700 PROBLEMAS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMATICO PREUNIVERSITARIO PDF

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1. Tú no puedes mover las fichas 1; 3 Y 7. ¿Cuántas fichas, de las otras, debesmover como mínimo para lograr que los números de las tres filas horizontales, las tres filas verticales y las 2 diagonales presenten la misma suma?

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2. Provisto de los signos (+)(-)(x), (+)y
(y ) tienes que establecer correctamente
las Igualdades. Colocando
entre los números que están a la izquierda
del signo = de tal manera
que todas las lineas horizontales
den como resultado el mismo 6. Usa
lo menos posible el signo (y ).
222=6 666=6
333=6 777=6
444=6 888=6
555=6 999=6
¿Cuántos signos Y has utilizado?
A)l 8)3 e)4 0)5 E)2
RESOLUCiÓN:
2+2+2=6 6+6-6=6
3 x 3 – 3=8 7 + 7-7=6
4 + 4- v’4=6 8-VV’8+8=6
5 + 5+5=6 9-9 +V9~9~=~6~~
1 Rpta. C I ® ¿Es posible encontrar dos números
menores que diez que sumados resulte
un cuadrado perfecto y multiplicados
den un cubo perfecto?
A) SI, es posible
B) No hay esos números
e) Son números Irracionales
O) Son Imaginarios
E) Ninguna anterior
RESOLUCiÓN:
Los números 8 y 1 cumplen la condición
del problema. 1 Rpta. A I
@ Entre Alfredo y Luis tienen menos de
6 hijos, Luis tiene más hijos que Ramón
y aunque Alfredo tuviera un hijo
menos, seguirla teniendo más hijos
qua Ramón. ¿Cuántos hIjos tienen
entre los tres?
A)4 B)5 e)e 0)7 E)8
RESOLUCIÓN:
Alfredo tiene 3; Luis 2 y Ramón 1
1 Rpta. C I
® Para el brindis por el cumpleanos
de Fenmln, se ha servido vino a 60
personas en dos clases de copas:
las más pequetlas eran de 30 mt
y las más grandes eran de 40 mt.
Para la ocasión se hablan comprado
3 botellas de vino de “a” litros,
de las qua se gastaron oompletamente
2 y fue neoessrio abrir la
tercera, para terminar de servir dos
copas de las grandes.
SI las damas brindaron con las 00-
pas pequenas y los caballeros con
las grandes. ¿cuántas damas estuvieron
presentes? (1 litro =1 000 mt)
A)28 B)30 C)32 E)35 E)36
RESOLUCiÓN:
Se sirvieron 2080 mt.
Estando las 60 copas, servimos 30
mta cada una, van 6Ox30 =1800 mt
Con los 280 mi que nos quedan tenemos
para completar 10 mi a 28
copas de las grandes.
En consecuencia son 80 – 28 = 32
las damas. 1 Rpta. c I
® Un cajón de naranjas cuasta entre
30 y 60 soles y contiene entre 10 Y
30 naranjas, entonoss el precio de
cada naranja varIa.
A) entre 2 y 3 soles
B)entre 1 y3soles
C)entre 1 y6soles
O) entre 2 y 3 soles
E) el precio es único de 3 soles
RESOLUCiÓN:
Preciomáxlmo= 60 =6c/u
10
Preció mlnimo = -ªº- = 1 c/u
30 rl Rp-:–ta-. c-‘I o Una acequia de regadlo debe atravesar2
chacras “A” y “B”; la primera
de 320m y la segunda de 232m. Los
propietarios contretan a un obrero
por S/.92 y los 3 haosn el trabajo en
partes Iguales. ¿euénto debe pagarel
propietario de “A”?
A) S/.24 B) S/.48
0)S/.60
RESOLUCiÓN:
e)S/.52
E) S/. 68
El obrero cobró 92 soles por hacer
(320+232) + 3 = 184 m, o sea 0.50
soles por metro. El propietario A, de
los 320 m el mismo hizo 184 m, al
obrero le pagó por 320 – 184 = 136m
quea S/.0.5O porm resulta:
136 x 0.50 = 68 soles rl Rpta.—E-‘I
® Se debe comprar objetos de 2 precios
distintos, gastando exactamente
SI. 1 020. Los precios por unidad
son S/.4O y SI. 1 OO. ¿Cuél serIa
la máxima cantidad de objetos que
se podrla comprar?
A)25 B)24 C)23 0)20 E) 18
RESOLUCiÓN:
Oebemos comprar més del más
barato. Los SI. 1 020 alcanzan para
comprar 25 objetos de 40 soles soles
sobrando 20 soles; entonces con
estos 20 soles y 2 objetos de 40 soles,
le consigue uno de 100;.- .__- ,
Total objetos: 25 -2+1 = 241 Rpta. B I
:!) Un caminante ha recorrido 1000 m,
unas veces avanzando otras retrocediendo.
Si sólo ha avanzado 350 m.
¿Cuánto anduvo retrocediendo?
A) 675 B) 820 C) 325
0)765 E) 460
RESOLUCIóN:
Oe no haber retrocedido habrla avanzado
1000 m, como sólo avanzó 350
m, entonoss de los 1000-350 = 650m,
la mitad (325 m) avanzó y la otra mitad
(325 m) retrocedió. 1 Rpta. C I
§ Hallarel valorde “x’ en:
24 =x-x +x-x ………… CID
A)O B) 1 C)24 O) 12 E)48
RESOLUCIóN:
Paradoia de Bo/zano
24 =x-Jx-x+ x-x ….. 00),
24
24=x-24 => I x=481 1 Rpta. E I
:!Y L~sletrasA; B; C y O representan a 4
numeros enteros tales que al ser divididos
entre 5, dejan siempre residuos
diferentes de osro y diferentes entre
si. ¿En qué cifra terminaA+B+C+O?
A)En5 B)EnO
C) En unaclfradlferentedeOy5
O) En 5 ó O E) No se puede saber
RESOLUCIóN:
Los números deben ser:
5+ 1; 5+ 2; 5+ 3; 5 +4; IUII9D
(5+ 1)+(5 + 2)+ (,5+,3) + (5+4) =5 +
+(1 +2+3+4)=5+5
=5
Si la suma es 5, entonces tenmlna en
cero o cinco. [ Rpta. D I
§ ¿ Cuéles son las coordenedas del
punto medio del segmento de la linea
OP que se ha dibujado entre el punto
(O; O)yel punto P(6; 4);
A)(2,3) B)(12,8) C)(6,2)
0)(3,2) E)(1,4)
RESOLUCiÓN:
Punto medio = [ 6; 0 H 4;<> J
=[~ ; ~)
=(3,2) 1 Rpta. D I
~ Puaste en una balanza de dos platillos,
un ladrillo se equilibra con % de
un ladrillo y una pasa de % kg. ¿Cuánto
pasa elladrillo?
A)6kg B)4kg
0)1 kg
RESOLUCIÓN:
C)3kg
E)2kg
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
: ladrillo < > ! kg
1 ladrillo < > 3 kg I Rpta. e I
@ Se dan a multiplicar 18 y 25. Si se aumenta
12 unidades al multiplicando;
en cuántas unidades hay que disminuir
al multiplicador para que no varie
el producto?
A)8 B)5 C)12 D)10 E)12
RESOLUCiÓN:
La multiplicación se puede escrlbir:
18×25 = 3x6x5x5 = 6x5x3x5=30×15
Puesto que 30 = 18+12y 15 = 25-10,
se ve que al aumentaren 12 el multiplicando,
el multiplicador debe disminuir
en 10, para que no varie el
producto. I Rpta. D I
@ El producto de dos factores es2184;
si el multiplicando aumenta en 5, el
producto resulta 2444. Hallar los dos
factores e indicarla suma.
A)42 B)52 C)94 D)84 E)90
RESOLUCiÓN:
El aumento del producto es 2444 –
2184 = 260. Al aumentar en 5 unidades
el multiplicando, el producto aumenta
en 5 veces el multiplicador,
entonces este valdrá: 260 + 5 = 52 Y
el multiplicando: 2444+52=42.
I Rpta. el
@ Con motivo de navidad, Julian ha
comprado juguetes entre muñecas
y carritos, gastando 45 soles. Las
muñecas le costaron 7 soles y 4
soles los carritos. A cada amiguita
le dio una muñeca y a cada amiguito,
un carrito. ¿Cuántas amistades
de Julian fueron beneficiados con
los regalos?
A)7 B)8 C)9 D)10 E)6
RESOLUCiÓN:
Con 45 soles se puede comprar:
45ll..
3 6
6 muñecas sobrando 3 soles. Vamos
devolviendo las muñecas una por
una, hasta que con los 3 soles mas el
importe de las muñecas devueltas,
se pueda comprar un número exacto
de carritos de 4 soles. Compro 3 muñecas
y6 carritos. I Rpta. el
@ En un barco iban 300 personas, ocurrió
un naufragio y de los sobrevivientes
1/8 eran peruanos y 1/11
eran chilenos, de los muertos 1/9
eran peruanos. ¿Cuántos peruanos
iban en el barco?
A)37 B)35 C)41 D)43 E)23
RESOLUCiÓN:
El número de sobrevivientes debe
tener octava y onceava parte: puede
ser 88; 176 ó 264. El número de
muertos debe tener novena parte,
esto es posible si solo si:
# Sobrevivienles = 264 # Muertos = 36
••• Peruanos:
264+8+36+9=37 I Rpta.A I
@ Se han de repartir 160 caramelos
entre 45 niños de un salón, dándole
3 caramelos a cada var6n y 4 a cada
niña. ¿Cuántas niñas hay en estaaula?
A)24 B)25 C)23 D)20 E)22
RESOLUCiÓN:
Dámosle 3 a todos gastando 3×45 =
135, nos quedan entonces 160-135
= 25, que nos alcanza para dar uno
más a 25 niñas. I Rpta. B I
@ Por la venta de cierto número de camisas
se ha obtenido 2800 soles. Si
cada camisa se hubiese vendido en
9 soles más, se habria recaudado
S/.3520. ¿A qué precio se vendieron
las camisas?
A) 20 soles B) 25 soles C) 30 soles
D) 35 soles E) 40 soles
RESOLUCiÓN:
El incremento de 9 soles en el precio
de cada camisa, ocasiona un incremento
en la venta, equivalente a
9 veces el número de camisas. Este
incremento es 3520 -2800 = 720; en
consecuencia, el número de camisases720+
9=80
El precio: 2800 + 80 = 35 sFol=es”,.—::””I I Rpta. D I
® Hallar dos números consecutivos
cuyo prodUcto es igual a 2070. Indicarlasuma.
A)50 B)80 C)86 D)81 E)91
RESOLUCiÓN:
El menor de los números debe ser
igual a la raiz cuadrada por defecto
de 2070 quees-v2070=45.
Entonces el mayores: ,.—…..
2070+45=46 I Rpta. E I
® Un observador ve relampaguear un
rayo sobre la cima de un monte, al
cabo de “n” segundos oye el trueno
producido por dicho rayo. Calcular
a qué distancia de la persona cayó
el rayo, si:
c = velocidad de la luz (mis)
V. = velocidad del sonido (mis)
A) CV. B) nCV. C)_n_
n(C-V.) C-V. C-V.
D) n(C-V.)
CV.
RESOLUCiÓN:
E) n(C+V.)
C-V.
En 1 segundo la luz recorre OC” metros
y el sonido “V s” metros.
Cuando llega la luz; ¿cuántos metros
atrás está el sonido? como desde
ese instante va a tardar n segundos
en llegar, debe estar a nV. metros
atrás. Luego:
Recorriendo C metros, la luz le saca
una ventaja de (C-V.) metros al sonido,
¿cuántos metros recorrió para
aventajarlo en nV. metros?
d = nVsC
C-V. I Rpta.B I
@ “A” puede caminar cierta distancia en
20 minutos y “B” puede caminar la
misma distancia en 30 minutos. Si “A”
parte 5 minutos después que “B”.
¿Cuánto tiempo habrá estado caminando
“B” antes de que lo alcance
“A”?
A)10min B)15min
D)12min
RESOLUCiÓN:
” para B:
En 30′
En5′
11
d
C)8min
E)5min
{
AreCOrre 3d (-)Id
” En 60 min B recorre 2d ~
Adescuentaa B, Id
Lueoo:
En 60 minAdescuenta 1 d
en? minAdescuenta d/6 rl R-ta-A~I
?=10mlnutos . p. .
@ Dos personas parten al mismo tiempo
desde dos puntos “A” Y “B” en sentidos
contrarios; en el momento que
se encuentran, la primera habia recorrido
36 km más que la segunda. A
partir de ese momento, la primera
empleó 4 horas en llegar a “B” y la
otra, 9 horas en llegar a “A”. Hallar la
distancia de Aa B.
A)150km B)160km
D)200km
RESOLUCiÓN:
C)180km
E)240km
“1” h “1” h
A~~B …… ………………………….. __ ~~ ‘.. … ………………….. .- -:1
9 h 4 h
Lo que A recorre en “t”h B recorre
en9h.
Lo que A recorre en 4 h B recorre
enth.
~t= 4 x 9 ~t2=36~t=6h
t
” Para A: En 6 h recorre 36 + e
en 4 h recorre e
~e= 4(36+e)
6
6e=4×36+4e~e=72km
:. AB=36+2e=36+2(72)=180km
I Rpta. el
@ Todos los dlas sale de Cusco a Arequipa
un ómnibus a 40 km/h. Este se
cruza siempre a las 11 h con un ómnibus
que va de Arequipa con una velocidad
de 35 km/h. Cierto dla el ómnibus
que va de Cusco encuentra malogrado
al otro a las 12:45am. ¿Aqué
horas se malogró ese ómnibus?
A) 12:45 B)II:00 C)10:45
D) 10:00 E) 9:00
RESOLUCiÓN:
El ómnibus de Cusco recorrió del
punto habitual de encuentro hasta
4
encontrarlo malogrado, durante 1’3 h
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cubriendo 40 x [1 ! J= 40 x ~ = 70
km. En consecuencia el ómnibus de
Arequipa se malogr6 fallándole 70
km para el punto de encuentro, lo
cual iba a cubrir en 70 + 35 = 2h. Por
lo tanto se malogró 2 h antes de las
11,oseaalas9am. I Rpta. E I
@ Diariamente Mónica sale del colegio
a las 13 h Y su padre la recoge puntualmente
en la puerta del colegio
para llevarla a casa. Un d la, Mónica
salió a las 12h 40min. yfue caminando
al encuentro de su padre, éste la
recogió en el camino y llegaron a casa
24 minutos antes que de costumbre.
¿Cuánto tiempo estuvo caminando
Mónica antes de ser recogida?
A)8min. B)16min
D)20min.
RESOLUCION:
C)48min.
E)24min.
El ahorro de 24 mino es debido a que
el padre evitó llegar hasta el colegio
Este ahorro de 24 mino significa que
el padre habria tardado 12 mino en ir
del punto de encuentro hasta el colegio,
lo que implica que encontr6 a
Mónica 12 mino antes de las 13 h, o
sea a las 12 h48 mino Por tanto, Mónicaandó
de 12h 40 mino hasta 12 h
48 mino es decir, durante 8~m~in~.,-~ I Rpta.A I
® Un tren que viaja a 60 km/h, tarda un
minuto en salir de un túnel de 800 m
de longitud. ¿Qué longitud tiene el
tren?
A)200m B)400m
D)800m
RESOLUCION:
C)600m
E)1000m
Se sale de la mitad para afuera:
11 al
400 m
800 m
.. tu al
400 m
El tren recorre:
60000 m en 60 mino
400 + Lten 1 mino
400 + Lt 1 x 60000
60
~ Lt=600min.
Lt
I Rpta. el
® Para ir de A, a C, un ciclista se demora
5 h. El trayecto es ascendente
desde A hasta B y descendente de B
a C. La subida lo recorre a 20 kmlh Y
la bajada, a 30 km/h. Si la longitud
del trayecto AC es 120 km. ¿a qué
distancia deA, está ubicado B?
A)60km B) 50 km
D)55km
RESOLUCION:
C)70km
E) 65 km
Si las 5 h corriera a 20 km/h, avanza
sólo 100 km; faltarían 20 km. Quiere
decir que 2 horas viaja a 30 km/h,
recuperando en cada hora 10 km
(en la bajada).
:. DeAa B va a 20 km/h durante 3
h~AB=3×20=60km.
otro Método
Sea “r’ horas el tiempo deAa B ~ (5
-t)el de B a C. Si en 1 h se corre 20
km, en t horas recorre 20 t:
AC= 120km~20t+30(5-t)=
120~ t=3 r—–..
AB=20t=20(3)=60km.l Rpta.A I
@ Dos ómnibus salen de Cusco hacia
Arequipaa las 17 h; el ómnibus A, a
40 km/h Y el B a 36 km/h. ¿Qué horas,
el ómnibus A le ha sacado una
ventaja de 24 km al B?
A)20h B)21h
D)22h
RESOLUCION:
C)18h
E)23h
En cada horaAle saca a B, 40 – 36 =
4 km de ventaja, entonces para sacar
24 km de ventaja requiere 24 + 4
= 6 horas. Esto se producirá a la 17
+6=23h. I Rpta.EI
@ Un ciclista va por una carretera, con
velocidad constante y observa que
el poste kilométrico indica ab km.
Luego de una hora de recorrido, nota
que el poste kilométrico indicaba
ba km y una hora más tarde se encuentra
en el km aOb. ¿Cuál es la
velocidad del ciclista? (En km/h).
A)32km/h B)30km/h C)40km/h
D)45km/h E)50km/h
RESOLUCION:
1 h 1 h
O~
~ba-ab=aOb-ba
(10b+a) – (1 Oa+b) = (1 OOa+b)(
10b+a)
9b-9a=99a-9b
18b=108a{
b=6
~b=6a a=l
:. Velocidad =61-16=45km1h I Rpta. D I
@ Dos nadadores se lanzan simultáneamente
de las orillas opuestas de
un río yse cruzan a 12 m. de la orilla
más próxima. Tras llegar a sus destinos
inmediatamente regresan cruzándose
esta vez a 6 m. de la otra
orilla. En cada momento ellos nadan
con rapidez uniforme. ¿Será posible,
con estos datos, calcular el ancho del
río?
A)18m B)20m
D)30m
RESOLUCION:
C)24m
E) F. D.
Hasta el primer en- ~12m B
cuentro, entre ambos
han cubierto 6m
un ancho del río. A
Hasta el segundo encuentro, entre
ambos, han cubierto 3 anchos del río.
El nadador B recorrió 12 m. hasta el
primer encuentro, entonces hasta el
segundo encuentro habrá recorrido
12 x 3 = 36 m. Por tanto el ancho del
ríoes36-6=30m. I Rpta. D I
® Un policla de carreteras situado a
188 km de la frontera con Bolivia, recibe
la comunicación de que a 48 km
delante de él, unos malhechores están
fugando en un auto rojo a 80 kmlh
¿A qué velocidad debe correr el patrullero
para alcanzar a los fugitivos
antes que crucen la frontera?
A)100km/h B)105km/hC)106km1h
D)107km/h E) 108 km/h
RESOLUCION:
Alos malhechores les falta 188 – 48 =
140 km para alcanzar la frontera, corriendo
a 80 km/h cruzarán la frontera
en 1,75 h; esto es, debe correr a más
de 188+1,75 = 107,4 km/h I Rpta. D I
@ La ciudad de lca se encuentra en el
km 340 de la Panamericana Sur.
¿Qué hora debe salir de Urna para
estar en la fiesta de la Vendimia de
lca a las 10 de la noche? iAh! … te informo
que los ómnibus corren por la
Panamericana a 85 km/h.
A)15h B)16h
D)18h
RESOLUCION:
C)17h
E) 19h
Puesto que cada hora recorre 85 km,
el viaje dura 340 + 85 = 4 h. Por tanto,
debes salir 4 h antes de las 22 h,
oseaalas18h. I Rpta.DI
@ Un tren demora 3 minutos para pasar
por delante de un observador y 8 minutos
para atravesar completamente
el túnel de 250 m de longitud. ¿Con
qué rapidez corre el tren y cuál es su
longitud?
A)60m/min, 150m B)60m/min, 180m
C) 50m/min, 175m
D)50m/min, 150m E)50m/min, 180m
RESOLUCION:
Para pasar por delante de un observador
recorre su propia longitud (Ltr)
\~~
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~
Ltr Ltu
Mt:TODO(1)
Sea V la de rapidez del tren:
Ltr=3V (1)}de(2):V=50 m/min
Ltr+Ltu=8v(2) en(1):Ltr=150m
3V250;;,
Mt:TODO(2)
Le toma 3 min cubrir su longitud y 8
min cubrir su longitud y 250 m más,
entonces 5 de los 8 min utilizó para
cubrir los 250 m. Por tanto, corre a
250 + 5 = 50 m por minuto y su longitudes3x50=
t50m.
@ Coquín le comenta a su amigo: “Mi
colegio queda muy lejos de mi casa,
tardo 2 horas en llegar, viajo media
hora a pie y hora y media en carro”.
¿Cuántos kilómetros viaja Coqurn, si
él camina a razón de 5 kmlh Y el carro
lo lleva a 30 km/h?
A)42,4km B)45,Okm C)47,Okm
D)47,5km E)50km
RESOLUCiÓN:
Caminando: En 1 h recorre 5 km
“” En 1/2 h recorre 2,5 km
En carro: En 1 h recorre 30 km
“” En 1 Y, hora recorre 45 km
:. Viaja 45 + 1 Y,=47,5km rl Rp=–CtJJ-.-:D”1
@ Dos automóviles se encuentran en
dos ciudades separadas por 160 km
de carretera. Ambos parten simultáneamente
a razón de 50 km/h Y 30
km/h respectivamente. ¿Luego de
cuántas horas se encontrarán
a) Si parten en sentidos contrarios
(al encuentro)?
b) Si parten en el mismo sentido siguiendo
la misma canretera?
A) a)2h B) a)2h C) a)3h
b)8h b)6h b)6h
D) a)3h E) a)2h
b)8h b)10h
RESOLUCiÓN:
A) Momento de partida
~kmlh 30k~
Momento de encuentro
c65>~)
En una hora el l’ se acerca 50 km al
otro y éste 30 km al 1 ‘; en una hora
se acercan 50 + 30 = 80 km. Para
acercarse 160 km necesitan 160 +
80=2h.
b) Momento de partida
… 2 •
•• ~I
160 kmlh
Momento de encuentro
160 kmlh
En una hora el l’ avanza 50 km, el
2′, 30 km; entonces e11′ descuenta
al 2′, 50 – 30 = 20 km en cada hora.
Para alcanzarlo debe descontarle
los 160 km que le separa; ésto le tomará
160 + 20 = 8 horas I Rpta. A I
@ Cuatro hombres y dos muchachos
tienen que cruzar un río en una canoa;
en cada viaje puede ir uno de
los hombres o los dos muchachos,
pero no un hombre y un muchacho
a la vez. ¿Cuál es el número de veces
que la canoa tiene que cruzar el
río. en cualquier sentido, para que
pase a todos?
A)4 B) 12 C)5 D) 16 E) 17
RESOLUCiÓN:
1 ‘ Cruzan 2 muchachos
2′ Retoma uno de los muchachos
3′ Cruza un hombre
4′ Retoma el otro muchacho
Hasta aqur, con 4 viajes ha cruzado
un hombre, con 3 x 4 = 12 viajes,
cruzan los 3 hombres restantes,
quedando los dos muchachos en la
primera orilla, que en 1 viaje más logran
cruzar.
:. Total=4+12+1=171 RptJJ.EI
® En un circuito cuadrado compiten
dos ciclistas, ambos llevan rapidez
uniforme. Se cruzan por primera
vez en una esquina, el segundo cruce
también ocurre en una esquina,
pero diferente a la primera. El tercer
cruce también ocurre en otra esquina.
Si la rapidez del más lento es 5
metros por segundo ¿cuál es la rapidez
del otro?
A) 10 mis B)15m/s
D)16m/s
RESOLUCiÓN:
C)20m/s
E)25 mis
La rapidez del otro debe ser tres veces
la del más lento, I RptJJ. B I
osea 15m/s.
® Una escalera cuelga de un bote, de
modo que el último peldaño queda
a 20 cm por encima del nivel del
agua. Los peldaños están igualmente
espaciados 40 cm. Si la marea
sube 50 cm por hora, ¿cuánto
tiempo demora el agua en cubrir 5
escalones?
A)3h B)4h
D)4,5h
RESOLUCiÓN:
C)3,5h
E) Nunca
Nunca, porque la escalera
sube junto con el bote. I RptJJ. E I
@ Pueda que la pregunta te parezca absurda,
hasta puedas pensar que el
autor está loco, r¡s..
pues … tienes ra… ~
digo, no hay razón. Es un asunto de lo =
más cienlffico. –
¿Cuándo te mueves
más de prisa con respecto al Sol,
de día o de noche?
A) De día
B) De noche
RESOLUCiÓN:
La tierra tiene dos
movimientos con
relación al Sol:
traslación y rotación.
En el hemisferio
donde es de día, la velocidad
de rotación se resta a la de traslación.
En el hemisferio donde es de noche,
ésta se suma. Por lo tanto, por la
noche nos movemos más rápido con
relación al Sol. I Rpta. B I
@ La figura adjunta representa una habitación
cuadrada de 6 m de lado. En
las esquinas opuestas de la habitación
aparecen un gato y un ratón que
se divisan simultáneamente. Tanto el
gato como el ralón pueden correr con
la misma rapidez.
~r—- Orificio
Ratón
De las afirmaciones, indique la más
acertada.
A) El gato no atrapa el ratón
B) El gato atrapa al ratón
C) Ambos llegan simultáneamente al
orificio.
D) Los gatos no cazan ratones
E) El ratón enfrenta al gato
RESOLUCiÓN:
En cuanto se divisan, el ratón corre
hacia el orificio, mientras que el gato
corre siempre dirigido al ratón, describiendo
una trayectoria curva y más
larga. 1 RptJJ. A I
® ¿De cuántas maneras puede ordenarse
6 hojas de examen, si deben
quedar de tal manera que la hoja menor
contestada y la peor contestada
queden juntas?
A) 120 B)240 C)360 D)720 E)540
RESOLUCiÓN:
Considerando pegadas las dos hojas
las tomaremos como un solo elemento.
El número de permutaciones con
5 elementos tomándolos todos a la
vez resulta: 5×4 x3 x2 x 1 = 120
Pero las dos hojas puedan estar pegadas
en dos posiciones, entonces:
# Maneras = 120×2 = 240 1 RptJJ. B I
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@ ¿De cuántas maneras puede repartirse
12 objetos diferentes entre 4
personas?
A) 720 B)1440
D)1188
RESOLUCION:
C) 1200
E) 1278
Personas {A BCD
.j. .j. .j. .j.
# Formas {12xll xl0x9=1188
[Rpta. D I
@ Cada país de los tres que forman un
mapa es pintado de diferente color.
¿De cuántas maneras diferentes
puede ser pintado el mapa si se dispone
de cuatro colores?
A)4 B) 12 C)24 D)36 E)48
RESOLUCION:
MAPAS A B C
.j. .j. .j.
4x3x2=24 [Rpta. el
@ Con cinco colores: Blanco, Rojo, Negro,
Azul y Amarillo (siempre utilizando
el amarillo). ¿Cuántas banderas
de tres franjas horizontales de
distintos colores se podrá formar?
A)12 B)24 C)36 D)48 E)18
RESOLUCION:
Puede “”par 1\ AMARILLO
cualquiera de ~ COLOR 1
los 4 colores
restantes COLOR 2
Puede ocupar
cualquiera de
los 3 colores
restantes
I # Banderas =4 x 3 = 12 I
Puesto que el amarillo puede ocupar
cualquiera de las 3 franjas: # total de
banderas = 12×3=36. [Rpta. el
@ Un alumno tiene que ir 5 días al colegio
y puede escoger cualquiera de 4
transportes. ¿De cuántas maneras
puede realizar los viajes al colegio,
durante los 5 días?
A) 24 B)256
D)1024
RESOLUCION:
C)120
E) 2048
,—,….,——,
Olas I
1· 1 2·1 3·14·15″ 1
Trans- 2 2 2 2 2
{
1 1 1 1 1
portes 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
N” de
maneras { 4x 4 x 4 x 4×4 = 1024
[Rpta. D I
@ Se escriben al azar los dígitos 1; 2 Y
3. ¿En cuántos casos pueden estar
desordenados?
A)6 B)5 C)4 D)3 E)10
RESOLUCION:
999
3x2xl=6
Los números pueden ser escritos de
6 maneras, en las cuales s610 123 y
321 están ordenados.
Luego: # de casos
desordenados 6 – 2 = 4 [ Rpta. C [
@ ¿Cuántos números de 3 cifras se
puede formar con los dígitos 3,5,7,
4 Y 8, sin repeMos en el mismo número?
A)30 B)60 C)120 D)72 E)48
RESOLUCION:
Son 5 dígitos
a b c
J. .j. J.
5x4x3=60 [Rpta.B I
@ Seis niños participan en un concurso
de ajedrez. Cada uno de ellos
tiene que jugar una partida con cada
uno de los demás ¿Cuántas partidas
se jugarán en total?
A)10 B)12 C)15 D)20 E)30
RESOLUCION:
Cada uno de los 6 juega 5 partidas,
en consecuencia son 6 x 5 = 30 partidas.
Pero en el rozamiento estamos
contando los partidos de ida y
vuelta. Ya que se trata de partidos
de una sola vuelta, son:
30 + 2 = 15 solamente. [ Rpta. e I
@ Una de las personas que asistió a
una reunión observó que los apretones
de manos entre los asistentes
fueron 78. ¿Cuántas personas concurrieron
a la reunión?
A)12 B)13 C)14
D)15 E) Ninguna
RESOLUCION:
Si “n” es el número de personas, cada
una saludo a (n-l) personas, entonces
hubieron n(n-l) apretones
de mano; pero aquí estamos contando
dos veces cada saludo; luego
n(n-l)
# apretones = = 78
2
~n(n-l)=13xI2
In = 131 [Rpta.B I
® En una bicicleta hay 10 libros latinos
y 6 griegos. ¿De cuántas maneras
se puede colocar 5 libros en
un estante, de los cuales 3 sean latinos
y 2, griegos?
A) 1200 B)1500
D)1800
RESOLUCION:
C)1600
E) 600
C10 xC6 =ll0X9X8]16X5] = 1800
32L3x2L2
[r:R=-p.,…ta.–:D”1
® Se tira un dadode6carasyun dado
chino de cuatro caras. El número de
maneras diferentes que pueden
caer éstos es:
A)6 B) 10 C)24 D)20 E)36
RESOLUCION:
pado ;omún, padoychino,
6 x 4 =24
[Rpta. C I
@ Pedro, Luis, José, Juan, Hugo, Jorge
y Carlos; son candidatos para
formar parte dela comisión de delegados
del salón. Si esta comisión debe
tener 3 miembros. ¿Cuántas comisiones
diferentes se puede formar
con dichos candidatos?
A)42 B)35 C)32 D)30 E)70
RESOLUCION:
Son 710s candidatos .
Para formar una comisión, no interesa
el orden, cada comisión es un grupo
de 3 elementos, luego:
#C .. 7x6x5 35
omisiones = 32 = r=-:–=->
x [Rpta.BI
® Hay 5 finalistas en el concurso de
Aritmética, 6 en Biología y 4 en Lógica,
de cada curso debe haber un ganador.
¿De cuántas maneras pueden
clasificarse los ganadores, si todos
están en la posibilidad de ocupar el
primer lugar?
A)24 B)30 C)60 D) 120 E) 180
RESOLUCION:
Cursos: { A B L
J. J. J.
5x6x4 =120 [Rpta.DI
® En una biblioteca hay tres libros de
Geometría y seis libros de Algebra.
¿De cuántas maneras se puede seleccionar
dos libros, uno de Geometría
y el otro deAlgebra?
A)9 B)15 C)16 D)18 E)21
RESOLUCION:
Cursos: { Geom. Alg.
~ ~18[RPta.DI
@ ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse
una consonante y una vocal
de las letras de la palabra RAZONAMIENTO?
A)10 B)15 C)20 D)24 E)18
RESOLUCION:
~~
5 x 4=20 [Rpta.cl
@ Estoy en una juguería. Veo papaya,
plátanos, piña, durazno. Deseo un jugo
de dos frutas; ¿cuántas opciones
tengo para escoger?
A)4 B)6 C) 12 D) 18 E) 15
RESOLUCION:
Cada opción es la combinación de 2
frutas. No interesa el orden. Luego:
#opciones= 4;3 =6 [Rpta.BI
@ El mayor número de banderas diferentes
que se puedan construir disponiendo
de 3 colores y con máximo
de 2 costuras es:
A)18 B)6 C)12 D)9 E)15
RESOLUCION:
SeanA, By C los colores:
1· Sin costura: A, ByC-+3 banderas
2· Con 1 costura: AB, AC y BC -> 3
banderas.
3· Con 2 costuras: ABC, ACB, BAC,
BCA, CAB, CBA,ABA, BAB,ACA,
CAC, BCB, CBC-+ 12 banderas.
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www com . . M atematica1
Total=3+3+12=18 [Rpta.A I
@ De una urna que contiene 20 pares
de guantes rojos y 10 pares de guano
tes blancos, se van extrayendo uno
por uno sin reponerlos. ¿En cuántas
extracciones se tendrá la plena seguridad
de tener un par de guantes
utilizables del mismo color?
A)3 B)2 C) 10 0)21 E)31
RESOLUCiÓN:
Para tener la seguridad, debemos
ponernos en un caso extremo de infortunio.
Las primeras extracciones
pueden ser de puros guantes izquierdos,
que con seguridad se acabarían
en la 30ava. extracción. La 31
ava. debe ser un guante derecho del
color que fuera, con uno de los izquierdos
hacen un par utilizables del
mismo color. [ Rpta. E I
@ En una caja se tiene diez fichas numeradas
de 1 al 10. De la caja se
sacan tres fichas. ¿Cuántas posibilidades
se tienen de conseguir que la
suma de los números de las fichas
sea9?
A) exactamente 5 B)másde5
C) más de 5 y menos de 8
O) menos de cinco E) Ninguna
RESOLUCiÓN:
Anotando las posibilidades:
1 + 3 + 5 = 9 Hay 4 posibilidades
1 +2+6=9}
2+3+4=9 •
2+2+5=9 [Rpta.DI
@ ¿Cuántas veces debemos lanzar un
dado para obtener al menos 2 veces
la misma puntuación?
A)2 B)4 C)5 D)6 E)7
RESOLUCiÓN:
En 6 lanzamientos hay la posibilidad
de obtener puntos diferentes en cada
lanzamiento, pero en el séptimo
lanzamiento se repite con seguridad
uno de los puntajes. [ Rpta. D I
® Calcular el número total de puntos
de intersección de 100 circunferencias
como se muestra en la figura
(formando un anillo de 100 circunferencias).
A)100 B)200
0)400
RESOLUCiÓN:
C)150
E) 500
Por cada circunferencia hay 2 puntos
de intersección: I
# puntos = 100’2=200 I Rpta. B
@ Definitivamente esta balanza está
“chiflada”. En una balanza “cuerda”,
¿con cuántos conos se equilibra el
ladrillo?
t;I:(;4: -(#/
-f2L/ :::L Ó, /
:::L
A)1 B)2 C)3 0)2,5 C)3,5
RESOLUCiÓN:
Platillo: Derecho Izquierdo
4 conos ++ liad
liad ++ 1 cono
11 d= 1 cono’4conos
~ a liad
(1 lad)2=4 conos2
111ad = 2 conos I [Rpta. B I
@ Edmundo ve desde la ventana de
su casa que las personas allí reunidas
en la plaza, se han dado en total
210 apretones de manos. Diga Ud.
¿Cuántas personas ha visto? Cada
una saluda una vez a cada una y todas
se saludaron.
A) 15 B) 14 C)20 0)21 E)24
RESOLUCiÓN:
Si “n° es número de personas, cada
una saluda a (n-l) personas, entonces
el número de saludos es n(n-l);
pero aqu i estamos considerando 2
veces cada saludo. Por tanto:
#saludos = n(n-l)/2 = 210
n(n-l)=21’20
I n=211 [Rpta. D I
@ Una arañita se encuentra en el vérticeAdelladrillo,
como se indica en
la figura. En el vértice B, se encuentra
la entrada a su nido que está debajo
del ladrillo. ¿Cuál es la longitud
de la trayectoria más corta que describe
la arañita para llegar a B?
A)15 B)19 C)14,8
0)19,2 E) 14,5
RESOLUCiÓN:
Desarrollando convenientemente:
, A ‘”~,~~
Q
2 B
9 Q 2 B
PorT. de Pitágoras:
AB=VW+ 102= 14,8m [Rpta. C I
@ Del aeropuerto de Juliaca sali~ un
avión en dirección al Sur, recomendo
800 km; entonces viré al Este recorriendo
800 km, volvió a virar al
Norte y recorrió otros 800 km. Por
último viré al Oeste recorriendo 800
km, entonces se precipitó a Tierra.
¿Dónde cayó el avión?
A) En Juliaca
B)EnPuno
C)AI Este de Juliaca
D)AI Surde Juliaca
E)AI Norte de Juliaca
RESOLUCiÓN: ~
En 800 km debemos
tener en cuenta la i, . ~
curvatura terrestre. El·,. –
avión se precipitó al . –
Este de Juliaca.
JULlACA [Rpta. C I
@ La reyna “Vanidosa 1″ compré 27 perlas,
todos del mismo color y tamaño.
Días después de la compra, informaron
a la reyna, que una de las perlas
es falsa, la cual podría identificarla
por pasar menos que las demás. Inmediatamente
la reyna encargó a
uno de sus ministros la identificación
de la perla falsa. ¿Cuántas pesadas
tuvo que efectuar el ministro, si para
ello utilizó una balanza de 2 platillos?
A)1 B)2 C)3 0)14 E)27
RESOLUCiÓN:
Ira. Pesada ~r”i::';’j
2da. Pesada ~r”i::”;’j
3ra. Pesada ~
Perla Falsa …..
[RPta.cl
@ – No hay duda. La vrctima se resistió
al asalto. La esfera del reloj ha quedado
partida en tres -dijo el poliera.
– iQué casualidad! -hizo notar su
compañero– si sumamos los números
de cada pedazo, resultan iguales.
¿Cómo quedó dividido el reloj?
RESOLUCiÓN:
Disponiendo los números
del 1 al 12 tal
como en el cuadro:
1 2 3 4 5
12 11 10 19 8
6
7
la suma de cada pareja resulta 13.
Resulta fácil percatarse de cómo deben
formar los 3 grupos.
@ Estás preparando un exquisito pastel
en tu horno microondas. Pero resulta
que el reloj del horno está malogrado
y lo único disponible son dos relojes
de arena de 3 y 5 minutos. ¿Podrás
medir con estos dos relojes de arena
los 7 minutos de cocción que requiere
el pastel?
A)Sí
B)No
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RESOLUCiÓN:
Si, es posible. Pones a funcionar los
dos relojes. Cuando acabe el reloj
de 3, introduces al horno el pastel.
Cuando el reloj de 5 haya acabado,
el pastel habrá estado en el horno 2
minutos. Inmediatamente das media
vuelta y cuando haya acabado este
reloj de 5 retiras el pastel del horno.
I Rpta.A I
@ El hermano de Elisa tiene un hermano
más que hermanas. ¿Cuántos
hermanos más que hermanas tiene
Elisa?
A)O B) 1 C)2
D) 3 E) No se puede saber
RESOLUCiÓN:
/i Hno.de
Elisa
I Tengo un hermano I
més que hermanas I
L—‘–_–‘ [ Rpta. D I
@ Hay cinco copas de vino sobre la
mesa, ordenadas en fila e intercaladas
entre una vacla y otra a mitad.
¿Cuántas copas es suficiente mover
para alterar el orden, de manera que
queden tres vacias de un lado y dos
a mitad del otro lado?
A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5
RESOLUCiÓN:
Levanta una de las copas a mitad y
vaclala en el vaso ubicado en el extremo
opuesto. [ Rpta. A I
® Un cultivo de microbios se colocaron
en un matraz a las 2 de la tarde. En
cada minuto estos seres diminutos
se duplican. ¿A qué horas el matraz
estaba a la mitad de su contenido, si
a las 3 de la tarde ya estaba lleno?
A)14h20 B)14h30 C)14h40
D)14h48 E)14h59
RESOLUCiÓN:
Puesto que se duplica en cada minuto,
el minuto anterior a las 3 de la tarde
estuvo a la mitad. I Rpta. E I
@ Debemos colocar 6 litros de agua en
un recipiente y tenemos un balde de
4 litros y otro de 9 litros de capacidad
ninguno de los baldes tiene marcas
que indique cantidades más pequeñas.
Usando dos baldes. ¿es posible
medir los 6 litros que necesitamos?
A) es posible
B) sólo en forma aproximada
C) no se puede responder
D) pregunta mal formulada
E) no es posible
RESOLUCiÓN:
Sean:
,.—-“’31¡ ,,, ,, , ,, ,, ,, ,,, ,, , ,,
‘ .. ~ ……… ‘
A B C
9 tenA. DeA4 ta B, =:> queda 5 en
A. Vaciar B. De A a B, 4 t =:> queda
1 t en A. Vaciar B y pasar el litro de
Aa C. llenarA. DeAa B 4 t=:>queda
5 t en A, los cuales vertír a C.
I Rpta.A I
@ Un mono trepa 30 pies al comienzo
de cada hora y resbala 20 pies en el
transcurso de la hora. Si comienza
su ascenso a las 9:00 a.m. ¿A qué
hora hará el primer contacto con un
punto a 120 pies del terreno?
A)4pm B)5pm C)6pm
D)7pm E)8pm
RESOLUCiÓN:
En cada hora avanza 30 – 20 = 10
pies. En 9 horas o sea a las 18 h estará
a 90 pies del terreno. Al iniciar
esta hora, trepa 30 pies y hace contacto
con un punto ubicado a 90 +
30 = 120 pies del terreno, es decir,
al iniciarlas 18h(6p.m.) [Rpta. e I
@ Estas anchovetas están cansadas
de viajar en la formación A, para
romper la monotonla quieren viajar
en la formación B. Mrnimamente,
¿cuántos de ellos deben cambiar
de posición?
~~~
~~~~~
~0~~
~~
A B
A)3 B)5 C)6 D)7 E)4
RESOLUCiÓN:
..o, ,;:;c~
00~’0J10
~e~~e
~ee~0
~ ~ ‘!~.;10 [Rpta. el
@ Un joyero llegó a un pueblo buscando
posada para quedarse durante 7
dias. Una vez encontrado y como
no disponia de efectivo ofreció pagarle
con una barra de 7 cm de oro.
El posadero aceptó la oferla, pero
con la condición de que el pago se
hiciera diariamente y por adelantado.
¿Cuántos cortes como mrnimo
tuvo que realizar el joyero sobre la
barra de oro, para efectuar el pago
diario?
A)7 B)6 C)4 D)2 E) 1
RESOLUCiÓN:
Divide la barra en tres trozos de 1,
de 2 y 4 cm. Eller. dia paga con el
trozo de 1 cm; el 2do. dia con el de 2
cm y recibe de vuelto el de 1 cm con
el que pagó el dra anterior, … etc.
Asr puede efectuar
los 7 pagos diarios. [Rpta. D I
@ El carpintero que construyó el corral
para las ovejas de la señorita BoBeep
descubrió que podia ahorrarse
dos postes si el campo a cercar fuera
cuadrado en lugar de rectangular.
“De cualquiera de las dos maneras
servirá para el mismo número de ovejas”,
dijo, ·pero si es cuadrado habrá
un poste donde atar cada oveja”.
¿Cuántas ovejas habra en el famoso
rebaño? Se supone que en ambas
formas los postes estaban separados
por iguales distancias, que las
áreas del corral cuadrado y del rectangular
eran iguales y que el rebaño
estaba formado por menos de tres
docenas de ovejas (SAM LOYD).
A)8 B)9 C)12 D)16 E)15
RESOLUCiÓN:
I I I I I D [RPta.A I
@ En una habitación hay cierto número
de niños. Cada uno de los niños ve 5
niños. ¿Cuántos niños hay en la habitación?
A)5 B)6 C)20 D)25 E)30
RESOLUCiÓN:
“Tomemos· uno de los niños. Este niño
ve 5 niños en la habitación. Con él
son 6 niños. Aplique el mismo razonamiento
para cada uno. [Rpta. B I
@ Aqur tienes una figura hecha con palitos
de fósforo.
A) Mueve 4 palitos y forma 2 cuadrados.
(No vale dejar “cabos sueltos”)
B) Mueve 3 palitos y forma 3 cuadrados.
C) Retira un palito y forma 3 cuadrados.
RESOLUCiÓN:
@ En este marco de letras se esconde
un refrán conocido. Intenta leerlo.
Empieza por una de las letras y, saltando
siempre una, da dos veces la
vuelta al marco.
¿Cuál es ese refirán? Indicar la última
letra.
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www com . . M atematica1
MRIALFPIA
G C
R L
N O
O A
U V
PSEALRAB
A)A B)E C)S D)O E)R
RESOLUCiÓN:
El refrán es: UN GRÁFICO VALE
POR MIL PALABRAS. La última letra
esS. I Rpta. el
@ Un niño tarda 2 horas en ver un programa
de televisión. ¿Cuánto tardarán
3 niños en ver el mismo programa?
A)4h B)6h C)8h D)2h E)3h
RESOLUCiÓN:
Dos horas. Por más niños que vean
el programa, éste dura el mismo
tiempo. I Rpta. D I
® Calcular el valor de “E”
E=2+ 12+36+80+ … + 1100
A)2710 B)2640 C)2810
D)2570 E)2610
RESOLUCiÓN:
Desdoblando:
E = (1’+1′)+(2’+2′)+(3’+3′)+(4’+4′)+ … +(10’+10′)
E = (1’+2’+3’+ … +10′)+(1’+2’+3’+ … +10′)
~~
n=10 n=10
E=[fT- 10(~)21
IE-2Mol ~[Rp-ta-.B~I
@ En un cuadrado cuya área es igual a
su perímetro se Inscribe una circunferencia.
Calcular la suma de todas
las circunferencias concéntricas cuyo
radio es la mitad de la mayor.
A)B1t B) 14″ C) 157< D) 12" E) 18" RESOLUCiÓN: Del gráfico: L Del gráfico: 2R=4 -> R=2
Por dato:
L’=4L
L=4
Sumando todas las circu nferencias:
S = 2″(2)+~~(1)+2,, m+2″[¡}”.]’=5984
1 S=S/. 59841 [RPta. B I
@ Sobre el suelo se ha dibujado un
pollgono de 24 m de lado. Un corredor
se para sobre un vértice y recorre
todo el polígono; luego repite el
proceso sucesivamente recorriendo
en cada vuelta un lado menos, si
ha recorrido en total8M m. ¿Cuántos
lados tiene el polígono?
A)7 B)8 C)6 D)9 E) 10
RESOLUCiÓN:
Sea:
“n° -> n lados del polígono
S = 24n + 24(n-l) + 24(n-2) + … +
+ 24(3) + 24(2) + 24(1)
S = 24[n+ (n-1)+ (n-2)+ … + 3+ 2 + 1]
864 = 24n(n+1)
2
72 = n(n+l)
8(9) = n(n+l)
L……..I
18=nl I Rpta.B I
@ Un móvil “A” sale con 600 m de ventaja
sobre otro móvil “B”. “A” anda 1
m en el primer segundo; 2 m en el
segundo, 3 m en el tercero y asl sucesivamente;
“B” anda 1 m en el primer
segundo; 4 m en el segundo, 7
m en el tercero y asf sucesivamente
¿Cuánto tardará “B” en alcanzar a
nA”?
A) 16s B)24s
D)25s
RESOLUCiÓN:
C)18s
E)30s
El móvil “A” en “n” segundos recorre
n(n+l)
1 +2+3+ … +n= — metros
2
El móvil “B” en “n” segundos recorre
n(l + t,)
1+4+7+ … +t, 2
Pero:
t,=1+(n-l)3=3n-2
Luego:
n(3n-1)
1 + 4 + 7 + … +(3n-2) = –2- metros
Finalmente en “n” segundos el móvil
“B” le descontará los 600 m de ventajaa”
A”.
n(3n-1) _ n(n+l) =600
2 2
3n2 -n-n2-n=12oo
2n2-2n=1200
n2-n=600
n(n-l)=25(24)
T T
1 n = 25 segundos 1 I Rpta. D I
@ En el trabajo de perforación de un pozo
de cierla profundidad; el costo es
de S/.6 para el primer metro y S/.4
más para cada metro adicional; si el
costo de la perforación total es S/.720
¿cuál es la profundidad del pozo?
A)12m B)16m C)18m
D)20m E)15m
RESOLUCiÓN:
Sea “n” metros la profundidad
Metro: 10 2° 3° n°
.j. .j..j. .j.
Costo: 6+10+14+ … +t,=720
Pero:
t,=6 + (n -1)4 =4n +2
Luego:
6+ 10+ 14+ … +(4n+2)=720
Sumando:
n(6+4n+2)
2 720
n(8 + 4n) -720
2
Simplificando: n(2 + n) = 360
n(2+n)=18(20)
T T
1n = 18 metros 1 r[R p:–ta-.c ~1
@ Sobre un terreno hay colocadas 10
piedras distantes una de otra 8 m.
¿Cuánto tendrá que recorrer una persona
que tenga que llevarlas una a
una a un camión colocado a 12 m de
la primera piedra si la persona se
baja del camión?
A) 960 m B)840m
D) 760 m
RESOLUCiÓN:
Graficando:
C)920m
E)1100m
Si empieza desde el camión siempre
recorrerá en traer cada piedra el doble
de la distancia que hay en el camión
ydicha piedra luego:
n° piedra: 10 2° 3° n°
.j. .j..j. .j.
S=2(12+20+28+ … +84)
www.Matematica1.com
S 2
10(12+84)
= x =960m
2
IS=960ml I Rpta.A I
@ En forma de una pirámide triangular
regular se usaron 56 esferas ¿Cuán·
tas esleras conlorman la base?
A)20 B)21 C)18 D)16 E)24
RESOLUCiÓN:
o
1 3 6 10
‘–/f’–/f’—‘”
2 3 4
SUCo de números triangulares (Suc.
cuadrática)
1,3,6,10,15,21, …
Fórmula general:
~~– [t,=~l
Sumando hasta obtener 56 esferas
en total. base
,¡.
1 +3+6+10+ 15+21 =56
Finalmente en la base habrá el mayor
número de esferas
quees21. I Rpta. B I
@ Hallar”S”
S=7x8x8x9x9x 10+ … +24×25
A)5216 B)5318 C)5088
D)5415 E)5010
RESOLUCiÓN:
Completando los productos binarios
S=(1 x2x2x3+ … +24×25)
-(1 x2x2x3+ … +6×7)
S 24(25)26 _ 6(7)8 = 5088
3 3 ~—–, I Rpta. C I
@ Resolver:
3 = 1 + a + a2 + …. 00; si: O < a < 1 A) 1/3 B)314 C) 1/2 D)2/3 E)3/5 RESOLUCiÓN: 3=1+8+82 + ... 00 '-xa" ''x-a'" 3= 1- 1-a 3-3a= 1 [23 =a [ I Rpta. D I ® Hallar el valor de "M" M = 1'_2'+ 3'-4'+ ... -20' A)-200 B)-210 D)-190 RESOLUCiÓN: Agrupando de 2 en 2: C)-180 E)-220 M = (1'_2')+ (3'_4') + (5'_6') + + ... +(19'-20') M = ~1-4)+(9-16)+(25-36)+ ... +(361.4001 ~ 101e!m. M = (-3) + (-7) + (-11) + ... + (-39) ~~ -4 -4 Sumando la progresión aritmética: 1 M = 10(-3-39) - 210 I ,....-- . 2 I Rpta.B I @ Calcular "M" M=..1..+~+--ª-+...!..+ 2 8 28 77 ... Hallarelvalorde”T”si:
n 2n+ 5n
T= 2-n+S-n
RESOLUCION:
Resolviendo tendremos:
2n+ 5n
T =, 1 1
-+-
2n 5n
2’+ 5’5
T=’ —1′ —
5n+ 2n
(10)’
2n+ 5n
n 5n+ 2n
(2′)(5′)
Multiplicando medios por extremos:
T=,ll0’~
~-~
T = .y 1O ‘ r-TI -=-l0 -‘1
Además por propiedad se tiene que:
A=n xn+yn
x’+y’ IA=xyl
A-~::~~ IA=xyl
@ Hallarel valorde “X” si:
2x + 2x+2 + 2x+3 = 208
RESOLUCION:
Descomponiendo:
2′ + 2x.22 + 2x.23= 208
Faclorizando:
2′(1 +22+23)=208
2′(1 +4+8)=208
2x= 208
13
@ Si:Ww=3Hallar:A=WWw>’
RESOLUCION:
Sabemos que una suma en el exponente
proviene de una multiplicación
porlotanto:A=WWw,w
Además una multiplicación en el exponente
proviene de una potenciación,
porlotanto:A= (WWW)W
También sabemos que podemos permutar
los exponentes de la base y de
la expresión en potencia de potencia.
A = fY’I”‘)ww
Reemplazando: WW= 3
A=33 IA=27 1
Q. Vi ~ SI: xX=T Hallar:2x
RESOLUCION:
Tratando de buscar la sirnetria; tendremos:
XX= ~ xx=~!
xx=~ XX= [~J+
:.x=1/2
Piden: I 2x = 1 I
www.Matematica1.com
@ Sabiendo que: 33″= (33)”
Calcular: A = “:v’ Cn
RESOLUCION:
Operando: 33″ = 3′”
Igualando exponentes: 3″ = 3n
… 33″= n n =3n-1
Reemplazando en “A”:
A=”\t3″” IA=31
@ Hallarelvalorde”K”si:n= ! ,en:
22n+1 _ k318 = 22n
RESOLUCION:
Transponiendo términos:
22n+1 _ 22n = k318
22n. 2_22n= k3ls
Faclorizando:
22″(2 -1) = k3/8
22n= k318
2[3J 3
Pero:n=% 2 4 =k”
Dando forma: l[t][t] = kt
[3J4 3
2″ =k”
3 3
(24)8 =k8 k=24 1 k=161
5
@ Hallar”a”en: ~=52!¡\15
RESOLUCION: -“-
Resolviendo:
–“-
5′” = 5′”‘”
a3VS
5 5 = 525\15
Igualando exponente:
a
3Ys =25Y5
5
a3= 125 8 3=53
@ Resolver: 9″‘-8=XOx-12
RESOLUCION:
Las bases no son iguales y tampoco
los exponentes pero le damos la
misma expresión a los exponentes si
(32)”‘<-8 = XOx-12 38x-12= Xax-12 :.1 x=31 @ Resolver: xxx= 16 RESOLUCION: Pero: 16=24 _222 Porlotanto: xxx=222 :,1 x=2 1 ® Hallar "x" si: 3"" = 9 RESOLUCION: Observamos que: 9 = 32 Enlonces: 3x+1 = 32 x+l =2 :.1 x= 1 1 (§) Hallar"x"si: 27x-2= [8 1 1]' RESOLUCION: Vemos que ambas bases son potencias de "3" (33)X-2= [~r 33x-8 = 3-4 Por lo tanto: 3x-6=-4 3x=2 1 x=213 1 (§) 43x-8 119 Resolver· --= X"x-12 . 272x-4 RESOLUCION: Transformando: (22)3x-8 X6x-12 (33)2x-4 26x - 12 = X6x-12 r 23 J6x-1: x&-12 36x-12 l Por lo tanto: 1 x=213 1 @ Hallarelvalorde"X"si: JX-1 + 7x-1 + 7x-1 + ..... + 7x-~ = 343 49~ RESOLUCION: Como sabemos que una suma repetida es igual a una multiplicación tenemos: 49(7X-1) = 343 Pero: 72 (7x-1) = 73 x-l = 1 @l) Hallarla suma de cifras de "M" si: M='(S;~:),2 RESOLUCION: Observaremos que n = 35, por lo tanto: Suma de cifras =9(35)= 315 1 @ Hallarla suma de cifras de "w"si: W = ('!!!!!.:.;.:!!2 -17 .. ; 778)2 79 cifras 77 cifras RESOLUCION: Observaremos que corno el sustraendo tiene 2 cifras menos que el minuendo estará dos lugares a la derecha de éste. 79 cifras ~ 1077 ... 777- 77 ... 778 ,999 .;.999, 78 cifras W=(99 ... 99)2 :.1 n=781 ~ Suma de cifras = 9(78) = 7021 @ Hallarelvalorde"W"si: W=Vl0305050301 +2040604020 RESOLUCION: Operando primero la cantidad subradical: 10305050301 + 2040604020 12345654321 Observamos que este número es el desarrollo de: 12345854321 =(111111)2 W= V(IIIIII)2= 11~ @ Hallarla suma de cifras de "M" si: M=Vl00xl0l xl02xl03+1 RESOLUCION: Operando: M = V;:c(cl :.O::":O-x~1~ 03~+~1= )2 M=10300+1 =10301 Suma de cifras de M = 1 +0+3+0+1 =5 [ @ Hallar"m+n" si: (lx3x5x7x ... )2= ... mn RESOLUCION: Observaremos que lo que esta elevado al cuadrado es un número formado por faclores impares, siendo uno de los faclores el número 5. Además recordemos que: ParxN=par Sin importar si N es par o impar Impar x Impar= impar También sabemos que al multiplicar un número por otro que termina en cifra 5 se observa: Parx( .... 5)= .... 0 Imparx( .... 5)= .... 5 Por lo tanto: (1 x3x5x7x ... )2=( .... 5)2 = .... 25 = .... mn Por lo tanto -+ m=2 n=5 m+n=71 @ Siendo a, b y c cifras; hallar "b+c" si: (a+b+c)2=a25 RESOLUCION: Observaremos que: a +b +c= .... 5 Puesto que: (a + b+ C)2= a25 Observamos que: 152=225 252=625 352 = 1225 (No puede ser ya que es ~:~I::en:~:: :i:: ~{~ltadO) 15 Evaluando: Si: a+b+c=25 _ .• . ~?~2=a25 ~ 252 625 a=6· si:a+b+c=25 , ~ '-y-' " 1. b + C = 19; lo cual no podra ser puesto que el mayor valor que puede tomar una cifra es 9; y dos cifras podrran sumar corno máximo 18. Entonces si: (a+b+c)=~ (a+b+c)=a25 '--y--' ~ 152 225 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 :. a=2;si:~+,b~c,=15 2 13 Rpta.:b+c=13I @ Hallar 'W" y dar como respuesta la suma de sus cifras, si: W=v'50x98x 198x97+ 1 A)16 B)18 C)17 D)15 E)19 También tenemos el caso del producto de dos números formados por la misma cantidad de cifras 9 y las cifras de las unidades suman 10. ~;~~;~=99 ... 900 ... 0axb "n"cihs "n" cifras (;;!1)(J.1)~ ctfraa dfras Además: a + b = 10 @ Hallar el resultado de "P' si: P = (999997)(999993) RESOLUCION: Observemos ,S-u-m-a-n -1,0 P =(~)=9999900000211 Igual cantidad de ctfras Kg" @ Hallar la cifra terminal de: P = (RAZONAMIENT019 + MATEMÁ TIC099 - 12)LO+MAXlMo RESOLUCION: Operando las cifras terminales: P = [( ... 9) + ( ... 9) - ( ... 2)j(lQ+MAXlMOJ P = [ .... 6jlO+MAXIMO y sabemos que un número que termina en 6 al elevarse a cualquier potencia termina en 6, por lo tanto: P = [ .... 6jlO+MAXIMO = ----4 @ Hallar la cifra terminal de: A= (21474)1217 + (32879)3148 RESOLUCION: (21474)1217= ( .... 4)'MPAR= .... 4 (32879)3148 = ( .... 9)"AR = .... 1 Entonces:A= ( .... 4) + ( .... 1)=.4 @ Hallar la cifra terminal de: A= (2143)4375 B = (3148)7473 C = (31427)21" D = (21422)4314 RESOLUCION: A= (214:D43~= ( .... 3)75 Dividiendo: 75~ 3518 @-- residuo~serepite3veces A= ! ... 3)( .. ~3)( ... 3l = =4- 3veces B = (3141!)74~= ( ... 3)'3 Dividiendo: 73~ 33 18 G)--residuo"" se repite 1 vez B=I .. ;8),=4 1 vez C = (3142Il21~= ( .... 7) .. Dividiendo: 48 ~ -a 12 ®-se repite O veces C= ( ... 7)( ... 7)( ... 7)( ... 7)= =+ D = (21422)4314= ( ... 2)14 Dividiendo: 14 ~ 3 ®-se repite 2 veces D=( ... 2)( ... 2)=4 @ Si "n" es un número natural, hallar la cifra terminal de: W= (4174)6"-3+ (2149)'6"+2 RESOLUCION: Debemos recordar que: PAR± PAR = PAR PAR±IMPAR=IMPAR IMPAR±IMPAR=PAR Además: PAR x N = PAR Por lo tanto: (4174)"'~= ( ... 4)P'''.'''''= ( ... 4)""'= ... 4 (2149)''''+2= ( ... 4)"'+""'= ( ... 9)""'= ... 1 w=( .. .4)+( ... 1)=4 @ Hallarla cifra terminal de "A" si: n = número natural. A= (3147)4"+2+(2173)""+1_(132)4"+3 RESOLUCION: Como "n" es un número natural donde a "n" cualquier valor natural se cumple el mismo residuo al dividir entre 4 puesto que este valor esta multiplicado por un múltiplo de 4. Observación: Por propiedad de divisibilidad: Si: N =A+ b;secumplequeb= reslduodedividirN+ A Si: N =A-c; secumplequec= residuo por exceso de N + A, además b+c=A, porlotantoc=A-b Entonces: Dando el valor n = 1 (3147)4"+2= ( ... 7)6 = ( ... 7)2 = ... 9 (2173)""+1 = ( ... 3)' = ( ... 3)' = 3 (132)""+3 = ( ... 2)' = ( ... 2)3 = ... 8 El valor de "A". sera: A= ( ... 9)+ ( ... 3)-( ... 8) =4 ~ Hallar la suma de las 3 últimas cifras de "N" si: N = (99)2+(999)2+ ... +~ 20 cifras RESOLUCION: Observamos: (99)2= 9801 (999)2 = 998001 (99~9)2 = 99980001 (~)2=~~1 20 cifras 19 cifras 19 cifras Operando tendremos: 998908001 1+} ~.~.~~~~~ 19 sumandos ......... 819 Sumada las3 últimas cifras: 8+1 +9 = 181 ~ Simplificar: ~ ~ 1111111088888889 123456787654322 - 1 RESOLUCION: (33333333)2 (11111111)2 r333333331 = 3 l: 11111111:J @ Hallar el resultado de "M" y dar como respuesta la suma de sus cifras: M=\244 ... .4,+~8 .;. 89)2 (3a+2b+1) (3a+2b) cifras cifras RESOLUCION: 244 ..... 44+ 88 ..... 89 ,333.; ... 33, (3a+2b+1) cifras M = (333 ... 33)2 "" Suma de cifras = '---y---' = 9(3a+2b+1) = (3.~2b+1) = 27a + 18b + 91 CifraS , @ Al calcular el MCD mediante el algoritmo de Euclides de los números: (2a)bb[~J y [~J O [~J<2a-2) se obtuvo por cocientes sucesivos 2; 3; 4; 2 Y 3 en ese orden. Determinar a2 + b2 si la tercera división se hizo por exceso. A)70 B)88 C)77 D)99 E)90 RESOLUCION: Sean: A= (2a)bb[~J B = [~J O [~J<2a-2) Divisiones sucesivas: 2 3 4 2 3 A B 25d 7d 3d ~d 25d 7d 3d d - O ~ ~ División por exceso D = 4(7d) - 3d ID=25dl • B = 82d • A = 2B+25d = 2(82d) + 25d = 189d de: (2a)bb [a;3 J ; a=)(;3 ..... la=31 www.Matematica1.com -->6bb3=189x@=6993–>lb=91
Verificando:
[~J O m (2a-2)= 3034 = 82 x 37
_’. a2+b2=32+92=90 I Rpta. E I
@ El mlnimo común múltiplo de 4 números
consecutivos es 5460. Calcular
la suma de los 4 nú meros, si el
menor de dichos números es múltiplode3.
