ALGEBRA EJERCICIOS CON RESPUESTAS DE MATEMATICA DE CUARTO DE SECUNDARIA CUARTO BIMESTRE EN WORD

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OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

 Conoce los diferentes axiomas y teoremas sobre los números reales, respecto a la relación de orden entre ellos.
 Sabe operar adecuadamente con intervalos.
 Forma una base matemática para el estudio de las inecuaciones.

COMENTARIO PREVIO:
La Resolución de Ecuaciones lineales y cuadráticas, la congruencia de figuras geométricas y las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas son temas relacionados con la igualdad. A medida que avancemos en el desarrollo de las ideas matemáticas, veremos que las desigualdades son tan importantes en las aplicaciones de la matemática como las ecuaciones. Una desigualdad está involucrada cuando estamos mas interesados en el tamaño aproximado de una cantidad que en su valor exacto; por ejemplo, si decimos que el diámetro “d” de un planeta es aproximadamente 18 700 millas, queremos decir que:
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18 650 d  18 750.

Si realizamos un análisis nos daremos cuenta que la medición absolutamente exacta de cualquier cantidad física; tal como una distancia, un peso, una velocidad, etc. … es completamente imposible, la precisión depende de los instrumentos de medida y tales instrumentos pueden usarse sólo para medir dentro de ciertas tolerancias especificadas, nunca exactamente.
Por todo lo expuesto concluimos que es necesario un buen entendimiento básico de las desigualdades.
Nos ocuparemos a continuación de las desigualdades entre números reales y enseguida desarrollaremos algunos conceptos y leyes fundamentales que conciernen a ellos.

CONTENIDO TEÓRICO:
RELACIÓN DE ORDEN
Es una comparación que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales. El campo real es un CAMPO ORDENADO.
Símbolos de la relación de orden:

DESIGUALDAD
Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor. Existen dos tipos de desigualdades:

1. Desigualdad Absoluta: Es aquella que se verifica para todos los valores reales que se asignen a sus variables.
Ejemplos:
* x + 6 > x + 2; se verifica  x  R
* + 1 > 0; Se verifica  x  R

2. Desigualdad Relativa: Es aquella que se verifica sólo para cierto conjunto solución de sus incógnitas.

Ejemplos:
* 2x – 3 > 5; se verifica  x > 4

* 3x – 2  x + 4; se verifica  x  3

DEFINICIÓN DE < ; >
Dados a, b, c  R se asevera:

1. a < b si y sólo si b – a es positivo. 2. a > b si y sólo si a – b es positivo.

Ejemplos:

 7 < 9 porque 9 – 7 = 2 y 2 es un número real positivo.  – 6 < –5 porque –5 – (–6) = 1 y 1 es un número real positivo.  – 3 > –9 porque –3 – (–9) = 6 y 6 es un número real positivo.

De la definición también se concluye:

a > 0 si y sólo si a es positivo.

a < 0 si y sólo si a es negativo. DEFINICIÓN DE ≤; ≥ Dados a, b  R se asevera: 1. a ≤ b si y sólo si a < b ó a = b 2. a ≥ b si y sólo si a > b ó a = b

Las proposiciones a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se denominan desigualdades.

En particular, a < b y a > b se llaman desigualdades estrictas, mientras que a ≤ b y a ≥ b se llaman desigualdades no estrictas.

TEOREMAS: Dados a, b, c, d  R

1. Sí a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0
2. Sí a > 0 y b > 0, entonces a .b > 0
3. Sí a < b y b< c, entonces a < c 4. Sí a < b, entonces a + c < b + c 5. Sí a < b y c < d, entonces a + c < b + d 6. Sí a < b y c > 0, entonces a.c < b.c 7. Sí a < b y c < 0, entonces a.c > b.c

LEY DE TRICOTOMIA
Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

Corolario: Dado dos números reales a y b; sólo se puede establecer una de las tres relaciones.

Propiedades
1. Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, entonces el sentido de la desigualdad no se altera.

Sí a  b  a  n  b  n

Aplicaciones:
x + 5  9  x  9 – 5  x  4
y – 11  5  y  5 + 11  y  16

2. Si a ambos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad positiva, entonces el sentido de la desigualdad no se altera.

Si: a < b  n > 0 

Aplicaciones:

3 x > 75  x >  x > 25
< 2  y < 2 (8)  y < 16 3. Si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad negativa, entonces el sentido de la desigualdad se invierte. Sí a < b  n < 0  Aplicaciones: –2 > 10  x <  x< - 5 < 7  x > 7 (-5)  x > -35

4. Si se suma miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, entonces el sentido de la desigualdad se conserva.

Si: a < b; c < d  a + c < b + d 5. Si se resta miembro a miembro desigualdades de sentidos contrarios, entonces se conserva el sentido de la desigualdad que hizo de minuendo. Si a > b; c< d  a – c > b – d

6. Si se multiplica miembro a miembro desigualdades del mismo sentido y con todos sus miembros positivos, entonces se conserva el sentido de la desigualdad.

Si: 0 b > 0  0 < c < d  >

8. Si se eleva ambos miembros de una expresión o un mismo exponente impar entonces el sentido de la desigualdad se conserva.

Si a > b  >

9. Si se eleva ambos miembros de una desigualdad a un mismo exponente por entonces se conserva el sentido de la desigualdad siempre que ambos miembros sean positivos.

Si a 0  b > 0 

RECTA NUMÉRICA REAL

Es una recta geométrica donde se establece una biyección, es decir a cada número real se hace corresponder un único punto de la recta y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real.

INTERVALOS
3. Sea I un subconjunto de IR (I  IR). Decimos que I es un intervalo, si y sólo sí es el conjunto de todos los número reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales).

Si I es un intervalo, puede ser: acotado o no acotado

A. Intervalos Acotados
Son intervalos cuyos extremos son números reales (finitos) y a su vez serán:

1. Intervalo Cerrado

Si: x  [a; b]  a  x  b

En dicho intervalo se incluyen los extremos “a” y “b”.

2. Intervalo Abierto

Si: x   a < x < b En dicho intervalo no están incluidos los extremos “a” y “b”. 3. Intervalo Semi – abierto Mixto Semiabierto por la izquierda Si: x   a  x < b En dicho intervalo sólo se incluye el extremo “a”. B. Intervalos No Acotados Se denomina así cuando por lo menos uno de los extremos es el ideal + ó -. Estos son de la forma: 1. Si: x   x > a

2.

Si: x  [a; +>  x  a

3.

