ALGEBRA EJERCICIOS DEL PRIMER BIMESTRE DE MATEMATICA DE QUINTO DE SECUNDARIA EN WORD

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LEYES DE EXPONENTES ,LEYES EXPONENCIALES
DE LA RADICACIÓN DE MONOMIOS ,ECUACIONES CON EXPRESIONES TRASCENDENTES ,
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Mediante ejercicios reconoce y aplica las leyes exponenciales que rigen en la potenciación de monomios.
2. El estudiante adquiere habilidad operativa y reduce expresiones garantizando su correcta definición y procedimientos.
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II. COMENTARIO PREVIO

Estamos en época de grandes cambios en la enseñanza secundaria, en todas partes del mundo.
Es que los educadores tienen la sensación que la brecha existente entre la enseñanza actual y las necesidades culturales del hombre moderno, debe ser llenado urgentemente o se convertirá en un abismo infranqueable.
Una de las principales características de la ciencia moderna es el uso de la matemática. Por eso no es de extrañar que en muchos lugares la reforma de la enseñanza comience por esta materia. Si ella no se actualiza, será difícil modernizar lo demás.
El doctor Luis Santaló en Por qué y para que enseñar matemática en la escuela, sostiene:
“Posiblemente lo más importante y Primordial es la elección de los temas a tratar”. Y a esta elección, podemos añadir y destacar otro problema fundamental; el del desglose, ordenación y jerarquización de estos temas, ya que la naturaleza jerárquica de la matemática hace muy importante para el que aprende que quien enseña lo haga en la secuencia adecuada.
Con lo expuesto justificamos el estudio de las Leyes Exponenciales en tres sesiones:

Sesión Nº 01: Leyes de la Potenciación
Sesión Nº 02: Leyes de la Radicación
Sesión Nº 03: Ecuaciones Exponenciales

Ubicándonos dentro del contexto de la sesión Nº 01 comentamos:

Con frecuencia se denomina al álgebra como la aritmética de las siete operaciones queriendo subrayar con ello que a las cuatro operaciones matemáticas conocidas por todos, el álgebra añade otras tres; la potenciación y sus dos inversas (Radicación y Logaritmación).
Pues bien, comencemos nuestras pláticas algebraicas con “la quinta operación” LA POTENCIACIÓN.
Esta operación responde a exigencias propias de la vida práctica, ya que tiene múltiples aplicaciones en las diferentes ramas de la ciencia. Veamos algunos ejemplos:
Una de las aplicaciones es la teoría molecular de la materia en la cual, Amadeo Avogadro determina una constante llamándola el número de Avogadro cuyo valor es N = 6,023 x . ¿Cómo sería sin la representación exponencial?
Otra de las aplicaciones es en el campo de la astronomía donde también se trabajan con cantidades de gran magnitud; tales como la velocidad de la luz, la distancia que existe de un astro a otro, etc.
Otra aplicación importante se observa en la física cuando se trabajan las ecuaciones dimensionales, donde se utilizan básicamente el exponente negativo.
Finalmente concluimos planteando el siguiente problema de astronomía: se acostumbra describir las distancias entre las estrellas mediante unidades llamadas años luz. Por definición, un año luz es la distancia que recorre la luz en un año (365 días).
Si la luz viaja con una velocidad de 3,1x Km/s aproximadamente. ¿Cuántos km hay en un año luz?

III. CONTENIDO TEORICO

LEYES EXPONENCIALES

Son definiciones y teoremas ligadas a las operaciones de potenciación y radicación en el campo de los números reales.
El conocimiento del tema garantiza que el desarrollo de los demás temas sea de la mejor manera.

Potenciación
Es la operación matemática que permite la presencia del exponente afectando a una expresión llamada base y cuyo resultado se denomina potencia.

Donde:
a: Base
n: Exponente
P: Potencia

Definiciones Importantes

1) Exponente Natural
En la potenciación, si el exponente “n” es un número natural y la base “a” es un número real se define:

a) Exponente Cero
Toda cantidad real a excepción del cero elevada al exponente cero es igual a la unidad.

