ALGEBRA BASICA

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El álgebra es una parte esencial de las matemáticas que se encarga de estudiar a la cantidad en su forma más general obteniendo generalizaciones sobre el comportamiento operacional de los números. Estudia de esta manera, funciones numéricas; para lo cual se emplea números, letras y signos de operación.
Como el estudio de una función conduce finalmente al planteamiento de una ecuación o igualdad, se dice también que el álgebra es la ciencia que estudia las ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias.

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Etimología
La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva la palabra “Al Jabr” , la cual aparece en el tratado “Al – jabr – wa’l muqäbala” escrito por el matemático y astrónomo persa Mohammed ibn Musa Al – Khwarizmi (780 – 850 d.C.) llamado por algunos “Padre del Álgebra”. La palabra “álgebra”. “Al Jabr” significa «restauración», refiriéndose al equilibrio de una ecuación mediante la transposición de términos. “Muqäbala” significa “simplificación”, refiriéndose a la reducción de términos semejantes en cada miembro de una ecuación.
El tratado “Al – jabr – wa’l muqäbala” denominado «Compendio de cálculo por compleción y comparación «, proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.
Escribió también varios libros sobre Geografía, Astronomía y Matemáticas.
¿Qué conoces acerca del origen de la palabra Álgebra?
El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comunmente llamado Aljuarizmi, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú, escribe su famoso libro “AL DJABR W’AL MUKABALA” que quiere decir “Transposición y Reducción de términos semejantes”. Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de ALJUARIZMI, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte para llamarle simplemente “Al djabr”, o sea Álgebra, a la teoría de las ecuaciones.

MATEMATICA BABILONICA (3000 a. C.) :

El Álgebra, siendo una de las principales áreas de la Matemática, tuvo un inicio que se remonta aproximadamente al año 1800 a.C. Fue la cultura babilónica la que dejó indicios en sus “tablas cuneiformes” sobre las nociones básicas para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica.

Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas.
Es decir la historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el arte matemático.

ÉPOCA GRIEGA: (Siglos VIII a.C. – VI d.C.)
Se sientan las bases fundamentales de la Aritmética y Geometría, destacan: Thales, Pitágoras, Platón, Aristóteles, Euclídes, Arquímedes, Herón, etc.
Para la época de Platón, en la Antigua Grecia, las matemáticas habían sufrido una importante transformación. Los matemáticos helénicos crearon un álgebra de tipo geometrico, en donde los términos eran representados por lados de objetos geométricos, por lo general líneas, a las cuales asociaban letras. Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el pádre del álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas.

• ÉPOCA ARÁBIGA: (Siglos VII a XII d.C.)
Luego, durante la Edad de Oro del mundo musulmán, a la cual corresponde la Edad Media del Mundo Occidental, aproximadamente 700 – 1200 d.C., el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas. Los matemáticos árabes conservaron el patrimonio matemático de los griegos, divulgaron los conocimientos matemáticos de la India, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar tanto el Álgebra como la Trigonometría.

Se da inicio, de lo que hoy conocemos como “Álgebra” debido a los trabajos realizados por Muhammed ibn musa Al-Kherizmi; Al Karchi; Omar Khayyam, etc.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “Ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabru que significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi; escribió uno de los primeros libros árabes de Álgebra, una presentación sistemática de la Teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del Álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las variables “x”, “y”, “z” que cumplen: x + y + z = 10; x2 + y2 = z2; y x.z = y2.
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita “x”, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del Teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwarizmi fue publicado en el siglo XII. A prinicpios del siglo consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica: x3 + 2×2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
La palabra “álgebra” es el nombre de la palabra árabe “Al-Jabr” en el título del libro al-Kitab al-mu?ta?ar fi al-Gabr ?isab wa-l-muqabala, escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, en 820. La palabra Al-Jabr significa “reducción”. Para ciertos autores Al-Khwarizmi es el “padre del álgebra”, aunque otros reservan este título al matemático helenístico Diophantus.

Los que apoyan a Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el que se encuentra en el álgebra Arithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es totalmente retórica. Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi se basan en el hecho de que presenta los métodos de “reducción” y “equilibrio” (la transposición de términos o pasar al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos a ambos lados de la ecuación), al cual el término Al-Jabr se refería originalmente, y que dio una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, apoyada por las pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como una disciplina independiente en su propio derecho. Su álgebra ya tampoco trataría “con una serie de los problemas por resolver”, sino con una “exposición que empieza con lo primitivo en el que las combinaciones deben dar todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante explícitamente constituyen el verdadero objeto de estudio”. También estudió una ecuación para su propio bien y “de forma genérica, en la medida que no sólo surgen en el curso de la solución de un problema, sino que específicamente en la llamada para definir una infinidad de problemas de clase”.

El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos.