Si: x  <-; a>  x < a 4. Si: x  <-; a]  x  a 5. Si: x  <-; +>  x  R

OBSERVACIONES IMPORTANTES

1. La notación , que se lee infinito no es un número real, sino un símbolo que se utiliza para indicar que un intervalo es ilimitado por la derecha (+) o por la izquierda (– )

2. Un intervalo abierto puede simbolizarse de 2 formas: =] a; b [
Un intervalo cerrado sólo se simboliza de 1 forma: [a; b]

3. Si el extremo de un intervalo es infinito, este siempre irá como ABIERTO.
[a; +> ; ; <-; a] ; <-; -a>

4. Los intervalos son sumamente útiles:

a) Para expresar el conjunto solución de inecuaciones.
Ejemplo:

El conjunto solución de la inecuación:
2 +3x –  0 es el intervalo cerrado: x  [1; 2]

b) Para expresar el dominio y rango de una relación y de una función de R en R.
Ejemplo:

El dominio de la función f(x) es:
x  <0; 7] El rango de f(x) es: y  <0; 4] c) Para “ACOTAR” Ejemplo: Sí x  <-2; 3] , ¿entre qué valores estará (x + 2)? Si: OPERACIONES CON INTERVALOS Puesto que los intervalos en IR son conjuntos especiales de los números reales, podemos operar con ellos. Sean A y B intervalos, se definen y se denotan: A  B = {x  IR / x  A  x  B} A  B = {x  IR / x  A  x  B} A – B = {x  IR / x  A  x  B} = {X  IR / x  IR  x  A} Aplicación: Sean los conjuntos (intervalos) A = {x  IR / x  5} B = {x  IR / - 8  x < 12}. Hallar: A  B , A  B , A – B , B – A , A’ , B’ Cota superior, Cota Inferior, Supremo, Ínfimo, Máximo y Mínimo de un Conjunto Definición 1: Un subconjunto S no vacío de números reales está acotado superiormente si existe un número M, tal que: Es decir: M es cota superior S  x  M,  x  S Ejemplos: 1) En el intervalo A = <-2, 3> el extremo superior 3 o cualquier número mayor que 3 es una cota superior del intervalo A.
Ver el siguiente gráfico:

• El número 3 es una cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3,  x  <-2,3>

• El número 3,002 es cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3,002  x  <-2, 3>, etc. Todos los números mayores o iguales a 3 son cotas superiores.

2) En el intervalo [-1; 1/2], el extremo superior 1/2 o cualquier número mayor que 1/2 es una cota superior del intervalo [-1; 1/2]

Definición 2:

Un subconjunto S no vacío de números reales está ACOTADO INFERIORMENTE, si existe un número m, tal que:

Es decir:

m es cota inferior de S  m  x,  x  S

Ejemplos:

1) En un intervalo A = <-3; 2], son cotas inferiores los números –3, -3,002; -3,5; -4, etc. Todos los números menores o iguales que –3 son COTAS INFERIORES. Pues:  -3  x,  x  <-3; 2]  -3,002  x  x  <-3; 2] Definición 3: Un número se llama SUPREMO de un conjunto, si éste es la menor de las cotas superiores. Ejemplos: 1) En el intervalo: A = , el supremo es 3. 2) En el intervalo: B = , el supremo es 5. Definición 4: Un número se llama INFIMO de un conjunto, si éste es el mayor de las cotas inferiores. Ejemplos: 1) En el intervalo: A = , el ínfimo es –1/2. 2) En el intervalo: B = [5; >, el ínfimo es 5.

OBSERVACIONES:

A. El supremo y el ínfimo representan al máximo y mínimo valor que toma un conjunto, respectivamente.

B. Un conjunto de números está ACOTADO si y sólo si está acotado superior e inferiormente.
Ejemplos:

• El intervalo: A =<–2;7> es ACOTADO.

• El intervalo: B = < 8; +> no es ACOTADO.

C. El supremo y el ínfimo de un conjunto pueden ser o no un elemento del conjunto.

TEOREMAS ADICIONALES

Sean a, b, c, d, x  IR

1.  a  IR: a2  0
2. 0  a  b  0  c  d  0  ac  bd
3. ab  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
4. ab  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
5.
6.
7. Si a y b tiene el mismo signo, entonces:

8.

9.
10.
11. a2 + b2  2ab;  a, b  IR
12. a2 + b2 + c2  ab+ ac+ bc; a, b, c  R

13.
14.

15.

16. ; 0  a  b; “m” no es fracción propia positiva.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Marque verdadero (V) o falso (F):

I.  3 II. 0  0
III. -1 < 0 IV.   3,14 a) FFVV b) VVVV c) FFVF d) VVVF e) FFFF 02. Siendo x >0; y > 0; z > 0, indicar el menor valor de la expresión:

a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 8/3

03. Siendo a > 0, b > 0; c> 0; d >0, indicar la correcta afirmación acerca de  siendo:

a) =1/4 b)   4 c)   1/8
d)   1/4 e)  < 1/2 04. Si:] x; y [  ] a; b [, entonces es verdad que: a) x  a  y  b d) x  a  y  b b) x  a  y > b e) x  a  y  b
c) x  a  y  b

05. Hallar el menor número racional “m” donde  x  [2; 4] satisface la desigualdad:

a) -2/3 b) -1/3 c) -5/3
d) -7 e) -6

06. Dar el mayor número entero M que satisface la desigualdad:
2×2 – 4x +1 > 2M, x  R
(Tal desigualdad la llamaremos absoluta)

a) 3 b) -2 c) 0
d) 1 e) -1

07. Hallar el menor número M con la propiedad de que para todo x  R se cumpla:
1 +6x – x2  M

a) 11 b) 9 c) 12
d) 10 e) 0

08. Si: x2 – 6x + 8 < 0 y demás consideraremos: =x2- 6x + 8, entonces se puede afirmar que: a)  e cualquier real negativo b) -1 <  < 0 c) -1/2  <0 d) -1   < 0 e) -1 <   0 09. Sabiendo que a > 0, indique el intervalo al que pertenece, conociendo:

 R; x  R

a) ]-; 2[ b) [1/4; +[ c) [2; -3[
d) [1; +[ e) ]1/4; +[

10. Sea S el área de un triángulo de lados a; b y c. ¿Qué podemos afirmar de  si:

a)   4 b)  >4 c)  < 4 d)   4 e)  < 1 11. Dado el conjunto: Determine si existe el supremo y el ínfimo de A y establecer si pertenecen o no al conjunto A. 12. Hallar el menor número “m” con la propiedad Sea S EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01 01. Sean los intervalos: C = [-4; 4]; D = ]4; 8[ .Calcular : C  D a) [-4; 4] b) ]4; 8[ c) ]-4;8] d) [0;8] e) [-4; 8[ 02. Si la unión de los intervalos: p = [-11; 1[ ; q = ]3; 11] Es: [p + q; m [  ] p - q; n] Calcular: “p + q + m + n” a) -11 b) 11 c) 1 d) -1 e) 0 03. Sean los intervalos: A = [-6; 5] B = ]-2; 9[ Calcular la suma de los valores enteros de AB a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 04. Si la intersección de los intervalos: A = ]-5; -1[ U ]2; 11[ B = [-3; 4] Es [a; b [ U ]c; d]. Calcula “a + b + c + d” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 05. Para los reales afirmamos: I. Si a > 0  a2 > 0
II. Si a < b  ac < bc III. Si 0 < a < b  0 < b-1 < a-1 Son verdaderas: a) Todas b) I y II c) Sólo I d) I y III e) N.A. 06. Para reales afirmamos: I. Si a < b  a + c < b + c II. Si a < 0  -a > 0
III. (a + b)2 > 2 ab
Son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) Todas e) N.A.