A)38 B)54 C)58 D)60 E)52
RESOLUCION:
Sean los 4 números consecutivos.
@, a+1, a+2 ,@
.¡. .¡.
Dato:
MCM[a; a+1; a+2; a+3] = 5460
MCM(a;a+1)=m,
MCD(a; a+1) = 1
MCM(a+2; a+3) = m2
MCD(a+2; a+3) = 1
–> MCM[m,;m>l=5460
MCM[a(a+1 );(a+2)(a+3)] = 5460
Observación:
El producto de 2 números consecutivos
es 2.
MCD[~(a+1 ),(a+2)(a+3)] = 6
.¡. .¡.
:3 :3
Propiedad:
[a(a+1 )][(a+2)(a+3)] = 6 x 5460
a(a+1)(a+2)(a+3)= 12 x 13 x 14 x 15
TT TT T T T T
Nos piden: 1 a = 121
a+a+1+a+2+a+3=4a+6=54
[Rpta. B I
@ Se saba que la diferencia entre el
MCM y MCD de 3 números es axbxc
donde: a, b y c forman una progresión
aritmética creciente de razón 10
yen ese orden. Calcular el mayor de
ellos si se sabe que C~, = 78 Y además
la diferencia entre mayor y el intermedio
es 26 y del mayor con el
menores 65.
A)90 B)65 C) 105 D)93 E)91
RESOLUCION:
Se tienen los númerosA, By C, siendoA< B la-b-101 ; IC-b+101
b b!
• C11= 11! x (b-11)! 78
Identificando: Ir b-=-1C”:3″‘1
Observación:
C13_C13 – 13×12 -78
11- 2 – 2! –
Reemplazando: 1 a = 31 ; 1 c = 23 1
A=MCDxq, ; B=MCDxq2;
C=MCDxq3
Dato: C-B=26
C-A=65
En (a):
MCD[q,q2q3-1] = 3 x 13 x 23
Identificando: 1 MCD = 131
q,xq2x q3=2x5x7 ;
TT¡TTT
{
A=13 X 2=26
~ B=13×5=65
C=13×7=91
@ Se sabe que la diferencia entre el
MCM y el MCD de tres números es
897, que la diferencia entre el mayory
el intermedio es 26 yque la diferencia
entre el mayor y el menor
es 65. Dar como respuesta la suma
de dichos tres números.
A) 184 B)183
D)179
RESOLUCION:
C)182
E) 176
Sean los números A, B Y C; Tal que
A>B>C
Datos:
MCM-MCD=897 ……. (a)
A-B=26 ……. (P)
A-C=65 ……. (1)
Si admitimos que: MCD(A;B;C) = d,
entonces:A=d xa; B =d x byC=
dxc,donde:
MCM=dxaxbxc
En (a):
l!,x a x b x Col!, = 897
d(abc-1)=897
d(abc-1)=3x13x23 …. (e)
En (~):
d xa-d xb=26
d(a-b)=~
d(a-b)=2×13 ….. (IfI)
En (r):
l!,xa-lI,xc=65
d(a-c)=~
d(a-c)=5×13 ….. (ro)
De las igualdades (e), (1fI) y (ro) concluimosque:
~
~
:. axbxc-1=69
–>axbxc=70
axbxc=2x5x7
TfL.J’TT
Para identificar valores observamosque:
En (1fI): a-b=2
yen(ro):a-c=5
~ 1 a=71 ; 1 b=51 1 c=21
Finalmente como:
A=dXa}
B=dxb +
C=dxc
A+B+C=d(a+b+c)
A+B+C= 13(7+5+2)
:.A+B+C=182 1 Rpta. CI
@ Se calcula el MCD de los números
1 a6 yaba mediante el algoritmo de
Euclides y se obtienen 4 cocientes
iguales que suman 8.
Si la penúltima división se realizó por
exceso. Calculara + b
A)4 B)6 C)7 D)5 E)8
RESOLUCION:
Cálculo del MCD de: 1 a6 < aba mediante el algoritmo de Euclides q, q2 q3 q. aba 1a6 @-->MCD
O
Dato: q,=q2=q3=q.=q
y: q,+q2+q3+q4=4q=8
–>lq=21
2
aba 1a6
3d 2d
#
2 2 2
3d 2d d
d O
Por exceso
?=2x2d-d=3d
• 1a6=2(3d)+2d=8d=8×17
.:::::>…d=17;1a6=136–> la=31
• aba=19d=19×17=323
-> 1 b=21 ,–_–,
:. a+b=3+2=5 I Rpta. D I
® Si se cumple:
MCM 113k . .§I<.. 8k t 520 l 7 ' 14' 7 J Calcular k + 1 A)6 B)4 C)8 D)7 E)9 RESOLUCION: Se tiene: MCM 113k . .§I<.. 8k l = 520 l 7 ' 14' 7 J Multiplicando x 14: kx MCM[13 x2; 5; 8 x2] = 520 x 14 kx1040=7280 -->lk=71
Nos piden:
k+1=7+1=8 [RPta.cl
® Para 2 números se sabe que la suma
de su MCD y su MCM es 770 y la diferencia
de los mismos es 700. Hallar la
suma de los 2 números.
Sabiendo que no son divisibles entre
sI.
A) 350 B)320
D)300
RESOLUCION:
SeanAy B los números
MCD + MCM = 770
MCM – MCD = 700
De(l)y(lI)
C)280
E) 360
……. (1)
••••••• (11)
1 MCD=35 1 ; 1 MCM=735 1
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
Sabemos que:
1 MCM=MCDxq,xq21
735
–>q,xq2= 35 =21=7×3
Identificando:
Iq,=71 ; Iq2=31
‘–PESI./'”
q,=7;q2=3>( (A .. S)
:. A=35×7=245
B=35×3=105
Nos piden:
1 A+B=350 1 [Rpta.A I
9 2 números al multiplicarse por un tereero
se obtiene que su MCD es “M,.’
Y cuando se dividen por dicho tercer
número el MCD es “M,”. Hallar el
MCD de dichos números.
A) ~ M, B) ~ C) M, M2
M2 M,
D)~
M2
RESOLUCION:
Sea a y b los números
• MCD(A; B)=d
E)YM,M2
Dato:’ MCD(Axn;Bxn)=M,
n x MCD(A; B)=M, … (a)
• MCD [nA ” ~nJ =M2
MCD(A; B)
n =M2 .. ·(P)
(a) x(P):
n x MCD(A, B) x MCD(A; B) M, M2
n
MCD2(A, B)= M, M2
:. MCD(A,B)=~ [Rpta.EI
@ El MCD de (a+l )(a+3)(a+5) y el que
resulta al invertir ello es 36. Hallar la
suma de dichos números.
A) 1321 B) 1332 C) 1334
D)1352 E) 1355
RESOLUCION:
MCD[(a+l)[a+3)(a+5)+(a+5)[a+3)(a+l)]= 36
• (a+1 )(a+3)(a+5) = 36 c: ~
9
Criterio por 9:
a+1+a+3+a+5=9
3a+ 9=9
3a=9
a -3°-/””‘”0 >< --'---3V :.la=31 Los números son: 468 ;864 : . La suma de dichos números es 1332 ~ Sisecumple: __ MCM(cb, (2a)0)= 120 MCD(cb; (2a)0) = a2 Hallar:a+b+c A)6 B) 12 C)8 D)4 E)5 RESOLUCION: Para 2 númerosAy B Secumple: 1 AxB=MCDxMCM 1 De: MCM [cb; (2a)0] = 120 MCD ]cb; (2a)0] = a2 --> cb x(2a)0 = 120 xa2
cb x10x2a=120xa2
1 cb=6a 1
Si: (2a)0
MCM=1 x2x3x4x5=120
120″,1);16 ; cb”,6×1: 1 cifra
~ cb=6(2)=12
:. 1 a = 21 ; 1 b = 21 ; 1 c =1 1
Nos piden: I~-~I
a+ b+ c=2+2+ 1 =5 Rpta. E
@ Dad03númerosA,ByC
Secumple:
MCD(A; B)=17; MCD(A;C)=17
MCD(B;C)=17; MCM(A;B; C)=1785
y A+B+C=255
Indicar el mayor de dichos números
A)121 B)117 C)129
D)131 E)119
RESOLUCION:
Se tiene:
MCD(A;B) = 17}
MCD(A;C)= 17 MCD(A;B;C)= 17
MCD(B;C) = 17
• MCM(A;B;C) = 1785
Dato:
~+Cf+~255
MCDxp MCDxq MCDxr
P • q • r
T T T
PESI
CMgVx(p+q+r)=255
J. p+q+r=255/17
17
:.1 p+g+r= 151
MCM=MCDxpxqxr
1785=17xpxqxr
:. pxqxr=105=7x5x3
Identificando:
Ip=71 ; Iq=51 ; 1 r=31
Nos piden el mayor de dichos números:
A=17×7=119 [Rpta. E I
~ Hallar en que cifra termina el MCM
de los números
A=7″2_1 ;B=7’293_1
A)2 B) 1 C)3 D)4 E)5
RESOLUCION:
Se tiene:
A= 7862-1
B=7″93-1
Por propiedad:
MCD(A; B) = 7MCD(862; ‘293) – 1
MCD(862; 1293)=431
: . 1 MCD(A;B)=743′-11
Para 2 números se cumple:
1 AxB=MCDxMCM 1
Despejando:
_ (7882 – 1 )(7″93 – 1)
MCM – (7431 _ 1)
Por diferencia de cuadrados:
(19k1J(7431 + 1 )(7’293 – 1)
MCM ~
MCM = (743′ + 1 )(7″93 -1)
Analizando: 72 = 49 = 10 – 1
MCM = [7’x7430+ 1][7’x7’292-1]
MCM = [7x(72)215+ 1][7’x(72)646_1]
MCM=[7x(I°0-1 )215+ 1 ][7x(10+1 )646-1]
MCM = [7x(10-1 )+1][7x(10+1 )-1]
MCM = [10- 7 + 1][10 + 7 -1]
MCM = (1°0-6)(10+6) = 1°0 – 36 = 10+4
La última 2’ifra del MCM: I I
MCM – ….. 4 . Rpta. D .
~ Sabiendo que la suma del MCD y el
MCM de 2 números es 703. Hallar la
suma de estos números. Si se sabe
además que el MCD es el mayor posible
y los números no son divisibles
entre sI.
A) 327 B)409 C)407
D)409 E)410
RESOLUCION:
SeanAy B los números
Datos:
(a): MCD + MCM = 703
(P): MCD–> es máximo
(r):A”,i’I
Se sabe que:
A=MCDx@~
PESI
B=MCDx@—./
MCM=MCDxq,xq2
En (a):
MCD+MCDxq, xq2=703
MCD(1 +q,xq2)=37×19
c-= I TT
Identificando factores:
1 MCD=371; q,xq2=18
J. J. °
18 1>< (MB) ®®V A=37x9=333 B=37x2=74 :. A+B=407 [Rpta. C I @ 3 corredores A, B Y C parten juntos de un mismo punto de un circuito de 3600 m de longitud, la velocidad deA, B y C es 75 m/min, 50 mlmin y 1 m/seg respectivamente. ¿Dentro de cuánto tiempo volverán a pasar juntos, por la línea de partida? A)600min B)720min C)740min D)480min E)750min RESOLUCION: % V; v: P A R T , o A 3600 m www.Matematica1.com VA= 75 mlmin ; VB= 50 mlmin m m 6Qsg Ve=1sg =1x $!fx min =60mlmin El tiempo que demora cada corredor en dar 1 vuelta es: tA= 3600 =48min 75 3600 . tB=SO=72mln 3600 . te= ---¡¡¡¡- =60 mln Volverán a pasar juntos, por la linea departida --> MCM(tA; tB; te)
–> MCM(48; 72; 60)
–> 12MCM(4;6;5)=720
:. Dentro de 720 min “1 Rp—-ta-.-s-,I
@j) SI: A·B=5
yeIMCM(A,B)=150
Hallar(A+ B)
A)40 B)50 C)60 D)45 E)55
RESOLUCI6N:
Se tiene:
A·B=5
MCM=150
……. (1)
……. (11)
Reemplazando:
A=MCDxq,~
PESI
B = MCD x q2 ..—-./
MCM=MCDq,xq2
En(I):
MCD (q,·q2) = 5 x 1
c= ==r= Tf
I MCD-51 I q,·q2-11
En (11):
MCDq,xq2=150
5xq,xq2=150
q,xq2=30=6×5
Identificado:
Iq,=61 Iq2=51
~ A=30 ; B=5
:. A+B=55
@ A=amx(a+1)2’xb7 …… (D.C.)
B=(a+1)’xam+’x72 …… (D.C.)
Si A Y B tiene 20 divisores comunes
¿Cuántos divisores impares tiene A,
sabiendo que es mrnim07
D.C.: Descomposición Canónica
A)55 B)56 C)50 D)54 E)58
RESOLUCI6N:
Se tiene:
A= amx (a+1)2’x b7
B = (a+1)’xam+’ x72
O [MCD(A, B)] = 20
Cálculo del MCD:
…… (D.C.)
…… (D.C.)
a ya+1 son números primos consecutivos.
r:-=-;;-,
~ la+1=31
A=2mx32n xb7
8=2m+1x3nx72
MCD(A, B) = 2m x 3′
D[MCD(A, B)] = (m+1 )(n+1) = 20
J. .j.
® @
:·lm=41;ln=31
Amrnimo=24 x3ex57 ; I b=51
D(A) = (4+1 )(6+1 )(7+1) = 280
0(2) = 2[23 x 36 x 5′]
0(2) = (3+1 X6+1 )(7+1) = 224
:. 280·224 = 56 Ir:R=-p””ta.-:s-‘1
@ Daniel cuenta hacia atrás comen·
zando por el 2001 y nombrando ca·
da 7 años de 2001; 1994; 1987;
1980; … uno de los números que ha
nombrado Daniel en la sucesión es:
A) 1768 B)1789 C)1790
0)1791 E) 1792
RESOLUCI6N:
Los años que nombra Daniel son:
2001; 1994; 1987; ….
—-7– — —-7– —
Los cuales forman una progresión
aritmética de razón 7 pero al dividir
entre 7 se obtiene:
200117 199417 198717
6 l2s5 6 l2a4 6 r2a3
Donde observamos que:
2001 =7+6; 1994=7+6; 1987=7+6
Lo cual es deducible ya que el primer
término es 7+6, los demás al
restarles 7 unidades (7) serán también
7 más 6 por lo cual podernos
afirmar que uno de los números
mencionados deberá ser “7 más de
6, pero sabernos que:
1788~
31255 ~ 1778=7+3
Observamos que a 1788 le falta 3
unidades para ser7 más 6.
:. Daniel nombrará: ‘r”‘R-p-ta-.-D.. ..’.
1788+3= 1791 . .
~ Al dividir dos números entre 15 los
residuos son 13y11.
Hallar el residuo del producto de
estos números entre 15.
A) 16 B)32 C)42 0)48 E)8
RESOLUCI6N:
Siendo Ay B los números:
A~
13 re¡;- ~ A=1’5+13
B~
11 rq;- ~ B=1’5+11
Al multlplicarsetiene:
AB= (1’5 + 13)(1’5 + 11)
AB= 1’5+ 143
.j.
AB= 1’5+B
El residuoes8
@ En los 750 primeros números enteros
pOSitivos:
• ¿Cuántos son múltiplos de 27
• ¿Cuántos son múltiplos de 37
• ¿Cuántos son múltiplos de 15?
Dar la suma de dichos resultados.
A) 375 B)6oo C)300
0)275 E) 675
RESOLUCI6N:
Los 750 prlmeros números enteros
son: 1;2;3;4; …… ;750
Los múltiplos de 2 son:
,2;4;6; ……… ;750/
75~-2 +1 = ;75 números
Pero como son números consecutivos
que empiezan desde la unidad la
regla práctica consiste en: “Dividir el
mayor de los números consecutivos
entre el módulo y el cociente entero
de la división será la cantidad de múltiplos
de dicho módulo.
Aplicando en este problemita dicha
regla: 750
• Cantidad de múltiplosde 2: “2 = 375
• Cantidad de múltiplos de 3: 7~0 = 250
• Cantidad de múltiplos de 15: ~ = 50
:. Lasumaes: , ,
375+250+50 = 675#S Rpta. E.
@ ¿Cuántos números del uno al mil son
múltiplos de 5 pero no de 257
A)200 B)18 C)150 0)100 E)160
RESOLUCI6N:
Los números mencionados son:
1;2;3; ……….. ; 1000
Del cual los múltiplos de 5 son:
5; 10; 15; ……. ; 1000
Y los múltiplos de 25 serían:
25; 50; 75; ….. ; 1000
Graficando mediante los diagramas
deVenn:
Obsérvese que los múltiplos de 25
están contenidos en los múltiplos de
5, además nos interesa cuántos números
hayen la región sombreada.
Canl #S 5′. 1050 0 = 200
• 1000
Cant.#S 25:-
2
-=40
• 5 •
:. Canl#S: 5 pero no 25 e-¡:.s:….: —,
200-40=160 I Rpta.EI
@ Del 1 al1 OO. ¿Cuantos son:2 ó 37 Dar
como respuesta la suma de las cifras
de dicho número.
A)15 B)17 C)21 0)19 E)23
RESOLUCI6N:
De acuerdo a los diagramas de Venn
– Euler se tiene:
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
Oel cual nos interesa cuántos números
hay en la reqió,! sombreada porque
al pedir los 2 ó 3 nos interesa los
números de la unión de los conjuntos.
Si tenemos: 1; 2; 3; ……. ; 1000
Los:1 son: 1 ~OO = 500#S
° 1000
Los 3 son: -3-= 333#8
Los6son: 1~00 = 166#s
Entonces tenemos:
En total hay: 334+166+167 = 667#S
.-. ~cifrases: 1 Rpta E 1
6+6+7=19 .’ .
@ ¿Cuántos números enteros positivos
de 3 cifras son múltiplos del3?
A)67 8)69 C)71 0)74 E)82
RESOLUCION:
Los números de cifras son:
100; 101; 101; 102; ….. ;999
Pero si dicha sucesión lo completamos
para que sean números consecutivos
desde la unidad será lo siguiente:
1; 2; 3; ….. ; 99;,100; … ~ .. ; 999,
numeros que interesan
Ahora para hallar los 1’3 que hay de
100 al 999 aplicamos la regla práctica,
para hallar primero cuántos 1’3
hay del 1 al 999 y luego restamos la
cantidad de 1°3 que se tiene del 1 al
99. 999
1°) 13dell al 999: 13 =776
99
2°)13dell al 99: 13 =7
,”. Del00al999hay:
76-7=69#S 1°3 1 Rpta. B 1
@!) ¿Cuántos múltiplos de 7 pero no de
13 existen entre 3000 y 5000?
A) 254 8)258 C)286
0)324 E) 350
RESOLUCION: Números 7 Números 1°3
Para visualizar
mejor el problema
utilizamos
el diagrama
de VennEuler.
Nos interesa los números de la región
sombreada para lo cual primero
debemos hallar los “7 y luego los
91.
Como los números son:
3001;3002;3003; ….. ;4999
Completando resulta así:
1; 2; 3; … ; 3000; ~001; 3002; … ;4999,
n(imaros que ~os interesan
1°) Los 7 son: 4999 _ 3000 =
~~ parte parta
entera entera
=714-428=286#S
2°) Los 91 ;on: 4999 _ 3000 =
~~
parte parta
entera entera
=54-32=22#s
• ° °
•• Los#S7noI3son: 1 Rpta.A 1
286-22 = 264#S . .
@ ¿Cuántos números enteros positivos
no mayores que 5000 son múltiplos
de 5 y 6 a la vez pero no de 7?
~1~ ~la ql~
~1~ ~ln
RESOLUCION:
Los números mencionados son:
1;2;3; …… ;5000
Además como el enunciado indica
múltiplos de 5 y 6 a la vez significa
que deberá ser múltiplo de 30 (30
es el menor número que contiene a
5y6).
Luego según el diagrama de Venn –
Euler seria asr:
21° 0
Como nos piden los múltiplos de 5 y
6 a la vez o sea los múltiplos de 30
pero no “7 a los 30 habrá que quitar
la intersección que son los múltiplos
de: 30·7=210
Primero: Hallamos los 30.
5000 ~ ~ Ha 166#s 30
201166 Y
Segundo: Calculamos los 21 O.
5000 1
210 ~ Ha 23#8210
170 23 Y
,”. Lo que nos piden es: Ir—~I
1~-23= 143#S . Rpta. B .
@j) Calcular cuántos números de 4 cifras
son divisibles por9y por 15 pero
no por25.
A) 160
0)150
8)170
RESOLUCION:
C)180
E) 130
Como el número es de 4 cifras debe
cumplir la siguiente relación:
1000,;abcd<10000 ....... (1) Además al indicar que es divisible por 9 y por 15 será divisible por 45 (MCM de9y 15) pero no por25. Graficando sería así: 22° 5 (MCM(45;25)=225 La región sombreada representa lo que nos piden: Primero vamos a calcular los múltiplos de 45 para lo cual deberá cumplir que: abcd =45 k ........... (2) Al reemplazar (2) en (1): l000S45k< 10000 22,2,; k < 222,2 Luego k;,{23; 24; 25; .... ; 222) ~ Los45son:222-22=200#s Ahora nos falta hallar los múltiplos de 225. abcd = 225k' ........ (3) Al reemplazar (3) en (1): 1000 S 225k' < 10000 4,4,; k' < 44,4 k'=e{5;6;7; .... ;44} ~ Los2:15son:44-4=40#s ,". Los9y 15 pero no de 25;-: _ ...., 200 -40 = 160#s° [ Rpta. A I @ Al dividir 93 entre "n° el residuo es 2. Calcular cuántos valores puede tomar" n", A)2 8)8 C)3 0)15 E)35 RESOLUCION: Según el enunciado: 93~ 2 q (2xy=66
,’, Solamente el número .—_—-,
2366 es91 I Rptll. D I
~ Alguien habla escrito un número de
cuatro cifras en una hoja de papel,
Vladimir regó tinta en la hoja de tal
forma que los últimos digitos ya no
se pueden ver:
8 6 CL:1J
Si el número es divisible por tres por
cuatro y por cinco. entonces la suma
de los digitos tapados por la tintaes:
A)3 B)4 C)9 D)6 E) 13
RESOLUCION:
Hagamos que el número escrito
sea: 86ab
Del enunciado tenemos:
.66ab=3}
’86ab=1 …… (a)
’86ab=5
De (a) determinando el múltiplo común
de 3y 14 es 12, luego de 12 y5
es60.
=:> 86ab = 60′
Descomponiendo
por bloques:
polinómicamente
8600 + ab = 60′ Como: 8600 l.§L
,¡.
20+ab=60′
Por lo cual: ab = 40
:. a+b=4+0=4
60 143
260
240
200
180
20
I Rpta. B I
@ Calcular la suma de todos los términos
de:
1
1 1
1 2 1
133 1
1 4 6 4 1
1 5 1010 5 1
1 6 15 2015 6 1
1 ¡, …..
A)2′-1 B)2″”-1
D)2°-‘-1
RESOLUCION:
1 –+1=2·
1 1 –+2=2′
1 2 1 –+ 4=2′
1 3 3 1 –+8=23
n ‘1
C)2’·’ + 1
D)2’·’-2
1 ~. 6 4 1,–+ 16=2′ , ,.
1 n·: …. · .. ·n1–+2′
.’. La suma de todos los términos es:
2n+1·1
1+21+22+23+ … +2n=- 2 –=2n+1·1 1~-,—-:-,
@> Hallar. I Rpta. B I
~ 2(3+1 )(32+1 )(34+1 )(3″‘1 )(3””1 )+1
A) 1 B)2 C)3 D)8 E)9
RESOLUCION:
E = ~ 2(3+1){32+1)(34+1)(3″1)(318+t)+1
E = ~(3-1)(3+t){3 .. t)(3.+1){3.+1){318+t)+1
E = ~ (3′-1)(32+1)(34+1)(3″1)(3”’t)+1
, (34-,) J j
(38.1) .
,. (332 _1)
=:> E= ‘V332=32=9
@ Hallar el resu~do de la siguiente
multiplicación:
(79-1)(78-2){77 -3) … (3-77)(2 -78){t -79)
A) 80’· B)-80’· C)73 D)1 E)O
RESOLUCION:
(79-t)(78-2) … (41-39)(40-40)(39-4) … (1-70)
Hay un factor cero en la múltiplicación,
en consecuencia el
resultado es cero. I Rpta. E I
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
~ an+1_1
~ SiaO+a1+a2+a3+ … +an=~
Hallar:
E=II+101+1001+10001+ .. +~
10100+88 10’0_1 100cfs.
A) 9 B)-9-
10’00+881 10’00_81
C) 9 D) 9
10’00+81
E) 9
E = 11+101+1001+10001+ … +100 … 01
~
E = (10’+1)(10″+1)+(10’+1)+(10’+1)+ … (10″+1)
E = (1+10’+10″+10’+10’4 … +10″”+98)
10’00_1 + 98
E = 10_–oI~
10’00_1 10’00+881
E= 9 +98= 9
‘r-RI p–ta-.c -‘I
~ Calcular la suma de las cifras del resultado
de: 2mn cifras
,——J—–.,
ab + abab + 8ba6a6 + abab … ab
mn mnmn mnmnmn mnmn … mn
‘—–.r——‘
~ ~n cifras
ab + ab + ab + … + ab =m.,fabl
… mn mn mn mn..; lJrn9
mn Su~ndos = ab
@ Resolver
1 Rpta. D I
11 xl 01 xl 0001 xl 00000001 x … xl 000 … 01
‘—r—‘
2n+1 cifras
Calcular la suma de las cifras del resultado.
A)2(n+l)
0)2′
RESOLUCiÓN:
B)2n
2cfs.–> 11 xl 01 xl 0001 xl 00000001 x … xl 000 … 01
22cfs.-‘1!’11’. J j ~
2′ cfs.–> Jlll’.:..:”-,-‘ ~v—–‘
2′ cfs.–> 1111111111111111
I
111111 ……. 11111111
:. La suma cifras del
resultado: 2’+’
@ Calcular la suma de las cifras del resultado:
(~)2
(n2+ 2n + 3) cifras
A)(n2 + 2n + 3) B) 9(n2 + 2n + 3)
C)9(n2+2n+2) D)9(n2+2n+2)+8
E)9(n2+2n + 1)+8
RESOLUCiÓN:
92=81
992=9801
9992 = 998001
99992 = 99980001
~?~2=~~PO~o,l
544
i i
¡999? … 912 = 999 … 98000 … 01
‘—-,…—‘ ‘—-,…—‘
(n2+2n+3) (n2+2n+2) (n2+2n+2)
:. Suma de cifras:
9(2n”+2n+2)+9 = 9(n”+2n+3)
1 Rpta.S I
@ Hallar la suma de las 4 últimas cifras
del resultado de efectuar:
[1 x2x3x4x5 …. x97x98j2
A)4 B) 1 C)5 D) 10 E)O
RESULTADO:
(2n+1)cfs (2n+1)cfs
,——–“—- ,——–A—–
,12xl 010 … 1 01 O~ +,21 xl 01 0 … 10101,
v v
,12122″.;.121212, + ,21211.:}12121,
2(n+2)cfs 2(n+2)cfs
~ 1212 … 1212+ <--(2n+2)cfs 2121...2121 <-- (2n+2)cfs Resultado: 3333 ... 3333 <-- (2n+2)cfs :. Suma de cifras: I Rpta. S I 3(2n+2) = 6n+6 . . @ Calcular: ~~2=55~x-2~5=7-x~6=55=3=7~+~1 A) 1 B)2 C)4 D)5 E)3 RESOLUCiÓN: E= ~255x257x65537+ 1 E = ~ (256-1 )(256+1 )(65535+1) E = ~ (2562-1 )(65536+1) + 1 E = ~ (2562-1)(2562+1) + 1 E=~(2564-1)+I- ~2564=~ E=W>=2 1 Rpta.S I
@ Hallar la suma de los ténminos de
una fracción equivalente a
400 cifras
,——–‘—–
222 …… 222
~
400 cifras
Sabiendo que la diferencia de los
ténminos es 3.
A) 10 B) 15 C)200 0)400 E)20
RESOLUCiÓN:
m
Sea n
-m= n
400cfs
,——–‘—–
222 …… 222
~
400cfs
,400,cfs,
2×111.. .. 11
3x~~d·~’
m 2 4 6 =-=-=-
n 3 6 9
9-6=3~9+6=@ 1 Rpta.S I
@ Calcular el valor de:
4 15267×15623+4
622×628+9
A)V2 B)Ys C) 1 O) 5 E) 25
RESOLUCiÓN:
4 15267×15623+4
= 622×628+9
_ 4 (15625+2)(15625-2)+4
– (625-3)(625+3)+9
= 4 (156252 -22)+4
(6252 -32)+9
= ~ ~15625J> =Y”W=Y’54=5
l625 j [Rpta.DI
@ Efectuar:
2+4+6+8+ … +4444
1 +3+5+7+ … +4443
A) 4444
4443
B) 2222
2221
C) 2223
2222
D) 2221
2220
RESOLUCiÓN:
E).1.
2
l’ –> .1. = .1.
2 2
2′ –> 2+4 =.1.
1+3 2
3′ –> 2+4+6 = .!
1+3+5 3
;
!
2222′ –> 2+4+6+ … +4444 =.!
1 +3+5+ … +4443 r-3=——-.
[Rpta. C I
@ Resolver:
V~I=23~4~5=78~9–=24~6~8
Indicar la suma de cifras de la raíz
cuadrada.
A)10 B)8 C)9 0)6 E)5
RESOLUCiÓN:
• Se sabe que: 11 2= 121
111 2= 12321
11112= 1234321
111112= 123454321
• V~12=3~45=6=7=89~-‘;24~6~8 = V 123454321
=V111112
= 11111 <--Suma de cfs.5 [ Rpta. E I @ ¿Cuáleselrestodedividir 14 x24 x34 x44 x ... x 324 entre 5? A)4 B)3 C)O D)1 E)2 RESOLUCiÓN: Todo número que lenmina en 4 es 5-1 (5-1)(5-1)=5+1 (5-1 )(5-,1 )(5.1) = 5-1 • .! . {5+1sinespar J5-1)(5-~) ... (5-1),= 5-1 si n es impar nn" factores Sea: E= 14x24x34x ... x324 E =.(5-1 )(5.1 )(5-1 ) ... (5-1>,= 5+1
v
par 32 factores
:. AldividirEentre5,
el resto es 1. [ Rpta. D I
@ Efectuar:
V~II=2=+~1-23-x-l0~4-+-4-2-x-l0~2
e indicar la suma de cifras del resultado.
A)3 B)4 C)5 D)8 E)11
RESOLUCiÓN:
www.Matematica1.com
V11 2+123×104+42×102 =
= V 121 +1230000 + 4200
=V1234321
= ‘V’1i1i2 = 1111
:. Suma de cifras:
1+1+1+1=4
@ Hallar la rarz cuadrada de
V9 x 1014+ 12 x 10’O+4x 106
e indicar la suma de cifras del resul·
tado.
A)5 B)10 C)12 D)15 E)21
RESOLUCiÓN:
V 9x 1014+ 12 x 10’°+4 x 106 =
= V106 (9 X 1014+ 12 x 10’°+4)
I I a42ab+b21
= V106 x [3 X 10’+ 2]2
‘~~I~~—[J(~a+~bf)2::J
=10′(3×104 +2)
=3×107 +2×10′
=30002000
:. Sumadecifras=3+2=5 [Rpta. E I
‘Í86′ Efectuar: ~3150285+225J4
\!!!Y L6140586+196
A)~ B) 315
65 614
D)_1
64
RESOLUCiÓN:
S . E = 1315X285+225]4
ea. [S14x586+196
C)_1_
256
1
E) 16
E J(300+15)(300-15)+225l
4
J: (600+14)(600-14)+196]
}3002-15’+225J4
E L600′-14’+196
~3002J4 ~300J· r 1:1· 1
E=Ls002 =Lsoo +l2Y25il
[Rpta. C I
@ ¿En qué cifra termina: 34′””‘7
A)4 B)S C)2 D)8 E)O
RESOLUCiÓN:
34′ = .. .4 <--"Terminaen4" 34:: ",S}34"= .. .4si n es impar ~:4::::: 34"= ... Ssinnespar ; :. a4400= ... S <--"TerminaenS" [Rpta. B I @ ¿Cuál es el menor número que multiplicado por 77 nos da un producto formado solamente por cifras 3? A) 4329 B)4339 C)4379 D)4229 E) 4329 RESOLUCiÓN: SeaN=333 ....... ~ 30811 4329 253 =--===---, 231 N-33333 223 = 77 x 4329 154 S93 693 000 @ Resolver: I09x [:~~J > 1
A) B)<0;1>
D)<1;3>
RESOLUCiÓN:
C)<2; 3>
E)<2;4>
I09t [x’-X- !J ~ IOS{:J ~
~ 10gt r’-X- !J ~ 10gtl!J
t-t X2 -x- –ª- > O A X2 -x- –ª- ~ -ª-
4 4 4
~ [x+ ax- ~J > O A (x+1 )(x-2) ,; O
~{x<- ~vx> ~}A-1 ,;x,;2
~ -1 ,; x < - ~ v-ª-< x'; 2 2 2 Ix e [-1; -1> u <%; 211[ Rpta. E I @ Las estrellas se clasifican de acuerdo a categorras de brillo "m" llamadas magnitudes yflujo luminoso "L". A las estrellas más débiles (con flujo luminoso Lo) se les asigna magnitud 6. La relación entre la magnitud de brillo "m" y el flujo luminoso "L" está dada por la fórmula: m = ko-.§. log [-"-1 2 Loj Hallar ko y m si: L= 10°,·, Lo A)ko=5;m=6 C)ko=4;m=S E)ko=5;m=7 RESOLUCiÓN: B)ko=6;m=5 D)ko=S;m=4 Recuerde que para el módulo de Izl~O. V Ze C. De la desigualdad, se obtiene: rlzl'-lzl+1] IzI2-lzI+1 -= I09"'l Izl+2 <2~0< Izl+2 {(0,4 )Iag””)’
A)x e < 10-3; 105>
B)xe<105;+00>
C)xe<0;10-3>
D)xe
E)x e < 10-3; +00>
RESOLUCiÓN:
Si: O < a9 < a6 --+ O < a < 1 --+ O < ak< 1, V keZ+ Entonces. la desigualdad se puede expresar así: log S(X-1)4<1og s[(x-1)ffil' • • ~ (x-1 )ffi< O A(x-1 )4>[(x-1 )ffil’
~ (x-1 )(x-3)< O A(x-1 )4>(x-1 )'(3-x)
~ (x-1 )(x-3)< O A(x-1 )'(2x-4) > O
~ (x-1 )(x-3)< O A(x-1 )(x-2) > O
~1 21
12 B)<-4+V5;-1+V5>
C) <-1+V5;4+V5>
D)
E)< V6+V5-1; 2+V5>
RESOLUCiÓN:
Recuerde que, si O < a < 1, se cumple que: aF(x»aG(x)~ F(x) < G(x) Dándole forma a la desigualdad: {[~~J'r0g2x >{[tt”‘T~
~{[HrX-1 >{[tJT(~,,,,n
~ log’ x-1 < 2(log x+ 7) ~ log2 x-2 log x-15<0 ~ (I09x+3)(log x-5)< O ~-3< 109 x< 5 ~10-31 I Rpta.A I
@ Luego de resolver:
logx2 .log2x2 .log2(4x) > 1
Señale un intervalo de su conjunto
solución,
A)<1;2> B) <3; 4>
D)<1;2V2>
RESOLUCiÓN:
C)<2v:2; 1>
E)<0;2 V2>
De la primera desigualdad resulta:
x-I09 S';;x-xlog 2-log(1+2X)
–+x log 2 + log(1+2X)';log 6
–+ log [2X (2)+1),; log S –+2X(2)+1),;S
–+ (2x+3)(2X-2)';;0, como: 2x+ 3 > O
–+2x-2′;O–+2x';2x'; 1 “”.(a)
De la segunda, se tiene que:
logNx’-4x-1 +3»0 ~ Yx’-4x-1 +3>1
x’-4x-1~0~x';2-V5x~2+V5,,·(P)
Luego, interseclando (a) y (Jl) para
obtener el conjunto solución del sistema
de desigualdades se obtiene:
I xe<-oo;2-V511 I Rpta. B I www.Matematica1.com www com . . M atematica1 ~ Luego de resolver: Y21~~.Vx-') 4 = 26Iog9¡q,~·Vx-')) +48 Oar el valor de: x + x + 2 Y'X3 A)4 B)9 C) 16 0)25 E)36 RESOLUCiÓN: Oe la primera ecuación: loge(x» = loge(yb) --> a logex =
logex b
= b logeY –> loge y = a
En la segunda ecuación:
10ge[~J= ~ –> ~ =c~
b
–+x=y.c&
Reemplazando en la primera:
b
(y. ca )a= yb –> ya.cb= yb–> cb= yb-a
I y=cb~al 1 Rpta.A I
@ Resolver:
2,ogJ~) . [~:Jk>ox’ ~x
A)x e u<1;2) C)xe0 E)xu<1;2>
RESOLUCiÓN:
B)x e 121
O)xeR
Oado que no es posible determinar,
directamente, el intervalo al cual pertenece
la base, entonces, se debe
asumir las dos posibilidades para
ésta:
r24-2x-x’l f. 25-x’
109~’~:’JC 14 ,tl …. 1°<16< <1A 24-2x-x' <2-5--X'} 14 16 { v -25-->x’ 1 A 24-2x-x’ >25—X’}
16 14 16
…. {0<25-x'<16 1\ 192-16x-8x'<175-7x'} v v {25-x'>16 1\ 192-16x-8x’>175-7x’}
…. {90}v
v {x’<91\ x'+16x-17l}} v
v {-3u<3;5> I (“‘1R p::-cta,-.-::s:”ll
@ Resolver:IOgf[X’-x- :J~2-109,5
A)[-2;- ~ >u<2;3) 1 B)[-3;-1>u<2; 1) 1 C)[-2;-1>u<2; 1[ 0)[-3;- ~ >u<1;2] E)[-1'-~>u<-ª-'2) • 2 2 ' RESOLUCiÓN: Considerando la condición y la base del logaritmo, se tiene que: a>0I\a .. lI\12a’+4a-31 <3 --> 0>0 1\ 0 .. 11\ ·3<20'+40-3 1\20'+40-3< 3 --> {0>0 1\ 0,,11\20’+4a>0} A (0+3)(0·1)<0 "+" -->a>Ol\a .. ll\a-l O < a < 1, entonces, de la desigualdad se tiene: logYx-Y2x-3';0 --> YX-Y 2x-3~1
–>2x-3;”OAX- Y2x-3;” 1
–>x -2ª- I\x-l ->Y2x-3–>x~ -2ª- AX’-
2x+l ;,,2x-3
3 3
–+X~ 2 Ax2-4X+4~O–+x~ 2 A
(x-2)';,,0
1 x;” 32 1 1 Rpta. E I
@ Hallar el valor de y en el sistema:
{
xa=Yb;a>b>O
[
xJ logex
loge y = logeY ;c>Oc .. l
b b e
A)c”” B)cb• a
e
C)a””
b
O) a'”
RESOLUCiÓN:
E) a””
Expresando el número complejo z
en forma exponencial, se tiene:
(~+2k:n;J;
Z=l+i=Y2.e 4 ,VkeZ
Luego reemplazando:
InZ = In(V’2 e(¡·””h=
= InY2+ln e(“‘;’)· 1
InZ= InY2+ [8~lJ “i
Parak=2:lnZ=lnY2+ 1~” i
Que no es el mismo valor que aparece
en la alternativa O; pero las
otras si contienen valores para la In
Z, como el lector podrá comprobar
de inmediato. ! Rpta. D I
@ La desigualdad:
log 124-2x-x’l > 1
~~:’J[ 14 :J
se verifica para:
A)xe<1;4>
B)xe <-3; 1>u<3; 5>
C)x e <-3; -1>u<3;4>
O)x e <-3; 3>
E)xe <-3; 1>u<3;4>
RESOLUCiÓN:
Se sabe que, por trigonometría:
Vx e R: Isen xl E [O; 1) pero, la desigualdad,
por ser base de un sistema
de logaritmos.
Entonces:
Isenxl e –>x e R-{~}Vkez
Luego, la desigualdad se obtiene:
xeR-{ ~ }AX>01\7X-6>0 Alog¡oo,,¡x3
> log¡ .. ,,¡ (7x-6)
–>xeR-{~H X>OAX> ~ }l\x3< < (7x-6) --> XER-{~}I\X> ~ l\(x-l)(x-2)(x-3)<0 comox> ~ –>x+3>O, entonces:
xeR-{~}I\X> ~ l\(x-l)(x-2)<0 -->xeR-{~}+> ~ 1\ 1 < x < 2} -->xeR-{~}I\{l -{~}
@ Hallar el conjunto solución de la desigualdad
logarltmica:
log~[log6(x’-3») > log61
3
A) <-3; -2> u [2; 3>
B)[-3; 2> u <2; 3) C) <-3; -2> u <2; 3) O) <-3;-Y3>u
E) <-3; 1>u<2;3>
RESOLUCiÓN:
loglog.[~J.C 27~,x’ J > x …. x>OAX .. ll\ L x6 1CJUx2 J-
2”””” ·2
7I
ogx’
1\ 26 ~x
…. x>OAX .. l A28Iogx’.7 ~ 2~x’
…. x>OAX .. lI\8 logx 2-7 ~ log, x
…. x>OAX .. ll\log,x+7-6logx2′; O
O 1
(Iog,x-l )(Iog, x+8) O
++ x> I\X:::J:. A < log,x .... x>OAX .. ll\{log, x,; -8vOOAX .. ll\– >O …. x>OAX”lAX-l >0
x+l
…. x>OAX”lAX-l …. x>O
y con esto, la desigualdad la desarrolIamosasf:
[
IOQx -X+-3J >1 ++ x> 1 Ax-+3- >x’
x+l x+l
…. x> 1 I\x+3> x(x-l)
Es posible esto, pues como x > 1 –>
(x-l) >O,luego:
…. x>lAX’-2x-3x>1 A(x-3)(x+ 1 )<0 .... x>lAX-3<0<->11 1 Rpta.DI
www.Matematica1.com
@ Considerandoque:e=2,718281
Resolver:
logx2+~logx=-O,718,281
{
‘014 .. ;'” xc-:::-:
logx3-logy2= 1,718281
Oar el valor de: I09(XY)
A) 8-3e B) 8-3e
16 8
O) 6-5e
16
RESOLUCION:
C) 3e-8
16
E) 6-5e
8
Según el enunciado del problema,
por cada fósil encontrado, el pago
será:
1’1 2’1 3’1 4·1·····1 x
m 2m 4m 8m ….. 2x.1.m
El pago total, por todos los fósiles
encontrados fue “1”, Luego:
m+2m+4m+8m+ o •• +2x-1.m = t
–> m(I+2+22+23+ … +2x-1) =t
t t
–>m(2X-l)=t2x-l =m–> 2x=m+1
–>x=log [~+IJ
x=log2 [t+mmJ [Rpta. el
@ Hallar todos los valores reales de x
para los cuales la expresión:
10g1′ [X~IJ
es un número real.
A)x e < 1-Ys;0 > u< 1+-v5; +00>
2 2
B)x e [1-;’5; 1+j5]
C) X e [1-Ys ‘0> u [1+-v5. +00>
2′ 2′
O) X e [1+j5; +00>
E)Xe[I-;’5 ;0>
RESOLUCION:
Consideremos las funciones reales:
F(x) = 1092 (x-2) G(x) =…;2X-4
Oonde: Oom(F)= <2; +00> Oom(G)= R
y cuyas gráficas son:
Entonces, del gráfico, se observa
que:
F(x) u<6;+00> … (a)
Oe la segunda desigualdad, teniendo
en cuenta (a), se tiene:
log.(x2»I …. x2>9–>x>3 ….. (~)
Luego intersectando: (a) y (~) para
hallar el conjunto solución del sistema:
I xe<3; 4> u <6; +00> I [ Rpta. D I
@ Sea x>Ol\x .. l, talque:
-nM sumandos
~
x”;-“”‘= {I09,.(1 +3+5+7+ .. )}””’x”
, MnM su~andos’
Hallarel equivalente de:
E=I092I09xn
A)n2(n+l)’
C) n2(n+l )2_1
E)n’+n-l
RESOLUCION:
B)n'(n+l)’+1
0)n2+n+l
Según la fórmula:
m=ko- ~ log t~~J
m, es la magnitud de brillo
L, es el flujo luminoso, de una estrella.
En primer lugar, para las estrellas
más débiles:
L = Lo 1\ m = 6, reemplazando:
6= ko-.§. 109 rLOJ –>ko=6
2 [Lo
para una estrella con flujo luminoso:
L=10o,·.Lo
su magnitud de brillo m resulta:
m=6- .§.109~0~.LJ –> m=6-.§..109l0~
2 t Lo ) 2
–> m = 6 -.§. . ..!
,—..,.., 2 5
I m=41 [Rpta. D I
@ Para la función real de variable real:
F(x) = I092109210g2x
el dominio es:
A) <2; +00> B) <4; +00>
C) 0)<0,125;+00> E)R+
RESOLUCION:
La desigualdad se puede colocar
así:
I09x 2.10g2x (4x»1 …. x>O 1\ x .. 1;
J…I\ 1092 (4x) x> l’
2 log2x.log2(2x) ,
1 2+I092x
of+x>OI\X:#1;-/\ >1
2 log2 x[1 +I092x]
1 2+1092 X
…. x>OI\X .. 1 ; -1\1- AA’#:- ; -/\ OI\X”I; t 1\{-V2OI\X”I; f 1\{2·V2 u [Rpta. D I
@ Resolver:
{
log2 (x-2)< Y2 x-4 logx(log.x2) > O
A) <2; 4> u <6; +00> B) <2; 4>
C) <4; 6> O) <3; 4> u <6; +00>
E) <3; 4>
RESOLUCION:
Para la función:
F(x) = log2(109210g2x)
F(x) e R …. I09210g2x>0 …. log2x>2°
…. Iogx> l …. x>2
I Oom(F]= <2; +00> I ~[R -p-ta-.A~I
8 Resolver:
{
x-IOg 6,;xlog 5-log(I+2X)
log(-Yx2-4x-l +3) > O
A)xe <-00; 1] B)xe<-00;2--v5] C)x e <1;2+-v5] O)x e <2+Ys;+00>
E)x e [2-Ys;I>
RESOLUCION:
Transformando la inecuación, se tiene:
10932 .109,X·1092X>1 –> I09,x(I0932 ·1) > 1
1092X.1093[~J >1
Multiplicando ambos miembros por
10g[fJ 3, el cual es negativo resulta:
log2 x. 10g'[~J. 10gf 3 < I09f 3 --> 1092 X < log~ 3 3 "",[2J3 0
C)x e <- O)xe <-<0;2>
E)x e
RESOLUCION:
log2[x(x+3)]x(x+3»0 1\ x(x+3)<2 -->{x< -3)vx>0) I\x2+3x-2<0 .3-Vff ·3+Vff -->{x< -3)vx>0) 1\ {-2 –< x< -2-) Haciendo la intersección en la recta numérica real: o O • O O • I I I I I - u
2′ ‘2
@ SobreC,si:
[Rpta. El
{: ::~I~:~:~.~,i~:~r2~XJ
Calcular: [ J Y1 “P
R=log. 1+ 1
2 cos kx
n
A)p1ti B)2knpxi
0)2kp1ti
RESOLUCION:
C)knp1ti
E)kp1ti
10g.1. [log.(x2-3)] >0 …. 0 O 1\60< x2·3 < 61 .... {x <-V-3 v X >-v’3} 1\ {4 < x2< 9) www.Matematica1.com www com . . M atematica1 .... {xV3} A {-3 u <2; 3> 1 I Rpta. el
@ Calcular el área de la región que
describen, en el plano Gausseano,
los números complejos z que verIfican
la desigualdad: nzl2 -lzl+1 J
I09y’3 l: 2+lzl < 2 A) 3" u2 B) 16" u2 2 D)25"u2 RESOLUCiÓN: La desigualdad se puede colocar así -1 (x+1-v5)2>6
…. 6 < (x+1-v5)2< 9 .... -3 < x+1-v5 < -Ve vVe < x+1-v5 < 3 .... -4 +v5< x -1 -Ve+Y5 v -1+Ve+ +v5
~-~ u <-1+Ve+v5;2+v5> I Rpta. E I
@ Se contrata un obrero para cavar en
busca de fósiles al que se le promete
pagar “m” soles por el pri mer fósil encontrado
y por cada nuevo fósil que
encuentre; se le pagará el doble de
lo que se le pagó por el anterior.
¿Cuántos fósiles encontró sabiendo
que en total recibió “1” soles?
A) 109m [t: J B) 1ag2 [t: J
C) 1ag2 [m;tJ D) logm [m;1
E) 1092 [~J
RESOLUCiÓN:
Primero, hallemos un equivalente
para la expresión que está entre paréntesis:
1+~ = 1+cos[2~”J+i sen[2~”J
1 +~ = 2cos2 t~ }i.2sen t
k
: Jcost~ J
1+~ = 2cos2t~JFtk:}isentk:JJ
2~:;J costk:}isent~J = e~1
Luego, reemplazando en R, se obtiene:
@ El producto de los 4 ténninos de
una proporción geométrica contInua
192 veces el promedio aritmético
de los mismos sabiendo que el
cuarto término es par y la razón es
mayor que 1.
Hallar la media armónica de los términos
extremos.
A)3,6 B)4,8 C)2,4 E)7,2 E)10
RESOLUCiÓN:
Sea la proporción geométrica continua:
,…..¡ a _ ck21
-ª-=J>.-=kl I
Dato:
b c ~
a x b x b x c = 192 x (a+b+b+c)
4
a x b2 x C = 48(a+2b+c)
Reemplazando:
ck2 x c2k2 X C = 48c(k+2k2+1)
~x ~ = ~ x 3(k+1)
TTT=rIdentificando:
Ik=21; ~
-+a=3×22 -+ la=121
. – 2xac
Nos piden: mh(a; c) = a+c
• – 2x12x3 r–~
•• mh 12+3 4,8 I Rpta. B I
@ Hallar la ma de los “n° números
1 1 1 1
“6 ‘ 12 ‘ 20 ‘ …….. (n+1 Xn+2)
A) ~ B) 2n+3 C)(1 +n)2
n
D) 1 E) 1
2(n+2) 2(n+1)
RESOLUCiÓN:
1 1 1 1
ma = “6′ 12 ‘ 20 ‘ ….. (n+1 )(n+2)
n
~J1.~1 J 1 L 2 n+2
ma n
ma = n+~-~ = ~…!.)’Í-‘c–_
2(n+2)xn 2(n+2)x)’Í
. 1
•• ma = 2(n+2) I Rpta. D I
~ La media aritmética de 3 números es
7. La media geométrica es par e igual
a uno de los números y su media armónica
es 36/7.
Hallarel menor de dichos números.
A)3 B)6 C)4 D)7 E)8
RESOLUCiÓN:
Sean (a < b < c) los números - a+b+c • maCa, b, c)= 3 7 -+ 1 a+b+c=21 1 ...... (1) • mg(a,b,c)=b {'abe=b -+ I\Iíc = p" -+1 ac=b21 ....... (11) • mh(a b c)= 36 " 7 3abe =3-6 ab+bc+ac 7 Reemplazando: 3xb2xb -+ ab+be+b2 3b2xa "b(a+b+c) .... 3x-b-2 =3-6 21 7 -+lb=61 Reemplazando: En(l) a+c=15-+a+c=3+12 En(lI) axc=36-+axc=3x12 -+ la=31v'; IC=121 r:IR::-p-ta-.A~1 ª Tres números a, by c tienen una media aritmética de 14 y una media geométrica de :f¡ 1680. Además se sabe que el producto axc = 105. Determinar el menor de dichos números. A)4 B)21 C)5 D) 10 E) 16 RESOLUCiÓN: Se tienen los números: a, byc Dato: ma(a;b;c)=14 ......... (1) mg=~1680 ......... (11) ac=105 ......... (111) a+b+c ~--~ De(l) -3~=14 -+1 a+b+c=42 1 De (11) -?'8bC= {' 1680 -+ 1 abe-1680 1 .......... (IV) (111) en (IV): bx105 = 1680-+b = 16 :. a+c=26-+a+c=21 +5 axc= 105-+axc=21x5 -+ la=211; Ic=51v' I Rpta. el www.Matematica1.com @ En un salón de 1/4 alumnos tiene 15 anos; 2/5 del resto tiene 13 anos y los 27 restantes tienen 11 anos. Si entran luego 3 alumnos cuya suma deedadeses63. ¿Cuál es el promedio de edad del alumnado? A)13 B)12 C)14 D)15 E)16 RESOLUCION: Sea N el número de alumnos de una aula. al~~;:os fl fl rl rl P!~~~iO ~ lEJ Ld Ld , ¿ v Promedio ponderado: E= 15xI5+18xI3+27xll+3x21 15+18+27+:.:3~_~ :. E=13 [Rpta.AI 8 Dos números son proporcionales a dos pares consecutivos cuya mh es 4,8. Hallar el mayor de los números si la suma de los números excede a la diferencia de los mismos en 32. A)24 B)32 C)28 D)18 E)26 RESOLUCION: Sean M y N los números que son proporcionales a los números a y a+2 (a: número par). Dato: mh (a; a+2) = 4,8 --> 2a(a+2) 4 8
a+a+2 •
a(a+2) 24
–>~=5
–> 5xax(a+2) = 24(a+l)
Identificando factores:
ax5x(a+2) = 4x(a+l )x6 1fT TTT
Dato: (M+N) – (N-M) = 32
10k -2k=32
8k=32–> ~
:. N=6×4=24 [RPta.A I
@ El promedio deAy 10 es 15. El promedio
de C y 15 es 10 y el promedio
de lOA, 35 By 15Ces 185. Hallar el
valordeA+B+C.
A)32 B)33 C)29 D)31 E)30
RESOLUCION:
Datos: A+l0
o ma(A;10)=15–>-2-=15
–> 1 A=20 1
o ma(C;15)=10–> A~10 =10
–>IC=51
o ma(10A; 35B; 15C)= 185
10A+35B+15C = 185
3
1 0(20)+35B+15C = 555
35B=280
–>IB=81
Nos piden:
A+B+C = 20+8+5 = 53 [ Rpta. B I
8 La diferencia de 2 números enteros
y positivos es 3n. Hallar el mayor de
ellos, si se sabe que la media aritmética
y media geométrica de ambos
son 2 números pares consecutivos.
A)89 B)99 C)93 D) 100 E)97
RESOLUCION:
Sean a y b los números (b < a) Datos: o a-b=3n o maymg--> son dos números
pares consecutivos
–>ma=x+l ; mg=x-l
donde x: número impar
Propiedad:
I (a-b)2 = 4(ma+m¡j)(ma-m¡j) I
Reemplazando:
(a-b)2 =4(x+l +x-l )(x+l-x+l)
(a-b)2=4.(2x)-2 = 16x
–> 3n2= 16x
3n= Y16x=4Vx
x:impar:3n=4x@=36
01 n=61
o Vx=9–> 1 x=811
o ma=81+1=82
a+b
-2-=82–>a+b=164 ……. (a)
a-b=36 ……. (~)
De(a)y(~):
:.a=100 [Rpta. D I
@ En un curso, la nota promedio de
las secciones A y B son 14 y 18 respectivamente.
La sección B tiene
1/3 del número de alumnos que tiene
A. Si la relación del número de
alumnos se invierte. ¿En cuánto aumenta
la nota promedio al juntar las
dos secciones?
A)4 B) 1 C)5 D)3 E)2
RESOLUCION:
[ ler.caso: I
Aula A Aula B Aula única ialfbl ….. ~
~ ~ ~ ~
Dato: b= ~ –>la=3bl
Por promedio ponderado:
P = 14a+18b 14(3b)+18b 15
a+b 3b+b
1 p = 151
[ 2do. caso: I
AulaA Aula B fblial ….. ~
~~ ~ ~
Por promedio ponderado:
P = 14a+18b 14b+18(3b)
b+a b+3b
:. 1 P, = 17 1
El promedio aumenta
en: 17 -15 = 2
@ Hallarel promediode~O, 40, ~0, … ,40,
“n”veces
Y ,50, 50, ~0, … ,50,
“4n” veces
A)48 B)46 C)47 D)45 E)44
RESOLUCION:
Se tiene los números:
~0,40,~0, … ,40″ ,50,50,~0, … ,50,
“n-veces “4n”veces
40+40+ … +40+50+ … 50
ma=
n+4n
40+40x4n 240n
ma=
5n 5n
:. ma=48
InlA ….. R
WW ~ ~
Por promedio ponderado:
x 40.n+50.4n = 48
n+4n [Rpta.A I
@ La mg de dos números es 4 y la iTiIi es
32/17. ¿Cuál es el menor de los números?