• ÉPOCA DEL RENACIMIENTO: (Europa, siglos XII a XVI d.C.)
En base a lo desarrollado por los matemáticos árabes, el álgebra alcanza un grado de desarrollo muy alto. Se investigan las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Nace la Trigonometría. Destacan Nicolo Fontana, Girolamo Cardano, Francois Viette, etc.

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.
Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad.

• ÉPOCA MODERNA: (Siglos XVII – XIX d.C.)
La Matemática se desarrolla de una manera vertiginosa, de tal forma que es necesario explorar nuevos campos y espacios. Se crea el Análisis Matemático y el Cálculo Infinitesimal. Destacan: Isaac Newton, Gottfried Leibnitz, Blas Pascal, John Neper, Jacques Bernoulli, Brook Taylor, Leonard Euler, Galois, Lagrange, etc.

Un avance importante en el Álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de Álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las Matemáticas fue el descubrimiento de la Geometría que contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número: Números complejos)

En los tiempos de Gauss, el Álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estilo. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la Aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el Álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el Álgebra moderna -también llamada álgebra abstracta- ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.
¿Quién fue el principal forjador del Álgebra moderna?
PACCIOLI (1445 – 1519)
Estuvo muy ligado al arte y a la técnica renacentista italiana; en 1494 publica su monumental obra “Summa de Aritmética, Álgebra y Geometría”, en la cual vuelca cuidadosa y detalladamente todo el conocimiento matemático hasta entonces desarrollado, y cuya rápida difusión fue el inicio de un nuevo florecimiento del Álgebra.
Paccioli también se adelantó con esta obra a dar una visión de los progresos que en los siglos posteriores se llegarían a hacer.
ÉPOCA CONTEMPORÁNEA: (Siglos XIX hasta nuestros días)

Se crea el Álgebra moderna (Teoría de grupos), el Análisis experimenta un gran desarrollo, nacen las Geometrías no euclidianas. Destacan: Evariste Galois, Gauss, Riemman, Poincaré, Lobachevsky, Agustín Cauchy, Laplace, Weiestrass, Leopoldo de Kronecker, Richard Dedekind, George Cantor, etc.
Como verás, la Matemática en general ha experimentado una constante evolución que llega hasta nuestros días y se proyecta a un futuro promisorio.

Es nuestro deber mantener el nivel alcanzado y poder aplicar estos conocimientos a nuestra vida cotidiana.

Las mentes griegas matemáticas de Alejandría y Diofanto siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, pero el libro Arithmetica de Diophantus está en un nivel mucho más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque los babilonios y Diophantus utilizaron métodos especiales para resolver ecuaciones, Al-Khwarizmi fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.
Resumen :

Posteriormente, Diofanto (325 – 410 d.C.) en su obra “Aritméticas”, difunde la teoría sobre las ecuaciones de primer y segundo grado influenciado por los trabajos de los babilonios.

Es durante esta época que surge la figura de Mohammed ibn Musa Al – Khwarizmi (780 – 850 d.C.) llamado por algunos “Padre del Álgebra”. Escribió varios libros sobre Geografía, Astronomía y Matemáticas.

En uno de sus libros “Al – jabr – wa’l muqäbala”, aparece la palabra “Al Jabr” de la cual deriva la palabra “álgebra”. “Al Jabr” significa «restauración», refiriéndose al equilibrio de una ecuación mediante la transposición de términos. “Muqäbala” significa “simplificación”, refiriéndose a la reducción de términos semejantes en cada miembro de una ecuación.

Otros matemáticos que dieron gran impulso al desarrollo del Álgebra, fueron: Niccolo Fontana, llamado TARTAGLIA (“El Tartamudo”), matemático italiano que centró su trabajo en la ecuación cúbica.

Girolamo Cardano, en su obra “Ars Magna” publica un resultado similar a TARTAGLIA. Ludovico Ferrari, trabajó investigando las ecuaciones de cuarto grado. Francois Vietté emplea las letras en el Álgebra, utilizando las primeras (a, b, c, …) para representar cantidades conocidas, y las últimas (z, y, w, x, …) como incognitas.
Pitágoras
“Considerado el primer matemático, Pitágoras fundó un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C., que enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural. Sus seguidores, llamados pitagóricos, fueron los primeros en formular la teoría que decía que la Tierra es una esfera que gira en torno al Sol”.

Gottfried Wilhelm Leibnitz
“Leibnitz está considerado uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. No en vano, su actividad abarcó ciencias y disciplinas tan dispares como las Matemáticas (enumeró los principios fundamentales del Cálculo infinitesimal), la Filosofía (desarrollando el concepto de mónadas), la Teología, el Derecho, la Política y la Filología, entre otras muchas.”

Augustin L. Cauchy
Cauchy fue uno de los analistas matemáticos del siglo XIX que basaron su visión del cálculo en cantidades finitas, estableciendo el concepto de límite. En Física contribuyó al desarrollo de la óptica y la Teoría de la elasticidad.


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