07. Si: a < 0 < b, afirmamos I. a2 > ab
II. a – b –1 < 1 III. a–1 < b –1 IV. a2 < b2 ¿Cuántas son verdaderas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 08. Si: a/b < 0, entonces se cumple que: a) a < 0 y b > 0 d) ab > 0
b) a > 0 y b < 0 e) ab < 0 c) a > b

09. Hallar los valores de “m” para los cuales “x” es un número positivo, si x = m – 2

a) m > 2 b) m < 2 c) m > -2
d) m  2 e) m < -2 10. Resolver: 2x + 4  x +12 a) ]-; -8] b) ]-; -16] c) ]-; 8] d) [8; +[ e) [-8; +[ 11. Resolver: (x - 5) (x - 2)  (x + 3) (x + 1) a) x  7 b) 7/11  x c) x  7/11 d) x  7 e) N.A. 12. ¿Qué valor deberá tomar m > 0 para que la desigualdad: 2x+3 < . Tenga como solución ]3; [ a) 6/13 b) 5/17 c) 19/14 d) -17/14 e) 9/13 13. Hallar el complemento del conjunto solución luego de resolver: (x - 5) (x - 3)  (x - 4) (x - 3) a) [3; +[ b) ]-; 3[ c) [4; +[ d) ]-; 4[ e) ]-; -3[ 14. Calcule el conjunto solución de la desigualdad: a) [-60; +[ d) ]-60; 0[ b) ]-60; +[ e) x   c)]-; -60[ 15. Resolver: 3x+4  2x+10 < 5x+8 a) [2/3; 6] b)  c) IR d) ]2/3; 6] e) ]2/3;6[ TAREA DOMICILIARIA 01. Si la unión de los intervalos: E = [-4; 5[ F = ]-2; 5] Es: [a; b]. Calcular “ab” a) -20 b) -10 c) 2 d) 8 e) 25 02. Si: a > b > 0 y M = [-2a; 2a] , N = [-2b; 2b]
Indicar M  N

a) [-2a ; 2b] b) [-2b; 2a] c) [-a; b]
d) [-2b; 2b] e) [-2a; 2a]

03. Sean los intervalos:
M = [-15; -9] U [-3; 3] U [10; 17]
N = [-12; -1] U [1; 13]
Luego de calcular la intersección, indique un intervalo

a) [-12; -3] b) [-3; 10] c) [3; 13]
d) [-3; -1] e) [-9; 10]

04. Sean los intervalos:
A = ]-; [
B = [-3; 4[
C = ]-1; 3[ . Calcular: A  B  C

a) ]-1; 4[ b) [-3; 3] c) ]-1;3[
d) ]3; 4[ e) [-3; -1[

05. Para los números reales “a” y “b”. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

a) Si: a2 – b2 = 0  a = b
b) Si: a2 – b2 = 0  a = -b
c) Si: a2 – b2 = 0  a = b  a = -b
d) Si: a2 – b2 = 0  a = b = 0
e) Si: a2 – b2 = 0  a = b  a = -b

06. Si se sabe que 0 < x < 1; Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? a) 0 < x2 < x3 < 1 b) 0 < x3 < x2 < 1 c) 0 < 1-x < x < 1 d) 0 < x-1 < x < 1 e) 0 < 1-x < x < 1 07. Dados los números racionales U, V y W que satisfacen: > W, entonces se cumple:

a) U > V + W d) U + V > W
b) > W + 1 e) U + W > V
c) V > U

08. Si: “x” es entero. ¿Qué valor no puede tomar “x” en: ?

a) 1 b) -3 c) 0
d) -6 e) 11

09. Resolver: , Si a = 1 –

a) x > 1 + d) x > 1-
b) x < 1 + e) x < 1- c) x   10. Resolver el sistema: 2x+4  3x+6  5x-10 a) [-2; +[ b) [8; +[ c) [-8; +[ d)  e) [2; +[ 11. Resuelve el sistema y marque el intervalo solución: 2  5-3x < 11 2 > -3-3x  -7

a) b) c) ]-2; 1]
d) e)

12. ¿Cuántos números enteros satisfacen el sistema:
5x – 6 > 3x-14
< x + 12 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 13. Resolver el sistema: 2(2x-3) < 5x-3/4 8x-5 < Y dar como respuesta la suma de todos los valores enteros de “x” a) -11 b) -12 c) -13 d) -14 e) -15 14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el siguiente sistema? 5x+4 > 10 6x-5 < 12 4x+3 > 8 7x-6 < 14 3x+2 > 6 8x-7 < 16 a) 14 b) 8 c) 4 d) sólo 1 e) Ningún valor OBJETIVOS ESPECIFICOS:  Saber resolver inecuaciones polinomiales en base a los teoremas sobre desigualdades y al método de los intervalos.  Generar las condiciones para un estudio adecuado del dominio y rango de las funciones.  Reconocer y saber resolver inecuaciones fraccionarias, irracionales, etc. COMENTARIO PREVIO: Este capítulo nos ayudará a desarrollar aún más la capacidad de análisis, pues la diversidad de problemas que se presentan aquí requiere que el estudiante sea analítico, pues de esa manera lograremos determinar la solución respectiva al problema. En algunos casos las soluciones de las inecuaciones se dan en gran cantidad, por lo que serán agrupadas en intervalos. ESQUEMA CONTENIDO TEÓRICO: INECUACION POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma general: P(x) = 0 .... (*) Donde: {a0, a1,....... an} R a0  0; n  Z+ ; n > 2

Resolución de una ecuación polinomial:

Para resolver esta inecuación se procede de la siguiente manera:

I. Se factoriza el polinomio P(x) en R.
II. Los factores primos obtenidos que resultan positivos, luego de factorizar el polinomio, se pueden omitir (El C.S. de esta inecuación no se altera).
III. Para luego aplicar el método de los puntos críticos.

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

En (*) consideramos que P(x) se factoriza de la siguiente manera:
P(x) =

Para la aplicación del método, se debe tener en cuenta:
 Los valores que anulan a P(x) son diferentes.
 Los coeficientes de “x” en todos los factores lineales, deberán ser positivos; si uno de estos coeficientes en un factor no fuese positivo, se tendrá que multiplicar por (-1) a dicho factor, cambiándose el sentido de la desigualdad.

Procedimiento
• Se iguala a cero, cada factor lineal, obteniéndose así valores diferentes para “x”, a los cuales se les denomina: puntos críticos.
• Estos valores se ubican en la recta numérica en forma creciente (de menor a mayor), dividiendo a la recta numérica en (n+1) zonas.
• El polinomio va a tomar valores positivos y negativos de forma intercalada en cada zona, según la figura.
• El conjunto solución toma en consideración a la reunión de las zonas positivas o negativas, dependiendo del sentido de la inecuación.

Sea:

Ejemplos:
Resolver:

1. x3 – 6×2 + 11x – 6  0
Resolución:
Factorizando:
(x-1)(x-2)(x-3)  0
Puntos críticos: {1, 2, 3}

CS = x  [1, 2] U [3, +>

2. (x + 2) (x3 – 27) < 0 Factorizando: (x + 2) (x - 3) (x2 + 3x + 9) < 0 (+)  x  R (x + 2)(x - 3) < 0 3. (x + 1)(x - 4)(x - 5)4  0 Es equivalente a: (x + 1)(x - 4)  0  (x - 5)4  0  x  R Observación: x = 5 verifica la inecuación: CS = x  [-1, 4] U {5} 4. (x - 2)(x - 5)(x - 7)6 > 0
Es equivalente a:
(x – 2) (x – 5) > 0  x  R – {7}

CS = x  <-, 2> U <5; +> – {7}

Teoremas: Dado x  R: , m  N

I. x > 0  x2m+1 > 0
II. x  0  x2m+1  0
Así por ejemplo:
(x – 1)3 > 0  (x – 1) > 0
(x + 4)5  0  (x + 4)  0

Conclusión:
Los polinomios de la forma ; m  N  a  R tienen el mismo signo que su base (x-a).