Ejemplo: Dar el valor si existe en:

Solución:
¡CUIDADO! previamente debemos analizar la base para verificar si es distinto de cero.

No tiene sentido calcular pues es indeterminado

b) Exponente Uno
Toda cantidad real elevada el exponente natural uno es igual a la misma cantidad.

Ejemplo : reduce la expresión :

Solución :

c) Exponente entero positivo
Una cantidad real elevada a un exponente “n” natural mayor que uno (1), equivale a multiplicar “n” veces dicha cantidad (base).

Ejemplos:

= 243

(- 5)3 = (- 5) (- 5) (- 5) = – 125

= xn, n  N ; n  1

Observación : Lo expuesto anteriormente en (1) se puede esquematizar de la siguiente forma :

2) Exponente Entero Negativo
Nos indica que la base diferente de cero afectada de exponente negativo se invierte. (inverso multiplicativo)

Ejemplos :

= =

Observación :

LEYES EXPONENCIALES
DE LA POTENCIACIÓN

TEOREMAS:
A continuación enunciamos los teoremas :

Sea : {a;b}  R  {m; n; p}  Z

1.

2.

3.

4.

5.

Observaciones importantes :

a. La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y división (teoremas 4 y 5)

b.

c. Una potencia con exponentes en cadena, se reduce desde la parte superior.

d.

e. Recordar que la igualdad goza de la propiedad simétrica, es decir:

f. Los teoremas expuestos son fácilmente demostrables para exponentes naturales. Es necesario que puedan ampliarse a exponentes reales, pero para su demostración es necesario otros elementos de matemática superior.

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

Ejemplo 1: Simplificar :

Solución :
Se recomienda descomponer las bases como producto de factores primos, obteniéndose bases iguales :

Aplicando potencia de un producto :

Multiplicando y dividiendo potencias con bases iguales :
= 2

Ejemplo 2: Al reducir :
E =

Se puede afirmar que :

I. Si x es una cantidad positiva muy grande, las expresión es uno.

II. Si x = 8 la expresión igual a 5.

III. La expresión no depende de x.

Solución :

Factorizando en el numerador y denominador :

E =
E =

Al obtener como resultado una expresión numérica donde la letra x ya no aparece, concluimos que la expresión es independiente de x, es decir para cualquier valor que tome x, la respuesta siempre será 5.

Luego :
I) F
II) V
III) V

Ejemplo 3: Si : = 2. Calcular
w =

Solución :

Recordar :

1.
2.
3.

Luego en w se obtiene :

W =

W =
W =

W =

PRACTICA DE CLASE

01. Si A =
N = . Hallar A + N

a) b) 2 c) 1/3
d) 31/30 e) 19/30

02. Reducir :

a) 64 b) 36 c) 192
d) 128 e) N.a.

03. Reducir :
E =

a) 1/7 b) 7 c) 343
d) e) 49
04. La edad de José es el cuádruplo de la edad de Carlos. Si Carlos tiene en años.

Entonces dentro de dos años dichas edades sumarán :

a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24

05. Reducir :

a) x b) x2 c) x3
d) x4 e) x5

06. Calcular el valor de E :
E =

a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11

07.Si : E = P =
Entonces P. E es:

a) 12 b) 24 c) 48
d) 8 e) N.A.

08. Si : xx = 5, Reducir :

a) 1 b) x c) x+1
d) x2 e) x5

09. Simplificar :

a) 1 b) 2x c) 2x – 1
d) 7 e) N.a.

10. Efectuar : E =

a) 15 b) 157 c) 1510
d) 2255 e) c y d

TAREA DOMICILIARIA

01. Simplificar :

a) 37 b) 372 c) 373
d) 374 e) N.a.

02. Si xx = 2, calcular el valor de:
E =

a) 32 b) 16 c) 128
d) 256 e) 64

03. Proporcionar el exponente final de x11 en la expresión :

E = x  0; 1

a) 550 b) 50 c) 11
d) 55 e) N.a.

