia o suma de cubos (x3-1 ó x3+1); u otra expresión conocida.

Ejemplos:

1) Factorizar : F(x) = x5 +x + 1
sumando y restando x2 :
F(x) = x5 + x + 1 + x2 – x2
agrupando en forma indicada.
F(x) = (x2+x+1) + (x5 -x2 )
F(x) = (x2+x+1) + x2 (x3 -1)
F(x) = (x2 +x+1) + x2(x-1)(x2+x+1)
sacando factor común:
F(x) = (x2+x+1) [1+x2(x-1) ]
Efectuando y ordenando :
F(x) = (x2+x+1) (x3 -x2+1)

2) Factorizar : P(x) = x5+x-1 ; e indicar la suma de coeficiente de los términos cuadráticos de cada factor primo.

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) –2

3) Factorizar :
F(x) = x10 +x8 +1 ; e indicar un factor primo.

a) x2+x+1 b) x2-x+1 c) x6-x2+1 d) todas e) N.a.