5. (x + 4)3 (x – 1) (x – 3)5  0
Es equivalente a: (x + 4)(x – 1)(x – 3)  0

CS = x  [-4; 1] U [3; +>

INECUACIÓN FRACCIONARIA E IRRACIONAL

Antes de estudiar estas inecuaciones, definiremos al conjunto de valores admisibles de una expresión matemática en R.
Conjunto de Valores Admisibles (C.V.A.):

El conjunto de Valores Admisibles de una expresión matemática en R, es el conjunto de todos los valores reales que puede tomar la variable de la expresión, para los cuales dicha expresión está bien definida en R.

Ejemplos:
1) Sea f(x) =  C.V.A. (f) = R -{2}
2) Sea g(x)=  C.V.A. (g) = [3; +>

INECUACIÓN FRACCIONARIA

Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma general.

Donde P(x) y Q(x) son polinomios y además: Q(x) de grado n  1.

Resolución de la inecuación fraccionaria:
e sigue los siguientes pasos:
I. Se factoriza los polinomios P(x) y Q(x) en R.
II. Se halla el C.V.A. de la expresión
C.V.A. = R – {x/Q(x)  0}
III. Multiplicando a la inecuación por , se obtiene la inecuación equivalente:
P(x). Q(x) 0 la cual será resuelta por el método de los puntos críticos.

IV. El conjunto solución es la intersección del C.V.A. con la solución de III.

Ejemplo:

Resolver:  0

I. Factorizando:  0
II. C.V.A. = R – {-3, 4}
III. Multiplicando la inecuación por:
(x + 3)2 (x – 4)2, la inecuación es equivalente a:

(x – 1)(x + 2)(x + 3)(x – 4)  0

CS = x  <-; -3> U [-2; 1] U <4; +>

INECUACIÓN IRRACIONAL

Es toda inecuación que tiene la siguiente forma general:

Donde: F(x) es una expresión matemática irracional.

Resolución:

A continuación presentaremos los casos más frecuentes, de una inecuación irracional.

; ;
Los cuales se resuelven aplicando los siguientes criterios:

Sea f(x) y h(x) expresiones no irracionales.
I.

0  f(x) < (1) (2) (3) CS : S1  S2  S3 II. >h(x){h(x)<0f(x)0}v{h(x)0f(x)>
(1) (2)

CS = S1 U S2

III.

> f(x)0  g(x)0 f(x) >g(x)

Ejemplos:

Resolver:

1)  3
2) > – 2
3) > x + 1
4) < 5 - x 5) - > 3

PRÁCTICA DE CLASE

01. Resolver:

si su intervalo solución es:
x<-; a] U [b, c> U
Hallar: (a + b + c + d)

a) -2 b) 0 c) 1
d) 2 e) 10

02. Resolver:
 0
Indicar su intervalo solución:
a) x  <- ; -6] U <-3; 1> U <1, 3>
b) x  <- ; -3] U <1, 3>
c) x  <- ; -2] U <-1; 1> U <2, +>
d) x  
e) x  R

03. Resolver:
 0

Indicar el intervalo solución.

a) x  [-5, +> b) x  [5, +>
c) x  <-, -5] d) x  <-, 9] e) x  R 04. Resolver: Indicar su intervalo solución. a) x  <-, -3/2> U <0, 7/6> U <2, +>
b) x  <-, 2> U <4, +>
c) x  <-, -1> U <1, 2> U <3, +>
d) x  R e) N.A.

05. Resolver:

su conjunto solución es: x  U
Hallar: E = a + b + c + d.

a) -5 b) -1 c) 2
d) 5 e) 1

06. Resolver:

a) x  <0, +> b) x  <-2, +>
c) x  <2, +> d) x  <-1, +>
e) x  <-4, +>

07. Resolver:
A = {x  R /  0}
B = {x  R/  2 }
Hallar (A  B)

a) <- , -3] U <5; +>
b) <-10, +>
c) <-, 10>
d) [-10, -4>
e) N.A.

08. Hallar F U G.
F = {x  R+ /2×2 – 5x + 7  0}
G = {x  R+ /2×2 – 5x + 30  0}

a) <0, 1] U [3/2, + > b) R
c) R+ d) R – {1}
e) R – {3/2}

09. Hallar J  K siendo:
J = {x  R- /x2 – 7 < 0] G = {x  R /x2 - 5 > 0}
a) b)
c) d)
e)

10. Resolver:

a) <-8, -4] U [4, 8> b) <- , -4] U [4, +] c) <- , -4] U [8, +> d) <-, 6>U<8, +>
e) <-8, 8>

11. ¿Cuáles son los valores de y para que la ecuación x2 + xy + y2 – 4 = 0, defina valores reales de x?

a) b)
c)  d) R
e) [-2, 2]

12. Determine los valores de x que impiden que y tome valores reales en la ecuación:
xy2 – y2 – x = 0

a) R -{1} b) [1, +> c) <-, 0] d) <1, +> e) <0, 1>

13. Resolver:

a) <-9, -5] U [5, 9> b) <-9, 9>
c) <-, -9> U <9, +> d) R
e) <-, -5] U [5, +>

14. Resolver:  0

a) <-1, 2] U [3, +> b) R
c) <-, -3> d) [-1, -3] U <-,-3] e) [-3, -1] U [2, 3] 15. Resolver la siguiente inecuación : a) {2} b) R+ c) <-, -1>
d) <-1, +> e) [-1, +>
16.Determine cuántos valores enteros de k satisfacen el sistema:
x2 – 4x + 2k < 0 ... (1) x2 + x + 0.5 > 0 … (2)

a) 2 b) 4 c) 5
d) 16 e) Infinitos

17.Si k > 1/4, hallar el conjunto solución en:

 0

a) <0, 1> b) <1/4, 2> c) <1, 2>
d) <-, -1> U <0, 2> e) <-,0>U<0,1>

18.Si: > 2, el conjunto solución es:

a) [-3, -1/2]U<7, 11> b) <-3, -1/2>U<7, 11>
c) <-3, -1/2] d) <-6, -1>
e) <-, -6] U [-1, +>

19.Resolver:

a) <-, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8)
c) <0, -1/8) d) <-1, >
e) R

20.Resolver:
< 4 a) <-, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8)
c) <0, -1/8> d) <-1, +>
e) <-, -6> U <-1, + ) EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 01. Resolver: x3 - 18x2 + 77x > 60

a) x  <1; 5> U <12; +>
b) x  <1; 4> U <10; +>
c) x  <-1; 5> U <12; +>
d) x  <0; 5> U <10; +>
e) x  <-12; -5> U <-1; +>