04. Si : xx = 2, Calcular :

a) 4 b) 16 c) 24
d) 20 e) N.a.
05. Si A =
B =
Hallar el valor de:
Donde : 1 x 2 x 3 x ……x7 = n

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 8

06. Si tenemos la expresión S definida como :

S =
Halle :

a) 64 b) 32 c) 128
d) 256 e) 1024

07. Determinar el valor de verdad de las proposiciones :

I)  x R; x0 = 1  (- 2)0 = 1
II) Si xm.xn = xm+n  33 . 33 = 99
III)  x  R; (- x)2 = x2  (- 3)2 = – 9

a) VFV b) VVF c) VVV
d) VFF e) FFF

08. Determinar la veracidad o falsedad de las proposiciones :

I)  x  R; n  N : (-x)2n = x2n
II)  x  R; n  N: (-x)2n+1 = – x2n+1
III)  x  R; x2  0
IV)  x  R; x3  R

a) VVFF b) VFVF c) VVVF
d) FFVV e) N.a.
09. Si P(x) =
Calcular : P(10)

a) 31 b) 310 c) – 310
d) – 3100 e) 300

10. Si : k5 = 35 – k3

El valor de : M = es

a) b) c)
d) e) hay 2 correctas

I. OBJETIVOS ESPECIFICOS .

1. Mediante leyes reconoce las clases de exponentes en la radicación de monomios.
2. Relacione las leyes exponenciales de la radicación de monomios en la resolución de ejercicios.

II. COMENTARIO PREVIO

En la sesión anterior se hizo referencia a la potenciación, como la quinta operación matemática y que presenta dos inversas (radicación y logaritmación).
Luego de haber estudiado la potenciación nos asiste el imperativo de realizar el estudio de una inversa de ésta, en este caso: LA RADICACIÓN

III. CONTENIDO TEORICO .

RADICACIÓN EN R.
Es una operación inversa a la potenciación, donde a partir de dos cantidades: Indice y Radicando obtendremos otra cantidad llamada raíz. La operación de radicación la definimos, así:

donde:

como se trabaja únicamente en R se establece (observe el cuadro anterior).

• Si n es par  a  0 
• Si n es par  a <0  r R • Si n es impar  a  0  r  0 • Si es impar  a < 0  r < 0 Ejemplos:  34 = 81 = 2  25 = 32 = - = -5  (-5)3 = -125 Definición de Exponente Fraccionario ; es una fracción irreductible Ejemplos: • • • • Leyes Exponenciales de la Radicación A continuación enunciamos los siguientes teoremas: 1) ; Si n es par entonces a  0  b  0 2) ; b  0 , Si n es par entonces a  0  b > 0

3) ; m , n,p  R
Si mnp > 0  a  0

4)

OBSERVACIÓN: Del Teorema anterior, si las bases x, y z son iguales, se concluye a una forma practica de reducir, veamos:

4.1)

4.2)
+ – +

5) Valor principal de una radicación:

Luego:

Ejemplos:

; 3 – 5 < 0 ; 6 - > 0

COROLARIO

Ejemplos:

COROLARIO

Si a.b es par  x  R  x  0

TEOREMAS ADICIONALES

1)