N4 ~2 q3 ~5 ~1
RESOLUCION:
Sean a y b los números.
Dato: mg(a; b) =4
– 32
mh(a;b)=17
Reemplazan,-;:do:::,: —-:-::0
o Val) =4 ~ lab=161 ….. (1)
2ab 32
o a+b = 17 ….. (11)
(1) en (11):
2×16 32
a+b = 17 –> a+b = 17 ….. (111)
De (1) en (111):
a+b= 16+1–> 1 a= 161
axb=16xl–> 1 b=11
:. El menor de dichos
números es 1. I Rpta. E I
@ De una muestra de “P” personas, el
promedio de las edades de los que
bailan es 0q” años, de los que no bailan
es “1” y el promedio de las edades
de todas las personas es “E” años.
¿Cuántas personas bailan?
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
A) P(q+r) B) P(E-r)
E r-q
D) P(r-E)
r+q
RESOLUCiÓN:
C) P(r-E)
r-q
E) P(r+E)
r-q
Se tiene “pO personas de las cuales
“a” bailan y “bll’ no bailan
:. la+b-pl
[J [J ~ [:J+b pe~~as
.,. ® Edad
q r promedio
Bailan No bailan
Aplicando Regla del aspa: (q 1 D = 71
. 49 D
• l’ 6040 = ~ –> 11_ 30 1
. 40-1 I . .
C)142
E)145
‘A 60-A=~–>IA=401 . A-30 I . .
49 N
• N:N=16~N=V49x16
1 N = 281
Nos piden:
H = D+I+A+N+A= 7+30+40+28+40
:. H = 145 [ Rpta. E I
@ En un instante de una fiesta, el número
de hombres que no bailan es al
número de personas que están bailando
como 5 es a 6. Además el número
de damas que no bailan es al
número de hombres como 7 es a 8.
Encontrar el número de hombres
que no asisten a dicha fiesta. si el total
de personases 180.
A)60 B)70 C)55 D)90 E)180
RESOLUCiÓN:
Sea “n” el número de hombres que
están bailando, osea H. = n en consecuencia
M. = n
H M
n n BAILAN I
a b NO BAILAN I
a 5 C5nl
Dato(1) n+n =6 –> ~
b 7 b 7
Dato (2) n+a = 11 –> ——sn = 11
n+3
-+ -ªº-=L -+ lb = 7n I
8n 8 3
Dato(3) H+M=180
(n+a)(n+b)= 180
5n 7n
2n+-+ -=6n=180
3 3
-+ln= 30 1
Nos piden:
5n 8n 8×30
H = n+a = n+-=-=–
3 3 3
:.H=80 [Rpta.EI
@ Un motociclista parte de un punto
“A”. simultáneamente un ciclista sale
de un punto “B” distante 800 mt
del punto “A”. Ambos recorren el camino
ABX en el mismo sentido, con
velocidades iniciales que son entre
si como 11 es a 3; pero una vez que
el motociclista alcanza al ciclista. la
razÓn de velocidades es como 7 es
a 2. Calcular la distancia del puntoA
al punto en el cuál el ciclista está
atrazado 2500 mt respeclo al motociclista.
A)2100mt B)2300mt C)1800mt
D)1870mt E) 1500mt
RESOLUCiÓN:
® Pto.de @
.~ A B D E
M- 800 mt —>1 M-2500 ml—>l
Dato: V_o. =11; IAB =800 mt I
Vddlsla 3 . .
ObservacIón:
Cuando el tiempo es común se
cumple que la relación de espacios
recorridos es a la relación
de sus velocidades.
-+AC- =11- –>BC- -=BC- =-3 –
BC 3 AC-BC 800 11-3
-+ I BC = 300mt I
Dato: V_o. =L; DE = 2500 mt
Vddlsla 2

-+CE- =7- –>CD- -=2-
CD 2 CE-CD 7-2
-+2~~0 = ~ –> ICD=1000mtl
Nos piden:
– – —
AD=AB+BC+CD
AD=800+300+1000 ~-,—-,
AD=2100mt [Rpta.A I
@ Se han sacado 24 litros de un barril
lleno de alcohol, después se ha llenado
con agua y de esta mezcla se
han sacado otros 24 litros y el barril
es nuevamente llenado con agua.
Si la cantidad de alcohol que queda
en el barril es a la cantidad de agua
que hay en el barril como 25 es a 24.
¿Qué capacidad tiene el barril?
A)901t B)721t C)841t
D)861t E)801t
RESOLUCiÓN:
V: Volúmen del barril
(1)
(11) Seextrae@
y se reemplaza
por agua
(111) ~ Agua 24
Alcohol ~-24~
Agua = Alcohol Proporción de
24 V-24 los componentes
L..:”—-_-=–=-‘——‘
(IV) Seextrae@
de la mezcla
Agua
24
Alcohol
V-24
de los cuales:
Agua+Alcohol _ 24
V – V
~ I Alcohol = ~ (V-24) I
Luego la cantidad de alcohol que quedaes:
24
(V-24) -V (V-24)
(V-24)2
=> Valcohol final = -V-= A
=> Vaguafinal = V-d
Dato:~= 25 -+~=~= 25
V-A 24 V 25+24 24
Reemplazando:
(V-24)2
V = (V-24)2 = r V-24J2J 5J2
V V2 l V l7
V-245 V 77
-+–=—+-=-=-
V 7 24 7-5 2
:.V= ~X24-+V=84 [Rpta.cl
@ Si los términos: a; b; e y d forman una
proporción geométrica y además:
6859x(a2c+ac2) = 4913x(b2d+bd2)
Hallar:
Q=
c2+ a2 +YaC
d2+ b2 + v’bd
www.Matematica1.com
A)~
19
D)~
19
B)~
19
RESOLUCiÓN:
Se tiene: ~ = ~ = k
De: ~ = k~ 1 ~~ = k’l
~ a’.c = k’ k = k’
b’.d .
De: ~ = k~ 1 ~~ = k’l
~ c’.a = k’ k = k’
d’.b .
a2e ac2
De: b2d = b(j2 = k’
a’c+ac2 _ ,
~ b’d+bd’ – k
Dato:
C)11
19
E)~
23
6859(a’c+ac2) = 4913(b’d+bd’)
a’c+ac’ 4913 = r 17J’
~ k’ = b’ d+bd’ 6859 l. 19
l~k=171 19
De’ .l’.=..c:. = k~ axc = k’
. b d bxd
~IYaC=kl y’bcf
Igualando:
vc’+a’ YaC c2+a’+YaC
‘”c-=C’–“i~= k
Vd’ +b’ y’bcf d’ +b’ +y’bcf
:.Q=k~Q=~; I Rpta.sl
@ Si: ~ = ~ = ~
Hallar:
r”C8″”c”-;dC”+e-;”a””C_9″”ea—‘ ‘b —;b””c+””‘d”+cop’
H= x~~~
8d4 +f2 t>-9db’ a’ +c’ +e’
A) 1 B) 2 C) 3 D)..!.. E)..!..
RESOLUCiÓN: 2 8
Se tiene: ~=..cl..= JI. = k
b d f
r–“~ a e / ~ De’-=-=k
. b f “‘-1 ~ =k’l
~ Itx~=k’l ……. (1)
c c’ 8c’xd
De: (j= k~(j3= k’~ 8d’xd’
8c’d
~ 8d’d3 = k
3
…. (111)
a e 9 a2 +c3 +e3
° I)=(j=f= k~ b3+d3+P k
3
Igualando (1); (11) Y (111):
8c3d = e’a = 9ea’b = k’
8d4 f2b 9db3
Por propiedad:
8c’ d+e’ a-9ea’ b
8d4 +f2 b-9db3 = k
3
Reemplazando en H:
H=~J<áx ;.=v'1 :. H = 1 Ir:Rp::-:-ta.--'A"1 @ Se cumple que: a c e I)=(j=f b d f a c e Y· -+-+-=48' -+-+-=27 'mnP 'mnp Hallar: A)..1.. 3 D)-ª- 4 M= ax+cy+ez bx+dy+fz B)J!.. 5 RESOLUCiÓN: S e f lene: Ia) =c( j=ef = k C) ..11!. 13 E)-ª- 8 Dividiendo cada ténnino convenientemente: a c e -=-=- m n p -b+ -d +f m n p Por propiedad: -a =-c =ek = _m_ _n_ -:.p_ -b+ -d +f m n p Por dato: ~ +-"- + -"-= 27 m n p ..tl..+..cl..+...!..=48 m n p k 27 9 Reemplazando: k = 4s = 16 . . _ ax+cy+ez Nos piden. M - bx+dy+fz a c e De: I)=(j=f=k Multiplicando convenientemente cada término: ~ _ .EL _ ~ _ ax+cy+ez k bx - dy - fz - bx+dy+fz :. M =Vk=~ 1 9 6 ~M 3 4 I Rpta.DI @ Secumpleque: ~=..tl.. =-"b n p m'+n' _.É... p'+n' _11' y m'-n' - 4' p'-n' - 8 Hallar: E ab+bc+ac a2 +b2 +c2 82 A) 115 B).!1! 117 87 C) 115 81 D) 103 85 E) 103 RESOLUCiÓN: Por proporciones: Se tiene: m2 +n2 5 4 m2 +"2 +m2 _n2 5+4 ~ = m'-n'-(m'-n') 5-1 ~m'=~~lm=31 n' l' n 1 p'+n'+p'-n' 17+8 25 p'+n'-(p'-n') = 17-8 =9 ~...!"...=...§'...~I p = 51 n' 3' n 3 ~ -"'- _ 3x3 ~ 1 m _ 9 1.1 P _ 51 n - 1x3 n - 3 • n - 3 • m n p • • g=""3=S=k :. 1m = 9k 1; I n = 3k 1; I p = 5k I Reemplazando: -a --b c - 9k-3k-5k a-9 a b c r- q ~-=-=-=q -b=3q 9 3 5 \""""'C=5q Nos piden: axb+bc+ac E= a2 +b2 +c2 E = 9x3q' +3x5q'+9x5q' _ 87q' 81q'+9q'+25q' 115q' • 87 .. E = """i15 I Rpta. C I @ Se tienen 3 recipientes de vino cuyos contenidos están en la relación de 9; 6 Y 10. Se pasa °a"litros del primer al segundo recipiente y luego °b" litros del tercero al segundo. siendo la nueva relación de 4; 6 Y 5 respectivamente. Calcular el volumen final del tercer recipiente. Si: a - b = 14 A) 120 B)135 D)138 RESOLUCiÓN: C)175 E)177 Se tiene 3 recipientes cuyos volúmenesson: V1 ;V2;V3 V,= V'=~=k 9 6 10 ~-, ~ Iv,= 9kl; IV,=6kl; IV3=5kl www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Nuevos volúmenes: (V,-a): (V2+a+b); (V.-b) Dalo: 9k-a = 6k+a+b = 10k-b 465 9k+6k+10k 25k .... = 4+6+5 15 De: 9k-a = ~ .... 27k-3b = 20k 4 3 .... Ia=7 3 kI De: 1 Ok-b = ~ .... 30k-3b = 25k 5 3 .... Ib=5 3 kI Dalo: a-b = 14 Reemplazando: ~k _ ~k _ 23 k = 14"" 1 k = 211 Nos piden: V3=V",,(.)=V.-b = 10k- ~ = 25k 3 3 :_ V,= 2~k x21 = 175 1 Rpta. el ª Se cumple que: a 2 b 2 c 10 b=3; "=5 y (j=a además: a2 +b2 +c2 +d2 = 3789 Hallar: 392(a+b+c+d) 185(ab+bc+cd) 3 B) 47 D)~ 45 RESOLUCION: Se tiene: -a=2-'b -=2- y -c=5- b 3'c 5 d 4 Convenientemente: 1ro.: 2do.: Se completa: a:2 a:2@@ b:32 b:32@ c: 5 5 c:@ 5 5 d: 4 d:@@ 4 3ro.: Se multiplican y luego se simplifican: a:2x2x6 ~ 4 b:3x2x6~ 6 c:3x5x6~ 15 b:3x6x4 ~ 12 Dalo: a2 +b2 +c2 +d = 3789 . a2 +b2 +c2 +d2 Por propiedad: 42+62+152+122 k2 :. k2 = 3789 = 9 .... 1 k = 31 421 . . _ 392(a+b+c+d) Nos piden. H - 185(ab+bc+cd) a+b+c+d Sabemos: 4+6+15+12 = k = 3 axb bxc cxd .... 4x6 = 6x15 = 15x12 .... axb+bxc+cxd = k2 = 9 24+90+180 ab+bc+cd = 9x294 = 2646 392x111 Reemplazando: H = 185x2646 4 H=45 1 Rpta.A I ~ Si' ~=~=~=~ ~ . 2 b d f Además: y: Hallar: A) 120 axb+cf= 168 c+de+f=90 c2 +f2 B)144 D)320 RESOLUCION: Se tiene: a 48 c e 2=b=(j=f C)225 E) 180 De: ~ =~ .... axb = 2x48 = 96 2 b Dato: axb+cxf = 168 T 96+cxl = 168 .... 1 cxl = 721 Dato: c+de+f = 90 De: ~=~~de=cf=72 d f Reemplazando: c+1+72=90 .... 1 c+1=18 1 Nos piden: c2+ f2 = (c+f)- 2cf= 18-2r:x~7::,2--;:,-, :. c2+f2= 180 1 Rpta. E I @ Se tiene una serie de razones geométricas continuas equivalentes, donde cada consecuente es el doble de su antecedente, además la suma de sus extremos es 260. Indicar el mayor término. A) 246 B)256 D)128 RESOLUCION: C)140 E) 220 Se la serie de razones geométricas equivalentes continuas: a 2a 22.a 2'·1.a •• 2a=22:8=22:8="'=2ii:B=k Dato: a+2'.a = 260 ...... (1) a(2' +1) = 4x65 TT TT Identificando factores: la=41; 2'+1=26+1 .... ln=61 En(I): 4+2'.a = 260 El mayor término es: 2'.a = 256 1 Rpta.B I @ Se cumple que: ~ = 1~ = : y además: 7ac+5ae-21b = 12bd c2 ·e2 Hallar: - •• c -e A)21/219 B)31/219 D) 17/219 RESOLUCION: Seliene: ~=~=~ b c e C) 17/231 E) 17/319 De: ~ = ~ .... 1 ac = 10b 1 b c ~=: .... Iac=bdl Dalo: 7xac+5xae-21 xb = 12xbd Reeemplazando: 7x10b+5xbd-21xb= 12xbd 49~=1qd~ 1 d=71 De: ~=~""1~=1701 Nos piden: c2_e2 102_72 51 17 --=--=--=-- c'_e' 10'_7' 657 219 '=:1 Rp:"='ta-. D~I @ Las edades de Margot y Carolina están en la relación de 9 a 8, dentro de 12 años estarán en la relación de 13 a 12. ¿Calcular la suma de las edades quetenian hace 7 años? A)37 B)29 C)41 D)39 E)43 RESOLUCION: Sean las edades de Margol y Caroli- ~:t~YClHJ ~=~ {M=9k C 8 C=8k Dentro de 12 años sus edades serán: (M+12) y (C+12) Dato: M+12 13 C+12 = 12 .... 12(M+12)= 13(C+12) 12M+144 = 13C+156 ,12(9k) ~ 13(8k),= 12 4k =12 .... 1 k=31 Reemplazando:;.-_, M=9x3 ~ 1 M=271 C=8x3 ~ 1 C=241 Hace 7 años sus edades eran: 20 y 17 __ • Suma de sus edades: [ [ 20+17=37 Rpta. e @ Los números A, ByCson entre si como los números 18; 9 Y 12 sabiendo que la cuarta diferencial de A, B Y C es igual a 15. Hallar la cuarta proporcional deA; By C. A) 25 B)32 C)48 D)30 E)35 RESOLUCION: Setiene:A=~=~ 18 9 12 Reduciendo: ~=~=~=k 6 3 4 .... I~A-=-6k'l ; 1 B = 3k 1 ; 1 C = 4k 1 Dato: La cuarta diferencial de A, B Y Ces 15. A - B = C - 15 6k-3k- 4k-15 .... lk= 151 www.Matematica1.com A C Nos piden: B = ® B.C ~x=A= 3.k.4.k = 2k = 2x15 6.k :. IX=301 [Rpta. D 1 @ Se tiene una serie de 4 razones geo· métricas equivalentes donde el se· gundo y cuarto antecedente son 65 y 117. El primer y tercer consecuente son 14 y49. Hallar la media aritméti· ca del segundo y cuarto consecuen· te sabiendo que la suma del primer y tercer antecedente es 117. A)98 B)49 C)30 0)27 E)52 RESOLUCiÓN: Sea la serie: ~=~= -"-=Jl = k b d f h Datos: c=65;g=117;b=14; f=49;a+e= 117 a e a+e 65+117 13 De: I)--¡--ti+f d+h 17 ~I d+h =981 Nos piden: d;h = 9: = 49 "'=[ Rp:-:ta-. 8=->1
@ Se tiene una proporción geométrica
continua cuya razón es un número
entero. Sabiendo que la suma de ex·
tremos menos la suma de los me·
dios es 450. Hallar el máximo valor
que puede adoptar el primer antece·
dente.
A) 1800 B)512
D)324
RESOLUCiÓN:
C)820
E) 2000
Sea la proporción:
a b ~la-ck21
I)=c=k,
“—1r.-b-_–cck”l
Nos piden: a =?? (máximo valor)
Dato:
(a+c)- (b+b) =450;
ck2+c-( ck+ck) = ck2-2ck+c = 450
t(k2·2k+1) = 450
c(k-1)2 = 450×12 TT TT
Identificando factores conveniente·
mente:
‘1c –4;-;;50″‘1 ; 1k = 21
:. a = 450×22 = 1800 I~R=-P-:ta-.-:A”I
Q S’. ~= c+a = b+c = P
‘el’ l. b b+d c+d
Hallar: ab+bc+ac
c(a+b+c)
A)p B)p+1
D) p2+p
RESOLUCiÓN:
C) p2
E)dxp
. a c+a b+c
Se Hene’ -=–=– = p
. b b+d c+d
Por propiedad:
• ~= c+a = (c+a)-a ~ ~=Jl.
b b+d (b+d)-b b c
• ~ = ~ = b+c = (b+-“J-,é b
b d c+d (c+CI}ll c
Ordenando convenientemente:
a b c
l)=c=(j=P
~ ‘1a- -“:’dP”:-,31 ; 1b – dP21 ; ‘1c —-:dp’l
Nos piden:
ab+bc+ac
H = -=0–=0′-=
c(a+b+c)
Reemplazando:
H = dp3.dp2 +dp2.dp.dp.dp
dp(dp3 +dp2 +dp)
H = .d2pZ.p~ P
~~ Ir =:-:–:-I
Rpta.A ~ Si’ ~=~=-º-=~. lClI ‘a b c 3′
Hallar el valor de:
A+B+C+18 a2+b2+c2+27 A”+B2+C2+40
a+b+c+27 x A2+B2+C2+27 x a”+b2+c2+135
A) 2/3 B) 1
D)4/9
RESOLUCiÓN:
C) 8/27
E) 3/7
ABC11í2
De: a=l)=c=a¡=3
A+B+C+18 2
~ = a+b+c+27 3
A B C 2
De.’ -a =-b =-c =3-
A2+B2+C2+18 12 4
~ -=-
a’+b2+c’+27 27 9
A2+B’+C’+12 4
~ a2+b’+c2+27 9
De’ ~=~=-º-=~ . a b c 3
A3 _ B3 _ C3 _ 40 _ 8
~ a3-b3-C3-135-V
A2+B’+C’+40 8
~ a2+b’+c2+135 27
Nos piden:
A+B+C+18 a2+b2+c2+27 A”+B2+C2+40
‘-‘-Cc–=~ x x 7~-‘;;-~
a+b+c+27 A2+B2+C2+27 a”+b2+c2+135
Reemplazando:
2 9 8 4 S-x 4 x-V=g
@ Si: ~ = : = ~ = ~
además:
[RPta. D 1
(a+c)(b+d) [VAC+v’B5l” –
[yac+ y’lid14 x (A+C)(B+D) pq
Calcular el menor valor de p+q:
A) 6 B) 5 C) 9 D) 5 E) 2
RESOLUCiÓN:
A BCD
Dado: -=-=-=-=k
a bcd
De: ~=-º-= A+C = k } a e a+c
~=.Cl.= B+D = k
b d b+d
A+C B+D
~–=–=k
a+c b+d
~ (A+C)(B+D) _ 2
(a+c)(b+d) – k
De: ~=-º- =k~ AC =k2 }
a c ac
~=.Cl. =k~ BD =k2
b d bd
~ …¡¡¡¡; = v’B5 = k
YaC y’6C
Dato:
(a+c)(b+d) [VAC+v’B5l”[
yac+ y’lid14 x (A+C)(B+D) = pq
Reemplazando: (p+q) minlmo
1 ,,–@ -xk4 =k2=pq
k2 ‘—@
.-. (p+q) mlnimo es: 7 [ Rpta. 8 1
@ En la siguiente serie de razones geométricas
equivalentes:
a c e Jl
I)=(j=¡= h
Se cumple: ad +fg = 324
Hallarel valor de:
H = “;C:a:C:bcd~+:::Cacfh~+-ob-Cdc-eg-+-e~fg-o-h
A) 260 B)324 C)l80
D)260 E) 230
RESOLUCiÓN:
Se tiene: ~ = ~ = ~ = ~ =k … (I)
Nos piden:
H = “;”a~bcd~+-a-cfh~+~bd~eg-+-efg~h
Factoriza;”n”‘do ______
H =” ac(bd+fh)+ eg(bd+fh)
H = ” (bd+fh)(ac+eg)
De(I): Eil EIl
Ic=dxkl le=fxkl
Reemplaza~_nd_o_: ____ _
H = ~ [f .d+f. t J(a .dk+fk.g)
H = Y (ad+fg),k(ad+fg)
H = ,(ad+fg)2 – ad+fg ~_-,
Dato: ad+fg = 324 [ Rpta. 8 1
1
8 Hallar el ténnino de lugar 22 en:
2;4;6;20;58; 132; ……..
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
A) 8002 B)14328
D)24032
RESOLUCiÓN:
C) 16004
E) 7229
2JJJU~32; …
Raz6n:r+21 +2 +14 +38 +74
~……….”……….,,’-”
O +12 +24 +36
‘–” ‘–” ‘–”
+12 +12 +12
Sucesión de tercer orden (cúbica)
considerando el método práctico directamente:
T ,= 2+(n-l ).2+k(n-l )(n-2)(n-3)
Paran=4:
T4=,2-(4-1).2+k.3.2.1 =20,
v
k=2
T22= 2+22(22-1).2+2.21.20.19 = 16004
1 Rpta. C I
@ Dar el ténnino enésimo en:
_1 .~. 27. 256
3 • 6 ‘ 9′ 12 , ……… .
A) _1 B)_n_
3′ n+2
C)–“‘-
n+2
D)-“”
3
nn-1 E)-
3
RESOLUCiÓN:
(Método analítico)
Analizando los numeradores y denominadores,
tratando de hallar una
ley de formación. Luego se encontraráque:
Numerador:
1; 4; 27;
.j. .j. .j.
l’ 22 33
256; ………. ; enésimo
.j. .j.
44 nn
Denominador:
3; 6; 9; 12; ………. ; enésimo
.j. .j. .j. .j. .j.
3.1 3.2 3.3 3.4 3.n
. nn nn-1
.. T,= 3n =-3- ª Hallar el término que ocupa el lugar
18 de la siguiente PA
+20; 16; 12; ………
A)48 B)-52 C)-48 D)52 E)-44
RESOLUCiÓN:
Como es una sucesión aritmética, ya
que:
2’tJ.6J2; ….. }T,=20
-4 -4 r=-4
Como: T ,=T,+(n-l)r
Q T= 20+(n-l)(-4)
T=24-4n
Luego:
Para n = 18-+ T,.=24-4(1;.8)~_~
T,.=-48 1 Rpta. C I
@ Hallar”n”en:
_1 .-ª-.-ª-. Ji.
2 ‘ 12′ 6 ‘ 16′ ……..
S
. 29
1: a, = 30
A) 10 B) 16 C) 15 D) 14 E) 12
RESOLUCiÓN:
Como:
9 1 14 5
12=2 Y 16=e
Luego la sucesión será:
Números
impares se enésimo
~ deduce -)..
1 . 1 . 5 . 7′ _ I2n-l \
,2; 4 ~ 6; 8 j …. _ ~
Números
pares
Q 2n-l a,=–
2n
-+ n = 15 I Rpta. C I
Hallar el vigésimo término en:
1;5;19;49;101; ……..
A) 7600 B)8001
D)4421
RESOLUCiÓN:
C)7601
E) 7281
Observando las diferencias sucesivas.
T’=t_A.J9z..J9Jl; …….
a=+4 +14 +30 +52
“–” “–” “—-”
m=+10 +16 +22
“–“”–”
r=+6 +6
Luego:
T
– T (n·l)a (n-1)(n-2)m (n-1)(n·2)(n·3)r
n- 1+–+ +
1 1.2 1.2.3
Para n = 20
T -1 194 19.18.10 19.18.17.6
20- + . + 2 + 6
Too = 7601 I Rpta. C I
~ ¿Cuántos términos de la sucesión:
13; 16; 19; …… ;613
resultan tener raíz cuadrada exaota
al sumarle 2 unidades?
A)l B)7 C)ll D)10 E)53
RESOLUCiÓN:
El término enésimo será:
T=3n + 10
Según enunciado:
VT ,+2=k; k: entero positivo
.j.
3n+l0+2=k2
3(n+4)=kn+4=3p
3.3p2= k2
Pero:
13<9p2<613 1, .... n E {6; 7; 8;9; 10}
@ Hallaraosi:
8 n+1 = 8 n+;2+an; n;;:: 1
a” = -11
[Rpta. B I
A)8 B)-8 C)11 D)-11 E)64
RESOLUCION:
Como: 8n+1 = an+~an
-+8n=8n+1-8n+2
Para n = 8 -+88=89-810
Para n = 9 ->a9=a,,-a,,) (+)
ao+~=~-a11
88=811
ao=(-11) (dato)
ao = 11 r.R[ p=–:-ta–:c. :-ll
@ En el siguiente arreglo:
S,->1
S2->4;9
S,-+16;25;36
S4-+49; 64; 81; 100
• ••• •
• ••• •
• ••• •
• ••• •
• ••• •
• ••• •
Hallar la raiz cuadrada del término
central de S25
A)315 B)325
D)328
RESOLUCION:
S 1-> 12=t
1
22r
C)313
E)411
S2 -+ 22; 32 = t 2
2
3 r
S,->42; 52; 62-> (1+2+3)2=t
3
2
4r Luego:
+12 +12 1
S ~~r25.2612
25 -+ 81 •••••• x , …… -e 2 )
, ~~——~/
“25 términos”
Término central: X2
25.26
donde: x+12 = -2-
x = 313
La expresión a calcular será:
v’X2 = x = 313 ¡r.Rp:-:-ta.–:c:-l1 ª Según el siguiente arreglo:
D,
/1 D2
1 .l D
I 1 I 1 3
1 # I D
I / I 4 ‘1’2’1 #
,/”1 ,'”3 ,1″ 3,1, ,’1 ,1D s ~” ..
“///,, ” 1,’4,’ 6,’4 ,’1,1 ”’.
I I ‘ I I I /1/5/10/10/5/1
Calcular el valor de t’5en la diagonal
número cuatro (D4)
A) 720 B)460
D)912
RESOLUCION:
Observación:
·02:1;2;3; ………. ;n
C)564
E) 680
primeros números naturales
.D,:1;3;6; ……… n(n
2
+1)
primeros números triangulares
• D.; 1;4; 10; …….. n(n+1)(n+2)
6
primeros números cuadrangulares
Luego piden el término 15 de la secuencia
de los cuadrangulares el
cual será:
15.~.17 680 [Rpta.EI
Q Hallarellérmino enésimo en: é 5; 11; 19;29;41; ……..
A) n2+3 B) n2+4n C) n2+2n+2
D)n’+3n+1 E)4n+1
RESOLUCION:
5010 9U 90 1; ……
+6 +8 +10 +12 ‘–‘” ‘-..-/ ‘-..-/
+2 +2 +2
M~TODO PRÁCTICO:
PRIMERO:
Se considera como si fuera una sucesión
aritmética del 1 ero orden: 501; ……..
+6
T 0= 5+(n-1)= 6n-1
SEGUNDO:
Pero como es de 2do. orden, le aumentamos
k(n-1)(n-2) para que de
este modo salga cuadrático y además
que esta última expresión se
debe eliminar para n=1 y n=2. Para
hallar “k” se utiliza el tercer término,
dandoan=3.
T 0= 6n-1 +k(n-1 )(n-2)
paran=3
T= ~(3)-1 +k(3-1 )(3-2) = 1!!,
k;1
Luego.
T 0= 6n-1 +(n-1 )(n-2)
T 0= 6n-1 +n2-3n+2
Tn=n2+3n+1 [Rpta. D I
@ Dada la sucesión numérica:
{T,)n;’ 1 ={; ; ~ ; ~; ~~; …. }
¿a partir de qué lugar los términos
de la sucesión son menores que
3/4?
A) 10mo B) 11″””
D) 13·””
RESOLUCION:
C)12″””
E) 14″””
Cálculo del término enésimo de los
numeradores:
U09; 11; ……..
+2 +2
To=5 r=2
T 0= 5+(n-1).2 =2n+3
Para los denominadores por simple
inspección:
3′ 6′
,¡.’ ,¡.’
9; ……. enésimo
,¡. ,¡.
3(1) 3(2) 3(3) 3(n)
Luego el enésimo de la sucesión:
T= \ 2~~3 y < ! I (COndiCiÓrn_) _~ 12 Y1=6 )+2
n=2 -> Y2=8
n=3 -> y,=10)+2
Observamos: Y1; Y’l. ya; ……..
Forman una progresión r=—~
aritmética de razón 2. ¡ Rpta. D ¡
@ Dadas las sucesiones S, y S”, hallar
cuántos ténninos comunes tienen
ambas sucesiones:
S,=5; 8; 11; 14; ……. ; 122
S2=3; 7; 11; 15; ……. ; 159
A)20 B) 11 C) 12 D) 10 E)41
RESOLUCION:
Hallando los términos enésimos para:
S, =T 0= 3n+2 =3+2 =3-3+2 = 3-1
para:
S2=To=4n-1 =4-1
Los ténninos comunes deberán ser
múltiplos de:
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3:4-1 = 1’2-1
y tendrán la siguiente forma:
tk=,12k-\< 122Ásegún 8,) k<10; ......... . -+ke{l;2;3; .......... ; lO} Quieredecirqueexisten [ Rpta. D [ 10 términos comunes.. . @ En el siguiente triángulo numérico, hallar la suma del primer y último término de la fila 25. 1 3 F2 7 9 11 Fa 13 15 17 18 21 23 25 27 / A) 625 B)325 D)1250 RESOLUCION: F. C)650 E) 3000 Observando las filas impares: Suma de extremos F1:1=1~2 x2 Fa: 7 9=32 11-7+11=18 ~~ ( )2 x2 F.:21 .25=5~ 29-21+29=50 ~~ ( )2 x2 Se deduce que en la fila 25, la suma de extremos será: 2.252= 1250 I Rpta. D I ~ Hallar una fracción tal que si se le suma su cubo se obtiene el cubo de la misma fracción multiplicada por: A)3/4 B)514 C)7/4 D)1/3 E)2/7 RESOLUCION: Sea la fracción "r'. 41 Del problema: f + f3 = f3. 25 -+f+f3=f3·~f3 -+f=..1EI.f3 25 25 :.f=: [Rpta.sl @ ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta quintuplicada si se agrega a sus 2 términos su denominador? A)1/3 B)1/5 C)3/4 D)1/9 E)5/9 RESOLUCION: Sea la fracción: ~; Por condición: a+b = 5......... -+ a+b = 5 ......... b+b b b+b b -+ a+b = lOa -+b=9a . a 1 001)=9 I Rpta. D I ~ Una casa es de 2 hermanos. La parte del primero es los 5/13 de la casa y esta valorada en 800 soles. Hallar el valor de la parte del otro hermano A)208oo B) 10020 C) 11200 D)12800 E) 13000 RESOLUCION: I C I 15/13 C 1 5/8 C 1 '---y----' Le toca al primero Por condición: 1 5 3 C = 8000 -+ C = 8000 La otra parte costará: 5 8 -C =- (20800) = 12800 13 13 [Rpta. D I @ ¿Cuánto se le debe de quitar a los 2/3 de los 517 de los 6/5 de los 3/4 de 21 para que sea igual a la mitad de 113 de 2/5 de 3/4 de 14? A) 5311 00 B)69/10 C)79/10 D)83/10 E) 97/1 O RESOLUCION: 2 5 6 3 3 '7"5'"4'21 = 9; 1 1 2 3 7 2"3'5-"4'14=10 Por condición: 9-x = 1 7 0 :. x = ~~ [r:R""'p-ta.--:D--1 ~ ¿Cuál es la cantidad que debe agregarse al numerador y denominador de la fracción 4/7 para que la fracción resultante este comprendldaenlreO, 7yO,75? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 RESOLUCION: Sea la cantidad "x". Por condición: - 7 < -4+-x < -3 ~4 ~ 11 Del: 35 •• x [Rpta. el
@ Dos grifos A y B pueden llenar un
tanque en 12h. El grifoAfuncionando
solo puede llenarlo en 28h. Estando
vacio el tanque se abre el grifo
B. ¿En cuántas horas lo llenará?
A) 18h B)20 C)21 D)24 E)27
RESOLUCION:
AyBlollenanen12h
Alo llena en 28h
nB” en una hora hará:
1 1 V 12 V – 28 V=21
ENUNAHORA
lIenan:….LV
12
llena: _l_v
28
lh V
21
V
t = 21 I Rpta. e I
@ ¿Cuál es la menor fracción mayor
que 5/12 tal que al sumar veces el
denominador al numerador y veces
el numerador al denominador, se obtiene
corno numero 2?
A) 6/13 B) 10/17
D)8/19
RESOLUCION:
C)9/16
E) 7/19
Sea la fracción: -“- . donde -“- > 2.
b ‘ b 12′
P or con d”ó a+nb 2 ICI n: b+na =
-+ a+nb = 2b+na
a 2-nb
-+ a(I-2n) = b(2-n) -+ 1)= 1-2n
2-n
Del problema: 1-2n > -+ n > 95;
nml, = 10 :.~ = 1
8
9 I Rpta. D I
@ Al mirar un reloj observo que los 7/5
de lo quedaba del dla era igual al
tiempo transcurrido ¿Qué hora es?
A)6a.m. B)12a.m. C)9p.m.
D)10p.m. E)2p.m.
RESOLUCION:
H 124-HI
‘—y—-‘ ‘—v—‘
Transcurren Falta
Transcurrir
Por condición: ~ (24-H) = H
168-7H =54
168= 124
H=14h [Rpta.EI
@ Los 2/5 de un barril mas 3 litros son
de petróleo y 6/7 menos 39 litros son
de H2 O ¿Cuántos litros son de petróleo?
A) 48 B)56 C)59 D)60 E)72
RESOLUCION: t Petróleo: ~ V+3
V 1—-:-“——1
~ H20: -} V+39
Se observa que:
~ V+3+ -ª-V-39 = V
5 7
-+ ~~ -36=V
-+V= 140
-+ 9V =36
35
Me piden: Petróleo ~ (140)+3 = 59
[Rpta. el
@ Encontrar una fracción entre 2/18 y
41/52 cuya distancia al primero sea el
doble de la distancia al segundo.
A) J.1… B).R C) 49
52 52 104
D) ..!El. E) JI..
26 13
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2 x
13 52
-+X-~=2[n-xl
13 52:J
-+3x=~+n-2x
13 26
45 . 15
-+3x=Te .. x=Te [Rpta.O
~ Un vendedor compro manzanas ,
2,5 cada una. Si vende los 317 d.
ellas a 2,8 y luego los 3/5 de lo que l.
queda a 3,0; perderia hasta ese mo
mento 114 soles ¿Cuántas manzanascompro?
A) 300 B)320
D)420
RESOLUCiÓN:
Total de manzanas: “T”
VENDE
AL
.ffiEC!Q
-ª-T
7 2,8
-ª-[~+~T 5 7 35
3,0
El vendedor invirtió: 2,5 T
C)400
E)480
OBTUVO
EN DIHEBQ
~T
35
~T
35
Pierde: 2,5’T{~~ T+ : T]= 114
:. T=420 [Rpta.ol
@ Una vendedora lleva paltas al mercado
y vende la mitad de las que Ienla
mas media palta; deja encargada
la mitad de las que quedan mas
media palta; obsequia la mitad del
nuevo resto mas media palta y le sobra
todavía una ¿Cuántas paltas llevo
al mercado si no partió ninguna?
A)12 B)14 C)15 D)17 E)18
RESOLUCiÓN:
VENDE· LE QUEDA
ENCARGA ETC.
1 ro.
-N+ -1 -N –1 =N–l
2 2 2 2 2
2do.
-N-+l -1 -N-.l -1= N–3
4 2 4 2 4
3ro.
-N-+3 -1 -N-.3 -1= N–7
3 2 8 2 8
Por condición: N~7 = 1
ª :. N=15 [Rpta.cl Juan es el doble de rápido que Pedro.
Si juntos pueden hacer cierto
trabajo en 8 días ¿Cuánto tiempo le
tomará a Juan hacerlo solo?
A)9dias B) 10
D)15
RESOLUCiÓN:
Juan hace la obra en ‘n’ dias:
Pedro hace la obra en ‘2n” días:
C) 12
E)16
EN UN DÍA
l:W&tl
1
n
1
2n
Juntos en 1 día harán: ~ + _1_ =–ª-
n 2n 2n
1 dia —-ª- obra
2n
8 dias– 1 obra; :. n = 12; A
Juan le lomará 12 dias [Rpta. C 1
@ Cuál es el primer término positivo:
-641; -628; -615; ……..
A) 13 B)8 C)9 D)6 E)4
RESOLUCiÓN:
-641; -628; -615; ……
—-1-3– ——-1-3– —
Si lodos fueran múltiplos de 131endria:
-637; -624; 611; ….. ; O; 13
Restando 4 a cada lénmino lendria:
-641; -628; 615; …. ; -4; 9
!
Prim.r~iliVO [ Rpta. e 1
@ Hallarel número de lénminos:
6; 15;28;45; ….. ; 1891
A)26 B)30 C)36 D)24 E)25
RESOLUCiÓN:
C=~”6’15’28’ 45 ‘–“~~
(~)-+a+b= 5 9 13 17 ‘–‘” ‘-..-/’
(a)-+2a= 4 4 4
SUCo Cuadrática: ;:==——, I tn = an2 +bn+c I
De(I1):a=2
De(p):b=3
l,=2n’+3n+l
Igualando:
~
2n’+3n+l = 1891
2n’+3n= 1890
n(2n+3) = 30(63)
T T
ª [Rpta.B 1 Hallarel t.oen la sucesión:
6; 11; 18;27; ……
A) 1572 B)1618 C)1683
D)1596 E)1719
RESOLUCiÓN:
c=3\ 6; 11 ;18; 27; …
~’–‘” ‘–‘” ‘–‘”
(~)-+a+b= 3 5 7 9
, ‘–‘” ‘–‘”
(a)-+2a= 2 \ 2 2
Suco Cuadrática:
~=–~ I tn = an2 +bn+c I
De (11):
a=len(~):b=2
tn=n2+2n+3
40 = (40)’+2(40)+3 = 1683 [ Rpta. B 1
@ Cuál es el ténmino más cercano a
1000 en la sucesión:
+ 7; 13; 19; ……
A) 1001 B)997
D)998
RESOLUCiÓN:
C) 1002
E) 996
7 . 13 . 19
~–:………-
6 6
Como el salto (razón) va de 6 en 6;
veamos si 1000 es divisible entre 6.
1000 ~
4 166
Veamos; que no lo es, pero si es divisible
996. Luego; la sucesión que va
de 6 en 6 y son múltiplos de 6 es:
6;12;18; …. ;996;1002
si le agregamos 1 nos dará la sucesión
original:
7;13;19; …. ;997;1003
Enlonces ambos valores 997 y 1003
son igualmente cercanos al 000.
Como en las claves sólo hay uno de
ellos la respuesta será:
19971 [RPta.BI
@ Qué ténmino continua:
1 .. 3. 3 . 9. 4.7’2 ….. .
A)~ B) 1 C)~ D)2
4 5 3
RESOLUCiÓN:
E)-ª-
5
~X8X~X6X~
9 2 7 4 5~_~
[j] [ Rpta. B 1
@ Hallar el ténmino que continúa:
_3 ._4 .1_3 .-9
S • 5′ 12 ‘ 7 •….
A)~ B)~ C)20
13 12 17
D) 23 E) 24
16 16
RESOLUCiÓN:
,..-5- …,..-5-. ..,..–5- .,. ,..-5- …
-ª-.–ª-.Q.~.~
8 ‘ 10 ‘ 12 ‘ 14 ‘ 16
‘—-“” ‘—‘” ‘—“‘” ‘—‘”
2 2 2 2
‘r-R[ p-ta-. 0-‘1
@ Calcular el término que continúa:
~.~.~.~.
2 • 6′ 4 ‘ 10 , ….
A)1l B)~ C)~
6 8 10
D)1II E)~
13 7
RESOLUCiÓN:
_2 ._5 .10_ .7-
4 • 6′ 8 ‘ 10 , ….
(1’+1>.<2'+1). (3'+1). (4'+1). (5'+1) -4-'-6-'-8-'----;¡¡¡-'~ "---'"""---'"""---'"""---'"" 2 2 2 2 1 26 = 13 1 12 6 [Rpta.ol ~ Cuál es el primer término negativo: 695; 689; 683; 677; ..... A)-l B)-5 C)-6 D)-3 E)-4 RESOLUCiÓN: 695 ; 689 ; 683 ; 677 ; ..... ~~~ -6 -6 -6 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Si todos fueran mú~iplos de 6 tendríamos: 696; 690; 684; 678; .... ; 6; O; -6; .... Restando 1 a cada término tendría: 695; 689; 683; 677; .... ; 5; -1;-7 I Prim.r~og.1ivo [ Rpta. A 1 @ Qué letra continúa: R;M;Q;N;P; ..... A)O B)Ñ C)Q O)L E)K RESOLUCiÓN: ~r--.. R·M·Q·N·P·Ñ ~~. ~ Qué letra continúa: U;S;O;D;V; ..... [Rpta. S 1 A)U B)B C)Z O)X E)V RESOLUCiÓN: 5 5 5 5 5 ~~~,..-.,.~ 1 6 11 16 U S O O N E N I O I C E S E C I S I S @ Hallar la letra que sigue: B;F;I;M;O; ..... . 21 27 V V E E I I N N T T U S N I O E T E A)S B)X C)P O)Q E)T RESOLUCiÓN: B;F;I;M·O·S 7 ' 7 ' t 2~~ 7 7 '"'R[ p:=:=-:-ta--D:. :-II @ Quéletrasigue: G; H;I;G; I;K;G;J; ...... . A)N B)P C)R O)M E)S RESOLUCiÓN: I G;H; II ; 'IG-; 1-; K-'I ; IG; J; MI 7 8 9 ~~ 1 1 7 9 11 ~~ 2 2 @ Qué término continua: BA; DI; FU; HE; ...... . 7 10 13 ~~ 3 3 [Rpta. D 1 A)JE B)JO C)FU OlMO RESOLUCiÓN: E)LE vocales BA~ ~0u¿t::~-=-""""':-I C E G I [Rpta.S[ @ Qué letra COI)tinúa: W;U;R;N; .... A)K B)G C)I D)J E)H RESOLUCiÓN: W;U;R;Ñ;Q) 24 22 19 15 10 ~'---"'---" -2 -3 -4 -5 [r:R=-P"-ta.--=D"1 @ Quéletracontinúa: X;P;K;G; .... A)O B)F C)G O)E E)B RESOLUCiÓN: X;P;K;G;@ 25 17 11 7 5 '---"'---" '---"'---" -8 -6 -4 -2 ['-R=-p.,....ta.--=D"I @ Qué letra continúa: A;B;C;F;K; .... A)R B)S C)T O)P E)Q RESOLUCiÓN: A;B;C;F; K;S .j. .j. .j. .j. .j. .j. 1 2 3 6 11 20 (Suc. de Tribonacci) [r.R-=-p='ta-.-=s"l @ Hallarellérmlnoqueslgue: (A; B; 2); (C; O; 12); (E; F; 30); .... A)(G; H; 42) B)(G; H; 56) C)(G; H; 36) O)(G; 1; 40) E)(G;K;42) RESOLUCiÓN: (A·B·2)·(C·0·12)·(E·F·30)· (G·H·56) 1x~.J '3: 4'J I 5:~J ' 7~8J [Rpta. E 1 @ Qué letra continúa: U; T; C; S; ..... A)V B)N C)O O)X E)O RESOLUCiÓN: U T C S N N R I I U O E N E E S C T V [Rpta.sl @ Qué término continúa: A.E.C.K s·s'H·O····· A) ~ B) ~ C).É. O)-º- E) J::I. M N N T S RESOLUCiÓN: .!-.X.É.XCXKX.É. B B H D N éQ SI.: X2 = O,-a-b--c-d--ef x5= O,de--f--a--b-c - -- [Rpta. C 1 Además: def -abe = 429; Hallar "x· A)13 B)21 C)7 0)39 E)41 RESOLUCiÓN: Transformando a fracción se tiene: 2 abcdef rr 2 abcdef x = 99999 H 5" = delabc ' 5 abcdel x 99999 luego por O.P. -> _2 = _1. 0 .3_ _ a .. b.. c..-‘ -+ ..d.., ..,e_l _
5
2 -=
5
103 del + abc
1038bc + [429+8bC]
103 [429+abe]+abe
2 1001abc + 429 ->-=
5 429.103+100abe
858.103 +2002abe = 5005abc+2145
855855 = 3003abc -> abc = 285
Luego: del = abe+429 -> del = 714;
Reemplazando
5 = 714285 999999 = x.142857
x 999999
:. x=7 [Rpta.cl
@ Si:O,MIL(A)=O,AAM;
Hallar: M+I+L +A
A)12 B)13 C)14 0)15 E)16
RESOLUCiÓN:
Transformando a fracción:
MIL(A) AAM. Por descomposición
1000(A) 1000′ Polinómica
N.M+A.I+L AAM
A3 1000
~=A3.(AAM)
# en\ero 1000
Por teoría:
M < A < 10, además A3.(AAM) es un múltiplo de 103, solo cumple para: A = 5 ; M = 2 ; reemplazando: 52.M+5.1+L = 5 3 .(552) 1000 125.552 -> 52.M+5.1+L = 1000
25(2)+5..I¡+..L¡. = 69 -> -I = 3- ; L -= 4
34
:.IM+I+L+A=141 [Rpta.cl
@ Oos trenes tardan “a” segundos para
cruzarse cuando marchan en direcciones
opuestas, siendo sus velocidades
de ab y ba en km/h y la longitud
de cada uno es igual a 110m. ¿Cuál
es la velocidad del más lenlo en mis?
A)18 ~ B)72 ~ C)28 ~
0)45 ~
RESOLUCiÓN:
E)54 ~
Por teoría: Longitud del tren
“rdecruce
Suma de Velocidades
VA=ab~ ::j::::j::1 A I I I I
1+-110m-M
Ve= ba ~ I I I I I I B f:j:::
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a 110 ~a= 396
~(ab+ba) ab+ba
18
~ a.(a+b).11 =396 {a=4
a.(a+b) =36=4.(4+5) b=5
Velocidad del más lento:
I ab= 45 -‘l’-1 ¡ Rpta. D I
@ Un ciclista viaja por una carretera a
la velocidad constante. Parte del km.
aOb Y..’lna hora después está en el
km. aab. Si en la primera media hora
llegó al km. abO. Hallar (a+b)
A)15 B)13 C)12 D)14 E)16
RESOLUCiÓN:
e
V = t ; V cte. (M.R.U.)
Por dato:
V=abO-aOb
1/2
aab – abO
1/2
~ 2.abO = aab+aOb; Por descomposición
Polinómica.
200a+20b = l00a+l0a+b+l00a+b
18b= 1oa~ltH{~~~
:. Ia + b – 14 I “”1R p=–ta-‘D. ‘””‘I
@ En una fiesta en la que asistieron mn
chicos y nm chicas en un momento
dado el número de chicos que no
bailan es “2m-n” y el número de mujeres
que no bailan es “m+n”. Hallar
el número de asistentes.
A) 341 B)143
D)165
RESOLUCiÓN:
C)132
E)176
Se deduce que # chicos que bailan =
# de chicas que bailan.
mn-(2m-n)= nm-(m+n);
Por Descomposición Polinómica:
1 Om+n-2m+n = 10n+m-m-n
{
m=7
8.m=7.n~ n=8
Luego: mn = 78 chicos
nm = 87 chicas
:.1 #deAsistentes=165personas 1
@ Sisecumpleque:
abab, Sb(7)= cdef, ba(,)
Hallar: a+b+c+d+e+f
¡ Rpta. D I
A)19 B)20 C)21 D)22
RESOLUCiÓN:
E)24
Igualando parte decimal y parte entera
en su respectiva base se tiene:
~ ab(7) ba(7)
O,ab(7) = O,ba(,) …. 66(7) = 100(7) -+
7a+b 8b+a
~48=64
4(7a+b) = 3(8b+a) …. 28a+4b = 24b+3a
25a=20b-+5a=4b~a=4′ b=5 TLJT ‘
Luego:
abab(7) = cdef(,)~4545(7)= cdef(,)
Por Descomposición Polinómica
1650 = cdef(,~
Por Divisiones Sucesivas
‘~i&’~·–·
c = 3 ; º-=-1 ; !l.-=-!l ; f = 2
:.1 a+b+c+d+e+f=21 1 ¡rR-p-ta•-.. .,c….,1
@ Hallar un número capicúa de 6 cifras
que cumple los siguientes requisitos:
Si la primera cifra se multiplica
por 11, se le añade la segunda;
luego todo se multiplica por 11;
finalmente se añade la tercera cifra
y se obtiene 985.
A)985589 B)640046 C)816618
D)327723 E) 648846
RESOLUCiÓN:
Sea el número capicúa: abccba
(a.ll+b)ll+c= 985
a.11 2+11b+c=985
abc(11)= 985;
Por Divisiones Sucesivas
985 ~ ~985=816(11)
® 89l…!!..-

abc(11)= 816(11)~{a = 8
b=1
c = 6 ~-,—=–:.
Irca=bcc=ba~=-8-166-“–18-‘1 ¡ Rpta. C I
@ Un vendedor tiene pesas de 1 gr; 4
gr. 16gr. 64 gr •…. etc. ¿Cuántas pesas
se utilizan para pesar una masa
de 831 gr si no se posee más de 3
del mismo tipo?
A)6 B)9 C)12 D)16 E)13
RESOLUCiÓN:
Llevando 831 a base 4 se obtiene:
831 4
@207 4
~3514
@ 12 4
®@
~ 831 = 30333(4)
Luego: 3.~4+0.~3+3.~23.~ ‘+3
Se utilizan: 3 pesas de 256 gr
3pesasde 16gr
3pesasde 4gr
3 pesas de 1 gr
I 1: # de pesas = 12 I ¡r:R””‘p””‘ta.-‘c'”””‘l
@ Se desea equilibrar un peso de
5871 kg. con pesas de 1 kg. 8 kg. 64
kg. 512 kg •…… Si las pesas han de
colocarse en un solo platillo y no se
tienen pesas de 8 kg ¿Cuál seria el
menor número de pesas a usarse?
A)44 B)23 C)16 D)43 E)15
RESOLUCiÓN:
Llevando 58718 a base 8 por Divisiones
Sucesivas:
58718 8
®7339 8
@ 917 8
® 114 8
@ 14 8
®G)
58718 = 1.85 +6.84+2.83+5.82+3.8′ +
+6.8″
Se utilizan: 1 pesa de 32768 kg
6 pesas de 4096 kg
2pesasde 512kg
5 pesas de 64 kg
30 pesas de 1 kg
Obs. No hay pesas de 8 kg. entonces
se reemp/azanporpesas de 1 kg.
3.8kg<>24.1kg
I Mfnimo#de pesas =44 pesas I
¡RPta.A I
@ Utilizando una balanza de 2 platillos y
la siguiente colección de pesas: 1 gr,
10 gr. 100 gr •…. 10 gro. se pregunta:
¿Cuál es el menor número de pesas
que se pueden emplear para pesar
un paquete de 8891 gr?
A)5 B) 10 C) 18 D) 15 E)26
RESOLUCiÓN:
Llevando 8891 a base 10.
8891 =8.103+8.102+9.10’+1.10″
Llevando 8891 a cifras mínimas:
1 = 1
9-10 = 1
8+1=9-+9-10=1
8+1=9-+9-10=1
0+1 = 1
8891 = 1111 1 = 1.104-1.103-1.102- – – –
Se utilizan:
, 1 pesa de 10000 gr.} 1.’ I till
‘lpesadelgr. pa o
, 1 pesa de 1000 gr. }
, 1 pesa de 100 gr. 2doplatillo
, 1 pesa de 10gr.
:.1 Mínimo#depesas=511 Rpta.A I
8 Un automóvil sale a las 8 a.m. de una
ciudad “A” rumbo a ‘B” con una velocidad
de a(b+2) km/h. a las 9 a.m. Sale
otro automóvil de la ciudad ‘B” hacia
‘A” a una velocidad de ba km/h.
Encontrándose ambos automóviles a
medio dla en un punto equidistante
de las 2 ciudades. Hallar la distancia
entrenA”.
A)192km B)284km
D)384 km
RESOLUCiÓN:
Porteoría:e=V.t (M.R.U.)
C)342 km
E)374 km
~-km -km
V.=a(b+2)T VB=baT
A B
O ~OO~ O
8:00am 12:00am 9:00am
1—e –+—e —-1
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www com . . M atematica1
-+ e = a(b+2).4 = ba.3;
Por Descomposición Polinómica:
(1 0.a+b+2)4 = (10b+a).3
40.a+4b+8 = 3Ob+3a
37a+8=26.b
b = 37a+8 {a =4
26 -+ b=6
Luego: 2e = 2.64.3
:. I 2e =364 km I I Rpta. D I
@ En u”..Ilenal hay abe reos de kls cua·
les aOc son narcos, ab criminales,
“a” inocenles y “c’locos. SI el núme·
ro de reos esta comprendido entre
100 y200 ¿cuántos son los reos?
A)127 B)175 C)131
0)185 E)172
RESOLUCION:
Pordato: 100 a=1 d=8
b=2 e=6
c=O f=2
:.1 N=120862 1
8 Las magnitudesAy B se comparten
como muestra el gráfico: RA.I.P.B.
6 .___ _______ _AD.P.B.
:, :,
: :
b —-i—-. !
¡Sx! !
a 8 e
Hallar (a+b+c) si Sx= 24 u2
A) 17 B) 18 C)20 0)23 E)25
RESOLUCION:
Del área: Sx= 24 = 8′ b
Se va obtener. ~ b = 3
En la relación directa:
3 6
8=c~c=6
En la nación inversa:
6-a=3-8=>8=4
:. a+b+c=23 [Rpta. D I
® En un fenómeno donde intervienen
las magn~udes A y B se ha descubierto
cuando B ;, 72 se cumple que
A es D.P.B2, pero cuando B ” 72 A
es I.P. ~ (B = 72 es un punto de
enlace o continuidad) si cuando B =
9;A=40. HallarAcuandoB =216.
A)20 B)320 C)80 O) 180 E)216
RESOLUCION:
Buscando el gráfico según el enunciado
tenemos:
A AaB’
x ___ ..~.~:~_. __ ~.)
40 — ,, :: , ,,
y —–,t –., !, , , ,
-+–~~~~~–~2~;~6-+B
Primerode:A.I.P.{rB
~y=20
:.x=20·32=180
® El sueldo de un empleado es directamente
proporcional hasta los 32 anos
y de los 32 anos hasta los 40 años su
sueldo es inversamente proporcional
a su edad en adelante será del 5%
menos por cada año. Calcular cuál
será el sueldo de un empleado de 42
años si uno de 26 años gana S/.390.
A) SI. 432,56 B) SI. 346,56
C) SI. 347,56 O) SI. 345,6
E)SJ. 364,80
RESOLUCION:
Vamos a elaborar el gráfico de acuerdo
al enunciado.
Sueldo
–+~-2″‘6–3i…2–40.l.-…. Edad
De la recta (O.P.):
-x= -39-0
32 26
De la relación (I.P.):
40’y=32’x
40’y=32’480
y=384
A los 41 años tendrá 5% menos, o sea:
95
100 (384) = 364,80
A los 42 años tendrá 5% menos.
:. 19~ (384,80) = 346,56 [ Rpta. B I
® El gráfico muestra la variación de la
fuerza (F) que se debe aplicar para
producir un estiramiento (X) de un resorte.
Determinarel trabajo realizado
para estirar el resorte 16cm en Joules
si sabemos que este es directamente
proporcional a la fuerza y al estiramiento
con su respectiva constante
1/2. F(N)
4 16
x(cm)
X1
A)16J B) 1,6J C)160J
O) 1600J E)3,2J
RESOLUCION:
Del gráfico: ~ = ~
16 4
F2=20N
De acuerdo a la información del enunciado
se tiene:
(trabajo) = k
(fuerza)(estlramiento)
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Tenemos: W =?
F2=20N
x2=16cm=0,16m.
Los cuales reemplazamos en la fórmula:
W
=-:-‘-:c-=- =
20N – 0,16m
:.1 W = 1,6 Joules 1
2
‘””R”[ p-ta-.s -‘I
8 Las magnitudes A y B son D.P. para
todos los valores A y B excepto
cuando B está entre 4 a 8 donde son
1. P. Hallar el valor de A cuando B es
24 si cuandoAes 4, B es 2 y las magnitudes
son continuas.
A)4 B)8 C)12 D)16 E)24
RESOLUCiÓN:
Ubicando los valores en un tabla se
tiene:
Graficando tenemos:
A
x ._——————
~~2~4~~8—2~4~–‘B
Se tiene: ..1’1. = -±.. ~ m = 8
4 2
Luego: m – 4 = 8 – n ~ n = 4
Finalmente: –“– = –“-
24 8
x 4
“24=9
:.Ix= 121
@ En un examen de admisión a un instituto
superior donde se inscribieron
1089 postulantes se observa que
la cantidad de inscritos diariamente
era inversamente proporcional a la
cantidad de días que faltaba para el
cierre de la inscripción (excepto el último
dla en que se inscribieron 60).
Si la inscripción dura 7 dlas ¿Cuántos
se inscribieron el tercerdla?