02. Resolver: x4 – 2×3 – 16×2 + 2x + 15 < 0 a) x  <-3; -1> U <1; 5>
b) x  <-2; 0> U <1; 4>
c) x  <-1; 1> U <2; 5>
d) x  <3; 5>
e) x  <-3; 0>

03. Resolver:
 0

a) x  <-, -4] U <-1; 1> U <3; 5] b) x  <-, 2] U <-1/2; 1> U <4; 7] c) x  <-4, -1> U <-1; 3>
d) x  <-, 4] U <8; 7>
e) x  

04. Resolver: > 1, donde: 0 < a < b. a) x <- ; - > b) x <- a; 1>
c) x <- b; 1> d) x <- ; 1>
e) x 

05. Resolver la inecuación:

Considerando que: a < 0. a) <-3a; a] b) <- ; 3a] U – {- a}
c) [-3a; a>
d) <- ; a] U <3a; +>
e) R – {-a; a}
06. Resolver:
 0

si su intervalo solución es:
x  <-a; b> U {-c, c}
Hallar: E = a + b + c.

a) 4 b) 2 c) 3
d) 1 e) 6

07. Resolver:

a) x[-2; +> b) x<-2; +>
c) x<-1; +> d) x[-2; 1]
e) x[1; +>

08. Resolver:

a) x<-; -2> b) x<-; 3>
c) x<-; 4> d) x<-; 2>
e) x  

09. Resolver:
< 0 a) x  <- ; -4> U <2; 3>
b) x  <- ; -3> U <2; 3>
c) x  <- ; -2> U <3; +>
d) x  R
e) x  

10. Resolver:
 0

Indicar un intervalo solución:
a) [-2; 2] b) <-; -2> c) <3; +>
d) [-2; 0] e) [-2; 0] U {2}
11. Resolver:
Dar un intervalo solución:

a) x  [-2; 2] b) x  <-2; 2] c) x  [-2; 8] d) x  <2, 7> e) x  R

12. Resolver:

a) x > 3 b) 2 < x < 5 c) x > 1
d) x > 5 e) x  

TAREA DOMICILIARIA

01. Resolver:
 0

a) x  <-7, -2] U <2, 3] U [4, 8> U {-1}
b) x  <-7, -1] U <2, 3] U [4, 8>
c) x  <-4, -1] U <2, 3] U [4, +>
d) x  <-1, 1> U <2, +>
e) N.A.

02. Resolver:  2 x – 3

a) x  b) x 
c) x  d) x   e) x  R

03. Resolver:

a) x  <-, 1/3> U <2, +>
b) x  <-, -1/4> U <1/4, +>
c) x  R
d) x  
e) x  <-1/6, +>
04. Resolver:

a) x  <-2, 3> b) x  <-1, 1> c) x  <-2, 2>
d) x  R e) N.A.

05. Resolver: < 1 a) <-, -4> U <-5/2, +>
b) <-, -4> U <1, 2>
c) <-4, +>
d) <-5/2, +>
e) N.A.

06. Resolver:
 x – 4
su intervalo solución es: x  [a, b] U [c, d]
Hallar: (a + b + c + d)

a) -4 b) -2 c) 2
d) 3 e) -1

07. Resolver:
 x – 4

a) x  [-4, +> b) x  <-, -1] U [1, +>
c) x  [-1, 1] d) x   e) x  R

08. Resolver:
 0

a) x  [-1,0> U [1, 4] b) x  [-1,4]
c) x  <-1,0> U [1, 7] d) x  R
e) x  

09. Resolver:
su intervalo solución es [a, b>. Hallar (a+b).

a) -20 b) 5 c) -15
d) 10 e) N.A.

10. Resolver:
 0

a) x  <-, -5] U <-2, -2/3> U <0,3>
b) x  <-, -4] U <-2, 1> U <2,3>
c) x  [1, 3> d) x  <-3,3>
e) N.A.

11. Resolver:  0

a) x  <-, -2 ] U [2 , +>
b) x  <-, -2 ] U [4, +>
c) x  <-1, 1>
d) x  <-, -1] U [2, +>
e) x  R

12. Resolver; hallar su intervalo solución
> -2

a) x  <-, -3] U [1, +>
b) x  <-, -2] U [4, +>
c) x  <-, -1] U [2, +>
d) x  <-, 0] U [4, +>
e) x  R

13. Hallar todos los valores reales “x” que verifican:

 0

a) x<-;-3]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<2,+>
b) x<-;-2]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<3,+>
c) x<-;-1]U<-1;-1/2>U[1/4,1/2]U<2,+>
d) x  R
e) N.A.

14. Hallar el conjunto solución en:
 0

a) [5/2, 3> b) [2, 5] c) <2, 3/2>
d) [2, 3> e) {2, -2}

15. El conjunto solución en: |x|2 – 4 > |3x – 6|

a) [-6, 3]’ b) [-7, 5/2]’ c) [-5, 2]’
d) <3, +> e) <- , -6>

16. Si x  <-2, 1] entonces x2 + 2x + 2 pertenece al intervalo: a) [0,2] b) [0, 2> c) [0, 4>
d) [1, 4> e) [1, 5]

17. Si  <1/3, 1] entonces x2 + 2x + 3 pertenece al intervalo: a) [2, 4> b) [0, 9> c) [3, 11>
d) [3, 9> e) [2, 10>

18. Determinar la verdad o falsedad en:
I. x  [1, 3]  
II. x  [1, 2]   [3, 4]
III. x2  <4, 9>  x+1  <-2, -1> U <3, 4>
a) FVV b) FFF c) VVV
d) VVF e) FFV