2)
Si “n” es impar

3)
Si “n” es par

TEOREMAS DE CONVERGENCIA

1) ; x  R, n  R – 0 ; -1

2) ; x  R, n  R-0;-1

En ambos teoremas: n  N  n  2 sólo en el caso de que “n” sea un número par el radicando “x” deberá ser positivo.
3) 1 + x + x2 + x3 + … = ; 0 < x < 1 4)  0 < x < e e = 2,7182…. EJERCICIOS EXPLICATIVOS N° 2 Ejemplo 01. Proporcionar el valor de: W = Solución: Aplicando la definición de exponente fraccionario en cada radical, se obtiene: W = W =  W = 6 Ejemplo 2: Reducir: Solución:  Ejemplo 3: Halle el exponente de en: Solución: Luego el exponente de es e Ejemplo 4: Efectuar: E = Solución: En E se obtiene: E = E = Ejemplo 5: Calcular el valor de: P = Solución: Efectuando cada uno de los términos por separado: Reemplazando los valores en P: P = 10 + 2 + 4 P = 16 Ejemplo 6: Reducir: Solución: Si simplificamos directamente se podría llegar a una contradicción, pero la expresión si existe pues es positivo. Ejercicio 7: Reducir a su forma más simple: M = , n radicales. Solución: Por inducción y aplicamos la ley de Walter: 1 radical: = 2 radical: = 3 radical: = . . . . n radicales: PRACTICA DE CLASE 01. Reducir : M = a) 107 b) 7 c) 103 d) 95 e) 105 02. Al reducir: se obtiene: ; hallar el valor de: a) 27 b) 3 c) 9 d) 30 e) 81 03. Hallar el exponente final de x. Sabiendo que existen “t” radicales. a) m-t + 1 b) m-t - 1 c) mt+1 - 1 d) mt - 1 e) m-t+1 - 1 04. Reducir: a) 17 b) 10 c) 24 d) 4 e) 8 05. Calcular: A = a) 10-4 b) 4 c) 10 d) 23 e) 10 + 2 06.Al reducir: A = se obtiene: a) 2 b) 6 c) -2 d) e) N.A. 07.Efectuar: A = a) -15 b) 5 c) -7 d) -5 e) N.A. 08.Reducir: a) -22 b) 212 c) (1/2)-2 d) 2-3 e) (1/2)2 09. Dar el equivalente de: a) a . b) a c) ab2 d) b2 e) a2 b 10. Si “n” es un número entero positivo mayor que 2; simplifique: a) n-1 b) c) n d) n-n e) nn 11. Efectuar: a) 2-1 b) 1 c) x2 d) 2 e) x 12. Efectuar: E = a) 34 b) 3-1 c) 3-3 d) 3-2 e) 3 TAREA DOMICILIARIA 01. Al efectuar : Obtendríamos : a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 02. Indique Ud. El exponente final de Si : a) 27 b) 15 c) 57 d) 75 e) 37 03. Cuál será el valor más simple de la expresión : R= a) 5 b) 52 c) 5-1 d) 5-3 e) N.a. 04. Reducir : A = a) 2-1 b) 10-1 c) 10 d) 5 e) 2 05. Si al efectuar : Se obtiene xm siendo : m = ; Hallar el valor de “n” siendo este el número de radicales de la expresión dada. a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 e) 2 06. Reducir : a) 9 b) 11 c) 10 d) 5 e) N.A. 07. El equivalente de: A = es . Calcular: (a+c+e)-(b+d+f) a) 11 b) -11 c) 9 d) -9 e) N.a. 08. Reducir : M = a) 2 b) 6° c) d) e) N.a. 09. Calcular : R = a) 9 b) c) 3 d) e) 10. Calcular : B = a) b) c) 2-1 d) 4 e) 2x+1 11.Reducir: a>0

a) b) c)
d) e)

12. Sabiendo que (a – b) es impar ; al efectuar :

Se obtiene :

a) b) c) 0
d) 1 e) 2

13. Al reducir :

Se obtiene :

a) 1 b) c) 3100
d) 350 e) 3

14. Si :

Calcular: .

a) b) c)
d) e).

15. Al efectuar :

Dar la suma de las cifras de : B – A

a) 2 b) 5 c) 7
d) 16 e) N.A.

16. Señalar verdadero o falso :
I)
II)
III)
IV)

a) VVFV b) FVFF c) VVVV
d) FVVV e) FVFV

I. OBJETIVOS ESPECIFICOS .

1. Reconoce y transforma una ecuación trascendente a ecuación algebraica, para su posterior resolución.

II. COMENTARIO PREVIO .

Se hizo referencia a la potenciación y radicación con el estudio de sus respectivas leyes.
La aplicación de dichas leyes se encuentra con frecuencia en la resolución de ecuaciones exponenciales.

III. CONTENIDO TEORICO

ECUACIONES EXPONENCIALES
Reciben este nombre las ecuaciones trascendentes reductibles a ecuaciones algebraicas, y se caracterizan por tener la incógnita como exponente.
Para resolver ecuaciones exponenciales es necesario tener presente la siguiente propiedad :

En una igualdad de potencias que presentan igual base; es necesario que los exponentes sean iguales para cumplir con la relación de igualdad.