A)72 B)87 C)105D)120 E)232
RESOLUCiÓN:
Datos:
– Inscrilospordlal.P.dlasquefaltan …. (1)
– Total de inscrilos = t 089 …. (1)
– InscriloseI7mo.dia=60 …. (11)
De(I):
(# inscrilos por dial = k
# dlas que faltan
Como la inscripción duró 7 dias, entonces:
k k k k k k
1, =6;125 ;1,4;14 “3; 15 “2; 1.=…,-
….. (111)
Sabemos que el tolal es:
r, +12+1.+ …. +1, = 1089 …………. (“,)
J<. + J<. + J<. + J<. + J<. +k+60 = 1089 6 5 4 3 2 147k = 1089 60 k=420 .'. Inscritos el tercer día: k 420 1,=4=4=105 [Rpta.cl @ Una obra se empezó con "m" obreros, a partir del segundo día se fue despidiendo un obrero cada día, hasla que no quedó ninguno para que se temninara la obra. ¿En cuántos d las se terminó la obra si la primera parte correspondiente al primer día uno se hizo un noveno de la obra? A)15 B)17 C)19 D)21 E)25 RESOLUCiÓN: Se conoce que: obra a # obreros obra a tiempo Entonces: obra k ..... (1) # obreros-tiempo Sea la obra: fal1a =-ª- ~_~A9 1/9 'A B C ........ PQ' Tiempo: 1" 2" 3" 4" ...... (t-1)" t días Obrero: m(m-1 )(m-2)(m-3) ... 2 1 obrero Reemplazando en la Fómnula (1): 1 9 A B C m-1 = (m-1 )-2 = (m-2)-1 = (m-3)-1 9 m-1 1 9 m --"-=--º- - ..... - 2-1 1-1 = = A+B+C+ .... +P+Q (m-1 )+(m-2)+(m-3)+ ... +2+1 8 9 ~1=~ (m-1)m (m-1) 2 ~ m-1 = r16~---:::-\ :. #días=t=m=17 [Rpta.sl @ Una ruedaAde 50 dientes engrana con otra B de 40 dientes, fijo al eje de B hay una rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 25 dientes. Si la rueda Ada 120 RPM. ¿Cuánto tiempo demora la rueda D en dar9900 revoluciones? A)75 B)80 C)85 D)90 E) 100 RESOLUCiÓN: 25 Graficando: A 50 dientes ".....,.", dientes ./ e 40 B 9-1:::1 D dientes- '15 ParaAy B: dientes #VA-50=#V.-40 ..... (1) Para ByC: #V.=#Vc ParaCyD: ...... (2) #Vc -15 =#Vo -25 ...... (3) Al multiplicar miembro a miembro (1); (2) Y (3): #VA -#V. -#Vc - 50 -15 = =#V. -#Vc-#Vo -40-25 #VA-3=#Vo-4 Sabemosque:#VA= 120 ~120-3=#VA-4 90=#~r.0==~ _____ -, 9900 . :. Tiempo es: 90 = 110 minutos [Rpta. El @ La atracción de un planeta sobre su satélite varia proporcionalmente a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. El cuadrado del tiempo de una revolución de un satélite sería proporcionalmente a la dislancia e inversamente proporcional a la fuerza de atracción. Hallar el tiempo de una revolución del satélite de Júpiter cuya distancia de Júpiter es a la distancia de la luna a la Tierra como 35 a 31 y la masa de Júpiter es 343 veces la de la Tierra y el período de revolución de la luna es 27 días. Dar como respuesla la parte entera del tiempo perdido. A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 RESOLUCiÓN: Del enunciado: Primero: FaM F.I.P.D2 F·02 ~~=K, ................ (1) Segundo: T2aD T2I.P.F. T2_F ~ ---¡) = K2 ................ (2) De (1)y (2) al dividir miembro a miembro se tiene: FD2 ~=...& T2F K2 D D' ~ T2 M = constante ..... (",) De acuerdo al problema tenemos los siguientes datos: --º'-=-ªª- => DJ = 35d Y DT= 31d … (3)
DT 31
_.M.t=343 => MJ= 343m y MT= m … (4)
MT 1
– T L = 27 días. Nos piden TJ = x …. (5)
Reemplazamos (3) (4) Y (5) en:
Para la 1ierra Para Júpiter
~ ~
(31 d)’ = _(;;-:3:-:5d-ó-)’_
(27)2 m x2.343m
y despejando: x = ~ t ~~ J’
: .1 x aprox. = 1 1 r:[ R=-p””‘ta-A. =->I
~ Un camión que transporta cierta cantidad
de bolsas de cemento de igual
peso tarda 16 horas en hacer su recorrido.
Con igual número de bolsas,
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
pero, teniendo cada bolsa 2 kg más
se demorará 17 horas. Si cada bolsa
es 8 kgs menos y se aumenta en 5 el
número de bolsas tarda 15 horas.
¿Calcular el número de bolsas sabiendo
que los tiempos son proporcionales
a las cargas?
A) 15 B)20 C)28 D)25 E)30
RESOLUCiÓN:
Del enunciado:
• tiempo a carga ~ tiempo = K … (1)
carga
También:
• “x” bolsas de peso ‘p’ tarda 16 horas.
• “x” bolsas de peso ‘P+2″ tarda 17
horas …… (2)
• “x+5″ bolsas de peso “P~’ tarda 15
horas.
Pero también podemos deducir que:
carga = (#bolsas )(peso de c/u) …. (3)
Reemplazando (3) en (1 ):
tiempo …. Fórmula
(#bolsas)(peso de c/u)
(11)
~= ’17 =A 15′ =k
x’p x(p+2) (x+5)(p-8)
~
(1)
De (1):.1§.=…!L “”.1§.= 17-16
P p+2 P 2
En (1) reemplazando el valor de (P = 32)
17 _ 15
x(34) – (x+5)(24)
-1 =-5 –
2x 8(x+5)
4x+20 = 5x
·-·120=xl I Rpta. B 1
@ A es D.P. a la diferencia de B y C. B
es proporcional a D. C es proporcional
a D’. Si D = 2 cuandoAes igual a
48 D = 5 cuandoA= 30 ¿Para cuántos
valores de D,Ase hace cero?
A) 1 valor B) 2 valores C) 3 valores
D) 4 valores E) 5 valores
RESOLUCiÓN:
Deldalo:
• Aa(B-C)~A=(B-C)K …….. (1)
• BaD ~B= DK, ……. (2)
• CaD’ “”C=D’K, ……. (3)
• Cuando:D=2;A=48 ……. (p)
• Cuando:D=5;A=30
Reemplazando (2)y (3) en (1):
A= (DK,- D’K,)K
A= DK,- D’K,K
A= Dq,- D’q, ……. (o/)
Sustituyendo los valores de (p) en (o/)
48=2q,-4q,
30=5q,-25q,
Al resolver el sistema se obtiene:
q,=36;q,=6
Dichos valores reemplazamos en
(o/)ysetendrá:
A=36D-6D’
A=6D(6-D)
Haciendo queAsea cero:
0=6D(6-D)
Paralocual:D=OyD=6~_~
:.1 Dtoma2valores 1 I Rpta. B l’
@ Sabiendo que “S” es la suma de tres
cantidades, la 1 ra. y 2da. Son directamente
proporcional a x y a x’ respectivamente
y la 3ra. es inversamente
proporcional a x3.
Si:x=2;S=6,125
x=O,5;S=8,750
Hallarel mínimovalorde “S”.
A)lf3 B)2 C)3 D)4 E)5
RESOLUCiÓN:
Asumamos que: S =A+B+C ….. (~)
Donde A; B Y C son la 1 ra., 2da. y
3ra. Parte respectivamente.
Pordalo:
. xA B =)(2 = K”” (A+B)=(x+x’)K1 .. (1)
K,
‘C’x3=K,,,,,C=-3 …. (2) x
Reemplazando (1) Y (2) en (~):
Parax= 1:
K,
S = 6K, +8 = 6,25 …. (3)
Parax= 2:
3
S = “K1 + 8K, = 8,75 …. (4)
Al resolver (3) y (4) se obtiene:
K, = 1; K, = 1
Reemplazando en (o/):
1
S = X2 +X+ 3 x
Sabemos que por teorra de promedios:
ma;’mg.
x2+x+1- ,–~
x3 —-“-> ~ x2 ·x·1-
3 x3
1
x’+x+-;’3 S;,3
~….:.:.X3~ ,..-__ ,
:.1 Sm;” = 31 I Rpta. C 1
@ p * q = 4p’-q Hallar. (2*7)*(3*20)
RESOLUCiÓN:
Trabajando lo que esta entre parentesis:
(2*7) * (3*20)
‘-y–” ~
i ii
i) 2*7=4(2)’-7=16-7=9
.¡ .¡
p q
ii) 3 * 20 = 4(3)3-20 = 36-20 = 16
.¡ .¡
p q
Operando los resultados:
i *ii = 9* 16 =4(9)’-16
.¡ .¡ =324-16= 3081
p q
@ Si:aAb=2a+3b.
Además: x % y = 3x-4y
Hallar(2A3) % (3.1.2)
RESOLUCiÓN:
Trabajando lo que esta afectado por
el paréntesis:
(2.1.3) % (3.1.2)
“–y-” “–y-”
i % ii
i) 2.1.3 = 2(2)+3(3) = 4+9 = 13
.¡ .¡
• b
ii) 3.1.2=2(3)+3(2)=6+6= 12
.¡ .¡
• b
i % ii = 13# 12= 3(13)-4(12) =
.¡.¡ =39-48=-91
x y
@ Si:(2x-3)*(5y+2)=4xy Hallar:7*17
RESOLUCiÓN:
Identificando valores tendremos:
(2x-3) * (5y+2) = 4xy
“-y–” ~
7 17
:.2x-3=7 5y+2=17
2x= 10 5y= 15
IX=51 ly=31
Reemplazando: 7*17 = 4(5)(3) = 60 1
@ Si:a*b=3a+b;sia;,b
a*b=a+2b;siab
ii) 1*8= 1+2(8)= 17
a ·b· es el inverso de “a-<> b=a-1
b’ a = d ~ ‘8’ es el inverso de “b’ <> a = b·’
c’c=d ~ “e’ es el inversa de ‘c’ <> e=c·’
d’ d = d ~ ‘d’ es el inverso de “d’ <> d =d·’
e jo e = d => ·c· es el inverso de -su <> e = 9,1
@) Si: .&, =3a-1
~ =2b+1
@ =4c-3
RESOLUCiÓN:
Hallar:~
Trabajando de adentro hacia afuera
~ (1)= 4(1)-3 = 1
~ W=2(1)+1 =3
~= 3(3)-1 = 81
@ Si S esta definida en la tabla:
Hallar: (AS B) q (C SA)
S A B C
A A B C
B B A C
C C C A
RESOLUCiÓN:
Operando: A S B
.¡ .¡
columna fila
El resultado será la intersección de
los valores de ambos.
S A B e S A B e
lA A B el A A B e
B B A e B B A e
e e ~ A e e e Al
ASB=B CSA=C
(AS B) S (C SA) = B S C
9 A B e
A A B C
lB B A e
e e e ~
B9C=C I
@Si: ‘ 3 5 7 9
1 3 5 7 9 1
3 5 7 9 1 3
5 7 9 1 3 5
7 9 1 3 5 7
e 1 3 5 7 9
Hallar:”Y:O en: (3 ‘5)” (1 “x) =7″9
RESOLUCiÓN:
(3*5)'(1*x)=7’9
~”’–y–‘
9 * (1 ·x) = 7
Observamos que el único valor operad
con 9 que nos de como resultado
esel7, parlo tanto:
1″x=7
Volvemos a hacer un análisis similar
y observamos que el único valor que
operando con 1 nos da 7 es 5, por lo
tanto:
x=51
@ Si consideramos “a·'” como inverso
de “a” en la tabla adjunta.
Calcular: P = [(2-1″3-1)”4-1]-1
” 1 2 3 4
1 3 4 1 2
2 4 1 2 3
3 1 2 3 4
4 2 3 4 1
RESOLUCiÓN:
Hallando primero el elemento neutro
observamos que este es 3, asr tendremosque:
1 = 1-1; 4=2·'; 3 =3-‘; 2 =4·’
Operando:
P = [(2·'” 3·’)·'” 4-‘]-‘
P = [(4 “3)-‘” 2]·1
P= [4.1 “2]-1
P= (2 “2)-‘
P=l·’ =ll
~ Si: t.j. 2 5 3
2 20 5 3
5 5 20 23
3 2 23 50
Calcular: 253 t.j. 523
RESOLUCiÓN:
Operando: 2531′.j. 523
523 t.j. Se opera de abajo hacia arriba
253 3 t.j. 3 = 50, se pone 01’0′ se lleva 5
5
5231′.j.
253
O
2
523t.j.
253
00
253t.j.
523
500
5 t.j. 2 = 5, se opera ahora con
el5 que se lleva
5 t.j. 5 = 20, se pone el ‘O’ se lleva 2
Se opera 2 t.j. 5 = 5, se opera ahora
con el 2 que se lleva
5U2 =5
@ Si: 0 =a2-9
l&I=a(a+6) Calcularelvalorde:
R=&+~ +[±]&
RESOLUCiÓN:
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
Si: [!] =a-9
Entonces: 1&]=&2-9
Perosabemosque:
1&]= a(a+6) = a2+6a
Por lo tanto: ~2_9 =a2+6a
~2=a2+6a+9
~2=(a+3)2
~=a+3
Resolviendo: & = 3+3 = 6
~ =22-9=4-9=-5
[!] =42-9=16-9=7
&=-1+3=2
Reemplazando:
R= 6+(-5)+72= 6-5+49 =50 1
@§) Si:aa#bb=bAa
xyAyx=2x+y
Calcular: (4 # 1 )+(3’8# 224)
RESOLUCION:
Operando:4 #1 = 1 A 2
Jj Jj 11 11
a8#bb=bAa
a”=4 bb= 1
a”=22 bb=1 ‘
Ahora: 1A2=2(1)+2=4
11 11
xy Ayx=2x+y
xY=1; yX=2′
Ix=11 ly=21
3’8#224=8A 9
Jj Jj 11 11
a8#bb=b a
a8=318 bb=224
a8=(32)9 bb=(2′)’8
a8=99 bb=88
la=91Ib=81
Ahora: 8 A9=2(2)+3=7
Jj Jj 11
xyAyx=2x+y
xY=8; yX=9
xY=2′ yX=32
Ix=21 1 y=31
Entonces: (4# 1)+ (3’8# 224)
~ “——y——
4 + 7 = 111
@ Si: P#Q=3P’+4
Hallar: E = (5#(6#(7#(8# …. »)))
RESOLUCION:
Observamos que si: P # Q = 3p2 +4
El valor de “Q” no interviene en el resultado,
por lo tanto:
E= E = (5#(6#(7#(8# …. ))))
JJ. ‘ v ”
P Q
:. E= 3(5)2+4= 75+4 =79 1
@ Si:a*b=a2+b2
Además:x*y=4
(x+1) * (y+1) = 8
Hallar: M = (x+2) * (y+2)
RESOLUCION:
Observamos que por definición del
operador:
X*Y=X2+y2
Perotambién:x*y=4
Por lo tanto: X2+y2 = 4
Entonces:
(x+1) * (y+1) = (x+1 )2(y+1)2
(x+1)*(y+1)=8
Por lo tanto: (X+1)2+(y+1)2=8
x2+2x+1 +y2+2y+1 = 8
Operando yordenando:
X2+y2+2x+2y=6
~
4 +2x+2y=6
2(x+y)=2
~
I x+y=11
Nos piden:
M = (x+2)*(y+2) = (X+2)2+(y+2)2
M = x2+4x+4+y2+4y+4
M = X2+y2+4(x+y)+8
‘—-r-‘ ‘-‘-y-‘-”
4 4
M=4+4+9=161
@ Si: [!!]=n2+n
Hallar Y en la siguiente expresión
six>O:
Ilx2-111 =156
RESOLUCION:
Observamos que: [!D = n(n+1)
Por lo tanto deduciremos que:
30=5(6)=5(5+1)= ~
56 = 7(8) = 7(7+1) = ITl
Por lo tanto:
156=12(13)=12(12+1)= [j]]
Tenemos en la Igualdad:
Ilx2-111 =156= [j]]
Porlotanto: Ilx2-111=12
Pero: 12=3(4)=3(3+1)= W
Entonces: x2-1 = @]
x2-1 =3
x2=4
X=2]
@9) Si: a*b=(b*a)2a.b
Hallar: (5 * 7)*(7 * 5)
RESOLUCION:
Operando en la condición tenemos:
a*b=(b*a)2a.b
Entonces: b* a = (a*b)2b.a
Reemplazando:
a* b = [(a *b)2b.a]2a.b
a* b = (a *b)4b2.a2.a.b
. . 1 _ (a * b)4
RedUCiendo. a3 b3 – 8*i-l
[a~J’= (a * b)’
a*b=-1-
ab
1 1
Ahora operamos: 5 * 7 = 57 = 35
7 *5-_1 ___ 1_
– 75 – 35
(5*7)(7*5)= 3~ • 3~ = 12~51
@ Sedefine(alb)2=c …. a=b
b>0″b,,1
Calcular: (7)(517)
RESOLUCION:
Por definición de logaritmo:
Si:Logba=c~b’=a
En el operador tenemos:
= c …. a = b’
:. = Logba
Operando:
(7)517 = 7Log75 = 5 ]
® Sisecumple:aJ.b=,1+3+~+7 ….. ,
(a+b) sumandos
H 11 (15J.13)-(12J.13)
a ar: 3
RESOLUCION:
Por definición de sumatoria:
aJ.b = 1+3+5+7 …. = (a+b)2
‘——,.——
Imparas=n2
aJ.b = = (a+b)2
Entonces tenemos:
15J.13 = (15+13)2=282
12J.13 = (12+13)2=252
Reemplazando:
282 -252 (28+25)(28-251 = 53]
3 Z
® Si “x” es N, se define:
® =2x+5; ]®] =x2+2
Hallar”a” en [!] = a
RESOLUCION:
Por definición:
® =2x+5
~=2~+5
Pero: ~ =x2+x
Entonces: 2 ~ +5 = x2+2
~ ~ X2~
2~=X2_3 ~=-2-
Por lo tanto: [!] = a
a2 -3
-2-=a
a2-3=2a a2-2a-3=0
a-3=0 a+1 =0 (a-3)(a+1)=0
a=3 a=-1
Rpta. correcta a = 3 (a E N)
a-3=0 a+1 =0
a=3 a=-1
Rpta.correcta a=3] (a E N)
~ Si ~=m2+m+1,hallareltérmino
independiente de@
A)2 8)3 C)-3 0)-5 E)-6
RESOLUCION:
@ = Cli<-2)+Y = (X-2)2+(x-2)+1 www.Matematica1.com = (x2-4x+4) + (x-2)+1 =x2-3x+@ t término I Rpta_ B I Independiente Si: 294 Calcular: 753 ~+n+í 6 1 8 n+U-í A)~ 2 B)10 C)1! D)12 E)~ 2 2 RESOLUCiÓN: 2+1+8 11 I Rpta_ C I 1 + 9 - 8 2 Si m* = m+ ~ para m;«), hallar (2*)* A)~ 2 B)~ 5 C) 25 4 D)~ 19 E) 29 10 RESOLUCiÓN: • 2* = 2+1/2 ~ 2* = 5/2 • (2*)* = (5/2)* = 5/2 + _1_ = 29/10 I t 5/2 ! Rpta. El En el conjunto P ={par, impar}, la adición es una operación intema, puesto que al sumar dos elementos cualesquiera de P resulta un elemento de P. Puedes verificarlo en la primera tabla. ¿Puedes completar la siguiente Tabla? + par impar x par impar par par impar par impar impar par impar RESOLUCiÓN: x par impar par par par impar par impar 1 Si: [2~J· = XX 1 También [±J4=mm y±"m Calcular: 0,100,200,3 0,400,500,6 Sabiendo que: x O m = : A}~ B)~ C)-ª- 5 5 5 D)~ 5 E} 0,9 RESOLUCiÓN: Si: [tr!= [[H]i=[1Jf~[1Jf=xx~x=1 Formar: != [[H]f=[tJ+~[tJ+= mx~m=t . 5 1 1 5 S,xOm=-~-O-=- 6 3 2 6 Se deduce que O = + (Adición) Por lo tanto la respuesta: 0,100,200,3 0,6 =~ 0,400,500,6 1,5 ,:5~_...., ! Rpta.B I ~ SeaF(x)=2F(x-l)Vxe Z:: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa, si F(O} = 1? A) F(3) = F(l)' F(2) B) F(l) = F(3)' F(2) C) F(3) = F(4}+F(l} D) F(2) = F(O} + F(l} E} F(4} = [F(1)]4 RESOLUCiÓN: F(O)= 1 F(l) = 2F(0) = 2(1) = 2 F(2) = 2F(1) = 2(2) = 4 F(3)= 2F(2) = 2(4) = 8 F(4) = 2F(3)=2(B) = 16 A)8=2'4/ B)2=8+4/ C)B=16+2/ D)4=1 +2 >< E)16=24/ ! Rpta. ° I @ Sea A = {D, L, M, m, J, V, S} el conjunto de días de la semana donde cada día está representado por su inicial. Definimos una operación de Ax N ..... A mediante la siguiente regia: A* n = b, donde besel día de la semana n días posterior a a. Hallar el resultado de la siguiente operación: [(L*24)*39]*100 A)L B)M C)m D)J E)S RESOLUCiÓN: • L*24=L*Ó'+3)=L*3=J (24 = '7 + 3), esto es en 24 días han pasado un número exacto de semanas y 3 días más, de modo que de L, han pasado los días M, m y J. • (L*24)*39=J*39=J*(7+4)= ~ 1 =J*4=L • [(L*24)*39]*100=L*Ó'+2)= '---------i t = L * 2 = m ! Rpta. C I @ Se define en Q una operación simbólizada por y. Se muestra algunas de las operaciones: 18y12=6 15y40=5 32y20=4 21y56= ... . 13y7=1 44y132= ... . Señalar la suma de los números que completan la tabla. A)15 B)16 C)17 D)18 E)19 RESOLUCiÓN: El operador y representa el M.C.D. de dos números. En consecuencia: 21y56=7 y 44y132=11;....._~ ~7+11=lB !Rpta. 01 § Para todo entero A, B Y para todo entero positivo M, se define: A=B(mód. M)A= M+rI\B=M+r
De las siguientes afirmaciones indique
la que es falsa.
A)20~B(mód.6)
B) 100= 1000 (mód. 9)
C) 35 = 125 (mód. 5)
D)15=1 (mód. 7)
E)16=B(mód.5)
RESOLUCiÓN:
A)20=6+2 y 8=6+2~20=8(mOd.6)
B) 100=9+1 yl000=9+1~ lOO” 1 (mód.9)
C) 35 = 5+0y 125 = 5+0 ~35 = 125 (mOd. 5)
D)15=7+1 Y 1=7+1~15=1(mOd.7)
E)16=5+1 y 8=5+3~16,,8(m6d.5)
I Rpta. El
@353 S., m8.n=m–+,nh allar258.24
m-n
A) 25 B) 24 C) 2 D) 49 E) 49/2
RESOLUCiÓN:
258.24 = 25+24 = 49
25-24 I Rpta. ° I
~ Para todo n e Z:: ; definimos la operación:
Di:: = 1-2+3-4+ …. -nsi n es par
Di:: = 1-2+3-4+ …. +n si n es impar
Hallar. ~ + 1100
A) 100 B)50 C)-50 D)O E) 199
RESOLUCiÓN:
• ~ = 1-2+3-4+ … +97-98+99
‘–,r ‘ ‘–,r ‘ ‘—y, –‘
~~ =-1-1-1-… -1+99=-49+99=50
• 1100 =1-2+3-4+ … +99-100=-50
‘–,r ‘ ‘–,r ‘ ‘—–,,- —‘ ,..—-,
.-‘~+ll00 =50-50=0 I Rpta.ol
@ En el conjunto de los enteros se define
la operación: o
~ =ma’b=(a+b)+m
Siendom12×13= 12+13+m
156 = 25+m
“‘–r-‘ ”
25+6=25+m
L…………I
:.lm=61~~=6 I Rpta.ol
156′ si0=~,caICUlar®si@=3 ~ x+2
A)2 B) 1 C)~ D)~ E)~
RESOLUCiÓN: 2 4 6
® =.ill2 …. (1)
6
si0=~ ~ @=.W:l …. (2)
x+2 4
G)=2 02 …. (3)
2
Para @ = 3 en (3): G)= 2~) = 3
Para G) = 3 en (2): @= 2~3) = 3/2
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
Para ®= 3/2 en (1):®=~=1/2
I Rpta. el
@ En el conjunto M = {1; 2; 3; 4} definimos
una operación mediante la siguiente
tabla:
+ 1 2
1 2 3
2 3 4
3 1 2
4 4 1
3
4
2
3
2
4
1
1
4
3
Según esta tabla
calcular:
E = (11j>2)~[~(41j>1)]
A)41j>4 B) 1 C)2 D)3 E)4
RESOLUCION:
E = 51 ~2),+[3~¡4~1 ~
E= 3 + [3+ 4]
E= .3 ~ ~
E= 4 I Rpta.EI
@ Para los conjuntos A, ={1}. A2 = {1.
2}.A= {1; 2; 3}.A.= {1; 2; 3; 4} …… se
define la operación AaB = (AuB) –
(MB). Hallar: (A3aA.) n (A.aA.)
A){1; 2; 3; 4; 5; 6} B){2; 3; 4; 5; 6}
C){4; 5; 6} D){4; 5} E){5}
RESOLUCION:
A3aA.= (A3UA.) – (A3nA.)
‘—-.,—-‘ ‘—-.,—-‘
A3aA.= A. – A3 = {4; 5)
A.aA. = (A.uA.) – (A. nA.)
‘—-.,—-‘ ‘—-.,—-‘
A.aA.= A. – A. = {5; 6)
.’. (A3aA.) n (A. nAo) =
={4;5}n{5;6}={5} I Rpta. E 1
@ Six3 o y2=X2+y3. hallarzen:
z 025= 134.(Ze ¡p¡+)
A)3 B)9 C)27 D) + E)~
9 RESOLUCION:
Z 025=134
({rZ)3 o 52 = 134
‘–c–‘v—-‘
({rZ)3+53= 134~({rZ)2=-;.:9~_~
~IZ=271 [Rpta.cl
@ En el conjunto M = {a. b. c} definimos
la operación interna de MxM -> M
simbólicamente por.L La tabla de la
operación .l se muestra a continuación:
.l a b c
a a b c
¿Cuál es el resultado
de la expresión
b b c a M _ a.l[b.l(c.la)]
c c a b [(c.la).lb].lc
RESOLUCION:
M a.l[b.l(c.la)]
[( c.la ).lb ].lc
M = a.l[b.lc] ~
[c.lb].lc
M = :~ = ~ I Rpta.A 1
@ Si Z:;+definimos [!j] como el número
de múltiplos positivos de 5 menores
quen.
Hallar 1901+ 11501
A)40 B)46 C)240 D) 180 E) 100
RESOLUCION:
• Cálculo de ~:
Mú~iplos de 5 menores que 90
5; 10; 15; ……. ; 85
.j. .j..j. .j.
1 x5 2×5 3×5 ……. 17×5 ~ 17#s
~~=17
• Cálculo de 11501:
5; 10; 15; ……. ; 145
.j. .j..j. .j.
1 x5 2×5 3×5 ……. 29×5 ~ 29#s
~ 11501=29
:. 1901 +11501 = 17+29=;..:4~6_-..
I Rpta.B 1
§ Si Ilaobll=X+4
Además: IX-11=x+1
Calcular: (a.b)la’b) 1 x
A)x B)x2 C)” D)xX E)2
RESOLUCION:
Si 1 x-11 =x+1 ~ 1 x-11=(x-1)+2
~=x+2 Se sabe que 11 a.b II=x+4
~=a.b+2
1 a.b+21 = aob+2+2
Ilaobll=Ja~b),+4 Por dato:
.j. .j..j.
Ila.bll= x + 4 Poranalogla.
Se deduce: a.b = x
De donde: (a.b)la’b) = x I Rpta. D 1
@ Para todo n e Z+. definimos SIn) como
la cantidad de cifras que se necesita
para escribir desde 1 hasta n.
HallarS(300).
A) 900 B)720
D)741
RESOLUCION:
C)600
E)792
S(300)~ 1;2; … 9; 10; … 99; 100; … ;300
‘—y—‘ ‘—y—‘ • , •
9#s 9O#s 201#S
U U U
9cfs. 180cfs. 603cfs.
:. S(300) = 9+180+603 =;.7..::9=-2~
[ Rpta. E 1
@ Dos técnicosAy B han cobrado 512
soles y 200 soles respectivamente.
habiendo reparado B tres computadores
menos que A. Después se les
contrató de nuevo. de modo que A
reparó las máquinas reparadas por
B en la vez anterior y B reparó las
de A. cobrando esta vez ambos la
misma suma.¿Cuánto cobran estos
técnicos por la reparación de una
computadora?
A) 64 soles y 50 soles
B) 64 soles y40 soles
C) 60 soles y 50 soles
D) 66 solesy40 soles
E) 64 soles y 56 soles
RESOLUCION:
Sea Y el número de computadoras
que reparó A. entonces B reparó
(x-3). A cobra por cada reparación
512/x y B. 200/(x-3). Al otro día A reparó
(x-3). entonces cobró 512 (x-3);
x
mientras que B reparó “J(” y cobró entonces
20
3
0 ·X. Puesto que esta vez
xambos
cobraron lo mismo. entonces:
512 200x X2 64 x (x-3) = (x-3) ~ (X-3)2 = 25
~–“–=-ª-~ 1 x=81
x-3 5
:. A cobra 512 + 8 = 64 soles por cadaunayB.
200+5=40soles.
[Rpta. B 1
@ Un comprador va a tomar un lote de
terreno con el frente a una calle; el 10-
te va a ser rectangular. y el triple de su
frente sumado al doble de su fon-120’3 = 2x(x+3)
x(x+3)
=> 12’15 = x(x+3)
=> 1 x – 121 I Rpta. el
@ Se compraron dos piezas de alam·
bre que juntas miden 120 metros.
Cada pieza de alambre costó tantos
soles como metros tiene la pieza.
Una de ellas cosió 240 soles más
que la otra. ¿Cuál es la longitud de la
pieza más grande?
A)58m B)60m
0)62m
RESOLUCION:
C)61 m
E)72m
Si Y e “y” son las longitudes en me·
tros, los costos son x2e y2, donde:
x2_y2=240
(x+y)(x·y) = 240 => x-y = 2
Yo
Luego: x+y = 120 ……. (1)
x·y=2 ……….. (2)
(1 )+(2):
2x= 122=>x=61m I Rpta. el
@!> Femando tiene en el bolsillo cierta
suma de dinero. Compra una lámpa·
ra y una cafetera, entonces le que·
dan tantos soles como cosió la lám·
para. SI quisiera comprar una cafe·
tera más, lefaltarra 10 soles. ¿Cuán·
to costó la lámpara, sabiendo que si
hubiera obtenido una rebaja de 10
soles en cada objeto, sólo hubiera
gastado 48 soles?
A) 39 soles B)29soles C)30soles
O) 58 soles E) 34 soles
RESOLUCION:
Lámpara: x x+l0=y ……………. (1)
Cafetera: y =>(x·l O)+(y·l O) = 48 … (2)
Queda:x (1)+(2)
2x-l0=48
Ix=291 [Rpta.sl
€!> Si los participantes en la reunión se
sienten de 3 en 3 sobrarían 4 bancas
en cambio si se sientan de 2 en 2,
quedarían de pie 18 integrantes.
¿Cuántos son los participantes?
A)30 B)60 C)70 0)78 E)87
RESOLUCION:
Sea “x” el número de participantes e
“y” el número de bancas. Oelos datos
tenemos:
x=(y4)3 …………… (I)
x=2y+18 …………… (2)
(1)= (2): (y4)3 =2y+18=>y= 30
En (2):
x=2(30)+18=>x=78 [Rpta. D 1
~ Aun alambre de 122 cm de longitud
se le ha hecho dos cortes. La longitud
de cada trozo es igual a la del inmediato
anterior más 1/4 de esta
longitud. ¿Cuál es la longitud del
trozo más grande?
A) 50 cm B) 60 cm
0)54 cm
RESOLUCION:
C) 62 cm
E)48cm
Cuando una cantidad es aumentada
en su cuarta parte resulta los 5/4
dela cantidad original.
5 5 r 5 J
x I 4 x I 4l4x
5 25x
=>x+4 x+16 = 122
16x+20x+25x = 122
16
61x = 122×16
1 x= 321
:. ¡ [¡ xJ= ~~ (32)= 50 cm
[Rpta.A 1
@ En un triángulo rectángulo el triple
del cateto menor excade en una
unidad al cateto mayor pero le falta
una unidad para ser igual a la hipotenusa.
¿Cuál es la longitud del cateto
mayor?
A)35 B)25 C)37 O) 12 E)24
RESOLUCION:
~ TEOREMA
Hipotenusa DE
Cateto “c’ PlTAGORAS
Menor e2 = a2 +b2
“a’ ~.:-:-:-~:::::::”.’-=—–=–:”:’–.J
Cateto Mayor
‘b”
Según el problema:
(Cateto menor)2 + (Cateto mayor)2
= (Hipotenusa)2
x2+(3-1)2 = (3x+l)2
x’+9×2·6x+l = 9×2+6x+l
X2= 12x
X.x= 12x
x = 12 (Menor)
: . Mayor = 3(12)-1 =35 If-:Rp:–ta-.A,….I
@ Un abuelo, el hijoyel nietotienenjuntos
100 anos. El abuelo dice: “Mi hijo
tiene tantas semanas como mi nieto y
mi nieto tiene tantos meses como yo
años” la edad del abuelo es:
A)40 B)50 C)60 0)70 E)80
RESOLUCION:
#desemanas = #dedias
(HIJO) (NIETO)
1 semane=7dles 1 die
~
# de meses = # de años
(NIETO) (ABUELO)
1 mes 1 año = 12 meses
~
7 Veces 12 Veces
~~
.. EDAD HIJO + EDAD NIETO + EDAD ABUELO = 100
7x + x + 12x = 100
x=5
:. Edad (ABUELO) = 12(5) = 60 años
[Rpta, el
@ En un conral se observan 3 gallinas
por cada 5 patos y 4 conejos por cada
3 patos. Si en total se cuentan 176
cabezas ¿Cuál es el número total de
patas?
A)412 B)484
0)521
RESOLUCION:
C)512
E) 544
t#de Gallinas: 9x } 3 .. #~pa¡osdabe
+ #de Patos : 15x ‘ID}» .. r~y3es~”
# de Conejos: 20x 4 MCM(5,3) = 15
Total de Cabezas=44x = 176 = 15x
x=4
..
# de gallinas # de patos # de conejos
~ =-“-= =-“-= 9×4 = 36 15×4 = 60 20×4 = 80
::. 36x!J =72 60x!J =120 80x !)=320
DONDE:
cJ .. # de patas de cada animal
:. Total de patas: I I
72+120+320 = 512 Rpta, ~
~ En una granja se tienen: palomas, loros
y gallinas, sin contar las palomas
tenemos 6 aves, sin contar los loros
tenemos 9 aves y sin contar las gallinas
tenemos 7 aves ¿Cuál es el número
de palomas en dicha granja?
A) 1 B)2 C)3 0)4 E)5
RESOLUCION: T
.-‘—,
Jc.
# de Palomas = P ~ Todos-P = 6
+ # de Loros = L + Todos-L = 9
# de Gallinas = G Todos-G = 7
Sagún,
enun- +
ciado
Todos = T = P+L +G Y 3T·P-L·G = 22
3T- (P+L +G) = 22
“—y–”
T
.. 2T=22
Pero: T-P = 6
l1-P = 6
P = 5 (Palomas)
T= 11
@ En un campeonato de ajedrez, donde
intervienen 60 jugadores, compitiendo
cada uno de ellos una sola vez, se
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observa que el número de ganadores
era igual al número de empates
¿Cuántos jugadores perdieron?
RESOLUCiÓN:
[
Por cada ganadO~
hay un perdedor
(Dato) t
~ # jugadores ganadores: x ~
+ # jugadores perdedores: x
# jugadores empatados: x
Total de jugadores: 6O=3x
20=x (perdedores)
[Rpta. D I
8 Un estante puede guardar 24 libros
de RMy20 libros de RVo 36 de RMy
15 de RV ¿Cuántos libros de RM
puede contener el estante?
RESOLUCiÓN:
Las magnHudes son el ancho de:
. 24 libros ~ 36 libros ~ ‘1 libro (RM)=a. 24a(RM) + • 36a(RM) +
. 24 libros 15 libros
• 1 libro (RV)=b. 20b(RV) • 15b(RV)
• Estante = x = 24a+20b = 36a+15b ~ ~
20b-15b ;;; 36a-24a
5b = 12a
Pero lo que nos piden “J{‘ en función
de”a”(RM)
.. x = 24a+2Ob = 24a+5x 5b
x=24a+4xI2a
x= 72a (RM)
Otro método:
RM BY
I Rpta. D I
Aumenta{ 24 20} Oisminuye
9n”12″ 36 15 9n”15-
+12 (48 10)-5
+12( )-5
60 5
+12( )-5
~
Rpta.: 72(RM)y(Ningunode RV)
[Rpta. D I
@ Elena paga por 2 pollos Y 5 pavos un
10tal de 495 pesos. Si cada pavo
cuesta 15 pesos más que un pollo
¿Cuántos pesos cuestan un pollo y
un pavo juntos?
A)120 B)105
0)95
RESOLUCiÓN:
Ponas x x
C)145
E)135
Gasto
TotaI.n:
-+–f;+15)-f—-f—(,+
Pavos x+15 x+15
.. Gasto Total =495
A
, 2x+5(x+15) – 495 ‘
2x+5x+75 =495
7x = 420
5(x+15) -loIIJ
x = 60 (Precio 1 pollo)
“60+15=75(Preciol pavo)
Rpta.: 60+75 = 135 r[R p’!–:-ta–:E. =–I
@ A los habitantes de un pueblo le corresponde
60 litros de agua diarios,
al aumentar la pobiaclón en 4 habltantes,
a cada uno le corresponde 2
litros ¿Cuántos habitantes tiene
ahora el pueblo?
RESOLUCiÓN:
# de x Raci6n =
(No–)
Total
hal>tantes por persona de agua:
Inio, x ‘\ 60
Después …
(ahora) x'” 56
.. 60x = 58(+44)
x= 1276 (Inicio)
:. Ahora:
1276+44 = 1320
SOx’\
[Rpta.B I
~ La hleroa crece en el prado con
igual rapidez y espesura, se sabe
que 60 vacas se la comerían en 25
dras y 40 en 45 días ¿Cuántas vacas
se comerían toda la hieroa en
75 días?
RESOLUCiÓN:
‘devacas ‘dedías
60 25
40 45
x 75
I : Hierba inicial
C: Crecimiento diario
Total da hierba
1+25C
1+45C
1+75C
Hierba consumida en 1 dra por una
vaca:
-1+-25C= 1-+4-5C= 1+-75-C
60×25 40×45 75x
Reemplazando: I Rpta. E I
.. x= 30 .. 8 Con 5/.16464 se han comprado latas
de sardinas, en cierto número
de cajones, cada uno de los cuales
contiene un número de latas triples
de cajones. Cada lata de sardinas,
cuesta un número de soles doble
del número de cajones. ¿Cuántas
son latas de sardinas?
A) 14 B)438 C)588 0)42 E) 196
RESOLUCiÓN:
Oato:
~[::J=x 1~2~~§.~:[~J ~~a~d=3xf x 3x – 3x
(~reOJ.J= 2xJrF.tHd~J=[~: J
[
ndúombelero d dee ~ ;—2<-x-, ' ~3x' = 6x' cajOnes Pero el Costo Total = 16464 "6x3 =16464 x3 = 2744 x=14 :. TolaldeLatas 3x2=3(14)2=588 [Rpta. C I @ ¿Cuál es el número cuyo cuádruplo sumando al mismo el igual al doble del número, más el triple del mismo? A)2 B)3 C) 1/4 0)0,5 E) Todo valor RESOLUCiÓN: Sea "x" el número: .. 4x+x = 2x+3x (enunciado) .. 5x = 5x (Igualdad) Como la expresión 5x = 5x es una igualdad entonces se cumplirá para cualquiervalorde"x". I Rpta. E I @ Preguntando a un alumno por su nota en un examen responde: si cuadruplico mi nota y resto 40 tendrra lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene? A)12 B)14 C)17 0)16 E)15 RESOLUCiÓN: Su lo que lo I Sea su nota: x para 20 { nota faltaaY 3( Cuadrupicar:4xy l~~~ A {OlsminUiren40:4X-40 lt-X M K l Laque le falta pare 20: 20-x ~ .. 4x-40 = 20-x lt-- 20----i( 5x=60 x=12 [Rpta.AI @ Lo que cobra y gasta un profesor suman 600 y están en la relación de 3 a 2. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 5a3? A)16 B)24 C)32 0)15 E)20 RESOLUCiÓN: Luego debe disminuir el gasto en 'x': ~ Cobra = 3k .. Cobra _ Gasta (después) + Gasta=2k 5 - 3 600 = 5k (Enundado al final) 120=k 31(20) 2(120)-x 5 3 3x360 = 5(240-x) 1080 = 1200-5x 5x= 1200-1080 5x= 120 x=24 I Rpta. B I 8 En un banquete, habran sentados 8 invHados en cada mesa, luego se trajeron 4 mesas más y entonces se sentaron 6 invitados en cada mesa. ¿Cuántos Invitados habían? A)32 B)64 C)36 0)21 E)96 RESOLUCiÓN: Número de Inicio #de personas por mesa 8 = (Nocambil) Total de Invitados: Bn'\ }t----+-4 = Después n+4 6 6(n+4) "8n=6(n+4) 8n=6n+24 2n=24 n=12 :. TotaldeinvHados:8n=96 I Rpta. E I ~ Son sistemas lineales: { { { ex'+X"X"X'=1 3x+4y=17; 2X,..2'X~; x,+ex .. x .. x.=a 2x-5y=-4 x ,-2x .. x .... 8 x ,+x .. ax .. x.=a' www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Un sistema. con m ecuaciones lineales y n variables o incógnitas. tiene la siguiente forma general: { 8nXn+812X;2+813X3+ ••• +81nXn = h1 a21X1+a22X~a23Xa+ ... +a2nXn = h2 a31X1+a32X~a33Xg+ ... +a3nXn = h3 a~1X1+am2Xz+-am3Xa+ ••• +amnXn= ~m donde Xi; X;Z; X3; ... ; Xn son las variables o incógnitas del sistema. - - ay(Vi = 1;m. j = 1;n) son los coeficientes. y: h,; h2; h,; ... ; h".; son los términos independientes en cada ecuación. { 2X+Y-3Z=7 8 Para el sistema: y+2z=5 x-4y+z=2 su representación será: [~ ~ ~]. [~] =[~] ó 1-41 z=2 [A:H]= [~ j -~ I i] SISTEMAS EQUIVALENTES Dos sistemas lineales. exactamente con las mismas incógnitas. se dice que son equivalentes si y sólo si la solución de una es también la solución de la otra. @ Resolverelsistema: { x-2y+z=7 3x-y-z=8 2x+y =5 Usando la matriz ampliada: [A:H] =[~ =~ -~ 1 ~]-[6 -~ ll-~J- 210505-2-9J -[~ -~ -~ -~l- O 5 -2 -9 1 -2 -3- ,i 9 5 i 5 4 i 13 - O 1 -5 i-s O 5 2 1 4 1 O O 0-3- 9 -[~ 5 5 O 4 13 O i 3] 1 ~ I-~ 5 5 O 5 1 2 Esta última matriz nos da la solución del sistema: x = 3; Y = -1; z = 2 (para lo cual. lea cada fila como si fuese una ecuación del sistema). @§) Resolverel sistema: { Xi +X2+X3+X4= O X1+X2+Xa-X4=4 X1+X2-X3+X4=-4 X1-X2+X3+X4=2 De la matriz ampliada: [A:H] =[~ ~ ~ -~ ~]- . 1 1 -1 1 -4 1 -1 1 1 2 [ 1 1 1 1 _ O O O -2 O O -2 O O -2 O O O4] _[01 -12 01 01 -400-20 2 O O O -2 Luego: x, = 1; x2=-1; x,=2;x.=-2 SISTEMA LINEAL NO HOMOGENEO El sistema lineal: A.X = H; H '" O es no homogéneo; es decir cuando la matriz de los términos independientes H no es nula. @ Resolver: {x,+ X2-X, = 1 2x1+ X2+X3=O 3x,+2x2 =1 Usando la matriz ampliada: [ 1 1-1i1]f2-2I,[1 1-1i1] [A:H]= 2 1 1 i O - 2 -1 3i-2 3 2 O i 1 fa-3f, O -1 3 i-2 (-1)f2[1 1 -111] f,-f2 [1 O 2 1- 1 ] 01-3,2 - 01-3,2 - O -1 3 i-2 f,+f2 O O O i O De ésta última. A y [A: H] tienen la misma caraclerlstica r = 2 y además n = 3 (tres variables). entonces el sistema tiene infinitas soluciones (r < n) con n - r = 1 variable arbitraria También, de las dos primeras filas, obtenemos que: x,+2x,=-1; x2-3x, = 2; haciendox,=a. resulta: x,=-2a-1 y x2=3a+2 Luego la solución general del sistemaes: x= [x,; X2; xa]'= [-2a-1; 3a+2; a]' { X1+ X2+X3 =4 @ Resolver: 2x, +5X2-2x, = 3 x,+7x2-7x,=5 Con la matriz ampliada: [ [A:H]= 21 51 -21 143 ]f2--2I,[12 1 7 -7 5 f,-f, O 31 -14 1-15 ] 6 -8 1 t~ [: 1 -¡ 1 4 5 6 -8 1 O 7 17 f,-f2 3 3 fa-6f2 O 1 4 5 5 3 O O O 9 De donde se observa que la caraoteristica de la matriz de coeficientes A en 2 y la característica de la matriz ampliada [A: H] es 3; en consecuencia el sistema no tiene solución (es INCOMPATIBLE). De la última fila se desprende que: O.x, + 0.X2+ O.x,= 9. es una ecuación que no tiene sentido. no se satisface para ningúnX={x,; X2;X,}. SISTEMA LINEAL HOMOGENEO El sistema lineal:A.x = O Es homogéneo. es decir. cuando la matriz de los términos independientes H es nula (H = O). Siendo el sistema de n incógnitas. es fácil deducir que la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada [A : O] tienen la misma caracteristica y por lo tanto el sistema siempre es compatible. { x1+2x2+3x3=O @ Resolver: 2x,+ X2 +3x, = O 3X1+2X2+ X3=O Usando solamente la matriz de coeficientesA: A = [~ 1 ~] ;:~;: [~ ~ =1] -tf2[1 2 -+- O 1 f, O 1 31 ]f'-2- f2[1O 2 f,-f2 O de donde la característica es r = 3 Y también n = 3. luego el sistema tiene solución única. la trivial: X1=X2=X3=O. REGLA DE CRAMER Dado el sistema lineal no homogéneo de n ecuaciones y n incógnitas: A.x= H (6.9) Es decir. Aes una matriz cuadrada de orden n; la condición necesaria y suficiente para que dicho sistema tenga solución única es queAsea de caraoterlstica r = n. es decir: I Al'" o. y la solución del sistema esta dada por: x -.l.&l·x _IA21. ,- IAI • 2- IAI • .X _IA,I .. X _IA,I . '-IAT····· '-IAT (6.10) { 4X1- X2+ 2X3+ X4=O 2x,+3x2- x,-2x.=O @ Resolver: 7X2- 4x,- 5x. = O 2x,-11x2+ 7x,+8x.= O Con la matriz de coeficientes: [ 4 -1 2 1] = 2 3 -1 -2 A O 7-4-5 2 -11 7 8 [ 2 3 -1 -2] f'2 4 -1 2 1 - O 7-4-5 2 -11 7 8 [ 1 -3-1- -1] [1 3- -1- -]1 , 2 2 fz-4f, 2 2 ,f, 4 -1 2 1 - O -7 4 5 - O 7 -4 -5 f.-2f, O 7 -4 -5 2 -11 7 8 O -14 8 10 www.Matematica1.com , -,1, -3 -1- -1 I,-tl, 1 O 5 1 2 2 14 14 4 5 4 5 O 1 ---- 1,-71, O 1 ---- 7 7 7 7 O 7 -4 -5 1.+141, O O O O O -14 8 10 O O O O De aquí, la característica de A es r = 2y n =4; entonces, como r< n, el sistema tiene infinitas soluciones. Además el sistema tiene n - r = 4 - 2 = 2 variables aribitrarias. Luego, de la matriz equivalente aA, se tiene que: 5 1 x,+-;¡¡-x3+-;¡¡-x,=0 y x,- ~ X3- ~ x,= O, haciendo: X3= a y x, = b resulta que: 5 1 4 5 x, = -14a --;¡¡-b yx,= 7a+7b Luego la solución general es: x= [- ~a -.! b·.i.a+~b· a· bl ' 14 4' 7 7" 'J { X1+X2+2xa=-1 @ Resolver: 2x, -X,+2X3=-4 4x1+x2+4x3=-2 Por la regla de Cramer: IAI=I~ -~ ~1=6; 4 1 4 Como lA I '" O, el sistema tiene soluciónúnica. Luego: IA,I = 1 ~ -~ -2 1 IA'I=I~ ~ IA31=1~ ~ ~ 1=6; ~ 1=12; --14 1 = -12; -2 Observe que A, se obtuvo de A reemplazando su primera columna por la de los términos independientes (H); A, al reemplazar la segunda columna por H y A3 la tercera columna también por H. Entonces· x, = -IA-,I = - 6 = 1 . IAI 6 IA,I 12 IA31 -12 X'=IAT=S=2 X3=IAT=a=-2 ~ Hallar: 1+2+3+ .................. +79 RESOLUCiÓN: Resolviendo: 1+2+3+ .................... +@ Si: Cii=7~ ~n 40 S = 79(7:+1) 7srr = 3160 1 @ Hallar: 2+4+6+ ............. +90 RESOLUCiÓN: Resolviendo: 2+4+6+ .................... +@ 2n=90 ~n ~=4i>
S =45(46)=2070 1
@ Hallar: 1+3+5+ …………. +49
RESOLUCiÓN:
S=1+3+5+ …………… +@
2n-1 =49 ~2n-l
Qn=5])
n= 25 1
S = (25)’= 625
@ Hallar: 20+21+22+ ………. +49
RESOLUCiÓN:
Vemos que para hallar la suma pedida
no podemos usar la lórmula de
suma de números naturales puesto
que no empieza en el número 1; por
lo cual le aumentaremos al principio
la suma del 1 al 19 y si le restaremos
lo mismo para que no varie el
resultado.AsI:
~+20+21+22+ … .
se suma … +49-(1+2+3+ … +19)
“——-v—–
se re …
Por lo tanto tenemos dos sumas notables
de números naturales:
(1+2+3+ …. +@}-(1+2+ … +@)
.j. .j.
n n
25 10
49(50) _ 19(20)
2 – 2
1225 – 190 = 10351
@ Hallar: 1’+2’+3’+ …………. +30′
RESOLUCiÓN:
S=l’+2’+3’+ ………… +@
n’=30′ ~n’
~=3Q)
5
S = 30(31)(61)
6
409 Hallar: 13+23+33+ …………. +303
RESOLUCiÓN:
S=13+23+33+ ……… +@
n3=203 ~2n-l
~=2Q)
S=[~1)J:210’=44100 1
@9) Hallar: lx2+2×3+3×4+ ….. +20×21
RESOLUCiÓN:
Vemos que: 1 x2+2×3+3×4+ … +20×21
7
20~x22 = 3080 1
@ Hallar: 3+6+9+12+ …….. +72
RESOLUCiÓN:
Vemos que es igual a:
3xl +3×2+3×3+3×4+ … +3×24
,3(1+2+3+ ….. +24),
v
númerodenabJralH
donde: G = 2-D
{2}:5}~
® Hallar: 0,01+0,02+0,03+ …… +0,40
RESOLUCiÓN:
Escribiendo en forma de fracción:
-1+ -2+ -3+ +4-0 100 100 100 ….. 100
Sume d. – ….. 1″”‘”‘ I 40(41)
,——->—–. —
Operando 1+2+;;0 .. +40 = 1~ =
820
= 100 =~
® Hallar: 512+256+128+64+ ….. 00
RESOLUCiÓN:
Vemos que: r= 1/2; a=512
512
S=~=_1_=1024
1_1.. 1
2 2
a a a
S=a+”2+4+8+······ 00
a
a 1
S=–1-=-1-=2a I
1– —+
2 2
Por lo tanto en la suma anterior:
S = 512+256+128+64+ ….. +00
S = 2(512) = 10241
@ Hallar:
1 1 1 1
P=4+-¡2+-¡2+ 4′ + …… 00
RESOLUCiÓN:
Aplicando la propiedad tendremos:
1 1
P = 4-1 = 3 1
@ Sintetizaren lorma de sumatoria:
4+7+10+13+ ……. +43
RESOLUCiÓN:
Observarnos que varran de 3 en 3 por
lo tanto sera de la 10rmaAx+B
4+7+10+13+ ……. +43
vV’-J’-J
3 3 3
(3xl +1 )+(3×2+1 )+(3×3+1)+ ….
…. +(3×14+1)
14
Por lo tanto sera: x~·, 3x+1
~ Sinletizarenlormadesumatoria:
2+5+10+17+ …………. +101
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www com . . M atematica1
RESOLUCiÓN:
2+5+10+17+ ……… +101
U \…..1\…..1
+3 +5 +7
\…..1\…..1
+2 +2
Vemos que como tiene 2 niveles es
de segundo grado su fórmula y será:
Ax’+Bx+C
(1 ‘+1 )+(2’+1 )+(3’+1 )+ …. +(10’+1)
Entonces sera: 10
xI·:, x’+l
@ Sintetizaren forma de sumatoria:
lx3+2×4+3×5+ …… +20×22
RESOLUCiÓN:
Dandole forma:
lx3+2×4+3×5+ ……. +20×22
\…..1 \…..1 \…..1 ‘-..-J
+2 +2 +2 +2
1.(1 +2)+2.(2+2)+3.(3+2)+ ….
…. +20(20+2)
Por lo tanto: 2Il
xI·:, x(x+2)
@ Sintetizaren forma sumatoria:
2+8+18+32+ ……….. +200
RESOLUCiÓN:
Veamos que es de la forma:
2.1 ‘+2.2’+2.3’+2.4’+ ……. +2.10′
Porlo tanto es: 10
I:2x’ x-‘
@ Hallar”x”,si:
1+2+3+5+7+ …….. +x= 15625
RESOLUCiÓN:
Haciendo x = 2n-l
,1+3+5+7+ …. +(2n-l ),= 15625
n’=(125)’
n=125
x=2n-l =2(125)-1 =2491
@)Si:
(x+l )+(x+2)+(x+3)+ … +(x+40)= 1140
Calcular: P= 1+2+3+ ……. +xx
RESOLUCiÓN:
Podemos escribir:
~+~=1140
4Osumandoe 40sumandos
20
4Ox+ 40(41) = 1140
2
4Ox+820 = 1140
40x= 320
x=320/40 .. IX=81
P = 1+2+3+ ….. +88 = 88~89) = 391 1
@ La suma de los “n” primeros números
naturales es igual a 300.
Entonces “n” vale:
RESOLUCiÓN:
Planteando tenemos:
n(n+l) = 300
2
n(n+l) =600
n(n+l) = 24×25 In=241
IT t t
@ Hallar”R”si: R=2’+4’+6’+ … +32′
RESOLUCiÓN:
Podemos descomponer así:
R = (1.2)’+(2.2)’+(3.2)’+ …. +(16.2)’
R = 1′.2’+2′.2’+3′.2’+ …. +16′.2′
Factorizando:
R= 2~l’+2’+3’+ ….. +16’t
sumadecuad~08ln”‘161
R =4 [16.~.33J = 59841
También podíamos sintetizaren forma
de sumatoria:
~(2x)’= ~4x’= 4~= 116.17.331
x”‘1 X”‘1 X”‘1l6)
= 5984
1 @ Hallar el valor de “W’ si:
111 1
W = lx2 + 2×3 + 3×4 + … + 60×61
RESOLUCiÓN:
1 1 a+b
Cuando tenemos: – + – =-
a b a.b
1 1 b-a
a-“j)= a.b
. 1 1 7+5 12
Por ejemplo: 5 + 7 = 5.7 = 35″
1 1 7-5 2
5-7= 5.7 =35″
Por lo tanto cuando tengamos en el
numerador la suma o diferencia de
los factores del denominador lo podemos
descomponerasl:
3 1 1
4×7=4-“1
-11= -1+ -1
2×9 2 9
En el ejercicio podemos escribir:
W = 1-1-+1—1+-1–1+ +1-1+-
22334···6061
Observamos que se eliminan todos
menos el primero y el @imo y nos
queda: 1 1 W= 1–+-
60 61
@ Efectuar: E=(lx3)+(2×4)+(3×5)+
(4×6)+ … +(22×24)
RESOLUCiÓN:
Sintetizando:
I”:X (X+2) = X’+2X= “I:X’+”2I:X
x=1 x”1 x=1
~ X’ = 22x23x45 – 3795
x=1 6
2~X = 2 r 22X23J = 506
x=1 l 2
E = 3795+506 = 43011
@ Se escriben los números en el orden
mostrado:
Fila 1: 1
Fila2: 3,5
Fila3: 7,9; 11
Fila4: 13,15,17,19
¿Cuál es la suma de todos los números
hasta la fila 20?
RESOLUCiÓN:
En este tipo de problemas observaremos
lo que se cumpla en cada fila o
columna según el problema, As!:
Filal: 1 91′
Fila2: 3+5=8 923
Fila3: 7+9+11 =27 933
Fila 4: 13+15+17+19=64 943
F(,¡+F(2¡+F(3¡+F(4)+ … +F(20)= 13+23+33
+4’+ … +203
[
F(,)+F(,¡+F(3)+F(4¡+ … +F(2Il) = -202X2-1J
= 210′ = 44100
@ Determinar el valor de “S” si:
1 2 3
S = 10+ 10′ + 10′ + …… 0)
RESOLUCiÓN:
Multiplicando ambos valores por 10
(denominador del primer término) tenemos:
lOS =J.Cl..+ 2(10) + 3(10) + 4(10) +
10 lO’ 103 lO’ … 0)
Simplificando:
234
lOS = 1+ lO’ + 10’+ 103 + ……. 0)
Restando: 1 OS-S
234
lOS = 1+
10
+10’+ 103 + ……. 0)
-S = __ 1 __ ..1… _ –ª-+ O)
10 lO’ 103 …… .
9S = l+fo-+~+~+ ……. ,,:
v
suma geomllMrica. decm:iente al a;J
9S = 1+1/9
9S = 10/9 S = 10/81
También veremos que:
1 234
S =-r +~+—;:a+f4 + ……. 00
S= r [1-+]’
Por lo tanto:
1 1 1
S= 10 =~=….!Q…=1O. rl _…!..] , rJl.]’ -ª1.. 81
L 10 Ll0 100
@ Hallar”W” si:
1 5 19 65
W=–¡¡+ 36+216+ 1269 + ….. 0)
RESOLUCiÓN:
Descomponiendo:
W=1 -+5- -+1-9- +-6-5 +. .. oo
2×3 4×9 8×27 16×81
W= -1–1+1—1+1–1-+1–1-+ 00 2 3 4 9 8 27 16 81 …
Agrupando:
w=.&+++t+~+ … + ,
[1 1 1 1 :1
-.[3+9+~+81+·”O») W = 1-1/2 =1/21
,~
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@ Se agrega a 42 la suma de 25 números
impares consecutivos. ¿En qué
cifra termina el resultado?
RESOLUCiÓN:
Veamos que cada 5 números impares
consecutivos:
…. 1+ …. 3+ …. 5+ …. 7+ …. 9= …. 5
Si son 25 impares esto se repite 5
veces
5( … 1 + … 3+ … 5+ … 7+ … 9 = 5( … 5)= … 5
42+ …. 5= …. 7
@ Hallar “x”si:
x+(x+4 )+(x+8)+(x+ 12)+ … +5x = 720
RESOLUCiÓN:
Descomponiendo: 5x =4+4x
x+(x+4)+(x+8)+(x+12)+ ………. +(x+4x) = 720
Agrupando:
x+x+x+x+ … +x+4+8+12+ … +4x
,x+x+x~x+ … +xt4(1 +2+3+ … +x)=720
(x+1)veces
2
(x+l)x+ #~1) 720
(x+l )+2x(x+l) = 720
3x(x+l) = 720
x(x+l) = 240
x(x+l)=15.16
IT t t Ix=161
@ Dado que:
(1 +2+3+ … +n)(2+4+6+ … +2n)= 6050
Determinar: A = n2 +n-l
RESOLUCiÓN:
~1+2+~+ … +nl(2+4+6: … +2n)=6050
tn(n;1 ~ In(n+l)] = 6050
[n(n+l)]2 = 1200
[n(n+l])2= 1102
n(n+l)=110
n(n+l)=10.11 1 n-l01
IT t t
A= n2+n-l = 102+10-1 = 1091
@ Un caño malogrado gotea un dra 63
gotas y cada día que transcunre a
partir de ese dia gotea dos gotas menos
que en el dia anterior. ¿Cuántos
dias goteará el caño y cuántas gotas
dará en total?