19. Sea J = {x  R/x  |4x-7| < x+5}, entonces J es igual a: a) <2/5, 7/5] U [7/3, 4> b) R
c) [7/3, 4] d) <1/3, 2/5] e) <0, 1] OBJETIVOS ESPECIFICOS:  Diferenciar las Relaciones de las funciones.  Encontrar dominios e imágenes de las funciones  Graficar las funciones más importantes  Hallar el número real (valor numérico) o la expresión algebraica (cambio de variable) que resulta de reemplazar una o más variables por valores numérico o algebraico. COMENTARIO PREVIO: Par ordenado: Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos en el que se introduce un orden “natural”. Notación: Propiedad: Producto cartesiano: Dados dos conjuntos A y B el producto cartesiano de ambos se denota por A x B y se define como el conjunto de pares ordenados, cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir: Propiedad: Si: n representa el número de elementos de un conjunto determinado. Se cumple que: RELACIONES BINARIAS: Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío, decimos que el conjunto “R es una relación binaria de A es B”, si R es un subconjunto del producto cartesiano A x B Simbólicamente: R: A  B; R  A x B con A   y B   Donde: A x B = {(a; b) / a  A  b  B} Gráficamente: Dominio: Es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados (a: b) que pertenece a R. Simbólicamente: Dom (R) = {a  A /  b  B  (a, b)  R} Rango: Es el conjunto formado por los segundos componentes de los pares ordenados (a; b) que pertenecen a R. Simbólicamente: Rango (R) = {b  B /  a  A  (a, b)  R} Nota importante: Las siguientes notaciones son equivalentes y se usan indistintamente. Lo que el estudiante debe saber es interpretarlos. a R b  b = R (a)  ( a; b )  R Equivalente: x R y  y = R(x)  (x; y)  R Si: R: IR  IR, además IR x IR = {(x, y) / x  IR  y  IR} Relación de equivalencia: Se dice que “R” es una relación de equivalencia sobre un conjunto A  , a toda relación de A en A que goza de las tres siguientes propiedades: a)  x  A  (x, x)  R  x R x (Reflexiva). b) Si (x, z)  R  (z, x)  R (simétrica). c) Si (x, z)R (z, t)R  (x, t)R (transitiva) Ejemplos de relaciones de IR en IR 1. x2 +y2 = 25 2. x2 + y2 < 9 3. x2+ y2 > 9
4. x2 + y2  9
5. (2,  1), donde R: 2x  y  5= 0
6. S  T, donde S: x2 + y2 < 4 T: x2 + y2 < 25 7. L1 // L2, donde L1: x  y=0, L2: y = x + 5 8. L1  L2, donde L1: x+y–1=0; L2: y =x–2 CONTENIDO TEÓRICO: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función definida en A y con valores en B, o simplemente función de A en B a toda correspondencia f que asocia a cada elemento, x  A un único elemento y  B. Notación funcional: Se lee f es función de A en B. Condición de existencia y unicidad: Sea: f: A  B I. Para cada x  A, ! y  B / (x; y)  f. II. Si: (x; y)  f  (x; z)  f  y = z Ejemplo: f = {(1; a); (2; b); (3; b); (4; c)} Cumple la definición  es función. En cambio: f = {(5, a); (9, b); (9, c); (13, a)} No se cumple la condición de unicidad  no es función. Observación: No deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento; en caso exista de acuerdo a la definición, las segundas componentes tendrán que ser iguales si no es así entonces no es función. Ejemplo: F = {(3; a-3); (5; 7); (3; 8); (5; b-1); (2; 9)} Es función siempre y cuando: a – 3 = 8  b – 1 = 7 Es decir: a = 11  b = 8. Dominio de una función: Se llama así al conjunto de todas las primeras componentes pertenecientes a una función f, y se denota de la siguiente manera: Df ó Dom f. Df = {x  A/ ! y  B / (x, y)  f} Rango de una función: Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que forman la función f y se denota; Rf ó Rang f. Rf = {y  B/ x  A  (x; y)  f} Ejemplo: Sea: f = {(1; 2); (4; 7); (5; 4); (9; 10)}  Df = {1; 4; 5; 9} Rf = {2; 7; 4; 10} Regla de correspondencia.- Es la relación que existe entre las primeras y segundas componentes de una función. Donde: x: variable independiente y: variable dependiente Sea la siguiente función: f = {(1; 1); (2; 4); (3; 9); (4; 16)….} Luego: f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 9; f(4) = 16 .......... En general: f(x) = x2; x  N Función real de variable real Sea f una función de A en B. (f: A  B), si: A  R B  R Diremos que f es una función real de variable real. Gráfica: Si f es una función real de variable real, la gráfica de f es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a f. Gráfica. = {(x; y)  R2 / y = f(x), x  Df} Teorema.- Si f es una función de R en R  toda recta paralela al eje “y” corta la gráfica a lo más en un punto. Funciones especiales 1. Función Constante Regla de Correspondencia: f(x) = C; Df = R, Rf ={C} 2. Función Identidad Regla de correspondencia: f(x) = x ó I(x) = x 3. Función Valor Absoluto Regla de correspondencia 4. Función Lineal Regla de correspondencia f(x) = ax + b; a  0 5. Función cuadrática Regla de correspondencia f(x) = ax2 + bx + c; a  0, {a, b, c} R Df = R Toda función cuadrática se puede llevar a la forma: f(x) = a(x-h)2 + k Donde: V = (h; k) vértice. 6. Función Raíz Cuadrada Regla de correspondencia: f(x) = 7. Función Signo Regla de correspondencia Dom F = R; Rang F = {-1; 0; 1} Álgebra de funciones 1. Igualdad de Funciones: Las funciones f y g son iguales si se cumple: a. Df = Dg (igual dominio) b. f(x) = g(x),  x  Df = Dg A continuación vamos a definir las diferentes operaciones que se pueden establecer con las funciones. Sean las funciones f, g con dominios Df y Dg respectivamente. i. (f + g)(x) = f(x) + g(x) D(f + g) = Df  Dg ii. (f – g)(x) = f(x) – g(x) D(f – g) = Df  Dg iii. (f.g) (x) = f(x). g(x) D(f. g) = Df  Dg iv. (f/g)(x) = ; g(x)  0 D(f/g) = Df  Dg  g(x)  0 Observación: Si: (f. f. f. f. . . . . . f)(x) = f(x) . f(x) . . . . . f(x) n veces n veces Entonces: = = Df : n  N Ejemplo: Dadas las funciones: F = {(-3;4); (-1;0); (2;0); (3;1); (4;1); (5;3); (6;6)} G= {(-4;3); (-3;0); (1;0); (2;3); (3;3); (4;6); (6;6); (7;5)} Determinar: a) f  g b) f . g c) f/g d) g/f e) f2 - 2g PRÁCTICA DE CLASE 01. Sean A = {1, 2, 3} B = {4, 5} Cuáles de los siguientes conjuntos son relaciones de A en B. I.- {(1, 4) (2, 4)} II.- {(1, 5) (2, 4) (4, 3)} III.- {(3, 5) (2, 5)} a) Sólo I b) sólo I y II c) sólo I y III d) III y II e) N.A. 02. Dado el número U = {1, 2, 3, 4} y las relaciones: R1 = {(x, y) / x = y} R2 = {(x, y) / y = 4} R3 = {(x, y) / x > y}
El número de elementos de R3 – (R1 U R2) es:

a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9

03. Si R es una relación en A = {2, 3, 9} tal que R ={(x, y)  A x A/ y + 1

a) <-15; 35> b) < >
c) <13;33> d) < >
e) < >

11. Hallar el rango de la siguiente función:

F(x) = 2×2 + 3x + 2; x  R

a) [1/8; +> b) [7/8; +> c) [-1; 2]
d) <-; 7/8> e) N.A.

12. Hallar el rango de la función:
F(x) =

a) [0; 1/5> b) <-; 1/5] c) [0; 5>
d) [1/5; +> e) N.A.

13. Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) =

a) [-1/3; 0] b) [1/3; 3] c) [1; 6]
d) [1/3; 4] e) [-3; 1]

14. Hallar el rango de:
F(x) =

a) {0} b) [3; +> c) <-; 3] d) {3; -3} e) <-; 0>

15. Hallar el rango de la función:
G(x) = x2 – 6x + 3; si x  <-2; 5>

a) <-6; 19> b) [-5; 10> c) [-6; 19> d) <-6; 6> e) [-7; 10>
16. Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) =

a) <-2; 5> U <5; +>
b) <-4; 3> U <3; +>
c) <-4; 6>
d) <-4; 5> U <5; +>
e) <-3; 5>

17. Determinar el rango de:
F = {(x; y)  R2 /y = }

a) R b) [3; +> c) <2; +> d) [2; +> e) <3; +>

18. Si: F(x) =
G(x) =
Indicar lo correcto:
a) F = G b) F = 2G c) F = 3G
d) F + G = 0 e) F  G

19. Sean las funciones:
F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1), (4,3)}
G = {(2,0); (3,4); (4,7); (6,2)}
Hallar la suma de valores extremos de:
(F + G).

a) 6 b) 10 c) 3
d) 13 e) N.A.