Am = An  m = n ; A  0; 1;  1

En algunos casos, cuando la incógnita se presenta en la base y en el exponente, su valor se puede obtener formando expresiones análogas en los dos miembros de la ecuación. Veamos los ejemplos :
si : xx = 55  x = 5

si : a = 8  a = 8

Es necesario recordar estructuras que caracterizan a cierto tipo de ejercicio, donde se aplican criterios de la teoría exponencial y Ecuaciones Exponenciales.

1. Hallar “x” en :

2. Resolver :

3. Reducir :

; n  R+  {0}

4. Reducir :

;n  R{0;1}
x > 0

5. Reducir :

;nR{0; 1}
x > 0

6. Efectuar :

;

 n ( n + 1 )  R+  { 0 }
7. Efectuar :

;

 n ( n + 1 )  R+  { 0 }

¡Importante! : Por la frecuencia en la presentación de dichos ejercicios, es necesario que los alumnos reconozcan la forma o estructura de los mismos y de inmediato indicar el resultado.

Se sugiere que las estructuras expuestas ( 1 al 7); sean demostradas en clase por el profesor.

PRACTICA DE CLASE

01. Hallar “x” si:

a) -2 b) -1/2 c) -1
d) -3 e) N.A.

02. Hallar el valor de “x” si:

a) 1 b) -1 c) 4/7
d) 7/4 e) -4/7

03. Si “r” y “s” son las soluciones de la ecuación:
, r+s es:

a) 7/2 b) -5/2 c) -3/2
d) 3/2 e) -7/2

04. Resolver:

a) x=0 b) x=-1/2 c) x=3
d) x=1/2 e) x= -5
05. Hallar el valor de “a” si:

a) 6 b) 2 c) -5
d) -2 e) N.a.

06. El valor de “x” si:
= 5 es:

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a.

07. Reducir siendo x > 0.
M =
a) 1 b) -1 c) 3
d) 4 e) N.a.

08. Siendo:
x =
calcular:
E =

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a.

09. Resolver el sistema:

dar como respuesta el valor de x.y + x + y.

a) 1824 b) 1820 c) 1816
d) 1812 e) N.a.
10.Siendo: hallar el valor de:
P =

a) 2 b) c) /2
d) 1 e) 0

11.A partir de:

Calcular

a) 2 b) 2-1 c) 22
d) 23 e) 24

12.Resolver:

a) 0,5 b) 0,2 c) 1,2
d) 0,6 e) N.a.

13. Después de resolver:
se obtiene un número decimal de la forma: . Hallar p.

a) 1 b) 8 c) 5
d) 3 e) 6

14.Si:
P =
Calcular:
E =

a) 1/2 b) 2 c) 5
d) 10 e) 50
15.Resolver:
x . =

a) 2 b) 22 c) 23
d) 28 e) N.a.

16.Si:

Calcular: R =

a) 531 b) 562 c) 52
d) 53 e) 54

TAREA DOMICILIARIA

01. Al reducir : se obtiene 5x ;

el valor de 2x es :

a) b) 1 c)
d) 2 e)

02. Al reducir :

Se obtiene : x . Hallar (a+2) .

a) 3 b) 4 c) 6
d) 7 e) 5

03. Al reducir :
se obtiene
; hallar el valor de :

a) 16 b) 3 c) 125
d) 20 e) 1276

04. Si el equivalente de :
;
Hallar : xx.

a) 1 b) 27 c) 4
d) 55 e) 363

05. Si : . Hallar x+1.

a) 4 , 5 b) 3 , 5 c) 2 , 5
d) e) 1,5

06. Al efectuar :

Se obtiene
Hallar la suma de cifras del valor de x.

a) 7 b) 6 c) 8
d) 9 e) 10

07. Si al efectuar :
se obtiene ;
Hallar “n”.

a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 7

08. Resolver :

a) 1 b) c)
d) –1 e)

09. Hallar x . y en :

a) 2 b) c)
d) e) N.a.

10. Hallar x . y en :

a) b) c)
d) 1 e) N.A.

11. Hallar E = x .
Si :

a) b) c)
d) e) N.a.

12. Hallar x . z en :

a) b) c)
d) e) N.a.