RESOLUCiÓN:
Gotea: 63+61 +59+57+ … +3+1
Osea: 1+3+ …. +61+ @
2n-l =63
2n=64
~2n-l
1 n=321 qTotaldedras
Total de gotas = n2 = (32)2 = 10241
@ Pienre y A1exander leen una novela
de 3000 páginas, Pierre lee 100 páginas
diarias y Alexander 1 O páginas
el primer dra, 20 páginas el segundo
dra, el tercer dra y asr sucesivamente.
¿Después de haber lerdo cuántas
páginas coincidirán?
RESOLUCiÓN:
n = número de dias que transcurren
Pierre lee”l OO’ páginas
A1exanderlee: 10+20+30+ … +10n=
= 10(1+2+3+ … +n)
10(1+2+3+ … +n)= 100n k[ n(n;l)J= 100n
5n(n+l) = 100n
100n
n+l =–
5n
n+l = 20 1 n = 191
P = 100×19 = 1900
r19J1il A= 10(1+2+ … +19)=10 l-2-r 1900
@ Determinar la suma de las Infinitas
áreas que se forman (incluyendo la
del primer cuadrado) al unir los puntos
medios de cada cuadrado.
A2 A2
A — A2+2 -+4- +. …… —
S=2A2
@ El histograma muestra el transporte
público en el área metropolitana
450
400
350
300
250
200
150
100
50
o Subterráneo o Tren eléctrico
1992 1993 1994 1995 1996 1997
¿A cuántos millones de soles asciende
el número total de boletos
sobrados desde 1992 hasta 1997
incluye?
A)41xl02 B)13xl02 C)13xl02
D)17xl02 E) 19×102
RESOLUCiÓN:
Sumando los totales de boletos cobrados
durante los años (6) pedidos.
En 1992: 300millones
En 1993: 325millones
En 1994: 350millones
En 1995: 350millones
En 1996: 325millones
En 1997: 250millones
Total : 1900 milones I Rpta. E 1
@ El gráfico muestra el presupuesto de
una empresa durante los años indicados:
Presupuesto anual (millones de solos)
1,0
f’
V 0,5
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
¿Cuál fue el aumento
desde 1985a 1991?
porcentual
A) 4% B)8%
D) 125%
RESOLUCiÓN:
C)50%
E) 200%
El presupuesto creció desde 0,4 millones
en 1985 a 0,9 millones en 1991
es decir aumentó en: 0,9 – 0,4 = 0,5
millones.
En porcentaje será:
0,5 xl00% = 125% [ Rpta. D I 0,4
436 ¿Cuál de los siguientes montos es el
mejor estimado de las ventas anuales
de dicha compañia?
A) 5/.6’000,000 B) 5/.1 0’000,000
C) 5/.35’000,000 D) 5/.70’000,000
E) 5/.300’000,000
RESOLUCiÓN:
Para los meses fijos (según gráfico):
Enero: SI. 4’000,000
Junio: SI. 6’000,000
Agosto: SI. 6’000,000
Noviembre: SI. 8’000,000
Diciembre: SI. 10’000,000
5/.34’000,000
Febrero: SI. 5’500,000
Marzo:
Abril:
Mayo:
Julio:
Octubre:
SI. 5’000,000
SI. 7’000,000
SI. 5’750,000
SI. 7’000,000
SI. 5’000,000
5/.35’250,000
Las sumas parciales dan un “aproximado’
para 5/.70’000,00;.;0.::—–:,..,
I Rpta. D I
@ El siguiente diagrama ha sido elaborado
con las estaturas en centímetros
de un grupo de jóvenes.
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
f,
: ————————————–T –1
i Estatum
, (en cm)
120 130 140 150 160 170 160
Calcular cuántas personas tienen
estaturas entre 135cmy 165 cm_
A)26 B)6 C)8 D)10 E)12
RESOLUCION:
Llevando los datos a un cuadro de
distribución de frecuencias.
t, f,
[120-130) 3
[130-140) 4
[140-150) 3
[150-160) 2
[160-170) 6
[170-180) 2
N =20
,—-L, ,—-L, ,—-L, ,–L,
• I I l’
130 1’40 150 160 1 170
~ ~ x y
x 4 20
5 140-130 ~x=1O …. x=2
y 6 15_
5 170-160 ~y=5 …. y-3
x+y+3+2 = 10 [Rpta. D I
@ De acuerdo al gráfico:
Candidato A
Total = 2500 personas
Candidato B
Total = 1800 personas
¿Qué cantidad de personas de Miraflores
y San Isidro votan porAo B?
A) 1545 B) 1630 C) 1730
D)1910 E) 1982
RESOLUCION:
Para el candidato A:
100% -2500}~x = 2500×40%
35% – x 100%
x = 1000
Para el candidato B:
100%-2500}~x= 2500×35%
35% – x 100%
x= 630
Para Miraflores y San Isidro, el número
total de personas que votan
porAoBserá:
1000+630 = 1630 [ Rpta. B I
N° de personas
800
700
600
500
400
300
200
100
O
en miles
Taxi Combi Microbús
¿Cuál es la diferencia del total de
niños que viajan en microbús con
el total de adultos que viajan en
combi?
A) 150 B)200
D)400
RESOLUCION:
C)300
E) 1000
De los diagramas:
El total de ninos que viajan en microbús
es 600.
El total de adultos que viajan en
combi es 400.
La diferencia es:
600-150 = 200 [Rpta.B I
@ El gráfico muestra la variación en el
consumo de leche para determinados
anos.
Milas de litros
20
10 ———-e-
CO e- r-
90 In Ano
94 95 96 97 98
¿En qué porcentaje del total representa
lo consumido en 1995?
A)17,6% B)19,2% C)22,1%
D)23% E)25%
RESOLUCION:
El total de miles de litros consumidos
estará por la suma del consumo
parcial por año.
Esta suma será:
90+100+110+120+100 =520
Luego:
120, ¿qué porcentaje es de 5207
P%de520= 120
.Lx 520 = 120 P _ 100×120
100 => 520
:. P=23% [Rpta.DI
Producción de alim ntos (millones)
20 … ! V, ! ” l’..! ¡./ Azúcar
10 7, , , ” ” Anos
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
¿En qué ano se mantuvo la máxima
producción de los tres alimentos?
A)91 B)93 C)94 D)96 E)98
RESOLUCION:
Observando detenidamente los ‘picoso
de los gráficos vemos que el año
en cuestión es 1993. [ Rpta. B I
® De acuerdo al cuadro sobre estado
de vida.
CUADRO DEL COSTO DE VIDA
1990 1995
TOKIO 180 200
FRANKFURT 170 165
NEWYORK 100 100
LIMA 85 65
MADRID 85 95
WASHINGTON 150 155
¿En cuál de las ciudades aumenta
más en porcentaje el costo de vida de
1990a 1995?
A) Tokio B) Frankfurt C) NewYork
D) Madrid E) Washington
RESOLUCION:
Para Tokio: Si: ~~5 = !OO%}
=>x = 15×100% 81%
185 ‘
Para Madrid: Si: ~~ = ~OO% }
=>x = 10×100% = 1176%
85 ‘
Para Washington’ Si· 150 .. 5 –1×00 %}
=>x = 5×100% = 3 33%
85 ‘
I Rpta.: En Madrid I I Rpta. D I
® El gráfico muestra la asistencia para
verjugara 3 equipos.
Millones Asist.
¿Algún año dos de los equipos igualaron
en cantidad de aficionados
asistentes para ver uno de sus encuentros
deportivos?
A) 84 B)85
D)87
RESOLUCION:
C)86
E) N.A.
Se puede apreciar en la gráfica, que
ninguno de los 3 equipos, 2 a 2 igualaron
su cantidad de aficionados.
[Rpta. El
www.Matematica1.com
Los ingresos revertidos a la investigación
para cada rubro; (para los
años 1985-1990). El rubro al cual le
fueron revertidos todos sus ingresos
por motivo de exportaciones para
ser usados en investigación fue:
A) mineria B) otros
C) pesca D)Agro-industría
E) Industria manufacturera
RESOLUCiÓN:
Por inspección de los dos gráficos,
observamos que esAgro-lndustria.
I Rpta. D I
@ La ojiva mostrada indica las frecuencias
absolutas acumuladas correspondientes
al ingreso diario (en soles)
de cierto número de empleados.
N” de
empleados
80 ………………………………….. .
70 .. _ …… _ …… _ …… _ …… _ ..
60························
109″”‘”
10 20 35 O 60 70
¿Cuántos empleados ganan entre
5/.20 Y S/.50?
A)21 B)23 C)28 D)40 E)45
RESOLUCiÓN:
Llevandolo a un histograma:
10
20 35 40 ~~O~ 60
Luego: 15+20+5 =40 I Rpta_ D I
1987 1988
De acuerdo a los gráficos. ¿En cuánto
varía lo destinado a salarios del
año 1987 al año 1988?
A)Aumenta en 96000
B)Aumenta en 960000
C) Disminuye en 84000
D) Disminuye en 960000
E) Novarra
RESOLUCiÓN:
• Para 1987: 1~Ox12,OOOOOO=204000
• Para 1988: 1~ x12,OOOOOO=204000
11 = Variación = 3000000 – 240000
= 960000 I Rpta. B I
@ El gráfico muestra la variación de la
temperatura en 3 ciudades del planeta:
¿Entre qué horas las temperaturas
de las ciudades A y B se mantuvieron
constantes y en el mismo valor?
A)2pm,3pm B)10am,3pm
C)9am,3pm D)l pm,3pm
E) N.A.
RESOLUCiÓN:
Entre las 2 y 3 pm
conT” =30″ I Rpta.A I
~ Dos recipientes contienen 9 y 5 litros
de alcohol de 40″ y 88″ respectivamente,
se agrega cierta cantidad
de alcohol puro en uno e igual
cantidad de agua en el otro, resultando
alcoholes de igual grado en
ambos recipientes. ¿Cuántos litros
de agua o alcohol se agregaron a
los recipientes?
A)8t B)6t C)5t D)4t E)3t
RESOLUCiÓN:
Grafiquemos los recipientes:
n 2″) 9 0
” 9 8

De donde observamos que para
que tenga igual pureza al primer recipiente
agregamos “n”litros de alcohol
puro para elevar su pureza y en el
segundo recipiente agregamos “n”litros
de agua para bajar su pureza .
Luego: en el primer recipiente:
Volumen Purwza Valor
9 40 360
n 100 100n
9+n gm 360+100n
360+100n
De donde: gm = 9 ……. (1)
+n
En el segundo recipiente:
Volumen Purwza Valor
5 88 440
n O O
5+n gm 440
Igualando (1) Y (2) por dato:
360+100n 440 =
9+n 5+n
Al restar los antecedentes y consecuentes
se tiene:
360+100n 440
=
9+n 5+n
Simplificando tenemos:
(5n-4)(n+5) =88= llx8
Igualando factores se tiene:
n=3 ~ _ ~ I Rpta. El Se debe agregar: n = 3 t
@ Un comerciante compra dos costales
de café de calidades diferentes, cada
uno pesa 150 kg Y pagó por todo
SI. 630 mezcla de la primera y la segunda
en cantidades como 4 a 1 vendiendo
esta mezcla a 5/.2,444 el kg.
Si gana en esta venta el 10%. Calcular
la diferencia de precios de los costales.
A) SI. 42 B) SI. 63
D)S/.45
RESOLUCiÓN:
C)S/.8
E) SI. 30
Vamos a suponer que SI. a y SI. b son
los precios de los ingredientes por
Kilo por lo cual planteamos:
150(a+b) =630
a+b=4,20 ……….. (1)
Como al mezclar en la proporción de
4 a 1 la primera y segunda, el precio
de venta es 2,244 con una ganancia
del 10%.
~Pm+l0%Pm=2,244
Pm = 2,04 ……… (2)
Además dicho precio medio se obtiene
de la regla de mezcla directa.
Volumen Purwza
4 a
1 b
5 Pm= 2,04
~ 4a+b =204
5
4a+b = 10,20 …………. (3)
Valor
4a
b
4a+b
Al resolver (1) Y (3) se obtiene:
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www com . . M atematica1
a=2yb=2,20
:, Diferencia = lS0(b-a) = 150(0,20)
=5/.30 I Rpta. El
Sa mezclan 70 t de alcohol de 93·
con 50 t69%, a la mezcla se extrae
42 litros Y se reemplaza por alcohol
de n·, resullando una mezcla que
contiene 28,8 litros de agua. Oeterminar-
n-o
A)69· B)65· C)80· 0)35· E)63·
RESOLUCION:
En la primera mazcla tenemos:
Volumen Pureza Valor
70<>7 93-69=24 O
50<>5 69-69=0 O
12 gm-69-? 168
168
~g m -69= 12 =14
gm= 83·
Los 120 ttienen una pureza de 83· si
retiramos 42 tel restante que es 78 t
tendrá la misma pureza es decir 83·.
En la segunda los Ingredientes son:
1·) 78 t de 83· del cual
VOH puro = 83% (78 t) Y
VH20 = 17% (78)
2·)42tde n· del cual
VOH puro = n’lo (42) y
VH20 = (1 OO-n)% (42)
Luego el volumen total de agua es:
17%(78) + (1 OO-n)’Io (42) = 28,8
17%(78)+420042n = 2880
:, n =63· I Rpta. El
En un recipiente hay 40 tde alcohol
de 60· del cual es extraído 10 t Y
reemplazado por agua, pero nuevamente
se extrae 15 t de mezcla y
reemplazado por alcohol puro ¿Cuél
es el grado de la mezcla alcohólica
final?
A) 45· B)6S, 625· C)S7,12S·
0)71,2S· E) SS, 12S·
RESOLUCION:
Del enunciado notamos que el volumen
total es 40 tluego tenemos:
1·)A1 extraer los 10 Lt. quedarán 30
Lt. De 60· que se va a mezclar
con 10 t de agua cuya pureza es
O·. Ahora vamos a detenninar la
pureza de la nueva mazcla.
Volumen Pureza Valor
30<>3 60 180
10<>1 O O
4 gm= 180 =4S·
4
180
La nueva mezcla es de 40 I de 4S· de
pureza.
2·)Oe la nueva mezcla al extraer los
15 tqueda 25 tde 45· que se va a
mezclar con lS t de alcohol puro
de 100· de pureza.
Luego por regla de mezcla inversa:
Volumen Pureza Valor
2S<>S 4S4S=0 O
IS<>3 10045=55 165
4 gm4 5-? 165
, 4S 165
~gm 8
g’m= 45 = 20,625
:_ g’m=6S,625 I Rpta.B I
¿Qué porcentaje se ganó al vender
una mezcla de tres tipos de café: 50
Kilos de café 5/.42 el Kilo. 60 Kilos
de café de 5/.4,3 el Kilo y 20 Kilos
de café de 5/.4,8 el Kilo. Si en total
se obtuvo SI. 637,32.
A) 12% B)10% C)II%
0)13% E)15%
RESOLUCION:
Oalos:
Canlldad PrecIoxKIo Gu10 Parcial
50 SI.4,2 -+ 5/.210
60 5/.4,3 -+ SI. 258
20 5/.4,8 -+ SI. 96
El coslo Iolal es: SI. 564,00} ( )
Precio de venia es: 5/.637,32 –
La ganancia será: 5/.73,32
Ganancia es:
7;é!2 xl00%=13%delcoslo I Rpta. D I
Se tiene dos sustancias A y B de
precios diferentes. Si de A se loma
el triple de lo que se loma de B el
precio de la mezcla es 24 soles
cada Kilogramo. ¿Cuál será el precio
de la mezcla si las cantidades
mazcladas de Ay B son Iguales?
A)2O B)3O C)28 0)15 E)19
RESOLucION:
Sean a y b los precios por clKilo de
los ingredlenlasAy B.
En la primera mezcla:
Volumen Precio Valor
Sust.A 3 a 3a
Sust.B 1 b b
4 Pm=24 3a+b
De donde:
3a+b = 40 (24) = 96 …. … (1)
En la segunda mezcla:
Volumen Precio Valor
Sust.A 1 a a
Sust.B 3 b 3b
4 Pm=34 a+3b
Del cual:
a+3b = 4(32) = 128 ……. (2)
Nos piden una mazcla con las siguientes
condiciones:
Volumen Precio Valor
Sust.A 1 a a
Sust.B 1 b b
2 Pm’= ? a+b
Del cual debemos hallar:
Pm’ = a+b ……. (3)
2
De (1) Y (2) sumamos miembro a
miembro.
4a+4b = 224
a+b=56
Al reemplazaren (3) se tiene:
Pm’= a+b = 58 =28
2 2 ~-,–=–
IRPta_C]
@ Se mezclan volúmenes de alcohol de
60·,40· Y 30· obteniéndose un volumen
de alcohol de 37.5·. SI se sabe
que el volumen del alcohol de 60· es
la tercera parte del volumen de 40·.
Hallar el porcenlaje que representa el
volumen de alcohol de 30· del volumen
total de la mezcla.
A) 60% B)40%
0)37,5%
RESOLUCION:
Volumen Pureza
n 60-30=30
3n 40-30=10
V 30-30=0
4 37,S-30=7,5
Se cumple:
~ (4n+V)7,5 = 60n
4n+V=8n
V=4n
Siendo el volumen Iotal:
n+3n+V=8n
C)50%
E) 62,5%
Valor
30n
30n
O
60n
, V ‘In
• • 8n xl00% = 8n xl00% = 50%
I Rpta. el
@ Si se mezclan dos clases de frijol en
la proporción de 2 a 3 se vende ganado
al8% pero si se mezclan en la proporción
de 3 a 2 se vende ganando el
12%. Si el precio de venia en los dos
casos fue el mismo. Hallar la relación
entre los precios de costo de cada tipo
de frijol.
A) 6/5 B)27/28
O) 11112
RESOLUCION:
C)7/8
E) 2/3
Si “a” es el precio unitario del primer
ingrediente yObO es el segundo precio
unilario del segundo Ingrediente.
o En la primera mezcla:
CantlUdes Precios CooID
hn:illl
2 a 3a
3 b 2b
5n Pm,= 2a+3b
5
2a+3b
yel precio de venta es:
108% [2a;3b J ……… (a)
o En la segunda mezcla:
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3
2
Precios
a
b
COIIo
Parcial
3a
2b
5n Pm2 = 3a+2b 3a+2b
5
Su precio de venta es: t 3a;2b j … (~)
Por dato igualamos (a) y (~):
108% t 3a;2b} 112% t 3a;2bj
a 27 .. b=Ta [Rpta.BI
@ Se mezclan ingredientes de SI. 10 Y
SI. 20 precio unitario en la proporción
de “a” a “b”. Si se mezclan en la
proporción de bla el precio unitario
resultante sería 50% mayor. Hallar
aIb.
A) 1/4 B)4/1 C) 1/3 D) 3 E) 1/5
RESOLUCiÓN:
En la primera mezcla:
a:10_Pm ……. 20-Pm …… (a)
b:20……. -Pm-10

a+b 10
En la segunda mezcla el precio medio
es 50% mayor osea es 1 ,5 Pm.
a: 10_
Pm
……. 20-1 ,5Pm …. (a)
b:20……. -1,5Pm-10

a+b 10
De (a) y (M notamos que el total
(a+b) es proporcional a 10, entonces
De (a) a es proporcional (20-Pm)
De (p) a es proporcional a (1,5 Pm-
10). Luego podemos afirmar que:
1,5Pm-10=20-Pm
2,5Pm=30
Pm=12
Al reemplazaren (a) se tiene:
a 20-Pm 20-12
.. b = Pm-10 = 12-10 =
=8- -4-
2 [Rpta. B I
@ Se quiere llenar un tonel con tres ciases
de vino de SI. 12, SI. 14 Y SI. 15
el litro y un litro de agua por cada 20
litros devino, y porcada litrodeS/.12
tres de 5/.14 y 16 de 5/.15. ¿Cuántos
litros de dicha mezcla se deberán
tomar tal que al mezclarse con 62 t
de vino de 5/.19 se obtenga una
mezcla que se vendió en 5/.20,4 el
litro ganado un 2%?
Volumen
K<>1
3K<>3
16K<>16
K<>1
21K<>21
Precio
5/.12
5/.14
5/.15
O
Pm=?
Del cual: Pm = 2:
1
4 = 5/.14
Valor
12
42
240
O
294
• Para la segunda mezcla se tiene:
21 K litros de 5/.14 el litro
60 litros de SI. 1ge1litro
De donde: Pm’+20% Pm’ = 20,4
Pm’=S/.17
21K:14_
17
……. 2
60: 19 — -3
t I
Por 20
:. VroTAL = 21 K =2×20 = 40 litros
I Rpta.B I
@ Se mezcla café de 5/.24, 5/.36 y
5/.30 al tostarlos ocurre una merma
de 20% vendiendo el Kilo de café
tostado 5/.53,2 con una ganancia
del 40%. Si del segundo
ingrediente hay 10Kg más que el
primero y a su vez es la tercera
parte del tercero. Hallar la cantidad
de café sin tostar.
A)150Kg B)140Kg
D)120Kg
RESOLUCiÓN:
C) 132 Kg
E) 170 Kg
Como el Kilo de café tostado se
vende en SI. 53.2 ganado el 40% se
tiene:
Pc+40%Pc=53,2
Pc = 5/.38 el Kilo
Pero dicho precio por Kilo es después
de la merma del 20% y para
hallar el precio por Kilo antes de la
merma, aplicamos la siguiente regla
de tres:
Pello
1 Kilo
0,80 Kilo
(O) 80
Precio
5/.38
P
~P= 100 (38)=
Dicho precio es el precio medio antes
de la merma, entonces por regla
Cantidades
n-10
n
3n
5n-10
Precios
24-24=0
36-24=12
30-24=6
30,4-24=6,4
Costos
o
12n
18n
30n
OJO: Hemos restado 24 para anularel
(n-10)
(5n-1 0)(6,4) = 30n
n=32
:. La cantidad inicial es: I Rp A I
5n-10 = 150 Kilos . ta. .
@ Se tiene alcohol de 15′, 16′ Y 18′ de
pureza, cuantos litros habrá que
tomar de cada uno de ellos para obtener
una mezcla de 36 Litros si
luego de esta mezcla se adiciona
alcohol puro y se obtuvo alcohol de
20,4′ aumentando en 20′ su pureza.
Sabiendo que la relación inicial
entre el alcohol de 15′ y 16′ es como
2 a 3. Hallar la mayor diferencia
entre dos de sus volumenes.
A)17 B)12 C)9
0)21 E)15
RESOLUCiÓN:
Sea gm la pureza de la mezcla antes
de agregar el alcohol puro.
Según dato:
gm+20% gm= 20,4
gm= 17′
Además la mezcla inicial es 36 t de
los cuales:
VOHde15′ 2 =
VOHde 16′ 3
De donde vamos a suponer que:
VOHde 15′ = 2V
VOHde 16′ = 3V
VOHde 18′ = 36-5V
Luego por regla de mezcla directa:
Volumen Pureza Valor
2V 15-18= -3 -6V
3V 16-18= -2 -6V
36-5V 18-18 = O O
36 17-18 =-1 -12V
2
~3 =-1 ~V=3
Los volúmenes son: 6 t; 9 ty 15 t
:. La~ayordiferenciaes:[ Rpta C I
9 Litros. •
~ Hace 6 años la edad de un tío es 8 veces
la de su sobrino; pero dentro de 4
años sólo será el triple.
Calcular la suma de sus edades.
A) 56 años B)48años C)64años
O) 52 años E)42 años
RESOLUCiÓN:
Hace 6 años las edades eran:
Edad del sobrino = x
Edad del tia = 8x
_6 – Actual llonIro do Tlo 8x 8x+6
SOBRINO x x+6
+6 +4
Por condición del problema:
8x+10=3(x+10)
8x+10=3x+30
x=4
4 aftoo
8x+10
x+10
Edad del tia =8(4)+6=38años
Edad del sobrino =4+6 = 10años
Suma de edades: 38+10 = 48 años
[Rpta. B I
@ 101 tiene la edad que ella tenia cuando
él tenia la tercera parte de la edad
que ella tiene. Si ella tiene 18 años
más de lo que él tiene.
¿Cuántos años tiene ella?
A)54 B)36 C)45 D)63 E) N.A.
RESOLUCiÓN:
Digamos que “IOL’ tiene: x años
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entonces “ELLA” tiene: (x+18) años
Como el problema dice: “~L” tiene
la edad que ELLA tenía, entonces
ELLAtenia: xaños.
Pero en este mismo pasado, él tenia
la tercera parte de la edad que ELLA
tiene, entonces ~I tenía: (x+; 8) años
Pongamos estas edades en sus
respectivos casilleros, tal como se
muestra en el cuadro que sigue:
Tenias Tlen ..
~L x+18 x
3
ELLA x x+18
Ahora bien, la DIFERENCIA DE
EDADES entre 2 personas, en cualquiertiempo,
siempre es el mismo.
x+18
x- -3- = (x+18)-x
Resolviendo:
x=36
Entonces ELLA tiene x+18 = 54 años
[RPta.A I
@ Yo tengo el doble de tu edad, pero él
tiene el triple dela mia.
Si dentro de 6 años tú edad sumada
a la mía es 18 años menos que la
edad de él. ¿Qué edad tengo?
A)12años B)14años C)18años
D) 24 años E)16años
RESOLUCiÓN:
Edades actuales son:
EdaddeTU=x
Edad de YO = 2x
Edad de ~L = 3(2x) = 6x
Actual Dentro ..
6~
YO 2x 2x+6
TU x x+6
~L 6x y
Por condición del problema:
(2x+6)+(x+6) = y-18
De donde: y = 3x+30
Por diferencia de edades entre TU y
~L se obtiene:
6x-x = y-(x+6)
5x = 3x+30-x-6
Resolviendo: x = 8
Luego, Yo tengo = 2(8) = 16años
[Rpta. El
@ Las edades de 3 hermanos hace 2
años estaban en la misma relación
que: 3, 4 Y 5. Si dentro de 2 años serán
como: 5, 6 Y 7 ¿Qué edad tiene el
mayor?
A)8años B) 12años C) 14años
D) 18años E)6años
RESOLUCiÓN:
Por dato, las edades hace 2 años
fueron:
A=3x
B=4x
C=5x
Colocando estos datos en el cuadro
que sigue obtenemos:
H-aco2 Actual DonIrodo 21ftOl
A 3x 3x+2 3x+4
B 4x 4x+2 4x+4
C 5x 5x+2 5x+4
Dentro de 2 años, las relaciones
son como: 5, 6 Y 7 es decir:
3x+4 = 4x+4 = 5x+4
5 6 7
De las dos primeras ecuaciones,
obtenemos:
6(3x+4) = 5( 4x+4)
18x+24=20x+20
2x=4~x=2
Edad del mayor:
[ Rpta. B I 5x+2=12años
Hace 5 años las edades A y B estaban
en la relación 9:1. Actualmente
la relación es 5: 1 ¿Dentro de cuánto
tiempo la relación será 2: 1?
A) 25 años B)30años C)35años
D)20años E) 27 años
RESOLUCiÓN:
Las edades de A y B hace 5 años
fueron:
edaddeA:9x
edaddeB: x
Sea “n” el tiempo que debe transcurrir
para que cumpla la condición
dada.
H-acaS AI:tuaI DonIrodo “n”lfios
A 9x 9x+5 9x+5+n
B x x+5 x+5+n
En el presente, la relación es de 5 a
1 :
9x+5 =.§.
x+5 1
9x+5=5x+25
4x=20~x=5
Dentro de “n° años, la relación será
de2a 1:
9(5)+5+n =.1.
5+5+n 1
Resolviendo:
[ Rpta.B I n=30años
La edad actual de Luis y la de Nino
son entre si como 9 es a 8. Cuando
Nino tenga la edad que tiene ahora
Luis, éste tendrá el doble de la edad
que tenía Nino hace 18 años.
¿Cuál es la diferencia de sus edades?
A)6años B) 5 años C) 4 años
D)3años E) 10años
RESOLUCiÓN:
Las edades actuales son:
Edad de Luis = 9x
Edad de Nino = 8x
Hace 18años Ninotenía: 8x-18
entonces Luis tendrá el doble:
2(8x-18)= 16x-36
cuando Nino tenga la edad que ahora
tiene Luis: 9x
Esquematizando:
HIce 18 AduoI Tongo IftOI
Luis 9x 16x-36
Nino 8x-18 8x 9x
1 (*) 1
(*) Por diferencia de edades:
9x-8x = (16x-36}-9x
Resolviendo: x = 6 años
Diferencia de Edades:
9x-8x=x=6años [Rpta. E [
@ La edad de un padre y la de su hijo
suman 63 años. Cuando el padre tenia
la edad de su hijo ambas edades
sumaban 25 años. La edad del padre
es:
A)43 B) 19 C)21 D)41 E)47
RESOLUCiÓN:
Sean: x = edad actual del padre
y = edad actual del hijo
Tenía
Padre y
Hijo z
Por dato:
x+y=63 …….. (1)
y+z = 25 …….. (11)
Por diferencia de edades:
y-z = x-y
,x;z,= 2y …….. (111)
Sabiendo (1) y (11):
(x+z)+2y = 88
De (111):
2y+2y=88~y=22
En (1):
x+22 =63
x=41 años
Hoy
x
y
[Rpta. D I
@ Hace 10 años tenia la mitad de la
edad que tendré dentro de 8 años.
Dentro de cuántos años tendré el doble
de la edad que tuve hace 8 años.
A) 18años B) 16años C)8años
D)10años E) 12 años
RESOLUCiÓN:
Sea x = edad que tengo
H-aca 10 Actual Daent_rvdo Dentro do IIn””
x-lO x x+8 x+n
[
Edad haca] = r mitad de edad 1
10 años Ldentro de 8 años j
1
x-lO =’2 (x+8)
2x-20 = x+8
x=28
L!Ed ad d~nt,..;j = [Doble de ~dadJ de n anos j haca 8 anos
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x+n=2(x-8)
Sustituyendo el valor de x:
28+n = 2(28-8)
De donde: I Rpta_ El n = 12anos
Las edades deAlberto y Gabriela suman
en la actualidad 120 años. Si Alberto
tiene la edad que ella tenia
cuando él tenia la tercera parte de su
edad actual.
¿Qué edad tiene Gabriela?
A)54 B)45 C)75 D)75 E) N.A.
RESOLUCiÓN:
Sean:
x = Edad actual deAlberto
120-x = Edad actual de Gabriela
De acuerdo al enunciado, elaboramos
el esquema adjunto:
Tenia Actual
Alberto x13 x
Gabriela x 120-x
La diferencia de edades es constante:
x
x- – = (120-x)-x
3
2x
3= 120-2x
-ª”- = 120
3
x=45
Luego, Gabriela tiene: I Rpta. B I 120-45 = 75 años
Marisol le dice a Noelia: La suma de
nuestras edades es 46 años y tu
edad es el triple de la edad que tenias
cuando yo tenia el triple de la
edad que tuviste cuando yo naci.
¿Qué edad tiene Noelia?
RESOLUCiÓN:
Sean:
x = edad actual de Noelia
46-x = edad actual de Marisol
De acuerdo al enunciado, podemos
elaborar el siguiente esquema:
Cuando noci6 lIIarIIoI Ac:tuoI Ac\ual
Marisol 9x 3y 46-x
Noelia
x
x
3
x
tI I ¡
11 J
x
1) y-O =–3y
3
x
4y=-x~=12y …… (1)
3
11) y-O = x-(46-x)
y=2×46
y=2(12y)-46
23y=46~y=2
En (1): x = 24 años I Rpta. B I
La edad de un padre y la de su hijo
suman 90. Si el hijo nació cuando el
padre tenia 36 años ¿Cuántos año s
tiene el hijo?
A)12años B)30años C)27año
D)15años E)9años
RESOLUCiÓN:
Sean x = edad del padre
90-x = edad del hijo
s
Es obvio que, cuando el hijo nac e
éste tiene O años.
,–:C””u-an””do,—,—-
nace el hiJo Actual
Padre 36
Hijo O
Por diferencia de edades:
36-0 = x-(90-x)
36=2x-90
2x= 126
x=63
x
90-x
Edad del hijo = 90-63 I Rpta. C
=27años . I
@ Tres móviles alineados parten en
una misma dirección desde los puntos
A, B Y C con velocidades u, v y
w respectivamente. Si inicialmente
estaban separados por distancias
AB = BC. ¿Cuál debe ser la relación
de las 3 velocidades para que los 3
móviles se encuentren al cabo de
cierto tiempo?
A)u+w=v B)u+v=w C)u+v=2w
v
D)u+w=2 E)u+w=2v
RESOLUCiÓN:
A B C E
_L_L_L’_
Sea E el punto de encuentro.
Como parten simultáneamente; el
tiempo que emplea cada móvil hasta
el encuentro es el mismo.
1 MóvllA 1
Aplicando: e = v.t
2L+L’=ut ……… (1)
‘1 M-óvl-I B~I
Aplicando: e = v.t
~_~.L+L’=v.t ……… (11)
1 MóvIIC 1
Aplicando: e = v.t
L’ =w.t …….. (111)
(1I1)en (1): 2L +wt= U.t
2L=t(u-w) …… (IV)
(111) en (11): L +wt= v.t
L=t(v-w) ….. (V)
(V) en (IV):
2l(v-w) =Au-w)
2(v-w)=u-w
2v-2w=u-w
:. 2v=u+w
@ Dos móviles parten de dos puntos de
una recta, con velocidades constantes
y se dirigen uno hacia el otro. El
primero ha recorrido 30 m más que el
segundo, cuando se cruzaron, y el
resto lo hace en 4 minu1os. El segundo
demora 9 minutos después del
cruce, para llegar al punto inicial del
primero.
¿Qué distancia los separaba?
A)100m B)130m C)150m
D)170m E) N.A.
RESOLUCiÓN:
A 5f77 x+30 E
A:
B: 9′
I M6v1IA I
En el trayectoAE:
X+30=VAt
En el trayecto EB:
x=vA(4)
1 MóvllB 1
En el trayecto BE:
X=VBt
En el trayecto EA:
X+30=VB(9)
Dividiendo (1) + (11):
x+30 t
x = 4
Dividiendo (IV) + (111):
x+30 9 x = t
B
x 5f@?
4′
t
……… (1)
……… (11)
……… (111)
……… (IV)
………. M
………. (VI)
Igualando (V) y (VI):
-t =9- ~t2=36
4 t t = 6
Reemplazando en (V):
x+30 6 x =
Resolviendo:
x=60m
4
DistanciaAB = 2x+30 = 2(60)+30
AB=150m I Rpta. cl
@4 En una carrera donde participaron 3
caballos, el ganador corrió a una velocidad
de 33 mis y llegó s antes que
el último, a su vez éste llegó 8 s después
que el segundo caballo. Si los
tiempos empleados por los dos primeros
suman 24 s.
¿Qué velocidad en mis empleó el último
caballo?
A)12 B)18
D)20
RESOLUCiÓN:
Sean:
C)15
E) N.A.
A = el caballo que llegó primero
B = el caballo que llegó segundo
C = el caballo que llegó último
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Si A empleó t segundos, entonces C
empleó (t+12) segundos y B empleó
(t+12)-8 = t+4 segundos.
Por dato:
tA+t.= 24
t+(1+4)= 24
Dedonde:t=10
I CaballoA I
Aplicando: e = V.t
L=33(10)
L=330m
I'””C-aba-lIo-c”l
Aplicando: e = v.t
330 = v(t+ 12)
330=v(10+12)
330=v(22)
330
v=22
:. v=15m/s [Rpta. C I
@ Un viajero recorre los 2/3 de un camino
en automóvil a la velocidad de
40 kmlh Y el resto en motocicleta a
80 km/h. Si en total tardó 6 h 15 mino
¿Cuántas horas estuvo viajando en
automóvil?
A)5 B)4,5 C)6 D)4,2 E)NA
RESOLUCION:
v=80kmlh
v–40kmlh ~
A~_2 L B L C
~ 3 –l””’- 3 –
t, b
1
Por dato: t,+h = 6h 15′ = 6-¡-
25
t,+h = 4 …… (1)
I'””T-ra-y-ect-O-AB–‘I
Aplicando: e = v. t
2 L
“3 L = 40tF~ t, = 60
I Trayecto BC I
Aplicando: e = v.t
L L
“3= 8012 ~ t2 = 240
Reemplazando los valores de t, y t2
en (1) obtenemos:
..h.. __ L __ -ª
60-240-4
4L+L 25 5L 25
240 =4~ 240 =4
Pero: L = 300
L 300
t, = 60 = 60 = 5 horas [Rpta.A I
@ Un auto va a velocidad constante de
40 kmlh durante 15 minutos cambiando
luego su velocidad a 10 kmlh
recorriendo cierto espacio durante
30 minutos.
Calcularla velocidad media del recorrido.
A)20kmlh B)22kmlh C)24kmlh
D)25kmlh E)48km/h
RESOLUCION:
Primero calculemos el espacio recorrido
con una velocidad de 40 km/
h durante 1
t,=15min= -¡-h
Aplicando: e, =v, t,
1
e,=40x-¡-=10km
Luego calculemos el espacio recorrido
con una velocidad de 10 kmlh
durante . 1
h=30mln= -=h
2
Aplicando: e2 = V2 t2
e2=10x ~ =5km
etotal 61 +e2
V media = trotal = ti +i2
10+5
Vmedia = 1 1
-+-
4 2
.1§. = 20 km/h
3
-¡- [Rpta.AI
@ Un perro parte de A en dirección a
B, al mismo tiempo que dos personas
parten de B en la misma dirección
y velocidad pero en sentidos
contrarios.
Sabiendo que el perro encuentra al
primero en C y al segundo en D;
donde CD = 60 km Y su velocidad es
el doble que la correspondiente a
las personas. CalcularAB.
A)45km B) 90 km C)60km
D)120km E)NA
RESOLUCION: -v -v “-2vl o AA A C B D
@ Pepe salió de su casa para ir a clases
a las 7.40 a.m., Recorriendo 100 m
cada 80 s ¿A qué hora llegará, sabiendo
que si recorre 400 m cada 6
min, llegarla 2 min más tarde?
A)7:58am B)7:56am C)7:59am
D)7:54am E)NA
RESOLUCION:
t
A
I+lj—–L—–N.1
-v=4-00-m =4-00-m =1-0m-
6min 6x60s 9 s
Sea t el tiempo que demora en llegar
a las 7:40 amo
Aplicando:
e=v.t
100 5
L = 80 t –+ L = -¡- t ….. (1)
Si recorriera con una velocidad de
400 m cada 6 min, emplearía un tiempode:
(t+2min) = (t+120)s
Aplicando: e = V.t
L = 4~0 (t+2) –+ L = ~ (t+120) … (11)
Igualando (I)y (11):
: t = ~O (t+120)
9t = 8(t+120)
9t = 8t+8x 120
t = 8×120 s
t = 8×120 = 16 min
60
Llegará a las 7:40+16 min I Rpta B I
= 7:56 amo . ‘.
1+-Y —-.,. .,.., >– z -@DosmóvileSm,ym2partensimullá-
I+-x–+lIl+j–60—+l’1 neamente de una ciudad a otra disC:
Encuentro del perro con Persona 1
Aplicando: e=vt
Pero A: x=2vt ….. (1)
Persona 1: y=vt ….. (11)
D: Encuentro del perro con Persona 2
Aplicando: e = v. t
Pero A: x+60 = 2 v.t’
Persona 2: z = v.1′
Por dato: y+z = 60
Por(lI)y(IV):
v.t+v.t’=60
~v(t+r)=60
Sumando (1) y (111):
2x+60 = 2v.t + 2 v.1′
2x+60 = 2v(t + 1′)
2x+60 = 2(60)
2x=60
IX=301
Dividiendo (11)+ (1):
….. (111)
….. (IV)
y 1 x -= -~y=x
2 2
30
y=-=15
2
AB = x+y = 30+15
AB=45km [Rpta.AI
tantes 60 km, siendo la velocidad de
m,4 km/h menor que la de m2, a su
destino emprende el viaje de regreso,
resulta que se cruza con el móvil
m, a 12 km de la segunda ciudad.
Determinar en km/h la velocidad de
m,.
A)8 B) 12 C)6 D) 16
RESOLUCION:
v-4
~
=~m,
E)NA
v_~=m,
~”====~–60——–+l’1
I Móvil 1 I
Este móvil recorre tan sólo:
60-12=48km
Aplicando: I e = v.t I
r—-, 48 = (v-4)1 …… (1)
I M6v1121
Este móvil recorre 60+12 = 72 km
Aplicando: e = V.t
72 = v.t …… (11)
Diviendo (11) + (1):
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R = ~ ~ -ª- = –“—-
48 (v-4)t 2 v-4
3(v-4)=2v
3v-12=2v
v=12
Velocidad de m,:
v-4=8kmlh I Rpta.A I
@9) Miguel y Carlos parten simultáneamente
de dos ciudades, caminando
el uno hacia el otro. Si la velocidad
de Carlos fuera 1 kmlh mayor que la
de Miguel y se encontrarán luego de
6 h; pero si ambos caminaran a la
misma velocidad se encontrarán
luego de 7 h. ¿Qué distancia separa
a las dos ciudades?
A)48 km B)42km
D)36 km
RESOLUCION:
C)50km
E) N.A.
__ X –“~I””– L-x —-M
l. L u
Aqu i se encuentran en un tiempo de
t=6h
Aplicando: e=v.t
Miguel: x=v(6)
Carlos: L-x = (v+l)6
Sumando las dos últimas ecuaciones:
L = 6v+6v = 6
L=12v+6 …….. (1)
!~ AA ~!
__ y 11. L-y __
.I.. .———L——-~u
Aplicando: e=v.t
Miguel: y=v(7)
Carlos: L-y = 7v
Sumando las dos ecuaciones obtenemos:
12v+6 = 14v
6=2v
v=3
En(II):L=14(3)=42km I Rpta.BI
@ Un ciclista parte de A en dirección a
B, al mismo que dos atletas parten
de B en sentidos opuestos y con la
misma velocidad constante. Si el ciclista
avanza con una velocidad que
es n veces la de los atletas, y encuentra
a uno en M y al otro en N,
donde MN = d km. ¿Cuántos kilómetros
mideAB?
A) d(n+l)2 B) d(n-l)2 C) d(n”-l)
n-l 2n n2+1
D) d(n2+1) E) N.A.
n2+1
RESOLUCION:
~~ ~!!~ 1
A M B N
M–x .10 Y .M z_
10 d .,
Encuentro del ciclista y atleta 1 (M)
Aplicando: I e = v.t I
Para el ciclista: x=nv.t ….. (1)
Para el atleta 1: y = v.t ….. (11)
Encuentro del ciclista y atleta 2 (N)
Aplicando: I e = V.t I
Para el ciclista: x+d = n v.t’ ….. (111)
Para el atleta 2: z=v.t’ ….. (IV)
Sumando (11) y (IV):
y+z = v(t+t’)
=cr=v(t+t’)
Sumando (1) y (111):
2x+d = !!1!:':!J
2x+d=nd
Dividiendo (11) + (1):
‘L = _1_ ~ Y = –“-
x n n
_ d(n-l) x—
2
d(n-l)
y=2i1
– d(n-l) d(n-l)
AB = x+y = 2i1 + 2i1
= d(n-l) [1+…!..J
2n n
-_ d(n-l)(n+l) _ d(n”-l)
AB – 2n – 2n
,rR=-p-ta-‘. D~I
@ Si la velocidad del sonido en el
agua de mar es 1250 mis y en el
aire 340 mis. Determinar a qué
distancia de la orilla explotó una
bomba si la dile-rencia de tiempo
entra el sonido transmitido por el
agua yel aire es de 45,5 seg.
A)2500m B)29520m C)8230m
D)18725m E)21250m
RESOLUCION:
Sea “e” el espacio buscado.
Recuerde que: I t = : I
Por dato:
taire – tagua = 45,5
e e
340 – 1250 = 45,5
910e = 45,5(340)(1250)
e = _1_ x340x1250
20
Simplificando:
e = 21250 m
@ Se desean fundir dos barras de Plata
de igual peso; la primera de 9 décimos
y la segunda de 81 centésimos
pero si extraemos metal de liga
dela segunda barra ¿qué porcentaje
de la segunda barra, es, para que
aleación que se desea obtener sea
de 912 milésimas?
A) 22,5 B) 12,5
D)30
RESOLUCION:
Datos:
9
– L, =10 = 0,9
81
– L2= 100 =0,81
– Lm = 0,912
C)25
E)35
Sea el peso de la primera y la segunda
barra 100n, entonces de la segunda
barra cuya leyes 81/1 00 se tendrá
Wp …. = 81 n; WToIal = 100n. Luego al
extraer “x” g de metal de liga queda:
WPIaIa=81 n;WT …. = l00n-x
81n
y la nueva leyes: 100n-x
Peso Ley
100n 0,900 ~ -0,912
“- /100n-x
0,912
81n / “-
1 OOn-x: 100n-x 0,012
100n
~–
~-0912
100n-x I
l00n-x 0,012
12n
~–
100n-x
81 n-91,2n+O,912x
100n-x
100n
x =-8-
Para saber que porcentaje de 100n es
100n se efectúa del modo siguiente:
8 100n
8 __ -100% = 12,5%
100n ,.-__
:. El porcentaje es: 12,5 I Rpta. B I
~ Una aleación de 18 kilates se funde
con Oro puro para obtener otra aleación
de 21 kilates, luego se funde con
Cobre para bajar a 18K, luego con
Oro puro para subir a 21 K Y asr sucesivamente
hasta obtener 686 gramos,
luego de realizar 7 fundiciones
de la aleación. ¿Cuál es el peso de la
aleación inicial?
A)36g B)27g
D)63g
RESOLUCION:
Primera fundición:
C)49g
E)54g
Pesos Relación
W : 18K” /3K
21K
W””,: 24K/ “3K 1
WToIol(‘) 2
WToIaI(‘) _ 2 ~ W – 2W W – -1- Total –
~WT …. (,)=2W
Segunda fundición:
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Pesos Relación
2W : 21K” /18K 6
18K
WOm : OK/ “3K
WTotaI(2) 7
WT”””(2) -~~W _ 7W
2W – 6 TotaI(2) – 3
Tercera fundición:
Pesos Relación
7W 3: 18K” /3K
18K
WOm : 24K/ “3K
WTotaI(3) 2
WToIal(3) 2 r 7 J
7W = 1 ~ WT””‘(3) = 2 L6(2W~
3 WToIal(3) = 2 t ~ (2W~
Si continuamos la aleación sucesivamente
se obtendrá como peso total:
2t~ [2t~ H~ (2~JJJJ = 686g
,¡. ,¡. ,¡. ,¡. ,¡.,¡. ,¡.
7°; 6°; 5°; 4°; 3°; 2°; 1° aleación
• ‘. Al resolver: W = 27 g rl Rp=–Cta-.-:s”l
@ Se funde tres lingotes cuyas leyes
son: L,; L2 y L3- Halle la ley media si
cada lingote posee la misma cantidad
de Oro puro.
A) MG(L,; L,; L3) B) MA(L,; L,; L3)
C) MH(L,; L,; L3) D) MA(L,; L3)
E) MH(3L,; 2L,; L,)
RESOLUCiÓN:
Siendo W,; W., W,los pesos de cada
lingote y W el peso de Oro de cada
lingoteseva a cumplir:
W W
L,=-~W,=-
W, L,
W W
L2=-~W2=-
W2 L2
W W
L,=-~W3=- W, L,
Deteminando la ley media (L.,)
Pesos Leyes Valor
W
W,=- L,
L,
W
W2=- L2
L2
W
W,=- L3
L,
W W W
-+-+- Lm
L, L2 L,
3
Lm = -cwcc—C=wc—cwcc-+-+
L,
L2 L3
W
W
W
W
Cancelando W en el numerador y
denominador queda:
3
Lm = —c—-:—-:_
1_+ _1_ + _1_
L, L2 L3
:. Lm = M.H.(L,; L2; L,) IrR=-P-‘ta-.””‘c'”‘l
@§) Se dispone de varios lingotes, todos
ellos de 1 kg de los cuales encontramos
dos grupos cuyas leyes
son 650 y 900 milésimos. ¿Cuántos
lingoles de cada clase hay que tomar
para que al alearlos se obtenga
un lingote cuya ley sea 750 milésimos
si el peso total está comprendido
entre 25 y 34 kg?
A)18y12 B)14y18
D)20y15
RESOLUCiÓN:
C) 10y20
E)24y16
Vamos a suponer que hay:
x lingoles de 0,650 de ley.
y lingoles de 0,900 de ley.
Además: Lm=O,750
25 1 n l’n = l(n+l-l)
4 <>2 n-l 2′(n-l) = 2(n+I-2)
6 <> 3 n-2 3′(n-2) = 3(n+I-3)
I I i
2n <> n n’l = n(n+l-n)
n(n+l)
Lm (m+1) n(n+1). n(n+1X2n+1)
2 2 6
(n+l )(n+l)n n(n+l )(2n+l)
2 6 Lm=-~~—~~–
n(n+l)
2
• 2n+l n+2
• • Lm= n+I–
3
-=-3- 1 Rpta. C I
@§) Se han fundido dos clases de metales
en la proporción de 3 a 7, se
quiere hallar el precio de 48 kg de
esta aleación que ha ganado un
30% de su valor, después de la fusión
y que ha tenido una merma de
un 4%. El precio inicial era de SI. 8 Y
5/. 10 el kilogramo respectivamente.
A) 5/. 722 B)S/.611 C)S/.322
D)S/.611 E) 5/. 332
RESOLUCiÓN:
Del peso inicial “W” una mema de
4% resultando 48 kg; esto se plantea
así: W-4%W=4kg
W=50kg
Pero este resulta de una aleación de
metales que están en la proporción
de 3 a 7 entonces tenemos que el total
es como 10 del cual:
• Delprimermetal: 1
3
0 (50 kg) = 15kg
• Del segundo metal: 1
7
0 (50kg)=35kg
15(51.8)+35(5/.10) = 5/.470
Como se gana el 30% del costo.
:. Pv= 130%(470) ,…R, p-ta-S. –,
=611 soles . .
@ Se funde dos lingotes de Oro puro de
700 g de peso y 0,920 de ley y otro de
300 g de peso y 0,880 de ley. Se extraen
“n° gramos de esta aleación
que son reemplazados por ‘n” gramos
de una aleación de 0,833 de ley
y resulta que la ley de la aleación
ahora es 0,893. Hallar “n” .
RESOLUCiÓN:
En la primera fundición tenemos:
700 9 : 920″ / Lm -880
Lm
300 9 : 880 / ” 920-Lm
1000g 40
tL –+25 __ ..Jt
Lm = 908 milésimos
En la segunda fundición:
1000-n : 908″ / 60 4
893
n : 833/ “15 1
1000 5
tL-__ por 200 __ ….It
:.n=I·200=200 I Rpta.DI
@ Hallar el peso de una aleación de Oro
de ley 0,920 sabiendo que si se añaden
250 9 de Oro de ley 0,880 y luego
de la aleación obtenida se quita 100
gramos y en vez de ello se agrega
360 gramos de Oro de 840 milésimos
se obtiene una aleación de 890 milésimos.
A) 850 9 B)700g
D)750g
RESOLUCiÓN:
C)800g
E) 480 9
Sea x el peso de la aleación cuya ley
es 920 milésimos .
Primero: Agregamos 250 g de 880
milésimos.
x : 920″ / Lm-880
Lm
250 : 880 / ” 920-Lm
x+250 40
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~_x_ = Lm-880 ……. (1)
x+250 40
Segundo: se quita 100 g quedando:
(x+150) cuya es Lm
x+150: Lm” / 50 }
890 (-)~
360 : 840/ “Lm-890
40x
De (1): Lm-880 = -2O
x+ 5
De (2): Lm-890 = ~~~~
Al restar miembro a miembro:
10 = …..1Ql<..... _ 18000 x+250 x+150 1+~-~ x+15O x+250 3x+1800x-195O·250 = O 3x ........ t ..---+650 x~-75O :. x = 750 gramos I Rpta. D I @j) Si al aumentarie 36 gramos de Oro puro a una aleación de 36 gramos resulta una aleación de 21 K. ¿Cuántos gramos de Oro puro hubiera sido necesario quitar al lingote inicial para obtener una aleación de 15K? A)12g 8)96g C)20g D)24g E) 15g RESOLUCION: 1· Se tiene 36 g de n kllates Agregamos 36 g de Oro puro (24 kilates). Se obtiene una aleación de 21 kilates. fu!! 36: Diferencia n ............ /" 3 21 36 : 24/ " 21-n Como los pesos son iguales las diferencias también deben ser iguales. 21-n=3 n=18 Como resultado tenemos 72 g de 21K. 2· Como el lingote inicial es de 18 kilates y pesa 36 gramos al extraer X gramos de Oro puro quedarfa (36-X) gramos de 15K el cual pera regresar a su ley de 21 K se debe agregar los X gramos de Oro puro (24 kilates), entonces: flIIl! piferencia Relación 36-x: 15" /3 1 21 x:24--' "6 2 36 3 tL --Por 12 _-;::::::=t~ :. X = 24 gramos I Rpta. D I @ Se funden "a" gramos de Cobre puro con 48 gramos de Oro de 21 K Y se obtiene una aleación de(21-b) kilates. Si se funden los 48 gramos de 21 K con "a" gramos de Oro de 14K la ley resulta 2 kilates mayor. Hallar (a+b). A)10 8)11 C)12 D)14 E)15 RESOLUCION: Primera aleación: Peso: ag: OK" /b (21-b) 48 g : 21K / "21-b a+48 21 ~ _a_ =.J>.. ……. (1)
a+48 21
Segunda aleación:
48g :21K” /9-b
(23-b)
a g : 14K –‘ ” b-2
a+48 7
~ _a_ = b-2 ……. (2)
a+48 7
De (1) Y (2) se cumple:
b-2=.J>.. b=3
7 21
Reemplazando en (1):
a 1 b 3 1
a+48 =]=21″=21″=]
:.a+b=11 I Rpta.S I
@ Se tiene 2 aleaciones de Oro, una
que pesa 30 g de 12 kilatesyotra de
25 g de 21 kilates, si se funden con
“n° gramos de Oro puro la primera y
con “n° gramos de Cobre, la segunda
resulta que ambas nuevas aleaciones
tienen la misma pureza de
Oro. ¿Cuánto vale “n”? (Dar la respuesta
aproximada?
A)10 8)12 C)14 D)15 E)18
RESOLUCION:
Debemos considerar que el Oro puro
es de 24K y el Cobre de O kilates.
Primero:
3Og: 12″ /24-m
m
n g : 24/ ” m-12
~ 30 = 24-m …… (a)
n m-12
Segundo:
25 g : 21″ / n
m
n g : 0–‘ “21-m
~ 25 = –“‘– …… (~)
n 21-m
Al dividir (a) entre (~) tenemos:
6 m245m+504
5 m2-12m
Resolviendo m = 15 el cual al reemplazaren
(a):
:. n=10 I Rpta.A I
(§) Las leyes de varias barras de Plata
son 10; 20; 30; … miléSimos y al fundir
la ley media resultante es 170
milésimas, si tomamos de cada uno
10; 20; 30; ……… gramos respectivamente.
Determinarel número de barras.
A) 20 8)21 C)27
D)24 E)25
RESOLUCION:
Peso Ley Valor
10 10 100
20 20 400
30 30 900
10n 10n n2 ·100
n(n+1)
170
1 00(n)(n+1 )(2n+1)
2 6
1oo(n)(n+1 )(2n+1)
Lm=
6
10(n)(n+1)
2
10(2n+1)
= 170
3
n =25
El número de
barras es 25
170
@ A20 gramos de Oro de 18 kilates se
le eleva su ley hasta 22 kilates agregando
Oro puro. ¿Qué peso de Cobre
será necesario mezclar con este
nuevo lingote, para volveno a su ley
original?
A) 13,3g 8)17,1 g
D) 15,8g
RESOLUCION:
C)21,4g
E)20g
1· Debemos considerar que el Oro
puro es de 24 kilates y su peso es de
Wgramos.
Entonces:
Densidad i RelB
1
ción
20: 18K” /2K!
x2 22K i por 2
V2 : 24K/ “4Ki 2
De donde: W = 40 gramos.
Yel peso total es: 60 gramos.
2· Los gramos de 22K los vamos a
fundir con el Cobre que es O kilates
pera regresario a lo que era esencialmente,
esdecirde 18 kilates.
flIIl! Relación
60 : 22″ /18 9
22K
x: 0–‘ ” 4 2
x 2
De donde: 60 = 9″
:. El peso del Cobre es:
x = ~O = 13,3 g r”1 R-,,-ta-.A -I
8 El sueldo de un empleado es D.P. a
sus anos de servicio e I.P. al cuadrado
de su cociente intelectual. Si Luis
que trabaja hace 8 años y tiene un cowww.
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ciente intelectual de 100 gana $2000
¿Cuál; es el cociente intelectual de
Andrés que trabaja hace 20 anos y
gana$5000?
A)100 B)80
O) 110
RESOLUCION:
C)120
E)90
SO.P.A} => S O.PA. –
S ,.p.C2 C2
~I S~C2 =KI
S –> sueldo
A -+ años de servicio
C –> cociente intelectual
Reemplazando los valores correspondientes:
2000xl002
8 = 5000XC2
20
_·.C= 100 I Rpta.A I
@ Un grupo de M albañiles ha trabajado
en una obra O dias a razón de H
horas, otro grupo de m albañiles ha
trabajado en la misma obra d dias a
razón de h horas. El monto total pagado
a los 2 grupos de albaniles es
“S”. ¿Cuánto le corresponde al2do.
grupo de albañiles?
A hdmS
) HOM+hdm
B hdMS
) HOM+hdm
C hOmS
) HOM+hdm
O HdmS
) HOM+hdm
E hOMS
) HOM+hdm
RESOLUCION:
Monto O.P. total de horas
~ Monto = cte
T horas
Valores correspondientes
1 ero conjunto: S 1; MxDxH
2do. conjunto: S2; mxdxh
Reemplazando: ~S
S, S2 = ~
MxOxH mxdxh MxDxHxmxdxh
S2= mxdxhx S
MxOxHxmxdxh
• hdmS
•• S2= MDH+mdh I Rpta.A I
@ Hace 8 años, el precio de un libro de
una colección dada de las ciencias
matemáticas, varra D.P. al número
de páginas e I.P. al cuadrado del número
de libros que se compraban.
Si cuando se compraban 10 libros de
50 páginas cada uno estos valían
S/.42 la unidad. ¿Cuántos libros de
80 páginas saldrian al precio de
S/.l05cadauno?
A)7 B)6 C)10 0)9 E)8
RESOLUCION:
P O.P.NP}
P,.p.N2 ~ L
Po.PN.p-
N~
EXN~
~ –=K Np
P –> precio de un libro
NL –> número de libros
Np –> número de páginas
Valores correspondientes
1 ero conjunto:
Np= 10 ; NL =50 ; P=S/.42
NL =X ; Np=80 ; P=S/.l05
Reemplazando:
42xl02
50
105xX2
80
:.X=8 ,r-Rp-ta-E. ‘I
@!) Para ejecutar una obra se cuenta
con 2 cuadrillas, la primera tiene 45
hombres y puede concluir la obra
en 40 ds, la segunda cuenta con 50
hombres y puede terminar en 32
dras, si solamente se emplean los
2/3 de la 1 ra. cuadrilla y los 4/5 de la
2da. cuadrillla ¿En cuántos dlas terminaron
la obra?
A)20ds B)26ds
0)24ds
RESOLUCION:
C)28ds
E)32ds
¡ ¡ !!!’I’i ,,—,ft’ 1, i
40 obreros
40dias OBRA
Rendimiento
®
500mlOS
32dia.
Rendimiento
®
I (OBREROS) (OlAs) (RENDIMIENTO) = K I
45x40xR, = 50x32xR2
R, 8 R, = 8K,
R2 =9 ~ R2=9K,
Oato:
~ x45 = 30 obreros de la 1 ra. cuadrilla
: x50 = 40 obreros de la 2da. cuadrilla
~45x40xR, = (30R,+40R2)XX
45x40x8xK, = (30x8K, +40x9K,)XX
45x40x8K,=600K,xX
:. X=24 I Rpta. D I
@9) Un obrero tarda en hacer un cubo
compacto de concreto de 30 cm de
arista en 50 minutos. ¿Qué tiempo
tardará en hacer 9 cubos, cada uno
de 60 cm de arista?