20. Hallar la gráfica de la siguiente función:
F(x) = (x + 2)2 – 4

21. Hallar la gráfica de: F(x) =

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03

01. Si F(x) =
G = {(-4,1); (-3,0); (-1,5); (2,-1); (7,4)}
Indicar el número de elementos de G/F.

a) 3 b) 1 c) 2
d) 4 e) 5
02. Dado el conjunto A = {a, b, c, d} y las relaciones:
R1 = {(a, a), (d, d), (a, d), (d, a)}
R2 = {(c, c), (b, b)}
R3 = {(a, a), (b, b), (c, b), (d, a)}, son transitivas:

a) R1, R2 b) R1, R3 c) R2, R3
d) N.A. e) Todas

03. Sea R una relación definida en el conjunto
{x/x=2n , n e Z+,5 < x < 25} y sea n(R) el número de elementos de R. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. I) n(R) = 10  R no es reflexiva II) n(R) = 10  R es reflexiva III) R es transitiva  n(R) > 3
Son verdaderas:

a) Sólo I b) sólo II c) sólo III
d) sólo I y II e) Todas

04. En el conjunto [1,8]  Z se define la relación R cómo. a R b  a es divisor de b. Hallar n(R)

a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24

05. Si el conjunto M tiene 2 elementos, entonces el número de relaciones binarias en MxM es:

a) 22 b) 24 c) 28
d) 216 e) N.A.

06. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y la siguiente relación en A:
R = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3,z), (x,y) , (x,z) , (2,3) , (z,y) , (3,1)} Si R es una relación de equivalencia.
Hallar el valor de: 3x + 2y – z

a) 2 b) 4 c) 0
d) 7 e) N.A.

07. Sea R una relación en: A={1,2,3,4,5,6} definida por “x es divisor de y”, entonces:
1. R es reflexiva
2. R es simétrica
3. R es Transitiva
Son ciertas solamente:

a) Todas b) 1,2 c) 1,3
d) 2,3 e) N.A.

08. Son funciones:

(1) (2)

(3) (4)

Son ciertas solamente:

a) Todas b) 1; 2 y 3 c) 2; 3 y 4
d) 3 y 4 e) N.A.

09. Se tiene los siguientes conjuntos de pares ordenados:

1.- {(1,2), (2,3), (3,4), (4,3)}
2.- {(2,1), (3,2), (4,3), (3,4)}
3.- {(3,4), (2,3), (4,1), (2,3)}
4.- {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
Son funciones solamente:

a) Todas b) 1,2 y 3 c) 1,3 y 4
d) 1,3 y 5 e) N.A.

10. Sea f: A  R definida por f (x) = 4x – 4.
Hallar el rango de f si:
A = {-1/2; -1; 0; 1; ½}

a) {0, -1, -2, -3, -4}
b) {-2, -3, 0, 3, 2}
c) {7/2, 15/4, 2, 3, 0}
d) {-15/4, -7/2, 0}
e) {–7/2, –15/4, –3, –2, 0}

11. Los siguientes gráficos representan funciones:

(1) (2)

(3)

Son ciertas solamente:

a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) N.A.

12. Sean los conjuntos:
A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5} y las siguientes relaciones de A en B.
1.- {(2, 3), (3, 4), (4, 5)}
2.- {(3, 2), (4, 3), (5,4)}
3.- {(3, 3), (4, 4)}
Son funciones de A en B:

a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) N.A.

13. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen a una función A x A:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
1.- {(x, y)  A2 / x = 4}
2.- {(x, y)  A2 / y = 4}
3.- {(x, y)  A2 / x + y = 6}
4.- {(x, y)  A2 / x2 + y2 = 25
5.- {(x, y)  A2 / x < y} a) Todas b) 1,2 y 5 c) 2,3 y 4 d) 1,3 y 4 e) 3,4 y 5 14. Sea A = {x  N / 0 < x < 5} ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son funciones de A en A? R1 = {(x, y)  A x A / x = 2} R2 = {(x, y)  A x A / y = 2} R3 = {(x, y)  A x A / x + y = 5} R4 = {(x, y)  A x A / x = y2} a) R1  R2 b) R2  R3  R4 c) sólo R3 d) todas e) R1 y R4 15. Para A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5} Sean f y g dos aplicaciones de A en B tales que: f = {(1, 3), (2, 4), (a, b)} y g = {(3, 3), (2, 4), (c, d)} Si: x  A, f(x)  x, Rango (f)  B y g (1) = 3 Hallar el valor de: (b – a) – (c – d) a) 2 b) 4 c) –2 d) –1 e) N.A. 16. Si f es una función. ¿Cuáles son verdaderas? I) Si a = b  f(a) = f(b) II) Si a  b  f(a)  f(b) III) Si f(a) = f(b)  a = b a) I b) II c) III d) todas e) I y III 17. Sean: A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {a, b, c, d, e} ¿Cuáles de las siguientes relaciones definen aplicaciones de A en B? R1 = {(2, a), (4, c), (10, c), (8, e), (6, e)} R2 = {(10, a), (6, b), (2, a), (6, e), (4, d)} R3 = {(6, a), (4, b), (8, c), (10, e)} R4 = {(a, b), (4, e), (6, a)} R5 = {(10, b), (8, b), (4, b), (2, b), (6, b)} a) R1  R3 b) R1  R5 c) R3, R4; R5 d) todas e) N.A. 18. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es función? I) {(1, 3), (2, -2), (-1, 7), (2, -4)} II) {(1, 0), (0, 0), (2, 0), (3, 0)} III) {(1/2,3), (1/3,2), (1/5,1) IV) {(3,4), (5,2), (6,2), (3,4)} a) I y II b) I, II y III c) II, III, IV d) I e) todas 19. Si el siguiente conjunto es una función {(3,-2), (4,2a - b), (8,1), (3,a + b), (4,-4)}, el valor de a2 + b2 es: a) 1 b) 3 c) 0 d) 4 e) 5 20. Sean las funciones: F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1); (4,3)} G = {(2,0); (3,4); (4,7); (5,2)} Hallar la suma de elementos del rango de: (F2 + 3 G) a) 16 b) 13 c) 30 d) 59 e) N.A. TAREA DOMICILIARIA 01. Dado el conjunto: A = {2; 4; 6} y las relaciones en A: R1 = {(2; 2), (2; 4), (4; 4 ), (6; 6), (4; 2)} R2 = {(x, y) / y – x = 0} R3 = {(x; y) / y – 2 = x}; ¿Cuáles son relaciones de equivalencia? a) R1 b) R2 c) R1 y R3 d) R2 y R3 e) R1 y R2 02. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones en A: I) R1={(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;4)} II) R2 = {(x; y) /x2 + y2 = 5}  {(1; 1)} III) R3 = {(1; 1), (2; 2), (2; 3)} Indicar las relaciones transitivas. a) II b) I  II c) II  III d) I, II  III e) I  III 03. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones en A: R1={(1;2), (2 ;3), (2;1), (3;4), (3;2), (4; 3), (3;3)} R2 = {(x; y) / x2 + y2 = 5} R3 = {(x; y) / y = x – 2}; ¿Cuáles son simétricas? a) R1  R3 b) R1 c) R1  R2 d) R2 e) R3 04. Dado el conjunto: A = {-2; -1; 3; 4} y las relaciones en A: R1 = {(-2,-1), (-2;-2), (-1; 2), (-1;-1), (3;3), (4; 4)} …........... ( ) R2 = {(x; y) /  x  =  y  ............... ( ) R3 = {(x; y) / y = x – 2} ............... ( ) Indicar con una V si es reflexiva y con una F si no lo es. a) VVF b) VFF c) FVF d) VVV e) VFV 05. Dados los conjuntos: A = {x  R / 3 < x < 6} B = {x  R / x  [-1; 4]}. Calcular el área que determina la gráfica de A x B a) 222 b) 62 c) 152 d) 122 e) 82 06. Son funciones inyectivas: (1) (2) (3) a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) N.A. 07. Son funciones sobreyectivas: (1) (2) (3) a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) 3 08. Son funciones biyectivas: (1) (2) (3) a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) 1 09. Graficar la función: F(x) = ||x-2| - 2| 10. Graficar: F(x) = | | 11. Sean las funciones: F = {(0, ); (1, ); (2, 0)} G = {(0, ); (2, 1/2); (4; )} Hallar M = (F.G)(2) a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) N.A. 12. Graficar la función: F(x) = Sgn 13. Dadas las funciones: F(x) = 3x - 5; x  [0, 6] G(x) = Hallar: (F + G) a)(F+G)(x)= b) (F+G)(x) = c) (F+G)(x) = d) (F+G)(x) = e) N.A. 14. Hallar el rango de la función: F = a) <-; 1] b) <-; 1] U <1, +] U {0} c) <1; +>
d) [-1; 1>
e) <-; 0> U <1; +>