A)46hr B)70hr
0)78hr
RESOLUCION:
C)80hr
E)60hr
~+u+ Cubo compactado Cubo compactado
V –> volumen (cm)
T –> tiempo (minutos)
Vo.p.T ~I ~ =KI
Reemplazando los valores correspondientes:
• Para 1 cubo:
303 _ 603
50 – X
IX=4001
• Para 9 cubos:
Tiempo = 9×400 = 360 minutos
:. T=60hr I Rpta. E I
@ Oividir el número 700 en tres partes
cuyos cuadrados sean O.P. a 0,2; 0,5;
0,4 e I.P. a 3; 6/5; 8/3. Indicarla menor
de dichas partes.
A) 120 B)160
0)180
RESOLUCION:
1
A2 0,2 _ 5 _ 1 0.P·3-3-1″5
B2 0,5 _~_
O.P. 6 – 12 –
5
2
C
2 0,4 _ 5 _ 3 0.P·8 – 8 – 20 – –
3 3
Al B2 C2
~-=-=-
153 – —
15 12 20
M.C.M.(15; 12; 20) = 60
C)140
E)210
60X[;oJ
Al B2 C2
4=”25=9
V: A B C 2 5 3
Por serie de razones geométricas:
A+B+C 700
2+5+3 10 = 70
~=~=-º-=70
253
:. A= 2×70 = 140 I Rpta. el
@ Para elaborar 20 libros hemos invertido
S/.18000. ¿Cuánto se invertirá para
elaborar 15 libros que tienen las
tres cuartas partes del número de hojas
que tienen las anteriores y que en
cada hoja se puede escribir el 20%
menos de palabras, que en las hojas
de los libros anteriores? Se sabe que
el costo de un libro es O.P. al número
de hojas que tiene y a la cantidad de
palabras que se puede escribir en
ellas.
A)S/.8100 B)S/.9400 C)S/.3025
0)S/.6098 E) SI. 1 0840
RESOLUCION:
CostoD.p.#dehojas(H) Q CD.p.HxP
Costo o.p.# de palabras (P)
:·1 H:P = K 1(1 800/20) (X/15)
= —-‘-‘-“-‘—
( ~ H)(80%P)
HxP
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900 Xx4
HxP 4
(3H)x( 5 P)x15
Simplificando:
900=; –> X=8100 IRpta.A!
@ Suponiendo que la alegria de una
fiesta varia en forma directamente
proporcional al número de chicas
presentes, a la calidad de la música
e inversamente proporcional al número
de madres presentes. ¿Qué
sucede con dicha alegria si el núme·
ro de chicas se duplica la calidad de
la música se triplica y la tercera parte
de madres se duermen?
A) permanecen igual 8) se triplica
C) se quintuplica
D) queda multiplicada por9
E) queda multiplicada por 7
RESOLUCION:
A –> alegria
N –> # de chicas presentes
C –> calidad de música
M –> #de madres presentes
L D.P.N
A”,= D.P C c::> A D.P. N~
l.p.M
:. [~rK –> I ~~ =KI
Reemplazando los valores corres·
pondientes:
AxM A’x(213M)
NxC (2N)(3C)
A’
A=g–> 1A’=9AI
La alegria queda
Multiplicada por 9 I Rpta. D!
@ Sabiendo que “y” es la suma de dos
cantidades una proporcional a “>t’ y
la otra proporcional a [;2J y que pa·
rax= 1, y= 6yque parax= 2; y= 5.
Hallar ‘y” para x = _1
2
A)16 8)15 C)17 D)19 E)20
RESOLUCION:
Dato:
y=A+8
• A D.P. X –> ~ = K, –> 1 A = xK, 1
• 8 DP ;2 –> [!J = K2 –> I 8 = ~: I
Para x = 1 ;y=6
Reemplazando:
6 = 1xK,+ K: –> K,+K2= 6 ….. (y) x
parax=2;y=5
Reemplazando:
K2
5=2K,+-
22
Deay p:
K, = 2 ; K2=4
….. (~)
4
~y=2x+X2
Reemplazando en (e):
….. (e)
r1 J 4 4
y=2l2 +GJ=1+m=1+16
:.y=17 1 Rpta. e!
@ De 2 Kg de sal que se introdujeron
en un recipiente con agua, en los 2
primeros minutos se ha disuelto
800 gr. ¿Cuántos gramos quedarán
después de 2 minutos más si la cantidad
de sal que no se disuelve es
inversamente proporcional al cuadrado
del tiempo?
A)200gr 8) 600 gr
D)300gr
RESOLUCION:
C)340gr
E)280gr
s –> cantidad de sal que no se
disuelve
SN l.p.72
~ISNX72=KI
4 min { : ::: ……… ~.~.~ .. ~~: …….. i .
2Kg
(2000 gr.)
f
1200
1
~ 1200×22=X+42
:. X=300 1 Rpta.D!
@ Se contrataron 42 obreros para
construir un colegio y faltando 30
días para terminarlo 2 de los obreros
renunciaron a la obra y los restantes
disminuyeron su rendimiento
en un 30%. ¿Cuántos dlas más tardaron
los obreros restantes para
culminar lo que falta en la obra?
A)29 8)45 C)42 D)46 E)48
RESOLUCION:
30 dlss; 4.2 obreros
I I I
42 o~ros L 40 obreros; x dlss
Rendimiento Rendimiento
(1) 1- 30 =.l
[=:l 100 10
1 (OBREROS)(DIAS)(RENDIMIENTO) = K) 1
7
42x30x1 = 40x – xX
10
: . X = 45 1 Rpta.B!
@ En la gráfica siguiente la línea ON
representa proporcionalidad directa
entre dos magnitudes.
x
Determinarel valor de (m+n)
N2 ~4 q5 ~6 ~7
RESOLUCION:
y
16 .. _._. __ ._._ ..
” I—+——.:~
p
Ol+-m_
yx=48
Reemplazando:
16xm=12xp=48
m=3; p=4
Y
16 _. …………….M .
I
p
12
3 12
tge= ~ = 1~ –>1 n=11
x
x
m+n = 3+1 = 4 rl R-p-ta-.-B~!
@ En un proceso de producción se descubre
que dicha producción es D.P. al
número de máquinas e I,P. a la raíz
cuadrada de la antigüedad de ellas
inicialmente hablan 15 máquinas co~
9 años de uso; si se consiguen 8 maquinas
más con 4 años cada una.
Calcular la relación de lo producido
actualmente con lo producido anteriormente.
A)4/5 8)3/2 C)3/5 D)4/7 E)5/6
RESOLUCION:
P –> producción
M –> #de máquinas
A –> antigüedad de las máquinas
-=-
5 4 P2 5
(“‘1 R—p-ta-A. -!
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@!) Si “N” es el número de obreros que
pueden hacer una obra en (3/4)N
dlas trabajando (1/3)N horas diarias.
¿Cuál es el número N de los obreros,
si al duplicarse hacen la misma obra
en 72 horas?
A)22 B)28 C)30 D)24 E)21
RESOLUCION:
Se cumple:
1 (OBREROS)x(h/d)(dlas) = K 1
Valores correspondientes:
ler. conjunto:
3N
Nobreros : 4dS ;
2do. conjunto:
2N obreros: 72 horas
Reemplazando:
3N N
Nx
4
x 3 =2Nx72
Simplificando:
N2
4=144
:. N = 24
N
3· hld
[Rpta. D I
@ 11 obreros deben entregar una obra
dentro de 24 días para lo cual 5 de
ellos trabajan 3 horas por dia, mien·
tras que los restantes trabajan “x”
horas por día, si 64 obreros pueden
realizar una obra similar cuya dificul·
tad es 3 veces la anterior trabajando
“x” horas por dra durante 30 dras.
Hallar el valor de x, si el rendimiento
de estos últimos son el 30% del reno
dimiento de los primeros obreros?
A)6,5 B)7 C)8 D)9 E)7,5
RESOLUCION:
ler.caso:
M—24dlas __
Ob!ros A i 1———1 T
6 1 obreros B
‘———-‘
®: 5 obreros: 3 h/d
Rendimiento = 10 ; Dificultad = I
@: 6 obreros: X hld; R= 10; D = 1
Sabemos:
(obreros)(h/d)(ds)(Rend.)
(Obra)(Dif) – K
Reemplazando:
5x3x24xl0 _ 6xXx24xl0 _ K
Axl Bxl
Utilizando serie de razones geométricas
(5x2X)x3x240 K
A+B
…. (1)
2do.caso:
64 obr. ;Xhld ;30ds; R,=3; D,=3
Reemplazando:
64xXx30x3
Tx3
Igualando: 1 y 2
K …. (2)
(5x2X)x3x240 64xXx30~
~ …. ~~
Simplificando:
15+6x=8x
15=2x
:. x=75
@ Una bomba demora 10 horas 25 minutos
para llenar un reservorio.
Cuando el tanque está lleno hasta
1/5 se malograysu rendimientodisminuye
en 1/3. ¿Cuánto tiempo tardará
la bomba para llenar el reservorio?
A) 12 hr35 min
C) 14 hr35 min
E) 14 hr25 min
RESOLUCION:
4/5
B) 13 hr25 min
D) 11 hr 12 min
El volumen 1 (reservorio) llena en
10 hr25 mino 1/5 del volumen lo lIena2hr5min.
:. : delvolumenlollenaen:8hr
20min
14151 (Cte)
Tiempo I.P. Rendimiento
1 TxR=K 1
Reemplazando los valores correspondientes:
(8h 20min)xl = Xx [1- ~ J
~h =Xx~ 3 r 3
:. X = 2; hr = 12hr 30min
:. T toIal = 2hr 5min+12hr 30 min
T _, = 14hr 35min [ Rpta. e I
@ El costo de una microcomputadora
es D.P. a su eficiencia y a su capacidad
de memoria e I.P. al cuadrado
del tiempo que demora en procesar
un trabajo, si para una eficiencia
como 60, una capacidad de memoria
como 128, una microcomputadora
cuesta S/.1600 que demora en
procesar un trabajo como 5. Determinar
cuánto costará otra microcomputadora
que tiene una eficiencia
como 90; una capacidad de memoria
como 256 y que demora un
tiempo como 4.
A)S/.7800 B)S/.7600 C)S/.7890
D)S/.75oo E)S/.6450
RESOLUCION:
/’ Efidencia (E)
Costo D.P. -…… Capacidad de memoria (M)
Costo I.P. Tiempo (T2) ; Costo (C)
C O.P. ExM ~ I CxT2 = K I
T2 ExM
1600×52 Xx42
=
600x 128 90×256
Simplificando:
X = 7500 [ Rpta. D I
@ Tres mujeres ydos hombres van al cine
y encuentran 5 asientos juntos en
una misma fila donde desean acomodarse
¿De cuántas maneras diferentes
pueden sentarse si las mujeres no
quieren estar juntas?
A)6 B)8 C) 12 D) 18 E)24
RESOLUCION:
IMIHIMIHIMI
Total de maneras de acomodarse las
mujeres: 3! Maneras
Total de maneras de acomodarse los
hombres: 2!
Total de maneras pedidas: [ e I
3! ·2! = 12 Rpta.
~ ¿Cuántos paralelogramos se pueden
formar al cortar un sistema de 8 rectas
paralelas con otro sistema de 5
rectas paralelas?
A) 80 B)160
D)280
RESOLUCION:
C)180
E) 320
Cada una de las combinaciones de 5
rectas tomadas de 2 en 2 forman paralelogramos
al cortar a cada una de
las combinaciones de 8 rectas tomadasde2en2.
# Paralelogramos = ~ . C~ r——.
= 10 ’28=280 [Rpta. D I
~ ¿De cuántas formas pueden sentarse
5 personas alrededor de una mesa
circular; si una de ellas permanece
fija en su asiento?
A)6 B) 12 C) 18 D)24 E)36
RESOLUCION:
Se trata de hallar el número de permutaciones
circulares de 5 elementos;
luego:
# maneras = Pc(5) = (5-1)! r——.
=4!=24 [Rpta.DI
~ ¿Cuántas señales se pueden hacer
con 4 banderas de diferentes colores
izando cada vez; 2; 364 banderas?
A)30 B)40 C)50 D)60 E)80
www.Matematica1.com
RESOLUCiÓN:
Como interesa el orden en el cual se
van a ir izando se trata de variaciones.
41
V’,= -‘ = 12
2!
V’=~=24
3 1!
V·.=~=24 O!
• Total de señales:
12+24+24 = 60 [RpIa. D /
@ De 5 Ingenieros y 4 Médicos se de·
sea escoger un grupo de 4 personas
¿De cuántas maneras se podrá rea·
llzar esto; si en cada gru po debe ha·
bera lomasde2 médicos?
A) 65 B)85
D)125
RESOLUCiÓN:
C)105
E)I55
Cuando el grupo está formado
por 2 médicos y 2 Ingenieros:
#maneras=C~ .Ci=60
Cuando el grupo esté formado
por 1 médicoy3lngenleros:
#maneras=C~ .C~=40
Cuando el grupo esté formado
por 4 ingenieros:
# maneras = C¡ = 5
Total de maneras:
60+40+5 = 105 [ Rpta. C /
@ De 5 Flsicos; 4 Oulmicos y 3 Matemáticos
se tiene que escoger un comité
de 6 miembros de modo que incluyan
3 Flsicos, 2 Oulmlcos y 1 Matemático
¿De cuántas maneras puede
realizarse esto?
A)120 B)140
D)180
RESOLUCiÓN:
C)I60
E) 200
# de maneras de escoger 3 Flsicos:
C~=10
# de maneras de escoger 2 Ouímicoso
C~=6
# de maneras de escoger 1 Matemá·
tico: C~=3
Total de maneras de escoger 6
miembros=10’6’3=180 [Rpta.D/
~ De 5 hombres y 4 muJeras se deban
escoger un comité de 6 personas
¿ De cuántas maneras se podrá realzar
esto si en el comné deban haber
2 muJeres?
A)15 B)20 C)25 D)30 E)35
RESOLUCiÓN:
# de maneras de escoger 2 mujeras:
C~=6
# de maneras de escoger 4 hombres
Cl=5
Total de maneras de escoger 6 pero
sonas:
6,6=30 [Rpta.D/
@ Una alumna tiene 12 stlckers para
colocar en la pasta de su cuademo;
pero sólo tiene espacio para 8 ¿De
cuántas maneras puede seleccionar
los stickers que no va a colocar?
A) 365 B)385 C)425
D)495 E) 545
RESOLUCIÓN:
SI se colocan 8 stickers quiere decir
que no se van a colocar 4; como no
interesa el orden entonces:
12 12!
#demaneras=C. = 418! =495
[RpIa. D)
@ ¿De cuántas maneras puede seleocionarse
una partida de naipes de 4
a más personas si hay 10 disponibles?
A) 828 B)848
D)864
RESOLUCIÓN:
C)850
E) 896
Como no interesa el orden de las
personas se tratara de combinaciones:
# de maneras = C”+C”+C”+C;’0+
+…..;….~~
210 252 210 120
+C10+C10+C10
,-~-,,-~ ~
45 10 1
# de maneras = 848 r.R[ p:–:-ta–:B. :-l)
@ Un equipo cientlfico consta de 25
miembros de los cuales 4 son doctores;
hallarel número de grupos de
3 miembros que se pueden formar
de manera que en cada grupo haya
por lo menos un Doctor.
A) 970 B)980
D)940
RESOLUCIÓN:
C)900
E) 950
• Cuando el grupo esté formado
por 1 doctor:
# maneras: Ci·C~’ =4’210=840
• Cuando el grupo esté formado
por2doctores:
# maneras: ci·c:’ = 6·21 =126
• Cuando el grupo esté formado
por3doctores:
# maneras: C: = 4
Total de grupos:
840+ 126+4 = 970 I Rpta. A I
@ En una reunión hay 12 hombres y 7
mujeres; se desea formar grupos
de 3 personas ¿De cuántas maneras
podrá hacerto si deban de habar
por lo menos 2 mujeras en el grupo?
A) 285 B) 287 C) 290
D)315 E) 325
RESOLUCiÓN:
Cuando el grupo esté formado
por2 mujeres y 1 hombres
# grupos: C; -C:’= 21-12 =252
Cuando el grupo esté formado
por3 mujeres
# grupos: C~ = 35
# total de grupos:
252+35=287 [RPta. B)
@ Se tiene 4 lelras de cartón A, B, C
y D ¿Cuántos códigos pueden formarsa
Con estas lelras si cada cuadrado
puede llevar indistintamente;
una; dos; tres o cuatro letras?
A)38 B)48 C)56 D)64 E)72
RESOLUCiÓN:
Como Interesa el orden en el cual se
van a tomar, se trata de variaciones.
V’-~-24 .- 01 –
V·.=~=24
1!
V’,=~=12
21
V’-~-4 ,- 31 –
Total de códigos:
24+24+12+4 = 64 [Rpta. D /
@ Una caja contiene 2 focos de 25 voltios;
3 de 50 voltios y 4 de 100 voltios
¿De cuántas maneras pueden escogerse
3 de ellos?
A)74 B)84 C)94 D) 104 E) 124
RESOLUCiÓN:
Como interesa el orden, el número de
maneras viene dado por C~
• 91 9-8-7-6!
C3= 3161 6-61 – 84[ Rpta. B /
@ En una suma se encuentran 6 bolos
numerados del 1 al 6 ¿De cuántas
maneras se podrán extraer en sucesión
y sin reemplazo 3 de estas bolitas?
A) 100 B)120
D)13O
RESOLUCIÓN:
C)180
E)I50
Como Interesa el orden en que se
van extrayendo el número de maneras
viene dado por V~
V6 – ~ _ ~ _ 6-5-4-@. _
3- 16-3 – @. – @. – 120
[Rpta. B)
@ Se tiene un estante con capacidad
para 9 libros, si en el se quiere ordenar
4 libros de Flsica; 3 libros de Oulmica
y 2 de Aritmética_ ¿De cuántas
maneras podrá realizar esto; silos de
Aritmética siempre se ubican a los
extremos?
A) 5040 B)2520
D)1520
RESOLUCIÓN:
Posible orden:
C) 1080
E) 2060
IA11 F11 F,I F31 F.lo1lo,lo3lA,1
Si A, y A, son fijos entonces: # maneras=
P,=5040
Cuando A, y A, cambian de poSición
habrán P maneras más adicionales_
Total de maneras: p,+p,= 1080
[r-:Rpo–“ta.-C”!
@ Se va a colorear un mapa de 4 paises
con colores diferentes para ceda
pals, si hay disponibles 7 colores diferentes
¿De cuántas maneras puede
colorearse el mapa?
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www com . . M atematica1
A) 1050 B)1220
D)1520
RESOLUCiÓN:
C)840
E) 1680
Como interesa el orden, la cantidad
de maneras viene dada por:
7 7! 7·6·5·4·3!
V.= 31= 31 840 . . 1R pta. cl
@ En una competencia automovilística
Intervienen 5 autos A; B; C; D y E
¿De cuántas maneras diferentes podrán
culminar la competencia si el
coche A siempre llega delante del
cocheB?
A)12 B)24 C)18 0)36 E)48
RESOLUCiÓN:
Posible orden:
IAIBlclolEI
‘—-y–‘
Siempre juntos
Se considera como único elemento
#maneras=P4=1!=24 1 Rpta.B 1
@ En una biblioteca hay 7 libros de Matemática
y 5 libros de Fisica ¿De
cuántas maneras puada colocarse
en un estante los libros en grupos de
5 de los cuales 3 sean de Matemáticay2deFlslca?
A) 36000 B) 38000
D)40000
RESOLUCiÓN:
C)39000
E) 42000
# de maneras de escoger 3 libros de
Matemática: C~ = 35
# de maneras de escoger 3 libros de
Flslca: C~=35
# de maneras de escoger 5 libros de
: 35·10=350
Cada grupo de 5 se podrá colocaren
el estante de: 5! maneras
# de maneras de colocarse en el es-tante:
5! ·350 = 42000 1 Rpta. B 1
@ De un grupo de 5 peruanos, 7 chilenos
y 6 argentinos se quieren seleccionar
un comité de 10 personas de
tal modo de que en el se encuentren
3 peruanos, 4 chilenos y 3 argentinos
¿De cuántas formas diferentes
se puede hacer dicha selección?
A) 5000 B)6000 C)7000
D)8000 E) 9000
RESOLUCiÓN:
# de maneras de escoger 3 peruanos:
C~=10
# de maneras de escoger 4 chilenos:
C~=35
# de maneras de escoger 3 argentinos:
C~=35
# de maneras de hacer la selección:
10·35·20 = 7000 1 Rpta. C 1
@ ¿Oe cuántas maneras se pueden
colocar 3 hombres y 3 mujeres alrededor
de una mesa circular de tal
manera que cada mujer este entre 2
hombres?
A)4 B)18 C)24 0)32 E)36
RESOLUCiÓN:
# maneras que se pueden colocar 3
hombres en una mesa circular:
Pc3=~ =~=2
# maneras que se pueden colocar
las 3 mujeres que faltan:
Pc3=~ =~=2
Total de maneras: 2·2 = 41 Rpta. A 1
@ ¿Oe cuántas maneras se puaden
colocar 12 libros diferentes sobre
una estanterla de manera que 3 de
ellos siempre deben estar juntos?
A)3!’9! B)3!’101 C)3!’12!
0)3!·11! E)3!’7!
RESOLUCiÓN:
Los 3 libros juntos se pueden colocar
de: 3! maneras.
Estos 3 libros se van a considerar
como uno solo y con los 9 restantes
harán 20 libros los cuales se acomodaran
de: 101 maneras.
El total de maneras es:
31·101 1 Rpta.B 1
~ En una bolsa se tiene 9 caramelos
de limón y 3 de fresa. Si se extraen
al azar 2 caramelos ¿Cuál es la probabilidad
de que salgan 2 caramelos
de limón?
A) 7/13 B)3/11
0)6/11
RESOLUCiÓN:
Casos totales: C~2= 66
Casos a favor: C~ = 36
C)5/13
E)I1/13
Probabilidad: : = -f.,-I Rpta. D 1
@ En una carpeta se van a ubicar 5
hombres y 4 mujeres ¿Cuál es la
probabilidad que se ubiquen en forma
altemada?
A) 3135 B) 11/252
0)7/63
RESOLUCiÓN:
Casos favorables: 5! . 4!
Casos totales : 9!
C)5/21
E) 1/126
Probabilidad
-51-‘4!= 1-
. 9! 126
1 Rpta. E 1
@ En un concurso particular 8 alumnos
y 9 alumnas si deben de haber
2 ganadores. ¿Cuál es la probabillbilidad
de que los ganadores sean
una pareja mixta?
A) 5/17 B)6/17
0)9/17
RESOLUCiÓN:
C)8/17
E) 13/17
Casos favorables : 8 . 9 = 72 combinaciones.
Casos totales
Probabilidad
:C1’=I36
72 9
: 136 =17
r:1 Rp::-:-ta–:D. =->I
@ Tres caballos intervienen en una carrera
-A-, tiene el doble de probabilidad
de ganar que B, y C tiene el
triple de probabilidad de ganar que A
¿Cuál es la probabilidad de que gane
C?
A) 1/3 B)2/3
D)3/4
RESOLUCiÓN:
Del probiema: P(A)= 2a
P(B)=a
P(c)=6a
C)7/5
E) 4/7
Sabemos que: P(A) + P(B)+ p(C)= 1 ->
->9a= l->a=~
9
Luego: p(C) = 2/3 1 Rpta. B 1
@ 10 libros de los cuales 6 son de Aritmética
y 4 de Algebra; se colocan al
azar en un estante. Hallar la probabilidad
de que los libros de cada materia
estén juntos.
A) 1/21 B) 1/35
0)3/75
RESOLUCiÓN:
1 2 3 4
A A A A
5 6
A A
Casos totales : P’D
1
A
C) 1/105
E) 7/205
2 3 4
A A A
Casos favorables : p •. p •. P2
.. Pe’ 24·2 1
Probabilidad = 10.9.8.7 p. 105
1 Rpta. C 1
@ En una caja hay 10 focos de los cuales
4 están en buen estado, una persona
toma al azar 3 focos. Hallar la
probabilidad de que por lo menos una
este en buen estado.
A) 1/3 B)5/6
0)3/4
RESOLUCiÓN:
C)2/5
E) 4/7
Focos buenos: 4 Focos malos: 6
Casos totales: ciD= 120
Casos favorables:
4 6 4 B 4 C,’ C2+C2′ C,+C3= 100
‘—-,—‘ ‘—-,—‘ ‘-r’
BO 36 4
. 100 5
Probabilidad: 120 = El
@ Se lanzan 3 monedas y 2 dados
¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan
3 caras y2 números pares?
A) 1/84 B) 1/32 C) 1/16
0)2/5 E) 3184
RESOLUCiÓN:
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• Para las monedas:
Casos favorables: 1 } Probabilidad: ~
Casos totales : 8 8
• Para los dados:
Casos favorables: 3 . 3 = 9 }
Casos totales : 6 . 6 = 36
Probabilidad: ;6 = ~
Probabilidades únicas’. ~8. ~4 = _l_ 32
[Rpta. B I
@j) Una caja contiene 6 focos defectuosos
y 5 buenos. Se sacan 2 a la vez.
Se prueba uno de ellos y se encuentra
que es bueno ¿Cuál es la probabilidad
de que el otro también sea
bueno?
A) 2/5 B)3/5
D)5/6
RESOLUCION:
C)4/5
E) 2/3
Focos buenos: 5 Focos malos: 6
Si se extraen 2 focos entonces quedaran:
Casos totales :9+1 =10
Casos favorables: 5-1 = 4
Probabilidad: 1~ = ~ ~IR -p-ta-.-A~I
® Se lanzan 2 dados ¿Cuál es la probabilidad
de obtener al menos 5 como
resultado?
A) 2/3 B)3/4
D)5/18
RESOLUCION:
C) 11/36
E)7/12
PRIMER SEGUNDO
DADO DADO
5 1 ;2;3;4;5;6 (6 casos favorables)
1;2;3;4;5;6 5 (6 casos favorables)
El caso (5;5) se repite
Casos totales : 6 . 3 = 36
Casos favorables : 11
Probabilidades : 11/36 [ Rpta. C I
@ Tres cazadores A; By C están apuntando
a un búfalo. La probabilidad de
que A; B Y C acierten son 3/5; 4/7 Y
2/3 respectivamente. Los 3 disponian
¿Cuál es la probabilidad de que
acierten?
A) 7/25 B)8/35
D) 13/35
RESOLUCION:
Sabemos que:
C)9/35
E) 17/35
P(AnBnC)= P(A).P(B).P(C)(Para eventos
independientes)
3 4 2 8
Luego: P(AnBnC)= “5′ “7′ “3 = 3s
1 Rpta. B I
@Y La probabilidad de que HUGO compre
un pantalón es 0,3 y de que compre
una camisa 0,5. Hallar la probabilidad
de que compre sólo una de
dichas prendas. Si la probabilidad de
que no compre ninguna es 0,5.
A)O,l B)0,2 C)0,3
D)0,4 E)0,6
RESOLUCION:
Del gráfico:
0,3-x+x+0,5-x = 0,5 -+x = 0,3
Me piden:
(0,4-x)+(0,5-x) = 0,2 I Rpta. B I
@ En una urna se tiene fichas numeradas
del 1 a140. Se extrae una ficha y
se sabe que es par. ¿Cuál es la probabilidad
de que ese número sea
divisible por3?
A) 1/10 B) 3/5
D)3/20
RESOLUCION:
C)2/15
E)7/20
# Pares :2;4;6; …. ;40
#Múltiplosde6 :6;12;18; …. ;36
Casos totales : 20
Casos favorables: 6
Probabilidad: :0 = 2
3
0 1 Rpta. D I
@ La probabilidad de un alumno de
aprobar Flsica es 3/4, la probabilidad
que tiene ese mismo alumno de
aprobar Qulmica es 2/3. Si la probabilidad
de este alumno de aprobar
por lo menos uno de los cursos es
4/5 ¿Cuál es la probabilidad de
aprobar ambos cursos?
A) 43/60 B)47/120
D)39/60
RESOLUCION:
F=%
Por dato:
C)37/60
E)41/60
Q=2/3
-3- x+x+2- -x=4- -+x =3-7
4 3 5 60
‘:”‘1 Rp:…..ta-. c-‘I
@ 10 parejas de casados se encuentran
en un cuarto. Si se escogen 2
personas al azar ¿Cuál es la probabilidad
de que una sea hombre y la
otra mujer?
A) 7176 B)5/38
D)9/19
RESOLUCION:
Casos totales : C~ = 190
C)8/19
E)10/19
Casos a favor: 10 . 10 = 100 combinacion~.
100 10 ~_-=->
ProbabIlidad: 190 = 191 Rpta. E I
@ Si se lanzan 3 monedas ¿Cuáles la
probabilidad de no obtener 2
caras?
A) 2/3
D)5/8
B)3/4 C)4/5
E) 7/8
Al lanzar 3 monedas se puede obtener:
{CCC; CCS; CSC; SCC; SSS; SCS; CSS}
Proballdad de obtener 2 caras: ~
Probalidad de no obtener 2 caras:
1-3- =5-
8 8 [Rpta. D I
~ Entre los números: 1,2, 3, …… , 50 se
escoge un número al azar ¿ Cuál es la
probabilidad de que el número elegido
sea divisible por4 ó6?
A) 7/15 B}9/25
D)3/50
RESOLUCION:
C)7/50
E) 8/25
Múltiplosde4 : {4; 8; 12; …. ;48}
Múltiplos de 6 : {6; 12; 18; …. ;48}
Múltiplos de 12: (12; 24; 36; 48)
• 12 • 8
4=- 6=-
50 50
. 8 4 4 16 8
Me pIden 50 + 50 + 50 =50=25
[Rpta. El
@ Se va a seleccionar un comité de 3
personas a partir de 6 hombres y 4
mujeres ¿Cuál es la probabilidad de
que los 3 son hombres?
A) 1/6 B) 1/3
D)3/4
RESOLUCION:
Casos totales: C~o= 120
Casos a favor: C~ = 120
C)2/3
E) 4/5
Probabilidad: 1
2
2
0
0 = t [Rpta. A I
MATRIZ CUADRADA
Es aquella donde el número de filas
es igual al número de columnas. Una
matriz de “n° filas y “n° columnas se
denomina matriz de orden n.
@ A= [a111
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
En toda matriz cuadrada de orden
“n”, la diagonal principal es aquella
linea imaginaria formada por los elementos:
811, 822, 833, ….• 8nn.
Los elementos de la forma: a,,; V i =
1;ii pertenecen a la diagonal principal.
MATRIZ NULA
IGUALDAD DE MATRICES
@ Sean dos matrices A y B del mismo
orden mxn es decir:
A= [a,Jl; B = [b’l]; i = 1; 2; 3; ….. ; m;
j=1;2;3; ….. ;n
Las matrices A y B son iguales si sus
elementos correspondientes son
respectivamente iguales.Asi:
A= B++aij=b¡j;Vi = 1; m ,j= 1; n
@ Hallar los valores de a; b; c y de, para
que las matrices sean iguales:
A= [2a+b -4 l B J 19 a+2bl
13 3c+dJ y Lc+3d 15 J
Si son iguales se debe cumplir que:
2a+b=19 , a+2b=-4
c+3d=13 , 3c+d=15
Dedonde:a= 14, b=-9,c=4,d=3
OPERACIONES CON MATRICES
ADICiÓN DE MATRICES @ Sean A = [alj] y B = [b,j] dos matrices
de orden mxn, entonces la adición
de las matrices A y B(A+B) es otra
matriz C = [c;], llamada matriz suma,
tal que: C = [cll] = [a’l+blJl
y también de orden: mxn
sea[nlla~2m]atrices: A = [-~ ~ L
B = 1 3
4 -1 3×2
C =A+B = [-~:~ ~:~] = [-i ~]
1+4 5-1 5 4 3><2 Dos matrices A y B del mismo orden mxn, se dice que son CONFORMES con respecto a la adición. MULTIPLICACiÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Sea la matriz: [alJl y un escalar k(k;tQ) entonces: k·A= [k· a'l] óA·k= [all' K] Es decir, el escalar k multiplica a cada uno de los elementos de la matriz @) :~a: A = [-~ ~] entonces: 3 -2 3A=[-~ ~] y_5A=[-1~ -~J 9 -6 -15 10 MULTIPLICACiÓN DE MATRICES Definición: Sean dos matrices: A= [a 11 a'2a'3 .... a,p], matriz fila de :~pe:'B = [~:~l, matriz columna de ¡orden pxl; entonbo' ces el producto de multiplicar las matrices Ay B(AB en ese orden) es otra matriz C de orden 1 xl, tal que: [b11• b2' e = AS = [a11 812813 ••• 81p]1xp br = bp1 px1 = [a11 b11+a12b21 +a13b13 + ... +81pbp1]1x1 es decir: C = I f a 1k boJ Lk= 1 J • [1-12{~] = [1.3+(-1 ).2+2.(-1 )]=[-1] • [3 0-21] [~l = [3.1+0.2+(-2).(-3)+ -~J +1.4] = [13] Definición: Sean dos matrices: A= [a,¡] de orden mxpy B = [b;] de orden pxn, entonces el producto de multiplicar las matrices Ay B es otra matriz C(A.B = C, y no de otra manera) de orden mxn, talque: C = [CII] = I f a,. bkj l ; 1 ;m, j = 1 ;n Lk= 1 J El producto de multiplicar matrices (AB en ese orden) está definido si y sólo si el número de columnas deA es igual al número de filas de B, siendo asi A y B (en ese orden) CONFORMES a la multiplicación. @ Sean las matrices: A=[~ ~] Y B=[~ ~] donde A (de 2 columnas) y B (de 2 filas) son CONFORMES con respecto a la multiplicación, luego: C=AB=[~ ~H~ ~]= [ 3.1+1.3 3.2+1.5] [6 11] = 2.1+2.3 2.2+2.5 = 8 14 @ Sean las matrices: [ a11 a'2] [b A= a2' a22 y B= b" 831 832 21 3.2 b'2] b22 2x2 como el número de A(2) es igual al número de filas B(2), entonces Ay B son CONFORMES a la multiplicación. Luego: C =AB = [cid donde: p C·iJ = ~~ 8;k bkj •. 1•'3• J' = 1•'2 k=1 811 b12+812b22J 821 b12+a22b22 831 b12+a32b22 Definición: Sean dos matrices: 3><2 A = [ald de orden mxp tal que a, es su i-ésima fila y B = [b,j] de orden pxn tal que ~j es su j-ésima columna, entonces el producto de multiplicar A y B (AB en ese orden) es: a,~, a,p2 a'~3 ...... a'p" a2~' a2p2 a2~3 ...... a2p" AB = a3~' a3p2 a3~3 ...... a3p" : :: : amj31 amlh amlh .... amj3n 3x2 @ Sean las matrices: [ A= -13 12 -11 ] Y B = [14 O2] 2.3 -1 3 3.2 C=AB=[a,p, a,p2] a2j31 a2Jh 2x2 donde: a, p, = [-1 2 -1] U] = [8] a, P2 = [-1 2 -1] [~] = [-5] a 2P'=[311]U]=[S] a2p2 = [311] m = [9] Luego: C = [~ -~] 2.2 @ Sean las matrices: [ 2 O 1] 1 -3 2 A= 2 O 1 Y 1-32,.3 B = [-~ ~] 1 -1 3x2 [ 201] [10] C = AB = ~ -~ ~ -1 _2 = 1-32 11 3><2 '.3 - [~:~: ~:~:] - a3p, a3p2 a, p, a, P2 4><2 donde: a, p, = [2 O 1] [-1] = [3] a, P2 = [-1 2 -1] [_~] = [-1] www.Matematica1.com a,p, = [1 -32] H] = [6] a,p, = [1 -3 2] [_~] = [8] Además: a,p, = a, p, ; a,p2 = a, P2; a.p, = a.p, ; aop, = a.p,; Luego: C = [Lf] 6 -8 4x2 TRAZA DE UNA MATRIZ A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se le denomina traza y se denota por: traza (A) = 811+822+833+ ... + 8nn= " @9) Sea: A = [~ :~ ~] 4 3 5 Traza (A) = 6+(-2)+5 = 9 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Es aquella matriz cuadrada A = [a'J] cuyos elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos, es decir: ali=O, Vi>j
@ A= [~_~] 8{g 1 -1] -2 2
O 3
c=[6~~i] O O 8 9
O O O 10
811 812 813 o •• 81n
O 822 823 … a2n
En general: A = O O 833 … aan
I I
O O O … a”
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
@ Es aquella matriz cuadrada A = [a,;]
cuyos elementos que están por encima
de la diagonal principal son todos
nulos, es decir:
aIJ=O, Vij v i [ci !] = Diag (4;4) ;
[~ ~ ~] = Diag (7; 7; 7)
MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD
Es aquella matriz escalar donde
k= 1 yse representa asl:
1’=[6 ~];I’=[~ ~ ~];
10= [~ ~ ! ~ 1
CASOS PARTICULARES DE
MATRICES CUADRADAS
Si:A’= 1; k e Z+ –+Aes una
matriz PERiÓDICA
Si k es el menor número entero positivo
que satisface la condición anterior,
entonces A tiene período “k”.
Además:
Ak+1 =A Ak+2=A2 Ak+3=A3
Ak+4=A4 yasisucesivamente.
Si:N=A–+Aes una matriz
IDEMPOTENTE
Además,si:A’=A–+A”=A;Vn e Z+
n;>,2
~~~–=-~—, Si:AP=O; p e Z+–+Aesuna
matriz NILPOTENTE
Si P es el menor número entero positivo
que verifica la condición anterior,
entonces A es una matriz nilpotente
de índice “p”. Además:
AP+’=O ; AP+’=O ; AP+’=O
AP+o = O Y así sucesivamente.
Si:N= 1–+Aes una matriz
INVOLUTIVA
yen consecuencia:A”=A, si n es impar;
A” = 1, si n es par.
@ Sea la matriz: A = [_~ 6]
N=A’A= [_~ m-~ 6]=[-~ -~]
A’ = N’A =[_~ _~][_~ 6] =[-6 _~] =-1
A4=A3 ·A= (-1 )(A)=-A
A5=A4·A=(-A)A=-A’
N=A’ ·A= (-A)A=-A’=-(-1)= 1
luego A es periódica, además se observa
que k = 6 es el menor número
entero positivo que satisface la condición
anterior, entonces k = 6 es el
(@ ::~~:o~atriz: A = [-~ _~ ;]
-1 3 5
A’=A’A= [-~ -~ -;]. [-~ -~ _555] =
-1 3 5 -1 3
= [-~ -~ -;]
-1 3 5
N = A –+ A es indempotente
Además, siendo A indempotente, se
cumpleque:A”=A;Vn e N, n<:2 @ Sea la matriz: A = [~ :~] A'=A-A=[~ :~H~ :~]=[g g]=o A' = O --+ A es nilpotente de Indice 2 @ Sea la matriz: 8 = [-~ -~ ~] 1 -34 8' = 8-B = [-~ -~ -:] . [-~ -~ ~] = 1-3-4 1-34 =[g g g]=o O O O 8' = O --+ es nilpotente de Indice 2 MATRIZ TRASPUESTA @ SeaA= [a'i] una matriz de orden mxn; la matriz traspuesta de A, que se denota por A', se obtiene colocando las filas (o columnas) de A como columnas (o filas) en A', es decir: A'= [a'J] de orden nxm A = [~ -~] entonces: A' = [_~ ~ ~] 5 6 3><2 "" [ 8 = -21 -34 52 ] entonces: 8 [1 -2 1] ' = -3 4 -3 1-30,., 250,., www.Matematica1.com www com . . M atematica1 MATRIZ SIMéTRICA Una matriz cuadrada A = [alj] de orden n es simétrica si y solo si: A' = A, esdecirsi: 8ji=SiJ ;\fi;j=1;n €9> Para la matriz:
A=[_~ -nA'{~ -~J=A,
luego A es simétrica.
Para la matriz:
B = [-~ -~ -i]; B’ = [-~ -~ -i] = B,
4 -1 2 4 -1 2
luego B es simétrica.
MATRIZ HEMISIMéTRICA O
ANTISIM~TRlCA
La matriz cuadradaA= [all1 de orden
n es hemisimétrica si y solo si: A’ =
-A; esdecirsi:
8j¡=-Sij; Vi;j=1;n
Observe que los elementos de la
diagonal principal son nulos, pues
para que:
811 = -811; 822= -822; 833= -83g; … ;Ann
=-8nn.
se debe cumplir que:
811 = 822=833= …. =Snn= O
@ Para la matriz:
A=[~ -nA'{~ ~J=-A,
luego A es hemisimétrica.
Para la matriz:
B = [-~ Ó -;]; B’ = [~ ci -;] = -B,
-350 3-50
luego B es hemisimétrica.
@ Dada la matriz cuadrada: A = [all1 de
orden n, demostrar que A+A’ es simétricayqueA-
A’eshemisimétrica
• Sea B = [b,;] =A+A’= [al;]+[ajl]
= [a;+ajl]
donde b’l= all+all= all+all= bll
Vi;j = 1 ;n, es decir: B = B’
Luego: B =A+A’es simétrica
• Sea e = [CII] =A-A’= [a,I1-[all]
= [ag-all]
donde Cg= a’l-al’ = -(all-aol= -cII
Vi;j = 1 ;n, es decir: e= -e’
Luego: e =A-A’es hemisimétrica
MATRIZ CONJUGADA
Si A es una matriz de orden mxn tal
que A = [alj ],entonces la matriz conjugada
deAes:
A= [alj] también de orden mxn
‘573’ • A = [2+i -i]
~ 1-1 7
entonces A = [~:i ~ ] =
= [2-i 7iJ
l+i
[
i 1-3i 5]
• B = 2 i-l -3i
3+i -6 5i
[
i 1+3i
entonces B = -2 -i-l
3-i -6
MATRIZ HERMITICA
5] 3i
-5i
Una matriz cuadradaA= [all] de orden
n l!!! denomina hermítica si y
solosi:A’=A, es decir:
8ji=Sij ;Vi;j=1;n
Para los elementos de la diagonal
principal a .. k= 1; n setieneque:
8kk=SkkB8kk.E R,
osea, éstos elementos deben ser
reales.
@). A= [1~3i 15
3i
] yAi= [1!3i li
3iJ’
=[1~3i 15
3i
] =A
luego A es hermítica.
• B = [ ¡ ~ ~~~i]
3-2i 4+7i 6
Y B’ = [ ¡ ~ ~~~i] = B
3-2i 4+7i 6
luego B es hermltica.
MATRIZ HEMIHERMlnCA
Una matriz cuadradaA= [alj] de orden
n se d~nomina hemihermítica
si ysolosi:A’= -A; es decir:
8j¡=-Sij ;Vi;j=1;n
Para los elementos de la diagonal
principal a .. k= 1; n setieneque:
8kk=SkkB8kk=O v 8kk=mi,
donde i =Y-1
osea, éstos elementos deben ser
nulos o imaginarios puros.
-2-1′ ]’_
O –
luego B es hemihermltica.
@ Siendo la matriz cuadrada: A =~all]
de orden n, demostl”lli” que A+A’ es
hermítica y que A – A’ es hemihermltica
• Sea B = [b;¡] =A+A’= [a;¡]+[ajl]
= [Sij+8ji] __
donde b’l = ag+¡¡¡ = all+¡¡¡ = ¡¡¡,(1);
Vi;j = l;n, es decir: B= 8f
Luego: B =A+A’es hermítica .
• Sea e = [CI;] =A-At= [alj]-[8j]
= [a;-8;I]
Pero: cII= all-8;I= -(all”¡¡¡~= -c¡;
Vi; j = 1 ;n, es~ecir: e =-0
Luego: e =A-A’ es hemihermltica.
DETERMINANTE DE UNA
MATRIZ CUADRADA
Dada la matriz cuadrada A = [al;] de
orden “n”, se denomina determinante
de A denotado por I A I y se dice también
de orden “n° – a la suma de todos
los términos que se pueden obtener
de dicha matriz, es decir:
” lA I = ~ (-1)’,· a’j, a2j2a,;, …. a’j,
k=1
donde d, indica el número de decrementos
en la permutación j ti2 j, … j,
y que para cada d,se considera una
y sólo una de las permutaciones de:j,
joh··· j,
DETERMINANTE SEGUNDO ORDEN
Pa~ la matriz: A = [:~~ :~ 1
se tiene que
1
811 812
1 IAI= a2′ a22 =(-I)’1.atta’2+
+(-I)’2·a’2a2′
Pero: d, = O (la permutación 12 no
tiene decrementos)
yd2= 1 (la permutación 21 tiene
Un decremento)
Luego:
IIAI=a1ta22-a’2a2′
t?IAI=12+V3 l-V2 I= ~ 1+V2 2-V3
=(2+V3)(2-V3)-(1+V2)(1-V2) = 2
I BI=ltanx -secxl=
cosx cotx
= tan x· cotx- cosx ·(-secx) =
= 1-(-1) = 2
DETERMINANTE TERCER ORDEN
Para la matriz: A = [:~~ :: :~:]
se tiene que 831 832 833
1
att a” a131
IAI = a21 a22 a2′ =
831 832 833
= (-I)”·att a22 a,,+(-I)’2·a’2a21 a,,+
+(-1 )” ·a”a2′ a’2 +(-1)”‘· att a23a32+
+(-1 )” ·a’2a2,a” +(-I)do. a”a22a”
Pero: d, = O (la permutación 123 no
tiene decrementos)
d2= 1 (la permutación 213 tiene
un decremento)
d, = 2 (la permutación 312 tiene
dos decrementos)
y así con los demás. Luego:
IAI =811822833-812821 833+813821
832- 811 823832+ 812823831-
813822831
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REGLADESARRUS
Mediante ésta regla se puede obtener
el determinante anterior en forma
rápida. Consiste en repetir la primera
y segunda columna a continuación
de la tercera. Se toma el
producto de los tres elementos de la
diagonal principal y también el de
sus paralelas siguientes, cada uno
con signo positivo; y luego el producto
de los tres elementos de la diagonal
secundaria y el de sus dos paralelas
siguientes, pero cada uno con
signo negativo, tal como lo muestra
el esquema siguiente:
IAI=a11a~a~+a12a~a~+
813821832 -a31 822813-
832823811-833821812
IAI = 2·0Hl)+(-3)(-2)·0+(4)·1·(-5)-
0·0·(4)-(-5)(-2)·2-(-6)·1·(-3)
IAI = 0+0+20-0-20-18–+ IAI =-18
@ Hallar el determinante de la matriz:
A=[~ -~ ~]
-7 1 3
Operando como lo indica el esquema
se tiene:
IAI = 2·1·3+4·1·1 +(-3)·2·(-7)-(-7)·1·
1-1·2·24·(-3)·3
IAI =6+4+42+74+36=91
MATRIZ ADJUNTA
Dada una matriz cuadrada: A = [al;]
de orden n, donde a,) es el adjunto
del elemento a,~ se define como la
matriz adjunta deA-y se denota por
ADJ(A)-a:
0.11 0.21 0.31 …… Un1
0.12 0.22 0.32 …… an2
ADJ (A) = a’3 a23 a33 …… a,3
n1n a2n a3n …… Unn n)ln
Nótese que los adjuntos de los elementos
de la fila j en A son los elementosde
lacolumnaj enADJ (A), o
los adjuntos de los elementos de la
columna i enAson los elementos de
la fila i enADJ (A), es decir:
ADJ (A) = [a,;]’= [a;l]
@) Para la matriz: A= [; ~]
all=(-l)’+’·IM”I=q
a21=(-1)2+1·IM211=-n
a’2= (-1)1+2·1 M’21 =-p
a22= (-1)2+2·1 M221 = m
~~g~~) = [a11 a21] = [q -mn]
0.12 0.22 -p
@l) Para la matriz: S = [~ -~ !] -2 3 -1
a,,=(-l)’+’· M”I=-13;
a21 = (_1)2+1 M211=8
a31 = (-1)3+1 M311=-7
a12=(-1)1+2 M’21=-8
a22=(-1)2+2 M221=4
a32=(-1)3+2 M321=-8
a13=(-1)1+3 M’31=2
a23=(-1)2+3 M231=4
a33=(-1)3+3 M331=2
~:g~~) = [~~: :~ ~:] =
0.13 0.23 0.33
= [-~~ : :~]
2 4 2
DETERMINANTE DE LA
MATRIZ ADJUNTA
Dada la matriz cuadrada:A= [al;] de
orden n y su correspondiente matriz
adjunta: ADJ (A) = [a;l] también de
orden n, se tiene:
a” a’2 813 …… Sin
a21 a22 823 …… 82n
A-ADJ (A) = a31 a32 833 …… a3n
I
a” a” 8 n3 …… 8 nn
a 11 821 831 …… 8n1
a 12 822 832 …… 8n2
a’3 a23 a33 …… a’3 = ADJ (A)·A
8in a2n 83n …… 8nn
de donde: A·ADJ (A) = [ i a” .a;,]
k=1
Aplicando las propiedades se obtiene
que:
IAI O O …. O
O IAI O …. O
A-ADJ (A) = O O IAI …. O
! !
O O O ····IAI
= DIAG(IAI; IAI; IAI; …. ; IAI)
es decir: Ir-A-.A – D-J -(A-)= -1 A-I-·/-‘,I
Luego, tomando determinantes:
=
lA· ADJ (A)I =11 A 1·1,1-+
-+ lA I·IADJ (A)I = lA l’ ·1/,1
–+ IAI·IADJ (A)I = IAI’
por lo tanto:
‘II-AD-J-(A-)I-=-I A-I-~1–‘1
@ HB;lIar el determinante de la matriz
adlunta de: [ 3 -2 1 ]
A= -2 1 4
143
Se pide IADJ (A)I Y para esto no es
necesario calcular laADJ (A), puesto
que por la propiedad: (4.6) se tiene
que:
ADJ (A) = IA13.1 = IAI2
donde: IAI = 9-8-8-148-12 =-68
Luego: IADJ (A)I = (-68)2 = 682
Por otra parte, si A es una matriz singular
(1 A I = O) de (4.4) se deduce
que:
A·ADJ (A)=DIAG(IAI; IAI; IAI; ..
… ; IAI)=O (matriz nula)
MATRIZ INVERSA
Sean A Y S dos matrices cuadradas
de orden n, tales que:AB = SA= 1, entonces
se dice que S es la matriz inversa
deAyse denota así: S =A-‘ ; o
también se dice queAes la matriz inversade
Sysedenolaasí:A= S·1.
Luego:
kA·1 = 1 V A·1 ·A= 1
§ Sean las matrices:
A=[~ ~] Y S=[-~ _~]
AB=[~ ~n-~ -~]=
[:~:~ ~:~]=[b ~]=I
SA=[-~ -~H ~ ~]=
=[-~~23 -;~] =[ b ~] = 1
De donde afirmamos que S es la matriz
inversa de A, osea:
A-‘ =[-~ _~] = S
Asimismo, también A es la matriz inversa
de S, asl:
S-1 = [~ ~] =A
@)SiA=[~ nhallarA-1
Sea A·1 = [; ~], luego por (4.9) se
tiene:A.A.’=[~ ~H; ~]=I
–+ [5m+3P 5n+3q] = [1 0]–+
3m+2p 3n+2q O 1
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–> 5m+3p = 1 5n+3q = O
3m+2p = O 3n+2q = 1
resolviendo: m = 2 ; n = -3 ;
p=-3;q=5
entonces: A-‘ {~ -; ]
CONDICiÓN NECESARIA Y
SUFICIENTE PARA QUE UNA
MATRIZ CUADRADA POSEA
INVERSA
Sesabeque:A’ADJ (A) = IAI’/
yademás: A·A-‘=/
considerando que lA I ‘” O, se tiene
que: ADJ (A)
A· IAI
de donde:
A-‘
ADJ (A) 1
IAI =IAT ·ADJ (A)
Es decir, A-‘ existe si y sólo si A es
una matriz regular(IAI “O); perosiA
es una matrizsingular(IAI = O)sedice
que A no posee inversa o no es
inversible.
@ Hallar la inversa dela matriz:
A= [43 -11] ,S.le X.ls te
1
lA I = 43 -111 = 7, lA 1′” O,
entonces A posee inversa, además:
0<1,=(-1)"'·(1)=1 a'2= (-1 )"2. (3) =-3 a2,=(-1)2·'·(-1)=1 a22= (-1 )2'2. (4) = 4 yADJ (A) = [~ 1] Por (4.13): A-' = _1 . [1 1] = [+ +1 7 -34 -3- 4 - 7 7 @§) Hallar la inversa de la matriz: [ 2 1 -2] A= 3 O 1 ,siexiste -1 4 O Por la propiedad (3.22), con respecto a la segunda fila, se tiene que: 11 -21 1 2 a3' = O 1 = 1; a32 =- 3 -211 = -8; a33=I~ 61=-3 Luego: ADJ (A) = [~ ~] -8 -2 12 -9 entonces por (4.13): 4 8 33 33 33 A-' = 1 2 8 33 33 33 4 3 11 11 11 MATRIZ AMPLIADA Dadas dos matrices:A= [a,;] de orden mxn y B = [b,; ] de orden mxp (osea, con el mismo número de filas), se denomina matriz ampliada a: [A:B] = [ag' b'l] de orden mx(n+p) es decir: [A:B] = 811 812 8a13 ...... 81n ! a21 822 23 ...... 82n i ar ai ar ...... ar I am1 am2 am3 ..... amn ! mx(n+p) @ Si: A = [-13 2O] Y B = [12 -13 -32 ] , 4-2 1-52 entonces: [A:B] = [-1 2 1 1 -1 2] 0,23-3 -211-52 @) Si:A= [-~ -6 ~]YI3=[6 ~ ~1]' 2 O -2 O O entonces: [ 1 -1 O ¡ 1 O O] [A:!.1 = -1 O 2 1 O 1 O 20-2¡001 11 @!) Calcular la inversa de la matriz: A=[~ -~] 1 1 -21 12 IAI =3(-1)' 4 O +1·(-1)· -1 = 3(-8)+1·(-9) = -33; lA 1" O entonces A posee inversa. Calculando la matriz adjunta deA: a" = 1 ~ 61 = -4; a'2 =-I_~ 61 = -1; a'3=1_~ ~1=12 a" =11 -~I = -8; a22 = I_~ -~I = -2; a23=-I_~ 11=-9 Por la propiedad (4.17) [A'I] = [4 -1: 1 O] 1,-12 . 3 1¡0 1 - [ 1 -2! 1 -1] 12 _ 1, [1 -2! 1 -1] 3 110 1 - 071-34 -11 2 [1-2 7_ O 1 1 -1] _-ª- .! 1, ":..212 7 7 [ 1 -2 _~ :]=[I:B] O 1 7 7 Luego: B = A-' =[. i ~] 8 Calcular la inversa de la matriz: A= [~ 6 -f] -1 4 O Por la propiedad (4 17): [ 21-210 [A:!] = 3 O 1 O 1 -1 4 O O O ~] 1,~12 [~ ~ -f 6 ~ 61 ] -1 4 O O O 12-31,[1 5 -2 1 O 1J - O -15 7 -3 1 -3 13 + 1, O 4 -2 1 O 1 [ 1 1 5 -2 1 ¡i O 1. -1512 0_12.1: _1 1 _ 15 5: 15 5 09-21102 O 1 O 1 3 3 O 12-31, O 1 _2. 1. __ 1_ 15 5 15 5 11 4 3 1 O O 15 5 5 5 = [I:A-'] 4 --ª- __1 33 33 33 1 2 8 Luego: A-' = 33 33 33 4 3 1 11 11 11 @ Hallar la inversa de la matriz: A= [-~ ~ -~] 4 5 -7 [A:!] = [o} ~ :~ 6 ~ ~] O O 1 1,:1, [6 ~ -~ 13-41, O -3 -3 6 ~ ~] -4 O -3 www.Matematica1.com ~_12 [: ~ -1 ~ ! l] 0-3-3-40-3 13+312 1, -212 1 O -3 o 1 o O O 3 5 1 5 17 5 2 5 1 3 5 1 5 5 -3 -1-2 5 5 donde se observa que los tres primeros elementos de la tercera fila son nulos, con lo cual se hace imposible la fonnación de la matriz identidad en la parte izquierda. En conclusión, la matriz dada no tiene inversa. (Tenga en cuenta que esto también significaqueIAI= O). MATRIZ ORTOGONAL Una matriz cuadrada: A = [ag] de orden n se denomina ORTOGONAL, siysólosi: A'A'=A"A= I @ ... _AH T] AA"[ ; 1] 1 -../3 2 2 -../3 = --.-./31 - 2 2 2 2 =[ ~+! -"1+Yf] =[1 0]=1 --..(3 + -..(3 -ª- + ~ O 1 4 4 4 4 Luego:Aesortogonal. De(4.19)setieneque:A ·A'= 1-->
–>A-“A ‘A’=A”‘I–> I’A’=A”‘I
De donde, si A es ortogonal entonces:
I A’=A-‘ v A” =A’ I
2 2
3 3 3
@ Averiguar si: C =
2 2 1
3 3 3
1 2 2
3 3 3
es ortogonal.
C= ~ [-~ ~ J]–>ICI=-l A
AADJ (C) = ~ [:~ -~ ~] 9-6-36
Luego:
1 C-‘ =-. ADJ (C) =
ICI
= -~ . ~ [-~ ~ -~]
2 2 1
3 3 3
–> C·, = 1 2 2
=C’
3 3 3
2 1 2
3 3 3
Entonces: C es ortogonal.
SUBMATRlCES CUADRADAS
Dada una matriz: A = [a’l] de orden
mxn, se denomina submatriz cuadrada
de orden r(r,; mín){m; ni) a
aquella que se obtiene luego de eliminar
una o más lineas (filas y/o columnas)
de la matrizA.
@ Sea la matriz:
A= [~ ~] de orden 3×2
-1 3
Siendo r el orden de una submatriz
cuadrada: r ” mín {3; 2}, es decir:
r ,; 2. Las submatrices cuadradas
de orden 2 son:
[~ ~]{~ ~H-~ ~]
Las submatrices cuadradas de orden
1 son:
[1]; [4]; [2]; [O]; [-1]; [3]
@ Sea la matriz:
B = [~ -~ ~ -~] de orden 3×4
1 3 2 O
En este caso, el orden de una submatriz
cuadrada r ,; min (3; 4), es
decir: r'; 3. Las submatrices cuadradas
de orden 3 son:
[~ -~ ~]; [~ -~ -~];
1 3 2 1 3 O
[~ ~ -~]; [-~ 6 -~]
120320
Las submatrices cuadradas de orden
2 son:
[5 2].[0 -1].[5 2]. O -1 ‘1 3′ 1 3′
[2 lJ’ [-1 O]. [2 1]. etc.
-1 O ‘ 3 2 ‘ 3 2′
sólo se han indicado seis submatrices
cuadradas de orden 2, pero en
total se pueden obtener 18. Las
submatrices cuadradas de orden 1,
son fáciles de indicar, como el lector
habrá podido percatarse.
CARACTERISTlCA O RANGO
DE UNA MATRIZ
Dada una matriz A = [alj] de orden
mxn, se llama caracterlstica o rango
de la matriz A al orden de aquella
submatriz cuadrada de mayor orden
posible cuyo detenninante sea
distinto de cero; es decir, la característica
de A es igual a r si al menos
una de sus submatrices cuadradas
de orden r tiene determinante no nulo,
siendo los detenninantes de las
submatrices cuadradas de orden r+l
(si es que existen)todos nulos.
~ Hallar la caracterlstica de la matriz:
A= [3 6 -9]
2 4 -6
Como la matrizAes de orden 2×3, tomaremos
primero las submatrices
cuadradas “mas grandes”, osea las
de orden 2:
I~ ~I=o; I~ :~I=o; I~ ~I=o
En vista que sus detenninantes son
nulas, entonces la característica no
es 2. Tomando ahora las submatrices
cuadradas de orden 1, vemos que,
por ejemplo: I 3 I = 3 “O. Luego A tiene
característica r = 1.
~ Hallar la determinante de la matriz:
B=[j r~l 4 5 -7
Considerando primero las submatrices
cuadradas “mas grandes”, las de
orden 3, vemos que:
1 2 -1 1 2 -1
2 4 -2 =0 ; 2 4 -2 = O;
-1 3 6 4 5 -7
1 2 -1 -2 4 -2
-1 3 6 =0 ; -1 3 6 =0 ;
4 5 -7 4 5 -7
Ahora, las submatrices cuadradas de
orden 2; basta con encontrar una con
determinante no nulo, por ejemplo:
I_~ ~ 1= 10″ O Y concluimos que la
característica de A es r = 2.
MATRIZ COVALENTES
Dos matrices A y B del mismo orden
se dice que son equivalentes si una
de ellas se obtiene de la otra como resultado
de la aplicación de un número
finito de transfonnaciones de linea
(por lo general, de fila) y éstas además
tienen la misma caracterlstica.
@ Hallar la caracteristica de la matriz:
A= [~ ~ ~ ~]
134 5
Transfonnando la matriz A se tiene:
A=[~ ~ ~ ~]12~21′[~ _~ _~ _~]
1 3 4 5 h – 12 O 1 1 3
(-1J2[~ ~ ~ ~]h:f2[~ _~ ~ ~]=B
0113 0000
La matriz B es equivalente a la matriz A
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www com . . M atematica1
En B, todas las submatrices cuadradas
de orden 3 tienen detenminante
nulo, pero una de sus submatrices
cuadradas de orden 2: I ~ ~ I tiene
detenmlnante no nulo; luego la caraclerlstica
de B, y por consiguiente
la deA, es r= 2.
Para hallar la caracterlstica de una
matriz cualquiera es más sencillo
calcularlo por medio de su matriz
equivalente; en ésta puede observarse
rápidamente a equella submatrlz
cuadrada cuyo detenmlnante es
distinto de cero.
MATRIZ CANÓNICA
Una matriz e = [cy1 de orden mxn y
cuya caracterlstica es r, se denomina
canónla si satisface las siguientes
condiciones:
a) Uno o más elementos en cada
una de las r primeras filas son distintos
de cero, siendo nulos todos
los elementos de las m-r filas restantes.
b) El primer elemento no nulo en cade
una de las r primeras filas es la
unlded; siendo, obviamente, nulos
lodos los elementos anteriores
a éste.
c) A partir de la segunda fila hasta la
r-éslma, el número de elementos
nulos anlerlores a la unidad siempre
debe ser mayor al de la fila
anterior.
d) En la columna a la cual pertenece
el primer elemento no nulo de
una cierta fila (osea la unidad), lodos
los demás elementos deben
ser nulos.
@ Son matrices canónicas:
C, =[6 ~ -~ 6] e2=[~ ~ ~ r~] O O O O O O O O O
C3=[~ b ~ ~] O O O 1
donde la caracterlsUca de e, es r= 2,
lade C2es r= 3yladee3es r=3.
Nótese que éstas matrices satisfacen
todas las condiciones anteriores
En cambio, las siguientes matrices
no son canónicas:
c.=[b ~ -~ ~] e.=[~ ~ 0000 00
c.=[b b -~ g]
O O O 1
OO -1 ] 1 O 4
1 O 1
O O O
C. no satisface la condición (B), C.
no satisface las condiciones (e) y (d);
Y C. no satisface la condición (d).
Pero, con algunas transfonmaclones
elementales de fila, éstas se pueden
llevar a matrlices canónicas.
8 Hallar la matriz canónica equivalente
de: [ 1 2 1 O]
3 2 1 2
A= 2 -1 2 5
5 6 3 2
1 3 -1 -3
Transfonmando hasta obtener la
matriz canónica:
[~ ~ ~ ~] ~::::[b ~ -~ ~] A= 2 -1 2 5 – O -5 O 5
5 6 3 2 f.-5f, O -4 -2 2
1 3 -1 -3 f.-f, O 1 -2 -3
[
1 2 1 0]f’_2f2 1 O 5 6
O 1 -2 -3 f3-5f2 O 1 -2 -3
f.xf. O -5 O 5 – O 0-10 -10
– O -4 -2 2 f.-4f2 O 0-10 -10
O -4 -2 2 f.-4f2 O 0-10 -10
-,~3 [~ LLl] f:~~3[~ ~ ! -1]
O 0-10 -10 f.-1Of3 O O O O
Se podrá observar que la matriz canónica
obtenida tiene caracterfstica
r = 3; luego A también será de caraclerlstica
r= 3.
@j) Hallar la matriz canónica equivalentede:
B=[~:~ ~ ~ ~]
2 -2 1 O 2
1 1 -1 -3 3
Transfonmando:
B = [rH H]-[g tLH] 1 1 -1 -3 3 O 2 -2 -4 2
_lb ~ -~ :~ ~]-[~ ~ ~ -6 ~]= C
O O -1 -2 O O O 1 2 O
0012000000
Queda para el lector, detenminar las
transfonmaciones empleadas. De
ésta última, la matriz C y por consiguiente
B tienen caracterlstica r= 3.
@ Se tiene dos relojes sincronizados a
las 12 del medio dla (hora exacta).
Si el primero sa adelanta 2′ cada
hora y el segundo se atrasa 3′ cada
hora responder:
a. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán
nuevamente la hora correcta
los 2 relojes slmu~áneamente?
B. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán
la misma hora?
A) 30 dlas, 6 dlas
C)7 dlas, 3 dlas
E) 9 dlas, 3 dlas
RESOLUCIÓN:
B) 2 dlas, 9 dlas
D) 5 dlas, 6 dlas
Con IIJ parte Ua”cIeI ptObIema:
Para que dos relojes malogrados
que están marcando la hora
correcta lo vuelvan a hacer, tiene
que pasar un tiempo igual al
M.C.M. de los tiempos parciales
que debe pasar para volver a
marcar la hora exacte.
Enlonces hallando el tiempo que debe
transcurrir para que el 1 ero reloj,
vuelva a marcar la hora correcta.
Se adelanta Cada
2mln –1hr
12hr — x
30
x = 12 hrx1.hf (.6ó mín “\ .z lJ1/iÍ x l 1 N J
x=360hr
x = 360 h{~4d~~J = 15 dlas …. (1)
Después de 15 dlas de adelanto el
1 ero reloj marcará la hora correcta.
Hallando el tiempo que debe atrasarse
el 2do. reloj para que vuelva a
marcar la hora correcta.
Se adelanta Cada
3min –1hr
12hr — x
20
x = 12 hrx1.hf (.60 “,rn “\
~1J1/iÍ xl 1N J
x = 240 hr = 10 dlas ……………. (2)
Después de 10 dlas de atraso el2do.
reloj vuelve a marcar la hora correcta.
El M.C.M. es 10y 15es: 30
Entonces deberá pasar 30 dtaa para
que los dos relojes marquen la hora
correcta slmuMneamente.
Con la parte Ub” del problema:
Para que dos relojes malogrados
que están marcando lo mismo
vuelvan a coincidir, lienen que
separarse 12 horas.
SI el primero se adelanta 2 mln. por
hora y el segundo se atrasa 3 mino
por hora, entonces la separación lotal
por hora es 5 min., Luego:
Separación Cada
5mln –1hr
12hr — x
12
_ 12 hrx1 N (.6ó rn. ÍIIn “\ x – $1J1/iÍ xl 1)1f J
x = 144 hr
x = 144.hi rl12 4d,l8hSf J = 6 dlas
Deberá pasar: 6 dlas r[R ::’,,-ta-.–Ac,,¡
~ La campanada de un reloj indica las
horas con igual número de campanadas.
Para indicar las n horas tarda 4
segundos. ¿Cuántas horas habrán
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transcurrido desde el instante en
que empleó n segundos para indica~
a, hasta el instante en que utilizó
2n segundos para indicar la hora?
A) n2 +n B) n2 -n C) n2 -n
2 4 2
D) n2 +1 n2 +n-1
4 E)–4–
RESOLUCiÓN:
En “n” horas, el reloj da “n” campanadas,
las cuales transcurren en (n-1)
intervalos de tiempo.
(n-1) intervalos —4s
1 intervalo — x
x=
1 joteIvaIox4s
(n-1) joteIvaIo
x=[n~1Js ……. (1)
De(1)afirmamosque un intervalo de
tiempo transcurre en r~J s
ln-1
En “n” segundos habrán:
n n(n-1) 4 = -4- intervalos
n-1
n(n-1 )
Los -4- intervalos corresponden
a [n(~-1) +~ campanadas.
n(n-1) n2 -n+4
-4-+1 = 4 ….. (2)
En “2n” segundos habrán:
–ª’- = 2n(n-1) = n(n-1) intervalos
4 4 2
n-1
n(n-1)
Los -2- intervalos corresponden
a [n(~-1) +~ campanadas.
n(n-1) 1 = n2 -n+2 (3)
2 + 2 …..
Habrán transcurrido: (3) – (2):
n2 -n+2 n2 -n+4 2n2 -2n+4-n’+n-4
–2– – –4–= 4
= n2 -n horas
4 I Rpta. B I
8 Un reloj empieza a adelantarse a
partir de las 8:30 a razón de 8 minutos
y medio cada dia y medio, luego
de ¿cuánto tiempo marcará la hora
correcta nuevamente?
A) 103 :3 dlas B) 127 1~ dras
e) 103 1
5
7 días D) 120 dias
E) 107 ~~ días
RESOLUCiÓN:
Para que un reloj malogrado que
se adelanta o se atrasa vuelva a
marcar la hora correcta deberá
adelantarse o atrasarse 12 horas.
Entonces, por condición del problema
y usando regla de tres:
Se adelanta Cada
8 21m.ln — 1 21 dl’a s
12hr — x
12 hrx1-tdías
x=
8 ~ min
3
x= 12ptx1;Zdras x[~J
y17 _,,,”,n, 1):tf
12x3x60
x = 17
1260 dr
17 as
x = 127 1~ días
,——,—–,
Luego de: 127 * días marcará
la hora correcta. I Rpta. B I
8 ¿A qué hora, inmediatamente después
de las 2:00 p.m., el minutero
adelanta al horario, tanto como el
horario adelanta a la marca de las
12?
A) 2:32 p.m.
C)2:35p.m.
B)2:28 p.m.
D)2:24 p.m.
E) 2:40 p.m.
RESOLUCiÓN:
Graficando la condición del problema:
12
10
9
8
6
Del gráfico podemos establecer:
2a=6M·
a=3M· ……………… (1)
a- [~J~ 2(30·)
a-MT· =60′ ……….. (2)
(1) en la ecuación (2)
M’ 5M·
3M· — = 60 ~ – = 60
2 2
M = 120 M = 24 mino
5
Han transcurrido desde las 2; 24 minutos.
Entonces son las:
2hr24min. I Rpta. DI
@ Al preguntarle la hora a un romántico
responde: pasan de las 3 sin ser
las 4 de esta hermosa tarde. Si hubieran
pasado 25 minutos más; faltarán
para las 5 horas los mismos
minutos que pasaron desde las 3 hace
15 minutos, que es el tiempo que
espero a mi amada. ¿Qué hora es?
A)3h55min B)3h45min
C) 3h 35 min D) 3h 25 min
E)3h 15min
RESOLUCiÓN:
Asumiendo que:
# de minutos que pasaron desde las 3
=Mmin.
Si hubieran pasado 25 minutos mas
tendríamos; (M+25); entonces faltarían
para las 5:
[120-(M+25)] minutos
Desde las 3 hace 15 minutos pasaron
(M-15)minutos.
Planteando el problema, tenemos:
120-(M+25) = M-15
120-M-25 = M-15
110=2M
De donde: M = 55
Desde las 3 pasaron 55 minutos.
Son las: 3h 55 mino I Rpta. A I
~ Si el duplo de las horas transcurridas
en un día es igual al cuádruplo de las
que faltan para terminar el día. ¿Qué
hora es?
A)3a.m. B)5p.m.
D)4a.m.
RESOLUCiÓN:
Asumiendo:
C)4p.m.
E)2p.m.
Horas transcurridas del día = x
Se deduce que:
Faltan transcurrir del día = (24-x)
Del enunciado del problema
2x=4(24-x)
2x=96-4x
6x=96
x=16
Como han transcurrido 16 horas del
día, son las: 4 p.m.
~ Hallar”B” en el gráfico
12
9
6
A) 120· B) 110·
D) 142·
RESOLUCiÓN:
I Rpta, C I
3
C) 130·
E) 135·
ObseNaciones en el gráfico:
El minutero se encuentra en la marca
de las 4, por lo tanto avanzó 20 minutos.
En 20 minutos de avance del minutero
el horario giró 10· con relación a la
última hora marcada. (Demostrado
en la parte teórica).
Graficando:
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12
11, _-+_.,
10
9 3
4
Del gráfico:
6=30′(4)+10′
6= 130′ I Rpta. C I
@ ¿Qué hora indica las agujas del reloj?
Si: 3a – 6 = 40′
12
9 ‘¡”‘-~~==-l-3
A) 10: ~
80
D) 10:11
6
B) 10: 9;
RESOLUCiÓN:
Por dato:
3a-6 = 40′ …….. (1)
Del gráfico:
a+6 = 360′ ……. (2)
Sumando (1) Y (2):
4a=400′
a=100· ……….. (3)
73
C) 10:11
E) 10: 1!0
“a” es el ángulo entre el horario y el
minutero. entonces; como el horario
está delante del minutero:
11
a=-T M+30H
en donde:
100′ = – J1. M+30(1 O)
2
100′-300′ = – J1. M
2
-200·=-J1. M
2
400 =M
11
de donde: M = 36 1~ min.
Son las:
1 Ohr 36 1~ min. I Rpta. C I
~ Un campanario tarda n2 x sag. en tocar
tantas campanadas como “n” veces
el tiempo que demora entre
campanada y campanada, hallar el
tiempo en función a “n” que demora
entre campanada y campanada si es
igual a “x·.
¡;;:¡::¡A)~
nseg.
C) n seg.
E) n41 sag.
n
D) ~ 4~~1 seg.
RESOLUCiÓN:
Graficando:
# de campanadas
~1° 2° 3° 4° nx
rI ~ÁÁ n2 Áx se g. .-.· -.-.” – ‘-1.¡
Intervalos de Tiempo
Sabemos que el # de intervalos de
tiempo es uno menos que el # de
campanadas. entonces:
II=C-ll
l=nx-l …… (l)
Luego; hallando el tiempo que dura
cada intervalo:
nx-l –n2 xseg.
l–t
de donde:
t = n2x ……. (2)
nx-l
Pero t = x, entonces en (2):
n2x
x = nx-1
“c(nx-l) = n2″c
nx-1 = n2
nx = n2 +1
De donde:
n2 +1
x=-n
I Rpta. El
@ Un reloj indica la hora que es con
igual número de campanadas. Para
indicar que son las 5 emplea 8s. Pepito
se acuesta a una hora en que el
reloj emplea 20s en indicarla y se levanta
al día siguiente, a una hora
en que el reloj emplea lOs para indicarla.
¿Cuántas horas duerme
Pepito?
A)8h B)6+h
D)7h
RESOLUCiÓN:
4 intervalos –8s
1 intervalo — x
1 interValo x$S
x AlnterValos
Un intervalo transcurre en 2 seg.
En 20 segundos tenemos 10 intervalos
de tiempo, entonces se ejecutaron
11 campanadas.
Pepito se acostó a las 11 p.m.
En 10 segundos tenemos 5 intervalos
de tiempo, entonces se ejecutaron
6 campanadas.
Pepito se levanta a las 6 a.m.
De 11 p.m. a 6 a.m., transcurren 7
horas, entonces, Pepito duerme:
I 7 horas I I Rpta. DI
® Un reloj da 7 campanadas en 28 segundos.
¿En cuánto tiempo indicará
las “n+l” horas, si el reloj marca
las horas con igual número de campanadas.
A) l~n s B) ~4 (n+l)s
C) ~ (n-l)s D) 4(n+l)s E) 4n s
3
RESOLUCiÓN:
Graficando:
# de campanadas
~1° 2° 3° 4° 5° 6° 7°
t~4J t~4J t~4J t~4J t~4J t~4J r. . 1_ 28 sag _1
Intervalos de TIempo
Tenemos 6 intervalos de tiempo:
6 intervalos –28s
1 intervalo –x
14
1 interValo x 28S
x = %lntervá.los
3
14
x= a s …….. (1)
Un intervalo transcurre en ~4 seg.
En (n+l) horas, tenemos “n” intervalos
de tiempo.
Entonces los “n” intervalos, transcurrenen:
n[ 13
4
J=1
1
3
4
s 1 I Rpta.A I
® La mitad del tiempo que ha pasado
desde las 9:00 a.m. es una tercera
parte del tiempo que falta para las
7:00p.m. ¿Qué hora es?
A)11 a.m. B)1 p.m. C)4p.m.
D)2:20p.m. E)10: 20 p.m.
RESOLUCiÓN: 3
Sabemos que de 9:00 a.m. a 7:00
p.m. existe una diferencia de 10 hr.
Asumiendo que:
TIempo transcurrido desde las 9 a.m.
=xhoras.
Entonces, se deduce:
Falta transcurrir hasta las 7 p.m. =
(lO-x) horas
Por condición del problema:
x 1 2 =3 (lO-x)
De donde: 3x=2(10-x) 3x=20-2x
5x=20 x=4
Se concluye que desde las 9:00 a.m.
han transcunrido 4 horas, entonces
son la: 1 p.m. I Rpta. B I
~ ¿Qué hora es?, según el gráfico mostrado:
12
11 1
9+–.o:…J~–+3
4
6
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2
A) 10:38″
2
C) 10:397
7
E) 10:39″
5
B) 10:36″
9
D) 10:387
Si te fijas bien, observaras que el ángulo
entre el horario y minutero es
90· [Rotar las manecillas].
Dado que el horario está delante del
minutero, entonces:
90.=- 11M +30(10)
2
11M = 300.-90.
2
11M =210.
2
M= 420
11
M =38 1~ mino
El minutero avanzó desde las diez,
38 1~ minutos
Entonces son las:
1 Ohr 38 1~ mino I Rpta. A I
@ Arturo al observar un campanario
nota que da 5 campanadas en 10
segundos. ¿Qué tiempo demorará
en dar 25 campanadas?
A) 50 seg. B)62seg.
D)52seg.
RESOLUCiÓN:
Graficando:
C)60 seg.
E) 65 seg.
# de campanadas
~1° 2° 3° 4° 5°
r.[.t.].·. [t]s [t]s [t]· /”””””oII. …………… /”””””oII.
~10seg~
Intervalos de Tiempo
Se observa que, 4 intervalos de
tiempo transcurren en 10 segundos,
entonces:
4 intervalos — 10s
1 intervalo –x
x
1 interValo x WS
AlnterValos
x=t~Jseg.
Cada intervalo de tiempo dura
t ~ J seg.
En 25 campanadas hay 24 intervalosdetiempo.
Entonces las 5 campanadas transcurren
en:
24 t ~ J = 60 seg. I Rpta. C I
@ Un reloj indica las horas tocando tantas
campanadas como hora indica y
además toca 2 campanadas en las
medias horas.
¿Cuántas campanadas
charán en 1 día?
se escu-
A) 204 B)202
D)342
RESOLUCiÓN:
C)348
E) 324
Cálculo del # de campanadas en 12
horas de avance:
# de total de campanadas en las horas:
1+2+3+ … +12
12(12+1)
= 2
= 78 campanadas
# total de campanadas en las mediashoras:
,2+2+2~ …. +12,= 12(2)
12veces
= 24 campanadas
Total de campanadas en las 12 horas:
78+24 = 102 campanadas
En un día se escucha: 102(2) = 204
campanadas. I Rpta. A I
@ Un reloj da 8 campanadas en 3 segundos.
¿Cuánto se demora para
dar 12 campanadas?
5 3
A)3-¡¡seg. B)3
7
seg.
5 1
C) 47 seg. D) 25 seg. E) N.A.
RESOLUCiÓN:
Graficando:
# de campanadas
L 1• 2· 3· 4·
[f] [f] [f] ffi [f] [f] [f] r /”””‘It, …………………….. /”””‘It,/”””‘It, …………. ,……..
14 3s eg ~I
Intervalos de Tiempo
Hallando el # de intervalos de tiempo:
II=C-11
1=8-1
1=7 ……. (2)
Hallando cuanto dura cada intervalo
de tiempo:
7 intervalos — 3s
1 intervalo — x
1 inteníalo x~
AinterValos
x
x=37 s …… (2)
En 12 campanadas tenemos 11 intervalos
de tiempo:
Entonces las 12 campanadas transcurren
en:
11t;J=3;=4; I Rpta.cl
@ Son más de las seis, sin ser las
ocho de esta mañana, y hace diez
minutos los minutos que habían
transcunrido desde las seis eran
iguales a + del tiempo que faltará
transcunrir hasta las ocho, dentro de
diez minutos. ¿Qué horas es?
A) 6:30 a.m. B) 7:20 a.m. C) 5:45 a.m.
D)8:10a.m. E)6:20a.m.
RESOLUCiÓN:
Asumiendo que:
# de minutos que pasaron desde las 6
a.m.=Mmin.
Hace 10 minutos habían transcurrido
desde las6a.m. = (M-10)min.
Entre las 6 a.m. y las 8 a.m. hay 120
minutos.
Dentro de 10 minutos faltará transcunrirhasta
las8 a.m. = [120-(M+10)]
Del enunciado:
M-10 = + [120-(M+10)]
1
M-10 = 9 [120-M-10)]
1
M-10 = 9 [110-M]
9M-90 = 11 O-M
10M=200
M=20min.
Desde las 6 a.m. Han transcunrido 20
minutos.
Son las: 6h 20 mino I Rpta. E I
@ Una persona al ver la hora, confunde
el horario con el minutero y
viceversa, y dice: ·Son las 4:42″.
¿Qué hora era realmente?
A) 8:24 B) 8:22 C) 8:27
D)8:25
RESOLUCiÓN:
5
E)8:23″
Graficando la hora supuesta (4:42)
12
2
3
En 42 minutos de avance del minutero,
el horario gira 21· con relación a la
última hora marcada.
Observar que el minutero avanzó 2
divisiones desde las 8; por lo tanto gir612
·.
Entonces:
6 = 12·+3(30)+9·
6=111· ……….. (1)
Debes darte cuenta que el ángulo 6
entre el minutero y el horario novaría
Ahora, graficando la hora correcta
12
3
4
7
6
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www com . . M atematica1
Dado que el número adelanta al minutero,
entonces:
111· = – J..1… M·+30H”
2
111· = – J..1… M·+30(8·)
2
J..1… M = 240-111
2
J..1… M = 129
2
M
=258
tt
5 .
M = 23 11 mln.
Han transcurrido desde las 8,
23 5 . to 11 mlnU s
Entonces son las:
5 .
8hr 23 11 mln.
@ Un reloj da 6 campanadas en 5 segundos.
¿En cuántos segundos dará
12 campanades?
A)9 8)10 C)11 D)12 E)13
RESOLUCiÓN:
Graficando:
# de campanadas
L 10 2° 3° 4°
18 18 18 18 18 r . .-.-.-.-.-.,.-.,.
I~ SS _1
Intervalos de Tiempo
Observar que:
# Intervalos + 1 I # Campanadas = de tiempo
–‘—–‘
En adelante asumimos que
# campanadas = C
# de Intervalos de tiempo = 1
Entonces:
I c=l+ll
De los datos del problema en la fórmula:
6=1+1
1=5 ………. (1)
Estableciendo una regla de tres:
5 intervalos — 58
1 intervalo — x
1 intenfalo xM
x = Ai1nterválos
x=ls ……… (2)
Un intervalo transcurre en 1 seg.
En 12 campanadas tenemos 11 intervalos.
Entonces las 12 campanadas se suceden
en:
11(1)= [ili]
Observar que: I T= I.t I
Donde:
T=Tiempototal en segundos
1= # de intervalos de tiempo
t = Tiempo entre campanada y campanada
en segundos. I Rpta. C I
@ ¿Qué hora marca el reloj de la figura
mostrada, sabiendo que 9°. aO =
3,75·? 12
10
9 3
4
6
A)4h37′ 8)4h36’35” C)4h37’30”
D)4h 38′ E)4h 37’16”
RESOLUCiÓN:
Del gráfico podemos establecer:
a+ [~J;’ 2(30·)
a+ [~J: 60· …….. (1)
9+180· = 6M· ……….. (2)
Por dato:
9·-a· = 3,75· ………… (3)
De la ecuación (1):
a = 60· -[ ~ ]’–….. (4)
De la ecuación (2):
9·=6M·-180· ………. (5)
(4)y (5) en la ecuación (3):
6M·-180·- [60·- ~”]= 3,75·
6M·-180·.eO·+ ~ = 3·+ ~
2 100
MO 15°
6Mo·240o+ – = 3°+-
2 4
13M = 15· +240
2 4
13M 15+960 =
~ 4″
1
26 M = 975
975
M=-
26
2
M = 37,5 mino
Convirtiendo a minutos y segundos:
37,5min = 37m~n+00,5m~n [ 60s J
= 37mln+ ,5mln II mln
= 37min+30seg.
Han transcurrido desde las4; 37 minutos
con 30 segundos.
Entonces son las: ~—-..
4hr37min 30seg I Rpta. e I
@ Una letra es descontada comercialmente
y se obtiene un valor actual
equivalente a 14/15 del valor nominal
¿Cuál será el descuento comerci~1
que sufrirá olra letra cuyo valor nominal
es 5/.75000. Cuyo tiempo de descuento
sea un 20% menor y su tasa
de descuento sea un 60% mayor?
A) 6300 8)6420 C)6320
D) 6400 E) 6800
RESOLUCiÓN:
Caso 1:
IV.=*=Vbl ~:,~sual
14 ~
v.=V,-De=ffi xVb –+ ~
Reemplazando:
V,xtxR =-“”- I txR= 20 I
100 15 –> 3
V’ ,= 75000; t, =t-20%t= 80%t;
R,=R+60% R= 160% R
V,xt,xR, 75000×80%txI60%R
D’e= 100 = 100
75000×80 x16x20
D’e= lOOxl0xl0x3
:. D’e= 6400 I Rpta. D I
@ Un banco descuenta a la tasa del 8%,
2 letras pagaderas uno a los 3 meses
la otra a los 5 meses. Al mismo tiempo
cobra 2,5% de comisión sobre el
valor nominal de cada letra. El portador
de las lelras recibe SI. 59725. Sabiendo
que la suma de los valores nominales
de las lelras es SI. 63000.
Hallar el menor de dichos valores nominales.
A) 12000 8)27000
D)30000
RESOLUCiÓN:
C)3OOO0
E) 32000
V,,+V’2=630OO ….. (1)
V”+V”,, = 59725 ….. (Il)
V.,+V”-De,-2,5%V,, ….. (a)
V .. +v””-D,,,,-2,5%V’2 ….. (~)
(a)+(~):
V .,+V ‘2= V ,,+V ‘2-(De,+D.,)-
2,5% (V’1+V,J
Reemplazando (1) y (Il):
59725 = 63OOO-(De1+D.,)-
– 2,5% x63000
De1 + D”,,= 1700; t, = 3 meses;
b=5meses;R=8%
Reemplazando:
V’1x3x8 V”” x5x8
—”’— + = 1700
1200 1200
1700
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3V,,+5V’2= 255000}
(1) por3: 3V,,+3V’2= 189000
2V’2=66000
V’2=33000 j
:. V,,=30000 I Rpta. C I
~ El vencimienlo común de 3 letras de
idénticos valores nominales es de 50
dias. Si los vencimientos de dichas
lelras están representadas por los
factoriales de tres números conseculivos.
Calcular el mayor de los
vencimientos.
A)24dias B) 120dias C)840dias
O) 150dias E) 145dias
RESOLUCION: rv.lRrv.l.1 >Yo 1::” ~~~ 50 ~I~:
lelra única
V, x(l-l )!+V ,xl!+V ,x(l+l )!
50 Vn+Vn+Vn
(1-1 )!+I!+(I+l )!
50 – 3
(1-1 )!+I(I-l )!+(I+l )xlx(l-l)! = 150
(t-l)! [1 +1+12+1] = 150
(l-l)![12+2r+l]= 150
(l-l)!x(l+l)2= 150
(1-1 )!x(l+l)2 = 6×52
T =r J”T
Idenlificando factores: 1 = 4
Nos piden:
(I+l)! = (4+1)! = 5! = 1 x2x3x4x5
(l+l)!=120dias 1 Rpta.B I
@ El Sr. López compra un STANO en
mesa redonda en $ 20000, si dió
$11590 de cuota inicial y sefirrnaron
3 lelras bimeslrales (de igual valor
las tres). Si la tasa de descuenlo es
10%. ¿Cuál es el valorescrilo en cadalelra?
A) $ 2900 B)$1500
0)$2910
RESOLUCION:
C)$1920
E) $ 2930
p. costo = $ 20000 } Saldo = $ 8410
Cuota inicial = $ 11590
Saldo=V.,+V.2+V.,=~ V.
V,x2xl0
V.,=V,+Oc,=V,- 1200
V., = v,–ffi- ….. (1)
V,x4xl0
V.2= v,+o .. = V,- 1200
V· 4V, (TI) 2= V’-m …..
V,x6xl0
V.,= V’+Oca = V,- 1200
V = V _ 6V, ….. (TII)
83 n 120
(1)+(II)+(m): (2+4+6)xV,
~V.=3V,- 120
12xV,
~V. = 3V’-“”””i20
V, 29xV, _ 10
~V. = 3V,-W =”””””10 – 84
:.V,=$2900 1 Rpta.A I
@ Los valores nominales de las letras
M y N eslán en la relación de 5 a 9,
ambas se descuentan al 25%. La
primera por 2 meses y 24 dlas y la
segunda por 4 meses. Si el descuento
de la segunda lelra ha sido
de SI. 2520. Calcular cuál fue el
descuenlode la primera lelra.
A) SI. 630 B)S/.680 C)S/.670
O) SI. 635 E) SI. 620
RESOLUCION:
I ~~ = ~ I
IM=2 meses 24 dlas = 54dlas
IN=4meses
R=25%; ON = 2520; OM=??
VNx4x25
1200
=2520
–> I ON = 30240 I
VN
12
VM= ~XVN=~x30240 = 16800
9 9
VMxlMxR
OM = 36000 ; 1M : dlas
=
OM = 16800x54x25 = 630
36000 ;:1 R=p–:ta-.–=A I
@ Pilar que debe una suma de $ 2400
pagables denlro de 8 meses se libera
pagando $ 676 al contado y suscribiendo
2 pagarés, el primero de
$ 864 pagable en 5 meses y el airo
pagable en un ano. ¿Calcular el valor
nominal de esle úllimo pagaré?
(tasa del descuenlo 5% comercial)
A) $ 820 B) $ 860 C) $ 875
0)$840 E) $ 835
RESOLUCION:
~=676+~JV~
~ ~~
I V.I,)= 676+V.,+v.2 1 R = 5%
2400x8x5
V·I,) = 2400- 1200 – 2320
V., +V.2 =2320 -676 = 1644
864x5x5
V., = 864- 1200 = 846
V,x12x5
V .. = 798 = V,- 1200
__ V, _19V, =798
–> V,- 20 – 20
:. V,= 840 1. Rpta. D I
@ El valor nominal de una letra en los
3 ~ del valor nominal de otra. Se
han descontado al 9% por 2 meses y
24 dias la primera y por 2 meses y 12
dlas la segunda, el descuenlo de la
segunda lelra ha sido SI. 810. ¿Cuál
ha sido el descuenlo de la primera
lelra?
A)3120
0)3150
B)1850 C)3158
E)3110
RESOLUCION: ~ _ _
1 V” 10
V,,=3-3V’2–> =-3 …. (1)
V’2
V,,; R=9% ;1, = 84dias
V’2; R=9% ;12=72dias; 0 .. =810
V””x7x29
O .. = 810 = 36000
–> I V’2 = 45000 I
Oe (1):
V, , =.l3Q x 45000 = 150000
Oc,
V” xl,xR 150000x84x9
36000 = 36000
:. Oc, = 45000 1 Rpta. D I
@ Tres lelras han sufrido el mismo descuenlro
leniendo como valores nominales
SI. 8000, SI. 10000 Y 12000;
siendo sus tasas de descuenlo: 5%,
6% Y 2,5% respeclivamenle. Si los
tiempos de descuenlo de las 3 lelras
suman 27 meses. Calcular la suma
de los valores actuales.
A)28100 B)27820
0)29350
RESOLUCION: [i5J%
®
Oalos:
~ LiJ
C)29200
E)29100
12000
2,5%
®
• 1,+t.+h=27 …….. (a)
• Oc, = 0 .. = 0ca= O …….. (P)
8000xl,x5 10000xbx6 _ 120ooxl”,(2,5)
1200 = 1200 – 1200
Simplificando:
41,= 612= 3h
MCM (4, 6, 3) = 12
41, 612 31,
–>”””12=”””12=”””12
1, _ 12 _.h_ 1,+12+h =~=3 “3-2- 4 – 3+2+4 9
11, = 9m I 112= 6m I ~I1 -,=-1-2m-‘1
Nos piden: ~ V.
V.,+V .. +V., = (V,,+V’2+V,,}-(0+0+0)
~ V.= (8000+10000+12000)-30
= 8000x9x5 300
O 1200
• ‘. ~ V. = 30000-3×300 I Rpta. E I
= 29100 . .
@ Una empresa que debe 41elras de SI.
250, SI. 1200, 7200 Y SI. 6000 pagaderos
denlro de 8; 6; 5 Y 3 meses,
propone a una financiera cancelar la
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deuda con 2 pagos; uno de SI. 9000
denlro de 2 meses y el olro de SI.
12000 dentro de un cierto tiempo.
¿Cuántos dlas pasarán para efectuar
el último pago si se dispone del
descuento comercial a15% anual?
A) 1024 B)1023 C)1103
0)1026 E) 1020
RESOLUCION:
Por cambio de lelras
5250x8x5
V.,=V,,-O, = 5250- 1200 5075
1200x6x5
V.,=V,,-O,= 1200- 1200 1170
V =V – O = 7200 – 7200x5x5 7050
83 “3 3 1200
V = V – O = 6000 – 6000x3x5 5925
.. ‘. 4 1200
~V.= 19220
9000x2x5
V’II)= V’llr 0(1) = 9000 – 1200 6925
l:V. = 19220 = Vall)+Valll)
Valll) = 10295 = V’III)-Olll)
10295 = 12000 – 0(11)
12000xlx5 •
0(11) = 1705 = 36000 ; t : dlas
:.t=1023 I Rpta.sl
@ Si se descuenta matemáticamente
una letra. Su valor actual es 80% del
valor nominal. Si se descontara comercialmente.
¿Qué porcentaje del
valor nominal seria el valor actual?
A) 72% B) 60% C) 60%
0)75% E) 65%
RESOLUCION:
Caso 1:
I VaR=60%V, I
V’R=V,-OR=60%Vn
~OR=20%Vn
Sabemos:
O – VnxlxR t y R en las mis-
R – 100+rxR mas unidades.
Reemplazando:
20% V = VnxtxR
o n 100+rxR
1 txR = 4 100+rxR
Por proporciones:
-+ _1_= IxR
5-1 100+rxR-IxR
_1 = txR ~ 1 txR = 251
4 100· .
Caso 1/:
IVac=X%Vnl
O = V,xtxR = V,x25 = 25% V
‘IOO+rxR 100 o,
V8c=Vn-Dc=x% Vn
V,-25% V,=x% V,
75%V,=x%V,
:. x=75 I Rpta. DI
@ Si se hubiera hecho efectiva una leIra,
hace 9 meses, cuando faltaba 2
anos para su vencimiento, se hubiera
recibido el 90% de su valor.
Si se hace efactiva hoy se recibirla
5/.9375. ¿Cuánto se recibirla dentro
de 6 meses?
A) 9525 B) 9370
0)9620
RESOLUCION:
C)9560
E) 9625
9 mesas 6 meses 9 meses
Hace 9 Actual Vencimiento
m ….
Caso 1:
Va1 = 90% Vn~ Va1 = Vn – 01
~V,=10%V,
Reemplazando:
V,x2xR = 100V, 1 R=51
lOO 100 ~
Caso 1/:
HOY (FALTAN 15 meses)
V,x15x5 V,
V.,=V,-O,;V,= 1200 16
Oato:
V, 15V,
V.,=9375=V’-16=16 ~
~ Iv,= 100001
Caso 11/:
OENTRO OE 6 MESES (FALTAN 9
meses)
Va3=?;Va3=Vn-D3
O – 10000 x9x5 375
3 – 1200
Va3 = 10000 – 375
:. V” = 9625 I Rpta. E I
@ Los 2/3 de un capital se impone al
6% anual, los 3/4 del resto al 1,5%
bimestral y el resto al 1 % mensual.
Si al cabo de 2 afios y 1 mes el monto
fue 5525 soles. ¿Cuál es el capital
original?
A) 4000 B)4500
0)5000
RESOLUCION:
C)4600
E)5100
• cJ2C +-º-J= C- IIC =~
l3 4 12 12
• t=2 años y 1 mes=25meses
R,=1,5%bimestral= ! % mensual
Monlo = M = M,+M,+M3 = 5525
C+r, +1,+1,= 5525
[2~}25X6 [;J X25x6xt!J
C+ + +
1200 lOO
[%}25XI
+ lOO 5525
C+~+ 3C +~=5525
12 64 46
(192+16+9+4)C _ 221C _ 2
192 -192- 555
:. C = 4600 I Rpta. C 1
@ Se tiene dos capitales donde el primero
es el doble del segundo. Si se
sabe que el monlo producido por el
primer capital en 10 años y el monto
producido por el segundo en 12 años
y 6 meses, están en la relación de 16
a 9; habiéndose somelido a la misma
tasa de interés anual. Halle esta tasa.
A) 10% B)25% C) 15%
0)20% E) 30%
RESOLUCION:
C,=2C,; R%anual
M,;t=IOaños } M, 16
M,’,I =12afiosy -M, =9- …. (a)
6 meses
En (a):
C,+I, 16
C,+I, =9
C C,xIOxR
1+ lOO
C C,x(12,5)xR
,+ lOO
=
C, (IOO+IOR)
C, (1 00+(12,5)R)
(2C, )xl Ox(10+R)
C,x(12,5)(6+R)
5(10+R)
2; x(6xR)
=
= 16
9
16
=
9
4
=
9
10+R lO
6+R =9
9O+9R = 80+IOR
:. R = 10 I Rpta.A 1
@ Un capital de SI. 55900 se divide en
3 partes los cuales son impueslo al
30%,45% Y 25% Y resulta que producen
un mismo inlerés anual. Calcular
la parte impuesta al 25%.
A) 5/.24320 B) 5/.23400
C) SI. 23600 S) 5/.23100
E) SI. 23520
RESOLUCION:
www.Matematica1.com
R1=30% R2=45% Rs=25%
En1 año:
1,=1,=1,
30%C,=45%C,=25%C,
Simplificando:
6C,=9C,=5C,
MCM (6, 9, 5) = 90
6C, 9C, 5C,
90=90=90
c, c, c,
15=ro=18
Dato:
…. (a)
C,+C,+C,=C=55900
En (a) propiedad de serie de razones
geométricas:
C, C, C, C, +C,+C,
15=10=18= 15+10+18
Entonces:
= 55900 = 1300
43
C, = 19500; C,= 13000; I Rpta. B I
C,=23400 . .
@§) Tres vendedores de automóviles
han recibido como gratificación por
navidad una suma total de 20000 dólares
los cuales son depositados al
8%, 6% Y 4% respectivamente. Al
cabo de un año, los intereses ascienden
a 1160 dólares en total. Si la
gratificación del segundo es tres veces
más que la del primero. ¿Cuánto
recibió el tercero por concepto de intereses
al cabo de ese año?
A) $ 250 8)$190 C)$540
0)$200 E)$240
RESOLUCION:
C,+C,+C3=20000 ……. (a)
Se depositan al 8%; 6%y4%
En 1 año producen:
1, +1,+1,= 1160
8% C, + 6% C,+ 4% C, = 1160
4%(C,+C,+C,)+4%C,+2%C,= 1160
4%(20000)+2%(2C, +C,) = 1160
‘——-‘-y—-
800+ 2C, +C, = 1160
50
2C,+C, = 360
50
12C,+C,=18000 1 ………. (~)
Dato:
C,-C, =3C,~C,=4C,
En (~):
2C,+4C,=18000
{
C’=3000
~ C,=12000
En (a):
15000+C,=20000
C,=5000
Nos piden:
1,=4%(5000)=200 I Rpta. DI
@ Una persona coloca hoy una suma
de SI. 3528 a la tasa de 3%; 36 d ias
antes de ella habla colocado una
suma de SI. 2160 a la tasa del 3,5%
¿En cuántos dlas estas sumas habrán
producido intereses iguales?
A)80 8)70 C)98 0)90 E)46
RESOLUCION: 1,,_–__
R,=3,5%
Dato:
3528.x.3 = 2160.(36+x).(3,5)
-J6OOtr -J6OOtr
7x=5(36+x)
x=90 I Rpta. DI
@ Se ha impuesto un capital al 20%, al
final del primer año se retiran los intereses
y una parte del capital igual
a los intereses. Lo mismo se hace al
final del segundo año, quedando
entonces el capital disminuido en
S/.18000. Calcular el capital.
A) 32000 8)40000 C)60000
0)50000 E) 36000
RESOLUCION:
Dato:
C,=C-20%C=80%C ….. (a)
C,= C,-20% C, = 80% C, ….. (M
(a) en (~):
C,=80%80%C=64%C
Dato:
C,=C-18000
64%C=C-18000
3~~g~~gggg I Rpta. El
@ El 30% de un capital se impone al
3% anual, el 25% al 4% anual y un
35% al 6% anual. ¿A qué porcentaje
se deberá imponer el resto para
obtener en un año un monto igual al
105% del capital?
A) 20% 8)5% C)18%
0)28% E)10%
RESOLUCION:
R,=4% R,=6% R,=x%
t= 1 año; M= 105%C=C+1
11=5%CI
r, + 1,+1,+1,= 5% C
3%(30%)+4%(25%C)+6%(35%C)+
+x%(1 O%C) = 5%C
Simplificando:
90 100 210 10x 40+x
100 + 100 + 100 + 100 =10= 5
40+x= 50
: . x = 10 [ Rpta. E I
@g) Dos capitales han estado colocados
durante 2 meses, uno al 3% y el otro
al 5% anual obteniendo juntos un interés
de SI. 10600. Si el tiempo de imposición
hubiera sido 4 meses, el primero
al 5% y el segundo al 3% los
intereses serian SI. 20400. ¿Cuáles
son los capitales? Dar como respuesta
su diferencia.
A) 130000 8)125000 C)120000
O) 140000 E) 130000
RESOLUCION:
C,:t=2meses; R’=3%}1 +1 = 10600
C,:t=2meses; R,=5% ‘ ,
C,x2x3
1200
+
C,x2x5
1200
10600
C, +5C, = 636000 ………. (a)
e,: t =4 meses; R’, = 5%11′ +1′ =20400 e,: t = 4 meses; R’, = 3%f’ ,
C, x4x5 e, x4x3
1200 + 1200 20400
5C, +3C, = 612000 …….. (M
(a) – (~):
2C, – 2C, = 240000
: . C,- c, = 120000 I Rpta. el
‘ÍÍ41′ Calcular la tasa anual, de una capita~
lización anual que sea equivalente al
10% trimestral de una capitalización
trimestral.
A) 29% 8)40%
0)46,41%
RESOLUCION:
Gaso/:
R = 10% trimestral
Capitalización trimestral
11 año =4 trimestres 1
1 eFINAL=e(1+R%)’1
C= C(1+10%) =C(11/10)4
C)45%
E)48%
= 146,41%C ……. (a)
Gasoil:
R=x%anual;t=1 año
CFINAL =C(1+x%)’= C(1+x%) …… (~)
(a) = (p)
,C(1+x%) =’c(146,41%)
1+x%=1+46,41%
_._ x%=46,41% I Rpta. D I
® Una persona vende su auto y el dinero
lo prestó por un año y 9 meses al
1,25% trimestral y los intereses producidos
los reparte en sus tres hijas.
A una de ellas le dio los 3/7 a la otra
los 4/11 ya la otra SI. 640. ¿En cuánto
vendió el auto?
A) 35000 8)36000
0)32500
RESOLUCION:
C)38000
E) 35800
Capital = Pventadelcarro = ©
t=1 añoy9 meses =21 meses
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
R = 1,25% trimesbal = 4(1 ,25)% anual = 5%
1= CxtxR
1200
~ ,
v
~I
77
Cx21x5 …….. (a)
1200
~ 9 ,
:. ~~ =640~11=30801
En (a):
1=3080 Cx21x5
1200
:. C = SI. 35200 I Rpta. D I
® Los 3/4 de un capital es colocado al
24% semestral durante 3 meses y el
resto es capitalizado anualmente a
una tasa del 10% durante dos afios
obteniéndose un interés de 1140.
Calcular el capital.
A) 6000 B)7000
0)9000
RESOLUCION:
R, = 24% semestral
t,= 3 meses
(t,)
C)8000
E) 8500
R,= 10% anual
t,=2años
(1,)
I – C,xt,xR,
,- 100
R, = 24% semestral = 4% mensual
I _ (3C/4) x3x4
,- 100
~ 11, = 19~ I
Interés compuesto:
R= 10%
1;’ = 10%[~J = ~ } 1;+1
2
= 21C
1″ = 10%r11CI= llC 400
, [40) 400
Dato: IroTAL = 1140
57C = 1140
400 :. C = 8000 I Rpta. el
Q Hace 3 años, José le prestó a Juan,
cierta cantidad de dinero al 10% de
interés compuesto, capitalizable
anualmente. Para obtener una ganancia,
Juan el mismo dla que recibió
el dinero lo depositó en una
financiera que le pagaba el 5%
trimestral. Si hoy, al devolver el dinero
Juan ha obtenido de ganancia
26900 soles. Determinar la ganancia
de José.
A) SI. 33200
C)S/.38000
E) SI. 33100
RESOLUCION:
Para José:
B)S/.35000
0)5/.39000
1 año 1 año 1 año
C, = (110%)’ C =t~~J~ =,133,~%C,
Cantidad de dinero que racibe al final José
Ganancia = I = 33,1 % C = ??
Para Juan:
C ; R, = 5% trimestral = 20% anual
t=años
Cx3x20
IJ,., – 100 = 60% C
Dato:
I J,., – IJ'” = 26900
60% – 33, 1 %C = 26900
26,9%C = 26900
~ I C=26900 I
Nos piden:
IJ … = 33,1 %(1 00000)
IJ … = 33100 I:’-R-,,-ta-.-E—I
8 Un capital de SI. 66000 fue impuesto
a interés simple por cierto número
de años, meses y dlas. Por los
años se cobró el 70% anual y por
los meses el 48% anual y por los
dlas el 27% anual. Determinar la
utilidad producida por el capital de
5/.66000 sabiendo que si se hubiera
impuesto todo el tiempo al 60%
hubiera producido SI. 25300 más
de interés que si se hubiera impuesto
todo el tiempo al 30% anual.
A) 55000 B) 53200 C) 54600
0)52800 E)54615
RESOLUCION:
R,=60%
t,=(!)años …..
I – 66000xtx60
,- 100
1, = 39600 t
Dato:
R,=30%
t,=(!) años …..
66000xtx60
1, 100
1, = 19800 t
1,-12=25300
396001 – 198001 = 25300
198001 = 26900
253 C23l
t= 198 ~ LJIJ
t = ~~ años = 1 año, 3 meses y 10 dlas
CALCULOSo
23~
5 1
1
5
8 años = 1
5
0 x12 =@fmeses
f mes = 10 días
Ahora bien, también se cumple:
• C=S/.66000}1′ = 66000xlx70
t= 1 año ‘ 100
R=70% = 46200
• C = SI. 66000} 66000x3x4
t= 3 meses 1:’=
R=48%anual 100
= 4% mensual = 7920
t = 3 meses l’ _ 66000x(I/36)x27
1 ,-
• C=S/.66000 }
R= 10dlas=-año 100
R= 27% 36 = 495
Nos piden la utilidad:
l’ ,+1′,+1′,= 54615
@Y Dora impone su dinero al 20% anual
de interés simple durante 5 años. Determinar
su monto final sabiendo que
si hubiese impuesto su capital inicial
al 20% anual de interés compuesto el
interés recibido en el tercer año habrla
sido 288 soles.
RESOLUCION:
Por Interés Compuesto:
©
,.1-,-=-2.0.%..,C.. ,1.,-=-2-0..%..C,.,. ,.1-,=–5.1…2.8,.8. ,i
1 año 1 año 1 año
C,:R’=50%} CD años
C2:R2=20%
Dato:
1M, = 51~ C,+I, =-ª-
M2 4 C2+12 4
Reemplazando valores:
C,xtx50
C, + 100 rc; (100+501) 5
C C2 xtx20 =(~ (100+201) =”4
2+ 100
Reemplazando:
4 5(2+t) 5 -x–=-
5 2(5+1) 4
16+8t = 25+5t
3t=9años
:. t=3
2+t 5
5+t =8
I Rpta. B I
@> Un capital es depositado durante un
año al interés simple y a una determinada
tasa de interés. Si la tasa hubiera
sido mayor en un 50% entonces el
monto obtenido habría sido 30% mayor.
¿Hallar la tasa a la cual se depositó
el capital?
A) 50% B) 100%
0)200%
RESOLUCION:
I M=C+II
C)150%
E) 140%
En 1 año; R% (Porcentaje anual)
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Casal:
M = C+R%.C = C(1+R%) …… (a)
Caso 1/:
R, = C+R%+50%(R%) = [150%R]%
R, =[.yJ% ; M, = M+30%M
M, = 130%M …………. (P)
M, = C+I, = C+[3:J %C
= C [1+ 3: % J …… (a)
(a) y (a) en (Il):
C [1+ 3: % J= :~ xC(I+R%)
10 [1+ 3RJ = 13 [1+ ~J 200 100
10+ 15R = 13+ 13R
100 100
;~ = 3 : . R = 150 r¡ R”::”p-ta-• …,c'”‘l
@!> Se presta el capital de SI. 2100 al
10% de inlerés mensual sobre el sal·
do deudor de cada mes. El primer y
el segundo mes no se amortiza na·
da, el lercer y cuarto mes se amorti·
za una canlidad igual a “M” soles.
¿ Cuánlo debe ser “M” para que la
deuda se cancele al cuarto mes?
A) 1537,31 B)1464.1 C)1355.10
0)1437,31 E) 1155
RESOLUCION:
R = 10% mensual
1, 12 la l. ,.–…. ,.–…. –…… —…
1 mes 1 mes 1 mes 1 mes
1, = 10% (2100)= 210
12= 10% (2310)= 231
la= 10% (2541)= 254,1
1.= 10% (2795,10- M)
Al final–> M = 110%(2795 – M)
IM=C+II
M = 110%(2795.10 -M)
11
M= 1i)(2795,10-M)
10M= 11[2795,10]-IIM
21 M = 30746,1 r-=:—–:,”,
M= 1464,1 I Rpta. B I
8 A qué tasa debo imponer mi dinero
sabiendo que lengo S/.1200 y denlro
de 8 meses debo comprar un lelevisor
que actualmenle cuesta SI. 1400
Y que al cabo de dicho liempo su
precio aumentará en un 15%.
A) 50,25% B)29% C)51%
0)51.25% E) 52%
t:J ,:~
Luego de 8 meses:
Precio = 115% (1400)
1 Precio = SI. 1610 1
1200
R%
Monlo=1610=C+l
1610 = C+ CxRx8
1200
1610 = 1200+ 1200xRx8
1200
8R=410
:. R=51,25 ¡ Rpta. DI
@ Una persona impone su capital en
dos negocios de los cuales uno reporta
el 6% y el olro el 12%. Ella relira
de la primera una renta anual inferior
de 5400 a la que da la segunda.
Cuando ella hubiera invertido
sus imposiciones habrra oblenido el
mismo beneficio en cada una de las
empresas. ¿Cuál es el capital total?
A)90000 B)80000 C)95000
0)92000 E) 93000
RESOLUCION:
Casal:
~ ~ ~ R, = 30% R2=45%
Enlaño: 12-1,=5400
12%C2-6%C,=5400
1 2C2-C, = 90000 1 …….. (a)
Caso 1/:
C’R=6% }
C;R=12% I:laño
Oato:~_~
111=121
6%C2=12%C,
1 C2= 2C, 1 ……… (Jl)
(a) en (Il):
2(2C,) – C, = 90000
3C,=90000
–> 1 c, = 30000 1 ; Ir:C:-2-=-=-60=-=00″”0’1
Nos piden:
C,+C2=90000 ¡ Rpta.A I
@ Dos hermanos se reparten una herencia
de la siguiente manera: la
quinta parte O.P. a 2 y 3 los 215 del
reslo I.P. a 5y3yel reslo O.P. a 5y7
si a uno de los hermanos le locó SI.
7000 más que al olro. Hallar el monlo
de la herencia.
A) SI. 27500
C) SI. 53000
E) SI. 35000
RESOLUCION:
B)S/.47500
O) SI. 42500
Como de la cantidad total se reparle
1″ la 1/5 parte, luego las 215 del resto
vamos a asumir que la cantidad total
sea 25N. Entonces efectuamos lo siguienle:
1er. reparto:
La quinta parle: ~ (251) = 51 (resto 20t)
O.P. Parles
51 {_23 xt 2t (1″)
3t (2″)
~;=5
51
K’=S=t
2do. reparto:
.1. . 2 _ (nuevo
Los. 5 del resto. “5 (201) – 8t “,.1o=12t)
1P. ~ Q,f. Partes
81 5
{
5.!’15=3 xt 31(1″)
3 ~’15=5 xt 51(2″)
~;=8
81
K,=-=I
8
3er. reparto:
El resto: 121
Q,f. Parles
12t{ 57 —-“xt,—+ 51 (1″)
71 (2″)
~,=12
K,= 12t =t
12
Al primer hermano le locó:
21+31+51= 101
Y al segundo hermano le corresponde:
3t+51+ 71 = 15t
Pero se sabe por dato:
151-101=7000
1=1400
Monto es: 251= 25(1400) I Rpta. E I
= SI. 35000 . .
@ Se distribuye 3645 directamenle proporcional
a lodos los múlliplos de 2
de dos cifras. ¿Cuánto le corresponde
alindice 70?
RESOLUCION:
Según dato:
3645
O.P.
10
12
14
16
70 _xt”,–_ x
98
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www com . . M atematica1
~ = (10+98) 045 = 54’45
I 2
3645 3
K,= 54’45 = 2
Nos piden:
x = 70k,
:.X=70k';=105 1 Rpta.DI
~ Una persona dispuso que se reparo
tiera SI. 666000 entre sus tres hijos
A; B Y e en fonna inversa a sus eda·
des, A que tenia 30 años recibió
SI. 180000 pero renunció a ellos y
los repartió entre los otros dos en
forma D.P. a sus edades y a B le tocó
SI. 8000. Hallar la diferencia entre
las edades de B y e.
A)5 B)4 e) 1 D)2 E)3
RESOLUCION:
A renunció a sus 5/.180000 Y los re·
partió entre B y e directamente pro·
porcional a sus edades del cual:
B obtuvo: SI. 80000 Y
e recibió: 5/.180000-5/.80000=
=5/.100000
Entonces sus edades son como:
Edad de B 80000 4 = Edad de e 100000 5
Luego en el primer reparto se tiene:
I.P. ~ D.P. Partes
{
30 1/30’60x = 2x -> 180000
666000 4×1/4x’60x= 15}486000
5×1/5x’60x= 12
De donde se cumple:
2x 180000 = 15+12 486000
Resolviendo: x=5, 4x=20; 5x=25
:. La diferencia es:
26-20=5 1 Rpta.A I
@ Se reparte cierta cantidad “M” en
partes directamente a 382; 572 Y 762.
Si al menor le ha tocado 729. Hallar
el valor de “M”.
RESOLUCION:
Pero sabemos que al menor le ha tocado:
D.P. Partes
{
383=23.193= 152-> 152k
M 573=32’192=9 -> 9k
762=42’192= 16 -> 16k
Pero sabemos que al menor le ha tocado:
9k = 729
k=81
Hallando el total:
M = 152k+9k+16k= 177k
:. M=177’81 =14337 ‘:':’1 Rp~ta-.E-I
@ Tres hennanos cuyas edades forman
una proporción geométrica
continua cuya razón es un número
entero se reparten una suma de dinero
en fonna proporcional a sus
edades. Si lo hacen dentro de 4 años
cuando la edad del mayor sea el triple
de la del menor entonces el mediano
recibe SI. 200 más.
¿Qué cantidad se repartieron?
A)41000 B)23400 C)23800
D)23200 E) 23500
RESOLUCION:
a b
Sea la P.GC.: b= c=k
Las edades son: a = ck2; b =ckyc
Dentro de 4 años serán:
ck2+4; ck+4; c+4
Por dato:
(Ck2+4)=3(c+4)
c(k2-3)=8
De donde: c=8yk=2
Por lo cual las edades son:
a=32;b=16yc=8
Dentro de 4 años serán:
a’=36; b’=20yc’= 12
Efectuando los repartos:
1″)D.P. { 32
N 1:->16:a
~;=56
36
2″) D.P. {
N 20->20:a
12
~;=68
Por dato: 20N _ 16N = 200
68 56
:. N = 23800 1 Rpta. e I
@ Diariamente se reparten SI. 33000
entre dos obreros A y B en fonna
D.P. a sus rendimientos. Un dia A
recibe SI. 17600 Y B el resto, al otro
día A disminuye su rendimiento en
un 25% y B aumenta en un 20%.
Hallar la diferencia que recibieron A
y B en ese nuevo reparto.
A)S/.3400 B)S/.5500 C)S/.8000
D)S/.4500 E) SI. 6400
RESOLUCION:
El primerdla:
Arecibe: SI. 17600y
B recibe: SI. 33000 – SI. 17600 =
=5/.15400
Entonces sus rendimientos están
en la relación de:
rA 17600 6 -=–=-
rs 15400 7
Como el rendimiento de A disminuye
en 25% ahora será:
8-25% (8) = ! (8) = 6
Y el rendimiento de B aumenta en
20% siendo ahora:
7+20% (7) =~(7) = 42
5 5
Luego al segundo día:
D.P.
{
6<0>1’5=5
33000 ~ ~’5 = 7
5 5
~;= 12
K, = 33000 = 2750
12
La diferencia: (7-5)’2750
= 5500 1 Rpta. B I
@ Una cantidad N de soles se reparte
directamente proporcional a las edades
de 3 personas A, B y C correspondiéndole
a A SI. 359100, a B SI.
718200. Si los N soles se reparten
entre A y B inversamente proporcional
a sus edades entonces B recibe
SI. 837900 si la suma de sus edades
es: a+b+c = 49. Calcular el valor de:
a2+b2+c2.
A) 490 B)539
D)980
RESOLUCION:
C)784
E) 1089
Según el enunciado: a+b+c = 49.
D.P. Partes
{
a 359100
N b
c
718200 ……….. (a)
• x
a 359100 1
~b= 718200 -2 ……. (1)
D.P. Partes
{ ~ 831900 …….. (13)
~ ~ = 837900 (1)
b Y 2 …….
~ Y = 1675800
Entonces el total es:
N = y+8377900
N = 1657800+837900
N =2513700
Luego del primer reparto se tiene:
3591 00+718200+x = 2513700
x=1436400
Del reparto directo:
a b c
359100 718200 = ~1~43c’64~0~0
S’l”fid abc
Imp I lcan o: -1 = 2 = 4
Aplicando propiedad de razones:
a _ b _ c _a+b+c_49_
1-2-4–7–7-7
Se obtiene las edades:
~a=7; b= 14yc=28
:. a2+b2+c2 = 72+142+282 r-=–=
= 1029 1 Rpta. E I
@ Si A tiene “a” años, B tiene “b” años, C
tiene “c” años y D tiene “d” años. Una
cantidad 5 soles se reparte I.P. a las
edades de A, B, C Y D. Siendo la
constante de reparto:
1 1 1 1
r=-+-+-+- además se tiene:
a bcd
. –ª- = 120000 • –ª- = 90000
ar br
• CSr S = 72000 • dr = 45000
Si se reparte S entre A, B Y C directamente
proporcional a sus edades.
¿En cuánto excede la parte de A a la
parte de C?
A)S/.20825O B)S/.8175O C)S/.109000
D) 5/.54500 E) 5/.45000
www.Matematica1.com
RESOLUCiÓN:
Al sumar las igualdades miembro a
miembro (ley de uniformidad) se tiene:
-ª-+ -ª-+ -ª-+ -ª-= 120000+90000
ar br cr dr +72000+45000
~+[~+~+~+~]= 327000 r a a a a
~ o r= 327000
r
S = 327000
Corno deseamos repartir “S” entre A,
By C nos interesa conocer en que
proporción están a; by c. Luego para
ello de los datos despejamos l/a; l/b
y l/c. 1 120000r
a= S
1 90000r
=~~~
b S
1 = –,7-,,2~00,-,,0~r
e S
Entonces a; b y e serán proporcionalesa:
S S S
120000r; 90000r y 72000r
Lo cual al cancelar el factor común
Sil 1
6000r se tendra: 20; 15 Y 12
Al multiplicar por60 se obtiene: 3; 4 Y
5. Los cuales son proporcionales a
las edades a; byc.