15. Hallar el rango de la función:
F(x) = x2 – 2|x| – 3
a) [-4; +> b) [-2; +> c) [-1; +>
d) [-6; +> e) [1; +>
16. Hallar el rango de la función:
F(x) =

a) <-; -1> U [2; +>
b) <-; -3> [2; +>
c) <-; -2> [1; +>
d) <-; -2] U <2; 4>
e) R – {-1}

17. Determinar el rango de:
F(x) = |x + 8| – |x – 8|

a) [-4; 4] b) [-8; 8] c) [-16; 16]
d) [8; +> e) <-; 8] 18. Graficar F(x) = x|x|. 19. Sean las funciones en R: h(x) = x2 - 4x + 7 g(x) = x2 - 10x - 27 Si: h(xO)  h(x);  x  Dom h y g(x1)  g(x);  x  Dom g. Hallar: . a) -3 b) 3 c) 7 d) -7 e) N.A. 20. Si las gráficas de F(x) y G(x) son: Hallar la gráfica de: H(x) = OBJETIVOS ESPECIFICOS: CONTENIDO TEÓRICO: I. Definición Se denomina logaritmo de un número real “N”, al exponente a que debe elevarse una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesta o sea “N”: Notación Loga N = b Se lee: “logaritmo de N en base a es igual a b”. Ejemplo: Hallar el logaritmo de en base Resolución Sea “x” el logaritmo buscado: Por definición: Cuando las bases son iguales, entonces los exponentes son iguales. De donde: x = 55/3 II. Propiedades generales de los logaritmos 1) Solamente existen sistemas de logaritmo cuya base es una cantidad positiva diferente de 1. a  < 0; 1 >  < 1; + >

2) En el campo de los números reales no existen logaritmos de cantidades negativas.

3) El logaritmo de la base es la unidad.

4) El logaritmo de la unidad es cero

5) Logaritmo de un producto
Es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

6) Logaritmo de un cociente
Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

7) Logaritmo de una Potencia
Es igual al producto del exponente por el logaritmo dado con su respectiva base.

8) Logaritmo de una Raíz
Es igual al cociente del logaritmo del radicando entre el índice de la raíz.

9) En todo sistema de logaritmos, si se eleva la base a un número “n”, para que no varía, también debe elevarse el número. Igual sucede cuando se le extrae la raíz “n”.
Esta propiedad sólo se basa en Potenciación y Radicación.

III. Cambio de base

Permite escribir el logaritmo de un número con su base conocida, en otro logaritmo del mismo número pero en otra base.
Sea la base original “a” y el número N, se desea cambiar a una base “b” del mismo número N.
Esta transformación se realiza de la siguiente; manera:

* PROPIEDAD EN EL CAMBIO DE BASE

* CONSECUENCIAS DE LA FORMA DE CAMBIO DE BASE

1)

2) Regla de la Cadena

3) Extensión de la regla de la cadena

IV. Cologaritmo

De un número en una base “a” es el logaritmo de la inversa del número en la misma base.
También es equivalente al logaritmo del número en la base, precedido del signo menos.

V. Antilogaritmo

Se denomina antilogaritmo en una base “a” al número que dio origen al logaritmo.

Por definición, el antilogaritmo y logaritmo, expresados en la misma base son funciones inversas, por tanto:

VI. Sistemas de logaritmos
 Sistemas de logaritmo neperiano o natural
Es aquel sistema de logaritmo, en el cual la base a emplear es el número “e”, donde:
2 < e < 3. (e  2,7182) siendo sus notaciones:  Logaritmo decimales vulgares o de Brigss Definición: Recibe este nombre, el sistema de logaritmos, cuya base es 10. La base no se escribe y su representación es: Características: Es la parte entera del logaritmo decimal de un número. Puede ser positiva o negativa. Determinación de la característica de log N Cuando N>1: La característica es positiva igual al número de cifras que hay en su parte entera menos uno.
Ejemplos:
log 657 la característica es: 3 – 1 = 2
log 3287,17la característica es: 4 – 1= 3
Cuando: 0 0 Progresión Aritmética Creciente
* Si: r < 0 Progresión Aritmética Decreciente Propiedades: Sea la P.A:  a1. a2. a3..... ak... ax… ay... an I. Razón: r = a2 – a1 = a3 – a2 .... = ak – ak – 1 ; 1  k  n II. Término General III. Términos equidistantes de los extremos Sean ellos: aP; aq a1............ aP............. aq............ an p términos p términos IV. Término Central: Cuando “n” es impar. * Corolario: V. Suma: Medios Aritméticos: Son los términos comprendidos entre dos extremos. Ejemplo: 4. 7. 10. 13. 16. 19. 22 extremo extremo anterior posterior Interpolación de Medios Aritméticos: Dados: a, b, m De (II)  ri: Razón de interpolación aritmética PROGRESION GEOMETRICA Es aquella sucesión numérica, en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero y además un término cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una misma cantidad llamada razón geométrica, a una progresión geométrica también se le denomina progresión por cociente. Representación.  t1 : t2 : t3 : t4 : .........: tn  t1 : t1q : t1q2 : t1q3 : ......... : t1qn-1 Elementos de la progresión geométrica.  = Inicio de la progresión geométrica. t1 = Primer término [t1  0] : = Separación de términos q = Razón [q  0] tn = Término enésimo Sn = Suma de “n” primeros términos Pn = Producto de “n” primeros términos Clases de P.G. * Si: q > 1 P.G. Creciente

* Si: 0