Efectuando el reparto directo:
º’-E. ~
S=327oo0 H ~~
~,= 12
k 327000
, 12
.-. La diferencia es:
(5-3)0 327000 54500
12 ¡ Rpta. DI
~ Se reparte N en 40 partes D.P. a los
números consecutivos y la menor re-
N
sulta ser 79 ¿Qué parte de N será
el menor al hacerse el reparto en
forma D.P. a los siguienles40 números
consecutivos?
A) l/53 B) 1/20
D) l/50
RESOLUCiÓN:
La menores:
º’-E.
N x+2
C) 1/45
E) 1/72
{~+1
! N
x+39 k, = 40x+ 780
~,=40x+780
La menores:
x· N =N-
40x+780 79
–x -=2-0
2x+39 79
D.P.
N {622 ~
j
99
N
k,= 3180
~, 40(60+99) _ 3180
2
El menor es: 60 t31
N
80] = ~
¡”R=”P’=-ta”””A’. “I
@l) Al repartir S/.1470 directamente
proporcional a los números: a; 1 y
l/a e inversamente proporcional a
los números b; 1/2 Y llb (a > b > 2)
siendo a y b números enteros se observa
que las cantidades obtenidas
son enteras. Hallar(a-b).
A) 1 B)3 C)5 D)2 E)4
RESOLUCiÓN:
º’-E. I.P. ~D.P.
{
a b a/boab = a2
1 1/2 20ab = 2ab
1470 al bl -bo ab=b2
a
~; = (a+b)2
Como las partes son enteras entonces
la k,también debe ser entera:
k, = _1_4_70_ = ..-3C0-7_2
c’
02″,0.5. .
(a+b)2 (a+b)2
Necesariamente: (a+b) es 7
Pero como: a > b > 2
Dedonde:a=4yb=3
:. a-b= 1 ¡ Rpta.A I
@ Un padre reparte cierta cantidad de
dinero entre sus tres hijos al primero,
segundo y tercero en la proporción
de 4, 5 Y 8 respectivamente,
pero luego decide repartirlo en partes
iguales por lo cual el tercero da
al segundo “M” soles seguidamente
el segundo da al primero “N” soles.
Si el reparto se hubiera hecho en
forma proporcional al orden de nacimiento
¿Cuánto le habrla correspondido
al tercero, además se sabe
que (M+N) es 56?
A)S/.119 B)S/.714
D)S/.816
RESOLUCiÓN:
C)S/.504
E)S/.408
Como el reparto es D.P.los tres hermanos
reciben: 4k; 5k Y 8k respectivamente.
Siendo el total: 17k
Como se reparten en partes iguales
cada uno recibe: 1 ~k
yloquedael2· al 1· es:
M = 8k- 17k =21<. 3 3 Por dato: M+N = 54 ~21<.+ 5k = 54 3 3 k= 14 Siendo el total: 17k= 17(4) =238 Luego realizamos el reparto directo al orden de nacimiento que serían: 1; 2 y3. D.P. 238 {~ k,= 2~8 Al 3· le tocó: 30 2~8 =S/.119 r¡R "-P-ta-A. :-II @ Tres socios han impuesto sumas iguales pero su participación ha tenido tiempos distintos. Si la ganancia ha sido de SI. 74200 pero uno de ellos renuncia a los 25200 soles que le correspond ia entonces el reparto se efectúa entre los otros socios por lo que a uno de ellos le tocó S/.1 0080 más de lo inicial. Hallar qué tiempo estuvo el que tuvo mayor ganancia. A)3 años B) 2 años C) 1 año D) 2,5 años E) 1,5 años RESOLUCiÓN: De los 25200 soles que renuncia a uno de ellos le toca: SI. 10080 más entonces al otro le tocará: 25200-10080 = 15120 más Del cual se plantea que: -100-80= 1-512-0 Al simplificar se obtiene: t2 2 h=2n ~=3~h=3n Slla ganancia total asciende a 74200 Y el 1 ro. renuncia a su herencia entonces dichas ganancias se han dividido entre el2do. y el 3ro. proporcionales a sus respectivos tiempos. g2 g, g2 g, g2 +g, -=-~-=-=-- 2n 3n 2 3 2+3 g, g, 74200 ~-=-=--- 2 3 5 Mayor ganancia es: g, = S/.44520 [ Rpta. E [ ~ "N" socios forman una empresa y al cabo de cierto tiempo se reparten 155 millones de utilidad. Sabiendo que cada socio aporta el doble del anterior y que el primer socio recibió por todo 7 millones incluidos su capital, siendo su utilidad 2,5 veces el capital que aportó. Calcular el número de socios. A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 RESOLUCiÓN: Si tenemos que la utilidad dell ero Socio es 2,5 veces su capital, entonces ell ero socio recibió: utilidad+capital = 2,5C+C = 3,5C www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Según dato 911 er socio recibió 7 millones. =- 3,se = 7000000 C = 5000000 = 2 millones Su respectiva utilidad es: g = 5000000 = 5 millones Como cada socio aporta el doble que el anterior entonces sus ganancias también serán el doble por lo cual les ganancias serán: 5 millones; 10 millones; 20 millones; ... ; (n ganancias) =-5+10+20+ .... = 155 Mne sumandos 1+22+2+ .... +2'-1 = 31 2,,"1-1=31 2,,"1=32 :. ~~~erodesocioses: [ Rpta. B I @ Tres comerciantes invierten la misma cantidad en la compra de mercancfas de distinta clase, vendidas totalmente las mercancfas, cada uno divide el importe Invertido en la compra entre la ganancia que ha obtenido, resultando para el primero 4 de cociente y 3 de resto, para el segundo 7 de cociente y 6 de resto; para el tercero 10 de cociente y 1 de resto por exceso. Hallar el Importe de la compra y dar la suma de sus cifras sabiendo que la suma de estas ganancias esta comprendida entre S/.200 y S/.250. A)10 B)12 C)18 D)14 E)16 RESOLUCiÓN: Según dato: _ C ~ =-C=4g1+3=-g,=C-3 ... (1) 344 _ C~=>C=7g2+6=-92=~ … (2)
677
_ C~=>C=10g3+1 =>93=C-l … (3)
1 10 10
– 200 < 9_< 300 ......... (4) Reemplazando (1), (2) Y (3) en (4): 200 < C-3 + C~ + C-l < 300 4 7 10 Multiplicando por 140: 28000 < 35C-l0S+20C-120+14C- 14<42000 28000 < 69C-239 < 42000 28239 < 69 < 42239 409
g2= 18- 3=4200 [ Rpta. e I
@!) Después de 3 meses que Alberto
habra fundado una emprasa para lo
cual depos~ó S1.6OOO se asocia con
Beto que aportó 1/5 menos que Alberto;
2 meses más tarde se unió
con Carlos que aportó 3/4 de lo que
habfan aportado Alberto y Beto. Al
cabo de 2 meses liquidaron la empresa
y tuvieron que afrontar una
pérdida de S/.3870 soles. ¿A cuánto
asciende la pérdida de Carlos?
A)S/.630 8)S1.960 C)S1.810
D) S/.21 00 E) S/.645
RESOLUCIÓN:
Datos: Capital
– Alberto: SI. 8000
– Beto: SI. 6000-1/5(6000)= SI.4800
– Carios: 3/4(6000+4800) = S/.81 00
I I
1~1~1~
SI.60000 SI.4800 5/.8100
(Alberto) (Beto) (Carios)
– Pérdfda:
PA+PB+PC= SI. 3870 ……… (1)
Tenemos:
PA =-PB- =-P-e
6000-7 480004 81QOo2
PA = PB = Pe = PA+PB+PC … (2)
=> 210 96 81 210+96+81
Al reemplazar (1) en (2), tenemos:
Pc = 3870 = 10
=- 81 387
PC= SI. 810
~ Tres socios se reúnen a~ndo
las sumas de abOO; baOO y aaOO soles,
durante a; by ab meses. Si a los
últimos les conresponde SI.288OO y
SI.151800 soles ¿Cuánto le COnreBponde
al primero en soles?
A)S/.13000 B)S/.14100
C)S/.I44oo D)S/.75900
E)S/.142oo
RESOLUCiÓN:
Aplicando: ganancia = k
capital-tiempo
=- g, _ 28800 151800
abOO-a – ,b aOO-b aaOO-ab, …. (a)
v
(1)
De: 48 = 23
ba-b a-ab
ab-a 23-2 23-2
=> -=– = – -= – –
ba-b 48-2 32-3
De donde Igualando factores:
a=2yb=3
Reemplazando en (a):
91 28800 151800
=- 2300-2 3200-3 = 2200-23
151800
Luego: g, =
11
:. g, = 13800
~ Dos hermanos forman una companfa
con medfo millón de soles cada uno,
a los 6 meses el mayor incrementa su
capital en un 20% y el menor retire 91
25% de su capital, si 4 meses más
tarde se repartileron una ganancia de
S/.132OOO soles. Determinar le diferencia
de las ganancias entre los dos.
A)S/.24oo B)S/.110oo C)S/.10000
D) 5/.9000 E) 5/.8000
RESOLUCiÓN:
Datos: g, +g2= 5/.132000
CI +C2= 500000
Para e/1 er. hermano:
I I
1~1~
5/.500000 5/.600000
I t
20%(500000) = 100000 más
91 g,
50000006+60000004 – 5400000 – k … (1)
Para el 2do. hermano:
I I
l~l~
5/.500000 5/.625000
I t
+25%(500000) = 125000 más
92 g2
50000006+62500004 – 5600000 – k … (2)
De (1) Y (2):
.J!..1… = ~ = g, +g2 = 132000 2400
27 28 55 55
91- g2= (28-27)-2400
= 5/.2400 [ Rpta. A I
~ Carlos emprende un negocio con SI.
17000 a los 2 años se asocia con Arturo
con S/.21 000 soles y después de
4 años se asoció Miguel aportando
5/. 32000 soles quien estuvo 6 años
en el negocio. Si la ganancia fue de
5/.80000 soles ¿Cuánto le comsspende
a Carlos?
www.Matematica1.com
A)S/.28800
C) S/.272000
E)S1.26200
RESOLUCiÓN:
B)S/.25600
D)S/.40000
De acuerdo al enunciado:
I I
1~1~1~
8/.17000 8/.21000 8/.32000
(Ca~os) (Arturo) (Miguel)
Dato:gA+g.+gM=80000
Luego:
gA g. gM
17000’12 21000’10 32000’6
Simplificando:
gA g. gM gA+gB+gM
34 = 35 = 32 = 34+35+32
gc = 80800 = 800
32 101
:. gc= 25600 soles I Rpta. B I
@ Juan y Carlos forman una empresa,
siendo el capital de Juan el doble del
capital de Carlos, a los 5 meses de
iniciado, Juan disminuye su capital
en 217 y 3 meses después Carlos aumenta
el suyo en 215. Si el negocio
dura un año y 2 meses, al cabo de
los cuales las ganancias obtenidas
por ellos se diferencian en S/.1130.
Calcular la ganancia total obtenida.
A) S/.2061 B) S/.6870 C) S/.3435
O) S/.2260 E) S/.3390
RESOLUCiÓN:
Asumamos que el capital de Juan y
Carlos sean 70C y 35C.
Para Juan:
1 afio 2 meses = 14 meses
A
( I
1~1~
70C 50C
I t
Disminuye en ; (70C) = 20C
gJ gJ
70C’5+50C’9 = 800C = k … (1)
Para Carfos:
1 ano 2 meses = 14 meses
A
( I
1~1~
35C 49C
I t
Disminuye en ! (35C) = 14C
gc gc
35C’8+49C’6 574C = k … (2)
gJ gc
De (1) y (2): 800C = 574C
De donde:
~-~
400 – 287
gJ+gc g,-gc
687 =113
gJ+gc = 1130 = 10
687 113
:. Ganancia total es:
gJ+gc= 6870 I Rpta. B I
@ Tres socios A, By C se asocian “A”
aporta S/.28000 durante 7 meses,
“B” impone S/.4000 más que A por
un tiempo de 9 meses y C impone
una suma de SI.25000 durante 5
meses. Si “A” ganó S/.552 menos
que B. ¿A cuánto asciende la gananciadeC?
A) 564 B)782
0)750
RESOLUCiÓN:
Datos: Capital
Para A: 28000
ParaB: 28000+4000=32000
Para C: 25000
Además: g. -gA=S/.552
gA g.
28000’7 32000’9
Reduciendo:
gA g. gc
~-=-=-
196 288 125
C)648
E) 656
tiempo
7 meses
9 meses
5 meses
gc
25000’5
Aplicando propiedad se tiene:
gc g.-gA
125 = -;2~8°08–o1~96;;-
gc 552
~ 125 =92=6
:, gc= 750 I Rpta. D I
@ Dos personas aportan S/.1 00000 y
S/.150000 en una compañia, a los
4 meses hay una pérdida de SI.
25000 por lo que el 2do. retira lo
que le queda de capital y entra un
3ro. con S/.120000 mientras que el
1 ro. sigue con lo que le queda; 6
meses más tarde se reparten una
ganan-cia, si el1 ro. recibe S/.6600.
Hallar ¿cuánto le toca aI3ro.?
A) S/.9000 B) S/.8800
C)S/.7700 D)S/.7800 E) F.O.
RESOLUCiÓN:
1 ‘) Hasta los 4 primeros meses:
P,+P2=S/.2500
Además: pérdida = k
capital
P, P2
~ 100000 – 150000
P, P2 P,+P2
~-=-=–
2 3 2+3
~ -“‘- = ~ = 25000 = 5000
2 3 5
De donde: p,= 10000yP2= 15000
Como el segundo se retira entonces
queda:
Capital
Primero: 100000-10000 = S/.90000
Tercero: S/.120000
Como 6 meses después se reparten
la ganancia entonces se tiene:
Capital ganancia
Primero: S/.90000 SI. 6600
Tercero: S/.120000 9
Aplicando:
ganancia
k
capital
9 6600
~ 120000 90000
La ganancia del3ro. es:,–_—-,
SI. 8800 I Rpta. B I
@ Dos socios A y B inician un negocio
para “P” meses aportando P millones
cada uno pero q meses antes de finalizar
A aportó “q” millones. Si la utilidad
total es 16 veces la diferencia de
las utilidades que reciben los socios.
HallarP/q.
A) 114 B)3 C)2 0)4 E)1/5
RESOLUCiÓN:
Datos:
• g,+g2= 16(g,-g,) …….. (a)
ParaA:
P m!,ses
( ‘1
r(p-q) ;j,ese”l~
P millones q millones más
g,
~ p(p-<¡)+(p+q)q k ....... (1) Para B: P meses A ( I r(p-q) ;j,ese"l~ P millones q millones menos g2 ~ p(p_q)+(p_q)q k ....... (2) g, g2 De (1) Y (2): p2 +q2 = p2 -<¡2 Aplicando propiedad de S.R.GE. g,+g2 g,-g2 16(g,-g,) (g,-g2) --=--~----'~= 2p2 2q2 p2 q2 p2 ~16=q-2 :. p/q=4 I Rpta.DI @ Tres amigos iniciaron un negocio. el primero contribuyó con mercaderia, el segundo con S/.2400 y el tercero con cierto capital. Se sabe que al terminar el negocio el capital total se redujo a S/.5700 de los cuales el primero solo recibió SI.1350 y el tercero S/.2550. Calcular el importe de la mercaderla aproximadamente. A)S/.1456 B)S/.1624 C)S/.2030 D)S/.1912 E)S/.1434 RESOLUCiÓN: Siendo m el valor de la mercaderia te-nemos: Capital Primero: m Segundo: 2400 .............. (a) Tercero: C Como el total se redujo a S/.5700 de los cuales recibieron cada uno: Primero: 1350 Segundo: 2550 Tercero: 5700-(1350+2550)= 1800 Lo que recibe cada uno es en proporción a su capital ya que: pérdida k ~ capital-pérdida = 1-k capital capital Luego se cumple: recibe = cte capital www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Reemplazando (a) y (~) en la relación: recibe = k capital Se tiene: 1350 2400 1800 ~ -m- = 2550 = -C- :. El importe de la mercaderla es: m = S/. 1434 I Rpta. E I @ Tres personas fonnan una empresa imponiendo capitales que estén en progresión aritmética creciente; al inicio del sexto mes cada socio aumenta sus capitales en 8/.200, SI. 120, S/.480 respectivamente, luego de 6 meses mas, al repartirse las ganancias se observa que estos son D.P. a 25, 33 Y 42. Hallar el capital inicial aportado por la tercera persona. A)S/.21600 C)S/.17200 E)S/.23700 RESOLUCiÓN: Según dato: B)S/.40200 D)S/.30200 Capital inicial Capital final Ganancias 1') C-r C-r+200 25 2') C C+120 33 3') C+r C+r+480 42 Como: ~----~ ganancia k capital·tiempo ca~o al 75% y el resto del monto se coloca al 25" ambos por "f meses. Si al final se obtuvo los mismos beneficios en ambas pa~es. Calcular la suma de cifras de "f. A)6 B)3 C)7 D)8 E)4 RESOLUCiÓN: Dado el capital C se tiene: C·30·t Ct Monto: C+ 1200 = C+ 40 1') La mitad del capital [; J lo imal 75% durante "f meses. [f}5.t Ct 1 = 1200 =32 2') El resto del monto se coloca al 25% durante "r' meses. r -º-+ ClJ'25.t l 2 40 (20+t)t r - 1200 40048 Del enunciado tenemos: I=I' Ct C(20+t)t ~- 32 40·48 Al simplificar queda: ~60=20+t t=40 1: Cifras de "f es: :. 4+0=4 I Rpta. El 25 33 ~ = (C-r)12+200'6 C'12+120'6 42 = k (C+r)'12+480'6 Simplificando el denominador: 25 33 42 = @ Un individuo vivia de los intereses que le producia un capital impuesto a15" anual durante 8 anos y al final de cada uno retiraba los intereses para cubrir sus gastos; pero al final del octavo ano tiene que retirar ade- ~ 2C-2r+200 2C+120 2C+2r+480 ........ ('V) Aplicando propiedad de S.P.G.E. 33 25+33+42 ~ 2C+200 6C+800 33 100 99 ~-- ~ = 2+60 3C+800 3C+180 100 = 3C+800 33 1 ~ 3C+800 = 720 ~ C+23700 Al sustituir en ('V): 33 42 47400+120 - 2(23700+r+240) De donde: r = 6500 :. C+r ~ ~~~gg+6500 I Rpta. D I @ Un capital se ha colocado al 30" durante '" meses al termino del cual se retira la mitad del capital para colomás 2000 soles del capital. Hechas las cuentas al empezar el décimo afio, se deduce que el capital primitivo sumado con todos los intereses recibidos, dan en total S/.137650. ¿Cuál es el capital que posee ultimamente? A)24000 B)95000 D)19000 RESOLUCiÓN: C)47500 E) 85000 El interés anual que se retira mensualmente es: C'5'1 C 1=100= 20 C Al final del octavo año se retira 20 más 2000 soles quedando de capital (C-2000) soles el cual en el noveno ano gana el Interés de: ,(C-2000)5'1 C-2000 1= 100 = 20 Como las cuentas se hicieron al empezar el décimo año implica que tenemos que considerar el interés de8añosyel del noveno año. Por dato: • c+i~J+ C-2000 = 137650 l20 20 ~ 29C-2000 137650 20 ,-----.. :. C = 95000 I Rpta. B I @ Para fijar el precio de un a~iculo se aumento su costo en 60% pero al momento de realizar la venta se rebaja en un 20%. Si en lugar de 60% se hubiera aumentado el costo en 80% haciendo el mismo tanto por ciento de descuento se hubiera ganado S/.360 más. Calcular el precio al que se vendio. A) 3320 B)2880 D)223O RESOLUCiÓN: C)4680 E) 2460 Se esta ganando: 28% Pc ........ (1) 20 Pero si aumentamos el costo en 80% tenemos: Se va a ganar. 44% Pc ........ (2) De (1) Y (2) notamos ~ue en el segundo caso se gana: (44 -28' )Pe = 16" Pemás. Por dato: • 16'Pe=360~Pe=2250 128 Pv= 128'Pe= 100 (2250)=2880 I Rpta. B I § Aumentar el X· , y luego rebajaoo el y' del precio de un articulo equivale a no varlarlo. ¿A cuánto equivale en aumento porcentual aumenta~o X· y "X" .Y" luagoY'si se S8be que sy S son números enteros consecutivos. A) 50% B) 25% C) 69' D) 92' E) 68% RESOLUCiÓN: Según dato: • (1 OO-X)"(1OO-Y)% = 100' (1 OO+X)(1 OO-Y) = 10000 lOO(X-Y) =x·y ..... (a) "X" -V- . Como S y S son numeros consativos. De (a) multiplicamos y dividimos por 5. 500t~ - ~}XY~500=XY 500XY XY -=-'-=>5-4=-‘-
25 5 5 5 5
Dedonde:X=25yY=20
El aumento que nos piden es:
Au = (IOO+X)” (1 OO+Y)”-IOO”
Reemplazando los valores de”)(” Y “Y’
Au= (125)”(120)”-100″= 50″
I Rpta.A I
@ El X por 80 mas, del X por 90 menos
de N, e igual a “N” ¿Cuánto por ciento
menos de N es el X” manos de su X”
mas?
www.Matematica1.com
A)10% B)I%
D)5%
RESOLUCiÓN:
C)2%
E)II%
x 80+x
El x por 80 mases: 1+80 =80
Yelxpor90menoses: 1- ;0 = 9~~X
Por dato:
• (80+x) = (90+x) (N) = N
80 90
(80+x)(90-x) = 7200 = 90′ 80
Del cual igualando factores: X = 10
Hallando lo que nos piden:
El X” menos de su X” mas es: ellO”
menos de su 1 O'” mas, osea:
(100-10)”(100+10)” N = 90″ xll0%
N=99″ N
:. Es l%menosde N I Rpta. B I
@ Para fijar el precio de venta de un aro
tlculo se aumenta su costo en un
25% al vender dicho artrculo se reba·
ja ab% y luego ab soles pagándose
por él 5/.7980; pero si se rebaja ab
soles y luego ab% se pagarra $7984
¿Cuál es el precio de costo?
A)S/.8750 B)S/.8250 C)S/.7500
D) 5/.8000 E) 5/.1 000
RESOLUCiÓN:
Si el precio de costo es Pe el precio
fijadosera: 125″Pe
1 ra. Forma: Se rebaja ab% y luego
SI. ab ~ 7980 = (100·ab)%(125% Pe)
·ab …….. (I)
2da. Forma: Se rebaja SI. ab y luego
ab% ~ 7984 = (100-ab)” (125″ Pe’
ab) …….. (2)
De(l)despejando 125% Pese tiene:
% 1 00(7980+ab) (3)
125 Pe= ….
100·ab
De la misma forma al despejar
125″ Pe = 100(7984) +ab …. (4)
100-ab
Al igualar (3) y (4) se tiene:
100(7984) +ab = 1 00(7980+ab)
100·ab 100-ab
+ab = 100′ (ab4)
(100-ab)
Resolviendo se obtiene: ab = 20
El cual reemplazamos en (3)
% _ 100(7980+20)
125 Pe- 100.20
::–:.
Pe=S/.8000 I Rpta.D I
@ Un comerciante compra arroz y lo
vendió perdiendo el 50% y con el
dinero compra azúcar y lo vendió
ganando el b%, luego con ese dinero
compró frijoles que los vendió pero
diendo el 50, por último gasto todo
en anroz y lo vende ganando el b”.
Hallar “b” si la última ganancia es
igual al 72″ de la primera perdida.
A)40 B)40 C)50 D)80 E)75
RESOLUCiÓN:
Sea el costo del anroz 5/.100
Primero lo vende: perdiendo el 50″
Venta = 50″(100) = 50 Pierde 5/.50
Luego al comprar azúcar gana el
b% de la venta anterior.
Venta = (1 OO+b)” (50) = tl0~+bJ
Después al comprar frijoles y venderlo
pierde el 50″
Venta = 50% tl0~+bJ = tl0~+bJ
Finalmente al comparar anroz y
venderlos gana el b%.
Ganancia: b%
Según dato:
b” ti O~+b]= 72% (50)
b(100+b) = 14400
~~gg+b)=80’180 I Rpta. DI
8 Si a una cantidad “C” se le aumentó
su 20% y a la cantidad total obtenida
se le aumenta nuevamente en
su 20% y asi sucesivamente K veces
obteniéndose en total al final
172,8% C. Hallar K.
A)2 B)3 C)4 D)6 E)5
RESOLUCiÓN:
En el primer aumento se tiene:
120″C
Hasta el segundo aumento tenemos:
(120″)(120″C) = (120″)2C
y hasta el tercer aumento tenemos:
(120″)(120″ C)2 = (120″)3C
Entonces si son K veces se tiene
(120″)KC = 172,8″ (C)
r120I”= 1728
l100) 1000
t~~r =t~~r ~-~
:.K=3 I Rpta.B I
@§) En el “Cerezo” sirven la jarra de
sangria con el 80% de vino y el resto
gaseosa, debido a la demanda el
dueño del bar desea reducir la cantidad
de vino y pensaba: “Puedo reducir
el vino por jarra en 5% o agregar
en cada jarra un 15% de gaseosa”.
Al final el dueño ejecuta las dos
medidas ahorrando de esta manera
17 mililitros de mezcla por jarra
¿Qué cantidad de vino se servía inicialmente
por jarra?
A) 0,68 t B) 0,81 t
D)I,361
RESOLUCiÓN:
C) 170 t
E)O,84t
La jarra de sangría originalmente
contiene: 80% de vino y 20% de gaseosa.
Al reducir 5% de vino e incrementar
15″ de gaseosa se tendrá:
95″(80″) de vino < > 76″vino
115″ (20″) de gaseosa <> 23″ gaseosa
Lo cual hace: 99% de mezcla resultando
1 % menos que lo inicial.
EntoncesporR.3. S.:
PORCENTAJE VOLUMEN
Ahonro:
Total:
1″
100%
17ml
X
~X=1700ml=I,7t
:. El vino es:
80″ (1,7) t= 1,36 [Rpta. D I
8 Una vendedora compra una cantidad
de huevos va al mercado y comienza
a vender, cuando ha vendido el 40%
de los huevos ganando el 30″ se da
cuenta que el 31 % de los huevos que
compro se habran roto ¿En qué porcentaje
deberá aumentar el precio
original de los restantes para tener
una ganancia del 1 0% del costo?
A) 50 B)100 C)80
D)120 E) 350
RESOLUCiÓN:
Resolvamos por falsa suposición para
lo cual asumimos que el costo total
es SI. 100.
1. Vende e140″
Costo = 40″(1 00) = 5/.40 gana 30″
(5/.40)=5/.12 ……… (1)
2. Del resto que es 60% esta malogrado
el 31″, es decir que tenemos
en ella una perdida de:
31″(5/.100)=5/.31 ……… (2)
Considerando (1) Y (2) ya tenemos
una pérdida de: 5/.31-5/.12 = 5/.19
Como deseamos ganar ell 0% del total
es decir 10%(5/.100) = 5/.10 en
los huevos restantes que están sin
romper debemos ganar 29 soles pero
sabemos que su costo es: 5/.100-
(40+31)”100.
29%(100) = 29 soles
.’. Deberá incrementarse I Rp C I
en un 100% . tao .
® El costo de un artículo producido en
los EE.UU. ha aumentado en un 20%
yel precio del dólar se ha incrementado
en un 25% si antes de los incrementos
un comerciante importaba
600 artículos ahora con la misma
cantidad de dinero ¿Cuántos articulos
importará?
A) 600 B)900
D)300
RESOLUCiÓN:
Planteando por R.3.C.
C)450
E)400
Ir—;I==~\ \
Costo Dólar N” Artículos
Inicial: 100% 100% 600
Después: 120% 125% X
(1) (1)
X = 600′ 100. 100
120 125
X = 600.~.~
6 5
.’. X = 400 artlculos [Rpta. E I
8 Un jugador aposto todo el dinero que
tenia ganando el 10%; esta nueva
cantidad la aposto perdiendo el 80%;
si la cuarta parte de lo que le queda
la aposto ganando su 15%. Calcular
www.Matematica1.com
www com . . M atematica1
cuanto dinero tenia al inicio sabiendo
que si deposito el dinero con el
cual se retira a una tasa de 7% anual
al cabo de 9 meses, obtendrla un beneficiode
119831 ,25.
A) 155635 B) 256235 C) 300000
0)6000000 E) 600000
RESOLUCION:
Sea C el dinero que tenía inicialmente
después de las dos opuestas le va
a quedar:
(100+10)” (1 00-80)%C = 22C
por lo cual apuesta:±(22″C)=5,5″C
y gana e115% entonces tiene:
~(55″e) 100 ‘
Mas el 22″ e-5,5″ C = 16,5″ C que
no aposto tiene en total 16,5″ (C)+
115”” (5,5″ C) = 45% (5,5% C).
De todo ese capital recibiria un beneficio
anual de 7% (415% (5,5%»
pero como solo lo deposito 9 meses
su verdadero beneficio es:
1
9
2 [7″(415″(5,5″C))] = 119831 ,25
_-_ ees6000000 I Rpta. D I
~ Al fijar el precio de un articulo el costo
se duplico al momento de venderlo
se hizo dos descuentos sucesivos
del 1 0% y 20%; si sus gastos de venta
y la ganancia están en la relación
de 1 a 4. Hallar en que relación se
encuentran la ganancia neta y el preciofijado.
A)29a300 B)72a300 e)33a200
0)29a 100 E)29a 180
RESOLUCION:
Siendo el costo total 5/.900 se tiene:
PF = Pe = 200″Pe
Ou = 100″ -90″ ’80” =28″
Pv= 72″(200″P)=I44%Pe
La ganancia es: 44% Pe: G.=44%Pe
Pero según dato:
gastos 1
ganancia bruta 4
~ gastos
44% Pe
_1_ ~ gastos = 11″ Pe
4
Siendo la ganancia neta:
GN=44%Pe-ll%Pe= 33% Pe
• GN 33″ Pe 33
.. P. = 200″ Pe 200 I Rpta. C I
@9) Los 2/5 de una mercaderia se vende
ganando el 20%, los 4/9 con una pero
dida dell 0% que tanto por ciento debe
ganarse del resto para que al final
haya una ganancia del 5,8″ del total
de la venta.
A)12″
0)18%
B)20%
RESOLUCION:
e)15″
E) 10″
Siendo el costo total de 5/.900 se tiene:
l’ Los 2/5 con una ganancia del 20%
2
Costo =5(900) = 360
ganancia: 20% (360) = 5/.72
2′ Los 4/9 con una perdida del 1 0%
Costo= : (900)=400
perdida: 10″(400) = 5/.40
3′ El resto tendrá un costo de:
900-360-400 = 140
Además la ganancia total debe ascandera:
5,8″ (900) = ;0
3
0 (900) = 5/.53
Pero en el l’ y 2′ se tiene una ganancia
de: 72-40 = 5/.32 el cual
para llegar a 5/.53 faltarla a 5/.21 y
esta suma debe ganar de los 140
soles.
Debe ganarse: 1~~ xl 00″ = 15″
I Rpta. C I
@ Una piedra pómez es sumergida en
agua al sacarla se nota que el peso
aumento en 36% si se saca la mitad
del agua. ¿En qué porcentaje disminuirá
el peso de la piedra pómez?
A) 14″ B) 15″ e) 13,5%
0)13,2″ E) 14,2″
RESOLUCION:
Asumiendo que el peso de la piedra
pómez es 100gr al introducirlo en
agua su peso aumenta en 36% y su
nuevo peso seria:
136%(1 OOgr) = 136 gr
si sacamos la mitad del agua que
contiene se extrae:
18
136 (36gr) = 18gr
:, Disminuye en:
18
136 ‘100″ = 13,2″ I Rpta, D I
@ Un sastre compra un cierto número
de ternos a 5/.240 el par, si los vende
con una ganancia neta de SI.
85000 Y los gastos ascendieron al
15% de la ganancia bruta ¿Cuántos
ternos compro si en total recibió 700
mil soles?
A) 5/.4000 B) 5/.2500 e) 5/.5200
0)5/.1250 E) 5/.5000
::~~~~~?:;noes: 2~0 = 120 soles
Además tenemos los datos:
• GN=85000;gastos=15%G.
• Pve … =700000soles
Sabemos por aplicación mercantil
G.=GN+gastos
~ G.=85000+15%G.
Resolviendo: G.= 5/.1 00000
También sabemos porteoría:
Pv= Pe+ Ganancia
~ 70000= Pc+ 100000
De donde: Pe= 5/.600000
:, N’ ternos
= 600000
120
Pe
costo de c/u
5000 I Rpta, E I
® Juan desea ir de una escuela “A” a
otra “B” distante 120Km. Cuando habla
recorrido el 50″ de lo que le faltaba
recorrer observa que hace “N” km
habla recorrido la misma distancia
que le faltarla recorrer después de recorrer
el 175″ de los que ha recorrido
realmente. Hallar N.
A)35 B)50 e)60 0)40 E)30
RESOLUCION:
Cuando había recorrido 50% de los
que falta recorrer
120Km
r ,
I I
‘——.r—— ‘———y—Recorrido:
50% e falta recorrer: e
~ 50%e+e= 120Km~e=80Km
Observa que hace “N” Km habla recorrido
la misma distancia que le faltarla
recorrer después de recorrer el
175″de400Km.
,4-0L-N- -,”N,.’K..m. …1-7-5-“-(4-0-). .f.a.l taria=80-175″(40) ~
I I I I I
‘——-y—‘ , v ‘
40Km 80Km
Por dato: (40-N)= 80-175″(40)
40-N =80-70 r—,
:, N=30 [Rpta. C [
8 Una persona compra 20 objetos “A” y
los vendió ganando eI40%; con el importe
de la venta compra 60 objetos
“B” y los vendió ganando el 15% con
el importe de esta venta compra 828
objetos e a precio de 5/.9800 la docena.
¿ Cuánto le costarán los objetosA?
B) 5/.21 00 C) 5/.221 O
E) 5/.2222
A) 5/.2200
0)5/.2220
RESOLUCION:
Del enunciado tenemos:
Primero:
Costo de 20 objetos A = 20A
La ganancia es: 40″ (20A)
El precio de venta es: 140″(20A)
~ 140″ (20A) = 60B ……. (a)
Segundo:
Costo es: 60B
Gana el 15″ (60B)
El precio de venta 115″(60B)
~ 115″(60B) = 828e ……. (~)
Al multiplicar (a) y (p)
140″‘115″ (20A) = 828e
Si los objetos e la docena cuestan:
5/.9800
9800
elu costo: C = “””””12
Reemplazando en (M:
115″ (60B) = 828′ 9800
12
115″‘140″(20A) = 828′ 9800
12
:. Los objetosAcostarán: SI. 21 00
I Rpta. B I
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@ La cantidad de 306000 soles se divide
en tres partes que son proporcionales
a los números a; b y e los cuales
al ser colocados bajo las tasas de
(a+1 )”; (b+2)” Y (c+3)” en ese orden
al cabo de un año producen
montos que son como a2; b2 y e2 respectivamente.
Hallar la mayor de las
partes en que fue divid ida la cantidad
inicial.
A) 51.103000
C)S/.10100
B)S/.102000
0)5/.14000
E) 5/.132000
RESOLUCiÓN:
Por dato:
o C,+C2+C.=306000 ………… (1)
o-aº–‘b—~-c~– k …………. (2)
o~= M2=~ ………………. (3)
8 2 b2 c2
De (1): C, = ak; C2 = bk; C. = ck
Hallamos los montos:
C, 0(a+1)01 C,(101+a)
M,=C,+ 100 = 100
~ M, = ak(101+a) ……. (a)
100
_ C2 0(b+2)01 _ C2(102+b)
M2- C2+ 100 – 100
~ M2 = bk(102+b) ……. (~)
100
_ + C.o(c+3)01 _ C.(103+c)
M.-C. 100 – 100
~ M. = ck(103+c) ……. (r)
100
Reemplazando (a); (~) y (r) en (3):
ak(101+a) bk(102+b) ck(103+c)
100a2 100b2 100c2
Al simplificar queda:
101+a 102+b 103+a -a-= -b-= -c-
101 102 103
~–=–=– a b e
Al invertir tenemos:
a b e
100 = “”””i01 = 102
Multiplicamos por “k” al numerador
para obtener los capitales.
ak bk ck
100 = “”””i01 = 102
C, C2 C,
~ 100 = “”””i01 = 103
Por propiedad de S.R.GE.
Reemplazamos el dato (1)
C, C2 C. C, +C2+C.
100 = ~= 103 = 306
Reemplazamos el dato (1)
C, C2 C, 306000
100 = “”””i01 = 103 = 306
:. C,= 103000 I Rpta.A I
@l) Cinco años después de realizado
un préstamo se tenía que pagar incluyendo
intereses 5/.9000 como
aun no se poclla pagar se pide un
año más de plazo, el cual es concedido
pero con un recargo del 10%
en la tasa anterior al cabo del año
se pago 5/.1 0440. ¿Cuál era la tasa
de interés inicial? Sabiendo que el
interés cobrado es simple en todo
instante aplicado al capital inicial?
A) 20″ B) 25″ C) 27″
0)30″ E) 35″
RESOLUCiÓN:
Siendo el capital C
Yla tasa inicial: r”
Se cumple por enunciado:
c· r· 5
C+ 100 9000 ………… (1)
C(r+10)01
100 10440-9000 ….. (2)
De (1): C(I~g;5r) = 9000
De (2): C(11g;r) = 1440
Dividiendo miembro a miembro:
100+5r = 900
10+r 144
Reduciendo queda:
20+r 25
10+r =4
80+4r = 50+5r I Rpta. D I
:. r”=30″ . .
@ Una persona deposita una suma de
dinero en un banco, el cual se capitaliza
mensualmente al 5″ sin embargo
luego procede a descontar el
2″ del monto mensual por gastos
de operación. A los 2 meses la persona
decide retirar su monto obtenido
y presta la mitad a otra persona
esperando duplicar la suma prestada
en 1 año, sin embargo se le devuelve
el capital prestado y una suma
equivalente a lo que corresponde
como ganancia 6 meses después
si esta suma entregada equivale
a 217 soles. ¿A cuánto equivale
el capital depositado inicialmente?
A) 1134010″
C)2321 010′
E) 226801 O”
RESOLUCiÓN:
B) 1024010″
0)4536010′
Asumamos que la suma depositada
en el banco sea e, como en 1 mes
gana e15%, el monto sería:
105 C
100
Pero si descontamos el 2% del
montotendrlamos:
98 105
100 o 100 C
Para el segundo mes se procede de
la misma lonma y se tendrá:
98 105198 105 J 49 21 49 21
100
0
100 L100
0
100C = 50 o 20 o 50 o 20 C
Hagamos que dicha expresión sea
2C’.
Por dato:
C’· r· 1
o C’+ 100 2C’ ………… (1)
C’-r-S
°C’+ 1200 21′ ………… (2)
De (1): r” = 100″
C’ o 100 o 6
En (2): C’+ 1200 217
-ª-C’= 21′ ~ C’ =2.021 ‘ 2 3
Pero se sabe que:
~ 01!. o 49 01!. oC = 2C’
50 20 50 20
3207″ 2
:::::> C=2—37 -77
1000000 3
.-. C = 2268000000 I Rpta. E I
@ Un prestamista da un capital durante
4 años, a una tasa anual del 5″, vencido
el plazo el deudor paga sólo el
80″ de los intereses e indica ·prestame
el capital y los intereses que te
debo por un año más al cabo de los
cuales cancelamos la deuda”. El
prestamista accede y vencido el plazo
recibe una suma de 5/.3276.
¿Cuánto ganó el prestamista al final
de todo?
A) 756 B)276
0)576
RESOLUCiÓN:
C)480
E) 520
Si el capital es “C’ los intereses serian:
C 0 4 0 5
100
=
C
5
Cancela el 80″ del interés:
80″[ ~ J
Falta cancelar: 20″ [~J = 4″C
Luego el nuevo préstamo es:
C+4″C= 104″C
Segun dato:
104 C”+ (104″1~)0° 5 01 3276
De donde: C = 3000
Corno inicialmente habla ganado
80″[ ~ J = ~~ [30~OJ = 480
En total pago: 3276+480 = 3756
.-. En total ganó:
3756 – 3000 = 756 I Rpta. A I
~ Se tiene un capital “C” del cual1/n se
impone al 1 “, los 2/n al 2″; los 3/n al
3″ y asl sucesivamente. Si luego de
un año produce un interés total del 59
del capital. ¿Calcular en cuántas partes
se dividió el capital como mlnimo
yelvalorden?
A) 1948y44
B)3916y44
E) 1958y88
RESOLUCiÓN:
B) 2048 Y 66
D)2916y88
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-1 + -2 +-3 +. …. + -x =1
n n n n
~ (x)(x+1) = 1
2n
x(x+1) = 2n
Además la suma de intereses es 59″
(nk) el cuales igual a:
1 (nk’1’1) 2 (nk’2’1) – +- +
n 100 n 100
3 (nk’3’1) x (nk’x’1) +- + + –
n 100 n 100
K 59
100 (12+22+32+ … +X2) = 100 (nk)
K x(x+l )(2x+1) 59
100′ 6 100 (nk)
Como: x(x+1) = 2n
K • 2n(~+1) _ 59nK
x= 88
Hallando el valor de “n°
n = 88(89) = 3916
2 ,..-_—.,
:. n yxes 2916 y88 [Rpm. DI
@ Jorge jugó a la tinka y se ganó el premio
mayor entonces para no desaprovechar
su suerte decidió invertir
las 5/13 del premio en la compra de
casas, 2/5 en la adquisición de tierras
y el resto en acciones de la Telefónica.
Las casas le raparten un Interés
anual del 10″, las tierras 7″ y las
acciones 14″ sabiendo que su renta
anuales de 1 8840 soles_ Determinar
el premio que ganó Jorge en la tinka.
A) 65000 B) 62000 C) 186000
0)195000 E) 74200
RESOLUCION:
Asumamos que el premio dela tinka
sea 65K. 5
• Costo de las casas: – (65K) = 251< 13 • Costo de las tierras: ~ (65K) = 26K 5 'Acclones de la Telefónica: 65K-(25K+26K)= 14K Hallando la renta anual. 25K'10'1 26K'7'1 14K'14'1 - = ,.-+ + 100 100 100 = 18840 628K - - = 18840 100 K= 3000 El premio es: 65K = 195000 ,..-----., [ Rpm. DI @ Se tiene 5 obraros que trabajan 4 dlas con un rendimiento de 75" después de 3 días se agregan 2 obreros con un rendimiento del 100" Y ellos trabajan durante 3 días, luego del cual, se retiran 4 obreros de 75% de rendlmlenl0 y los restantes trabajan 7 dlas hasta concluirla obra. ¿Cuántos dlas trabajaron 14 obreros con un rendimiento de 50% para hacerloda la obra? 1 2 A)162 B)1213 1 0)3011" RESOLUCIÓN: Graftquemos: C)11 E 17 E)8E. 28 05 obreros 1I 75" ., obrero 1176" 5otnl'08 8175" ·2 obreros 81100'" ·2 abrerosaI100" [171J J ~\JIasFd."f 7dlas 2 ai>reros Se_
(lOO’) 4 _ (75″)
Todo lo hacen 14 obreros al 50% en
“dO dlas.
Aplicando: 1 Total = ~ partes I
Paro previamente es conveniente
notar que intervienen el rendimiento
el cual es I.P. al nQmero de obreros,
por ello se multiplica n’ de
obraros, entonces:
14050″d =5’75″(4+3)+(5+75″ ·3+2′
·100″ ‘3)+(1’75” ‘7)+(2.100″ ‘7)
Cancelando 25% y reduciendo queda:
28d = 105+(69)+(77)
:.d=8~~ [Rpta.DI
@ Un grupo de 24 opararios terminan
un trabajo en 20 dlas trabajando
8h/d. Al ftnal del octavo dla de labor
se enferman 8 de los opararlos y 4
dlas más tarde se comunica al contratista
para que entregue el trabajo
en la fecha fijada pnsvlamente
¿Cuántos operarios adicionales se
contratan para cumplir con tal exigencia?
A) 10 B) 14 C) 12 0)8 E) 16
RESOLUCION:
Se tiene:
• 24 obreros lo terminan en 20 dlas
(8h1d)
! 1 1
8 días f~ d’íasl 8 di8t
So Soooo_2
enfennan8
Apliquemos:
1 Total = Suma de partes I
Además debemos suponer que lodos
trabajan el mismo número de
horas diarias por lo cual:
~ 24’20 = 24’8+1604+(16+n)’8
:. Al resolver: n = 12 [Rpm. e I
@ Un grupo de obreros tienen proyectado
terminar una obra en cierto
número de dlas paro faltando 20 dlas
para terminar la obra 12 de los obraros
se accidentan y no son reemplazados
hasta después de 8 dlas por 15
obreros cuya eficiencia es 20%
menos, luego de 2 d las mas se contratan
a un grupo de obreros que son
20% mes eficientes que los recién
contratados y se retiran 3 obreros a
85% de rendimiento logrando cumplir
con el lapso fijado. Si al iniciar la obra
el jornal de cada obrero es 51.25
¿Qué cantidad de dinero de mas se
pago el último día de la obra?
A) S/.3OO B) S/.I38 C) S/.240
O) S/.252 E) S/.250
RESOLUCION:
Siendo: “n” el número de obreros que
habla Inicialmente.
Grafiquemos losquefalta hacer:
n obtetoI.,m ~ Ia::en en 20 dial
1 A 1 B 1 C . ‘~~
J 8dr.. !2drasl’ 10dr .. 488 ruaran 3 obl’8l’Ol
12 u roII””, 2 rumpIozan de _ de rond.
de 100% rend. -por 15
de So_
I obnwos de 120%
de_
Sa sabe que:
Total = ParteA+Parte B+Parte C … (tt)
Total = n’l 00″’20 = 20n
ParteA = (n-12)’1 00″‘8 = 8n-96
Parte B = (n-12)’1 00″‘2+15’80″‘2 =
=2n
ParteC= (n-12)oIOO”’10+12’80′”
·IO+x·120″·10= 10n-24+12x
Reemplazando en (tt):
20n = (8n-96)+(2n)+(1 On-24+12x)
x=10
El último dla trabajaron 10 obreros
adicionales.
:. SapagoS/.25(10) 1 E I
= 51.250 adicionales Rpta.
~ 18 obreros pueden hacer cierta obra
en 20 dlas, al cabo de 8 dlas de labor
se retiran 8 obreros y después de 6
dras se contratan “a” obreros mas,
terminando la obra en el plazo fijado.
Hallar·a·.
A) 10 8)6 e)8 O) 16 E) 18
RESOLUCION:
Graftquemos de acuerdo al enunciado:
Todo lo hacen 18 ~ en 20 dJu ! A B 1 C ‘1
18t~ 11:1:f- 8 dias … oteros
Porteorfa de magnitudes se sabe:
Obra tt tiempo
Obra tt N’ Obreros
~
–,–,—=obr”a — = K
n’ obreros’ tiempo
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A B C A+B+C
18’20
–=–=
18’8 10’6 (10+a)’6
Por propiedad de S.R.G.E. se cumple:
A+B+C A+B+C
-1;”8″”-‘;2;:;0;Cc+’1″;0;””6,,”+,-7(1′””0””+”‘-a;)0-“6″ = 18.20
Entonces podemos afirmar que:
1 8·8+ 1 006+(1 O+a)6 = 18’¡;-2O,,:—-::-\
Al resolver: a= 16 I Rpta. D I
NOTA: En problemas de regla de
tres como el ceso anterior apliquemos
lo siguiente:
I Tolal = suma de partes I
Donde cada parte es el producto del
número de obreros yeltlempo.
@ Se construye una obra con 4 máquinas
que trabajan 10 h/d debiendo
culminarla en 30 dlas al final del sexto
dla una de ellas se malogra durante
“)(” dlas. Hallar el valor da “)(” si
desde el séptimo dla las otras tres
máquinas trabajan 12 h/d Y cuando
se repara la malograda esta sólo
puede trabajar 8 hld. pero se termina
la obra en el plazo estipulado.
A)10 B)11 C)12 0)14 E)13
RESOLUCION:
Veamos el siguiente gráfico.
Toda la obra la hacen 4 máquinas en
30 dlas (10 hld).
Toda l. obra la nacen 4 m,!qulnu en 30 dial (10hJd)
11
‘-y—1′ – 6dlas¡ 24dlas ¡
. ~!._ Se,.pon ~ rnjqtina
“‘-‘– lI1IIIopIa y l1obojo
(10!Vd1 Se maiogIa una (24-><). 8 !Vd rnéqIft <11_ y dr. Recordamos que a partir de/ séptimo día trabajan las 3 máquinas durante 24 dras a 10 h/d, incorporan dos después da x dras, la máquina malograda. Entonces apliquemos de nuevo: 1 Total = 1; partes 1 Como en este problema Intervienen las h/d esta se multiplica al número de dras, luego: 4,30-1 O = 406'1 0+(3,24,12+ 1·(24-X)·8) Cancelando el factor 8 se tiene: 15~~ ~~+108+24-X IrR=-,,-'ta-.-=c"l 8 Una cuadrilla de 15 obreros pueden hacer una obra en 25 jomadas de 8 horas diarias, pasadas 5 jornadas se les pidió que la termina",n 5 días antes de lo proyectado, esto motivo aumentar el número de horas de trabajo diario y contratar mas obreros. ¿Cuál es el menor número de obreros que se debe contratar? A)1 B)2 C)3 0)4 E)5 RESOLUCION: En este problema vamos a suponer que el número de obreros contratados es -n- y "x" el incremento en el número de horas diarias. Grafiquemos: 15 obreros \ '1 Folla J '--y----J' • 25_ 'Loo1S_~hacen (iIlId) '" 20 ¡on.- (8h!dI • n obreroI mú lo deben _ .. 'S¡on.- ,(5_ ..m.. moinlooo) lrabajanci:I Planteando la R.3 S. para la obra que falta: N° obreros 15 (15+n) TIempo 20'8 15(8+x) (1) 160 15+n = 15' 15(8+x) 15+n = 160 8+x Con n debe ser lo menor posible entonces x debe ser la mayor posible que sumado a 8 dMda a 160 pero dicha dMslón dabe ser más de 15. :. x=2 y n=1 I Rpta.A I @ Dos grupos da pintores empiezan a pintar los lados opuestos de una pared, el ler. grupo acaba su trabajo en 42 dlas cuando el segundo grupo ha hecho los 3/4 del suyo. Si del 1 ero grupo se pasan todos al 2do. grupo para ayudarlos ¿En cuántos dras antes de lo previsto se termino la obra correspondiente al segundo grupo? A)2 B)5 C)6 0)9 E)7 RESOLUCION: Tenemos que el 1 ero grupo ha hecho el total de la obre que es como 1 y el 2do. grupo hace los 3/4 entonces trabajando con esos datos podemos deducir los rendimientos R, y R2dellery2do. grupo respectivamente. Rendimiento Obra 1 3 4 (O) 3 R, 4 ~ R,· - = R2·1 ~ - = - 4 R2 3 Si trabajan los dos grupos tendrán un rendimientotolal de: 4+3=7 Trabajemos con el2do. grupo: 2do. Grupo CiliJ \ , I 42 di •• " Lo que falta, el2do. grupo lo hace en: 31 (42) = 14 dlas ............ (a) Entonces tenemos para la obra que falta: Rendimiento 2do. grupo: 3 1 er, y 2do. grupo: 7 Tiempo 14 1 Eller. y2do, grupo lo hacan: 3 ~ t = 14· 7 = 6 dlas ........ (JJ) :. De (a)y(~) notamos que lo termina: (1~) = 8 dras antes I Rpta. A I @ Seis obreros de 90% de rendimiento cada uno en 15 d las de 8 horas diarias hacen una obra ¿Cuántos obreros de 60% de rendimiento cada uno harán en 20 dlas de 9 horas diarias una obra de triple volumen pero de dificultad 213 que la primera? A)7 B)9 C)12 0)8 E)11 RESOLUCION: Planteando: /~/======~,~----,\ Rendimiento Total TIempo Obra 6'90"<>9 15’8=120 21’1=1
X-SO”<>X 20-9=180 3’3=2
(1) (O)
• 120 2
.. x=g. 180 ‘ -:¡- =12 [Rpta.cl
Comentarlo: Para no trabajar con
varias magnitudes usted debe considerarlo
siguiente:
• Cuando Interviene el n’ de obreros
yel rendimiento, se multiplican los
valores correspondientes y se toma
como magnitud al rendimiento
total.
Igualmente cuando interviene la
obra y dificultad de la obra, ambas
se mu~lpllcan y se reemplaza por
la magnitud obra.
@ Un grupo de 36 obreros han construido
en 20 dras los 419 da una obra, un
segundo grupo da 24 obreros han hecho
en 35 dlas 113 de la misma obra y
un tercer grupo de 30 obreros terminan
el resto de la obra en 18 d las. SI
para realizar otra obra, el doble que el
anterior en 60 dlas se ha contratado
26 obreros del primer grupo y cierta
cantidad del 3er, grupo ¿Qué grupo
es más eficiente y cuántos se contratan
del tercer grupo?
A)I';20 B)I';42
0)3′;30
RESOLUCION:
Sea la obra:
C)2′; 30
E)3′;20
38abreros 24 obl’8fOS 30 obreros
4 ¡
9
1 I
., . .
20 dfas 35 draa 18 días
Por teorfa de magnitudes se deduce
que:
Obra O.P, tiempo
Obra O.P. N’ obreros
Obra O.P. Rendimiento
~ obra =K
tiempo-N’ obreros’Rendimiento
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Si los rendimientos son R,; R2 y R3
apliquemos la fórmula para cada
caso:
434
999
20·36·R, 35·24·R2 18·30·R3
Al simplificar queda:
R, R2 R3
42=27=28
de donde sea R, = 42; R2 = 27 Y R3 = 28
Notamos que el más eficiente es el
primer grupo. Luego planteando la
R. 3 C. para el primer grupo:
I
Obra
4/9
2
(O)
,
Tiempo
20
60
(1)
~X=42
,\
N’Obreros
36’42
26’42+X’28
:. El l’ es más eficiente y se han
contratado 42 del2′ grupo.
rlR =-pt7a–:s. =->I
@ Tres prados tienen la misma área
pero en c/u el grado de crecimiento
del pasto es el doble del anterior. El
pasto del 1 ero Prado puede alimentar
a 72 ovejas en 36 dias y el2do. puede
alimentar a 48 ovejas en 90 dias
¿Cuántas ovejas se comerán todo el
pasto del tercero en 60 dias?
A)75 B)72 C)81 0)78 E)84
RESOLUCiÓN:
Si en el primer prado “n° ovejas se
encargan de comer el crecimiento
diario del pasto, para el2do. y tercer
prado serán “2n” y “4n” el número de
ovejas que se encargan de comer el
crecimiento diario del pasto ya que
será proporcional al crecimiento del
pasto. Luego planteamos que la
cantidad inicial de pasto de cada
prado lo pueden comer:
N’ ovejas tiempo
72-n ~n ….. (1)
(2) ….. { 4~~!~ 60
(1)
Oe(1): (48-2n)(90) = (72-n)(36)
240-1 On = 144-2n
n=12
Oe (2): (x-48)60 = (48-24,,),::’9:.::.0,..–::->
:. X=84 I Rpta. El
@ Para pintar una casa primero se pasa
la primera mano, luego el acabado,
Adrián y Arturo se disponen a
pintar una casa a las 6:00 horas. Arturo
el encargado del acabado espera
que Adrián pinte durante 3 horas
aduciendo que él lo hace en 2 horas
lo que hasta ese momento ha pintadoAdrián.
Si terminaran simultáneamente
el trabajo a que hora fue:
A) 12 horas B)13horas C)14horas
O) 15 horas E) F.O.
RESOLUCiÓN:
Oel dato tenemos que lo que Adrlan
hace en 3 horas Arturo lo hace en 2
horas, entonces los rendimientos
de Arturo y Adrián son como 3 y 2
respectivamente ya que el rendimiento
es I.P. al tiempo.
Luego si asumimos que “r’ horas es
el tiempo que se demoró Adrián en
terminar la obra, entonces Arturo se
habrá demorado “t-3″ horas, ya que
el empezó después de 3 horas, luego
planteamos:
Rendimiento
Adrián: 2
Arturo: 3
(1)
Multiplicando en linea:
tiempo
t
t-3
~ 3t-9=2t ~ t= 9 horas
:. Como empezaron a las 6 a.m.
Terminarán a las:
6+9 = 15 horas I Rpta. D I
@ Un terreno de 10 acres pueden alimentar
a 12 bueyes por 16 semanas
o a 18 bueyes por 8 semanas.
¿Cuántos bueyes podrian alimentarse
en un campo de 40 acres durante
6 semanas, si el pasto crece
regularmente todo el tiempo?
A)77 B)80 C)88 0)85 E)90
RESOLUCiÓN:
Sea n el número de bueyes que se
encargan de comer el crecimiento
diario del pasto, entonces la cantidad
de pasto inicial lo pueden comar:
N’bueyes
12-n
18-n
(1)
~(18-n)’1 = (12-n)’2
n=6
Tiempo
16<>2
8<>1
Si para 10 acres se requieren 6 bueyes
para comer el crecimiento diario
del pasto para 40 acres se va a
requerirde 24 bueyes.
Luego planteamos:
/,–,\ ,’—-,\
N° acres N° bueyes Tiempo
10<>1 12-6 16<>8
40<>4 x-24 6<>3
(O) (1)
4 8
:::::>x-24 = 6·x-·-
1 3
x-24 = 64 ,–=—., .’. x = 88 bueyes Rpta. C
@ Ocho granjeros para arar un terreno
de 112,50 m2 se demoran 12 d ras
pero luego de iniciado la obra se les
comunica que aparte de lo anterior
tienen que arar otro terreno de 4,5
por 12,5 metros por lo cual contratan
4 granjeros mas acabando la
obra a 15 dias de iniciado ¿Cuántos
dias trabajo el segundo grupo?
A)3dras B)4dras C)9dras
O) 6 dras E) 8 dras
RESOLUCiÓN:
El área del otro terreno que deben
arar es 4,5’12,5 = 56,25 m2 el cual
notamos que es la mitad del terreno
inicial y para dicha mitad se demorarian
12/2 = 6 d ias mas. Veamos el
gráfico:
8 granjeros
\
‘——-v——‘—–y—–‘
12 dias 6 dfas
Se han trabajado x dras entonces
I Se hizo I Falta
‘—–y—–‘ ‘——-v——
X dlas olo harán en 18-x dlas
trabajando 8 granjeros
• Lo hacen en 15-x dias
trabajando 4 granjeros más,
en total 12 granjeros
Luego se plantea R.3 S. para la obra
que falta:
N’ granjeros
8<>2
12<>3
(1)
~ 3(15-x)=2(18-x)
45-3x = 36-2x
9=x
:. El 2do. grupo lo hace
en: 15-9=dias
Tiempo
18-x
15-x
I Rpta. D I
@ Una familia de 10 personas disponen
de 9000000 de soles para vivir durante
un año; a los 4 meses llegan 2 sobrinos
y a mitad del año el costo de vida
se incrementa en 20% ¿Qué cantidad
de dinero tiene que pedir prestado
el jefe de familia para poder sobrevivirun
año?
A) 1280000
C)1240000
E) 2280000
RESOLUCiÓN:
B)1128000
0)210000
Primero: Determinamos cuánto gastan
(g1) las 10 personas en 4 meses.
¡ \1 \
N’ Personas Gasto Tiempo
10 9’10· 12
10 g, 4
(O) (O)
Al resolver. g, =3·10·=30·10″
Segundo: Calculando el gasto (g2)
de las 12 personas hasta la mitad del
año faltan 2 meses.
N° Personas
10
12
(O)
Gasto
9’10·
g2
Tiempo
12
2
(O)
Oe donde: g2 = 18’10” es el gasto en
dos meses pero como falta 6 meses
para terminar el año va a gastar el triplede
18’10″osea 54’10” pero como
el costo de vida se ha elevado en 20″
el gasto en ese medio año es:
g3= 120″(18’10”)=6480000
Siendo el gasto total:
g,+g2+g3=300000+1800000+
+6480000=11280000
El préstamo es:
11280000-9000000 = 2280000
I Rpta. El